4. Magnetski fluks i Faradejev zakon magnetske indukcije a) Magnetski fluks Ako je magnetsko polje kroz neku konturu površine θ homogeno (kao na lici 5), tada je fluks kroz tu konturu jednak Φ = = cosθ () Površina je skalarna veličina, ali joj se dodaju pravac i smer, lika 5 koji su ustvari pravac i smer normale na površinu, pa tako dobija osobine vektora. Ako je magnetsko polje nehomogeno (lika 6) kroz neku konturu onda se moraju odrediti fluksevi kroz beskonačno male delove površine d, = d = d cosθ, (3) θ a ukupna fluks se onda dobija sabiranjem ovih elementarnih flukseva, tj. njihovim integraljenjem. Φ = = d (4) lika 6 Magnetski fluks je maksimalan kada se poklapaju smer 1 lika 7 magnetske indukcije i smer magnetskog polja, tj kada je θ=0. Važno je naglasiti da površina ne mora da bude ravna već proizvoljnog oblika, ali da je fluks kroz dve površine koje su oivičene istom konturom koje su različitog oblika isti. Na slici 7 to su ravna površina 1 i polusferna površina. Kroz obe površine prolazi isti broj linija sila, pa se se može reći da je fluks magnetskog polja srazmern broju linija sila koje prolaze kroz površinu. Jedinica za magnetski fluks je [ Φ ] = T m d lika 7a d 1 Ako je površina zatvorena onda se normala na površinu orijentiše od površine ka spolja., a fluks kroz zatvorenu površinu se odredjuje kao Φ = = d i (4a) i važi da je fluks magnetskog polja kroz zatvrenu površinu jednak nuli tj. Φ = = d = 0 (4b) Linije magnetskog polja su zatvorene tako da svaka jednom ulazi i jednom izlazi iz zatvorene površine, pa je isti broj linija koje udju i izadju kroz zatvorenu površinu. U slučaju prikazanom na slici beskonačno mali fluks kroz beskonačno malu površinu d 1
gde linija izlazi je pozitivan, jer je ugao oštar, a beskonačno mali fluks kroz površinu d gde linija ulazi je negativan, jer je ugao izmedju vekora površine i vektora magnetske indukcije tup. abiranjem svih ovakvih beskonačno malih flukseva pozitivnih i negativnih po celoj površini dobio bi se zbir nula. <0 d d 1 1 >0 lika 7c b) Magnetski fluks kalema i induktivnost kalema Ako kalem ima N navojaka i dužinu L i ako kroz njega protiče struja I,onda je magnetska indukcija u sredini kalema, ako ga smatramo idalnim jdnaka N = µ I (5) L Ako je poprečni presek jednog navojka, onda je površina kroz koju prolaze linije magnetnog polja N., pa je fluks kroz ovu površinu N Φ = µ N (6) L Induktivnost kalema L se definiše kao odnos fluksa kroz kalem i struje koja je uzrokovala taj fluks, tj. Φ µ N L = =, (7) I L Jedinica za induktivnost je henri, H. c) Faradejev zakon magnetske indukcije Ovaj zakon opisuje kako promene u jačini magnetskog polja ili promene u kolima koja se nalaze u blizini magnetskih polja dovode do stvaranja električnog polja. Preciznije rečeno, promena magnetskog fluksa kroz neku površinu koja je ograničena nekom zatvorenom konturom stvara elektromotornu silu duž te konture. Ova elektromotorna sila može indukovati struju u žičanom provodniku. Ovu nastalu elektromotornu silu Faradej je nazvao indukovana elektromotorna sila, a struju koja teče kao posledica promene magnetskog polja, indukovana struja. Ceo fenomen nastanka električnog polja promenom magnetskog fluksa nazvao je magnetska indukcija.
