Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< < < K< = Numărul ( m = se umeşte orm dvzu Spuem că dvzue ' este m fă decât dvzue ş otăm p dcă ' coţe pe lâgă puctele dvzu ş lte pucte Î coture, petru orce fucţe f : [, ], mărgtă, otăm cu: m = f{ f ( ; [, ] }, M = sup{ f ( ; [, ] }, = f { ( ; [, ]}, M sup { f( ; [, ]} m f = Evdet u loc egltăţle: m m M M, =, ( Sum Drou feroră (superoră se defeşte stfel: = ( ( = s = m, respectv S = M D puct de vedere geometrc, ceste sume repreztă rle evdeţte î fgură y y f s f S m M O = = O = = D ( rezultă că petru orce dvzue vem:
2 ( ( m s S M (2 Lem 2 Dcă p, tuc s s' S' S Demostrţe Fe : = < < K< < < K< = Presupuem că dvzue ' coţe pe lâgă puctele dvzu, u sgur puct î plus ş ume, puctul c, stut ître ş m f f ( ;, c m = f f ( ; c, Fe = { [ ]} ş { [ ] } Deorece m m ş m m, rezultă ( ( ( ( ( s s = m c + m c m Aşdr, m rătt că ' m c + c m = s s ' Evdet, dcă presupuem că dvzue ' coţe pe lâgă puctele dvzu m multe pucte (dstcte c, K, cp, rţometul este semăător Demostrţ egltăţ S ' S este logă ş rămâe î sem cttorulu s Lem 22 Petru orce două dvzu ' ş " le tervlulu [, ], vem S ' " Demostrţe Fe = U dvzue cre costă d reuue puctelor dvzulor ' ş " Evdet vem p ş p D Lem 2 rezultă: s s S S D egltăţle (2 rezultă că mulţme de umere rele { s } de umărul M(, r mulţme de umere rele { S } umărul m( r I * Notăm cu I* = sup s ş cu se umeşte tegrl feroră Lem 23 I I * I este mjortă este mortă de = f I se umeşte tegrl superoră S
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 2 Demostrţe D Lem 22 rezultă că: s ' S ", orcre r f dvzule ' ş " Fâd petru momet dvzue " oţem: I* = sup s S Cum " fost rtrră, î coture vem I* f S = I Defţ 22 Fe f : [, ] o fucţe mărgtă Spuem că f este (D- tegrlă (tegrlă î sesul lu Drou pe [, ] dcă I* = I = I Vlore comuă I o otăm cu f ( d Lem 24 Petru orce >, estă δ > stfel îcât orcre dvzue tervlulu [, ] cu < δ vem: * I < s S < I + (4 Demostrţe Vom demostr egltte I* < s, lăsâd î sem cttorulu demostrţ celellte egltăţ Deorece I * = sup s rezultă că > estă o dvzue tervlulu [, ] stfel îcât: I* < s 2 Să presupuem că : = c < c < K< ck < K < cp = m ( k ck k p Fe µ = c ş fe : = < < K< < < K < = o dvzue tervlulu [, ] cu < µ Dcă otăm cu = tervlul [ ], se flă cel mult u puct c d dvzue k U, tuc î ck Fe m f { f ( ; [, k ]} m c = f { f ( ; [ ck, ] } sutervlulu [, ] î dfereţ s s v f m ( ck + m ( ck m( ş este evdet mjortă de ( ( pucte terore = ş Cotruţ c k M m Cum î dvzue estă (p rezultă că vem următore mjorre: ( ( s s p M m (5
