7 Numeričko rešvnje nelinernih jednčin Zdtk numeričkog rešvnj nelinernih jednčin Čest problem u inženjerskim prorčunim je nlženje rešenj ili koren jednčine: f( = (7. ili, što je ekvivlentno nlženje nule funkcije f(. Pri tom funkcij f( može, d bude dt nekim nlitičkim izrzom, ili d predstvlj neki rčunski proces, kojim se polzeći od neke vrednosti dobij vrednost y = f(. Primer : Trži se on vrednost z koju određeni integrl: ϕ ( tdt im zdtu vrednost c. U ovom slučju, rešvmo jednčinu: ϕ( t dt c =, f ( =? Pri tom, podintegrln funkcij ϕ( ne mor d bude dt nlitičkim izrzom, i td se integrl izrčunv numerički. Primeri ovog tip su: problem odredivnj izlzne temperture fluid, koji se u izmenjivču toplote dte dužine zgrev suvozsićenom prom izrčunvnje stepen konverzije u rektoru, pri dtom kontktnom vremenu. Podintegrln funkcij može d bude tkv d integrl ne može d se izrčun nlitički, već numerički Egzistencij relnog rešenj 47
TEOREMA : Ako je funkcij f( neprekidn u ztvorenom intervlu [,b] i ko je f(f(b <, u intervlu (,b postoji br jedn reln koren jednčine (. f( f(f(b > f( f(f(b < b b Slik 7. Ilustrcije: ( nem koren u (,b (b Funkcij je monoton i postoji smo jedn nul f( f(f(b < b Slik 7. Funkcij nije monoton i u (,b postoje tri nule TEOREMA : Ako je pored uslov u T, zdovoljen i uslov d je funkcij f( monoton u posmtrnom intervlu ond u njemu postoji jedinstven reln koren. 7. ITERACIONI PROCES 48
Približno rešenje jednčine (7. se dobij ponvljnim korigovnjem procene koren n bzi jedne ili više prethodnih procen i vrednosti funkcije f( z te procene. Tkv rčunski proces se nziv itercioni proces i njegov rezultt je niz uzstopnih (sukcesivnih procen ili proksimcij tržene vrednosti koren: (, (, (, (,... tj. niz vrednosti (k, k =,,... kog nzivmo itercioni niz. Nult procen ( je polzn procen trženog rešenj, koj je neophodn. Formul kojom se iz jedne ili više prethodnih procen, dobij nov zove se itercion formul. Specijlno, ko se nov procen (proksimcij dobij smo n bzi prethodne procene, itercion formul im oblik: ili, (k+ = F( (k, k =,,,... (7. (k = F( (k-, k =,,... (7. i funkciju F( ćemo zvti itercion funkcij. Ako itercioni niz konvergir željenom rešenju α: ( lim k = α (7. k kžemo d itercioni proces konvergir k trženom rešenju α jednčine (7.. Z konvergentn proces (7., 7., iz (7. sledi: α = F(α (7.4 Koren α predstvlj u slučju konvergentnog itercionog proces tčku ngomilvnj itercionog niz (k, k =,,... odnosno z svko, m koliko mlo ε, može se nći tkvo K, koje zvisi od ε d vži: ( α < ε k > K( ε k, (7.5 Dv specijln slučj konvergencije itercionog proces su: monoton konvergencij kd je itercioni niz monoton i proksimcije (k, k =,,...se približvju tcki α n brojnoj prvoj s jedne strne te tčke α (k+ (k osciltorn konvergencij kd su dve uzstopne proksimcije koren (k i (k+, k =,,... s dve rzličite strne koren, tj. člnovi itercionog niz (k- 49
"osciluju prigušeno" oko tčke α. (k α (k+ (k - Kriterijumi z zvršetk itercionog proces Uslov zvršetk itercionog proces (7.5 im teoretski krkter i ko prktični kriterijumi z zvršetk itercionog proces ili izlzni kriterijumi se koriste: ( ( k k < ε (7.6 ( k + < δ (7.6b f ( < ε f (7.6c gde su: ε i ε f - zdte grnice psolutnih odstupnj ili tolerncije δ - zdt grnic reltivnog odstupnj (tolerncij - mli broj (može se uzeti = δ čijim se dodvnjem n (k izbegv overflow u slučju d je tčn vrednost koren ili jko mli broj Kd je odbrni kriterijum konvergencije zdovoljen, ko (približno rešenje jednčine (7. usvj se poslednj procen, (k. Što se tčnosti dobijenog rešenj tiče, vžno je primetiti d: U slučju monotone konvergencije uslov (7.6 ne grntuje d će se usvojen procen rzlikovti od tčnog rešenj mnje od zdte tolerncije ε, tj. nije tčn iskz: < ε ( k α < ε i međusobn bliskost dve poslednje procene je smo potrebn, ne i dovoljn uslov željene bliskosti poslednje procene i tčnog rešenj (Sl.. Isto se može konsttovti i z uslov (7.6c: d vrednost funkcije u poslednjoj iterciji bude mnj od zdte tolerncije (Sl.b. U slučju osliltorne konvergencije, uslov (7.6 je dovoljn d se usvojeno rešenje rzlikuje od tčnog α mnje od zdte tolerncije ε, jer je gornji iskz tčn. 5