Na slici 7 je prikazano nekoliko aspekata Faradejevog zakona magnetske indukcije.na slici 7a) je prikazano kako se magnet u obliku šipke približava namotaju od žice. Galvanometar u namotaju pokazuje jačinu struje u namotaju. Kada se magnet kreće ka navoju dolazi do prolaska struje, ali kada se ne kreće tada je struja kroz galvanometar jednaka nuli. Na slici 7b) je opisana jedna zatvorena žičana kontura sa izvorom jednosmerne struje. Njoj paralelno je postavljena druga kontura u kojoj se može meriti indukovana struja. Kada se uključi prekidač u prvoj konturi, u njoj se naglo uspostavi struja i magnetsko polje, i tada i u konturi dva kratkotrajno protekne struja. truja u drugoj konturi posle ne teče dok je uključen prekidač. Ali, kada se isključi prekidač ponovo protekne kratkotrajna struja. lika 7c) pokazuje dva zatvorena paralelna navoja, ali u jednom postoji izvor i na taj način protiče jednosmerna struja. Ako se druga kontura naglo odalji ili približi kroz nju kratkotrajno protekne struja. Na slici 7d) jedna kontura stoji i kroz njiu protiče jednosmerna struja, a druga kontura se rotira oko svog prečnika i dolazi do promene struje kroz tu konturu koja se očitava galvanometrom. Ono što je zajedničko svim ovim pojavama je vremenska promena fluksa kroz drugu konturu, izazvana na različite načine bilo pomeranjem konture, bilo promenom magnetskog polja. Faradejev zakon glasi: lika 7 Indukovana elektromotorna sila e u nekoj konturi je jednaka negativnoj promeni fluksa kroz tu konturu. e = (8) dt
gde je Φ, fluks kroz tu konturu. Prema Omovom zakonu usled elekromotorna sile u zatvorenoj konturi se javlja indukovana struja i ind, jednaka e i ind =, (8) R gde je R otpornost konture. Ako materijal ima i druge vrste otpornosti osim termogene onda je indukovana struja jednaka u opštem slučaju gde je Z impedansa kola kroz koje teče indukovana struja. smer elementa površine smer obilaska konture desna ruka e i ind = (9) Z Kontura po kojoj se definiše indukovana elektromotorna sila mora da okružuje datu površinu za koju se računa fluks, a orijentacija površine se određuje pozitivnim smerom obilaska konture po porast fluksa d lika 8 pravilu desne ruke. Ovo pravilo se primenjuje na sledeći način ; Ako se prsti desne ruke savijaju u pozitivnom smeru obilaska konture palac pokazuje smer površine za određivanje fluksa (smer vektora ). Primena pravila je prikazana na slici 8. indukovana ems i ind Kada bi struja kroz konturu tekla u pozitivnom smeru obilaska konture, ta struja bi stvarala magnetsko polje u smeru površine. lika 9
Ako posmatramo neku konturu kroz koju raste magnetski fluks, to je kao da joj se dodaje struja u pozitivnom smeru obilaska konture, pa je to smer struje koji dovodi do povećanja fluksa.. Medjutim po Faradejevom zakonu indukovana elektromotorna sila je u smeru negativne promene fluksa, tj. pa će ona biti u negativnom smeru obilaska konture u ovom slučaju (slika 9a). Kada fluks kroz konturu raste, indukovana elektromotorna sila teži da stvori polje takve magnetske indukcije koje će sprečiti taj porast fluksa kroz konturu. Obrnuto, ako fluks kroz konturu opada tada indukovana elektromotorna sila stvara dodatni fluks kroz konturu kojim sprečava smanjenje fluksa (slika 9b).. mer indukovane elektromotorne sile se praktično određuje prema pravilu koje se naziva Lencovo pravilo. Lencovo pravilo glasi : Indukovana struja u konturi stvara magnetno polje koje teži da spreči promene fluksa kroz konturu. d) Primeri primene Faradejevog zakona 1) Na slici 30 je pokazano kako dolazi do indukovanja elektromotorne sile kroz konturu kada joj se približava ili odaljava stalni magnet u obliku šipke, a isto bi se dešavalo pri približavanju ili odaljavanju solenoida. Ako se približava magnet svojim severnim polom fluks se povećava kroz konturu jer se linije polja zgušnjavaju. Tada je potrebno da indukovana struja stvara magnetsko ind polje čiji je vektora magnetske indukcije ind suprotan od vektora tj. da indukovana struja stvara polje magnetske indukcije po smeru suprotno od smera kretanja magneta (lika 30a). Kada se štapičasti magnet odaljava fluks se smanjuje pa je potrebno da indukovana struja stvara dodatni fluks ind tako da je smer indukovane magnetske lika 30 indukcije ind isti kao smer kretanja magneta (slika 30c)
lika 31 )Na slici 31 je prikazano indukovanje magnetskog fluksa u konturi koja leži u istoj ravni u kojoj se kreće provodnik kroz koji protiče struja I. Kako se provodnik približava, njegova magnetska indukcija kroz konturu je sve veća, a samim tim fluks, pa indukovana struja mora stvoriti polje magnetske indukcije ind suprotnog smera od. 3) Kada se analizira izraz () za fluks magnetske indukcije vidi se da do promene fluksa može doći ako se u vremenu menja jačina magnetske indukcije, ako se menja površina ili ako se menja ugao koji zaklapaju smer površine i smer magnetske indukcije., tj ugao θ. U primerima na slici 7a, 7b, i 7 c menja se jačina polja u vremenu, a u primeru na slici 7d) smer površine, tj. ugao θ. ω E 0 e lika 33 θ Φ Na slici 3 je prikazan primer indukovanja elektromotorne sile u ramu površine koji rotira nekom ugaonom lika 3 t brzinom ω. Ugao koji zaklapa smer površine rama sa smerom magnetske indukcije se stalno menja i jednak je θ=ω t, pa je fluks kroz konturu jednak Φ = cos( ωt) i očigledno je da se da se menja u vremenu. Kako je kosinus ugla periodična funkcija to fluks peridično raste i opada tj ima vremensku zavisnost t prikazanu na slic 3. Indukovana elektromotorna sila zbog toga stalno menja smer i intenzitet tj. jednaka je d( cos( ωt) e = = = ω sin( ωt) = E 0 sin( ωt) (30) dt dt
Ova promenljiva elektromoorna sila predstavlja izvor prostoperiodičnog naizmeničnog napona i ovo je osnovni način za stvaranje naizmeničnih struja i napona. Njena vremenska zavisnost je predstavljena na slici 33. 4) Do indukovanja elektromotorne sile dolazi i ako se provodnik kreće u magnetskom polju i ovo je elektromotorna sila usled kretanja. Ako posmatramo provodnu šipku koja se dužinom nalazi u homogenom magnetskom polju. Šipka se kreće nekom d brzinom v u ravni x 0 +v t normalnoj na pravac magnetske indukcije kako je prikazano na slici 34. Doći će do nagomilavanja pozitivnih šipka nelektrisanja na jednom kraju šipke i A negativnih na drugom lika 34 kraju jer na njih deluje sila koja je jednaka F = ev. (31) Kako je ugao koji zaklapaju vektori brzine šipke i magnetske indukcije prav, intenzitet ove sile je jednak F = F = ev i ova sila dovodi do kretanja elektrona ka jednom kraju šipke i njihovog nagomilavanja na tom kraju. Kako je šipka kao celina neutralno naelektrisana, na suprotnom kraju se javlja višak pozitivnog naelektrisanja. kako je prikazano na slici.. Električno polje koje usled ovoga nastaje je jednako F ev E = = = v, (3) e e a napon izmedju krajeva provodnika A i je U A ( v ) d = E d = (33) A A Kada su kao na slici vektori v i konstantni, a provodnik prav dužine, dobija se da je napon jednak U A = v, (34) ( ) Ako su vektori v i i medjusobno normalni i normalni na pravac provodnika tada se dobija da je U A = v (35)
Ali kako možemo u ovom slučaju primeniti Faradejev zakon. Odgovor je da se on može primeniti na bilo koju zatvorenu konturu, bilo da je unutar provodnika ili je neka zamišljena. Ovde se može posmatrati kontura koja jednim delom prolazi kroz provodnika, a drugi deo je zamišljen i nacrtan isprekidanim linijama na slici 34. Kako se šipka približava, površina konture koju posmatramo se smanjuje i na taj način se menja fluks. Ovo se može predstaviti jednačinama = v t Φ = v t (36) e = = v dt To uslovljava indukovanje elektromoorne sile koja je po modulu jednaka e = vl 5) Ako je namotaj od žice namotan oko feromagnetskog jezgra, i kroz taj namotaj se propušta prostoperiodična struja kružne frekevncije ω, tada će magnetska indukcija biti oblika = 0 sin( ωt). lika 35 z Ako je normalno na pravac magnetske indukcije postavljena provodna kontura kružnog oblika poluprečnika r, načinjena od žice specifične otpornosti ρ i poprečnog preseka z,(slika 35) onda će fluks kroz tu konturu biti jednak Φ = cosθ = 0 sin( ωt) = 0πr sin( ωt) (37) Elektromotorna sila kroz konturu je e = = 0πr ω cos( ωt) (38) dt Elektromotorna sila je veća ukoliko je jača magnetska indukcija, ali i ako je veća frekvencija magnetskog polja. Indukovana struja je jednaka e 0πr ω cos( ωt) 0rω z cos( ωt) iind = = = = I 0 cos( ωt) (39) R ρ πr ρ z gde je I 0, amplituda indukovane struje jednaka 0rω I 0 = z (40) ρ Amplituda indukovane struje je upravo srazmerna jačini magnetske indukcije, poluprečniku konture, frekvenciji magnetskog polja, a obrnuto srazmerna specifičnoj otpornosti materijala.
e) Vrtložne struje Indukovane elektromotorne sile i indukovane struje mogu se javiti u predmetima različitih oblika ako se ti predmeti nalaze u promenljivom magnetskom polju ili ako se kreću u polju konstantne ili promenljive magnetske indukcije. Ako su ti predmeti metalni, zbog njihove male specfične otpornosti u njima se mogu javiti značajne vrednosti indukovanih struja. Na slici 36 je prikazan jedan lika 36 metalni predmet u obliku kvadra koji se nalazi u blizini solenoida koji se napaja prostoperiodičnom strujom. Magnetsko polje koje stvara solenoid je takodje prostoperiodično. Ovaj komad metala sadrži u sebi mnogo zatvorenih provodnih kontura u kojima se indukuju elektromotorne sile, tako da se u tim konturama javljaju indukovane struje. Ovo mnoštvo indukovanih struja se vodi kroz metal i njihovo kretanje se pretvara u toplotnu energiju.