SIMETRIČNI POLINOMI I PRIMENA MASTER RAD
|
|
- Λαδων Κορομηλάς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET DIPLOMSKE AKADEMSKE STUDIJE-MASTER SIMETRIČNI POLINOMI I PRIMENA MASTER RAD Mentor: Prof dr Gojko Kalajdžić Student: Milica Maksimović
2 2 Sadržaj Predgovor 3 Uvod 4 Polinom, pojam i osobine 5 Definicija (polinom sa n neodreñenih): 5 Definicija (monom): 5 Stepen polinoma 6 Definicija (homogeni polinom): 6 Polinomska funkcija 7 Teorema (izomorfizam homomorfizma): 8 Pojam i primeri simetričnih funkcija 9 Definicija (simetrični polinom): 9 Definicija (simetrična grupa): 10 Osnovne simetrične funkcije 12 Centralne simetrične funkcije (polinomi) s k 12 Osnovne (elementarne) simetrične funkcije σ k 13 Definicija (elementarne simetrične funkcije): 14 Veza izmeñu funkcija s k i σ k 16 Teorema (Njutnova formula) 18 Osnovna teorema o simetričnim polinomima 26 Teorema: 26 Posledica teoreme: 28 Primedbe o vrstama zavisnosti 29 Primedba o stepenu dobijenog polinoma, o izobaričnosti polinoma kada je krajnji simetrični polinom homogen 30 Teorema (Cayley): 30 Primedba o težini monoma 30 Teorema (Brioschi): 31 Osnovna teorema algebre 33 Lema 1 33 Lema 2 33 Lema 3 33 Teorema: 33 Zaključak 36 Literatura 38
3 3 Predgovor U ovom radu ćemo se upoznati sa složenijim načinom zadavanja funkcija, upoznaćemo neke nove elementarne funkcije Meñu svim elementarnim funkcijama najjednostavniji su polinomi, čija se vrednost može izračunati pomoću konačno mnogo elementarnih operacija sabiranja i množenja Zbog toga su polinomi naročito važni, jer ponašanje mnogih drugih funkcija istražujemo dovodeći ih u vezu sa polinomima Rad je organizaciono podeljen na pet delova Prvi deo sadrži definiciju polinoma sa n neodreñenih, definiciju monoma polinoma, kao i objašnjenje šta je stepen polinoma, odnosno šta je stepen homogenosti polinoma Takoñe je ukazano i na vezu izmeñu termina polinoma i polinomske funkcije U drugom delu su objašnjeni pojam simetričnih funkcija (polinoma) i podela simetričnih funkcija Treći deo definiše i dokazuje vezu izmeñu funkcija pomoću Njutnove formule Četvrti deo sadrži definiciju i dokaz osnovne teoreme o simetričnim polinomima, kao i primedbe o vrstama zavisnosti, stepenu, izobaričnosti polinoma Peti deo definiše i dokazuje osnovnu teoremu algebre Ovom prilikom zahvaljujem se svom mentoru prof dr Gojku Kalajdžiću na podršci, poverenju, savetima i lepim rečima Beograd, novembra 2012 Milica Maksimović
4 4 Uvod Polinom je toliko često korišten pojam u matematici da se čak i osnovci vrlo brzo upoznaju sa njegovim najosnovnijim definicijama i tvrñenjima koje zadovoljava Polinomi su matematički alat kojim se predstavljaju mnogobrojni problemi u matematici i nauci uopšte, od vrlo jednostavnih jednačina sa jednom nepoznatom do veoma komplikovanih problema, kao što su numerička aproksimacija različitih funkcija, konstrukcija prstena polinoma i mnogih drugih korištenih pojmova u algebri i algebarskoj geometriji Najprirodniji put da dokažemo da realni polinom u polju C ima bar jednu nulu, to jest da realna algebarska jednačina ima bar jedan koren, je direktna konstrukcija te nule, odnosno tog korena Za linearni i kvadratni polinom ta konstrukcija je jednostavna i dobro poznata Taj put odabrao