f( ( f( (b α ε f (k (k- α (k (k- Slik 7. - Ilustrcije: ( uslov (7.6 ne grntuje željenu tčnost rešenj (b uslov ( 7.6c ne grntuje željenu tčnost rešenj Željenu tčnost rešenj, u slučju monotone konvergrencije, može d grntuje konjukcij uslov (7.6 i (7.6c : ( k+ < ε f ( ( k+ < ε f (7.6d ili lterntivno, (7.6b i (7.6c. U (7.6d, ε i ε f su odbrne tolerncije. 7. RED I BRZINA KONVEREGENCIJE ITERACIONOG PROCESA Posmtrjmo itercioni proces (7.: (k+ = F( (k, k =,,,... Pretpostvimo d se nlzimo u blizini rešenj, p vrednost F( (k možemo d dobijemo pomoću Tjlorovog polinom funkcije F( rzvijenog oko tčnog rešenj α: F( = F( α + ili nkon smene α = F(α (Jedn. 7.4: (k+ = α + F ( α F ( α ( α F ( α + ( α + ( α +... F ( α F ( α ( α F ( α + ( α + ( α +... Rzlik ε (k = (k - α predstvlj odstupnje k te proksimcije koren od njegove tčne vrednosti. Tko dobijmo vezu izmedu grešk dve uzstopne procene:!!!! ε (k+ = ε F ( α + F ( α F ( α ( ε + ( ε +...!! 5
ili gde je: k = ε b + ε b + ( ε b +... (7.7 ( ε + ( ( i ( α F bi = i! Itercioni proces. red Ako je: i pošto je: F (α = b ε >> ( ε >> ( ε..., iz (7.7 immo: ε ( k + = b (7.8 ε tj. grešk procene u novoj iterciji je proporcionln grešci prethodne procene. Iz (7.8 dobijmo: ε ( = b ε ( ε ( = b ε ( = b ε (. ε (k = b ε (k- =...= b k ε ( Sledi potrebn i dovoljn uslov konvergencije (u blizini rešenj proces. red: b = F (α < (7.9 Konvergencij je utoliko brž, ukoliko je b po psolutnoj vrednosti mnji i ko je: b >, konvergencij je monoton b <, konvergencij je osciltorn ( ( k ε + i ε ( k ε + i ε ( istog znk rzlicitog znk Itercioni proces. red Ako je: b = F (α = b = F (α/ iz (7.7, znemrujući člnove višeg red, dobijmo: 5
ε ( k + = b (7. ( ε Dkle, grešk u novoj iterciji proporcionln je kvdrtu greške iz prethodne itercije. Iz (7. sledi: i končno: ε ε ε ( ( = b ( ε = b ( ε ( ( ; ; b ε b ε ( = ( b ε = ( b ε k ( k ( = b ( ε ; bε = ( bε ( ( ( = ( b ε ( 4 ( k ε + ε = b ε = ( [ b ε ] k odkle sledi potrebn i dovoljn uslov konvergencije (u blizini tčnog rešenj: ( F ( α ( b ε = ε < (7.! Uočvmo d je konvergencij monoton (ε (k ne menj znk zvisi od kvlitet polzne procene (ε ( u uslovu konvergencije. Poredenje brzin konvergencije proces. i. red Rdi ilustrcije, pretpostvimo d su vrednosti koeficijent: b = b =. odstupnje polzne procene koren od tčne vrednosti α, ε ( =. Ako uvedemo pomoćnu veličinu: immo: p = b ε ( =. ( k ε + b z iter. proces. red = k ε p z iter. proces. red U tbeli su dte uporedo z proces. i. red, greške procene koren u pojedinim itercijm. 5
Tbel 7. - poređenje itercionih proces. i. red Br. iter. Odstupnje, ε. red. red Povećnje broj tčnih decim.. red.red - - b ε ( = - ε ( p = - - - b ε ( = - ε ( p = - b ε ( = - ε ( p 4 = -7 4 4 b ε ( = -4 ε ( p 8 = -5 8 5 b ε (4 = -4 ε (4 p 6 = - 6 7. METOD PROSTIH ITERACIJA Jednčinu f( = (7. prevodimo u njoj ekvivlentnu (im iste korene, oblik: = ϕ( (7. y y = ϕ( f( α Slik 7. - Vez između funkcij f( i ϕ( Primer : Potrebno je nći molsku zpreminu, v nekog gs iz VDW jednčine stnj: RT f ( v = p = ( p, T zdto v b v 54
Jedn, od beskončno mnogo nčin d se od plzne jednčine pređe n ekvivlentnu, oblik (7.: RT v = + b v RT = p + / v + b = ϕ( p v v Z metod prostih itercij (metod uzstopnih zmen ili metod probe i greške, itercion formul glsi: (k+ = ϕ( (k, k =,,,... (7. Uslov konvergencije TEOREMA : Dovoljn uslov konvergencije metod uzstopnih zmen je: ϕ ( A < (7.4 z vrednosti iz intervl kome pripdju koren α i sve uzstopne procene, (k, k =,,... N slikm 7.4 i 7.5 ilustrovni su tokovi konvergentnih i divergentnih itercionih proces po metodi uzstopnih zmen (7.. y ( ϕ( ϕ( y ϕ( ϕ( (b α ( ( ( α ( ( ( Slik 7.4 - ( Monoton konvergencij, < ϕ ( < (b Momoton divergencij, ϕ ( > 55
y y ϕ( ϕ( ( ( (4 ( ( ( ( ( ( (4 Slik 7.5 - ( Osciltorn konvergencij, - < ϕ ( < (b Osciltorn divergencij, ϕ ( < - Brzin konvergencije Ako itercioni proces (7. konvergir, on je u opštem slučju prvog red, jer z itercionu funkciju F( iz (7. vži: F( = ϕ( F ( = ϕ ( F (α = ϕ (α = b Izlzni kriterijum Kod ove metode, izlzni kriterijumi (7.6 i (7.6c su identični. Zist, ( k+ = ϕ( < ε f ( = ϕ( < ε f p se u slučju konvergencije itercionog postupk, pogodnim izborom tolerncije ε = ε f može obezbediti željen tčnost rešenj s jednim od t dv kriterijum. Zdtk 7. Z procenjivnje molskih zpremin, v gsov n umerenim pritiscim koristi se Virijln jednčin stnj: pv B C kj z = = + + R = 8. 4 RT v v kmol K 56
Potrebno je izrčunti molsku zpreminu izopropnol n T = 47K i p = 5 kp. Z izopropnol n T = 47K, prmetri B i C (virijlni koeficijenti imju vrednosti: B = = 6.88m kmol, C.6 m kmol Metodom prostih itercij proceniti trženu zpreminu s preciznošću od četiri znčjne cifre. Ko polznu procenu koristiti molsku zpreminu idelnog gs. Rešenje (Mthcd: R := 8.4 T := 47 p := 5 B :=.88 C :=.6 Funkcij s desne strne jedncine v = φ(v: φ( v := R T p + B + v C v Polzn procen: v := R T p v = 7.865 ( v := round v, v = 7.9 S obzirom n red velicine molske zpremine, i trzenu tcnost od 4 sigurne cifre, tolerncij ε u kriterijumu (7.6 je: ε :=.5 Proste itercije: i :=.. 4 ( v := φ v i i i := v v i i Resenje dobijeno u 4. iterciji jer je 4 < ε: v = 7.9 7.4784 7.4566 7.4554 7.4556 =.4..96 6.576 5 ( v := round v, 4 v = 7.455 Zdtk 7. Primenom NJIP,. stepen, proceniti vreme (min u kome koncentrcij penicilin dostiže vrednost 6 IJ, s preciznošću od decimle, polzeći od tbelrnih vrednosti vremen i odgovrjućih koncentrcij penicilin (Prk., I-. Koristiti funkciju iter (Prkt,VIII-. Rešenje (Mthcd: t T = ( 4 6 8 4 6 8 Cp T = ( 6 6 58 86 94 95 8 96 94 h := n := rows( t n = Cp zd := 6 Zdt grnic psolutne greske (preciznost n decimli: E :=.5 57
Izrcunvnje tbele koncnih rzlik: ( A := Tbel t, h, Cp, n A = 4 5 6 7 8 9 4 5 6 6.88 -.48.986-5.9 6.494-94.54 -.94.44 4.6.4.4 -.4-5 5. 6.8 - -.94 4.59 -. 4 8 5.8.79 -.96.65-5.5.6 4 8.6 8 69 -.88 5.8-6.85 9.4.5 -.9. -.77 4.95 4-67 4 6.8 4-66 44 8 9.6-9.4 Trzeno vreme dobijmo inverznom interpolcijom u tbeli t - Cp, odnosno - y, koristeci NJIP,. stepen. := t y := Cp y zd := Cp zd Jedncin koju treb resiti po α je kubn jedncin: y y s + α y s + ( α α! y s + ( ( α α α y! s gde indeks s ozncv odbrnu strtnu tcku pri provlcenju polinom. stepen, y je zdt vrednost funkcije (y zd α je bezdimenzion promenljiv: α s h Desnu strnu jedncine oblik α = φ (α dobijmo kd gornju jedncinu "resimo" po onom α koje se mnozi s y s. α y zd y s y s ( α α Polinom provlcimo kroz tcke - 6 :! s := ( ( α α α y s y! s y A := ( s y =.8 y A := ( s y A 4 := ( s y = y =.94 Definisnje funkcije: φ( α := y zd y y s ( α α! y ( ( α α α y! Polznu procenu dobijmo iz njblize vrednosti (8 : 4 s α p := h α p = Tolerncij je dozvoljen reltivn gresk i dobicemo je iz dozvoljene grnice poslutne greske i priblizne vrednosti trzene temperture 58
E δ := δ = 5 4 5 Poziv funkcije iter : α i ( := iter φ, α p, δ α i Resenje α dobijeno u 5 itercij.trzeno vreme, s decimlom: ( t := round + α h, t = 8. s.6 = 5 7.4. METODA TANGENTE U okolini tčke (k, dobijene u k-toj iterciji, proksimirmo funkciju f( njenom tngentom, povučenom u toj tčki: f ( t( = f ( + ( f ( (7.5 i sledeću procenu koren, (k+ nlzimo iz presek tngente t( s osom, t ( k ( = f ( k+ ( ( + ( f ( = + k odkle sledi itercion formul metode tngente ili Njutn-Rfsonove metode (Newton- Rphson: ( k+ = ( f ( ( f ( k k k =,,... (7.6 y ( = f ( + ( f ( t f( α (k+ (k+ (k Slik 7.6 - Geometrijsk interpretcij metode tngente 59
Dovoljn uslov konvergencije TEOREMA 4: Itercioni proces (7.6 konvergir korenu α [, b] ko je f(f(b < i uz to. f ( i f ( ne menjju znk i f ( u intervlu [, b]. f( ( f ( ( > Pošto su dti uslovi dovoljni, ne i potrebni, njihovo neispunjvnje ne mor d uzrokuje divergenciju. N Sl. 7.7 ilustrovne su mogućnosti divergencije metode, kd dovoljni uslovi konvergencije nisu zdovoljeni. f ( menj znk u [, b] f( ( f ( ( < (?? ( ( ( ( b ( b ( Slik 7.7 - Slučjevi diveregencije itercionog postupk. Brzin konvergencije Itercion funkcij (7. je: i njen prvi izvod je: F( = f ( f ( f ( f ( f ( F ( = + f ( = f ( ( f ( ( f ( f ( njegov vrednost u rešenju α: f ( α F ( α = f ( α = ( f ( α ko f ( α Pošto je u opštem slučju: F (α metod tngente je itercioni proces. red, dkle brži od metode prostih itercij. 6
Zdtk 7. Problem 7. rešiti metodom tngente i uporediti brzine konvergencije ove metode i metode prostih itercij. Rešenje (Mthcd: Podci: R := 8.4 T := 47 p := 5 B :=.88 C :=.6 Funkcij ciju nulu trzimo : f( v := + B v + C v p v R T Prvi izvod funkcije f(v: Metod tngente : df( v B := C v v p R T Polzn procen: v := 7.9 i :=.. ( ( f v i v := v i i df v i Metod konvergir u. iterciji : i := v v i i v = 7.9 7.4567 7.4555 7.4555 =.44.67.46 8 Md je metod tngente itercioni proces. red, metod prostih itercij. red, u ovom primeru se ne uocv zncjn rzlik u brzini konvergencije (potrebn broj itercij. To se moze objsniti mlom vrednoscu prvog izvod funkcije φ(v u okolini resenj ( slik, zbog ceg se metod prostih itercij priblizv procesu. red: φ( v := R T p B C + + v v v := 7, 7... 8 d φ( v dv.6.5.4 7 7.5 8 v 7.5 METODA SEKANTE Ov metod, predstvlj proksimciju metode tngente. Umesto tngente u tčki (k ( k povlčimo sečicu kroz dve poslednje procene i, odnosno u itercionu formulu metode tngente uvodimo proksimciju: 6
što dje itercionu formulu: f ( k ( k ( f ( f ( f f = ( k ( k f f ( k ( k + = f ( k k =,,... ( = ( ( +, = ±. (n primer (7.7 Ngib sečice: s f ( f ( k ( = k ( α f( (k (k- (k+ Slik 7.7 - Geometrijsk interpretcij metode seknte Krkteristike ove metode su, pošto proksimir metod tngente, brže konvergir od itercionih proces. red, li je sporij od metode tngente. Može se pokzti d je on itercioni proces red.68: ( k (.68 ε + k = c( ε, c konstnt proporcionlnosti pošto ne zhtev prvi izvod, pogodn je z nlženje nul funkcij koje nisu zdte jednim nlitičkim izrzom, tj. čije se vrednosti dobijju ko rezultt niz rčunskih kork (recimo numerik integrcij 7.6. VEGŠTAJNOV METOD Vegštjn (Wegstein je modifikovo metod uzstopnih zmen s ciljem d se: obezbedi konvergencij u slučju kd metod uzstopnih zmen (MUZ ne bi konvergiro, ko i d se ubrz konvergencij u slučju kd bi i tj metod konvergiro Izvođenje itercione formule je ilustrovno slikom 7.8. 6
y ( ( ( ϕ( ( (MUZ MUZ bi divergiro! Zto se drug procen ( koren dobij u preseku sečice krive ϕ(, provučene kroz dve prethodne procene ( i (, odnosno u intervlu [ (, ( ] kriv ϕ( se proksimir njenom sečicom čiji je ngib: ϕ s = ( ( ( ϕ ( ( Slik 7.8 - Vegštjnov modifikcij metode uzstopnih zmen ( Vrednost ( se dkle dobij iz uslov presek prve y = i povučene sečice: = ϕ ( ( ( + s ( ( ( ( ( ( = = ϕ( s s s = ϕ( s + s Itercionu formulu dobijmo istim postupkom, polzeći od tčk (k- i (k : (k+ = t ϕ( (k +(- t (k, k =,,... (7.8 t = s ( k ( ϕ( (7.8 ϕ s = (7.8b ( k Neophodn je pored polzne, još jedn procen koren i on se dobij: metodom uzstopnih zmen: ( = ϕ( ( (7.9 ili, iz polzne procene, mlim pomernjem: ( = ( (+, ( recimo, =. (7.9b Metod je ekvivlentn metodi seknte primenjene n jednčinu - ϕ( =, p je istog red konvergencije (.68. Postoji problem primene metode, kd je ngib krive ϕ( blizk jedinici jer funkcij t(s (Jedn. 7.8 u tčki s = im vertiklnu simptotu (t. Tko, ko je izrčunt ngib s, 6
.9 < s, usvjmo s =.9 < s <., usvjmo s =. Uticj ngib krive ϕ( u okolini koren n konvergenciju Diskusij uticj ngib s krive ϕ( n krkter konvergencije metode dt je u Tb. 7. uz ilustrciju n Sl. 7.9. Tbel 7. - Konvergencij Wegštjnove metode oblst vrednosti s oblst vrednosti t krkter konvergencije - < s < - < t <.5 osciltorn (MUZ divergir b - < s <.5 < t < osciltorn (ubrznje MUZ- c < s < < t < monoton (ubrznje MUZ- d < s < - < t < monoton (MUZ divergir y s = - - + s = b d c + - s = α Slik 7.9 - Oblsti vrednosti ngib sečice, s Zdtk 7.4 N temperturi T = 7K, prmetri i b u VDW jednčini stnj: su: RT p = v b v m m = 7 kp, b =.86 kmol kmol Potrebno je s grnicom reltivnog odstupnj δ =.% izrčunti molsku zpreminu zot n dtoj temperturi i pritisku 5 br. Problem rešiti: 64
Metodom prostih itercij, koristeći funkciju iter (Prkt., VIII- b Metodom tngente, koristeći funkciju Njutn (Prkt., IX- c Metodom seknte, koristeći funkciju Seknt (Prkt., IX- d Vegštjnovom metodom, koristeći funkciju Wegstein (Prkt., VIII-4 Ko polznu procenu uzeti molsku zpreminu izrčuntu iz jednčine idelnog gsnog stnj. Uporediti i diskutovti brzine konvergencije tri metode. Rešenje (Mthcd: Podci: := 7 b :=.86 R := 8.4 p := 5 T := 7 δ m :=. Jedncinu p RT v b v zmenjujemo ekvivlentnom, oblik v =φ(v Definisnje funkcije φ(v: φ( v R T := p + v + b Ko polznu procenu uzimmo vrednost dobijenu iz jedncine idelnog gsnog stnj: v := R T p v =.88 :=.,....5.6 φ(.4. Mozemo d ocekujemo sporu monotonu konvergenciju, jer je prvi izvod funkcije s leve strne blizk "kriticnoj" vrednosti...4.6.59 v := iter( φ, v, δ m v = v := v Metod konvergirl u itercij Posto je grnic psolutne greske: A v := v δ m A v =.59 4 b rezultt cemo prikzti s tri zncjne cifre : v =.6 Ekvivlentn jedncini p Definisnje funkcije f(v: RT v b je jedncin p + v v f( v := p + v Definisnje prvog izvod funkcije f(v: ( v b R T ( v b R T ( d df( v dv f( v 74 - := v.86 + 5+ v 7 v 65
( v := Njutn f, v, δ m v =.6.56 v = v := v Metod je konvergirl u itercije. c ( v := Seknt f, v, δ m.56 v = v := v Metod je konvergirl u 4 itercije 4 d.56 v := Wegstein ( φ, v, δ m v = v := v 5 Metod je konvergirl u 5 itercij. Diskusij Ko itercion metod. red, njbrze je konverirl metod tngente ( itercije. Prem ocekivnju, nesto sporij su konvergirle metod seknte (4 itercije i Vegstjnov metod (5 itercij. Njsporij je,kko smo i predvideli, metod prostih itercij ( itercij. 7.7. ODREĐIVANJE NULA POLINOMA U nekim hemijsko inženjerskim problemim ko što su: nlženje nul i polov prenosne funkcije pri nlizi stbilnosti proces nlitičko rešvnje linerne diferencijlne jednčine n tog red neophodno je odrediti sve nule (korene nekog polinom. Znmo d polinom n - tog stepen im tčno n nul ili koren, pri čemu oni mogu biti: relni i rzličiti višestruki relni konjugovno - kompleksni U pripremnoj fzi rešvnj ovog problem procenjuje se: oblst u kome leže sve nule polinom broj pozitivnih i negtivnih relnih nul pomoću sledećih teorem: TEOREMA 5: Sve nule polinom: leže u kružnom prstenu: P n n n i... i (7. i= n n ( = + + + n= r < z < R (7. 66
u kompleksnoj rvni, gde su: TEOREMA 6 (Dekrtov teorem: A R = +, A= m(,,..., n (7. r =, B= m(,,..., n (7.b B + n Ukupn broj pozitivnih nul je jednk broju promen znk u nizu koeficijent polinom ili mnji od njeg z prn broj (ko polinom im kompleksne nule. Pri tome se nulti koeficijenti uzimju ko pozitivni. Ukupn broj negtivnih nul je jednk broju ponvljnj znk u nizu koeficijent polinom ili mnji od njeg z prn broj (ko polinom im kompleksne nule. Primer : 4 = + + 4 Niz koeficijent polinom P ( 6 7 6 8 je:, 6, 7, -, -8 i im promenu znk koeficijent (7, -, što ukzuje d sigurno im jedn pozitivn reln koren. Pošto im ponvljnj znk, može d im ili smo negtivn koren. Svi relni koreni leže u oblsti (-R, -r ( r, R n brojnoj prvoj. Grnice r i R određujemo iz jednčin (7.,b: A = 8, R= + 8= 9 B= 7, r= =.5....5 + B / 8 Dkle tržen oblst je (-9,-.5 (.5, 9, ili grublje, (-9, 9. P 4 ( 5 Primer 4: 5 6 4 Ko što slik pokzuje, posmtrni polinom im negtivn i jedn pozitivn koren u izrčuntom intervlu. 4 = + + 4 Niz koeficijent polinom ( 7 4 6 P je:, 7,, -4, -6 i tkođe im promenu i ponvljnj znk, p je predviđeni broj relnih koren isti ko u prethodnom primeru. Ko intervl u kome leže relni koreni, opisnim postupkom dobijmo: (-7, 7. 67
P 4 ( 5 Primer 5: 5 6 4 Ko što slik pokzuje, posmtrni polinom im jedn pozitivn koren. Negtivn koren je dvostruki koren jer je u toj tčki os tngent polinom. Tko je dvostruki koren ujedno nul prvog izvod posmtrnog polinom: P ( 4 = U nizu koeficijent polinom P ( 4 5 4 = + + im promene i jedno ponvljnje znk koeficijent, što znči d polinom im ili ili pozitivne nule i sigurno im negtivnu nulu. 4 P 4 ( Slik ilustruje d polinom im: jedn negtivn koren jedn pozitivn koren dv kompleksn koren 6 4 Metod sintetskog deljenj Ovo je postupk d se odrede svi koreni polinom. Sstoji se iz sledećih kork: Nekom metodom z rešvnje nelinerne jednčine odredi se jedn reln koren polinom, α i ond deljenjem tog polinom binomom ( - α, dobij se polinom jednog stepen niži. 68
Ponvlj se prethodni postupk, sve dok postoje relni koreni. Ako polinom im i kompleksne korene oni se određuju n sledeći nčin: Nekom od specijlnih metod odredi se pr konjugovno kompleksnih koren z i z i ond stepen polinom smnji z deljenjem s kvdrtnim polinomom: ( z( z. Postupk sintetskog deljenj se zvršv kd se dođe do polinom. stepen, čije se kompleksne nule odrede nlitički. 7.8 KORENI JEDNAČINA I POLINOMA U MATHCAD-u Z rešvnje nelinerne jednčine u Mtcdu se koriste, funkcij root, koj zhtev prethodno, ili pri smom pozivu, definisnu funkciju f(, čiju nulu tržimo i polznu procenu rešenj. Ov funkcij se bzir n metodi seknte. Solve block Ako se nek jednčin rešv korišćenjem Mthcd funkcije, prktičn prover d li je zdt tolerncij TOL dovoljno ml d grntuje d sigurnih deciml u rešenju može se izvršiti ponvljnjem prorčun uz zntno mnju tolernciju (recimo put od zdte. Ukoliko se prvi i drugi rezultt, nkon zokruživnj n d+ deciml, slžu n prvih d+ deciml, znči d je odbrn tolerncij bil dekvtn. Slično, pri izboru prmetr TOL, koji grntuje s sigurnih cifr u rezulttu, kriterijum je d se zokruženi rezultti dobijeni s dve vrednosti TOL slžu n prvih s+ znčjnih cifr Zdtk 7.5 U cevnom rektoru s idelnim potiskivnjem se odvij povrtn rekcij: čij je brzin: k A + B R k r = kc ACB kcr ( CA, CB, CR su koncentrcije, mol m Kontktno vreme (s, neophodno d bi se postigo stepen konverzije rektnt A, A dto je jednčinom: A d τ( A = k C ( ( M α A, C M = C B A, 4k α = k gde su C, A CB ulzne koncentrcije rektnt. Potrebno je s tčnošću od 4 decimle izrčunti stepen konverzije koji se postigne pri kontktnom vremenu, τ = s, s ostlim podcim: k =.8, k = 4.9, C A =.5, C B =.6 Problem rešiti, pomoću root funkcije b pomoću Solve block- Rešenje (Mthcd: 69
Funkcij ciju nulu trzimo: F(, CA, M := k CA f( t, M dt τ Nul funkcije se nlzi u intervlu (, m, gde je m njveci moguci stepen konverzije. Mksimln stepen konverzije je onj koji se postize u rvnotezi, tj. onj z koji imenioc funkcije f(,m postje jednk nuli. Ncicemo g pomocu funkcije root: Polzn procen : Poziv funkcije root: := m := root f(, M, m =.59 Ko polznu procenu trzenog stepen konverzije uzimmo neku vrednost iz intervl (, m, recimo: :=.5 Poziv funkcije root: ( (, := root F, C A, M Resenje: =.449 Prover: ( =. 4 F, C A, M Posto vrednost funkcije nije jko ml, sumnjmo d smo dobili dovoljno tcno resenje i smnjujemo sistemski prmetr TOL (tolerncij z zustvljnje itercionog proces: TOL := 5 Poziv funkcije root: ( (, := root F, C A, M Resenje: =.446 Prover: ( =.76 9 F, C A, M Resenj se slzu n 5 deciml, sto znci d je i prvo, ndjeno s TOL=. bilo prihvtljivo, jer nm ne treb vec preciznost od 4 decimle. =.4 Resenje pomocu Solve block- :=.5 TOL :=. Given := k C A Find( f( t, M dt τ =.446 ( =.4 F, C A, M 5 Z nlženje svih koren polinom u Mthcd -u se koristi funkcij polyroots. Zdtk 7.6 Potrebno je izrčunti molsku zpreminu v (l/mol ugljendioksid n pritisku od tm i temperturi T = K, pomoću Bettie-Bridgemn jednčine stnj: 7
α β p = + v v γ + v δ + 4 v gde se prmetri α δ rčunju ko: c c B bc RT, α α α = β = αb A, A B b, δ =, R =. 86 γ = α + T T T Z CO potrebne vrednosti prmetr su: A = B b c 5 5.65, =.7, =.476, =.75, = 6.6 Rešenje (Mthcd: l tm mol K Podci: R :=.86 A := 5.65 :=.7 B :=.476 b :=.75 c := 6.6 5 p := T := Prmetri u jedncini: c α c α B α := R T β := α B A γ A α B b + b c := T δ := T T α = 4.68 β =.9 γ =.74 δ = 4.56 Funkcij ciju nulu trzimo : Ekvivlentn jedncin : F( v α β γ δ := + v v + v + v 4 p odnosno resvmo jedncinu F(v = f( v gde je f( v := p v 4 + α v + β v + γ v + δ Trzenu zpreminu cemo nci ko odgovrjuci koren polinom f(v Koeficijenti polinom: α p δ 4.56 γ.7 := β =.9 U nizu vrednosti koeficijent se uocvju tri Svi koreni polinom: 4.68 V:= polyroots ( V =.4.86+.i.86.i.98 promene znk, p je broj pozitivnih koren, koji imju fizickog smisl, jednk ili. Fizickog smisl im jedini pozitivn koren: v := V v =.976 7
ZADACI 7. Jedn od prktičnih kriterijum z izlzk iz itercionog postupk je uslov (7.6. Imjući u vidu vezu između broj sigurnih deciml i grnice psolutne greške približnog broj, d pokzti d u slučju osciltorne konvergencije, tolerncij ε =.5 u kriterijumu (7.6, obezbeđuje dobijnje numeričkog rešenj neke jednčine s d tčnih (sigurnih deciml. Pošto u slučju monotone konvergencije predložen vrednost tolerncije ε ne grntuje d tčnih deciml u rezulttu, preporučljivo je proveriti d li je odbrn tolerncij dovoljn, ponvljnjem prorčun s mnjom (recimo put tolerncijom i poređenjem dv rezultt, nlogno izboru prmetr TOL. 7. Imjući u vidu vezu između broj sigurnih cifr i reltivne greške približnog broj, tolernciju δ u izlznom kriterijumu (7.6b, možemo d povežemo s zdtim brojem sigurnih cifr u rezulttu itercionog postupk. U Pogl. (. smo, koristeći princip mjorizcije, izveli jednčinu (.9 z procenu reltivne greške približnog broj, * R iz pozntog broj sigurnih cifr s, problem određivnj grnice reltivne greške d bi broj imo s sigurnih cifr je obrnut problem. Potrebno je, pokzti (koristeći princip minorizcije d je, gornj grnic dozvoljene reltivne greške približnog broj, d bi on imo zdt broj sigurnih cifr, s jednk: R =.5 s b pokzti d tolerncij δ =.5 s u izlznom kriterijumu (7.6b grntuje, u slučju osciltorne konvergencije itercionog postupk, s sigurnih cifr u rešenju neke jednčine. Što se tiče itercionih proces koji konvergirju monotono, vži sličn diskusij ko u prethodnom problemu. 7. Rekcij sinteze monijk, N + NH H se izvodi u ktlitičkom rektoru n pritisku p = 4br, pri čemu se rektnti uvode u molskom odnosu N : H = : 4. Izlzn tempertur je 5K. Ako se pretpostvi uspostvljnje rekcione rvnoteže u rektoru, stepen konverzije npredovnj rekcije, se dobij rešvnjem jednčine (uslov rekcione rvnoteže: 4 (5 ( (4 = k = 6, < < Izvesti sledeće jednčine, koje su ekvivlentne (imju ist rešenj dtoj: 4 (5 4 (5 k( (4 =, =, k(4 = 4 k( (4 5 b Anlizom grfik funkcije u jednčini (, utvrditi d dt jednčin, u intervlu (, vrednosti koje imju fizičkog smisl, im jedno rešenje i grubo g proceniti. c Anlizom grfik, utvrditi krkter itercionih proces pri primeni metode prostih itercij n jednčine ( i ( i odbrti pogodniju od njih z primenu metode prostih itercij. 7
d Rešiti jednčinu odbrnu u c, s preciznošću od 4 sigurne cifre, ne koristeći funkciju iter i polzeći od grube procene rešenj dobijene u b ili c. e Rešiti jednčinu odbrnu u c korišćenjem funkcije iter (Prkt., VIII- z rešvnje odbrne jednčine, s dekvtno odbrnom tolerncijom, prem zdtoj preciznosti rešenj. Prorčun ponoviti z tri polzne procene rešenj:, procen korišćen u d i. Uporediti broj potrebnih itercij pri rzličitim polznim procenm. f Odbrnu jednčinu rešiti pomoću funkcije root g Uporediti, koristeći funkcije iter i Wegstein, konvergentne krkteristike metode prostih itercij i metode Vegštjn s jednčinm ( i (. Rešenje: b.95 c jednčin ( d itercij,.94 e 4,, g jednčin ( - iter ( itercij, Wegstein ( itercije jednčin ( - iter (ne konvergir, Wegstein ( itercije 7.4 Brzin tloženj čvrste sferične čestice u nekom fluidu dt je jednčinm: w = 4g ( ρ ρ s C ρ s d, gde je Cs = 4 +.4 Re g - ubrznje zemljine teže ρ - gustin fluid ρ s - gustin čestice d - prečnik čestice C s - koeficijent trenj Re - Reinoldsovov broj: Re = w d ρ µ.7 ( Re Gvozden sfern čestic prečnik d =.5mm i gustine ρ s = 786 kg/m pd kroz vzduh čij su svojstv: ρ =. kg/m, µ =.79-5 P s. Anlizom grfik z dte podtke, utvrditi krkter itercionog proces metode uzstopnih zmen i grubu polznu procenu tržene brzine. b Koristeći funkciju iter odrediti brzinu tloženj gvozdene kuglice z dte podtke s tčnošću od dve sigurne cifre, s tolerncijom izrčuntoj po formuli dtoj u problemu 7.. c Proveriti d li korišćen tolerncij obezbeđuje dve sigurne cifre u rezulttu, njenim smnjivnjem i prćenjem promen rezultt. d Ponoviti b i c z vodu ko medijum (µ = 8.9-4 Ps kroz koji pd gvozden kuglic, pri istim ostlim podcim. Rešenje: monoton konvergencij, 7.5 b 7.6 c d d. 7.5 Izotermski fktor efektivnosti,η ktlizovne rekcije A( g produkti( g n neporoznoj ktlitičkoj površini dobij se rešvnjem jednčine: η = n ( D η, < η D - Dmkelerov bezdimenzioni kriterijum n - red rekcije 7
Pokzti d se, z red rekcije n >, u intervlu vrednosti Dmkelerovih brojev D n može očekivti konvergencij metode uzstopnih zmen, bez obzir n polznu procenu fktor efektivnosti. b Pokušti d se, s preciznošću od sigurne cifre, koristeći funkciju iter, izrčun fktor efektivnosti z rekciju red n =.5 i vrednosti Dmkelerovih brojev: D =.5/ n, / n, / n. c Definisti vektor ekvidistntnih vrednosti D brojev, počev od p do s korkom., ztim z svku od tih vrednosti izrčunti fktor efektivnosti rekcije red n =.5, pomoću ( funckije root s polznom procenom η =. Končno ncrtti zvisnost fktor efektivnosti posmtrne rekcije od Dmkelerovog broj u intervlu D. 7.6 Zvisnost ostvrenog stepen konverzije, rektnt A u rekciji. red A produkti od kontktnog vremen, τ u dijbtskom protočnom rektoru s idelnim mešnjem, dt je jednčinom: E R T ( = ke ( ( s ( τ gde je E R (K količnik energije ktivcije i univerzlne gsne konstnte tempertur T je sledeć linern funkcij stepen konverzije: T ( = T + C λ A k predeksponencijlni fktor u Arenijusovom izrzu z konstntu brzine rekcije, s - E R = E R, τ - kontktno vreme (količnik zpremine rektor i zpreminskog protok rekc.smeše, s C A - koncentrcij rektnt u ulznoj struji, mol m T, T temperture ulzne i izlzne struje rektor, K λ - dijbtsko povećnje temperture, K m mol Potrebno je izrčunti stepen konverzije, s tčnošću od 4 sigurne cifre, z sledeće podtke: 6 kmol m k = 4.48 s, ER = 7554K, CA =, T = 98K, τ = s, λ = 5K m kmol Anlizom grfik, utvrditi d problem z dte podtke im tri rešenj i grubo ih proceniti b N osnovu nlize grfik, utvrditi koj od tri rešenj se mogu dobiti metodom prostih itercij i odrediti ih pomoću funkcije iter, s tolerncijom δ = 5 c Preostl rešenj dobiti pomoću funkcije Wegstein, s istom tolerncijom (možd će biti neophodno vrirnje polzne procene d bi postupk konvergiro. Proveriti ztim dekvtnost odbrne tolerncije. d Treb dobiti s zdtom preciznošću tržen rešenj, pomoću funkcije root. Uveriti se d stndrdn vrednost (. sistemskog prmetr TOL ne obezbeđuje trženu tčnost z njmnje od tri rešenj. Kko se to može objsniti? Utvrditi njveću vrednost TOL, oblik -n, tj. njmnju vrednost n (n =,,,... koj obezbeđuje trženu tčnost. Rešenje:.5,.4,.98 b prvo,.58 74
d n = 7 7.7 Prethodni problem rešiti metodom seknte i metodom tngente, koristeći funkcije Njutn i Seknt (Prkt.,IX-, -. Uporediti brojeve itercij neophodne d se s zdtom tolerncijom i istim polznim procenm, tri rešenj dobiju rzličitim metodm i objsniti uočeno n osnovu teoretskih znnj izloženih u tekstu ove glve. 7.8 U fleš seprtoru se rzdvj etilen od etn iz smeše koj pored te dve komponente sdrži i propn i butn. Potrebno je, s tčnošću od 4 decimle, odrediti udeo pre u izlznoj dvofznoj smeši α, ko rešenje nelinerne jednčine: f ( α = n j= z j + α ( k j ( k j =, < α < gde su: n - broj komponent u smeši k i - konstnte rvnoteže pr-tečnost komponent z i - molski udeli komponent u polznoj, tečnoj meši z podtke: Rešiti problem metodom tngente i metodom seknte i uporediti brzine konvergencije. Rešenje:.6967 (polzn proven.5, 4 itercije - ob metod 7.9 Dte su vrednosti specifičnih toplot c p ( kj kgk zot n pritisku p = br i rzličitim temperturm: Komponent z i k i Etilen. 6. Etn.5.4 Propn.5.8 Butn.5.4 T(K 4 5 6 7 8 9 c p.47.4.7.9.6.6.8.4.94 Potrebno je izrčunti do koje temperture T se ohldi zot početne temperture T = 85K, ko mu se odvede toplot u iznosu od q =7 kj/kg, rešvjući jednčinu energetskog bilns: q = T T c ( t dt p Podintegrlnu funkciju proksimirti kubnim spljnom (pspline i jednčinu rešiti pomoću funkcije root. Proveriti d li stndrdn vrednost tolerncije, TOL =. obezbeđuje dobijnje rešenj s tčnošću od dve decimle. Rešenje: 4.6, TOL =. je dovoljno mlo 7. Potrebno je, s tčnošću od 4 sigurne cifre, izrčunti molsku zpreminu v (l/mol ugljendioksid n pritisku od tm i temperturi T = K pomoću Bettie-Bridgemn jednčine stnj, s podcim dtim u Zdtku 7.6 u tekstu ove glve. Uveriti se d funkcij Njutn ne obezbeđuje konvergenciju itercionog postupk pri rešvnju jednčine: 75
α β + v v γ v δ v + + p = 4 polzeći od molske zpremine idelnog gs, v id ko polzne procene. Polzeći pk od grube procene rešenj dobijene iz grfik, t funkcij dje željeno rešenje. Objsniti uočeni uticj polzne procene n konvergenciju metode tngente, n osnovu dovoljnog uslov konvergencije ove metode (T4. b Uveriti se d funkcij root, s molskom zpreminom idelnog gs, ko polznom procenom dje kompleksno rešenje. Ako se ko polzn procen uzme on dobijen s grfik, funkcij root dje trženo rešenje. Kko to objsniti? c Uveriti se d solve block uspešno rešv problem, bez obzir n polznu procenu, što govori u prilog njegove veće pouzdnosti od funkcije root. d D li se suočvmo s istim problemom ko umesto dte, rešvmo ekvivlentnu jednčinu, dobijenu množenjem dte jednčine s v 4? Št iz tog možemo d zključimo? ( ( Rešenje: uslov f ( f ''( > nije zdovoljen b Metod seknte (root se ponš blisko metodi tngente d Ne. Trnsformcijom jednčine se mogu promeniti uslovi konvergencije 7. Dt je polinom: P 5 ( = 5 7.9 4 +.8.66 +. - 6.5 Pokzti d on nem negtivne korene. b Proceniti moguć broj pozitivnih koren polinom, ko i broj kompleksnih koren. c Utvrditi tčn broj i krkter koren pomoću grfik. d Pronći sve korene pomoću funkcije polyroots. Rešenje: b Broj pozitivnih koren:,,5. Broj kompleksnih koren:,,4 c pozitivn, kompleksn d.75,,.64, -i, +i 7. U zdtku 7. (tekst dt je virijln jednčin stnj z izopropnol. Ne crtjući grfik, pokzti d on, z dte podtke, dje dve pozitivne vrednosti z molsku zpreminu. b Nći obe vrednosti pomoću funkcije polyroots i odbrti onu, koj im fizičko znčenje. Rešenje: b 7.464 7. Potrebno je rešiti problem 7., polzeći od ekvivlentne jednčine: 4 (5 k( (4 i koristeći funkciju polyroots. =, k = 6 Koristeći lt epnd u Symbolic toolbr-u, prevesti polinom s desne strne znk jednkosti u knoničn oblik. b Pomoću lt coeffs iz istog toolbr-, definisti vektor koeficijent polinom c N osnovu koeficijent i poznvnj problem, pokzti d polinom nem negtivne nule i d im br dve pozitivne. d Pomoću funkcije polyroots nći sve korene polinom i odbrti onj koji predstvlj trženo rešenje. 76