22 Fe cum δ = m µ ;, fe o dvzue tervlulu 2 ( p ( M m [, ] cu < δ ş fe = U Cum δ µ rezultă că < µ ş coform (5 vem: s s ( p ( M m p M m 2 p M m = 2 < ( ( ( ( Aşdr vem I < s s s +, dec I* s * 2 2 Cu cest lem este demostrtă Teorem 2 (Crterul de tegrltte l lu Drou Fe f : [, ] mărgtă Codţ ecesră ş sufcetă c f să fe tegrlă pe [, ] este c petru orce >, să este δ >, stfel îcât orcre r f dvzue tervlulu [, ], cu < δ, să vem S s < Demostrţe Necestte Presupuem că I* = I = I D Lem 24 rezultă că >, δ > stfel îcât I < s S < I +, petru cu < δ Evdet, 2 2 S s < I + I = Aşdr S s < petru orce cu < δ 2 2 Sufceţ Presupuem că >, δ > stfel îcât, orcre r f cu < δ vem S s < Deorece s I* I S, rezultă că I I* S s < Cum > este rtrr, cest mplcă I I* =, dec f este tegrlă pe [, ] 22 CLASE DE FUNCŢII INTEGRABILE Teorem 2 Dcă f : [, ] [, ] este cotuă, tuc f este tegrlă pe Demostrţe Fe : = < < K< < < K < = o dvzue orecre tervlulu [, ] Deorece, o fucţe cotuă pe u tervl compct
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 23 este mărgtă ş îş tge mrgle rezultă că ξ [, ] ş η [, ] stfel îcât m = f ( ξ ş M f ( η Aşdr, vem = ( ( ( S s = f η f ξ = Pe de ltă prte, f este uform cotuă pe [, ], dec >, δ > stfel îcât orcre r f, [, ] cu < δ, vem f( f( < Dcă presupuem cum că < δ rezultă η ξ < δ dec S s < ( ( = = = Aşdr, >, δ > (cel de l cotutte uformă stfel îcât cu < δ vem S s < D Teorem 2 rezultă că f este tegrlă pe [, ] Teorem 222 Dcă f : [, ] pe [, ] este mootoă, tuc f este tegrlă Demostrţe Vom fce demostrţ petru czul câd f este crescătore ş u se reduce l o costtă Czul câd f este descrescătore se trteză semăător Dcă f se reduce l o costtă, dcă f ( = c, [, ] s = S = c, ( dec I = I = c Fe dec f crescătore, stfel îcât f ( < f( ş fe, tuc ( : = < < K< < < K< = o dvzue orecre tervlulu m = f ş M = f (, dec [, ] Deorece f este crescătore, vem ( Fe > ş fe δ = ( ( ( ( S s = f f = f ( f( ve ( ( = Dcă presupuem că < δ, tuc vom S s ( f f < δ < [ ( ( ] f( f( f f = Aşdr, >, δ > stfel îcât cu < δ vem S D Teorem 2 rezultă că f este tegrlă pe [, ] s <
24 23 SUME RIEMANN CRITERIUL DE INTEGRABILITATE RIEMANN Fe f : [, ], : = < < K< < < K < = o dvzue tervlulu [, ] ş ξ [, u puct orecre Dcă otăm cu ( ] ξ = ξ, ξ2, K, ξ, tuc sum Rem soctă fucţe f, dvzu ş puctelor termedre ξ, se oteză cu σ ( f ; ( f ; = f ( ( σ ξ ξ = ξ ş este pr defţe Defţ 23 Fe f : [, ] Spuem că f este (R-tegrlă (tegrlă î sesul lu Rem pe [, ] dcă estă u umăr ft I, stfel îcât >, δ > cu proprette că orcre r f dvzue, cu < δ ş orcre r f puctele termedre ξ = ( ξ K ξ, vem ( f;,, σ ξ I < Teorem 23 Dcă f este (R-tegrlă pe [, ], tuc f este mărgtă pe [, ] Demostrţe Pr poteză, estă I, stfel îcât petru =, estă δ > cu pro- prette că orcre r f cu < δ ş orcre r f puctele termedre ξ vem: Fe ( f I < σ ; ξ <I + ( = < < K< < < K< = cu : < δ ş fe [ ] ξ,, =, Presupuem pr surd că f u este mărgtă pe [, ] Atuc, estă u sutervl, j j stfel îcât f u este mărgtă pe, j j Petru fce o legere, să presupuem că sup { f( ; j, j } =+ Cum f u este mărgtă superor pe tervlul, j j, rezultă că estă ξ, j j j stfel îcât I s+ f ( ξ j >, ude m ott cu s = f ( ξ( j j ( ξ dc j Fe ξ = ( ξ dc = j = j ş = (,, K ξ ξ ξ Rezultă
