Osnovni pojmovi teorije Galoa

Osnovni pojmovi teorije Galoa Milan Ružić Matematički fakultet, Beograd 4. jun 2004. Uvod U algebri je dugo bilo otvoreno pitanje rešivosti algebarskih jednačina a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 preko radikala, tj. primenom neke formule u kojoj učestvuju jedino elementarne operacije polja i korenovanje proizvoljnog stepena. Ova jednačina invarijantna je u odnosu na odredjene automorfizme koji permutuju njene korene. Videćemo da ta preslikavanja obrazuju tzv. Galoaovu grupu jednačine, o čemu i piše Evarist Galoa 1 u svom poslednjem pismu: U teoriji jednačina ispitivao sam uslove pod kojim je neka jednačina rešiva preko radikala, to mi je dalo priliku da produbim ovu teoriju, i opišem sve moguće transformacije na nekoj jednačnini, pa i na onim koje nisu rešive radikalima.... Počeci ove teorije javljaju se i kod drugih matematičara. Abel je čak pre Galoa pokazao da se jednačina 5. stepena ne može rešiti pomoću radikala. Medjutim, Galoa je imao opštiji pristup on je taj koji je definisao i shvatio značaj pojma grupe. Njegov rad objavio je Liuvil 14 godina posle čuvenog dvoboja. Ovaj članak ima za cilj da objasni osnovne pojmove i tvrdjenja teorije Galoa i algebarskih raširenja polja. Neke navedene stvari razvile su se i izkristalisale tek posle objavljivanja Galoaovog rada, te ih on nije poznavao. Članak može služiti za podsećanje, ali i prvo upoznavanje sa materijom, ne ulazeći u detalje dokaza. Za čitanje je potrebno neveliko predznanje iz teorije grupa i osnove teorije polja. Dakle, gradivo kursa Algebra 1 je sasvim dovoljno. 1 Algebarska raširenja Neka su F i E polja. F je potpolje polja E, odnosno E je ekstenzija polja F akko je F algebarska potstruktrura polja E. U tom slučaju pišemo F E. Dakle, ako F E onda 0 F = 0 E, x + F y = x + E y, itd. 1 Évariste Galois(1811-1832), francuski matematičar. 1

Tako je Q R C. Svako potpolje od C naziva se brojevnim poljem. Na primer, Q ( 2 ) = {x + y 2 x, y Q} je jedno brojevno polje. Neka je F E. Onda E F = ((E, +, 0), F, ), gde definišemo α x = αx za α F i x E, obrazuje strukturu vektorskog prostora. Uvedimo oznaku za stepen raširenja: E : F = dim E F. Ako je stepen konačan tada i rašiernje nazivamo konačnim. Sledeće tvrdjenje važi za proizvoljna, dakle i beskonačna raširenja. Teorema 1 Neka su E, F, K polja takva da važi F E K. Tada je K : F = K : E E : F. Ako je polje beskonačne karakteristike (kaže se i karakteristike 0) ono će biti i vetorski prostor nad Q. Polje proste karakteristike p (ako je karakteristika konačna ona mora biti prosta) je i vektorski prostor nad Z p. Koristeći dosadašnja saznanja pokazuje sa da važi Teorema 2 Neka je F konačno polje. Tada je F = p k, za neki prost broj p i k N +. Prsten polinoma F[X] je komutativan i nema pravih delitelja nule. 2 Polje racionalnih izraza nad tim prstenom označavamo sa { } p F(X) = p, q F[X], q 0. q Ono je raširenje polja F, ali ne i konačno jer sadrži, na primer, beskonačnu linearno nezavisnu familiju [1, X, X 2,...]. Neka je sada a fiksiran element polja E i F E. Sa F(a) označavamo polje razlomaka nad F[a] (tu je, očekivano, F[a] = {p(a) p F[X]}). F(a) je minimalno potpolje od E koje sadrži F i a. Ono sadrži i familiju [1, a, a 2,...] koja je linearno zavisna ako postoji ne-nula p F[X] za koji je p(a) = 0. U tom slučaju kažemo da je a algebarski element nad F. U suprotnom, ako a poništava samo nula polinom iz F[X] zovemo ga transcedentnim nad F. Jasno je da je tada F(a) = F(X). E F je algebarsko raširenje polja F ako je svaki a E algebarski element nad F. Na primer, 2 je algebarski nad Q i Q( 2) je algebarsko raširenje polja Q. R nije algebarsko raširenje polja Q jer su, na primer, π i e transcedentni nad Q. Lako je videti da je svako konačno raširenje i algebarsko. Zato mora biti R : Q =. Pretpostavimo da je a E algebarski nad F. Prema principu najmanjeg elementa za N postoji polinom m F[X] najmanjeg stepena za koji je m(a) = 0. Možemo uzeti da je m moničan; zovemo ga minimalni polinom za a nad F. 2 Element X prstena polinoma, označavaćemo nekad i sa x. 2

Teorema 3 Neka je F E, a E algebarski nad F i m(x) minimalni polinom od a nad F. Tada važi: 1. m je nesvodljiv nad F. 2. Ako je p(a) = 0 za p F[X], onda m(x) p(x). 3. Ako je n = deg m, onda je F(a) = { b 0 + b 1 a +... + b n 1 a n 1 b k F, 0 k < n }. 4. F(a) : F = n = deg m. Za n 2, x n 2 je nesvodljiv nad Q prema Ajzenštajnovom kriterijumu. Onda je on i minimalni polinom za n 2 i Q ( n 2 ) : Q = n. 2 Korensko polje i normalna raširenja Neka su F E polja i f F[X], deg f 1. polinoma f nad F akko: Polje E je korensko polje f ima faktorizaciju na linearne faktore tj. za neke a 1,..., a n E i c F je f(x) = c(x a 1 ) (x a n ). Ni u jednom medjupolju K (takvom da je F K E) f nema linearnu faktorizaciju. Teorema 4 Ako je F polje i f F[X], deg f 1, tada f ima korensko polje. Uz to, korensko raširenje je jedinstveno do na izomorfizam. Algebarsko raširenje E F je normalno ukoliko za svaki f F[X] koji je nesvodljiv važi: ako f ima jedan koren u E onda E sadrži sve korene polinoma f. Drugim rečima, ako E sadrži jedan koren od f, onda ono sadrži i korensko polje od f. Na primer, Q ( 3 2 ) ne sadrži korensko polje polinoma x 3 ( 2 (nad Q) jer ne obuhvata preostala dva, kompleksna korena. Medjutim, Q 3 2π 2, e i) 3 jeste korensko polje polinoma x 3 2. Ono je i normalno raširenje polja Q na osnovu sledeće teoreme. Teorema 5 Konačno rašiernje E F je i normalno akko E sadrži korensko polje nekog polinoma nad F. 3 Separabilna raširenja Nerastavljiv polinom f F[X] je separabilan nad F akko su svi koreni od f u njegovom korenskom polju medjusobno različiti. Proizvoljan polinom f F[X] je separabilan nad F akko su svi njegovi nerastavljivi faktori iz F[X] separabilni. 3

Teorema 6 Neka f F[X] i deg f > 0 (tj. f je pravi polinom). Tada f ima sve proste nule (reda 1) u njegovom korenskom polju akko (f, f ) = 1 tj. akko je uzajamno prost sa svojim izvodom. Specijalno, nesvodljiv polinom f je separabilan akko je f 0. U poljima proste karakteristike postoje polinomi za koje je deg f > 0 i f = 0. Na primer, to je slučaj sa polinomom x p2 + x p nad Z p, gde je p prost broj (dati polinom je rastavljiv nad Z p ). Medjutim, ako je polje karakteristike 0 onda za deg f > 0 uvek važi deg f = deg f 1. Posledica je da nesvodljiv polinom nad brojevnim poljem nema višestruke kompleksne korene. Neka su E F polja. Za element a E kažemo da je separabilan ako je koren nekog separabilnog polinoma nad F. Uz to, za samo raširenje E kažemo da je separabilno ako je to svaki od njegovih elemenata. Primetimo da je separabilno raširenje i algebarsko. Ako je E separabilno raširenje polja F i m(x) minimalni polinom za a E, tada je m(x) nesvodljiv i separabilan. Delom smo videli da važi i Teorema 7 Ako je polje F konačno ili karakteristike 0, svako od njegovih konačnih raširenja E je i separabilno. Ako za polja E F postoji α E za koji važi E = F(α), tada kažemo da je E prosto raširenje polja F. Takodje α se naziva primitivnim elementom polja E. Na primer, Q( 2, 3) = Q( 2 + 3). Teorema 8 Neka je E konačno i separabilno raširenje polja F. E je onda i posto raširenje polja F. 4 Automorfizmi i konjugacija Svaki homomorfizam h : E K polja E u polje K je i monomorfizam. Naime, ako je a bilo koji ne-nula elment E, iz a 1 a = 1 i h(1) = 1 sledi da je h(a 1 )h(a) = 1, pa je tada i h(a) 0. Otuda je Ker h = {0}, što znači da je taj homomorfizam i injektivan. Kod polja E F K, od posebnog značaja su homomorfizmi iz E u K koji fiksiraju zajedničko potpolje F. Videli smo da je svaki takav homomorfizam i injektivan (utapanje). On će biti i izomorfizam ako je E : F = K : F. Za raširenja E i K polja F kažemo da su konjugovana nad F ako postoji izomorfizam f : E K takav da je f F = i F (sa i F označavamo identičko preslikavanje). Dodatno, za neke α E i β K kažemo da su konjugovani F ako postoji izomorfizam f : F(α) F(β), f F = i F i f(α) = β. Teorema 9 Ako su E i K raširenja polja F, njihovi elementi α i β su konjugovani akko su, ili transcendentni, ili imaju isti minimalni polinom nad F. Neka su E F polja. Skup Aut E svih automorfizama polja E obrazuje grupu u odnosu na njihovo slaganje. Nije teško proveriti da je G = {σ Aut E : σ F = i F } 4

jedna podgrupa te grupe. Obeležavamo je sa G E:F ili G(E F). Tako, na primer, ako su a i b 0 bilo koji realni brojevi, minimalni polinom kompleksnog broja z = a + bi nad R je X 2 2aX + a 2 + b 2, pa su jedini konjugati od z u C upravo z = a bi i samo z. Ovo proizilazi iz činjenice da homomorfizmi slikaju nule polinoma u nule korespodentnog polinoma, što ograničava broj različitih homomorfizama koji fiksiraju R. Kako je C = R(i) i svaki σ G C:R Aut C potpuno odredjen sa σ(i), sledi da je G C:R = {z z, z z}. Zanimljivo je pomenuti da je Aut C = 2 2ℵ 0. Lako se pokazuje da automorfizmi svakog raširenja polja Q moraju da fiksiraju Q. Medjutim, osim dva pomenuta, ostali elementi Aut C ne fiksiraju celo R. 5 Galoaova rašiernja Za polja E F, grupu Γ = G E:F zovemo Galoaovom grupom od E nad F. Značaj te grupe je u tome što postoji odredjena veza izmedju njenih podgrupa i potpolja od E koja sadrže F. Naime, ako je Π bilo koja od tih podgrupa, lako se proveri da je skup Π = {a E : ( π Π)(π(a) = a)} i jedno potpolje polja E koje sadrži F; zovemo ga fiksnim poljem te podgrupe Π. S druge strane, svakom medjupolju L, F L E odgovara jedna podgrupa L = {π Γ : ( a L)(π(a) = a)} grupe Γ. To je upravo grupa svih automorfizama polja E koji fiksiraju L. Posebno je F = Γ, kao i E = i E. Pridruživanja Π Π i L L nazivamo Galoaovim vezama ili koneksijama izmedju skupa P = P(E, F) svih podgrupa grupa Γ i skupa F = F(E, F) svih polja izmedju F i E. Uz to, za svake Π, Σ P i svake L, K F važi Π Σ Π Σ, L K L K, pa su ta pridruživanja monotono opadajuća u odnosu na inkluziju. Takodje je Π Π, kao i L L. No, u opštem slučaju, ne mora biti i L = L, čak ni za L = F. Kako je Γ = F, to ne mora biti Γ = F. Za ilustraciju, raširenje E = Q ( 3 2 ) polja Q ima tačno jedan automorfizam i E, i za odgovarajuću grupu Γ = G E:Q važi Γ = E Q. U slučaju kada važi Γ = F i kada je raširenje E konačno, zovemo ga Galoaovim raširenjem. Drugim rečima, raširenje je Galoaovo ako osim elemenata F nema drugih koji su nepokretni u odnosu na svaki σ Γ. Teorema 10 Konačno raširenje E polja F je Galoaovo akko je normalno i separabilno. Onda je Γ = E : F. 3 Sledeća teorema dobila je naziv vodeća teorema teorije Galoa. 3 Negde se Galoaovo raširenje definiše kao konačno, normalno i separabilno raširenje. 5

Teorema 11 Ako je E bilo koje Galoaovo raširenje polja F, tada važi: 1. Galoaove veze Π Π i L L izmedju skupova P i F su bijektivne, uzajamno inverzene i opadajuće u odnosu na relaciju. 2. E je Galoaovo raširenje svakog polja L izmedju F i E. Red grupe G E:L = L je E : L. 3. Medjupolje L je Galoaovo raširenje polja F akko je odgovarajuća podgrupa L normalna u grupi Γ. Tada je grupa G L:F izomorfna grupi Γ/L. 6 Algebarske jednačnine Algebarske jednačine sa jednom nepoznatom nad poljem F su oblika f(x) = 0, za f F[X]. Nule polinoma f zovemo rešenjima ili korenima jednačine. Dovoljno je ograničiti se na monične polinome. Teorema 12 Ako je polinom f nad poljem F separabilan, tada je njegovo korensko polje K separabilno, a samim tim i jedno Galoaovo raširenje polja F. U slučaju separabilnog polinoma f, grupu G K:F nazivamo Galoaovom grupom polinoma f; označavamo je i sa G f:f = Γ f. Jasno je da ona zavisi od polja F, jer je se f može posmatrati i kao polinom nad svakim E F, pa možemo razmatrati i odgovarajuću grupu G f:e. Svaki automorfizam σ Γ f indukuje permutaciju skupa svih nula tog polinoma. Stoga je njegova Galoaova grupa izomorfna nekoj podgrupi simetrične grupe S n, gde je n stepen polinoma f. Kao posledicu imamo da Γ f deli n!. 7 Rešive grupe Skrenućemo sa glavnog toka izlaganja i, kompletnosti radi, uvesti pojam rešive grupe. Naziv potiče upravo zbog uticaja na rešivost algebarskih jednačina. Neka je G grupa. Komutator elemenata a, b G je [a, b] = a 1 b 1 ab. Zbog ab = ba[a, b], možemo ga shvatiti kao odstupanje proizvoda ab od ba. Izvod grupe G je grupa G = [a, b] : a, b G generisana svim komutatorima grupe G. Jasno je da je G Abelova akko G = {1}. Nije teško proveriti da važe i sledeća tvrdjenja: ( H < G)(G H H G). Specijalno, G G. G/H je Abelova akko je G < H. Neka je h homomorfizam grupe G na grupu A, tj. A = h(g). Tada je A = h(g ). 6

n-ti izvod definišemo induktivno: G (n) = ( G (n 1)). Svaki izvod je normalna podgrupa prethodnog izvoda tako da imamo jedan opadajući lanac. Najzad, G je rešiva akko je G (m) = {1} za neko m N. Teorema 13 Simetrična grupa S n i alternirajuća grupa A n, su rešive akko je n 4. 8 Rešivost jednačine radikalima Pri rešavanju algebarske jednačine f(x) = 0, prirodno se nameće ideja da se ona svede na rešavanje konačno mnogo binomnih jednačina, tj. jednačina oblika x s = a. Tu je a K neka vrednost dobijena u prethodnom delu procesa. Rešenja binomne jednačine zovemo s-tim korenima ili radikalima elementa a. Neka je F polje i s prirodan broj koji nije deljiv karakteristikom polja F. Tada za raširenje E polja F kažemo da je radikalsko akko postoji a F i bar jedan nerastavljiv polinom oblika x s a, tako da za neku njegovu nulu α vazi E = F[α]. Podsetimo se da je s = E : F. Za algebarsku jednačinu f(x) = 0 nad poljem F kazžemo da je rešiva radikalima ako je njeno korensko polje K sadržano u poslednjem članu nekog radikalskog lanca sa početkom u F. Dakle, ako je svaki član lanca F = L 0 L 1 L m radikalsko raširenje prethodnog, i K L m, jednačina f(x) = 0 je rešiva radikalima. Teorema 14 Algebarska jednačina f(x) = 0, deg f > 0, nad poljem F karakteristike 0 je rešiva pomoću radikala akko je rešiva njena Galoaova grupa G f:f. Za n = deg f 4, poznate su formule za izražavanje rešenja jednačine preko njenih koeficijenata, naravno korišćenjem samo operacija njenog korenskog polja i korenovanja. Da to nije slučaj sa većim stepenima pokazuje Teorema 15 Za svako n > 4, nad poljem Q postoji algebarska jednačina stepena n koja nije rešiva radikalima. Literatura 1. G. Kalajdžić: Algebra, Beograd, 1988. 2. N. Božović, Ž. Mijajlović: Uvod u teoriju grupa, Beograd, 1983. 3. Ž. Mijajlović: Beleške sa predavanja iz Algebre 2, http://www.matf.bg.ac.yu/nastavno/zmijaj.html. 7