je Cardano za slučaj kubne jednačine, a na taj način (Ferrari-evom metodom) je rešena i bikvadratna jednačina Pokušaji da se na sličan način ''pomoću radikala'' reše i algoritamske jednačine višeg stepena, zapeli su već kod jednačina petog stepena To nije nimalo slučajno, jer je NHAbel 1826godine dokazao da se na taj način ne može rešiti opšta algoritamska jednačina stepena Taj neočekivani rezultat Abel-a dobiće malo kasnije i EGalois u okviru nove teorije koja se danas zove njegovim imenom Kada bi se svaka (realna) algebarska jednačina mogla rešiti ''pomoću radikala'', onda bi se lako moglo zaključiti da njena rešenja leže u polju C kompleksnih brojeva, što bi smo mi danas rekli, u nekom proširenju polja C, a ne kako se to verovalo sve do Gauss-a, negde u ''ničijoj zemlji'' To nas dovodi do prve mistične pojave Osnovne teoreme algebre i praćenja te teoreme od samog početka, pa sve do njenog današnjeg shvatanja, kao nečega prirodnog i samo po sebi jasnog
5 5 Polinom, pojam i osobine Definišimo polinom po neodreñenih nad poljem K Definicija (polinom sa n neodreñenih): Neka su nenegativni celi brojevi i i Polinom po neodreñenih nad poljem K je izraz oblika, gde su njegovi koeficijenti Skup takvih polinoma, u oznaci sabiranja i množenja polinoma, čini komutativni prsten sa jedinicom sa uvedenim odgovarajućim operacijama Definicija (monom): Proizvod se naziva primitivni monom stepena Polinom se naziva monom
6 6 Stepen polinoma Ako je polinom iz prstena definisan sa i tada se kao stepen polinoma uzima maksimum stepena monoma koji se pojavljuju u polinomu (njihovi koeficijenti ) Stepen polinoma je nula akko je Polinom po neodreñenih može se razmatrati kao polinom po jednoj neodreñenoj, recimo, sa koeficijentima u Stepen takvog polinoma se naziva stepen od po Jasno je da je najveći ceo broj koji se pojavljuje kao eksponent od u monomima sa Slično se definiše stepen polinoma po bilo kojoj neodreñenoj ( ) Ovi stepeni su različiti od stepena polinoma, koji se ponekad naziva totalni stepen Primer 1 Polinom ima totalni stepen 6, dok imaju stepene redom 4,2,1 Definicija (homogeni polinom): Za polinom kažemo da je homogen polinom akko su njegovi nenula monomi istog stepena Stepen homogenog polinoma se naziva stepen homogenosti polinoma
7 7 Ako je homogeni polinom stepena homogenosti d, tada je Primer 2 Polinom je homogen stepena 3 Primer 3 Ako je tada je,, pa je polinom homogen, stepena homogenosti 6 Polinomska funkcija Takoñe trebamo ukazati i na to da se polinom može tretirati i kao funkcija Naime, na osnovu (algebarski polinom po x nad poljem K) možemo definisati preslikavanje pomoću i uočiti homomorfizam
8 8 Preslikavanje nazivamo polinomskom funkcijom Teorema (izomorfizam homomorfizma): Homomorfizam je izomorfizam akko je polje K beskonačno Dakle, za beskonačna polja jednostavno nećemo praviti razliku izmeñu polinoma i polinomske funkcije, a za neodreñenu x koristićemo i termin promenljiva Takva beskonačna polja su npr R i C Meñutim, u konačnim poljima iz jednakosti polinomskih funkcija ne sleduje jednakost polinoma Kako ne bi došlo do zabune, umesto termina polinomska funkcija koristićemo jednostavno termin polinom Skup svih polinomskih funkcija (polinoma) ne višeg stepena od označavamo sa Proizvoljni polinom iz ima oblik: Slično se može definisati i polinomska funkcija sa više promenljivih
