U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE

U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015

S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni rčun 3 1.1 Rimnov integrl............................ 3 1.2 Njutn-Ljbnicov formul....................... 4 1.3 Rimn-Stiltjesov integrl........................ 4 1.4 Kvdrtn vrijcij funkcije...................... 5 2 Slučjno lutnje 7 2.1 Slučjno lutnje............................. 8 2.2 Primer slučjnog lutnj........................ 10 3 Brunovo kretnje 11 3.1 Definicij i osobine Brunovog kretnj................ 11 3.2 Primer Brunovog kretnj...................... 13 3.3 Vinerov integrl............................. 13 3.4 Mrtingli................................ 18 4 Itoov stohstički integrl 21 4.1 Uvod u stohstičke integrle...................... 21 4.2 Itoov stohstički integrl........................ 24 4.2.1 Kork 1............................. 25 4.2.2 Kork 2............................. 26 4.2.3 Kork 3............................. 29 4.3 Rimnove sume i stohstički integrli................. 30 5 Primeri stohstičkih integrl 31

6 Primen Itoovog stohstičkog integrl 33 6.1 Itoov formul............................. 33 6.1.1 Itoov formul u svom njjednostvnijem obliku....... 33 6.1.2 Primen Itoove formule..................... 36 6.1.3 Izržvnje stohstičkih integrl uz pomoć Rimnovog integrl............................... 37 6.2 Stohstički procesi........................... 39 6.3 Linerne stohstičke diferencijlne jednčine............. 42 6.4 Primen u R-u............................. 44 6.5 Itoov integrl u Volfrmu........................ 45 Zključk 49 Litertur 50

Predgovor Profesor Kijoši Ito (Kiyoshi Itô), rod en 1915. godine u Jpnu, dns je poznt ko osnivč moderne stohstičke teorije. On je još z vreme studij bio zinteresovn z pojm slučjne promenljive, diferencijlni i integrlni rčun u oblsti verovtnoće. U to vreme, bilo je nekoliko uticjnih istrživč u oblsti verovtnoće; možemo izdvojiti Kolmogorov 1 u Rusiji i Levij 2 u Frncuskoj. Nkon zvršetk studij, Ito se zpošljv u Zvodu z sttistiku u Tokiju, gde mu se pruž mogućnost d ozbiljnije i temeljnije uči Kolmogorovljev koncept teorije verovtnoć, ko i Levijevu teoriju. U to vreme, verovlo se d je Levijev rd izuzetno težk, s obzirom d je Levi, koji je zčetnik nove oblsti u mtemtici, teoriju verovtnoć bziro n sopstvenoj intuiciji. Ito je želeo d opiše Levijeve ideje, koristeći logiku z koju je pretpostvljo d se Kolmogorov njome služio. Vodeći se Levijevim rdom, Kolmogorovljevom logikom i teorijom meričkog mtemtičr Dub 3, Ito je objvio svoj prvi rd koji se bvio stohstičkim diferencijlnim jednčinm. Dns nije redk slučj d se Itoovom metodom objšnjv Levijev teorij. Ito je rzvio teoriju stohstičkih diferencijlnih jednčin, koje opisuju kretnje usled slučjnih dogd j. Nkon objvljenog prvog rd, došli su i drugi rdovi, koji nisu nišli n dobru kritiku mtemtičr. U to vreme Ito još uvek nije bio doktor nuk, i bilo je potrebno d prod e nekoliko godin kko bi njegov rd dobio n znčju i kko bi mtemtičri postli zinteresovni z tu temu. Nkon tog su se u proučvnje ove oblsti uključili i drugi mtemtičri, i doprineli njenom rzvoju. Kko je tih godin Drugi svetski rt bio u toku, Itoov rd je u tom smislu još znčjniji. Nkon zvršetk Drugog svetskog rt, Ito je doktoriro i nstvio d rzvij svoje ideje u stohstičkoj teoriji. Bio je profesor n više univerzitet, ko i počsni predvč n rznim konferencijm i seminrim. Ito je dobio mnoge ngrde z veliki doprinos u mtemtici. Spomenućemo Volfovu 4 ngrdu koju je dobio 1987. godine, i Gusovu 5 ngrdu koju je dobio 2006. godine. Tkod e, izbrn je z čln Ncionlne kdemije nuk SAD, i Frncuske kdemije nuk. Umro je 2008. godine u Jpnu. Cilj ovog rd jeste d čitocu približi Itoovu teoriju, kko u teorijskom smislu tko i u smislu primene. Itoov teorij je širok pojm, te će u ovom rdu biti predstvljen jedn njen deo: Itoov stohstički integrl. 1 Andrey Nikolevich Kolmogorov (1903-1987), ruski mtemtičr koji je do znčjn doprinos teoriji verovtnoće, topologiji i drugim oblstim 2 Pul Pierre Lévy (1886-1971), frncuski mtemtičr koji je posebno bio ktivn u teoriji verovtnoće, procesim, mrtinglim itd. 3 Joseph L. Doob (1910-2004), merički mtemtičr koji je rzvio teoriju mrtingl 4 Wolf Prize- ngrd koj se dodeljuje u Izrelu z izvnredn dostignuć u poljoprivredi, hemiji, mtemtici, medicini, fizici i umetnosti 5 Crl Friedrich Guss Prize- ngrd z izvnredne mtemtičke doprinose koji su pronšli znčjne primene izvn mtemtike 1

Prvo poglvlje je posvećeno definisnju pojmov Rimnov integrl, Njutn- Ljbnicov formul, Rimn-Stiltjesov integrl, ko i kvdrtn vrijcij. Ovo poglvlje predstvlj uvod u priču o stohstičkim integrlim i dje osnovu z dlji rd u polju integrl. Drugo poglvlje govori o slučjnom lutnju: prikzn je njegov teorijsk osnov, njegov primer i prikzuje kod u R-u kojim se može simulirti slučjno lutnje. Treće poglvlje je posvećeno definisnju Brunovog kretnj i njegovim osobinm, primeru Brunovog kretnj u R-u, pojmu Vinerovog integrl i mrtingl. Bez uvod enj pojmov koje ovo poglvlje pokriv, ne bi se mogo definisti Itoov stohstički integrl. Četvrto poglvlje je u isto vreme i glvno poglvlje ovog rd jer govori o Itoovom stohstičkom integrlu. Sdrži uvodnu priču u stohstičke integrle, teorijsku osnovu z Itoov stohstički integrl, ko i vezu Itoovog stohstičkog integrl s Rimnovim summ. Peto poglvlje je posvećeno primerim Itoovog stohstičkog integrl. Šesto poglvlje prikzuje primenu Itoovog stohstičkog integrl. Primen je širok pojm, te ćemo se koncentristi n tri bitne stvke: Itoov formul u svom njjednostvnijem obliku i njen primen, stohstički procesi koji su zsnovni n Itoovom stohstičkom integrlu i linerne stohstičke diferencijlne jednčine. Pored tog, biće prikzn primen Itoovog integrl u R-u i u Volfrmu. Zhvljujem se svom mentoru dr Jeleni Jocković n literturi koju mi je omogućil i n ukznom poverenju. 2

1 Integrlni rčun Prks je pokzl d prič o stohstičkom rčunu ume d bude problemtičn onim koji nemju neko veće mtemtičko znnje. Kko je ovj rd fokusirn n stohstički integrl, potrebno je njpre ispričti priču o običnom integrlnom rčunu, što podrzumev uvod enje definicij i osobin Rimnovog, Rimn - Stiltjesovog integrl, Njutn-Ljbnicovu formulu, li i pojm kvdrtne vrijcije. Z pisnje ovog poglvlj korišćen je knjig [5]. 1.1 Rimnov integrl Definicij 1.1. Ogrničen funkcij f koj je definisn n ztvorenom intervlu [, b] integrbiln je u Rimnovom 6 smislu ko sledeći limes postoji: f(t)dt = lim n 0 f(τ i )(t i t i 1 ), (1.1.1) gde je n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } podel segment [, b] tkv d je = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b, n = mx 1 i n (t i t i 1 ), i τ i izbrn tčk segment [t i 1, t i ]. Pri tome se i b nzivju donjom i gornjom grnicom integrl, respektivno; funkcij f nziv se podintegrlnom funkcijom ili integrndom, izrz f(t)dt je podintegrlni izrz, promenljiv t integrcion promenljiv. Sum koj figuriše u jednčini 1.1.1 nziv se Rimnov sum. Vži: ) Ako je f neprekidn funkcij n segmentu [, b], ond je on Rimn integrbiln. b) Monoton funkcij n segmentu je Rimn integrbiln. Svojstv Rimnovog integrl: () Nek su f i g Rimn integrbilne funkcije n segmentu [, b] i nek je α R. Td su funkcije f ± g i αf Rimn integrbilne n [, b]. Pri tome vže jednkosti [f(t) ± g(t)]dt = αf(t)dt = α f(t)dt ± f(t)dt. g(t)dt, (b) Nek su f i g Rimn integrbilne funkcije n segmentu [, b] i α, β relni brojevi, ond je αf + βg Rimn integrbiln n [, b]. Pri tome vži jednkost [αf(t) + βg(t)]dt = α f(t)dt + β g(t)dt. 6 Bernhrd Riemnn (1826-1866), nemčki mtemtičr koji je do znčjn doprinos mtemtičkoj nlizi 3

(c) Ako je f Rimn integrbiln funkcij n segmentu [, c] i <b<c, ond je f Rimn integrbiln funkcij n [, b] i n [b, c], i pri tome vži jednkost c f(t)dt = f(t)dt + c b f(t)dt. (d) Ako je funkcij f definisn u tčki, ond je f(t)dt = 0. (e) Ako je <b i f(t)dt postoji, ond je b f(t)dt = 1.2 Njutn-Ljbnicov formul f(t)dt. Nek je funkcij f(t) definisn n intervlu (, b). Primitivnom funkcijom funkcije f(t) nzovimo funkciju ϕ(t), t (, b), ko je ov diferencijbiln i zdovoljv jednkost ϕ (t) = f(t), t (, b). Teorem 1.1. Ako je f : [, b] R neprekidn funkcij, ond je ϕ(x) = njen primitivn funkcij. x f(t)dt, x [, b], Nek je f : [, b] R neprekidn funkcij i ϕ njen proizvoljn primitivn funkcij. Td vži jednkost f(t)dt = ϕ(b) ϕ(). Gornj jednkost se nziv Njutn 7 -Ljbnicov 8 formul i često se piše u obliku 1.3 Rimn-Stiltjesov integrl f(x)dx = ϕ(x) b. Jedno uopštenje Rimnovog integrl dto je Stiltjesovim 9 integrlom, te će se ovj integrl u dljem tekstu nzivti Rimn-Stiltjesov integrl. 7 Sir Isc Newton (1643-1727), engleski mtemtičr i fizičr koji je dns z većinu ljudi jedn od njznčjnih ljudi u istoriji nuke 8 Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (1646-1716), nemčki mtemtičr, fizičr i pronlzč koji je do znčjn doprinos u optici i mehnici 9 Thoms Jonnes Stieltjes (1856-1894), holndski mtemtičr 4

Definicij 1.2. Nek je g monotono rstuć funkcij n končnom ztvorenom intervlu [, b]. Ogrničen funkcij f definisn n segmentu [, b] integrbiln je po funkciji g u Rimn-Stiltjesovom smislu ko sledeći limes postoji: f(t)dg(t) = lim n 0 f(τ i )(g(t i ) g(t i 1 )), (1.3.1) gde su podel n i izbrne tčke τ i definisne n isti nčin ko kod Rimnovog integrl (sekcij 1.1). Funkcij f se nziv integrnd, funkcij g integrtor. Vži i d su neprekidne funkcije n [, b] integrbilne po monotono rstućoj funkciji n [, b] u Rimn-Stiltjesovom smislu. Svojstv Rimn-Stiltjesovog integrl: () Nek su f 1, f 2, g ogrničene relne funkcije definisne n segmentu [, b] i c 1, c 2 proizvoljne konstnte. Ako su f 1, f 2 integrbilne po funkciji g n [, b], ond je c 1 f 1 + c 2 f 2 integrbilno po funkciji g n [, b] i pritom vži (c 1 f 1 + c 2 f 2 )dg = c 1 f 1 dg + c 2 f 2 dg. (b) Nek su f, g 1, g 2 ogrničene relne funkcije n [, b] i c 1, c 2 proizvoljne konstnte. Ako je f integrbiln po funkciji g 1 i integrbiln po funkciji g 2 n [, b], ond je f integrbiln po funkciji c 1 g 1 + c 2 g 2 n [, b] i pritom vži fd(c 1 g 1 + c 2 g 2 ) = c 1 fdg 1 + c 2 fdg 2. (c) Ako je f integrbiln funkcij po funkciji g n [, c] i vži <b<c, ond je f integrbiln po funkciji g n [, b] i n [b, c], i pri tome vži jednkost c fdg = fdg + 1.4 Kvdrtn vrijcij funkcije c b fdg. Rzmtrjmo specijln slučj Rimn-Stiltjesovog integrl kd je f = g, td integrl definisn jednčinom 1.3.1 im oblik f(t)df(t). Nek je n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } podel segment [, b]. Dlje, nek su L n i R n Rimnove sume s izbrnim tčkm τ i = t i 1 i τ i = t i respektivno, L n = f(t i 1 )(f(t i ) f(t i 1 )), (1.4.1) 5

R n = f(t i )(f(t i ) f(t i 1 )). (1.4.2) Posle sbirnj i oduzimnj levih i desnih strn jednkosti 1.4.1 i 1.4.2, dobij se: R n + L n = (f(t i ) 2 f(t i 1 ) 2 ) = f(b) 2 f() 2, (1.4.3) R n L n = (f(t i ) f(t i 1 )) 2. (1.4.4) Posle sbirnj levih i desnih strn jednkosti 1.4.3 i 1.4.4 dolzimo do jednkosti z R n ( ) Rn = 1 f(b) 2 f() 2 + (f(t i ) f(t i 1 )) 2, 2 dok oduzimnjem dolzimo do jednkosti z L n ( ) L n = 1 f(b) 2 f() 2 (f(t i ) f(t i 1 )) 2. 2 Definicij 1.3. Limes desne strne jednkosti 1.4.4 kd n teži nuli, ko postoji, nziv se kvdrtn vrijcij funkcije f n segmentu [, b]. Možemo primetiti d lim R n lim L n ko i smo ko je kvdrtn n 0 n 0 vrijcij funkcije f rzličit od nule. 6

2 Slučjno lutnje Ko uvodnu i motivcionu priču o slučjnom lutnju, predstvićemo primer bcnj fer novčić (glv i pismo pdju s jednkom verovtnoćom ) u kojem se gubi ili dobij 1 dinr zvisno od ishod bcnj. Bcnje novčić je nčin d se nek odluk donese slučjnim putem. Opšte je poznto d glv i pismo pdju s istom verovtnoćom. Posmtrćemo bcnje novčić u igri osvjnj/gubljenj novc. Nime, ko pdne glv, osvj se 1 dinr, ko pdne pismo, gubi 1 dinr. Obeležimo s R i i-ti ishod bcnj novčić. Dkle, R i uzim vrednosti 1, ko je u i-tom bcnju pl glv, i 1, ko je i-tom bcnju plo pismo. P {R i = 1} = P {R i = 1} = 1 2 Očigledno je d je ER i = 0 i DR i = 1, ko i d su R i i R j nezvisne slučjne veličine, jer ishod u i-tom bcnju ne zvisi od ishod u j -tom bcnju. Nek je s S i oznčen ukupn količin novc koju neko poseduje nkon i-tog bcnj (uključujući i i-to bcnje). S i = i j=1 Posmtrjmo očekivnje i disperziju z S i : ( i ) E[S i ] = E R j = j=1 R j i ER j = 0, E [ ] ( Si 2 = E R 2 1 + 2R 1 R 2 +... ) = i, gde smo koristili d je E(R i R j ) = 0 i d je E(Ri 2 ) = 1. Ovim smo pokzli d igr im svojstvo odsustv pmćenj (bš ko i rulet), što znči d slučjno lutnje ne pmti gde je bilo pre trenutk u kojem se lutnje trenutno nlzi. Posmtrjmo kvdrtno odstupnje i (S j S j 1 ) 2. j=1 Nkon svkog bcnj ponvlj se dogd j: osvj se ili gubi 1 dinr, tko d vži S j S j 1 = 1. Stog je kvdrtno odstupnje uvek i. Ako promenimo prvil bcnj: dozvoljeno je n bcnj u vremenskom t periodu dužine t. Sd, veličin ulog više neće biti 1 dinr, već. n Zdržvmo svojstvo odsustv pmćenj ; rčunmo kvdrtno odstupnje ( ) 2 t (S j S j 1 ) 2 = n = t. n j=1 7 j=1

Kko se dužin vremenskog period t približv nuli, slučjno lutnje teži Brunovom kretnju. Z pisnje ovog poglvlj korišćene su knjige [1] i [3]. 2.1 Slučjno lutnje Posmtrjmo slučjno lutnje koje počinje u 0 s jednko verovtnim skokovim h i h u vremenskim trenucim δ, 2δ,..., gde su h i δ pozitivni brojevi. Nek je {X n } n=1 niz nezvisnih i jednko rspodeljenih slučjnih veličin, tkvih d vži P {X j = h} = P {X j = h} = 1 2. S Y δ,h (t) oznčvmo slučjno lutnje i znmo d je Y δ,h (0) = 0 (slučjno lutnje počinje u 0, te je njegov vrednost u početnom trenutku 0) i Y δ,h (nδ) = X 1 + X 2 + + X n (slučjno lutnje u trenutku nδ jednko je zbiru slučjnih veličin koje odred uju slučjno lutnje do tog trenutk). Z t > 0 i nδ < t < (n + 1)δ, slučjno lutnje u trenutku t, Y δ,h (t) definiše se ko (n + 1)δ t Y δ,h (t) = Y δ,h (nδ) + t nδ Y δ,h ((n + 1)δ). δ δ Znim ns kko se ponš slučjno lutnje kd δ i h teže nuli. Prvo, potrebno je pozbviti se ponšnjem krkteristične funkcije 10 slučjnog lutnj kd δ i h teže nuli, tj. izrčunti: z λ R fiksirno. lim δ,h 0 EeiλY δ,h(t), (2.1.1) Nek je t = nδ, tj. n = t. Td je krkterističn funkcij slučjnog lutnj δ Ee iλy δ,h(t) = n j=1 Ee iλx j = ( Ee ) iλx n j ( = e iλh 1 2 + 1 e iλh 2 ) n = (cos(λh)) n = (cos(λh)) t δ (2.1.2) gde smo iskoristili činjenicu d su slučjne veličine X j nezvisne, te je krkterističn funkcij zbir nezvisnih slučjnih veličin jednk proizvodu krkterističnih funkcij tih slučjnih veličin. 10 Krkterističn funkcij slučjne promenljive X, u oznci ϕ X (t), definiše se ko ϕ X (t) = Ee itx 8

Z fiksirne vrednosti λ i t, limes 2.1.1 ne postoji kd δ i h nezvisno teže nuli. Stog, d bi ovj limes postojo potrebno je nmetnuti nekkvu vezu izmed u δ i h. Nek je u = (cos(λh)) 1 δ, tj. ln u = 1 ln cos(λh). Z mlu vrednost h vžiće δ cos(λh) 1 1 2 λ2 h 2. Imjući u vidu d je ln(1 + x) x, z mlo x, dobij se procen ln cos(λh) ln (1 12 ) λ2 h 2 1 2 λ2 h 2. Stog, z mle vrednosti δ i h vži ln u 1 2δ λ2 h 2, odkle sledi N osnovu jednkosti 2.1.2, Posebno, ko vži h 2 = δ, ond vži u e 1 2δ λ2 h 2. Ee iλy δ,h(t) e [ 1 2δ tλ2 h 2 ]. (2.1.3) lim δ 0 EeiλY δ,h(t) = e 1 2 tλ2, λ R. Ovim smo dokzli teoremu koj sledi i koj govori o grničnom procesu slučjnog lutnj Y δ,h kd δ, h 0, u slučju kd je h 2 = δ. Teorem 2.1. Nek je Y δ,h (t) slučjno lutnje koje počinje u 0 s jednko verovtnim skokovim h i h u trenucim δ, 2δ,... Pod pretpostvkom d je h 2 = δ, z svko t 0, limes B(t) = lim δ 0 Y δ,h (t) postoji u rspodeli. S B(t) je oznčen stohstički proces i vži d je Ee iλb(t) = e 1 2 tλ2, λ R. N osnovu Teoreme 2.1, može se očekivti d stohstički proces oznčen s B(t) im sledeć svojstv: 1) Apsolutn vrednost ngib slučjnog lutnj Y δ,h u svkom korku je h δ = 1 δ i teži k beskončnosti kd δ 0. Ovim se pokzuje d nijedn putnj kretnj B(t) nije diferencijbiln nigde. Ako je δ = t s, ond vži B(t) B(s) 1 δ t s = t s 1 2. 2) Skoro sve putnje kretnj B(t) su neprekidne. 3) Z svko t, B(t) je Gusov slučjn veličin s očekivnjem 0 i disperzijom 1. Ovo svojstvo se dobij ko posledic Teoreme 2.1. 4) Stohstički proces B(t) im nezvisne prirštje. Nime, z 0 t 1 < t 2 < < t n slučjne promenljive su nezvisne. B(t 1 ), B(t 2 ) B(t 1 ),..., B(t n ) B(t n 1 ) Svojstv 2), 3), 4) odred uju osnovni stohstički proces koji se zove Brunovo kretnje. 9

2.2 Primer slučjnog lutnj Slučjno lutnje može d se simulir u progrmu R. Prikzćemo kod z simulciju ko i grfički prikz slučjnog lutnj. >x0=0 >T=10 >set.seed(100) >x=c(x0,rnorm(t-1)) >y=cumsum(x) >x [1] 0.00000000-0.50219235 [3] 0.88678481 0.11697127 [5] 0.13153117-0.07891709 [7] 0.31863009-0.58179068 [9] 0.71453271-0.82525943 >y [1] 0.0000000-0.5021924-0.3706612 [4] -0.4495783 0.4372065 0.5541778 [7] 0.8728079 0.2910172 1.0055499 [10] 0.1802905 >pr(mr=rep(2,4)) >plot(y,type="l") Slik 1. Slučjno lutnje 10

3 Brunovo kretnje Brunovo 11 kretnje ili Vinerov 12 proces zuzim njznčjnije mesto u teoriji slučjnih proces. Botničr Robert Brun prvi je 1828. godine opiso proces koji dns nosi njegovo ime. On je nprvio model z kretnje mlih čestic potopljenih u tečnost ili gs. Primetio je d se one kreću hotično po cik-ck putnjm. Albert Ajnštjn je ovj fenomen objsnio ko rezultt sudrnj tih čestic s molekulim sredine koj ih okružuje. Devedeset godin ksnije, 1918. godine merički mtemtičr Norbert Viner je do mtemtičku definiciju i osobine proces Brunovog kretnj, te se iz tog rzlog ovj proces nziv i Vinerovim procesom. Z pisnje ovog poglvlj, korišćene su knjig [1] i skript [4]. 3.1 Definicij i osobine Brunovog kretnj Nek je (Ω, F, P ) prostor verovtnoć. Stohstički proces je merljiv funkcij X(t, ω) definisn n prostoru [0, ) Ω. Vži: ) z svko t, X(t, ) je slučjn promenljiv, b) z svko ω, X(, ω) je merljiv funkcij (nziv se putnj). Definicij 3.1. Stohstički proces B(t, ω) nziv se Brunovo kretnje, ko zdovoljv sledeće uslove: 1) P {ω; B(0, ω) = 0} = 1. 2) Z svko s, tkvo d je 0 < s < t, slučjn promenljiv B(t) B(s) je normlno rspodeljen s očekivnjem 0 i disperzijom t s. Drugim rečim, z bilo koje < b, P { B(t) B(s) b} = 1 b 2π(t s) e x2 2(t s) dx. 3) B(t, ω) im nezvisne prirštje. Z 0 t 1 < t 2 < < t n, slučjne promeljive B(t 1 ), B(t 2 ) B(t 1 ),..., B(t n ) B(t n 1 ), su nezvisne. 4) Skoro sve putnje Brunovog kretnj B(t, ω) su neprekidne funkcije, ili P {ω; B(, ω) je neprekidno} = 1. Brunovo kretnje se ponekd definiše ko stohstički proces B(t, ω) koji zdovoljv uslove 1), 2) i 3) u Definiciji 3.1. Z tkv stohstički proces vži d je B(t, ω) neprekidn funkcij po t, tj. postoji Ω 0 tkv d je P (Ω 0 ) = 1 i z svko ω Ω, B(t, ω) je neprekidn funkcij po t. Brunovo kretnje B(t) u Definiciji 3.1 počinje u 0. Ukoliko Brunovo kretnje ne počinje u 0, to se posebno npomene. 11 Robert Brown (1773 1858), škotski botničr 12 Norbert Wiener (1894 1964), merički mtemtičr 11

Teorem 3.1. Z svko t > 0, B(t) je normlno rspodeljeno s očekivnjem 0 i disperzijom t. Z svko s, t 0, vži E[B(s)B(t)] = min{s, t}. Dokz. N osnovu uslov 1) iz Definicije 3.1, B(t) = B(t) B(0), te prvo tvrd enje teoreme sledi iz uslov 2). Kko bismo pokzli drugo tvrd enje teoreme, pretpostvićemo d je s < t. N osnovu uslov 2) i 3) iz definicije Brunovog kretnj vži, E[B(s)B(t)] = E[B(s)(B(t) B(s)) + B(s) 2 ] = 0 + s = s. Isti postupk ponvljmo z t < s. očekivnje jednko min{s, t}. Time dolzimo do zključk d je trženo Teorem 3.2. Z fiksirno t 0 0, stohstički proces B(t) = B(t + t 0 ) B(t 0 ) je tkod e Brunovo kretnje. Dokz. Stohstički proces B(t) zdovoljv uslove 1) i 4) iz Definicije 3.1. Z svko s < t, B(t) B(s) = B(t+t 0 ) B(t 0 ) (B(s + t 0 ) B(t 0 )) = B(t+t 0 ) B(s+t 0 ). (3.1.1) N osnovu uslov 2) iz Definicije 3.1, zključujemo d je slučjn veličin B(t) B(s) normlno rspodeljen s očekivnjem 0 i disperzijom (t+t 0 ) (s+t 0 ) = t s. Stog, B(t) zdovoljv uslov 2). Kko bi se proverio uslov 3) z B(t), potrebno je pretpostviti d je t 0 > 0. Td z 0 t 1 < t 2 < < t n, vži 0 < t 0 t 1 + t 0 < t 2 + t 0 < < t n + t 0. N osnovu uslov 3) z B(t), slučjne veličine B(t k + t 0 ) B(t k+1 + t 0 ), k = 1, 2,..., n, nezvisne su. N osnovu jednkosti 3.1.1, slučjne promenljive B(t k ) B(t k 1 ), k = 1, 2,..., n, su nezvisne i time smo pokzli d B(t) zdovoljv i uslov 3) iz definicije Brunovog kretnj. Drugim rečim, Teorem 3.2 govori o tome d Brunovo kretnje u svkom trenutku počinje ko novo Brunovo kretnje. Teorem 3.3. Z svki reln broj λ > 0, stohstički proces B(t) = B(λt)/ λ je tkod e Brunovo kretnje. Dokz. Stohstički proces B(t) zdovoljv uslove 1), 3) i 4) iz definicije Brunovog kretnj. D bismo proverili uslov 2), njpre primetimo d z svko s < t B(t) B(s) = 1 λ (B(λt) B(λs)), što pokzuje d je B(t) B(s) normlno rspodeljeno s očekivnjem 0 i disperzijom 1 λ (λt λs) = t s. Stog, B(t) zdovoljv i uslov 2) iz Definicije 3.1. N osnovu Teoreme 3.3, z svko λ > 0 i 0 t 1 < t 2 <... < t n slučjni vektori ( (B(λt 1 ), B(λt 2 ),..., B(λt n )), λb(t1 ), λb(t 2 ),..., ) λb(t n ) imju iste rspodele. 12

3.2 Primer Brunovog kretnj Kko bismo približili pojm Brunovog kretnj, pokzćemo kko se ono simulir u R-u i kko izgled njegov grfik. N=1000 od = rnorm(n, 0, 1) od = cumsum(od) plot(od, type= "l",min= "Brunovo kretnje", xlb="vreme-t", ylb="odstupnje" ) 3.3 Vinerov integrl Slik 2. Brunovo kretnje U prvom poglvlju odgovorili smo n pitnje kko se definiše integrl f(t)dg(t) ko funkcije f i g zdovoljvju odred ene uslove. Ako ti uslovi nisu ispunjeni, tj integrl ne možemo posmtrti ko Rimn-Stiltjesov integrl. Sd rzmtrmo integrl 13

f(t)db(t, ω), (3.3.1) gde je f determinističk funkcij (funkcij koj ne zvisi od ω) i B(t, ω) Brunovo kretnje. Ako je f monotono rstuć i neprekidn, g neprekidn funkcij, vži f(t)dg(t) f(t)g(t) b g(t)df(t) (3.3.2) gde je integrl s desne strne definisn ko u jednkosti 1.3.1 smo što su f i g zmenili mest. Pretpostvimo d z svko ω Ω želimo d iskoristimo jednkost 3.3.2, kko bismo definisli integrl 3.3.1 u Rimn-Stiltjesovom smislu (RS) f(t)db(t, ω) = f(t)b(t, ω) b (RS) B(t, ω)df(t). (3.3.3) U tom slučju, kls funkcij f(t) z koje je definisn integrl (RS) f(t)db(t, ω) z svko ω Ω je ogrničen, odnosno f(t) mor biti neprekidn funkcij ogrničene vrijcije. Stog, z neprekidnu funkciju neogrničene vrijcije ko što je f(t) = t sin 1, 0 < t 1 i f(0) = 0, ne može se koristiti jednčin 3.3.3 z definisnje t integrl 1 f(t)db(t, ω) z svko ω Ω. 0 Dkle, potrebn nm je drugčij idej kko bismo definisli integrl f(t)db(t, ω) z širu klsu funkcij f(t). Ovj novi integrl, koji se nziv Vinerov integrl funkcije f, definisn je z sve funkcije f L 2 [, b]. Ovde se s L 2 [, b] oznčv Hilbertov prostor relno vrednosnih funkcij, čiji je kvdrt modul integrbiln funkcij n [, b]. N primer, integrl 1 t sin 1 db(t) je Vinerov integrl. 0 t Definisnje Vinerovog integrl izvešćemo u dv kork: Kork 1. Pretpostvimo d je f prost funkcij dt u obliku f = i 1 [ti 1,t i ), gde su i konstnte, i t 0 =, t n = b. U ovom slučju, definišemo I(f) = i (B(t i ) B(t i 1 )). (3.3.4) Očigledno, I(f + bg) = I(f) + bi(g) z svko, b R i proste funkcije f i g. 14

Lem 3.1. Z prostu funkciju f, slučjn promenljiv I(f) je Gusov promenljiv s očekivnjem 0 i disperzijom E(I(f) 2 ) = f(t) 2 dt. (3.3.5) Dokz. Poznto je d je linern kombincij Gusovih slučjnih promenljivih tkod e Gusov slučjn promenljiv. Stog, n osnovu uslov 2) i 3) iz definicije Brunovog kretnj (Definicij 3.1), slučjn promenljiv I(f) koj je definisn jednkošću 3.3.4 je Gusov promenljiv s očekivnjem 0. Posmtrjmo sd očekivnje kvdrt slučjne promenljive I(f) E(I(f) 2 ) = E i j (B(t i ) B(t i 1 )) (B(t j ) B(t j 1 )). i,j=1 N osnovu uslov 2) i 3) iz definicije Brunovog kretnj, i z i j N osnovu ovih jednkosti sledi, E(B(t i ) B(t i 1 )) 2 = t i t i 1, E(B(t i ) B(t i 1 ))(B(t j ) B(t j 1 )) = 0. E(I(f) 2 ) = 2 i (t i t i 1 ) = f(t) 2 dt. Kork 2. S L 2 (Ω) oznčvmo Hilbertov prostor koji obuhvt sve relno vrednosne slučjne promenljive iz Ω čiji je kvdrt integrbiln, i u kojem je definisn unutršnji proizvod X, Y = E(XY ). Nek je f L 2 [, b]. Birmo niz prostih funkcij {f n } n=1 tkv d vži f n f u L 2 [, b]. N osnovu Leme 3.1, niz {I(f n )} n=1 je Košijev niz u L 2 [, b], te stog on konvergir u L 2 [, b]. Definišemo I(f) ko limes niz {I(f n )} n=1: I(f) = lim n I(f n), f L 2 (Ω). (3.3.6) D bi I(f) bio dobro definisn, mor se pokzti d je limes niz {I(f n )} n=1 nezvisn od izbor niz {f n }. Pretpostvimo d je {g m } niz funkcij s istim osobinm ko niz {f n }. Td n osnovu linernosti slučjne promenljive I(f) i jednkosti 3.3.5, vži E( I(f n ) I(g m ) 2 ) = E( I(f n g m ) 2 ) = 2 (f n (t) g m (t)) 2 dt ( [fn (t) f(t)] 2 + [g m (t) f(t)] 2) dt 0, 15

kd m, n. Z ovu procenu je korišćeno d je f n g m = [f n (t) f(t)] [g m (t) f(t)], ko i nejednkost (x y) 2 2(x 2 + y 2 ). N osnovu prethodnog, dobijmo d je lim I(f n) = lim I(g m) n m u L 2 (Ω). Ovim smo pokzli d je I(f) dobro definisno. Definicij 3.2. Nek je f L 2 [, b]. I(f) koji je definisn ko nziv se Vinerov integrl funkcije f. I(f) = lim n I(f n) Vinerov integrl I(f) funkcije f možemo oznčiti s ( ) b I(f)(ω) = f(t)db(t) (ω), ω Ω, skoro sigurno. Rdi lkšeg zpis, Vinerov integrl ćemo zpisivti ko f(t)db(t). Teorem 3.4. Z svko f L 2 [, b], Vinerov integrl f(t)db(t) je Gusov slučjn promenljiv s očekivnjem 0 i disperzijom f 2 = f(t)2 dt. Dokz. N osnovu Leme 3.1, tvrd enje teoreme je tčno ko je f prost funkcij. Generlno, ko je f L 2 [, b], tvrd enje vži n osnovu sledeće činjenice: Ako je X n Gusov slučjn promenljiv s očekivnjem µ n i disperzijom σn 2 i X n konvergir k X u L 2 (Ω), ond je X Gusov slučjn promenljiv s očekivnjem µ = lim µ n i disperzijom σ 2 = lim n n σ2 n. Posledic 3.1. Ako f, g L 2 [, b], td E(I(f)I(g)) = f(t)g(t)dt. Posebno, ko su f i g ortogonlne, ond su Gusove slučjne promenljive I(f) i I(g) nezvisne. Dokz. N osnovu linernosti promeljive I i Teoreme 3.4, immo E [ (I(f) + I(g)) 2] = E [ (I(f + g)) 2] = = (f(t) + g(t)) 2 dt f(t) 2 dt + 2 f(t)g(t)dt + g(t) 2 dt. (3.3.7) 16

S druge strne, Teorem 3.4 tkod e obezbed uje E[(I(f) + I(g)) 2 ] = E [ I(f) 2 + 2I(f)I(g) + I(g) 2] = Polzno tvrd enje sledi iz jednkosti 3.3.7 i 3.3.8. f(t) 2 dt + 2E[I(f)I(g)] + g(t) 2 dt. (3.3.8) Primer 3.1. Vinerov integrl 1 sdb(s) je Gusov slučjn promenljiv s očekivnjem 0 0 i disperzijom 1 0 s2 ds = 1. 3 Teorem 3.5. Nek je f neprekidn funkcij ogrničene vrijcije. Td, z skoro svko ω Ω, ( ) f(t)db(t) (ω) = (RS) f(t)db(t, ω), gde je lev strn jednkosti Vinerov integrl funkcije f, desn strn jednkosti je Rimn-Stiltjesov integrl funkcije f koji je definisn jednkošću 3.3.3. Dokz. Z svku podelu n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } segment [, b], definišemo prostu funkciju f n ko f n = f(t i 1 )1 [ti 1,t i ). Primetimo d f n konvergir k f u L 2 [, b] kd n, tj. kd n 0. Stog, n osnovu definicije Vinerovog integrl koje je predstvljen jednkošću 3.3.6 vži f(t)db(t) = lim f(t i 1 )(B(t i ) B(t i 1 )), (3.3.9) n u L 2 [, b]. S druge strne, n osnovu jednčine 3.3.3, sledeći limes vži z sve ω Ω O z neko Ω O z koje vži P (Ω O ) = 1, (RS) f(t)db(t, ω) = f(b)b(b, ω) f()b(, ω) lim n = lim n ( f(b)b(b, ω) f()b(, ω) B(t i, ω)(f(t i ) f(t i 1 )) ) B(t i, ω)(f(t i ) f(t i 1 )). Nkon grupisnj sbirk, dobij se jednkost z svko ω iz Ω O : (RS) f(t)db(t) = lim n f(t i 1 )(B(t i ) B(t i 1 )). (3.3.10) Kko L 2 (Ω) konvergencij povlči konvergenciju podniz skoro sigurno, možemo izbrti tkv podniz f n z koji se dobij tvrd enje teoreme n osnovu jednkosti 3.3.9 i 3.3.10. 17

3.4 Mrtingli Nek je f L 2 [, b]. Posmtrjmo stohstički proces M t = f(s)db(s), t b. (3.4.1) U ovoj sekciji pokzćemo d je stohstički proces M t mrtingl. Kko bi se uvel definicij mrtingl, potrebno je definisti pojm filter. Definicij 3.3. Nek je T intervl u R ili skup pozitivnih brojev. Filter n T je rstuć fmilij σ-polj {F t t T }. Kže se d je stohstički proces X t, t T prilgod en filteru {F t t T } z svko t T, ko je slučjn promenljiv X t F t - merljiv. σ-polje F je kompletno ko A F i P (A) = 0, što povlči to d B F z svko B podskup skup A. U ovom rdu, pretpostvljćemo d su sv σ-polj F t kompletn. Definicij 3.4. Nek je X t stohstički proces koji je prilgod en filteru F t i E X t < z svko t T. Td se kže d je X t mrtingl u odnosu n {F t }, ko z svko s t u skupu T skoro sigurno vži E{X t F s } = X s. Kd se ne nglsi drugčije, filter {F t } se posmtr ko F t = σ{x s ; s t}. Koncept mrtingl je uopštenje niz prcijlnih sum koje proizilze iz niz nezvisnih i jednko rspodeljenih slučjnih veličin {X n } s očekivnjem 0. Nek je S n = X 1 + + X n. Td je niz {S n } mrtingl. Nek je B(t) Brunovo kretnje, i Td, z svko s t vži F t = σ{b s ; s t}. E{B(t) F s } = E{B(t) B(s) F s } + E{B(s) F s }. Kko je B(t) B(s) nezvisno od F s, n osnovu osobine mtemtičkog očekivnj vži jednkost E{B(t) B(s) F s } = E{B(t) B(s)}. U sekciji Definicij i osobine Brunovog kretnj je utvrd eno d je očekivnje Brunovog kretnj B(t) jednko 0, tj. EB(t) = 0. Stog, E{B(t) B(s) F s } = 0. S druge strne, B(s) je F s -merljivo, te je E{B(s) F s } = B(s). 18

Kko je n osnovu ovih dobijenih jednkosti polzno očekivnje jednko B(s), tj. E{B(t) F s } = B(s) z svko s t. Ovim je pokzno d je Brunovo kretnje B(t) mrtingl. Teorem 3.6. Nek je f L 2 [, b]. Td je stohstički proces M t = f(s)db(s), t b, mrtingl u odnosu n filter F t = σ{x s ; s t}. Dokz. Prvo, potrebno je d dokžemo d je E M t < z svko t [, b] kko bismo izrčunli uslovno očekivnje z M t. Primenom Teoreme 3.4 dobij se E( M t 2 ) = f(s) 2 ds f(s) 2 ds. Stog, E M t {E( M t 2 )} 1 2 <. Sledeće što je n redu d dokžemo jeste d vži E{M t F s } = M s z svko s t. Vži M t = M s + i M s je F s -merljivo. Stog, { E{M t F s } = M s + E s f(u)db(u) s f(u)db(u) F s }. Dovoljno je d se pokže d z svko s t, { } E f(u)db(u) F s = 0. (3.4.2) Z početk, pretpostvimo d je f prost funkcij s f = i 1 [ti 1,t i ), gde je t 0 = s i t n = t. U ovom slučju, immo s f(u)db(u) = i (B(t i ) B(t i 1 )). Znmo d su B(t i ) B(t i 1 ), i = 1,..., n nezvisne od σ-polj F s. Stog, E{B(t i ) B(t i 1 ) F s } = 0 z svko i. Sd, pretpostvimo d je f L 2 [, b]. Izbrćemo niz prostih funkcij {f n } n=1 koji konvergir k f u L 2 [, b]. 19

Koristićemo Jensenovu nejednkost koj glsi: Nek je X L 1 (Ω). Pretpostvimo d je f konveksn funkcij n R i f(x) L 1 (Ω). Td vži Nejednkost f (E[X F]) E[f (X) F]. E{X F} 2 E{X 2 F} proizilzi n osnovu Jensenove nejednkosti z f(x) = x 2. Dlje sledi { } 2 E (f n (u) f(u))db(u) F s s { ( ) 2 } E (f n (u) f(u))db(u) F s. s Ako iskoristimo činjenicu d je E(E{X F}) = E(X) (ov jednkost sledi iz činjenic d je uslovno očekivnje E{X F} jednko očekivnju od X) i Teoremu 3.4 dobijmo sledeće { } 2 E E (f n (u) f(u))db(u) F s (f n (u) f(u)) 2 du s s 0, (f n (u) f(u)) 2 du kd n. Stog, niz slučjnih veličin E{ f s n(u)db(u) F s } konvergir k E{ f(u)db(u) F s s} u L 2 (Ω). Primetimo d konvergencij u L 2 (Ω) povlči konvergenciju u verovtnoći, što dlje povlči egzistenciju podniz koji konvergir skoro sigurno. Stog, birnjem podniz ko je potrebno, možemo d zključimo s verovtnoćom 1, { } { } lim E f n (u)db(u) F s = E f(u)db(u) F s. (3.4.3) n s Pokzli smo d jednčin 3.4.2 vži z proste funkcije, te sledi d je E{ s f n (u)db(u) F s } = 0. Stog, n osnovu jednkosti 3.4.3, vži { } E f(u)db(u) F s = 0, što znči d jednkost 3.4.2 vži z svku funkciju f L 2 [, b]. s s 20

4 Itoov stohstički integrl Nek je B(t, ω) Brunovo kretnje. U ovom poglvlju bvićemo se prvim stohstičkim integrlom f(t, ω)db(t, ω) koji je definiso Ito u svom rdu 1944.godine. Integrnd f(t, ω) je stohstički proces u odnosu n filter F t = σ{b(s); s t} i E ( f(t) 2 ) <. Kd je integrnd determinističk funkcij f(t), Itoov integrl f(t)db(t, ω) svodi se n Vinerov integrl koji smo definisli u poglvlju 3. Z pisnje ovog poglvlj korišćene su knjige [1], [2], [3] i [6]. 4.1 Uvod u stohstičke integrle Nek je B(t) Brunovo kretnje, i pretpostvimo d je f(t) determinističk funkcij koj pripd prostoru L 2 [, b]. U sekciji Mrtingli, pokzno je d je stohstički proces M t = f(s)db(s), t b mrtingl. Kd se u istoj rečenici nd u pojm mrtingl i pojm stohstičkog integrl, prirodno se nmeće pitnje kko se može definisti stohstički integrl f(t, ω)db(t, ω) z stohstički proces f(t, ω) tko d stohstički proces M t = f(s, ω)db(s, ω), t b jeste mrtingl. Odgovor n ovo pitnje ne nmeće se sm po sebi, te stog je potrebno vrtiti se n početke priče o integrlim. Posmtr se primer gde je f(t) = B(t), tko d integrl, koji se rzmtr, sd im oblik B(t)dB(t). Primenom Rimnovih sum 1.4.1 i 1.4.2 n ovj integrl z intervl [t i 1, t i ], dobijju se L n = B(t i 1 )(B(t i ) B(t i 1 )), (4.1.1) R n = B(t i )(B(t i ) B(t i 1 )). (4.1.2) gde su izbrne tčke z L n i R n krjnj lev tčk t i 1 i krjnj desn tčk t i segment [t i 1, t i ]. Ko u jednkosti 1.4.4, vži R n L n = (B(t i ) B(t i 1 )) 2. (4.1.3) 21

Ako limes lim n (R n L n ) postoji, ond je on kvdrtn vrijcij Brunovog kretnj B(t). Teorem 4.1. Nek je n = { = t 0, t 1,..., t n 1, t n = b} podel končnog intervl [, b]. Td vži (B(t i ) B(t i 1 )) 2 b (4.1.4) u prostoru L 2 (Ω) kd n = mx 1 i n (t i t i 1 ) 0. Dokz. Primetimo d je b = n (t i t i 1 ), i nek je Φ n = [ (B(ti ) B(t i 1 )) 2 (t i t i 1 ) ] = X i, (4.1.5) gde je X i = (B(t i ) B(t i 1 )) 2 (t i t i 1 ). Dlje vži, Φ 2 n = X i X j. (4.1.6) i,j=1 Z i j, očekivnje proizvod slučjnih veličin X i i X j je jednko nuli zbog tog što Brunovo kretnje B(t) im nezvisne prirštje i još vži E(B(t) B(s)) 2 = t s. S druge strne, E [(B(t) B(s)) 4 ] = 3(t s) 2 i z i = j u jednkosti 4.1.6 dobij se E(X 2 i ) = E{(B(t i ) B(t i 1 )) 4 2(t i t i 1 )(B(t i ) B(t i 1 )) 2 + (t i t i 1 ) 2 } = 3(t i t i 1 ) 2 2(t i t i 1 ) 2 + (t i t i 1 ) 2 = 2(t i t i 1 ) 2. (4.1.7) Dlje iz jednkosti 4.1.6, EΦ 2 n = 2(t i t i 1 ) 2 2 n (t i t i 1 ) = 2(b ) n 0, kd n 0. Ovim smo pokzli d Φ n konvergir k 0 u L 2 (Ω). Stog iz jednkosti 4.1.5 sledi d vži jednkost 4.1.4. Sd primenjujemo Teoremu 4.1 n jednkost 4.1.3 d bismo zključili d vži lim (R n L n ) = b n 0 22

u L 2 (Ω). N osnovu tog možemo zključiti d Primetimo d vži R n + L n = = lim R n n 0 lim L n. n 0 (B(t i ) + B(t i 1 ))(B(t i ) B(t i 1 )) ( B(ti ) 2 B(t i 1 ) 2) = B(t n ) 2 B(t 0 ) 2 = B(b) 2 B() 2. (4.1.8) Očigledno, sledi iz jednčin 4.1.3 i 4.1.8 d ( ) R n = 1 B(b) 2 B() 2 + (B(t i ) B(t i 1 )) 2, 2 L n = 1 2 ( B(b) 2 B() 2 N osnovu Teoreme 4.1 može se izrčunti: ) (B(t i ) B(t i 1 )) 2. lim R n = 1 ( B(b) 2 B() 2 + (b ) ), (4.1.9) n 0 2 lim L n = 1 ( B(b) 2 B() 2 (b ) ). (4.1.10) n 0 2 Pitnje je koje od ove dve jednkosti (4.1.10 i 4.1.9) treb uzeti ko jednkost koj odgovr integrlu B(t)dB(t). Zprvo, koju krnju tčku, levu ili desnu, treb uzeti z procenu integrnd. U jednkostim 4.1.9 i 4.1.10 uvrstimo d je = 0 i b = t, kko bismo definisli stohstičke procese R(t) i L(t): R(t) = 1 2 (B(t)2 + t), L(t) = 1 2 (B(t)2 t). Primetimo d je očekivnje proces R(t) jednko t. Možemo zključiti d R(t) nije mrtingl, jer očekivnje od mrtingl mor biti konstnt. S druge strne, L(t) jeste mrtingl. Nek je F t = σ{b(s); s t}. Td, z svko s t, E(L(t) F s ) = 1 2 E(B(t)2 F s ) 1 t. (4.1.11) 2 Uslovno očekivnje im sledeće osobine: 1) Ako su X i F nezvisne, td je E(X F) = EX. 2) Ako je X F-merljivo, td je E(XY F) = XE(Y F), tj. E(X F) = X. 23

Kko su B(t) B(s) i B(u) nezvisne z svko u s, sledi d su B(t) B(s) i F s nezvisne. Odtle, E(B(t) 2 F s ) = E ( (B(t) B(s) + B(s)) 2 F s ) = E ( (B(t) B(s)) 2 + 2B(s)(B(t) B(s)) + B(s) 2 F s ) = E(B(t) B(s)) 2 + 2B(s)E(B(t) B(s)) + B(s) 2 = t s + B(s) 2 Primenom jednkosti E(B(t) 2 F s ) = t s + B(s) 2 u jednkost 4.1.11 dobijmo E(L(t) F s ) = L(s), s t. Ovim smo pokzli d je L(t) mrtingl. Možemo zključiti d ko želimo d sčuvmo osobinu mrtingl pri definisnju stohstičkog integrl f(s)db(s), potrebno je d uzmemo krjnju levu tčku svkog podintervl ko tčke procene. Posmtrjmo sd primer X(t) = 0 B(1)dB(s), 0 t 1. Intuitivno, očekujemo d je X(t) = B(1)B(t). Ali, stohstički proces X(t) nije mrtingl jer E[B(1)B(t)] = min{1, t} = t nije konstnt. Stog integrl t B(1)dB(s) nije ono što smo očekivli. Rzlog iz kog je ovj integrl nedefinisn, 0 ko želimo d sčuvmo svojstvo mrtingl, jeste tj što integrnd B(1) nije prilgod en filteru σ{b(s); s t}, 0 t 1. Bitn npomen po pitnju integrnd jeste d d bi stohstički integrl t f(s)db(s) imo svojstvo mrtingl, potrebno je d integrnd bude prilgod en filteru {F t }. Generlno, dozvolićemo d {F t } bude veći filter od onog koji je dt Brunovim kretnjem, {F t } σ{b(s); s t} s svko t. 4.2 Itoov stohstički integrl U ovoj sekciji, posmtrmo B(t) ko Brunovo kretnje i filter {F t ; t b}, tkve d zdovoljvju sledeće uslove: 1) Z svko t, B(t) je F t -merljivo; 2) Z svko s t, slučjn promenljiv B(t) B(s) je nezvisn od σ-polj F s. S L 2 d ([, b] Ω) oznčv se prostor svih stohstičkih proces f(t, ω), t b, ω Ω z koje vže uslovi: 1) f(t, ω) je prilgod eno filteru {F t }; 2) E( f(t) 2 )dt <. 24

U definisnju stohstičkog integrl f(t)db(t), f L 2 d([, b] Ω) (4.2.1) korišćen je originln Itoov idej. Kko bi se ov idej lkše sprovel u delo, prič je podeljen n 3 kork. U korku 1 definiše se stohstički integrl z proste stohstičke procese u L 2 d ([, b] Ω). Ztim, u korku 2, biće prikzn dokz glvne leme o proksimciji. I njzd, u korku 3 se definiše stohstički integrl z uopštene procese u L 2 d ([, b] Ω). 4.2.1 Kork 1 Nek je f prost stohstički proces u L 2 d ([, b] Ω), koji je definisn n sledeći nčin: f(t, ω) = ξ i 1 (ω)1 [ti 1,t i )(t), gde je ξ i 1 F ti 1 -merljivo i još E(ξ 2 i 1) <. Lem 4.1. Nek je Ond je E(I(f)) = 0 i I(f) = ξ i 1 (B(t i ) B(t i 1 )). (4.2.2) E( I(f) 2 ) = E( f(t) 2 )dt. (4.2.3) Dokz. Prvo dokzujemo d je očekivnje od I(f) jednko nuli. Z svko 1 i n u jednkosti 4.2.2 vži: E{ξ i 1 (B(t i ) B(t i 1 ))} = E{E[ξ i 1 (B(t i ) B(t i 1 )) F ti 1 ]} U dokzu je korišćeno svojstvo = E{ξ i 1 E[(B(t i ) B(t i 1 )) F ti 1 ]} = E{ξ i 1 E(B(t i ) B(t i 1 ))} = 0. E[B(t i ) B(t i 1 ) F ti 1 ] = E(B(t i ) B(t i 1 )) = 0. Kko bi se dokzlo drugo tvrd enje leme, potrebno je njpre videti čemu je jednko I(f) 2. I(f) 2 = ξ i 1 ξ j 1 (B(t i ) B(t i 1 ))(B(t j ) B(t j 1 )) i,j=1 25

Z i j i z i < j E{ξ i 1 ξ j 1 (B(t i ) B(t i 1 ))(B(t j ) B(t j 1 ))} = E{E[ξ i 1 ξ j 1 (B(t i ) B(t i 1 ))(B(t j ) B(t j 1 )) F tj 1 ]} = E{ξ i 1 ξ j 1 (B(t i ) B(t i 1 ))E[(B(t j ) B(t j 1 )) F tj 1 ]} = 0 (4.2.4) S druge strne, z i = j E{ξ 2 i 1(B(t i ) B(t i 1 ))} = E{E[ξ 2 i 1(B(t i ) B(t i 1 )) 2 F ti 1 ]} = E{ξ 2 i 1E[(B(t i ) B(t i 1 )) 2 ]} = E{ξ 2 i 1(t i t i 1 )} = (t i t i 1 )E(ξ 2 i 1). (4.2.5) S ov dv slučj je pokriven dokz drugog tvrd enj leme, tj. jednkost 4.2.3 sledi iz jednkosti 4.2.4 i 4.2.5. 4.2.2 Kork 2 Lem 4.2. Pretpostvimo d je f L 2 d ([, b] Ω). Td postoji niz prostih stohstičkih proces {f n (t); n 1} u L 2 d ([, b] Ω) tkv d vži lim n E{ f(t) f n (t) 2 }dt = 0. Dokz. Kko bi bio pregledniji, dokz je podeljen n specijlne slučjeve i n opšti slučj. Slučj 1: E(f(t)f(s)) je neprekidn funkcij po (t, s) [, b] 2. U ovom slučju, nek je n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } podel segment [, b] i definišimo stohstički proces f n (t, ω) ko f n (t, ω) = f(t i 1, ω), t i 1 < t t i. (4.2.6) Td je {f n (t, ω)} niz prilgod enih prostih stohstičkih proces. N osnovu neprekidnosti E(f(t)f(s)) n [, b] 2 što dlje povlči d z svko t [, b] vži Rdi dlje bolje procene, koristićemo nejednkost lim E{ f(t) s t f(s) 2 } = 0, (4.2.7) lim E{ f(t) f n(t) 2 } = 0. (4.2.8) n α β 2 2( α 2 + β 2 ) 26

i dolzimo do Stog z svko t b vži, f(t) f n (t) 2 2( f(t) 2 + f n (t) 2 ). E{ f(t) f n (t) 2 } 2(E{ f(t) 2 } + E{ f n (t) 2 }) 4 sup E{ f(s) 2 }, (4.2.9) s b Teorem 4.2. (Lebegov teorem o dominntnoj konvergenciji) Nek je (X, M, µ) prostor s merom, i nek je f n : X C, niz funkcij koji z svko x X konvergir k funkciji f. Ako postoji integrbiln (n X) funkcij g, tkv d z sve n N i sve x X vži f n (x) g(x), td vži lim n X f n dµ = Dokz ove teoreme se može nći u knjizi [6]. X lim f ndµ. n N osnovu Lebegove teoreme o dominntnoj konvergenciji može se zključiti lim n Slučj 2: f je ogrničen stohstički proces. E{ f(t) f n (t) 2 }dt = 0. U ovom slučju, definišemo stohstički proces g n ko g n (t, ω) = n(t ) 0 e τ f(t n 1 τ, ω)dτ. Primetimo d je stohstički proces g n prilgod en filteru {F t } i E( g n(t) 2 )dt <. Tvrd enje (): Z svko n, E(g n (t)g n (s)) je neprekidn funkcij od (t, s). Kko bi se dokzlo ovo tvrd enje, uvodimo smenu u = t n 1 τ u stohstički proces g n (t, ω) g n (t, ω) = ne n(t u) f(u, ω)du, što može poslužiti kko bi se došlo do jednkosti lim E{ g n(t) g n (s) 2 } = 0. t s Tvrd enje (b): E( f(t) g n(t) 2 )dt 0 kd n. Primetimo d vži f(t) g n (t) = 0 e τ (f(t) f(t n 1 τ))dτ, 27

gde f(t) im vrednost nul z t <. Kko je e τ dτ verovtnoć mere n [0, ), može se primeniti Švrcov nejednkost kko bi se došlo do Td, f(t) g n (t) 2 0 f(t) f(t n 1 τ) 2 e τ dτ. E( f(t) g n (t) 2 )dt = = 0 0 e τ E( f(t) f(t n 1 τ) 2 )dτdt ( ) e τ E( f(t) f(t n 1 τ) 2 )dt dτ ( ) e τ E ( f(t) f(t n 1 τ) 2 )dt dτ. (4.2.10) 0 Prem pretpostvci d je f ogrničen stohstički proces, vži skoro sigurno kd n. Ovim je dokzno Tvrd enje (b). f(t, ) f(t n 1 τ, ) 2 dt 0 (4.2.11) Sd, n osnovu Tvrd enj () može se primeniti Slučj 1 n g n z svko n z prilgod eni prosti stohstički proces f n (t, ω) tkv d vži N osnovu Tvrd enj (b) i nejednkosti 4.2.12, vži E( g n (t) f n (t) 2 )dt 1 n. (4.2.12) lim n Ovim je kompletirn dokz Slučj 2. Slučj 3: Opšti slučj z f L 2 d ([, b] Ω). E( f(t) f n (t) 2 )dt = 0. (4.2.13) Nek je f L 2 d ([, b] Ω). Z svko n, definišemo g n(t, ω) tko d je g n (t, ω) = f(t, ω), ko je f(t, ω) n, i g n (t, ω) = 0, ko je f(t, ω) > n. N osnovu Teoreme 4.2, E( f(t) g n (t) 2 )dt 0 (4.2.14) 28

kd n. Sd, z svko n možemo d primenimo Slučj 2 n g n stohstički proces f n (t, ω) tko d vži z prilgod eni prosti E( g n (t) f n (t) 2 )dt 1 n. (4.2.15) Kko tvrd enje u lemi proizilzi iz 4.2.14 i 4.2.15, ovim smo upotpunili dokz leme. 4.2.3 Kork 3 U ovom poslednjem, trećem korku, možemo d koristimo sve što smo dokzli u Korku 1 i Korku 2, kko bismo definisli stohstički integrl f(t)db(t), f L 2 d([, b] Ω). Primenjujemo lemu iz Kork 2 kko bismo dobili niz prilgod enih stohstičkih proces {f n (t, ω); n 1} z koji vži tvrd enje iz Leme 4.2. Z svko n, I(f n ) je definisno u Korku 1. N osnovu Leme 4.1, vži E( I(f n ) I(f m ) 2 ) = kd n, m. Stog, niz {I(f n )} je Košijev niz u L 2 (Ω), i vži u L 2 (Ω). Definicij 4.1. Limes E( f n (t)) f m (t) 2 )dt 0 I(f) = lim n I(f n), I(f) = lim n I(f n) (4.2.16) u L 2 (Ω), nziv se Itoov integrl stohstičkog proces f i oznčv se s f(t)db(t). Može se primetiti d z svke, b R i z f, g L 2 d ([, b] Ω) vži I(f + bg) = I(f) + bi(g). Teorem 4.3. Nek je f L 2 d ([, b] Ω). Td je Itoov integrl I(f) = f(t)db(t) slučjn promenljiv s očekivnjem 0 i još vži E( I(f) 2 ) = E( f(t) 2 )dt. Kko je I linern, z svko f, g L 2 d ([, b] Ω), vži sledeć jednkost ( ) E f(t)db(t) g(t)db(t) = E(f(t)g(t))dt. 29

4.3 Rimnove sume i stohstički integrli Nek je f L 2 d ([, b] Ω). Z podelu n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } intervl [, b] definišemo Rimnovu sumu funkcije f u odnosu n Brunovo kretnje B(t) ko f(t i 1 ) (B(t i ) B(t i 1 )). (4.3.1) Znim ns d li sum 4.3.1 teži Itoovom integrlu f(t)db(t). Pretpostvimo d je E (f(t)f(s)) neprekidn funkcij po t i s. Definišemo stohstički proces f n ko u jednkosti 4.2.6 f n (t, ω) = f(t i 1, ω), t i 1 < t t i. Kko je pokzno u Slučju 1 u dokzu Leme 4.2, immo lim n N osnovu jednkosti 4.2.16, u L 2 (Ω). N osnovu jednkosti 4.2.2 E{ f(t) f n (t) 2 }dt = 0. f(t)db(t) = lim n I(f n) I(f n ) = = f n (t i 1 ) (B(t i ) B(t i 1 )) f(t i 1 ) (B(t i ) B(t i 1 )) dolzimo do Rimnove sume 4.3.1. Ovim smo dokzli sledeću teoremu. Teorem 4.4. Nek je f L 2 d ([, b] Ω) i pretpostvimo d je E (f(t)f(s)) neprekidn funkcij po t i s. Td f(t)db(t) = lim f(t i 1) (B(t i ) B(t i 1 )) n 0 u L 2 (Ω), gde je n = { = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b} i n = mx 1 i n (t i t i 1 ). 30

5 Primeri stohstičkih integrl Z pisnje ovog poglvlj korišćen je knjig [1]. Primer 5.1. B(t)dB(t) = 1 2 {B(b)2 B() 2 (b )}. U sekciji Uvod u stohstičke integrle pokušli smo d definišemo integrl B(t)dB(t). Kd koristimo krjnje leve tčke svkog podintervl u podeli intervl [, b] kko bi se ocenio integrnd, dobij se sum L n (jednkost 4.1.1). Ako se limes sume L n kd n posmtr ko integrl, ond iz jednkosti 4.1.10 immo B(t)dB(t) = 1 2 {B(b)2 B() 2 (b )}. (5.0.2) Postvlj se pitnje d li je ov vrednost jednk integrlu B(t)dB(t) koji je definisn u sekciji Itoov stohstički integrl? Jedn od osobin Brunovog kretnj jeste d je E(B(t)B(s)) = min{t, s} neprekidn funkcij po t i s. Stog, može se primeniti Slučj 1 iz dokz Leme 4.2, z integrnd f(t) = B(t) i podelu n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } intervl [, b], z definisnje stohstičkog proces f n (t, ω): f n (t, ω) = B(t i 1, ω), t i 1 < t t i. Dlje, n osnovu Kork 2 u definisnju stohstičkog integrl u prethodnom poglvlju, možemo videti d je stohstički integrl B(t)dB(t) definisn ko B(t)dB(t) = lim n I(f n), u L 2 (Ω). Sd, n osnovu jednkosti 4.2.2 u Korku 1, kd smo definisli stohstički integrl, I(f n ) zdto je ko I(f n ) = B(t i 1 )(B(t i ) B(t i 1 )), i time dobijmo L n u jednkosti 4.1.1. N ovj nčin smo pokzli d vži početn jednkost. Primer 5.2. B(t)2 db(t) = 1 3 (B(b)3 B() 3 ) B(t)dt Služimo se istom idejom ko u primeru 5.1. Pretpostvljmo d je integrl B(t)dt Rimnov integrl od B(t, ω) z skoro svko ω Ω. Rzmotrimo sledeće: E [ B(t) 2 B(s) 2] = E [ ((B(t) B(s)) + B(s)) 2 B(s) 2] = E [ {(B(t) B(s)) 2 + 2B(s) (B(t) B(s)) + B(s) 2 }B(s) 2] = (t s)s + 3s 2 = ts + 2s 2 31

Primetimo d je E [B(t) 2 B(s) 2 ] neprekidn funkcij po t i s. Stog možemo d primenimo Slučj 1 iz dokz Leme 4.2 ko z integrnd uzmemo f(t) = B(t) 2. Z podelu n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } segment [, b], definišemo stohstički proces f n (t, ω) ko f n (t, ω) = B(t i 1, ω), t i 1 < t t i. Stohstički integrl B(t)2 db(t) je zdt ko B(t) 2 db(t) = lim n gde vži konvergencij u L 2 (Ω). Vži i 3 B(t i 1 ) 2 (B(t i ) B(t i 1 )) (5.0.3) B(t i 1 ) 2 (B(t i ) B(t i 1 )) = B(b) 3 B() 3 3 (B(t i ) B(t i 1 )) 3 B(t i 1 ) (B(t i ) B(t i 1 )) 2 (5.0.4) Kko bi pokzli čemu je jednk sum koj figuriše n desnoj strni prethodne jednkosti, koristi se činjenic d je E B(t) B(s) 6 = 15 t s 3 i dobijmo 2 E (B(t i ) B(t i 1 )) 3 = 15 (t i t i 1 ) 3 15 n 2 (b ) 0. (5.0.5) S druge strne, z drugu sumu u jednkosti 5.0.5, možemo modifikovti rgumente u dokzu Teoreme 4.1 koristeći uslovno očekivnje ko u dokzu Leme 4.1 kko bi se dobil nejednkost E n B(t i 1) (B(t i ) B(t i 1 )) 2 n B(t i 1)(t i t i 1 ) 2 = 2t i 1 (t i t i 1 ) 2 2b(b ) n 0. (5.0.6) Nejednkost 5.0.5 znči d prv sum s desne strne jednkosti 5.0.4 konvergir k 0 u L 2 (Ω), dok nejednkost 5.0.6 znči d drug sum s desne strne jednkosti 5.0.4 konvergir k B(t)dt. Stog, zključujemo iz jednkosti 5.0.3 i 5.0.4 d proizilzi ono što je bilo potrebno dokzti u primeru. 32

6 Primen Itoovog stohstičkog integrl Primen Itoovog stohstičkog integrl je širok pojm te ćemo se u ovom poglvlju koncentristi n Itoovu formulu u njenom njjednostvnijem obliku i njenu primenu, n stohstičke procese koji se oslnjju n Itoov stohstički integrl, i n linerne stohstičke diferencijlne jednčine. 6.1 Itoov formul Z pisnje ove sekcije korišćen je knjig [1]. U Njutn-Ljbnicovom rčunu, jedn od njbitnijih mtemtičkih lt bez sumnje je formul d dt f(g(t)) = f (g(t))g (t) z diferencijbilne funkcije f i g. On se može zpisti i u obliku integrl ko f(g(t)) f(g()) = f (g(s))g (s)ds. S druge strne, jedno od njbitnijih prvil u Itoovom rčunu jeste f(b(t)) = f(b()) + f (B(s))dB(s) + 1 2 f (B(s))ds z Brunovo kretnje B(t) i dv put diferencijbilnu funkciju f. Ov formul se često piše u diferencijlnom obliku df(b(t)) = f (B(t))dB(t) + 1 2 f (B(t))dt. Pojv sbirk 1 2 f (B(t))dt je posledic nenul kvdrtne vrijcije Brunovog kretnj B(t). U ovoj sekciji predstvićemo proslvljenu Itoovu formulu u svom njjednostvnijem obliku. 6.1.1 Itoov formul u svom njjednostvnijem obliku Njutn-Ljbnicov formul rdi s determinističkim funkcijm. Ako su funkcije f i g diferencijbilne, ond je f(g(t)) tkod e diferencijbiln i vži d dt f(g(t)) = f (g(t)) g (t). 33

Dlje će vžiti jednkost f(g(t)) f(g()) = f (g(s)) g (s)ds. (6.1.1) Itoov rčun se bvi slučjnim funkcijm, tj. slučjnim procesim. Nek je B(t) Brunovo kretnje i f diferencijbiln funkcij. Posmtrjmo kompoziciju funkcij f(b(t)). Kko su skoro sve putnje Brunovog kretnj B(t) nigde diferencijbilne, jednkost d dt f (B(t)) = f (B(t)) B (t) očigledno nem nikkvo znčenje. Postvlj se pitnje d li jednkost f(b(t)) f(b()) = f (B(s))dB(s) (6.1.2) vži z svku diferencijbilnu funkciju f. Integrl f (B(s))dB(s) je Itoov stohstički integrl koji je definisn u poglvlju 4 tko d f (B(t)) pripd L 2 d ([, b] Ω). Z funkciju f(x) = x 2, jednkost 6.1.2 se svodi n B(t) 2 B() 2 = 2 B(s)dB(s), što je u kontrdikciji s Primerom 5.1 iz poglvlj 5 s smenom b = t, B(t) 2 B() 2 (t ) = 2 B(s)dB(s). Dolzimo do zključk d jednkost 6.1.2 ne vži z svku diferencijbilnu funkciju f. Sd se postvlj pitnje d li postoji formul z kompoziciju funkcij f(b(t)) koj će d posluži ko prvilo u integrlnoj formi z Itoov rčun. Kko bismo odgovorili n ovo pitnje, posmtrćemo podelu n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } intervl [, t]. Td immo f(b(t)) f(b()) = (f(b(t i )) f(b(t i 1 ))). (6.1.3) Nek je f C 2 -funkcij (dv put diferencijbiln i drugi izvod f neprekidn). Td immo Tejlorov rzvoj f(x) f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) + 1 2 f (x 0 + λ(x x 0 )) (x x 0 ) 2, gde je 0 < λ < 1. Dlje n osnovu jednkosti 6.1.3 vži f(b(t)) f(b()) = f ( ) ( ) B ti 1 Bti B ti 1 + 1 2 f ( B ti 1 + λ i (B ti B ti 1 ) ) (B ti B ti 1 ) 2, (6.1.4) 34

gde je 0 < λ i < 1, s B t je oznčeno Brunovo kretnje B(t) rdi lkšeg zpis. Kko bismo došli do teoreme koj obezbed uje jednkost koj se nziv Itoov formul, mormo njpre d uvedemo uopštenje z stohstičke integrle. Stohstički integrl f(t)db(t) z stohstički proces f(t, ω) zdovoljv uslove: 1) f(t) je prilgod en filteru {F t }; 2) f(t) 2 dt < skoro sigurno. Uslov 2) znči d su skoro sve putnje funkcije u Hilbertovom prostoru L 2 [, b]. S L d (Ω, L 2 [, b]) oznčićemo prostor stohstičkih proces f(t, ω) koji zdovoljv uslove 1) i 2). Teorem 6.1. Pretpostvimo d je f neprekidni {F t }-prilgod en stohstički proces. Td f L d (Ω, L 2 [, b]) i f(t)db(t) = lim n 0 f(t i 1 ) (B(t i ) B(t i 1 )), u verovtnoći, gde je n = {t 0, t 1,..., t n 1, t n } podel končnog intervl [, b] i n = mx 1 i n (t i t i 1 ). Više o uopštenju stohstičkih integrl, ko i dokz ove teoreme, nlzi se u knjizi [1]. N prvu sumu u jednkosti 6.1.4 može se primeniti Teorem 6.1: lim n 0 f ( ) ( ) t B ti 1 Bti B ti 1 = f (B(s)) db(s) u verovtnoći. Posmtrjmo sd drugu sumu u jednkosti 6.1.4. N osnovu Teoreme 4.1, možemo zključiti koji je limes te sume u smislu kvdrtne vrijcije Brunovog kretnj B(t): f ( B ti 1 + λ i (B ti B ti 1 ) ) (B ti B ti 1 ) 2 kd n 0. f (B(s)) ds (6.1.5) Uzimjući u obzir prethodnu priču, dolzimo do teoreme koju je Ito dokzo 1944. godine. 35

Teorem 6.2. Nek je f(x) C 2 -funkcij. Td f(b(t)) f(b()) = f (B(s)) db(s) + 1 2 f (B(s)) ds (6.1.6) gde je prvi integrl Itoov integrl, dok je drugi integrl Rimnov integrl z svku putnju od B(s). Primetimo d je poslednji sbirk u jednkosti 6.1.6 posledic nenul kvdrtne vrijcije Brunovog kretnj B(t). Ovj dodtni podtk rzlikuje Itoov rčun od Njutn-Ljbnicovog rčun. Dokz Teoreme 6.2 može se nći u knjizi [1]. 6.1.2 Primen Itoove formule Primer 6.1. f(x) = x 2. Zmenom u jednkost 6.1.6, dobijmo B(t) 2 B() 2 = 2 B(s)dB(s) + (t ). Kd je t = b gornj jednkost prelzi u jednkost 5.0.2 iz Primer 5.1: Primer 6.2. f(x) = x 4. B(t)dB(t) = 1 2 Jednkost 6.1.6 postje ( B(t) 4 = B() 4 + 4 ( B(b) 2 B() 2 (b ) ). ) B(s) 3 db(s) + 6 Gornj jednkost dje vrednost Itoovog integrl Primer 6.3. f(x) = e x. Jednkost 6.1.6 postje B(s) 2 ds. B(s) 3 db(s) = 1 ( B(t) 4 B() 4) 3 B(s) 2 ds. 4 2 e B(t) = ( e B() + ) e B(s) db(s) + 1 2 e B(s) ds. Možemo npisti gornju jednkost ko vrednost Itoovog integrl e B(s) db(s) = e B(t) e B() 1 2 e B(s) ds. 36

6.1.3 Izržvnje stohstičkih integrl uz pomoć Rimnovog integrl Fundmentln teorem Njutn-Ljbnicovog rčun počiv n tome d ko je F primitivn funkcij neprekidne funkcije f n [, b], td f(x)dx = F (x) b F (b) F (). U sekciji Itoov formul u svom njjednostvnijem obliku pokzli smo d generlno ne postoji formul koj bi mogl d se iskoristi z izrčunvnje stohstičkog integrl g(t)db(t). Ali, kd je g(t) u obliku g(t) = f(b(t)) z neprekidnu funkciju f s neprekidnim izvodom, td je Itoov formul prv formul z to. Teorem koj sledi dje smo drugčiji nčin d se zpiše Itoov formul. Teorem 6.3. Nek je F (t, x) primitivn funkcij funkcije f(t, x) u x. Pretpostvimo d su F i f neprekidne. Td t x ( F f (t, B(t)) db(t) = F (t, B(t)) b t (t, B(t)) + 1 ) f (t, B(t)) dt. 2 x Primetimo d je integrl s desne strne jednkosti iz prethodne teoreme Rimnov integrl z svku putnju Brunovog kretnj B(t). S druge strne, kko bismo primenili prethodnu teoremu, potrebno je nći primitivnu funkciju F (t, x) funkcije f(t, x) po promenljivoj x. U ovom slučju, Itoov formul koj je dt u Teoremi 6.3 je fundmentln teorem z Itoov rčun. Kd integrnd f ne zvisi od t, gornj jednkost postje f (B(t)) db(t) = F (B(t)) b 1 2 f (B(t)) dt (6.1.7) Prikzćemo izržvnje stohstičkih integrl uz pomoć Rimnovog integrl n nekoliko konkretnih primer. Primer 6.4. Kko bismo procenili stohstički integrl 0 B(s)e B(s) db(s), primetimo d je integrnd dt ko f(b(s)) gde je f(x) = xe x. Stog F (x) = xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + C, f (x) = xe x + e x. N osnovu jednkosti 6.1.7, 0 B(s)e B(s) db(s) = (B(t) 1) e B(t) + 1 1 2 0 (B(s) + 1) e B(s) ds. 37

Primer 6.5. Integrnd stohstičkog integrl 1 1 + B(s) db(s) 2 0 dt je ko f (B(s)) gde je f(x) = 1. Stog F (x) i f (x) su 1+x 2 1 F (x) = 1 + x dx = rctn x + C, f (x) = 2x 2 (1 + x 2 ). 2 N osnovu jednkosti 6.1.7, 1 t B(s) db(s) = rctn B(t) + 0 1 + B(s) 2 0 (1 + B(s) 2 ) ds. 2 Primer 6.6. Posmtrjmo stohstički integrl B(s) (1 + B(s) 2 ) db(s). 2 Integrnd je jednk f (B(s)) gde je f(x) = F (x) = 0 x, i vži 1+x 2 x 1 + x 2 dx = 1 2 log(1 + x2 ) + C, f (x) = 1 x2 (1 + x 2 ) 2. Primenimo jednkost 6.1.7 kko bismo nšli procenu z stohstički integrl B(s) 0 1 + B(s) db(s) = 1 2 2 log(1 + B(t)2 ) 1 1 B(s) 2 2 0 (1 + B(s) 2 ) ds. 2 Primer 6.7. Kko bismo procenili stohstički integrl 0 e B(s) 1 2 s db(s) posmtrćemo integrnd koji je u ovom primeru zdt ko f(s, B(s)) gde je f(t, x) = e x 1 2 t. Stog F (t, x) = e x 1 2 t, N osnovu Teoreme 6.3, immo F t = 1 2 ex 1 2 t, f x = ex 1 2 t. 0 e B(s) 1 2 s db(s) = e B(t) 1 2 t 1. 38

6.2 Stohstički procesi Z pisnje ove sekcije korišćen je knjig [1]. U poglvlju Itoov stohstički integrl fiksirli smo Brunovo kretnje B(t) i filter {F t ; t b} koji zdovoljv odred ene uslove. Nek je f stohstički proces, tkv d f L 2 d ([, b] Ω). Td, z svko t [, b] vži E ( f(s) 2) ds E ( f(s) 2) ds < Stog, f L 2 d ([, t] Ω). Odvde sledi d je stohstički integrl f(s)db(s) definisn z svko t [, b]. Posmtrjmo stohstički proces X t = N osnovu Teoreme 4.3 immo E ( X t 2) = f(s)db(s), t b. E ( f(s) 2) ds < i zto E X t [E ( X t 2 )] 1 2 <. Stog, z svko t, slučjn promenljiv X t je integrbiln i možemo posmtrti uslovno očekivnje od X t u odnosu n σ-polje, konkretnije filter F s. U poglvlju Itoov stohstički integrl pomenuli smo d je Itoov integrl b f(t)db(t) definisn tko d je stohstički proces X t = f(s)db(s), t b mrtingl. N primer, u istom poglvlju pokzli smo d su stohstički procesi L(t) = B(s)dB(s), t 0 i X 0 t = 0 B(s)2 db(s), t 0 mrtingli. Teorem koj sledi potvrd uje ovo svojstvo. Teorem 6.4. (Svojstvo mrtingl) Nek je f L 2 d ([, b] Ω). Td stohstički proces X t = je mrtingl u odnosu n filter {F t ; t b}. f(s)db(s), t b, (6.2.1) Može se primetiti d stohstički integrl nije definisn z svko fiksirno ω ko što je Rimnov ili Rimn-Stiltjesov integrl. Neprekidnost stohstičkog proces, koji je definisn ko u jednkosti 6.2.1, nije trivijln činjenic ko u elementrnoj relnoj nlizi. Td sto- Teorem 6.5. (Svojstvo neprekidnosti) Nek je f L 2 d ([, b] Ω). hstički proces X t = f(s)db(s), t b, (6.2.2) je neprekidn. Zprvo, skoro sve njegove putnje su neprekidne funkcije n intervlu [, b]. 39

Dokzi prethodnih teorem se mogu nći u knjizi [1]. Sd ćemo uvesti definiciju Itoovog stohstičkog proces. Njpre pr npomen: 1) Fiksirmo Brunovo kretnje B(t) i filter {F t ; t b} tkv d vži ) Z svko t, B(t) je F t -merljiv; b) Z svko s t, slučjn promenljiv B(t) B(s) je nezvisn od σ-polj F t. 2) Skup stohstičkih proces L d (Ω, L 2 [, b]) smo definisli u sekciji Itoov formul u svom njjednostvnijem obliku; 3) S L d (Ω, L 1 [, b]) oznčićemo polje svih {F t }-prilgod enih stohstičkih proces f(t) tkvih d vži f(t) dt < skoro sigurno. Definicij 6.1. Itoov proces je stohstički proces X t = X + f(s)db(s) + g(s)ds, t b, (6.2.3) gde je X F -merljivo, f L d (Ω, L 2 [, b]), i g L d (Ω, L 1 [, b]). Koristn krći zpis jednkosti koj figuriše u gornjoj teoremi jeste stohstički diferencijl dx t = f(t)db(t) + g(t)dt. (6.2.4) Potrebno je nglsiti d stohstički diferencijl nem smisl sm po sebi jer su putnje Brunovog kretnj nigde diferencijbilne. Iz tog rzlog potrebno je jednkost koju smo nzvli stohstički diferencijl posmtrti smo ko drugčiji nčin d se zpiše jednkost 6.2.3. Teorem 6.6. Nek je X t Itoov proces definisn ko X t = X + f(s)db(s) + g(s)ds, t b. Pretpostvimo d je θ(t, x) neprekidn funkcij s neprekidnim prcijlnim izvodim θ, θ i 2 θ. Td θ(t, X t x x 2 t ) je tkod e Itoov proces i θ θ(t, X t ) = θ(, X ) + x (s, X s)f(s)db(s) [ θ + t (s, X s) + θ x (s, X s)g(s) + 1 2 2 θ x (s, X s)f(s) 2 2 ] ds. (6.2.5) Jednčinu 6.2.5 možemo zpisti u drugčijem obliku bš ko što smo to učinili i s jednčinom 6.2.3. Prvo ćemo primeniti Tejlorov rzvoj do prvog izvod z dt kko bismo dobili dθ(t, X t ) = θ t (t, X t)dt + θ x (t, X t)dx t + 1 2 2 θ x (t, X t)(dx 2 t ) 2. (6.2.6) 40

db(t) dt db(t) dt 0 dt 0 0 Tbel 1. Itoov tbel Sd, iskoristimo Itoovu tbelu kko bismo dobili (dx t ) 2 = f(t) 2 dt. Stog dθ(t, X t ) = θ θ dt + t x (f(t)db(t) + g(t)dt) + 1 2 θ 2 x 2 f(t)2 dt = θ ( θ x f(t)db(t) + t + θ x g(t) + 1 ) 2 θ 2 x 2 f(t)2 dt. (6.2.7) N krju, mi možemo d pretvorimo gornju jednkost u jednkost 6.2.5. Z izrčunvnje možemo uvek d koristimo ovkvu vrstu oznk u stohstičkom diferencijlu kko bi se došlo do rešenj. Primer 6.8. Nek je f L d (Ω, L 2 [0, 1]). Posmtrjmo Itoov proces X t = 0 f(s)db(s) 1 2 0 f(s) 2 ds, 0 t 1, i funkciju θ(x) = e x. Td, dx t = f(t)db(t) 1 2 f(t)2 dt. Primenimo Tejlorov rzvoj i Itoovu tbelu d dobijemo dθ(x t ) = e Xt dx t + 1 2 ext (dx t ) 2 = e (f(t)db(t) Xt 1 ) 2 f(t)2 dt + 1 2 ext f(t) 2 dt = f(t)e Xt db(t). Odvde dlje sledi, e 0 f(s)db(s) 1 t 2 0 f(s)2ds = 1 + 0 f(s)e s 0 f(u)db(u) 1 s 2 0 f(u)2du db(s). N osnovu Teoreme 6.4, Y t = e 0 f(s)db(s) 1 2 0 f(s)2ds je mrtingl, ko je funkcij f(t) determinističk funkcij n L 2 [0, 1]. Posmtrjmo sd funkciju h ko determinističku funkciju u L 2 [0, T ]. Td z svko t [0, T ], Vinerov integrl h(s)db(s) je normlno rspodeljen s 0 očekivnjem 0 i disperzijom σ 2 = 0 h(s)2 ds. Dkle vži, Ee 0 h(s)db(s) = 1 2πσ + 41 e x e x2 2σ 2 dx = e 1 2 0 h(s)2ds.

Definisćemo Y t ko Y t = e 0 h(s)db(s) Ee 0 h(s)db(s) = e N osnovu Primer 6.8, Y t im prezentciju Y t = 1 + 0 0 h(s)db(s) 1 2 0 h(s)2ds. h(s)e s 0 h(u)db(u) 1 s 2 0 h(u)2du db(s). (6.2.8) Primetimo d integrnd Itoovog integrl u jednkosti 6.2.8 pripd polju L 2 d ([0, 1] Ω). N osnovu Teoreme 6.4 stohstički proces Y t, 0 t T, je mrtingl. 6.3 Linerne stohstičke diferencijlne jednčine Z pisnje ove sekcije korišćene su knjige [1] i [7]. Posmtrjmo linernu diferencijlnu jednčinu prvog red dx t dt = f(t)x t + g(t), t b, x = x, (6.3.1) gde je f(t) neprekidn funkcij. Kko bismo rešili ovu diferencijlnu jednčinu, prebcićemo f(t)x t n levu strnu jednkosti i pomnožićemo obe strne jednčine integrcionim fktorom h(t) = e f(s)ds. (6.3.2) Dobijmo Primetimo d je Iz jednčin 6.3.3 i 6.3.4 sledi ( ) dxt h(t) dt f(t)x t = h(t)g(t). (6.3.3) d dt (h(t)x t) = dh(t) x t + dx t dt dt h(t) = f(t)e f(s)ds x t + dx t dt h(t) = f(t)h(t)x t + dx t dt h(t) ( ) dxt = h(t) dt f(t)x t. (6.3.4) čije je rešenje d dt (h(t)x t) = h(t)g(t), h(t)x t = x + h(s)g(s)ds. 42

Odvde sledi d je rešenje x t jednčine 6.3.1 x t = xh(t) 1 + = xe f(s)ds + h(t) 1 h(s)g(s)ds g(s)e s f(u)du ds. Pod linernom stohstičkom diferencijlnom jednčinom podrzumevmo diferencijlnu jednčinu u obliku dx t = {φ(t)x t + θ(t)} db(t) + {f(t)x t + g(t)} dt, X = x. (6.3.5) Linern stohstičk diferencijln jednčin 6.3.5 može se npisti ko linern stohstičk integrln jednčin X t = x + {φ(s)x s + θ(s)}db(s) + {f(s)x s + g(s)}ds z t b. Uzimjući u obzir integrcioni fktor (jednkost 6.3.2) i proces oblik 6.2.8 u prethodnoj sekciji, možemo pretpostviti d je integrcioni fktor z jednkost 6.3.5 jednk H t i vži H t = e Yt, Y t = f(s)ds + φ(s)db(s) 1 2 φ(s) 2 ds. (6.3.6) Potrebno je d nd emo d(h t X t ) bš ko što je to slučj s običnom diferencijlnom jednčinom. Vži d(h t X t ) = H t dx t + X t dh t + (dh t )(dx t ). (6.3.7) Primenjujemo Itoovu formulu kko bismo nšli jednkost z dh t dh t = H t dy t + 1 2 H t(dy t ) 2 = H t ( f(t)dt φ(t)db(t) + 1 ) 2 φ(t)2 dt + 1 2 H tφ(t) 2 dt Iz jednkosti 6.3.5 i 6.3.8 sledi = H t { f(t)dt φ(t)db(t) + φ(t) 2 dt}. (6.3.8) (dh t )(dx t ) = H t φ(t){φ(t)x t + θ(t)}dt. (6.3.9) Ako jednkosti 6.3.8 i 6.3.9 primenimo n jednkost 6.3.7 dobijmo d(h t X t ) = H t {dx t f(t)x t dt φ(t)x t db(t) θ(t)φ(t)dt}. (6.3.10) Primetimo d kd bismo sve sbirke koji sdrže X t prebcili n levu strnu jednkosti 6.3.5, ostje nm sbirk θ(t)φ(t)dt. Ali možemo d se postrmo i z njeg. Iz jednčin 6.3.5 i 6.3.10 sledi d(h t X t ) = H t {θ(t)db(t) + g(t)dt θ(t)φ(t)dt}, 43

što vodi k H t X t = x + H s θ(s)db(s) + H s {g(s) θ(s)φ(s)}ds. Ako obe strne jednkosti podelimo s H t dolzimo do rešenj X t jednčine 6.3.5. Zključk do kog smo došli podržn je sledećom teoremom. Teorem 6.7. Rešenje linerne stohstičke diferencijlne jednčine jednko je dx t = {φ(t)x t + θ(t)}db(t) + {f(t)x t + g(t)}dt, X = x, (6.3.11) X t = xe Yt + e Yt Ys θ(s)db(s) + gde je Y t = φ(s)db(s) + {f(s) 1 2 φ(s)2 }ds. 6.4 Primen u R-u e Yt Ys {g(s) θ(s)φ(s)}ds, (6.3.12) Z pisnje ove sekcije korišćen je rd [8]. R je progrmski jezik i softversko okruženje z sttističko izrčunvnje i grfikone. Koristi se većinski z nlizirnje podtk. Sve funkcije koje se mogu koristiti u R-u smeštene su u odgovrjuće pkete. D biste mogli d koristite odred ene funkcije, neophodno je d u svoj progrm implementirte pket koji te funkcije sdrži. R pket Sim.DiffProc nprvljen je 2014. godine i sdrži funkcije z rešvnje stohstičkih integrl tip Ito i Strtnovič, funkcije z simulciju i modelirnje stohstičkih diferencijlnih jednčin istih tipov, li i druge funkcije koje služe z procene, simulcije i izrčunvnje u oblsti stohstičkog rčun. Kko je tem ovog rd Itoov stohstički integrl, koncentrisćemo se n funkciju koj se odnosi n njegovo rešvnje. Posmtrmo primer z simulciju Itoovog integrl: t 0 B(s) n db(s) = 1 n + 1 [ B(t) n+1 B(t 0 ) n+1] n 2 t 0 B(s) n 1 ds. Ugrd en funkcij st.int služi z izrčunvnje stohstičkog integrl Itoovog tip. Funkcij im oblik: st.int(expr, lower = 0, upper = 1, M = 1, subdivisions = 1000L, type = c( ito, str ),...) Argumenti funkcije su: expr - izrz u funkciji dve promenljive t (vreme) i w (Brunovo kretnje); lower, upper - donje ili gornje krjnje tčke intervl n kojem se integrli; 44

M - broj trjektorij; subdivisions - mksimln broj podintervl; type - Ito ili Strtnovič integrcij; x, object - objekt nsled en od klse st.int ; order - red moment; level - neophodn nivo poverenj;... - dlji rgumenti z nestndrdne metode. Vrednosti: 1) Funkcij st.int vrć objekt nsled en iz klse st.int. 2) X je končn simulcij integrl. 3) fun je funkcij koj je bil integrljen. 4) type je tip stohstičkog integrl 5) subdivisions je broj podintervl koji su nstli u procesu podele. R> fexpr <- expression( w^2 ) R> ito <- st.int(fexpr,type="ito",m=1,lower=0,upper=1) R> ito <- st.int(fexpr,type="ito",m=1,lower=0,upper=1) R> ito Ito integrl: X(t) = integrl (f(s,w) * dw(s)) f(t,w) = w^2 Summry: Number of subintervls = 1000. Number of simultions = 1. Limits of integrtion = [0,1]. Discretiztion = 0.001. 6.5 Itoov integrl u Volfrmu Volfrm projekt z prikzivnje (Wolfrm Demonstrtions Project) pruž mogućnost demonstrcije rznih mtemtičkih pojmov, med u kojim je i Itoov integrl. N internet dresi http://demonstrtions.wolfrm.com/theitointegrlanditoslemm/ može se nći mnji progrm z demonstrciju Itoovog integrl. Progrm pruž mogućnost izbor integrnd; ponud eni integrndi su: 1)B t, 2)e Bt 3)cos(B t ) gde je s B t oznčeno Brunovo kretnje. 45

Slik 3. Prikz progrm u Volfrmu Grfik n gornjoj slici prikzuje četiri krive (od kojih se dve poklpju u slučju izbor prvog integrnd) koje pokzuju proksimcije putnje Brunovog kretnj (integrtor), izbrnog integrnd, i levu i desnu strnu Itoove formule. Kko se povećv veličin vremenskog intervl tko se dve krive približvju jedn drugoj, i pokzuju d se poklpju prilikom puštnj limes (Brunovo kretnje). Ako se strelicom n rčunru prelzi preko krive, može se videti stohstički koncept z koji kriv predstvlj proksimciju. Klikom n dugme New pth dobij se nov putnj n grfiku. Klikom n dugme u gornjem desnom uglu, progrm počinje simulciju Itoovog integrl u odnosu n promenu vremen (skl time) i veličine kork (step size). U nredne tri slike, prikzćemo promenu Itoovog integrl ko se z integrnd izbere e Bt. 46

Slik 4. Simulcij Itoovog integrl- kork 1 Slik 5. Simulcij Itoovog integrl- kork 2 47