6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Inženjerska fzka Predavanje *MEHANIKA MATERIJALNE ČESTICE* Mehanka je do fzke koja roučava zakone kretanja tjela, tj vremensku romjenu oložaja tjela u rostoru Mehanka se djel na knematku, dnamku statku (kao secjaln slučaj dnamke) Knematka roučava kretanja, bez obzra na uzroke kretanja na svojstva tjela koja se kreću Dnamka roučava uzroke kretanja utjecaj sle mase na kretanje Statka roučava uvjete ravnoteže tjela Tjelo se kreće ako mjenja oložaj rema referentnom sstemu Svako kretanje je relatvno kretanje rema određenom referentnom sstemu Ponekad se r roučavanju kretanja mogu zanemart dmenzje tjela tako čtavo tjelo redočt jednom tačkom mase m To je tzv materjalna tačka Položaj materjalne tačke najčešće određujemo omoću njenh koordnata u ravouglom koordnatnom sstemu Vektor r zove se vektor oložaja materjalne tačke Putanja (trajektorja) je sku svh tačaka kroz koje rolaz materjalna tačka koja se kreće, to je geometrjsko mjesto krajeva vektora r (t) : r ( t) x( t) y( t) j z( t) k Do utanje koj materjalna tačka ređe za određeno vrjeme zove se ut s Pomak je romjena vektora oložaja Kolčnk romjene vektora oložaja r ntervala vremena t u kojem je ta romjena nastala, zove se vektor srednje brzne: v sr r t Trenutna brzna v jednaka je rvom zvodu vektora oložaja okretne tačke o vremenu: r v lm t t d r dx dy r' dz j k v x v y j v z k (oložaj u koordnatnom sstemu) Odnos vektora romjene brzne v vremenskog ntervala t u kome je ta romjena nastala zove se vektor srednjeg ubrzanja: v a sr t Grančna vrjednost ovog zraza zove se vektor trenutnog ubrzanja:
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba v d v d v a lm v' t t r'' U ravouglom koordnatnom sstemu: a d x d y d z j k a x a y j a z k Iznos vektora ubrzanja: a a a a x y z Ubrzanje je vektor koj ma st ravac kao trenutna romjena brzne Ubrzanje možemo rastavt na dvje međusobno normalne komonente: na tangencjalno ubrzanje a t u ravcu tangente normalno ubrzanje a n u ravcu normale: a a t a, n d v a t, Ukuno ubrzanje: v a n n R Kretanja materjalne tačke djele se: v dv a R Prema oblku utanje na ravolnjska krvolnjska kretanja, Prema brzn kretanja na jednolko romjenljvo kretanje, Prema ubrzanju na jednako ubrzana (usorena) nejednako ubrzana (usorena ) kretanja Najjednostavnje kretanje je jednolko kretanje o ravcu Vektorska jednadžba ravolnjskog kretanja: Brzna ravolnjskog kretanja dobja se dferencranjem: Integrranjem dobvamo ređen ut u toku vremena: gdje je C konstanta ntegracje određuje se z očetnh uvjeta r s( t) r ds v s vt C, Pravolnjsko jednakoubrzano kretanje: dv a const Integrranjem gornje jednadžbe dobvamo: v at C Neka je za t, v v, tada je C v, a jednadžba dobva oblk: v at v (zakon romjene brzne) ds Daljm ntegrranjem dobjamo: at v ds at v s at vt C, Neka je za t, s s, tada je C s, a možemo sat: s at vt s
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Predavanje 3 Kada ubrzanje materjalne tačke nema st ravac kao brzna, već s brznom zatvara ugao razlčt od nule, materjalna tačka uvjek će se kretat o zakrvljenoj lnj Prmjer takvog kretanja je kružno kretanje Veza zmeđu Cartesjevh olarnh koordnata materjalne tačke je: x r cos, y r sn Ugao jednak je kolčnku luka s olurečnka r: s 8 ( rad ) s r, rad 57,3 r Dervranjem uta o vremenu, dobva se obodna (lnearna) brzna v: ds d v r r, ( v r ) d gdje je ugaona brzna, koja je vektor Pravac ugaone brzne uvjek je okomt na ravan kruženja Obodna/erferna brzna v uvjek je okomta na vektor r na vektor Jednolko kružno kretanje je kruženje s konstantnom ugaonom brznom, čjm ntegrranjem dobvamo: t Frekvencja erod jednolkog kružnog kretanja: f, T f Jednolko kružno kretanje je zaravo ubrzano kretanje, jer se r njemu stalno mjenja smjer obodne brzne, ako joj znos ostaje konstantan Radjalna l centretalna akceleracja mjenja smjer brzne ma usmjerena je rema sredštu kružnce: a r v Pr nejednolkom kružnom kretanju znos obodne brzne nje vše konstantan već se mjenja s vremenom Ukuna akceleracja je sastavljena od radjalne akceleracje a r tangencjalne akceleracje a t dv d Tangencjalna komonenta nastaje zbog romjene znosa obodne brzne: a t r r, d rad gdje je s ugaona akceleracja Ukuna akceleracja jednaka je: a a t ar Poseban slučaj nejednolkog kružnog kretanja je kretanje s konstantom ugaonom akceleracjom (const) Ugaona brzna: t Izraz za ugao: t t 3
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Uvod Predavanje 4 *DINAMIKA ČESTICE* Osnova dnamke su tr Njutnova aksoma/zakona Njutnova mehanka zvrsno osuje makroskoske ojave, dakle, tjela dmenzja većh od atoma molekula, te brzne mnogo manje od brzne svjetlost Osnovne fzkalne velčne dnamke su sla masa Fzčka velčna kojom se mjere nterakcje zmeđu tjela nazva se sla U dnamc se roučava sla kao uzrok romjene kretanja tjela Osnovn tov međudjelovanja: Gravtacjske sle djeluju zmeđu tjela o Njutnovom zakonu gravtacje: m m F r, r dolaze do zražaja kod tjela velkh masa, kao što su nebeska tjela, djeluju na velkm rastojanjma, Elektromagnetne sle otču usljed međudjelovanja naelektrsanh tjela, koje je zraženo Kulonovom slom: q q F r 4 r, dolaze do zražaja na relatvno malm rastojanjma Intenztet elektromagnetnh nterakcja je mnogo već od ntenzteta gravtacjskh, 3 Nuklearne sle djeluju na malm rastojanjma zmeđu čestca atomskog jezgra bez obzra na njhovo naelektrsanje velkog su ntenzteta Masa je svojstvo svakog tjela koje određuje njegovo onašanje r djelovanju sle Masa je mjera nercje (tromost) tjela Prv Njutnov zakon Svako će tjelo ostat u stanju mrovanja l jednolkog kretanja o ravcu sve dok od djelovanjem vanjskh sla to stanje ne romjen Sstem u kojma važ rv Njutnov aksom su nercjaln sstem Svak sstem koj mruje l se kreće jednolko o ravcu s obzrom na nek nercjaln sstem oet je nercjaln sstem Drug Njutnov zakon d m v d v Nerelatvstčk oblk zakona (dferencjalna jednadžba kretanja): F m m a Jednca za slu je njutn (N) N je sla koja tjelu mase kg daje ubrzanje od m / s 4
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Njutnova formulacja drugog zakona: Brzna romjene kolčne kretanja roorconalna je sl zbva se u ravcu te sle: d d F m v (relatvstčk oblk zakona vrjed za velke brzne) Težna tjela (G) je sla kojom tjelo djeluje na horzontalnu odlogu l na objesšte u slučaju da je obješeno: Treć Njutnov zakon G m g Svakom djelovanju (akcj) uvjek je surotno jednako rotudjelovanje (reakcja) Djelovanja dvaju tjela jednog na drugo uvjek su jednaka rotvnog smjera: F BA F AB Zaključak na osnovu Njutnovh aksoma: Svako ubrzanje tjela uvjetovano je nekom slom Svaka sla je mjera djelovanja nekh drugh tjela na uočeno tjelo, na kraju, sle maju karakter uzajamnog djelovanja Dferencjalna jednadžba kretanja Prv drug Newtonov aksom određuju odnose zmeđu knematčke velčne ubrzanja dnamčkh velčna, mase tjela rezultujuće sle koja djeluje na njega, tj d r F d r d x d y d z m F r, v, t F m j k m (sla zavs od relatvnog oložaja brzne o nekom određenom zakonu) Pravolnjsko kretanje materjalne tačke od djelovanjem konstantne sle Dferencjalna jednadžba ravolnjskog kretanja materjalne tačke o x-os, na osnovu rethodnh jednadžb, bt će: d x dx m F x,, t z Komonente sle teže rema slc su: F mg, F F x y z Dferencjalna jednadžba kretanja u ovom slučaju je: d x m mg const odakle je: d dx g A Xo A X y Fx=const x Slka 5
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba dx Integrranjem dobvamo: gt C, gdje je C ntegracona konstanta, koja se određuje z očetnh uvjeta kretanja Ponovnm ntegrranjem dobvamo oće rješenje dferencjalne jednadžbe kretanja materjalne tačke od djelovanjem sle teže: x gt Ct C Tr slučaja ovog ravolnjskog kretanja: Slobodan ad Pr slobodnom adu materjalna tačka očnje kretanje bez očetne brzne, tj za t, v () x( ) x Za ove očetne uvjete dobvamo da je C C x, a mamo: dx v x gt x gt x, y, z, odnosno, v x g( x x) gs Htac uvs Dobva se r očetnm uvjetma: t, v() v x ( ), a je C v, a C, a je: dx v x gt v x gt vt, y z 3 Htac nadolje Za očetne uvjete: t, vx () v x( ) x, dobvamo da je C v C x, a je: dx v x gt v x gt vt x, ( Kretanje materjalne tačke od djelovanjem sle oblka F F v) ( Pravolnjsko kretanje materjalne tačke od djelovanjem sle F F v) Kretanje čestce u homogenom gravtacjskom olju x Slučaj gdje sla na čestcu znos mg ma smjer nadolje, što zasujemo: Iz drugog Njutnovog zakona dobvamo jednadžbu kretanja: m d x d y d z j k mg j Odgovarajuće skalarne jednadžbe: d x d y d z m, m mg, m F mg j 6
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Integracjom dobvamo: dx dy dz vx C, v y gt C, vz C3 Iz očetnh uvjeta kretanja sljed: C vx v cos, C v y v sn, C3 vz Ponovnom ntegracjom dobvamo: dx v cos x v cos t C4, dy gt v sn gt y v sn t C5, dz z C 6 Iz očetnh uvjeta kretanja: C 4 x, C5 y, C6 Konačne jednadžbe uta brzne: v x v cos, v y v sn gt, v z, x v cos t x, gt y v sn t y, z Elmnranjem vremena t dobvamo jednadžbu utanje kosog hca: g y y tg ( x x ) ( x x ) v cos Ako su v o, g zadane konstante, jednadžba redstavlja arabolu Njeno tjeme određeno je maksmumom funkcje, a dobvamo: dy g tg ( x x ), dx v cos a će koordnate tjemena bt: v v x T sn x, y sn y g g Domet kosog hca dobva se z uvjeta y y, a rema rethodnoj jednadžb mamo: v cos tg v sn D g g 7
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Predavanje 5 Kretanje naelektrsane čestce u homogenom elektrčnom olju Jednadžba kretanja za naboj q masu m u elektrčnom olju E, koje je homogeno u rostoru stalno u vremenu glas: d r F m a q E a q m E Integrranjem o vremenu korsteć očetne uvjete za t, v v q E t v t r r m Kretanje naelektrsane čestce u homogenom magnetnom olju r r, dobvamo: Jednadžba kretanja naelektrsane čestce mase m naboja q u stalnom magnetnom olju B, glas: d r m d v m q v B Imuls sle kolčna kretanja (muls) Imuls sle je rodukt sle vremenskog ntervala u kojem ta sla djeluje Imuls sle I je vektorska velčna ma smjer sle: I F t Ako sla nje stalna, nego se mjenja u vremenu, tada muls nađemo tako da vremensk nterval odjelmo na mnogo malh ntervala Ukun muls jednak je zbru svh th mulsa Tačnu vrjednost mulsa sle dobvamo uzmanjem grančne vrjednost tog zraza: 8 t I lm F t F( t) t t Prema Njutnovom aksomu sla je jednaka brzn romjene kolčne kretanja: d d F m v Za kratko vrjeme tjelo će dobt muls sle: F d, dok će u vremenskom ntervalu t zmeđu t t rmljen muls sle bt: t F d mv v t Imuls sle jednak je romjen kolčne kretanja tjela na koje ta sla djeluje Kolčna kretanja je osobna tjela koje se gba, to je rodukt njegove mase brzne, dok je muls sle utcaj sle, tj okolne na osmatrano tjelo
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Uvod Predavanje 6 *ZAKONI OCUVANJA U PRIRODI* Zakon očuvanja maju nz rednost u odnosu na Njutnove aksome, koj maju ogrančenu važnost Somenmo neke od th rednost: zakon očuvanja ne ovse od oblka utanje, n od karakterstka sla koje djeluju u nekom rrodnom rocesu, mogu se rmjent na one rrodne ojave čje sle nsu oznate, nvarjantn (neromjenjv) su na transformacje koordnata Rad sle Rad sle se određuje sa skalarnm rozvodom sle rastojanja o kome se omjerala materjalna tačka: W F s Fscos F, s Fscos Sla ne vrš rad kad sa omjeranjem zaklaa rav ugao l ako se čestca ne omjera Ukolko je sla romjenljva zavs od rastojanja, a omjeranje se vrš duž rozvoljne krvulje: n n n W W F s F s cos F, s Prava vrjednost zvršenog rada dobva se z rethodne jednadžbe kao grančn slučaj kad s, a n : n s s W lm F s F d s Rad je jednak ntegralu rojekcje sle s tačka zadana vektorma oložaja r r, rad se defnše zrazom: W r r F d r Jednca za rad je džul (J=Nm) Energja F s F cos omaka ds Ako je očetna krajnja Energja je sosobnost vršenja rada Rad lahko relaz u energju, obrnuto Energja može relazt z jednog oblka u drug Jednca za energju je sta kao za rad Mehančka energja ojavljuje se u dva oblka: knetčka otencjalna energja Knetčka energja Neka sla F ubrzava tjelo na nekom utu Izračunajmo rad otreban za ubrzanje tjela od očetne brzne v do konačne brzne v : 9
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba s v d v d v W F d s m d s m v m v d v s s s v v Nakon ntegrranja: W mv mv Velčnu Ek mv nazvamo knetčka energja tjela mase m brzne v Promjena knetčke energje jednaka je zvršenom radu: W Ek E E (teorema o radu knetčkoj energj) k Potencjalna energja k Potencjalna energja je sosobnost vršenja rada zbog toga što tjelo ma osobt oložaj Gravtacjska otencjalna energja Rad sle teže na utu od A do B jednak je: W rb ra F d r m gr r B A v, A Buduć da je F m g mg j j r B yb j r A y, dobl smo rad u olju sle teže jednak: W ( mgy ) B mgya Velčnu E mgy nazvamo gravtacjska otencjalna energja tjela na vsn y znad ovršne Zemlje Rad sle teže ne ovs o utu već samo o očetnom konačnom oložaju tjela (konzervatvna sla) Rad svake konzervatvne sle možemo zrazt razlkom otencjalnh energja: rb ra F k d r E ( rb ) E ( ra ) Zakon očuvanja mehančke energje U zolranom (zatvorenom) sstemu u kojem nema nekonzervatvnh sla (trenja) mehančka energja je konstantna (zoe), tj, E E E const k Ako sstem nje zatvoren, romjena ukune mehančke energje jednaka je radu vanjskh sla koje djeluju na sstem: E E E E E E W k k Potencjalno olje sla Konzervatvne sle Ako je tjelo ostavljeno u takve uvjete da je u svakoj tačk rostora odvrgnuto djelovanju drugh tjela sa slom koja se zakonomjerno mjenja od jedne tačke do druge, kaže se da se to tjelo nalaz u olju sla
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Za sle koje zavse samo od oložaja tjela može se dest da rad, koj vrše nad tjelom, ne zavs od uta, već se određuje samo očetnm krajnjm oložajem tjela u rostoru U tom slučaju olje sla nazva se otencjalnm oljem, a same sle konzervatvnm slama Sle čj rad zavs od uta, o kojem tjelo relaz z jednog oložaja u drug, nazvaju se nekonzervatvnm slama (sla trenja, nr) Polje centralnh sla je olje kod kojeg ravac djelovanja sle u rozvoljnoj tačk rostora, rolaz kroz nek centar, a velčna sle zavs samo od rastojanja od tog centra Rad konzervatvnh sla na blo kojem zatvorenom utu jednak je nul: d s Rad sla u gravtacjskom olju Centralno olje sla Fk Gravtacjsko olje sla je centralno olje Elementarn rad dw, koj zvrš gravtacjska sla r omjeranju tjela m, za rastojanje d s je: mm dw F d s dr, r gdje je r d s dr, ntegrranjem od r do r dobvamo: r W m m mm l W m m r r r r r r Promjena otencjalne energje sstema jednaka je negatvnoj vrjednost rada kojeg vrš gravtacjska sla r remještanju tjela: mm mm E E W r r Občno se uzma da mm r E Rad elektrostatske sle r, tada E ( ), a je otencjalna energja tjela m : Elektrostatska sla je takođe centralna sla Sla međudjelovanja tačkasta naboja je: q q F ( r) k r r Elementran rad koj zvrš ta sla r omjeranju naboja q za rastojanje d r je: qq dw F d r k dr r Integracjom od r do r dobvamo: W kq q r r E Veza zmeđu otencjalne energje sle Sla je jednaka gradjentu otencjalne energje, sa surotnm znakom:
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba E F x E y E j z k grade Zakon očuvanja mulsa Prozvod mase čestce brzne nazva se muls l kolčna kretanja čestce: m v Ako se muls mjenja u toku vremena, ostoj djelovanje neke sle: dm v d F, Ova jednadžba je naoćentj slučaj drugog Njutnovog zakona zove se zakon romjene mulsa Ukuna kolčna kretanja zatvorenog sstema je konstantna bez obzra kakv se roces međujelovanje događal u sstemu (zo): ukun m v const Sudar tjela Sudar tjela su ojave kod kojh su neoznate l rroda l ntenztet sla koje djeluju u njma, l oboje Sudar dvaju tjela može bt elastčan, djelmčno elastčan neelastčan Sudar je savršeno elastčan kada nema gubtka energje, već je ukuna knetčka energja očuvana Sudar je savršeno neelastčan kada se tjela nakon sudara deformšu, soje zajedno nastave kretanje kao jedno tjelo Tu se jedan do knetčke energje zgub retvor u druge oblke energje Posebn slučajev savršeno elastčnog sudara U slučaju jednakh masa čestce zmjene brzne Ako druga kugla mruje, oslje sudara rva kugla se zaustav, dok druga odlet brznom koju je mala rva kugla rje sudara Savršeno elastčna kugla mase m brzne v udara u vrlo velku kuglu l savrčeno elastčan zd Kugla se odbja jednakom brznom kojom je došla Zd r tome dobva muls sle energju m v, a ne dobva nkakvu energju, jer kugla rlkom sudara ne mjenja Kada vrlo velka kugla udar kuglcu koja mruje, brzna joj se vrlo malo romjen dok lagana kuglca odlet brznom koja je dva uta veća od brzne uadne kugle Predana je energja r centralnom elastčnom sudaru dva tjela
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Posebn slučajev savršeno neelastčnog sudara: Kada je m m m, sljed da je u v v Ako druga kugla rje sudara mrovala, tada, nakon sudara, obje kugle nastave gbanje brznom v v, tada nakon sudara, obje kugle stanu v u Ako je Kada je m, m v sljed da je u Kad kugla od blata adne na tlo, tu ostane Kruto tjelo Ako tjelo od utcajem sle ne mjenja oblk, kažemo da je tjelo kruto Možemo zamslt da se kruto tjelo sastoj od mnogo ojednačnh materjalnh tačaka čj međusobn razmac ostaju uvjek st Moment sle Utcaj sle na rotacju osuje se njenm momentom Neka materjalna tačka kruž oko tačke O o kružnc olurečnka r Ako je kruženje ubrzano, na tačku djeluje sla koja ma radjalnu komonentu F r m r tangencjalnu komonentu F ma mr Pomnožmo jednadžbu rf sn mr, F t F sn mr sa r dobvamo: što se može nasat omoću vektorskog rozvoda: t t r F mr Ljeva strana ove jednadžbe redstavlja moment sle M, a materjalne tačke I, tako da jednadžba relaz u M I Moment nercje krutog tjela se defnra zrazom: I r dm mr redstavlja moment nercje Uvjet ravnoteže za translacju materjalne tačke je da zbr svh sla koje na nju djeluju bude jednak nul Dodatn uvjet ravnoteže za rotacju je da suma momenata svh sla bude jednaka nul Moment kolčne kretanja Velčna analogna kolčn kretanja je moment kolčne kretanja Moment kolčne kretanja L materjalne tačke mase m kolčne kretanja m v s obzrom na referentnu tačku (nr sredšte kružnce), defnra se kao rozvod radjus vektora r kolčne kretanja: L r r m v l L I 3
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Smjer momenta kolčne kretanja jednak je smjeru ugaone brzne Jednca momenta kolčne kretanja je kgm / s Zakon o očuvanju momenta kolčne kretanja Ako je vektorsk zbr momenata svh vanjskh sla s obzrom na neku tačku jednak nul, tada je ukun moment kolčne gbanja sstema (krutog tjela) za tu stu tačku konstantan o smjeru znosu U zatvorenom sstemu je moment kolčne kretanja sačuvan Snaga Snaga je brzna vršenja rada l brzna rjenosa energje: dw F d s d s P F F v Snaga je skalarn rozvod sle trenutne brzne Jednca za snagu je vat ( W= J/s) 4
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Predavanje 7 *TITRANJE (OSCILACIJE)* Osclranje redstavlja vrstu gbanja l romjenu fzčkog rocesa koj se odlkuje određenm stunjem onavljanja U zavsnost od rrode fzčkog rocesa koj se onavlja, osclacje djelmo na: mehančke, elektromagnetske elektromehančke U zavsnost od karaktera djelovanja na osclatorn sstem razlkujemo: slobodno ttranje, rgušeno ttranje rslno ttranje Ttranja kod kojh se velčna koja osclra mjenja o zakonu snusa l kosnusa u funkcj vremena nazvaju se harmončna ttranja (osclacje) Harmonjske osclacje Promatrajmo sstem koj se sastoj od kuglce mase m koja je obješena na elastcnu orugu U stanju ravnoteže sla, slu težne mg uravnotežuje elastcna sla k l (Hookeov zakon), tj mg k l Ako omjermo kuglcu z ravnotežnog oložaja na rastojanje x: F mgk( l x) Uzmajuć u obzr uvjet ravnoteže dobvamo: F kx Sla F ma osobne: roorconalna je omjeranju kuglce z oložaja ravnoteže uvjek je usmjerena rema oložaju ravnoteže Za sle koje se onašaju o stoj zakontost kažemo da su kvazelastčne Sstem u kojem djeluje kvazelastčna sla, r omjeranju z ravnotežnog oložaja na rastojanje x kx dobva otencjalnu energju: E d x Jednadžba gbanja za kuglcu, rema II Njutnovom aksomu, ma oblk: x Gbanje sstema, koj se nalaz od djelovanjem sle oblka F kx, redstavlja harmončno gbanje Iz jednadžbe gbanja dobjamo: x Acos( t ) Velčna najvećeg otklona od ravnotežnog oložaja nazva se amltuda ttranja A 5
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Velčna ( t ) nazva se faza ttranja Konstanta zove se očetna faza osclovanja Perod ttranja je T, gdje je kružna frekvencja (broj osclacja za sekund) Frekvencja ttranja (broj ttranja u jednc vremena): f T Veza zmeđu f : f dx Brzna: v A sn( t ) d x Ubrzanje: a A cos( t ) Ubrzanje omjeranje nalaze se u rotv faz Iz očetnh uvjeta određujemo A : v v A x, tg x 6 Energja harmonjskog osclovanja Kvazelastčna sla je konzervatvna, a je ukuna energja harmončnog ttranja konstantna Maksmalna otencjalna energja se dobje kada se sstem nalaz na najvecem otklonu od ka ravnotežnog oložaja: ( E ) max, ( k m ) U momentu rolaska kroz ravnotežn oložaj sstem ma maksmalnu brznu, tj maksmalnu mvmax ma knetčku energju: ( E k ) max ka ma Ukuna energja harmončnog ttranja: E E Ek Harmončn osclator Harmončn osclator redstavlja sstem koj vrš harmončna ttranja oko oložaja ravnoteže: x Acos( t ) Imuls harmončnog osclatora: mv ma sn( t ) x Kvadrranjem zbrajanjem osljednje dvje jednačne dobjamo: A m A Grafčk redstavljen muls harmončnog osclatora u funkcj otklona x, daje elsu Ukuna energja harmončnog osclatora je roorconalna ovršn else, r čemu je koefcjent roorconalnost vlastta frekvencja osclatora: E f S fa m f dx Slaganje harmonjskh osclacja Pr stovremenom djelovanju vše razlčth elastčnh sla na osclator on ce vršt složeno gbanje, koje ce bt jednako geometrjskom zbru ojednh osclacja Rješavanje ovh roblema znatno se olakšava ako se osclacje redstave omoću, tzv vektora amltude
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Promatrajmo slaganje dva harmončna ttranja stog smjera ste frekvencje Rezultrajuće omjeranje tjela vršt će se o stoj ravoj tako da je jednako algebarskom zbru oba omjeranja: x x x A cos( t ) A cos( t ) Vektor A redstavlja rezultujuće ttranje Prmjenom kosnusne teoreme dobjamo: A A A A A cos( ), odnosno, A sn A sn tg A cos A cos Ako je fazna razlka zmeđu dva ttranja konstantna, ttranja se nazvaju koherentna Ako je fazna razlka jednaka nul l n : cos( ) A A A Ako je fazna razlka jednaka ( n ) : cos( ) A A A Matematčko klatno Matematčko klatno sastoj se od tačkaste mase m obješene na nerastegljvu vrlo laganu nt dužne l l Perod matematčkog klatna za male amltude: T g Prgušene osclacje Matematčko klatno oscluje harmonjsk samo za male amltude, dok je, za veće amltude, erod klatna funkcja amltude Jednadžba gbanja matematčkog klatna glas: d F mat mgsn ml mgsn U slučaju malh omjeranja sn, a jednačna ma oblk d g, redstavlja jednačnu harmončnog ttranja tako l g da ma rješenje: sn( t ), l Prgušene osclacje su one osclacje kod kojh dolaz do gubtaka energje restanka ttranja elastčne oruge nakon određenog vremena d x dx k Jednadžba gbanja za rgušene osclacje: x, gdje je vlastta m frekvencja nergušenog osclatora, a faktor rgušenja t Rješenje rethodne jednadžbe: x( t) Ae sn( t ), dx t t Brzna rgušenh osclacja: v( t) Ae sn( t ) Ae cos( t ) 7
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Ubrzanje rgušenh oscflacja: d x t t t a( t) A e sn( t ) Ae cos( t ) A e sn( t ) Amltuda Ae t oada eksonencjalno s vremenom; što je faktor rgušenja već, to amltuda brže trne Prslne osclacje Rezonancja Kada vanjska erodčna sla djeluje na sstem koj može ttrat, nastaje rslno ttranje Kada se rblž vlasttoj frekvencj sstema, dolaz do rezonancje, tj ttranja s vrlo velkm amltudama d x dx Jednadžba gbanja rslnog harmončnog osclatora: m kx b F snt F x x x snt A snt, gdje je A amltuda vanjskog osclatora m Rješenje rethodne jednadžbe: x ( t) A( )sn( t ), gdje je kašnjenje u faz ttranja vanjskog osclatora: tg Amltuda rslnog osclranja: A ( ) 4 Amltuda osclranja je maksmalna r rezonantnoj frekvencj: A r Rezonantna frekvencja, u slučaju rgušenog osclatora nešto je manja od vlastte frekvencje; rezonantna frekvencja nergušenog osclatora jednaka je vlasttoj frekvencj 8
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Predavanje 8 *MEHANIČKI VALOVI* Proces rostranja osclacja u rostoru nazva se val l talas Longtudnaln val je takav val kod kojeg čestce osclraju duž ravca rostranja Transverzaln val je takav val kod kojeg čestce osclraju u smjeru koj je okomt na ravac rostranja vala Čestce koje jedna od druge stoje na rastojanju vt osclraju u stoj faz Rastojanje zmedu najblžh čestca koje osclraju u stoj faz nazva se valna dužna: v T Geometrjsko mjesto tačaka do kojeg dolaze osclacje u momentu vremena t nazva se valn front Geometrjsko mjesto tačaka koje osclraju sa stom fazom nazva se valna ovršna (najjednostavnje su one koje maju oblk ravn l sfere) Pravc duž kojh se šre osclacje od tačke do tačke zovemo zrakama vala one su okomte na valne ovršne Jednadžba ravnog sfernog vala Valna jednadžba je zraz koj daje omjeranje osclrajuće tačke kao funkcju njenh koordnata x, y, z vremena t, ( x, y, z, t) Funkcja mora da bude erodčna kako u odnosu na vrjeme t, tako u odnosu na koordnate x, y, z x Jednadžba ravnog vala može se nasat u oblku: Acos ( t ) Acost (val se v rasrostre u smjeru rasta x) Brzna rostranja vala jeste brzna omjeranja faze, a se zove fazna brzna Jednadžba ravnog vala može se nasat u oblku: Acos( t kx), gdje je k valn broj, k Veza zmeđu valnog broja, kružne frekvencje fazne brzne: v k A r Jednadžba sfernog vala ma oblk: cos t r v Jednadžba ravnog vala koj se rostre u rozvoljnom smjeru Jednadžba ravnog vala koj se rostre u ravcu koj sa osama x, y, z obrazuje uglove,, : ( x, y, z, t) Acos( t kxx k y y kz z), gdje je k x cos, k y cos, k z cos Jednadžba ravnog vala onekad se še u oblku: t r k do zraza Ae, r čemu se korst samo realn 9
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Valna jednadžba Jednadžba blo kojeg vala je rješenje dferencjalne jednadžbe koju zovemo valna jednadžba Posmatrajmo ravn val u smjeru x-ose: ( x, t) Acos( t kx) Nađmo drugu arcjalnu dervacju o koordnatama vremenu: Acos( t kx), k Acos( t kx) k t x k Iz rethodne dvje jednadžbe dobjamo valnu jednadžbu: x t x v t Valna jednadžba u tr dmenzje ma oblk: x y z v t Brzna rostranja elastčnh valova Brzna longtudnalnh valova jednaka je kvadratnom korjenu z Youngovog modula E odjeljenog s gustoćom sredne: v F Youngov modul: E, gdje je normalno narezanje, a srednja relatvna s deformacja Brzna transverzalnh valova: Energja elastčnog vala Potencjalna energja vala: v G E V E, gdje je G modul smcanja Izraz za otencjalnu energju elementarnog volumena: E v Youngov modul elastčnost, a relatvna deformacja x E v V Izraz za knetčku energju elementarnog volumena: E k t masa v brzna datog elementa t V Ukuna energja: E Ek E v t x Gustoća energje: E V u t v A sn x x x t v V, gdje je, gdje je m V
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Srednja vrjednost gustoće energje o volumenu: u A Val sa sobom renos energju Kolčna energje koju renos val kroz neku ovršnu u jednc vremena nazva se tok energje l fluks kroz ovršnu Gustoća toka energje: j u v Srednja vrjednost vektora gustoće toka energje: j sr A v Intenztet vala jednak je srednjoj vrjednost energje, koju val renos kroz jednčnu ovršnu u jednc vremena, a to je skalarna vrjednost vektora j sr, tj I va Interferencja valova Ako se u sredn stovremeno rostre nekolko valova, onda će osclacje čestca sredne bt jednake geometrjskoj sum osclacja koje b vršle čestce r rostranju svakog vala ojednačno Ovaj rnc nazva se rnc suerozcje valova U slučaju kada osclacje, uvjetovane ojednm valovma u svakoj tačk sredne, maju konstantnu razlku faza valov se zovu koherentn Pr slaganju koherentnh valova dolaz do ojave nterferencje, koja se sastoj u tome da se osclacje u jednm tačkama ojačavaju a u drugm slabe Maksmalno osclranje dobvamo na mjestma gdje je razlka u faz: k( r ) r n, n,,,3, Na tm mjestma oba osclranja su u faz dobvamo tzv konstruktvnu nterferencju, s amltudom A +A =A U tačkama u kojma je razlka u faz: k( r r) n, n,,,3, dobvamo mnmalno osclranje, odnosno destruktvnu nterferencju, s amltudom A A A Naveden uvjet svode se na to da geometrjsko mjesto tačaka u kojma se osclacje ojačavaju l oslabljuju redstavlja orodcu herbola: r r const Dfrakcja valova Kada na svom kretanju valov susretnu rereku, on je oblaze Ta ojava nazva se dfrakcja Nastajanje dfrakcje može se objasnt omoću Huygensovog rnca: svaka tačka do koje dolaz valno kretanje, ostaje centar sekundarnh valova koj su u homogenoj zotronoj sredn sfern Stojeć valov Kada mamo nterferencju dva ravna vala jednakh amltuda koj se kreću jedan nasurot drugoga, osclatorn roces koj r tome nastaje nazva se stojeć val Jednačna stojećeg vala: Acoskx cost
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba U tačkama gdje je stojećeg vala) U tačkama gdje je vala) x TR n x ČV, amltuda osclacja dostže maksmalnu vrjednost A (trbus n, amltuda osclacja retvara se u nulu (čvorov stojećeg Refleksja valova Kad val uada na grancu zmeđu dvje sredne, jedan do energje vala se reflektra, a ostatak relaz u drugu srednu: od uadnog vala nastaje reflektran (odbjen) transmtran (roušten) val Pr refleksj na gušćoj sredn reflektran val je omaknut u faz za rema uadnom, dok r refleksj na rjeđoj sredn nema omaka u faz Posebno, r refleksj od čvrste rereke nema transmtranog vala, reflektran val ma stu amltudu kao uadn al je omaknut u faz za ; r refleksj na slobodnom kraju uadn reflektran val maju jednake amltude faze Pr odbjanju talasa od ravne ovršne uadn odbojn ugao međusobno su jednak Zakon odbjanja valova: Uadn ugao jednak je odbojnom uglu, a uadn zrak, normala odbojn zrak leže u stoj ravn Refrakcja (relamanje) valova Zakon relamanja valova: Odnos snusa uadnog relomnog ugla jednak je odnosu brzna u te dvje sredne, a uadn zrak, normala relomn zrak leže u stoj sn v ravn: n, gdje je n ndeks sn v relamanja druge sredne u odnosu na rvu srednu
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Predavanje 9 ZVUK U fzc od zvukom odrazumjevamo sve ojave vezane za mehančke osclacje čje se frekvencje kreću u grancama osjetljvost čula sluha Granca čujnost nalaz se rblžno na Hz Hz Mehančke osclacje koje relaze Hz nazvaju se ultrazvuk, a osclacje čja je frekvencja sod Hz nazvaju se nfrazvuk Zvučn valov Zvučn valov u gasovma tečnostma mogu bt samo longtudnaln dok u čvrstm tjelma mogu bt longtudnaln transverzaln Promjena rtska r rostranju longtudnalnog vala kroz lnovtu srednu je snusna funkcja: sn( t kx) Snaga koja se renos valom, jednaka je kolčn energje koju renos zvučn val u jednc vremena kroz jednčnu ovršnu, normalnu na ravac rostranja vala: P sn AS ( t kx) Srednja snaga roorconalna je kvadratu amltude romjene rtska: P SR S const v Brzna zvučnh valova u lnovma Brzna zvuka u lnovtoj sredn: B v M RT Uvrštavanjem u rethodn zraz dobvamo: v const T (gdje je gdje je RT M c odnos secfčne tolote gasa r stalnom rtsku secfčne tolote r stalnoj cv zaremn, M - molekulska masa, R = 8,34 J/mol K, unverzalna lnska konstanta T - asolutna temeratura) l temeratur T = 73 K) Dolerov efekat T T v v 33 (gdje je v = 33 m/s, brzna zvuka u zraku na T 73 Kada se zvučn zvor, l slušalac, l oboje kreću u odnosu na zrak, vsna (frekvencja) zvuka koju čuje slušalac neće u oćem slučaju bt sta kao kad b zvor slušalac mroval Ova ojava se nazva Dolerov efekat Ovsno o relatvnoj brzn rema zvoru, romatrač će zmjert razlčtu frekvencju zvora 3
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Dolerov efekat formulom možemo rkazat na sljedeć načn: u v f f, u v gdje je v oztvno ako se rjemnk rblžava zvoru, a negatvno ako se rjemnk udaljava od zvora Slčno tome, brzna zvora v je oztvna ako se zvor kreće u ravcu rjemnka a negatvna ako se zvor udaljava od rjemnka Pr tome retostavljamo da se zvor rjemnk kreću duž ravca koj h ovezuje Secjaln slučajev: Posmatrač mruje, zvor se kreće rema osmatraču: u f f ; f u v f, Posmatrač mruje, zvor se kreće od osmatrača: u f f ; f u v f, u v 3 Izvor mruje, osmatrač se kreće rema zvoru: f f ; f f, u u v 4 Izvor mruje, osmatrač se kreće od zvora: f f ; f f u U slučaju u sv valov se dodruju u tačk gdje se nalaz zvor U toj tačk nalaz se v akumulrana osclatorna energja to je tzv zvučn zd Ako je ekslozje Zvučn zvor u v dolaz do zvučne Svak mehančk osclator koj ravlno osclra u osegu frekvencje zvuka nazva se zvučn zvor Kao najčešć zvučn zvor susreću se zategnute žce zračn stubov Zategnute žce osclraju transverzalnm osclacjama Stojeć val će se formrat ako dužna žce znos: n l n, n,,3, Frekvencja je n= mamo osnovn ton n f n l F Za Osclranje zračnh stubova može se ostvart u cjevma koje mogu bt otvorene na jednom kraju l na oba kraja Ako je cjev otvorena na jednom kraju, onda će se uvjek na otvorenom kraju formrat trbuh, a na zatvorenom čvor stojećeg vala U zračnh stubovma mogu se obrazovat samo longtudnaln stojeć valov 4
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Valna dužna zvuka u zatvorenm stubovma: 4l n,( n,,,), a n n frekvencja: f n v Za 4l otvorene stubove vrjed da je l n, a je frekvencja: n n f n v,( n,,3,) l Osjećaj zvuka Čovjek rma zvuk omoću čula sluha, uha Postojanje dva organa sluha omogućava čovjeku da ocjen ravac rostranja zvuka Kod subjektvnog osjećaja zvuka, razlkuju se tr njegove osobne: vsna, boja ntenztet (jačna zvuka) Svak realn zvuk redstavlja suerozcju harmončnh osclacja, koje se nalaze u danom zvuku, nazva se akustčk sektar Ako se u zvuku nalaze osclacje svh frekvencja u nekom ntervalu od f' do f'', tada se sektar nazva kontnuran Ako se zvuk sastoj z dskretnh osclacja (odvojenh konačnm ntervalma) sa frekvencjama f,f, sektar se nazva lnjsk Jačna zvuka Jačna l ntenztet zvuka određuje se kolčnom energje koju renos val u jednc vremena PSR kroz ovršnu normalnu na ravac rostranja vala: I S v W Jednca ntenzteta zvuka u SI sstemu je m Prema Weber - Fechnerovom zakonu čulo sluha osjećaja gradacju jačne zvuka rblžno kao logartam ntenzteta zvuka Zvučn val koj još može zazvat osjećaj zvuka mora mat W mnmalnu vrjednost I o koja se nazva rag čujnost znos rblžno r frekvencj m Hz I Nvo jačne zvuka: L k log, gdje je k koefcjent roorconalnost I Stavljanjem k= nvo jačne je zražen u belma (B) Međutm, u raks se korst deset uta I manja jednca, decbel (db): L log log I Pr ntenztetma od db vše, uho restaje da rma val kao zvuk nastaje osjećaj bola l rtska (rag osjećaja bola) Za subjektvnu jačnu zvuka uvedena je logartamska skala sa jedncom koja se zove fon 5
6 Nejra Hodžć - sknuto sa wwwetfba Asorcja zvuka Kada dođe na grancu zmeđu dvje sredne, zvučn val se u oćem slučaju djelomčno odbja od grance, a djelomčno rodre u drugu srednu rodužuje u njoj da se rostre Val osteeno slab r rostranju kroz danu srednu energja osclranja relaz u druge oblke energje Pr roračunu akustčkh osobna rostorja uotrebljava se vrjeme u toku koga se energja zvuka smanj na -6 6 do rvobtne vrjednost, tj W W, ovo vrjeme se nazva vrjeme reverberacje (jeke) nt Gustoća zvučne energje oada sa vremenom o eksonencjalnom zakonu: u u e, gdje je u gustoća zvučne energje u očetnom trenutku, α koefcjent asorcje r odbjanju, a n broj odbjanja u jednc vremena 4V 6 m 4V Vrjeme reverberacje: t r ln Stavljajuć za v 34 dobvamo: t r,63 vs s S Ultrazvuk Za dobvanje ultrazvučnh valova korste se uglavnom dva fzkalna efekta: efekt magnetosrkcje (feromagnetn materjal r djelovanju romjenjvog magnetnog olja se lagano deformraju) ezoelektrčn efekt (nverzn ezoelektrčn efekt: ločce nekh metala od djelovanjem elektrčnog olja se deformraju) Osnovno svojstvo ultrazvuka o kojem se on razlkuje od zvuka je gotovo ravolnjsko rostranje Energja ultrazvučnog vala vsoke frekvencje je znatno veća od energje zvučnog vala nske frekvencje ste amltude Značajna osobna, koja je btna za korštenje ultrazvuka, je mala asorcja r rolazu ultrazvuka kroz čvrsta tečna tjela Sve rmjene ultrazvuka u tečnostma zasnvaju se na djelovanju kavtacje, koja nastua r određenom ntenztetu Pod kavtacjom u hdrodnamc se odrazumjeva obrazovanje mjehurća u fludu, usljed vrtloženja zagrjavanja 6