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 25 I s + σ ( f ; ξ = s+ f ( ξ j( j j > s+ ( j j = I + Aşdr ( f σ ; ξ > I + cee ce cotrzce ( Pr urmre, potez că f u e mărgtă pe [, ] e coduce l o cotrdcţe Următore teoremă e rtă că cele două defţ le tegrltăţ sut echvlete Teorem 232 Fe f : [, ] mărgtă Atuc f este (D-tegrlă pe [, ] dcă ş um dcă f este (R-tegrlă pe [, ] Demostrţe Dcă f este (D-tegrlă pe [, ], tuc I * = I = I Pe de ltă prte, d Teorem 2 rezultă că >, δ > stfel îcât orcre r f dvzue cu < δ vem S s < Cum s I S ş s σ ( f, ξ S, ξ, rezultă că ( f, j j σ ξ I < petru orce cu < δ ş orce pucte termedre ξ, dec f este (R- tegrlă Recproc, să presupuem că f este (R-tegrlă Atuc estă I cu proprette că, petru >, δ > stfel îcât cu < δ ş ξ vem: I < σ ( f; ξ < I + (2 4 4 Fe = < < K< < < K< = cu < δ Deorece : = sup { ( ; [, ]}, rezultă că estă α [, ] M f M < f ( α 4( Amplfcâd egltte (3 cu ( stfel îcât ş sumâd rezultă: S < f ( α( = σ ( f ; α, ude α = ( 4 α, K, α = Ţâd sem cum ş de (2 oţem: S < I + 2 (4 Î mod semăător se rtă că s > I 2 (5 D (4 ş (5 rezultă că S s <, petru orce cu < δ, dec f este (D-tegrlă, coform Teore 2 (3
26 Teorem 233 (Crterul de tegrltte l lu Rem Codţ ecesră ş sufcetă c f : [, ] să fe tegrlă pe [, ], este să este u umăr ft I, stfel îcât petru orce şr de dvzu { } le tervlulu [, ] cu proprette că termedre lm = ş orce legere puctelor ( ( ξ să vem lm σ ( f ; ξ = I Demostrţe Necestte Pr poteză estă I stfel îcât >, δ > cu proprette că cu < îcât Fe { } u şr de dvzu cu δ ş ξ vem ( f; σ ξ I < < δ petru orce Coform poteze vem Atuc u rg stfel ( ( f, petru orce ş orce set de pucte termedre ( zu Rezultă că lm σ ( f ; ξ = I Sufceţă Presupuem că estă I dvzu { } cu lm σ ; ( ( f ξ = I σ ξ I < ( ξ corespuzător dv- cu proprette că petru orce şr de ( ş orce set de pucte termedre ξ vem Presupuem pr surd că f u este tegrlă, dec că orcre r f umărul ft I, estă > stfel îcât δ >, δ cu δ < δ ş estă u set de pucte termedre σ δ δ ξ stfel îcât σ ( f, ξ I Î prtculr, petru δ = rezultă că cu ( ( ( f, ξ I Acest îsemă că σ ( f, ξ potez făcută δ < ş ( ξ stfel îcât I, cee ce cotrzce Defţ 232 Spuem că o mulţme A ϒ este egljlă (de măsură cu urmă- I Leesque ulă, dcă >, u şr de tervle deschse ( torele propretăţ : A U I = l( I <, ude cu ( = l I m ott lugme tervlulu I
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 27 Preczăm că uele d tervlele I pot să fe mulţme vd Propozţ 23 Orce mulţme cre se reduce l u puct este egljlă Evdet Demostrţe Fe A = { } Putem lege I =, + 3 3 A U I ş l( I < = = Următore frmţe este evdetă: ş I = petru 2 Propozţ 232 Dcă A B ş B este egljlă, rezultă că A este egljlă Propozţ 233 O reuue umărlă de mulţm egljle este de semee egljlă Demostrţe 2 Fe A egljlă, ( tervle deschse cu propretăţle: A I ş I m m Î coture vem: dec, mulţme U = A Rezultă că petru >, u şr de U m l( Im < m= m= 2 U A U U I ş ( l I = = m m < =, m= = m= = 2 este egljlă Corolrul 23 Orce mulţme ftă su umărlă d ϒ este egljlă Afrmţ rezultă d Propozţle 23 ş 233 Î coture prezetăm fără demostrţe următore teoremă Teorem 234 (Crterul de tegrltte l lu Leesque Fe f : [, ] Codţ ecesră ş sufcetă c f să fe tegrlă pe [, ] este c f să fe mărgtă pe [, ] ş mulţme puctelor sle de dscotutte să fe egljlă
28 24 PROPRIETĂŢILE INTEGRALEI RIEMANN 24 d = Afrmţ rezultă medt d oservţ că orce sumă Rem σ ( ; ξ = 242 Proprette de lertte Dcă f, g : [, ] sut tegrle, tuc fucţ α f + β g este tegrlă pe [, ] ş ( α f + β g( d = α f( d + β g( d Demostrţe u şr de dvzu cu proprette că lm = ş fe Fe { } de pucte termedre orecre petru dvzue Avem: ( ; ( ( ; ( ( f + g = f + ( g; σ α β ξ ασ ξ βσ ξ ( ξ u set Deorece memrul drept re lmtă ftă câd ş ume α f ( d + + β g ( d, rezultă că ş memrul stâg re lmtă ftă, dec α f + β g este tegrlă ş î plus ( α f + β g( d = α f( d + β g( d 243 Proprette de mootoe Dcă f ş g sut tegrle pe [, ] ş f ( g(, [, ], tuc f ( d g( d Afrmţ rezultă medt d oservţ că [ ] proprette de lertte tegrle Rem g ( f( d ş d 244 Dcă f este tegrlă pe [, ], tuc f este tegrlă pe [, ] ş f ( d f( d Fe A mulţme puctelor de dscotutte le fucţe f d tervlul [, ] ş B mulţme puctelor de dscotutte le lu f d tervlul [, ] Se şte că dcă f este cotuă îtr-u puct, tuc f este cotuă î cel puct Aşdr, vem A B Coform Teoreme 234, B este egljlă Rezultă tuc că ş A este egljlă, dec că f este tegrlă
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 29 Pe de ltă prte vem: f ( f( f(, [, ] D Proprette 3 de mootoe tegrle, rezultă că dec f ( d f( d f ( d f( d f( d 245 Dcă f ş g sut tegrle pe [, ], tuc fg este tegrlă pe [, ] Îtr-devăr, fe A/B/C mulţme puctelor de dscotutte le lu f /g/ fg Se şte că dcă f ş g sut cotue îtr-u puct, tuc fg este cotuă î cest puct Rezultă că C A Υ B Cum A ş B sut egljle, rezultă că A U B este egljlă, dec C este egljlă Coform Teoreme 234 rezultă că fg este cotuă pe [, ] 246 Teorem de mede Fe f ş g două fucţ tegrle pe [, ] Presupuem că g păstreză sem f f ( ;, costt pe [, ] Dcă otăm cu m = { [ ]} M sup { f( ; [, ] } ş cu =, tuc estă m µ M stfel îcât Demostrţe Presupuem că f ( g ( d = µ g ( d ( g (, [, ] Deorece m f( M, [, ] rezultă mg( f ( g( Mg(, [, ] D Propretăţle 2 ş 3 vem m g ( d f( g ( d M g ( d Dcă g ( d=, tuc ş ( ( d f g = ş egltte ( re loc petru orce µ Să presupuem că g ( d Cum g rezultă ( d g > Împărţd egltte (2 cu g ( d oţem: m Dcă otăm cu µ = f ( g ( d = µ g ( d f ( g ( d, rezultă că m µ M, dec g ( d f( g( d M g ( d (2
3 Corolrul 24 Fe f : [, ] cotuă ş g : [, ] tegrlă Dcă g păstreză sem costt pe [, ], tuc estă ξ [, ] stfel îcât f ( g( d = f ( ξ g( d Demostrţe Deorece f este cotuă pe [, ], rezultă că estă α, β [, ] stfel îcât m= f( α ş M = f( β D Teorem de mede, ştm că estă m µ M stfel îcât f ( g ( d = µ g ( d Pe de ltă prte, f re proprette Drou pe [, ], dec estă ξ ître α ş β, dec î [, ], stfel îcât µ = f ( ξ Aşdr vem f ( g ( d = f( ξ g ( d Corolrul 242 Dcă f : [, ] este tegrlă, tuc estă m µ M stfel îcât f ( d = µ ( Afrmţ rezultă medt d Teorem de mede petru czul prtculr câd g = Corolrul 243 Dcă f : [, ] este cotuă, tuc estă ξ [, ] stfel îcât ( d = ( ξ ( f f Afrmţ rezultă medt d Corolrul 24, petru czul prtculr câd g = 247 Dcă f este tegrlă pe [, ] ş < c <, tuc f este tegrlă pe c [, c] ş [c, ] ş f ( d = f( d + f( d c Demostrţe Fptul că f este tegrlă pe [, ] ş [c, ] rezultă medt d Teorem 234 Fe { } u şr de dvzu le tervlulu [, c] cu ş fe { } u şr de dvzu le tervlulu [c, ] cu Dcă otăm cu = U, tuc este o dvzue tervlulu [, ] ş ( Fe de semee ( α ( β u set de pucte termedre petru dvzue (respectv ( ( ( Dcă otăm cu ξ =α U β, tuc ξ ( este u set de pucte termedre petru Trecâd l lmtă după î egltte
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN ( ; ( ( ; ( ( f f ( f; σ ξ =σ α +σ β c, rezultă că f ( d = f( d f( d + c Următore teoremă e sgură că orce fucţe cotuă pe u tervl dmte prmtve pe cel tervl Teorem 248 Fe f : [, ] cotuă ş fe F( = f( tdt, [, ] Atuc f este dervlă pe (, ş F ( = f(, (, Demostrţe Fe (, orecre Să oservăm petru îceput că (d = 3 f (d t t f t t f(d t t Îtr-devăr, dcă < tuc frmţ rezultă d egl- tte = + Dcă <, tuc = + Aşdr, vem ( F( F f (d t t = dec = = Coform Corolrulu 243 rezultă că ξ î tervlul îchs de cpete ş stfel îcât (d ( ξ ( vem: F( F lm f t t = f ( Cum f este cotuă î, î coture ( ξ (, dec F ( f ( = lm f = f = Teorem 249 (Lez-Newto Fe f : [, ] tegrlă Dcă F este o prmtvă lu f pe [, ], tuc f ( d = F ( F ( Demostrţe Fe = < < K < < = : [, ] Oservăm că F( F( = F F îcât: = o dvzue orecre tervlulu ( ( Pe de ltă prte, d Teorem Lgrge rezultă că estă ξ ( ( ( ( ξ ( ( ξ ( F F = F = f stfel,
32 Dcă otăm cu ξ = ( ξ, K, ξ oţem: ( ξ( σ( ξ = F( F( = f = f; Fe { } u şr de dvzu de ormă tzâd l zero ş fe ξ ( setul de pucte termedre petru ( f ( d = ( lm σ f ; F ( F ( ξ =, cre rezultă d Teorem Lgrge Rezultă: