4. Zatvorene trajektorije i granic ni cikl dvodimenzionalnog nelinearnog DS

4. Zatvorene trajektorije i granic ni cikl dvodimenzionalnog nelinearnog DS Nelinearan sistem DJ: dx (1) = f (x, y), dy = g(x, y) gde je f, g C 1 (E), E R, t R. Linearizacija nelinearnog DS je lokalni metod ispitivanja stabilnosti DS: ona daje detaljnu informaciju o trajektorijama u blizini PR, ali ne pruz a nikakvu informaciju o ponas anju trajektorija kada one napuste okolinu PR. Primer 4.1. Posmatrajmo, nelinearni DS dx x x dy y y = y (x + y ), = x + (y + x ). Jedini poloz aj ravnotez e sistema je (, ). Jakobijeva matrica je 1/ 1 J(, ) =, 1 1/ () c ije su sopstvene vrednosti λ1, = 1 ± i, pa je (, ) nestabilan fokus linearizovanog sistema. Kako je Re(λ1, ) 6=, (, ) je hiperbilic na tac ka mirovanja linearizovanog sistema, to je ona nestabilan fokus i nelinearnog DS (Slika 1) 4 1 - -1 1 - -1-4 - -4-4 Slika 1: Primer 4.1. (a) fazni portret linearizovanog sistema za PR (, ); (b) fazni portret nelinearnog DS Da bi detaljnije analizirali nelinearan sistem, prelazimo na polarne koordinate: x = r cos θ, y = r sin θ i dobijamo nelinearan sistem oblika (3) dr r(1 r ) dθ r = =, θ = = 1, 1

i diferencijalnu jednačinu (4) Opšte rešenje sistema DJ (3) je dr dθ = r(1 r ). et/ r = ±, θ = t + c, et + c 1 a opšte rešenje DJ (4) je eθ/ r(θ) = ±. eθ + c 1 Sledi da θ(t) ± ako i samo ako t ±. Sve trajektorije rotiraju oko (, ) sa istom ugaonom brzinom θ = 1. Kako je r = za r = ili r = 1, sva rešenja koja polaze sa jedinične kružnice ostaju na njoj za svako t i kreću se periodično po toj kružnici. Ako je < r < 1, tada je dr >, pa rešenje r = r(θ) monotono raste kada dθ θ. Kako θ kada t, sve fazne trajektorije unutar jedinične kružnice spiralno se udaljavaju od (, ) i približavaju krivoj r = 1 kad t. (Slika 1-(b).) Ako je r > 1, tada je dr <, pa je r = r(θ) monotono opadajuća funkcija, dθ tako da se sve fazne trajektorije koje polaze iz neke tačke oblasti izvan jedinične kružnice, spiralno se približavaju kružnici r = 1 kad t. Dakle, iako nam u prethodnom Primeru linearizacija daje tačnu sliku faznog portreta posmatranog nelinearnog DS u okolini koordinatnog početka, zaključak o ponašanju trajektorija izvan te okoline, odnosno u okolini jedinične kružnice (graničnog cikla DS) ne možemo izvesti ispitivanjem linearizovanog sistema, već samo analizom samog nelinarnog DS. Pored toga, primećujemo da ovakav fazni portret nema ni jedan linearan DS. Naime, egzistencija graničnog cikla je isključivo nelinearna pojava. Pojam graničnog cikla uveo je francuski matematičar Poankare 1 i dao neke kriterijume egzistencije graničnih cikala. Definicija 1 Granični cikl dinamičkog sistema (1) je zatvorena fazna trajektorija γ tog sistema, za koju postoji okolina sa faznim trajektorijama po kojima se fazne tačke neograničeno približavaju krivoj γ kad t ili t. 1 Henri Poincaré (1854 191), francuski matematičat i fizičar