9 9 Pojam i primeri simetričnih funkcija Posmatrajmo funkciju sa proizvoljno mnogo promenljivih, gde je n N različitih promenljivih -broj Definicija (simetrični polinom): Funkcija od n promenljivih se naziva simetrični polinom po ako je invarijantna za svaku permutaciju izvršenu nad za svaku permutaciju p skupa{ 1,2,n}, f ( x, x2, xn) f ( xp, x 1 p2, x 1 pn ), tj ako je Primer 4 Primer jednog takvog polinoma: p ( x 1 ) x p 1 Da bi uopštili ovu definiciju, posmatraćemo ''punu grupu permutacija sa n elemenata'' Kako se svaka permutacija može dobiti pomoću transpozicija, sledi da je funkcija simetrična ako pri transpoziciji njenih varijabli A na A zove se permutacija skupa A, 1 f f (1) funkcija ostaje ista Naime, bijekcija nepraznog skupa 2 f (2) n f ( n) Skup svih permutacija nepraznog skupa A je grupa u odnosu na kompoziciju funkcija kao binarna operacija na tom skupu, u oznaci S(A) Za permutaciju r S(A), kažemo da je transpozicija ako postoje elementi p, q A, p q, takvi da je r ( p) q, r( q) p, r( x) x, x A, x p, x q r je transpozicija elemenata p i q i često se označava sa ( pq ) Očigledno je r o r e
10 10 Definicija (simetrična grupa): Grupu S(A) zovemo simetrična grupa ili grupa permutacija skupa A S(A)A n { k N : k n } simetrična grupa stepena n, u oznaci S n Svaka permutacija δ, n > 1 je produkt, proizvod transpozicija tj svaka permutacija se može S n dobiti iz transpozicija Grupa S n ima n! elemenata Neka je K polje i neka je K[ ] Za bilo koju permutaciju 1 2 δ p 1 p2 n p n S n vrednost funkcije f na ( x p, x p, x p ) je polinom f ( x,, ) 1 2 n p x 1 p x 2 p u prstenu polinoma sa n n neodreñenih nad poljem K tj u K[ x 1, x2, xn ]F Primer 5 f(x,y,z)x 2 +y 2 -xz na Z[x,y,z], f(z,x,y) z 2 +x 2 -zy g(x,y)x 2 -xy+y 3 na R [x,y], g(y,x)y 2 -xy+x 3 Uopšte, f ( x, x, x ) se polinomski razlikuje od p1 p2 pn Definicija (simetrične funkcije): Neka je K polje i neka je zadat polinom na K[ x 1, x2, xn ]
11 11 Ako je f ( x, x, x ) f( )za sve permutacije p1 p2 pn 1 2 n δ S n, p 1 p2 p n onda f f( ) zovemo simetričnim polinomom na K[ x 1, x2, xn ] Kažemo i da je f( ) simetričan nad neodreñenim Primer 6 Polinomi su simetrični polinomi na K[x,y], kao i na K[x,y,z] Primer 7 Polinomi P P ( a b c) a P P ( a b c) a b 3 + b 2 + c 3 + c 2 3abc ab bc ca su simetrični polinomi ili simetrične funkcije neodreñenih a,b,c Sabiranje, oduzimanje i proizvod simetričnih polinoma je simetričan polinom Ako su dva simetrična polinoma i ako je njihov zbir, onda za bilo koju permutaciju imamo f( ) i g( ) f( ) + g( ) h( ) 1 2 p 1 p2 h ( x, x, x ) f ( x, x, x ) + g ( x, x, x ) p1 p2 pn p1 p2 pn n p n S n p1 p2 pn f( )+ g( ) h( ),
12 12 pa je i h( ) simetričan polinom Analogno se pokaže da su i hf-g, hf g simetrični polinomi Primenom prethodnog, ako je K polje, simetrični polinom u K[ x 1, x2, xn ] obrazuje potprsten nad K[ x 1, x2, xn ] Osnovne simetrične funkcije Uzimajući sumu svih različitih članova (monoma) dobijenih iz tipičnog člana oblika k1 k2 x 1 x2 x k m m gde su k 1,k 2,k m (m ) prirodni brojevi i zamenom indeksa 1,2,m sa svim permutacijama od m brojeva uzetih od 1,2,n, dobija se simetrična funkcija promenljivih, koju označavamo sa [k 1,k 2,k m ] U opštem slučaju, ako je t proizvod stepena od, čiji su eksponenti pozitivni celi brojevi, tada označava sumu ovog člana t i svih različitih članova dobijenih iz t permutacijom promenljivih Takvi simetrični polinomi nazivaju se Primer 8 a 2 b 2 c[2,2,1]a 2 b 2 c+ b 2 c 2 a+ c 2 a 2 b Dva standardna slučaja od n promenljivih su: Centralne simetrične funkcije (polinomi) s k Centralne simetične funkcije su oblika:
13 13 s k s k s k ( ) Od važnosti su sledeće simetrične funkcije: Posebno se stavlja da je Osnovne (elementarne) simetrične funkcije σ k Elementarne simetrične funkcije su oblika: Za Takoñe za Uvoñenjem nove neodreñene t i posmatranjem polinoma, uočavamo da su koreni polinoma i da je
14 14 simetričan polinom veličine Ako ovaj polinom napišemo kao polinom s obzirom na koeficijenti Definicija (elementarne simetrične funkcije): Funkcije 1 definisane pomoću: ( ) ( ) zovu se osnovne ili elementarne simetrične funkcije promenljivih Svi izrazi su simetrične funkcije x-ova, pa kako se te funkcije pojavljuju kao koeficijenti jednačina sa zadanim rešenjima, sledi da funkcije imaju osnovnu ulogu
15 15 Za sledeće osnovne simetrične funkcije važi za Primer 9 Veličinama x,y,z pripadaju ove osnovne simetrične funkcije Primer 10 Neka su zadati polinomi kao u primeru 7 U notaciji ti polinomi se mogu izraziti kao:
16 16 Veza izmeñu funkcija s k i σ k Već smo definisali centralne i osnovne funkcije sa s k s k ( ) i Osnovne simetrične funkcije sa dve promenljive su Dokažimo indukcijom da se svako može izraziti pomoću Za Pretpostavimo da je tačno za proizvoljno k Dokažimo da je formula tačna i za k+1
17 17 Kako je svaki član u poslednjem binomu polinom s obzirom na celobrojni polinom u odnosu na sledi da je binom Primer 11 Naći sumu kuba korena kvadratne jednačine Ako su koreni moramo da nañemo bez samog odreñivanja korena Korištenjem i formule, sledi da je
18 18 Teorema (Njutnova formula) Neka su osnovni simetrični polinomi iz stepena k Ako za stavimo da je tada za svako k iz skupa N i važi Dokaz: Osnovne simetrične funkcije ( ) koristili smo u cilju dobijanja Vietovih formula za korene algebarskih jednačina stepena n Tada smo imali polinom po promenljivoj u obliku: Pošto su su koreni,, pa sledi da je
19 19 Pomnožimo obe strane izrazom dobijamo sledeće: Sumirajući ove izraze po dobijamo: Po uslovu teoreme, zadali smo pa je, Ovaj izraz zadovoljava sve jednakosti osim za prvih tj ) Da bi dokazali formulu i za prvih izraza, koristićemo diferenciranje funkcije
20 20 Uočimo Za Posmatrajmo :, pa ako prethodni izraz zamenimo u sumu Difrerencirajmo dobiće se, Izjednačavajući strane (1) i (2) dobiće se izrazi koje ćemo označiti sa (*):
21 21 Sa druge strane, Uporeñujući dve strane jednakosti u prethodnoj formuli, dobijamo: -
22 22 Što se može napisati i na sledeći način, Odnosno (1) (2) (3) (4) (n-1) Ako uporedimo izraze (*) i (1),(2),,(n-1), uočavamo da je,, +
23 23 tj,, što je ekvivalentno sa Odnosno što je i trebalo dokazati
24 24 Iz Njutnovih formula dobijamo trougaoni sistem linearnih jednačina, Odakle nalazimo sledeću eksplicitnu formulu (po Kramerovom pravilu) Iz prethodnog sledi: Njutnove formule izražavaju rekurzivno u zavisnosti od Možemo, eliminišući, napisati preko, na sledeći način:
25 25 Takoñe važi i obrnuta formula, tj da izrazimo preko, Odakle sledi:
26 26 Osnovna teorema o simetričnim polinomima Teorema: Svaki simetričan polinom elementarnih simetričnih funkcija može se izraziti na tačno jedan način kao polinom od tj Dokaz teoreme (Waringova metoda) Posmatrajmo simetrični polinom p koji leksikografski treba da uredimo Uočili smo dva različita člana A i B polinoma p A gde su Bb Pošto smo odabrali takve članove A i B, za koje je (i1,2,n), tada postoji odreñen broj dok je Član A stavićemo ispred člana B akko je Na taj način svakom polinomu p pripada odreñen početni član koji označavamo sa Pretpostavimo da je A, tada je niz eksponenata opadajući ( ) (u obrnutom slučaju niz bi bio rastući, to jest ) Kako je polinom p simetričan, pored člana A postojao bi i član A', koji se dobija iz člana A permutacijom njegovih promenljivih Tada bi član A' bio ispred A u gornjem ureñenju, a to je suprotno sa pretpostavkom da je A početni član Dakle,
27 27 (1) A je početni član u simetričnom polinomu, gde je Posmatrajmo simetričan polinom s obzirom na (2) i neka mu je početni član jednak A ili A Početni član proizvoda dva polinoma jednak je proizvodu početnih polinoma tih polinoma pa iz polinoma ( ), početni članovi u faktorima su, (3) Proizvod ovog izraza je (4) (Npr eksponent od u tom proizvodu je ) Drugim rečima, polinom (5) koji nastaje kao razlika dva simetrična polinoma, polinoma i polinoma je i sam simetričan, a njegov početni član je mlañi od Ako posmatramo sada početni član polinoma, analogno se dolazi do novog simetričnog polinoma sa još mlañim članom Proces će se završiti onda kada se doñe do najmlañeg člana tj do konstante To znači da je zadani polinom prikazan pomoću osnovnih funkcija, što je i trebalo dokazati
28 28 Posledica teoreme: Svaki simetrični polinom p nule nekog algebarskog normiranog polinoma q, može se izraziti i kao polinom P koeficijenata toga polinoma q Ako p ima celobrojne koeficijente, onda i P ima celobrojne koeficijente Teorema i posledica su istinite i onda ako su koeficijenti polinoma p elementi bilo kojeg komutativnog prstena sa jediničnim elementom Rekurzivni postupak u dokazivanju prethodne teoreme bi se sastojao iz nekoliko koraka: Prvi korak: naći i napisati vodeći član preko (1) Drugi korak: naći (2) i (4) Treći korak: naći polinom (5) Primer 12 Polinom prikažimo pomoću, A
29 29 (4) Monom (2) glasi pa (5) daje polinom Primedbe o vrstama zavisnosti Za funkcije koje zavise od znamo da su racionalne, pa su i linearno nezavisne Dokazaćemo da su funkcije nezavisne u tom smislu da ne postoji nikakva neprekidna funkcija sa derivacijama prvog reda za koji bi bilo Za ovaj dokaz, dovoljno je pokazati da funkcionalna determinanta σ-ova po x-ovima nije 0 Ta funkcionalna determinanta je jednaka
30 30 Primedba o stepenu dobijenog polinoma, o izobaričnosti polinoma kada je krajnji simetrični polinom homogen Teorema (Cayley): Stepen polinoma P( ) što pripada simetričnom polinomu jednak je najvišem eksponentu u kojem se promenljiva pojavljuje u tom polinomu Dokaz: Uočimo jednu od promenljivih Posmatrajmo osnovne simetrične funkcije preostalih promenljivih Ove funkcije su linearno vezane sa osnovnim simetričnim funkcijama, jer je promenljivih pa iz osnovne teoreme, sledi ) To znači da najviši stepen od mora biti isti na obe strane jednakosti Ali, najviši stepen od na desnoj strani je i najviši stepen od u polinomu a taj stepen je jednak stepenu polinoma P, Primedba o težini monoma
31 31 Dodelimo promenljivim broj 1 kao težinu, tada se elementarnim simetričnim funkcijama kao težine dodeljuju njihovi indeksi 1,2,,n tj kako je homogen polinom stepena k, dodelićemo funkciji kao težinu promenljive, njen stepen Prema tome, težinu monoma definišemo kao sumu Tada se težina polinoma definiše kao najveća težina njegovih članovaako svaki član polinoma ima istu težinu, tada kažemo da je polinom izobaričan Teorema (Brioschi): Ako je polinom homogen simetričan polinom stepena d, tada je polinom, za koji je (1) izobaričan polinom stepena (težine) d Dokaz: Polinom je homogen simetričan polinom stepena d Homogenost stepena polinoma p izražavamo identitetom, u odnosu na λ, kao (2) Ako u sa zamenimo tada dobijamo (3), jer je svaka elementarna simetrična funkcija homogen polinom stepena k Pošto je i bilo koji član polinoma, onda odgovarajući član u tom polinomu glasi:
32 32 Pa sledi da je
33 33 Osnovna teorema algebre Da bi dokazali osnovnu teoremu klasične algebre, koristićemo prethodno navedenu teoremu o simetričnim polinomima i sledeće leme: Lema 1 Polinom p je delitelj realnog polinoma P u prstenu C[x], ako i samo ako je to i njegov konjugat Ako je kompleksan broj z nula realnog polinoma P, onda je to i njegov konjugat, i te nula su iste višestrukosti Lema 2 Ako za realan polinom p i neki par realnih brojeva α i β važi za bar jedno jednu nulu u R Lema 3 Svaki kompleksan polinom, a time i izmeñu α i β Posebno, realan polinom neparnog stepena ima bar stepena 2 ima bar jednu nulu u polju C Pri tom, ako je, taj polinom ima 0 i u polju R, ako i samo ako je Teorema: Polje kompleksih brojeva C je algebarski zatvoreno, to jest svaki pravi polinom p nad C ima bar jednu nulu u C Dokaz: Kao što je već rečeno, sam dokaz se bazira na osnovnoj teoremi o simetričnim polinomima i prethodno navedenim lemama prema kojima svaki realan polinom neparnog stepena ima i bar jednu nulu u R, svaki kvadratni polinom nad poljem C ima nule u C, i kompleksan broj z je nula realnog polinoma p ako i samo ako je to i njegov konjugat Kako je polinom realan, ako je z neka njegova nula u C, biće to i, pa je tada i ili Otuda je dovoljno dokazati da svaki realan polinom p stepena ima nulu i u C Sam dokaz izvodimo indukcijom po najvećem celom broju za koji je deljivo sa to jest za neki neparan ceo broj m
34 34 Ako je, polinom p je neparnog stepena, pa ima bar jednu nulu u R, a time i u C Neka je sada i pretpostavimo da je polinom p moničantada postoji bar jedno natpolje F polja C nad kojim on ima i linearnu faktorizaciju, to jest u kome p ima sve nule Pri tome, ako je λ bilo koji realan broj i S skup svih parova (r, s) za koje je to polje sadrži i, pa je tako i jedan polinom iz F Stepen tog polinoma je upravo broj elemenata skupa S, to jest Kako je i m neparno,tu je, a time je i Štaviše, zajedno sa p i taj polinom q je realan Zaista, ako je elementarni simetrični polinom stepena k iz, na osnovu Vietovih formula, prvo iz sledi da je upravo k-ti koeficijent samog polinoma p Takoñe, ako je iz sledi da je i oblika gde je neki polinom iz KR čiji koeficijenti ne zavise od Uz to, kako ne zavisi od redosleda tih, prema mora biti i I slično, ako se tu zamene simetrični, a samim tim i, uz napomenu da su tada p i q polinomi iz K Otuda su polinomi i
35 35 za neke polinome iz K Zajedno sa to upravo znači da je pa kako su koeficijenti polinoma i u polju R, biće to i koeficijenti samog polinoma q Prema tome, kako je polinom q realan i prema induktivnoj pretpostavci, on ima bar jednu nulu i u C Pri tome su njegove jedine nule u natpolju F polja C, pa za bar jedan od parova (r,s) mora biti i Time postoji i bar jedno preslikavanje sa osobinom da Uz to, kako je skup S konačan, to preslikavanje nije i injektivno, pa postoje bar dva različita realna broja λ,φ na kojima f ima istu vrednost, na primer (r,s), a time i kompleksni brojevi u i v za koje je Odreñujući i odatle sledi da je i, pa su nule i kompleksnog polinoma stepena 2 Kako taj polinom ima nule i u samom polju, tu mora biti i Odatle sledi i samo tvrñenje, jer su nule i uočenog polinoma p
36 36 Zaključak Svaki simetrični polinom promenljivih može se napisati na jedan i samo jedan način kao polinom elementarnih simetričnih funkcija tih promenljivih Stepen dobijenog polinoma je jednak stepenu datog polinoma u odnosu na jednu promenljivu Neka je simetričan polinom Totalni stepen polinoma za koji je, jednak je stepenu polinoma Ako je polinom homogen i stepena d, tada je polinom izobaričan i težine d Primer 12 (koji pokazuje kako se za zadano teoreme): Jednostavan simetrični polinom odreñuje polinom P, pomoću prethodne dve izrazi pomoću elementarnih simetričnih funkcija Polinom Polinom je stepena 2 Cayley polinom je kvadratan je homogen Brioschi polinom P je izobaričan težine 4(2+1+14) Pa će odgovarajući polinom imati oblik A +B +C A,B,C su konstante A +B +C
37 37 Odredimo A,B,C Za n3 pa za, pa iz A +B +C 0 0 +B + 0 B0 Za dobijamo, a Za n4 A1 -A dobijamo 1216+C C -4 Dakle, za svako n Primer 13:Neka je Tada je Primer14:Polinom simetričnih funkcija izrazi pomoću elementarnih Ovo je simetrični homogeni polinom trećeg stepena Njegov stepen po promenljivoj je Njegov stepen po promenljivoj je Njegov stepen po promenljivoj je
38 38 Polinom je izobaričan polinom težine 3 i totalnog stepena 2 pri čemu su A,B-konstante Za dobijamo, A1 Za na sličan način se dobije,, pa sledi da je B -1 Literatura 1 GKalajdžić, Algebra, Beograd, ĐKurepa,Viša algebra, 1-2, Beograd, BL van der Varden, Algebra, Moskva, SKurepa, Uvod u linearnu algebru, Zagreb, AGKuroš Kurs više algebre, Moskva, wwwwikipediaorg 7 wwwniacrs 8 S Leng, Algebra, Moskva,1968
39 39
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα1 Algebarske operacije i algebraske strukture
1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραElementarna matematika - predavanja -
Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραx n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραBulove jednačine i metodi za njihovo
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραDiferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραOBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na
OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότερα