Krivolinijski integral

Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m, koje zovemo i vektorsko polje. Sklrne funkcije F i : R n R, i = 1,...,m, zovemo sklrno polje. bismo rzlikovli vektorske od sklrnih funkcij, koristimo oznku F z vektorsko polje (strelicu ne stvljmo kod sklrnih funkcij). Primer 28 Ako F : R 2 R 2, ond njčešće pišemo F = (P,Q) = P i + Q j, odnosno F(x,y) = ( P(x,y),Q(x,y) ) = P(x,y) i + Q(x,y) j. Grfički, polje F možemo prikzti u rvni tko što vektor F(x,y) crtmo iz tčke (x,y). N primer, ko je F(1,2) = (1,1/2), to ćemo prikzti tko što ncrtmo vektor (1, 1/2) trnslirn u tčku (1, 2). (1,2) (2,5/2)=(1,2)+(1,1/2) Ako je F(x,y) = y i+x j, ovo vektorsko polje možemo prikzti ko n sledećoj slici: 27

28 Primetimo d ovo polje zdovoljv jednkost (x,y) F(x,y) = 0, što znči d je vektor F(x,y) normln n vektor tčke (x,y). T jednkost, nrvno, ne vži z svko vektorsko polje. Znčjn primer vektorskog polj je tzv. polje grdijent sklrne funkcije f = f(x, y), F = f = (f x,f y ). Bitno je primetiti d je polje grdijent sklrne funkcije ortogonlno n linije nivo iste funkcije. Primer 29 Jedn vžn primer trodimenzionlnog vektorskog polj je grvitciono polje. Nime, ko immo dv tel ms M i m, pri čemu je M > m, td grvitcion sil izmed u t dv tel deluje u smeru od tel mse m k telu mse M. Intenzitet grvitcione sile je proporcionln m (x,y,z) msm M i m, obrnuto proporcionln kvdrtu rstojnj izmed u t dv tel, dkle G = mm G, gde je G univerzln grvitcion r2 konstnt. M (0,0,0) Ako u centr tel mse M stvimo koordinntni početk, centr tel mse m im koordinte (x,y,z), ond je G = mm r 2 G (x,y,z) (x,y,z) = mmg x2 +y 2 +z2 (x,y,z) 3. Primetimo d z grvitciono polje G vži G = g, gde je sklrn funkcij g(x,y,z) = mmg Zbog ove osobine kžemo d je grvitciono polje konzervtivno u skldu s x2 +y 2 +z2. sledećom definicijom.

29 efinicij 30 Z vektorsko polje F kžemo d je konzervtivno, ko postoji sklrn funkcij f tkv d je F = f. Sklrn funkcij f se u tom slučju zove funkcij potencijl, ili potencijl polj F. 4.2 Krivolinijski integrl sklrne funkcije 4.2.1 Prmetrizcij krive Već smo pričli o prmetrskom obliku krive. Rekli smo d krivu u rvni predstvljmo vektorskom funkcijom jedne promenljive r : [,b] R 2, r(t) = x(t) i+y(t) j, t [,b], gde su jedinični vektori i = (1,0) i j = (0,1). Slično, kriv u prostoru se može predstviti vektorskom funkcijom jedne promenljive r : [,b] R 3, z(t) P(x(t),y(t),z(t)) r(t) = x(t) i+y(t) j +z(t) k, t [,b], B pr_kr pri čemu su jedinični vektori u R 3, i = (1,0,0), j = (0,1,0) i k = (0,0,1). Vektorsku funkciju r zovemoprmetrizcij A y(t) krive, promeljivu t prmetr. x(t) P'(x(t),y(t),0) efinicij 31 Z prmetrizciju r(t) = ( x(t),y(t),z(t) ) kžemo d je regulrn, ko je preslikvnje r : [,b], R 3, 1 -bijekcij. Ako kriv im regulrnu prmetrizciju, kžemo d je kriv gltk. Ako prmetr t [, b], ond r() dje koordinte početne tčke krive, A(x(), y(), z()). Anlogno, r(b) dje koordinte krjnje tčke krive, B(x(b), y(b), z(b)). Kd odredimo početnu, odnosno krjnju tčku krive, odredili smo i njenu orijentciju. Kžemo d je kriv orijentisn od tčke A k tčki B. N grfiku krive orijenciju prikzujemo strelicom ko n prethodnoj slici. Ako se početn i krjnj tčk krive poklpju, td kžemo d je kriv ztvoren. U tom slučju koristimo pojmove pozitivno i negtivno orijentisn kriv. Ztvoren kriv je pozitivno orijentisn, ko je orijentisn suprotno od kretnj kzljke n stu (gledno iz koordinntnog početk). Inče je

30 negtivno orijentisn. Akosekrivsmopresecunekojtčki(α,β,γ), toznčidpostojedverzličitevrednosti prmetr t, c < d b, tkve d je r(c) = r(d) = (α,β,γ). Tčk se u tom slučju zove smopresečn tčk. Ako ztvoren kriv nem smopresečnih tčk, kžemo d je on kontur. Krivu koj nem smopresečnih tčk zovemo prost kriv. Prvi crtež slev predstvlj neztvorenu krivu s jednom smopresečnom tčkom, drugi ztvorenu krivu koj nije kontur, jer nije prost, n trećoj slici je skicirn jedn kontur, tj. ztvoren prost kriv. Primetimo d ko je prmetrizcij r regulrn, td je i r (t) 0 z sve t (,b). Nime, ko je preslikvnje r 1 ([,b]) to znči d im prvi izvod i d je r = (x,y,z ) neprekidn vektorsk funkcij. Ako je r (t 0 ) = 0, z neko t 0 (,b), to znči d su i x (t 0 ) = 0, y (t 0 ) = 0 i z (t 0 ) = 0, p je uslov injektivnosti nrušen. Injektivnost preslikvnj r nm grntuje d kriv nem smopresečnih tčk. Md utim, ko kriv im, n primer, jednu smopresečnu tčku, po njoj se može integrliti. Stog u definiciji krivolinijskog integrl možemo oslbiti uslov regulrnosti krive. N primer, ko je z c < d b, r(c) = r(d), ond krivu možemo podeliti n uniju dve krive = 1 2, gde tčkekrive 1 dobijmozvrednostiprmetrt [,d), tčkekrive 2 zvrednostiprmetr t [d,b]. Ako je to jedin smopresečn tčk krive, ond 1 i 2 nemju smopresečnih tčk. Ako su 1 i 2 gltke krive, je po delovim gltk. Anlogno problem možemo rešiti i ko kriv im končno mnogo smopresečnih tčk, što znči d je uslov injektivnosti nrušen z končno mnogo vrednosti prmetr t. Td kžemo d je preslikvnje r : [,b] skoro svud injektivno. kle, kriv po kojoj integrlimo treb d bude: po delovim gltk, u končno mnogo tčk može d se nruši uslov 1-1, i u končno mnogo tčk može d vži r (t) = 0. 4.2.2 Integrl po gltkoj krivoj Podelom intervl prmetr = t 0 < t 1 <... < t n = b, ko kod odred enog integrl, gltku krivu s prmetrizcijom r(t), t [,b], delimo n n lukov l i, i = 1,...,n. Tčke i-tog luk l i, odvovrju vrednosti prmetr t [t i 1,t i ]. S l i obeležićemo dužinu luk l i. Ako

31 je sklrn funkcij f definisn u tčkm krive, ond je kompozicij f( r(t)) = (f r)(t) sklrn funkcij jedne promenljive definisn n intervlu [, b]. Krivolinijski integrl sklrne funkcije f duž krive definišemo preko Rimnovih sum n sledeći nčin: f(x,y)dl := lim n n f( r(t i )) l i, i=1 (4.1) def_ki gde su t i proizvoljno birne tčke intervl [t i 1,t i ]. Ako je kriv rvnsk, iz prethodnog kurs nlize znmo d se dužin luk krive rčun po formuli, l = b x (t) 2 +y (t) 2 dt =: dl, što možemo interpretirti ko krivolinijski integrl jedinice (konstntne funkcije f(x, y) = 1) po krivoj. Preciznije to bi bil površin površi dobijene prevlčenjem krive u (x, y)-rvni n visinu 1 prlelno s z-osom, ko n sledećoj slici: 1 1 Površin ove površi je numerički jednk dužini krive. U skldu s pomenutom interpretcijom, krivolinijski integrl nenegtivne sklrne funkcije

32 f bi se mogo interpretirti ko površin sledeće površi: (x(),y(),f(x(),y())) (x(b),y(b),f(x(b),y(b))) (x(),y(),0) (x(b),y(b),0) Prirodn prmetrizcij krive (po dužini luk) Krivolinijski integrl iz definicije (4.1) zovemo još i integrl po dužini luk krive. Sm oznk dl upućuje n tkv nziv (od engleske reči length ). efinišimo sd funkciju dužine luk krive. Nek je početn tčk krive r() fiksirn. užinu luk krive od tčke r() do tčke r(t), t [,b] rčunmo ko l(t) := t x (s) 2 +y (s) 2 ds, t [,b]. N tj nčin smo dobili funkciju koj zvisi od t [,b]. Ako je kriv gltk, definisnu funkciju možemo diferencirti, p dobijemo d je dl dt = l (t) = d dt t x (s) 2 +y (s) 2 ds = x (t) 2 +y (t) 2, odnosno d je dl = x (t) 2 +y (t) 2 dt, što zovemo diferencijl luk krive. Kd to povežemo s definicijom (4.1) dobijemo d je f(x,y)dl := b f ( x(t),y(t) ) x (t) 2 +y (t) 2 dt = b f( r(t)) r (t) dt. Precizno, ovu formulu izvodimo ko što smo izveli formulu z dužinu luk n prethodnom kursu iz nlize.

33 Primer 32 Izrčunjmo integrl funkcije f(x,y) = 2 + x 2 y duž gornje polukružnice jedinične kružnice u rvni. Gornj polukružnic jedinične kružnice im prmetrizciju r(ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ), ϕ [0,π], stog je (2+x 2 y)dl = π 0 (2+cos 2 ϕsinϕ) cos 2 ϕ+sin 2 ϕdϕ = 2π+ 2 3. Primetimo d, ko immo krivu = 1 2, gde su 1 i 2 gltke krive dte prmetrizcijom r 1, odnosno r 2, tkve d je dužin = 1 2 nul, ond se integrl po može rčunti ko zbir integrl po 1 i 2. Krivolinijski integrl po jednoj promenljivoj Ponekd je potrebno integrliti smo po jednoj promenljivoj, n primer, x. Tkv prcijlni krivolinijski integrl dobijmo tko što u definiciji (4.1) l i zmenimo s x i = x i x i 1. Pri tom vodimo rčun d je x = x(t) i dx/dt = x (t), p dobijemo d je krivoliniski integrl po x definisn n sledeći nčin, f(x,y)dx := lim n n f( r(t i )) x i = i=1 Anlogno, krivoliniski integrl po y je definisn ko f(x,y)dy := lim n i=1 n f( r(t i )) y i = Ov dv integrl često se pojvljuju zjedno i td formlno pišemo Krivolinijski integrl po krivoj u prostoru b b f ( x(t),y(t) ) x (t)dt. f ( x(t),y(t) ) y (t)dt. f(x,y)dx+ g(x,y)dy =: f dx+gdy. Ako je kriv prostorn, njen prmetrizcij je funkcij r : [,b] R 3, r(t) = x(t) i+y(t) j+ z(t) k. Ako je prmetrizcij regulrn, vži ist formul ko i z rvnsku krivu, tj. f(x,y,z)dl = b f( r(t)) r (t) dt, pri čemuje sd r (t) = x (t) 2 +y (t) 2 +z (t). Anlognose definišui(prcijlni) krivolinijski integrli po x, y, odnosno z. Primer 33 Izrčunjmo integrl funkcije f(x,y,z) = ysinz duž jednog luk heliks x = cost,

34 y = sint, z = t, t [0,2π], ysinzdl = 2π 0 sintsint sin 2 t+cos 2 t+1dt = 2π. Možemo d zključimo sledeće: Ako je gltk kriv s regulrnom prmetrizcijom r(t) = x(t) i+y(t) j+z(t) k, t [,b] i f sklrn funkcij tri promenljive neprekidn n, ond je f dl = b f(x(t),y(t),z(t)) x (t) 2 +y (t) 2 +z (t)dt = b (f r)(t)) r (t) dt. Ako je po delovim gltk kriv, odnosno ko je = i, i = 1,...,k, gde su i gltke krive tkve d je z i j, i j dužine nul, ond je k f dl = f dl. i=1 i Ovkv integrl im više nziv: krivolinijski integrl sklrne funkcije, krivolinijski integrl po dužini luk krive ili krivolinijski integrl prve vrste. 4.3 Krivolinijski integrl vektorskog polj Ako immo vektorsku funkciju F(x,y,z) = P(x,y,z) i+g(x,y,z) j +R(x,y,z) k i gltku prostornu krivu, pitmo se št bi bio integrl funkcije F po. Odgovor tržimo u fizici. Znmo d ko konstntn sil F deluje n prvolinijskom putu od tčke P do tčke Q, njen rd rčunmo ko sklrni proizvod (vektor) sile i vektor pomernj, PQ, W = F PQ. Sd, nek vektor sile neprekidno zvisi od tčke u prostoru n koju sil deluje, tj. nek je F(x,y,z) = P(x,y,z) i+g(x,y,z) j +R(x,y,z) k neprekidno polje (funkcij) sile, nek deluje n česticu koj vrši krivolinijsko kretnje po gltkoj krivoj s prmetrizcijom r(t), t [, b]. Podelimo krivu n n lukov l i, i = 1,...,n, tko što ćemo podeliti intervl [,b], = t 0 < t 1 <... < t n = b (kko je prmetrizcij bijekcij, svkoj tčki krive odgovr jedn tčk intervl i

35 obrtno). Oznčimo s P i tčke n krivoj koje odgovrju vrednosti prmetr t i, i = 0,...,n. Pi-1 F P1 Pi* T Pi P0 Pn-1 Pn kle, tčke i-tog luk l i, odgovrju vrednosti prmetr t [t i 1,t i ]. S l i obeležićemo dužinu luk l i, P i = r(t i ), t i [t i 1,t i ], će biti proizvoljn tčk luk l i, P i l i. Nek je T = T(t i ) jedinični vektor tngente u tčki r(t i ), odnosno u tčki P i, F = F(r(t i )). Rd sile F duž putnje l i, u oznci W i, proksimirćemo n sledeći nčin W i F T l i, tj. rdom konstntne sile F i = F(r(t i )) po prvolinijskoj putnji u smeru tngentnog vektor T i, dužine l i. Jsno je d što je dužin luk l i mnj to je ov proksimcij bolj odnosno približnij. kle, umesto luk od tčke P i 1 do tčke P i uzećemo duž iste dužine (l i T l i ), i pretpostvićemo d je sil u svkoj tčki luk l i jednk onoj u tčki P i ( F( r(t)) F( r(t i )), t [t i 1,t i ]). Kd sberemo sve W i dobijmo ukupni rd n celoj putnji, dkle W = n W i i=1 n i=1 F(P i ) T(t i ) l i = n i=1 ( ( F r) T ) (t i ) l i. Primetimo d je ( F r) T sklrn funkcij, i d kd n ond i l i 0, p koristeći definiciju krivolinijskog integrl sklrne funkcije zključujemo d je W = lim n n i=1 ( ( F r) T ) ( (t i ) l i = ( F r) T ) (t) dl. lje, kko je T(t) = r (t) r (t) i dl = r (t) dt, dobijmo d je W = b F( r(t)) r (t)dt =: F d r.

36 Ovim smo definisli krivolinijski integrl vektorske funkcije F po krivoj s regulrnom prmetrizcijom r(t), t [, b]. Ako je F = (P,Q,R), r(t) = (x(t),y(t),z(t)), dobijmo još jedn zpis krivolinijskog integrl vektorske funkcije, F d r = b ( P x +Qy +Rz ) dt = P dx+qdy+rdz. Primer 34 Izrčunjmo krivolinijski integrl funkcije F = (xy,y,z) duž krive koj je deo grfik funkcije y = x 2 u (x,y)-rvni od tčke (0,0) do tčke (1,1). Kriv im prmetrizciju r(t) = (t,t 2,0), t [0,1], p je r (t) = (1,2t,0), te je F d r = 1 (t 3,t 2,0) (1,2t,0)dt = 1 0 0 (t 3 +2t 3 +0)dt = 3 4. 4.4 Osnovn teorem z krivolinijski integrl Podsetimo se Njutn-Ljbnicove formule z odred eni integrl. Nime, ko je F 1 ([,b]), ond je b F (x)dx = F(b) F(). Sd, kd F posmtrmo ko izvod sklrne funkcije F 1 (), gde je gltk kriv dt prmetrizcijom r(t), t [, b], očekujemo d sličn formul vži i z krivolinijski integrl vektorske funkcije F, F d r = F( r(b)) F( r()). Ovkv formul bi nm omogućil d rčunmo krivolonijski integrl konzervtivnog polj smo poznvjući vrednosti funkcije potencijl u krjnjoj i početnoj tčki krive. Ako je kriv ztvoren, integrl konzervtivnog polj po bi bio 0. T9 Teorem 35 Nek je gltk kriv dt prmetrizcijom r(t), t [, b], f diferencijbiln sklrn fukcij tkv d je i f neprekidn vektorsk funkcij. Td vži, f d r = f( r(b)) f( r()).

37 okz: Iz definicije krivolinijskog integrl vektorske funkcije immo d je f d r = = = b b b [f x ( r(t)),f y ( r(t)),f z ( r(t))] r (t)dt = [ fx (x(t),y(t),z(t))x (t)+f y (x(t),y(t),z(t))y (t)+f z (x(t),y(t),z(t))z (t) ] dt = d dt ( ) b ( ) (t)dt. f (x,y,z) (t)dt = f r Funkcij (f r ) je neprekidn, te možemo primeniti Njutn-Ljbnicovu formulu i zključiti d je f d r = (f r)() (f r)(b) = f( r()) f( r(b)). Primer 36 Nći rd grvitcione sile F( x) = mmg x prilikom kretnj čestice mse m < M x 3 iz tčke (3,4,12) u tčku (2,2,0) po po delovim gltkoj krivoj. Videli smo d je funkcij potencijl grvitcione sile g = W = g d r = g(2,2,0) g(3,4,12) = mmg( 1 mmg x2 +y 2 +z2, p je stog 8 1 13 ). Primetimo d putnj po kojoj se čestic kreće nije bitn, odnosno d rd zvisi smo od početne i krjnje tčke kretnj. Ovo je osobin konzervtivnog polj koj se zove nezvisnost krivolinijskog integrl od putnje integrcije. 4.5 Nezvisnost krivolinijskog integrl od putnje integrcije Nek su 1 i 2 po delovim gltke krive koje spjju tčku A i tčku B, dte prmetrizcijom r 1 (t), odnosno r 2 (t), t [,b], r 1 () = r 2 () = A i r 1 (b) = r 2 (b) = B. Videli smo d ko je vektorsko polje konzervtivno, ond su njegovi krivolinijski integrli duž ovih krivih jednki. Med utim, z proizvoljno polje to ne vži, tj. uopštem slučju vži 1 B F d r F d r. 1 2 (4.2) odr A 2 Ukoliko u (4.2) immo jednkost z sve po delovim gltke krive koje spjju tčke A i B,

38 kžemo d krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije od tčke A do tčke B. Ako t osobin vži s svke dve proizvoljne tčke nekog skup, kžemo d krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije u. def_nez efinicij 37 Krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije u skupu R 3, ko s svke dve proizvoljne tčke A,B, i s svke dve proizvoljne po delovim gltke krive 1, 2, koje spjju tčke A i B, vži F d r = F d r. 1 2 (4.3) odr_bs Pretpostvimo d krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije od tčke A do tčke B. Izberimo neke dve po delovim gltke krive 1 i 2, tkve d je r 1 () = r 2 () = A i r 1 (b) = r 2 (b) = B. Iz (4.2) vidimo d je F d r = F d r F d r = 0, 1 2 1 ( 2) gde smo s 2 obeležili krivu 2 s promenjenom orijentcijom od tčke B do tčke A. 1 B Kriv 1 ( 2 ) je očigledno ztvoren, po delovim gltk kriv. On može biti kontur (ko n slici desno), ili može imti smopresečne tčke. A -2 Ako se 1 i 2 seku, n primer u dve tčke, dobićemo krivu koj se sstoji od tri konture (slik levo). 1-2 No, krive 1 i 2 mogu imti i neprebrojivo mnogo zjedničkih tčk, n primer ceo jedn segment (slik desno), li ni to neće uticti n zključk d je integrl po 1 ( 2 ) jednk

39 nuli. Posledic definicije 37 i teoreme 35 je sledeće tvrd enje. Posledic 38 Krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije u skupu R 3, kko je po svkoj ztvorenoj krivoj. F d r = 0 okz: Nek je krivolinijski integrl funkcije F nezvisn od putnje intgrcije i nek je ztvoren kriv u. Izberimo dve proizvoljne rzličite tčke A,B. Tko smo krivu podelili n dve krive 1 i 2 koje spjju tčke A i B i od kojih je jedn, n primer, 1, orijentisn isto ko i, drug suprotno. Immo d je = 1 ( 2 ), p je i F d r = 1 F d r 2 F d r = 0, jer krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije. Nek je sd F d r = 0 po svkoj ztvorenoj krivoj i nek su A i B dve proizvoljne tčke skup, spojene po delovim gltkim proizvoljnim krivm 1 i 2 koje leže u. Td je 1 ( 2 ) ztvoren kriv koj leži u, te je integrl po 1 ( 2 ) jednk nuli, odkle je jsno d je 1 F d r = 2 F d r. 4.5.1 Krivolinijski integrl konzervtivnog polj Videli smo d svko konzervtivno vektorsko polje po ztvorenoj krivoj im integrl (rd) nul. Vži i obrtno. p2 Posledic 39 Nek je vektorsko polje F neprekidno n otvorenoj, poveznoj oblsti. Ako je krivolinijski integrl funkcije F nezvistn od putnje intgrcije u skupu R 3, td je F konzervtivno u. Pre dokz pojsnimo pojmove iz Posledice 39. je skup R 3 otvoren znči d je okolin svke svojetčke,odnosnodzsvkutčku x postoji lopt s centrom u x koj leži u. Povezn skup znži d se svke dve tčke tog skup mogu spojiti (povezti) po delovim gltkom krivom koj leži cel u. Td kžemo d su svke dve tčke povezne putnjom u

40. U engleskoj literturi se z otvoren povezn skup koristi pojm domin, neki nši utori koriste pojm oblst. okz posledice 39: Trebmo pokzti d je F konzervtivno u, odnosno trebmo konstruisti funkciju potencijl vektorskog polj F. Fiksirjmo proizvoljnu tčku A(,b,c) i posmtrjmo proizvoljnu tčku P(x,y,z). Kko je skup povezn, postoji po delovim gltk kriv ÂP koj spj tčke A i P i cel leži u. efinišimo sledeću funkciju, f(x,y,z) = F d r. ÂP Funkcij f je dobro definisn jer integrl ne zvisi od putnje. Kko je otvoren, postoji lopt L L(P,δ). Izberimo tčku Q(x 1,y,z) L, tkvu d je x 1 < x. Ztim, izberimo po delovim gltku krivu 1 = ÂQ koj spj tčke A i Q i leži u, te obeležimo s = 1 2 = ÂQ QP. Td je f(x,y,z) = F d r + F d r, gde prvi integrl u sumi ne zvisi od x, drugi zvisi. 1 2 Stog diferencirjmo po x i dobićemo f x (x,y,z) = x F d r. 2 Kko je 2 duž koj spj tčke P(x,y,z) i Q(x 1,y,z), im prmetrizciju r(t) = (t,y,z), t [x 1,x], d r = (dt,0,0). Ako je F = (F 1,F 2,F 3 ), immo d je f x (x,y,z) = x 2 (F 1,F 2,F 3 ) (dt,0,0) = x x x 1 F 1 (t,y,z)dt = F 1 (x,y,z). Slično, birjući z tčku Q(x,y 1,z) L, odnosno Q(x,y,z 1 ) L, dobijmo d je f y (x,y,z) = F 2 (x,y,z),odnosnof z (x,y,z) = F 3 (x,y,z). I dlje tržimo odgovor n pitnje kd je vektorsko polje konzervtivno kd ne. Videli smo ko je dvodimenzionlno vektorsko polje F = P i + Q j konzervtivno, to znči d postoji

41 sklrn funkcij f tkv d je f x = P i f y = Q. Ako su P,Q 1, možemo diferencirti ove jednkosti p dobijemo, ko posledicu Kleroove teoreme, d je P y = f xy = f yx = Q x. kle, ko je F = P i+q j konzervtivno i P,Q 1, ond je P y = Q x. Obrtno tvrd enje vži smo n posebnim oblstim. efinicij 40 Z skup u kžemo d je prosto povezn ko je povezn i svk kontur u ogrničv skup koji ceo leži u. N primer, kružni prsten jeste povezn skup li nije prosto-povezn. v krug koj nemju presek čine nepoveznu oblst koj se sstoji iz dve prosto-povezne oblsti. Jednostvnim rečim možemo reći d skup nije prosto povezn ko im rupe ili ko se sstoji od disjunktnih skupov. Teorem 41 Nek je F = P i + Q j vektorsko polje definisno n otvorenoj, prosto-poveznoj oblsti i nek su P,Q 1 (). Td vži P y = Q x, n je F konzervtivno. okz ove teoreme je posledic Grinove teoreme koj sledi. 4.6 Grinov teorem Grinov teorem je jedn od osnovnih teorem integrlnog rčun i povezuje krivolinijski integrl duž pozitivno orijentisne rvnske konture i dvostruki integrl po oblsti R 2 ogrničene konturom. Primetimo d ko je rub oblsti u rvni kontur, ond je t oblst ogrničen, \ je otvoren, = ztvoren skup u R 2. Teorem 42 Nek je pozitivno orijentisn po delovim gltk kontur u rvni, oblst u rvni ogrničen konturom, =, F = (P,Q) 1 (n proizvoljnoj otvorenoj oblsti koj sdrži ).

42 Td vži, P dx+qdy = (Q x P y )da (4.4) greenn okz ove teoreme u opštem slučju je prilično težk. Mi ćemo je pokzti z oblst tip 1, vidi sliku 3.1. Kd pokžemo d Grinov formul vži n skupovim tip 1, lko zključujemo d vži i skupu u R 2 ogrničenom konturom koji se može prikzti ko unij tkv dv skup, ko n sledećoj slici. 6 5 1 7 2 2 1 4 3 N slici immo dve oblsti tip 1, 1 i 2. Obeležimo uniju t dv skup s = 1 2. Oblst 1 ogrničenje podelovimgltkompozitivnoorijentisnomkonturom 1 2 3 7, oblst 2 konturom 4 5 6 7, oblst konturom 1 2 3 4 5 6. vostruki integrl po jednk je zbiru dvostrukih integrl po 1 i 2, p možemo primeniti Grinovu teoremu i dobiti (Q x P y )da = = = (Q x P y )da+ (Q x P y )da 1 2 P dx+qdy + P dx+qdy 1 2 3 7 4 5 6 7 P dx+qdy = P dx+qdy. 1 2 3 4 5 6 Nime, postoji tvrd enje koje kže d se svk oblst u rvni ogrničen konturom može prikzti ko do n grnicu disjunktn unij oblsti tip 1 i tip 2. o n grnicu disjunktn unij znči d u preseku bilo koj dv del može d bude njviše rub nekog od tih skupov. Ovo tvrd enje ćemo smo prihvtiti bez dokz, jer je intuitivno jsno, dokz prevzilzi grdivo nšeg kurs. Zjedno s dokzom Grinove formule n skupu tip 1 i 2, ovo tvrd enje nm dje d Grinov teorem vži n svkoj oblsti u R 2 ogrničenoj po delovim gltkom konturom. Pre dokz Grinove formule, pokzćemo d vži još jedn formul koj nm je potrebn z dokz. Formulisćemo je u obliku leme. Pre tog, podsetimo se Osnovne teoreme klkulus z

43 funkcije jedne promenljive. kle, ko je funkcij f = f(y) integrbiln n intervlu [, b], njen primitivn funkcij F(x) = Funkcij G(x) = i vži b(x) (x) d dx x f(y)dy, x [,b], je diferencijbiln n [,b] i vži d dx x f(y)dy = f(x), x [,b]. f(y) dy je diferencijbiln ukoliko su diferencijbilne funkcije (x) i b(x), b(x) (x) f(y)dy = f(b(x))b (x) f((x)) (x), x [,b]. Sličnu formulu možemo izvesti z funkciju definisnu pomoću iterirnog integrl funkcije f = f(x,y) koj je integrbiln po drugoj promenljivoj. lem Lem 43 (Izvod funkcije definisne preko integrl) Nek su funkcije f 1 (R 2 ) i,b 1 (R). Td vži d dx b(x) (x) f(x,y)dy = b(x) (x) f x (x,y)dy +f(x,b(x))b (x) f(x,(x)) (x). okz: Kko je f 1 (R 2 ), on je i neprekidn (p i integrbiln) po drugoj promenljivoj, odnosno postoji njen primitivn funkcij po y, tj. postoji F(x,y) tkv d je y F(x,y) 2 F(x,y) = f(x,y). Td je d dx b(x) (x) f(x,y)dy = d dx [F(x,b(x)) F(x,(x))] = 1 F(x,b(x))+ 2 F(x,b(x))b (x) 1 F(x,(x)) 2 F(x,(x)) (x) = f(x,b(x))b (x) f(x,(x)) (x)+ 1 F(x,b(x)) 1 F(x,(x)). lje iz f 1 (R 2 ) immo d je g(x,y) := 1 ( 2 F(x,y)) = 1 f(x,y) = f x (x,y) (R 2 ), p je 1 F(x,b(x)) 1 F(x,(x)) = b(x) g(x,y)dy = b(x) (x) (x) f x (x,y)dy. okz Grinove teoreme z oblst tip 1: Nek je = {(x,y) : x b i u(x) y v(x)}, gde su u,v 1 ([,b]). Td je = = 1 2 3 4 po delovim gltk kriv, čiji su delovi dti sledećim prmetrizcijm:

44 1 : x = t [,b], y = u(t), dx = dt, dy = u (t)dt 2 : x = b, y = t [u(),u(b)], dx = 0, dy = dt 3 : x = t [b,], y = v(t), dx = dt, dy = v (t)dt 4 : x =, y = t [v(b),v()], dx = 0, dy = dt 4 3 1 2 Izrčunjmo sd integrle iz Grinove formule (4.4). Prvo izrčunjmo dvostruki integrl P y (x,y)dxdy = b ( ) v(x) P y (x,y)dy dx = u(x) b [P(x,u(x)) P(x,v(x))] dx. Ztim rčunmo krivolinijski integrl po = 1 2 3 4. Kko je dx = 0 n 2 i 4, immo d je P(x,y)dx = P(x,y)dx+ P(x,y)dx = 1 3 b P(t,u(t))dt+ b P(t,v(t))dt. Iz prethodne dve jednkosti vidimo d je P y (x,y)dxdy = P(x,y)dx. rugi krivolinijski integrl koji rčunmo je Q(x,y)dy = b Q(t,u(t))u (t)dt+ v(b) Q(b,t)dt+ Q(t,v(t))v (t)dt+ u() u(b) b v() Q(,t)dt. N krju rčunmo preostli dvostruki integrl u kome ćemo primeniti lemu 43, Q x (x,y)dxdy = = = b b [ d dx v(x) u(x) b ( ) v(x) Q x (x,y)dy dx u(x) Q(x,y)dy Q(x,v(x))v (x)+q(x,u(x))u (x) [Q(x,u(x))u (x) Q(x,v(x))v (x)] dx+ v(b) u(b) ] Q(b,y)dy dx v() u() Q(,y)dy

45 Iz prethodne dve jednkosti vidimo d je Q x (x,y)dxdy = Q(x,y)dx. 4.6.1 Vektorski oblik Grinove teoreme Z vektorski oblik Grinove teoreme potrebn su nm dv poznt diferencijln opertor, rotor i divergencij. Rotor je prcijlni diferencijlni opertor koji deluje n vektorsku funkciju F = (P,Q,R) n sledeći nčin rotf curlf := i j k x y z P Q R = F. OvjopertorslikvektorskufunkcijuF = (P,Q,R)uvektorskufunkciju(R y Q z,r z R x,q x P y ), dkle funkcij n koju deluje mor imti prcijlne izvode. Ako je F 1 (R 3 ;R 3 ) ond je rotf (R 3 ;R 3 ), odnosno rot : 1 (R 3 ;R 3 ) (R 3 ;R 3 ). rotf zovemo rotor vektorskog polj F = (P,Q,R). ivergencij je tkod e prcijlni diferencijlni opertor koji deluje n vektorsku funkciju F = (P,Q,R), divf := P x +Q y +R z = F. Med utim, divergencij slik vektorsku funkciju F = (P,Q,R) u sklrnu funkciju P x +Q y +R z. Ako je F 1 (R 3 ;R 3 ) ond je divf (R 3 ;R), odnosno div : 1 (R 3 ;R 3 ) (R 3 ;R). divf zovemo divergencij vektorskog polj F = (P,Q,R). Posmtrjmo vektorske funkcije r = (x,y) i F = (P,Q) definisnu u formulciji Grinove teoreme. Funkcije r = (x,y) i F = (P,Q) su rvnske, li ih možemo dodefinisti nulom kko bi postle prostorne, r = (x,y,0) i F = (P,Q,0), odnosno d rvnsku krivu s prmetrizcijom r posmtrmo ko prostornu krivu koj leži u rvni (x, y). Td tvrd enje Grinove teoreme možemo npisti u obliku F d r = P dx+qdy = (Q x P y )da. Kko je curl F = curl(p,q,0) = (Q x P y ) k, immo d je curl F k = Q x P y, dobijmo vektorski

46 oblik Grinove teoreme F d r = (curl F k)da. U fizici, z rčunnje fluks, integrli se sklrni proizvod funkcije F i normle n krivu, nime F n. Kko je F n sklrn funkcij, to je F ndl krivolinijski integrl prve vrste. Nek je r(t) = (x(t),y(t)), t [α,β], prmetrizcij gltke konture. Td je T = x r i + y r j jedinični tngentni vektor, n = y r i x r j jedinični vektor normle. Stog je F ndl = = β α 1 r (t) (Py Qx ) r (t) dt = (P x ( Q y ))dxdy = divf da, Qdx+P dy = ( y što je drugi vektorski oblik Grinove teoreme. Kko je ndl = dx j, to se F ndl zove još i krivolinijski integrl po normli. r i x r j ) r (t) dt = dy i

Poglvlje 5 Površinski integrl 5.1 Prmetrizcij i površin površi Prmetrizovn površ S dt je prmetrizcijom r(t,s) = x(t,s) i+y(t,s) j +z(t,s) k, t [,b], s [c,d], gde je preslikvnje r : [,b] [c,d] S bijektivno preslikvnje prvougonik R = [,b] [c,d] n površ S. Npomenimo d postoje površi koje se ne mogu prmetrizovti, li mi nećemo rditi s tkvim površim. Ako u svkoj tčki površ im jedinstvenu tngentnu rvn, kžemo d je površ gltk. Tngentnu rvn dobijmo n sledeći nčin. Fiksirjmo t 0 [,b] i posmtrjmo krivu 1 S prmetrizovnu n sledeći nčin, r 1 (s) = r(t 0,s), s [c,d]. Kriv 1 u tčki r(t 0,s 0 ) im tngentu, ko je tngentni vektor r 1 (s 0 ) = s r(t 0,s 0 ) 0. Anlogno, z fiksirno s 0 [c,d] dobijmo krivu 2 S prmetrizovnu s, r 2 (t) = r(t,s 0 ), t [,b], 47

48 koj u tčki r(t 0,s 0 ) im tngentu, ko je tngentni vektor r 2 (t 0 ) = t r(t 0,s 0 ) 0. Ako su vektori r 2 (t 0 ) i r 1 (s 0 ) linerno nezvisni (tj. nisu prlelni), oni odred uju jedinstvenu rvn koj se zove tngentn rvn n površ S u tčki r(t 0,s 0 ). kle, možemo reći d je površ gltk ko i smo ko su vektori t r(t,s) i s r(t,s) linerno nezvisni, što možemo zpisti u obliku vektorskog proizvod, t r(t,s) s r(t,s) 0. Površ je po delovim gltk ko je unij nekoloko gltkih površi. Površin del površi Znmo d pomoću formule l = b b (x (t)) 2 +(y (t)) 2 +(z (t)) 2 dt = r (t) dt = dl rčunmo dužinu del gltke krive dte prmetrizcijom r (t) = (x(t),y(t),z (t)), t [,b]. Želimo sličnu formulu z rčunnje površine del gltke površi dtog prmetrizcijom r(t,s) = x(t,s) i+y(t,s) j +z(t,s) k, t [,b], s [c,d], gde je preslikvnje r : [,b] [c,d] S bijektivno preslikvnje prvougonik R = [,b] [c,d] n površ S. Površ S podelićemo n uniju mlih površi S ij, i = 1,...,n, j = 1,...,m, tko što intervl [,b] podeliti n n mlih jednkih intervl dužine t = t i = b n, intervl [c,d] n m intervl dužine s = s j = d c m. kle, S ij = r(r ij ) = r([t i 1,t i ] [s j 1,s j ]). 5.1.1 Orijentcij dvostrne površi Rekli smo d u svkoj tčki gltk površ im normlu. Norml je odred en jediničnim vektorom normle, tj. vektorom intenzitet jedn koji je prleln normli. Tkvih vektor immo dv, koji su suprotnih smerov. Zbog tog uvodimo pojm strne površi, p svkom jediničnom vektoru normle dodeljujemo po jednu strnu površi. Ako je to moguće u svkoj tčki površi

49 kžemo d je površ dvostrn. bismo bili sigurni d je površ dvostrn, tu osobinu testirmo n sledeći nčin. Posmtrmo proizvoljnu tčku P površi S i ztvorenu krivu koj prolzi kroz tčku P i leži n izbrnoj strni površi S. Ztim posmtrmo normlu n izbrnu strnu površi S u tčki P. Krećemo se po krivoj i posmtrmo normle n istu strnu u tčkm krive. Kd se vrtimo u tčku P ko smo i dlje n istoj strni površi S možemo zključiti d je površ S dvostrn (nrvno, ov osobin treb d vži z sve tčke i ztvorene krive). Postoje površi koje nisu dvostrne. Tkv je, n primer, Mebijusov trk. Z neke dvostrne površi uvodimo pojm spoljšnje i unutršnje strne. Z strnu kžemo d je unutršnj ko je u svkoj tčki površi površ izmed u normle i tngentne rvni, spoljšnj ko je tngentn rvn izmed u površi i normle. Z neke površi te pojmove ne možemo definisti. 5.2 Površinski integrl sklrne funkcije 5.3 Površinski integrl vektorske funkcije U svkoj tčki dvostrne gltke površi S immo dv jediničn vektor normle n površ, odnosno n tngentnu rvn u toj tčki. Oznčimo ih s n = (,b,c) i n = (, b, c). One su definisne u svkoj tčki gltke površi, p n S definišemo funkcije n = n(x,y,z) i n = n(x,y,z). Nek je F neprekidno vektorsko polje definisno n S. Sklrni proizvod F n (ili F ( n)) je sklrn funkcij koju možemo d integrlimo po S, p ćemo površinski integrl vektorske funkcije F definisti ko površinski integrl sklrne funkcije F n n sledeći nčin, F d S := F (± n)ds. S S U zvisnosti od tog po kojoj strni površi S integrlimo, uzimmo dekvtnu normlu n ili n. Površinski integrl vektorske funkcije zove se još i površinski integrl druge vrste.

50 Motivcij z definisnje površinskog integrl vektorskog polj dolzi iz fizike, ko rešenje problem rčunnj fluks vektorskog polj F kroz površ S. o dte definicije dolzi se n isti nčin ko kod krivolinijskog integrl druge vrste, dkle podelom površi S n mle S ij, itd. Ako je r(u,v), (u,v) R 2, prmetrizcij površi S, i n vektor normle n željenu strnu površi S, immo d je F d S = F nds = F ( r u r v )da, S S jer je n = r u r v r u r v i ds = r u r v da. Ako preciznije zpišemo r(u,v) = x(u,v) i+y(u,v) j + z(u,v) k, (u,v), i r u r v = (y u z v z u y v ) i+(z u x v x u z v ) j +(x u y v y u x v ) k, možemo uvesti oznku dx dy := (x u y v y u x v )dudv, i pomoću ovih oznk dobijemo još jedn oblik (zpis) površinskog integrl druge vrste, F d S = F ( r u r v )dudv = P dy dz +Qdz dx+rdx dy, S z F = (P,Q,R). Primer 44 Nćifluksvektorskogpolj F = (x,1,yz)krozpovršs : r(s,t) = (cost,sint,s), t [0,2π], s [0,1]. Površ S je omotč vljk visine 1, čij je bz krug s centrom u koordinntnom početku poluprečnik 1 koji leži u (x, y)-rvni. Normlu dobijmo iz r s r t = cost i sint j. Ovj vektor je dužine 1, p ko integrlimo po spoljnoj strni površi S, z jediničnu normlu ćemo uzeti n = cost i+sint j. kle, Φ = S (x,1,yz) d S = 2π 1 0 0 (cost,1,ssint) (cost,sint,0)dsdt = π. Ako je S deo grfik neke funkcije z = f(x,y), orijentciju normle je lkše odrediti,

51 jer joj je treć komponent uvek konstntn. N primer, ko je S deo grfik funkcije z = 1 x 2 y 2 iznd (x,y) rvni, prmetrizcij joj je (kd z prmetre uzmemo bš x i y) r(x,y) = x i+y j +(1 x 2 y 2 ) k, (x,y) K, gde je K R 2 krug s centrom u (0,0) poluprečnik 1. Td je n = ±(2x,2y,1), odnosno n 1 = (2x,2y,1) norml n spoljšnju strnu površi S, n 2 = ( 2x, 2y, 1) norml n unutršnju strnu površi S. Td je S + F d S = S F n 1 ds = K (4xy +1 x 2 y 2 )da = π 2. Oznku S + koristimo kd hoćemo d istknemo d integrlimo po spoljšnjoj strni površi S. 5.3.1 Stoksov teorem Znmo d je Grinov teorem, u R 2, povezivl dvostruki integrl po oblsti i krivolinijski integrl po konturi. Sledeć teorem će povezivti krivolinijski integrl po konturi S u R 3, s površinskim integrlom po površi S ogrničenoj tom konturom. Orijentcij ovkve površi i orijentcij konture koj je ogrničv su povezne prvilom desne ške. Nime, ko prsti desne ške pokzuju smer orijentcije konture, td plc pokzuje smer normle n površ. Teorem 45 Nek je: = S po delovim gltk kontur; S dvostn po delovim gltk površ ogrničen konturom, čij je orijentcij indukovn orijentcijom krive ; F = (P,Q,R) vektorsk funkcij klse 1 n nekom otvorenom skupu koji sdrži S. Td je F d r = curl F d S. S S okz: okz ćemo izvesti u specijlnom slučju kd je S deo grfik funkcije z = g(x,y), (x,y), g 2 (), je gltk kontur. Td je S dt prmetrizcijom r(x,y) = (x,y,g(x,y)), (x,y) i r x r y = ( g x (x,y), g y (x,y),1).

52 n Izberimo pozitivnu orijentciju konture 1 =, koj indukuje pozitivnu orijentciju konture = S, što opet indukuje izbor normle k gore, n = ( g x (x,y), g y (x,y),1). S Nek je 1 I 1 = curl F d S = ( gx (R y Q z ) g y (P z R x )+(Q x P y ) ) dxdy. S lje, nek je prmetrizcij krive 1 dt s r 1 (t) = x(t) i + y(t) j, t [,b]. Td je prmetrizcij krive, pošto leži n površi S, dt s r(t) = x(t) i + y(t) j + g(x(t),y(t)) k, t [,b], p je d r(t) = ( ) x (t), y (t),g x (x(t), y(t))x (t)+g y (x(t),y(t))y (t) dt, t [,b]. Sd rčunmo, I 2 := F d r = b (P x +Qy +Rz x x +Rz y y )dt = 1 (P +Rz x )dx+(q+rz y )dy, jer je z = g(x,y). Sd primenimo Grinovu formulu, jer je 1 rvnsk kriv, i dobijemo d je I 2 = ( x (Q+Rz y ) y (P+Rz x ) ) dxdy = ( gx (R y Q z ) g y (P z R x )+(Q x P y ) ) dxdy. Ko posledic Stoksoveteoreme vidimo d ko je rotorvektorskogpolj F jednk nuli, njegov krivolinijski integrl po svkoj konturi je nul, što znči d krivolinijski integrl vektorskog polj F ne zvisi od putnje integrcije, odnosno d je F konzervtivno polje. Od rnije znmo d vži i obrtno tvrd enje, tko d možemo zključiti d vži sledeć posledic. Posledic 46 Vektorsko polje F 2 (R 3 ) je konzervtivno ko i smo ko je curl F = 0. Primer 47 Krivolinijski integrl vektorskog polj F = y 2 i + x j + z 2 k po krivoj koj leži u preseku rvni y + z = 2 i cilindr x 2 + y 2 = 1, lko možemo izrčunti primenom Stoksove

53 teoreme. Kko je curl F = (1+2y) k, to je I = (0,0,1 2y) d S = (1 2y)dx dy S S gde je S deo rvni z = f(x,y) = 2 y unutr cilindr x 2 +y 2 = 1, odnosno onj deo rvni koji se projektuje n krug K : x 2 +y 2 1 u (x,y)-rvni. lje je I = K (1 2y)dxdy = 2π 1 0 0 (1+2ρsinφ)ρdρdφ = π. 5.3.2 Teorem divergencije Treć teorem koj povezuje dv tip integrl zove se Teorem divergencije ili Teorem Gus- Ostrogrdskog. Pre formulcije podsetimo se drugog vektorskog oblik Grinove teoreme, odnosno integrl po normli vektorskog polj po rvnskoj konturi, F ndl = div F(x,y)dA, gde je = R 2 rvnsk pozitivno orijentisn po delovim gltk kontur koj ogrničv oblst, F 1 (U), gde je U otvoren skup koji sdrži. Proširenje ove formule n R 3 dje sledeć teorem, koju ovde nvodimo bez dokz. On povezuje površinski integrl vektorskog polj po ztvorenoj površi S = V, s trostrukim integtlom po telu V divergencije dtog vektorskog polj. Teorem 48 Nek je: S po delovim gltk, ztvoren površ, orijentisn k spolj, koj ogrničv telo V R 3 ; F = P i+q j+r k, vektorsko polje klse 1 n nekom otvorenom skupu koji sdrži V S. Td je F d S = div F dv. S V Primer 49 Potržimo fluks vektorskog polj F = z i + y j + k k kroz jediničnu sferu x 2 +y 2 +z 2 = 1, primenom teoreme divergencije, φ = S 2 F d S = L 3 div F dv = L 3 (0+1+0)dV = 4 3 π.

54 Izrčunjmopovršinskiintegrl funkcije F(x,y,z) = ( xy,y 2 +e xz2,sin(xy) ), po spoljšnjoj strni tel T ogrničenog prboličnim cilindrom z = 1 x 2 i rvnim z = 0, y = 0 i y +z = 2. n 4 Površ po kojoj integrlimo je po delovim n 1 n 3 gltk, tčnije, sstoji se od četiri gltke površi, p bismo direktnim rčunnjem inte- x n 2 y grl rčunli ko zbir četiri površinsk integrl. Med utim površ je ztvoren, funkcij gltk, p možemo primeniti teoremu divergencije. kle, S F d S = T (y +2y+0)dV = 184 35.