Granični cikl se vrlo često definiše i kao izolovana fazna trajektorija, tj. da postoji okolina oko γ u kojoj nema drugih zatvorenih faznih trajektorija izuzev γ. S obzirom da fazne trajektorije sistema (1) nemaju tačaka preseka, polazeći iz neke tačke u blizini graničnog cikla one se mogu samo spiralno približavati graničnom ciklu ili udaljavati od graničnog cikla (namotavati se oko njega), okružujući ga sa unutrašnje ili spoljašnje strane. Slika U odnosu na ponašanje faznih trajektorija DS u blizini graničnog cikla, razlikuju se sledeći tipovi: Ako se sve fazne trajektorije približavaju graničnom ciklu kad t (sa spoljne i unutrašnje strane), granični cikl je stabilan (Slika -(a)); Ako se sve fazne trajektorije približavaju graničnom ciklu kad t (sa spoljne i unutrašnje strane), granični cikl je nestabilan (Slika -(b)); Ako se fazne trajektorije približavaju graničnom ciklu sa jedne strane kad t, a sa druge strane kad t, granični cikl je polustabilan (Slika -(c)) Odnosno, fazne trajektorije se približavaju graničnom ciklu iznutra (spolja), a udaljavaju od njega spolja (iznutra) kad t. U Primeru 4.1. jedinična kružnica je stabilan granični cikl DS (). Primer 4.. Ispitati da li sistem DJ ( ( ) x = y + x x + y 1) x + y ( ( ) y = x + y x + y 1) x + y ima graničnih cikala. Rešenje: Pre svega, tačka (, ) je jedini položaj ravnoteže ovog sistema. Ali kako dato vektorsko polje f(x, y), g(x, y) ( ( ) f(x, y) = y + x x + y 1) x + y 3

( ( ) g(x, y) = x + y x + y 1) x + y nije diferencijabilno u (, ) Teorema Hartman-Grobmana se ne može primeniti i ponašanje trajektorija u okolini PR ne može se odrediti linearizacijom. Izvršimo transformaciju sistema DJ uvod enjem polarnih koordinata x = r cos ϕ, y = r sin ϕ: (5) dr Opšte rešenje ovog sistema DJ je r = 1 ± = r(r 1)(r ), dϕ = 1. 1 1 + c1 e t, ϕ = t + c. Odavde sledi da ϕ ± ako i samo ako t ±. Kako je granični cikl izolovana zatvorena kriva, iz opšteg rešenja sledi da ovaj sistem ima dva granična cikla: r = 1 (za c 1 = ) i r = (za c 1 = ), koji okružuju položaj ravnoteže. Ostaje da se ispita njihov tip. Ako je < r < 1, tada je dr dϕ >, pa rešenje r = r(ϕ) monotono raste kad ϕ ; ako je 1 < r <, tada je dr dϕ <, pa rešenje r = r(ϕ) monotono opada kad ϕ. Kako ϕ kada t, sve fazne trajektorije u blizini krive r = 1 spiralno se približavaju toj trajektoriji kad t. Dakle, r = 1 je stabilan granični cikl. 4 4 4 4 Slika 3: Primer 4.. fazni portret nelinearnog DS Ako je 1 < r <, iz dr dϕ < sledi da se sve fazne trajektorije koje polaze iz ovog prstena u blizini krive r =, udaljavaju od ove krive kad t ; ako je r >, tada je dr dϕ >, pa je r = r(ϕ) monotono rastuća funkcija, tako da se sve 4

fazne trajektorije koje polaze iz neke tačke oblasti r >, u blizini krive r =, udaljavaju od nje kad t. Dakle, r = je nestabilan granični cikl. U prethodnim primerima bilo je moguće efektivno odrediti jednačine graničnih cikala. Med utim, u opštem slučaju to nije uvek jednostavno, a najčešće nije ni moguće. Postoje mnogobrojni kriterijumi kojima se utvrd uje postojanje ili nepostojanje zatvorenih faznih trajektorija i graničnih cikala dinamičkog sistema, što je od posebne važnosti u primenama u kojima je potrebno utvrditi stabilnost režima rada nekog fizičkog sistema. 4.1. Nepostojanje graničnog cikla DS Predstavićemo sada četiri različita postupka za odbacivanje mogućnosti postojanja zatvorenih trajektorija. Da bi pokazali da DS nema granični cikl u nekoj oblasti, možemo koristiti: Gradijentni sistem Dulacov kriterijum Funkcija Ljapunova Indeks položaja ravnoteže Gradijentni sistemi Ako postoji funcija G C (E), E R tako da se DS može zapisati u obliku (6) X = G(X), onda se DS naziva gradijenti sa potencijalnom funkcijom G. DS (1) je gradijentni ako postoji funcija G C (E), tako da je f(x, y) = G (x, y), x Dakle, DS (1) je gradijentni ako f y g(x, y) = G(x, y), (x, y) E. y g (x, y) = (x, y), (x, y) E. x Teorema 1 U gradijentnim dinamičkim sistemima ne postoje zatvorene trajektorije. 5

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, da postoji zatvorena trajektorije. Tada postoji T > tako da se posmatrana tačka, nakon perioda T, vraća u isti položaj u faznoj ravni. U specijalnom slučaju, X(T ) = X(), odakle je G(X(T )) = G(X()), odnosno priraštaj funkcije G je tokom jednog perioda jednak nuli (7) G = G(X(T )) G(X()) =. S druge strane G(X(T )) G(X()) = T = što je u suprotnosti sa (7). T dg(x(t)) = T X (t) < G(X(t)) X (t) Primer 4.3. Dokazati da ne postoje zatvorene trajektorije DS x = sin y, y = x cos y. Rešenje: DS je gradijenti sa potencijalnom funkcijom G(x, y) = x sin y, jer je G/ x = sin y i G/ y = x cos y. Prema Teoremi 1 ne postoje zatvorene trajektorije datog DS. Dulacov kriterijum Teorema (Dulacov Kriterijum) Neka je X = (f, g) C 1 (E), gde je E jednostruko povezana oblast u faznoj ravni. Ako postoji funkcija v C (1) (E), tako da funkcija div(vx) = x (vf) + y (vg) ne menja znak u E, tada u oblasti E DS (1) nema zatvorenih trajektorija (nema periodičnih rešenja u E). Dokaz: Pretpostavimo suprotno da u E postoji zatvorena trajektorija Γ sa periodom T : Γ : x = x(t), y = y(t), t T. 6

Neka je G oblast unutar krive Γ. Primenom Grinove formule imamo [ x (vf) + ] y (vg) dxdy = (vf dy vgdx) G = = Γ T T ( vf dy vgdx ) v (fg gf) = što je suprotno pretpostavci da div(vx) u E. Dakle, DS (1) nema zatvorenih trajektorija u E. Nedostatak ovog postupka je što ne postoji algoritam za nalaženje funkcije v(x), x R 1. Pokazalo se da su funkcije, e ax i e ay vrlo često dobro probno x α y β rešenje za funkciju v(x, y). Primer 4.4. Dokazati da dinamički sistemi (a) x = x( x y) y = y(4x x 3) (b) x = xy y 4 y = x y xy 3 nemaju zatvorenih trajektorija u R. Rešenje: (A) DS ima četiri PR: (, ) - sedlo (3, 1) - stabilan fokus (, ) - sedlo (1, 1) - stabilan fokus x nula-izokline su x =, x + y =, a y nula-izokline su y =, x = 1, x = 3. Nula-izokline sa poljem pravaca i PR prikazani su na Slici 4-(a). Ako izaberemo v(x, y) = 1/xy, x, y, dobijamo div(vx) = x (vf) + y (vg) = ( ) x y + ( 4x x ) 3 = 1, x, y. x y y x y Dakle, prema Teoremi sistem nema zatvorenih trajektorija ni u jednom od četiri kvadranta. 7

Kako je za x = : x =, y = 3y za y pravac vektorsog polja je duž negativne y ose, a duž pozitivne y ose (Sl. 4-(a)) Kako je za y = : y =, x = x( x), duž x ose pravac vektorsog polja je za < x <, a za x < i x > (Sl. 4-(a)) Dakle, koordinatne ose su invarijantni skupovi DS - sadrže pravolinijske trajektorije DS. Prema tome, kako se trajektorije DS ne mogu seći, ne postoje zatvorene trajektorije koje bi presecale ma koju od koordinatnih osa. (B) Slika 4: Nula-izokline i položaju ravnoteže DS u Primeru 4.4. div(x) = f x + g y = 3x y = ako i samo ako je x = ili y =. Medjutim, duž x = je x = y 4, y = y, tako da je pravac vektorsog polja duž y ose. Za y = je x = i y = x, pa je pravac vektorsog polja duž x ose (Sl. 4-(b)). Dakle, zatvorena trajektorija ne može presecati ni jednu od koordinatnih osa, odnosno granični cikl se mora nalaziti u jednom od četiri kvadranta. Medjutim, prema Teoremi kako je div(x) u svakom od kvadranata, sistem nema zatvorenih trajektorija ni u jednom od četiri kvadranta. Primer 4.5. Dokazati da dinamički sistem x = y nema zatvorenih trajektorija u R. y = x y + x + y 8

Rešenje: Ako izaberemo v(x, y) = e x, dobijamo div(vx) = e x y + e x ( 1 + y) = e x <, (x, y) R. Dakle, prema Teoremi sistem nema zatvorenih trajektorija u celoj faznoj ravni. DS ima dva PR (, ) - stabilan fokus, i (1, ) - sedlo. x nula izoklina je y =, a y nula izoklina je y = 1 ± 1 4x + 4x 4y 4y + 1 + 4x 4x + 1 = (x 1) + (y 1) = Nula-izokline sa poljem pravaca i PR prikazani su na Slici 5. Slika 5: Nula-izokline i položaju ravnoteže DS u Primeru 4.5. Posmatrajmo DS Funkcija Ljapunova (8) x = f(x), f C 1 (E) sa fiksnom tačkom x = x E. Za funkciju V C 1 (E) izvod funkcije duž proizvoljnog rešenja x(t) je (9) V (x) = dv (x(t)) = n i=1 V (x) x i dx i = n i=1 V (x) x i f i (x) = V (x) f(x), x E. Definicija Funkcija V (x) neprekidna i sa neprekidnim parcijalnim izvodima prvog reda u E, naziva se funkcija Ljapunova DS (8) ako je 9

1. V (x ) = ;. V (x) > za svako x E, x x ; 3. V (x) = dv (x(t)), x E, x x. Uslov (3) znači da je funkcija Ljapunova nerastuća duž proizvoljne trajektorije x(t). Uslovi (1) i () znače da je funkcija V (x) pozitivno definitna. Teorema 3 Ako postoji funkcija Ljapunova DS (8) za koju je V (x) < za svako x E, x x, onda taj DS nema zatvorenih trajektorija u E. Dokaz: Pretpostavimo suprotno, da postoji zatvorena trajektorija x E. Tada postoji T > tako da se posmatrana tačka, nakon perioda T, vraća u isti položaj u faznoj ravni. U specijalnom slučaju, x(t ) = x(), odakle je V (x(t )) = V (x()), odnosno priraštaj funkcije V je tokom jednog perioda jednak nuli V = V (x(t )) V (x()) =. S druge strane, prema (9) je = V (x(t )) V (x()) = što je kontradikcija. T dv (x(t)) = T V (t) <, x E, Slika 6: Funkcija Ljapunova Egzistencija funkcije Ljapunova povlači da su sve trajektorije monotone duž grafika V (x) prema PR x (Slika 6). U ovom slučaju, trajektorije se nigde ne zaistavljaju jer je prema pretpostavci V < svuda osim u x. Primer 4.6. Dokazati da dinamički sistem nema zatvorenih trajektorija u R. x = x + 4y y = x y 3 1

Rešenje: Posmatrajmo funkciju V (x, y) = x + ay. Tada je V = xx + ayy = x( x + 4y) + ay( x y 3 ) = x + (4 a)xy ay 4. Ako izaberemo a = 4, dobija se V = x 8y 4, tako da je V > i V < za svako (x, y) (, ). Dakle, V (x, y) = x + 4y je funkcija Ljapunova datog DS koja zadovoljava uslov da je V <, pa prema Teoremi 3. ne postoji granični cikl DS. Primetimo da je jedini PR (, ) koji linearizacijom utvrdjujemo da je stabilan fokus nelinarnog DS. Indeks položaja ravnoteže DS Indeks zatvorene krive u odnosu na vektorsko polje: Neka je F = (P, Q) glatko vektorsko polje u faznoj ravni. Singularna tačka ili kritična tačka X = (x, y ) vektorskog polja je tačka za koju je F (X ) = (P (x, y ), Q(x, y )) = (, ). Neka je C : [a, b] R zatvorena glatka kriva bez samoporeseka koja ne prolazi kroz singularnu tačku vektorskog polja. U svakoj tački X(x, y) krive C vektor vektorskog polja F zaklapa sa pozitivnim delom x ose ugao Q(x, y) Θ(x, y) = arctg P (x, y) Slika 7: Indeks zatvorene krive u odnosu na vektorsko polje Ako je F C 1 (R ), to je dθ/ C(R ). Kada se tačka X kreće po krivoj C suprotno kretanju kazaljki na satu, ugao Θ menja se neprekidno (jer je vektorsko polje glatko). Ako se tačka X kreće po krivoj C u smeru suprotnom kretanju kazalji na satu (Slika 7.) i ponovo dod e u početni položaj, ugao Θ dobija priraštaj Θ = nπ, n Z. Neka je [Θ] C najveći ceo broj promena ugla Θ za jedan ceo krug. Tada broj I C (F ) = [Θ] C π 11

nazivamo indeks zatvorene krive C u odnosu na vektorsko polje F C 1 (R ) i označavamo sa I C (F ). Broj I C (F ) je najveći ceo broj okretaja u smeru suprotnom kretanju kazalji na satu koji napravi vektorsko polje dok tačka X = (x, y) pred e jednan pun krug duž krive C u smeru suprotnom kretanju kazalji na satu. Indeks zatvorene krive C u odnosu na vektorsko polje F = (P, Q) dobija se preko krivolinijskog integrala I C (F ) = 1 π = 1 π C C ( d arctg P ) Q dθ = 1 π C P P dq QdP = 1 P + Q P π C P dq QdP P + Q. Ako je zatvorena kriva C : [a, b] R zadata parametarskim jednačinama C : x = x(t), y = y(t), a t b, onda je indeks krive u odnosu na vektorsko polje F jednak I C (F ) = 1 b P (x(t), y(t)) ( Q x (x(t), y(t))x (t) + Q y (x(t), y(t))y (t) ) π a P (x(t), y(t)) + Q(x(t), y(t)) Q(x(t), y(t))( P x (x(t), y(t))x (t) + P y (x(t), y(t))y (t) ) (1). P (x(t), y(t)) + Q(x(t), y(t)) Slika 8: Indeks zatvorene krive u odnosu na vektorsko polje Da bi odredili indeks zatvorene krive nije neophodno poznavati vektorsko polje u celoj ravni, već samo duž krive C. Indeks krive C na Slici 8-(levo) i Slici 8-(desno) odredjujemo tako što vršimo translaciju svih vektora (bez rotacije) tako da svi vektori imaju zajednički početak, čime dobijamo Slike 8-(b). Indeks krive C na Slici 8-(levo) je I C = +1, dok je indeks krive C na Slici 8-(desno) I C = 1. 1

Primer 4.7. Za vektorsko polje F = (f, g) = (x y, x y ) naći indeks I C (F ) krive C : x + y = 1. Rešenje: Pravac vektorsko polja odredićemo u nekoliko karakterističnih tačaka (±1, ), (, ±1), (± /, ± /). Za (x, y) = (1, ) vektorsko polje je (f, g) = (, 1) i taj vektor je na Slici 9.-(a) označan sa #1. Dalje, za (x, y) = ( /, /) vektorsko polje je (f, g) = ( /4, ), označeno sa #, itd. Translacijom svih vektora (bez rotacije) tako da svi vektori imaju zajednički početak dobijamo Sliku 9-(b). Kretanjem od #1 do #9, vektori rotraju najpre za 18 u smeru kazalji na satu izmed u #1 i #3, zatim za 36 u smeru suprotnom kretanju kazalji na satu izmed u #3 i #7 i konačno rotiraju opet za 18 u smeru kazalji na satu izmed u #7 i #9. Dakle, I F (C) = [Θ] C = π + π π =. Slika 9: Indekse krive x + y = 1 u odnosu na vektorsko polje (x y, x y ) Indeks krive C u odnosu na dato vektorsko polje možemo izračunati i pomoću (1). Kako su parametarske jednačine jedinične kružnice x = cos t, y = sin t, t π i imamo I C (F ) = 1 π = 1 π P x (x, y) = xy, P y (x, y) = x, Q x (x, y) = x, Q y (x, y) = y π π cos t sin t ( 4 sin t cos t ) (cos t sin t)( cos t sin t cos 3 t) cos t + sin t ( cos t sin t + cos t cos t(cos t sin t) ) =. 13

Svojstva indeksa zatvorene krive u odnosnu na vektorsko polje: A Ako se kriva C neprekidnom transformacijom preslikava u krivu C bez prolaska kroz kritičnu tačku vektorskog polja, onda je I F (C) = I F (C ). B Sa promenom orjentacije svih vektora vektorskog polja smenom t t, indeks zatvorene krive se ne menja. Teorema 4 Neka je C zatvorena kriva i D ograničena oblast čiji je rub D = C. Ako je F neprekidno vektorsko polje koje nema singularnih tačaka u D tj. F (X) za svako X D, onda je indeks krive C u odnosu na vektorsko polje F jednako nuli. Odnosno, ako je I C (F ), vektorsko polje F ima u oblasti D ograničenoj krivom C (unutar krive C) singularnu tačku. Indeks u odnosu na vektorsko polje zatvorene trajektorije C koja ne okružuje niti jedan položaj ravnoteže DS je I C (F ) =, tj. ako je I C (F ), zatvorena fazna trajektorija C okružuje neki položaj ravnoteže DS. Teorema 5 Granični cikl DS okružuje bar jedan položaj ravnoteže DS. Iz Teoreme 5. zaključujemo: ako DS (1) nema PR, onda nema ni graničnog cikla. Indeks položaja ravnoteže DS indeks singularne tačke vektorskog polja: Definicija 3 Neka je F C 1 (E), gde je E otvoren podskup od R i neka je X E izolovani PR vektorskog polja F = (f, g). Indeksom položaja ravnoteže X DS (1), odnosno indeksom singularne tačke X vektorskog polja F, nazivamo indeks u odnosu na vektorsko polje F proizvoljne zatvorene krive C bez samopreseka koja okružuje tačku X, ali ne i neki drugi položaj ravnoteže DS. Posmatrajmo PR P i kružnice γ i µ sa centrom u tom PR i dokažimo da je I γ (P ) = I µ (P ). Na prstenu A je F (X) pa prema Teoremi 4 je indeks krive A u odnosnu na vektorsko polje F jednak nuli. Spojimo kružnice γ i µ dužima c 1 i c koje dele kružnice na polukružnice γ 1, γ i µ 1, µ (Slika 1). Tada je A 1 = µ + 1 c+ 1 γ 1 c+ i A = µ + c 1 γ c. Dakle, = I A = I A1 + I A = I µ + 1 + I γ 1 + I µ + + I γ = I µ I γ I µ = I γ. 14

Slika 1 Dakle, indeks položaja ravnoteže X DS je nezavistan od krive C i samim tim je svojstvo samo položaja ravnoteže, pa će biti označen sa I F (X ). Primer 4.8. Odrediti indeks čvora, fokusa, centra i sedla. Rešenje: Slika 11: Indeks položaja ravnoteže vektorskog polja (a) nestabilan čvor; (b) sedlo; (c) centar Vektorsko polje u okolini stabilnog čvora (Slika 1-(a)) je oblika kao na Slici 8-(levo), pa je I = +1. Vektorsko polje u okolini nestabilnog čvora je kao na Slici 1-(b). Indeks nestabilnog čvora je takod e I = +1, jer je jedina razlika u orjentaciji vektora, a prema svojstvu () indeks se ne menja. Vektorsko polje u okolini sedla (Slika 1-(c)) je oblika kao na Slici 8-(desno), pa je I = 1. Vektorsko polje u okolini stabilnog fokusa je kao na Slici 13-(a), pa je I = +1. Indeks nestabilnog fokusa je takod e I = +1, jer se prema svojstvu (B) indeks se ne menja. Vektorsko polje u okolini centra je kao na Slici 13-(b), pa je I = +1. 15

.6.4.4..... -. -. -. -.4 -.4 -.4.4. -.6 -.6 -.4 -....4 -.4.6 -... -.4.4 -....4 Slika 1: Vektorsko polje u okolini (a) stabilnog c vora; (b) nestabilnog c vora; (c) sedla.4.4.... -. -. -.4 -.4 -.4 -... -.4.4 -....4 Slika 13: Vektorsko polje u okolini (a) stabilnog fokusa; (b) centra Indeks se moz e odrediti izrac unavanjem krivolinijskog integrala (1) uzimajuc i za proizvoljnu krivu koja okruz uje PR (, ) jedinic nu kruz nicu C : x = cos t, y = sin t, t π, i za vektorska polja za nestabilan c vor: F = (x, y) za fokus: F = (x + y, x + y) za centar: F = (y, x) za sedlo: F = (x, y) Teorema 6 [Poenkareova indeksna teorema] Neka je F C 1 (E), gde je E otvoren podskup od R koji sadrz i zatvorenu krivu C i D ogranic ena oblast c iji je rub D = C. Ako su X1, X,..., XN singularne tac ke tog vektorskog polja unutar oblasti D. Ako je F (X) 6= za svako X C, onda vaz i IC (F ) = I1 + I + + IN gde je Ik = IF (Xk ) indeks singularne tac ke Xk vektorskog polja F. Skica Dokaza: Konstruis imo kruz nice Ci sa centrima u PR xi, i = 1,,..., N (Slika 14) tako da unutar kruga nema drugih PR i duz i Ai, i =, 1,..., N koje 16

Slika 14: Poenkareova indeksna teorema spajaju krivu C i kružnice C i, a kojima su kružnice C i podeljene na gornje i donje polukružnice C i + i Ci. Neka je J 1 = C + A + C+ 1 A+ 1 C+ N A+ N J = C A N C N A 1 C 1 A Tada prema Teoremi 4 je I J1 = I J =, odakle kako su C + i i C i obe negativne orjentacije biće = I J1 + I J = I C + + I A + I C + 1 + I A + 1 + I C + N + I A + N +I C + I A I N C + + I N A I 1 C1 + I A odnosno kako je A + = A dobija se N N = I C I Ck I C = I k. k=1 Teorema 7 Indeks zatvorene trajektorije DS (1) u odnosu na vektorsko polje F = (f, g) je jednak +1. Iz Teoreme 6 i Teoreme 7 sledi: Teorema 8 Zbir indeksa položaja ravnoteže DS unutar zatvorene trajektorije odnosno graničnog cikla DS je jednak +1. Iz Teoreme 8 i Primera 4.8. sledi: Ako zatvorena trajektorija okružuje samo jedan PR, onda PR nije sedlo. Primer 4.9. Za dinamički sistem x = x(3 x y) y = y( x y) 17 k=1

dokazati da ne postoji granični cikl. Rešenje: DS ima četiri PR: (, ) - nestabilan čvor (, ) - stabilan čvor (3, ) - stabilan čvor (1, 1) - sedlo Indeksi ovih PR prikazani su na Slici 15. Ako bi postojala izolovana zatvorena trajektorija, ona bi mogla da se nalazi u tri kvalitativno različita položaja C 1, C, C 3 prikazana na Slici 15. Slika 15: Primer 4.9. - indeks položaja ravnoteže zatvorena trajektorija C 1 ne može postojati, jer ne okružuje niti jednu PR - prema Teoremi 5; zatvorena trajektorija C ne može postojati, jer zbir indeksa položaja ravnoteže unutar graničnog cikla mora biti jednak +1 (Teorema 8); kako je x = za x = i y = za y = koordinatne ose su invarijantni skupovi DS i sadrže pravolinijske trajektorije. Zatvorena trajektorija C 3 ne može postojati (iako je zbir indeksa položaja ravnoteže unutar nje jednak +1), jer bi takva zatvorena trajektorija uvek presecala x osu (y = ) ili y osu (y = ), što je u suprotnosti sa činjenicom da se trajektorije DS ne mogu seći. 18