5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente: 1) Nalaženje oblasti definisanosti (domena) funkcije ) Ispitivanje parnosti (neparnosti) i periodičnosti funkcije 3) Nalaženje tačaka u kojima grafik funkcije seče koordinatne ose, odnosno rešavanje jednačine f() = 0 i izračunavanje vrednosti f(0) 4) Ispitivanje ponašanja funkcije na krajevima oblasti definisanosti i nalaženje vertikalni i orizontalni asimptota 5) Nalaženje kosi asimptota 6) Odreživanje intervala monotonosti (rasta i opadanja) i lokalni ekstremuma 7) Odreživanje intervala konveksnosti i konkavnosti i prevojni tačaka 5.1 Intervali monotonosti i lokalni ekstremumi diferencijabilni funkcija Neka je funkcija y = f() definisana na otvorenom intervalu (a, b). Tada ova funkcija u tački c (a, b) ima: 1) Lokalni maksimum f(c), ako postoji δ > 0 takvo da ( c < δ) (f() f(c)) 1a) Strogi lokalni maksimum f(c), ako postoji δ > 0 takvo da (0 < c < δ) (f() < f(c)) ) Lokalni minimum f(c), ako postoji δ > 0 takvo da ( c < δ) (f() (c)) a) Strogi lokalni maksimum f(c), ako postoji δ > 0 takvo da (0 < c < δ) (f() > f(c)).
5.1 Intervali monotonosti i lokalni ekstremumi dife-rencijabilni funkcija 33 Lokalni maksimum i lokalni minimum su lokalni ekstremumi. Strogi lokalni minimum i strogi lokalni maksimum su strogi lokalni ekstremumi. Teorema 5 Neka je funkcija y = f() neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. 1) Ako je za svako [a, b] f () > 0 tada funkcija strogo raste na [a, b]. ) Ako je za svako [a, b] f () < 0 tada funkcija strogo opada na [a, b]. 3) Ako je za svako [a, b] f () = 0 tada je f() na [a, b] konstantna. Dokaz 3 1) Neka je a < 1 < < b. U intervalu [ 1, ] važi (Lagranžova teorema) ) a < 1 < < b 3) a < 1 < < b Teorema 6 f( ) f( 1 ) = ( 1 ) f (c) > 0 f( ) > f( 1 ). f( ) f( 1 ) = ( 1 ) f (c) < 0 f( ) < f( 1 ) f( ) f( 1 ) = ( 1 ) f (c) = 0 f( ) = f( 1 ) 1) Ako je funkcija y = f() rastuća na [a, b] i diferencijabilna na (a, b), tada je na (a, b) f () 0. ) Ako je funkcija y = f() opadajuća na [a, b] i diferencijabilna na (a, b) tada je na (a, b) f () 0. Dokaz 4 1) Ako je f() rastuća funkcija onda je f( + ) f() > 0 za ( > 0). Odavde sledi da je f( + ) f() > 0 lim 0 f( + ) f() 0 (f () 0) ) Dokaz se izvodi analogno slučaju 1. Teorema 7 Ako funkcija y = f() ima lokalni ekstremum u tački c (a, b) i ako je diferencijabilna u tački c, tada je f (c) = 0.
5. Intervali monotonosti i prevojne tačke 34 Dokaz 5 Neka je f(c) lokalni maksimum. Tada je f(c + ) f(c) 0, pa za > 0 važi f(c + ) f(c) 0 dok za < 0 važi f(c + ) f(c) 0. Odavde sledi, da kada 0 desna granična vrednost f (c + 0) 0 dok je leva granična vrednost f (c 0) 0. Mežutim, kako po pretpostavci postoji f (c), onda mora da važi f (c) = f (c + 0) = f (c 0), a to je moguće samo ako je f (c) = 0. Analogno se izvodi dokaz za slučaj kada je f(c) lokalni minimum. Dakle, f (c) = 0 je potreban uslov da diferencijabilna funkcija y = f() u tački = c ima ekstremum. Taj uslov nije dovoljan. To se može videti na primeru funkcije y = 3. Naime, za ovu funkciju važi da je y = 3 = 0 za = 0, ali ova tačka ne predstavlja lokalni ekstremum jer je 3 < 0 za < 0 i 3 > 0 za > 0. Tačka c u kojoj je f (c) = 0, zove se stacionarna tačka. Da bi stacionarna tačka bila lokalni ekstremum potrebno je da f () u toj tački menja znak. Pored stacionarni tačaka funkcija može imati ekstremume i u tačkama u kojima prvi izvod nije definisan. Primer 33 1) Funkcija y = 3 3 + 3 + 1 ima prvi izvod y = 4 + 3, pa y = 0 = 1 3, odakle se dobijaju stacionarne tačke = 1 i = 3. Kako izvod funkcije menja znak prilikom prolaska kroz obe tačke, to one predstavljaju lokalne ektremume i to za = 1 lokalni maksimum y(1) = 7, a za = 3 lokalnim minimum y(3) = 1. 3 ) Funkcija y = nema definisan izvod za = 0, ali u toj tački ipak postiže lokalni minimum y(0) = 0. 5. Intervali monotonosti i prevojne tačke Funkcija f() je konveksna na (a, b) ako i samo se sve tačke krive y = f() nalaze iznad tangente ili na tangenti ove krive u bilo kojoj tački (a, b) odnosno ako je 1, (a, b) ( ) 1 + f f( 1) + f( ).
5. Intervali monotonosti i prevojne tačke 35 Funkcija f() je konkavna na (a, b) ako i samo ako se sve tačke krive y = f() nalaze ispod tangente ili na tangenti ove krive u bilo kojoj tački (a, b), odnosno ako je 1, (a, b) f( 1 + ) f( 1) + f( ). Tačka 0 (a, b) neprekidne funkcije f() na (a, b) je prevojna tačka ako i samo ako u toj tački funkcija prelazi iz konveksnosti u konkavnost ili obratno (menja konveksitet). Teorema 8 Ako je (a, b) f () > 0 tada je funkcija na (a, b) konveksna. Dokaz 6 Neka je 0 (a, b). Tangenta krive f() u tački ( 0, f( 0 )) je data jednačinom odnosno y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) y = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) Neka je 1 > 0 neka druga tačka iz (a, b). Onda je po Lagranžovoj teoremi odnosno f( 1 ) f( 0 ) = ( 1 0 )f (c) f( 1 ) = f( 0 ) + ( 1 0 )f (c) pri čemu je 0 < c < 1, dok je ordinata tangente u tački = 1 jednaka y( 1 ) = f( 0 ) + f ( 0 )( 1 0 ). Ako sad na osnovu pretodni jednačina formiramo razliku vrednosti funkcije u tački = 1, odnosno f( 1 ), i ordinate y( 1 ) u toj istoj tački dobijamo f( 1 ) y( 1 ) = ( 1 0 )(f (c) f ( 0 )). Kada potom ponovo primenimo Lagranžovu teoremu, sledi da je f( 1 ) y( 1 ) = ( 1 0 )(c 0 )f (c 1 ) pri čemu je 0 < c 1 < c. Kako je, prema pretodnim pretpostavkama, 1 > 0, zatim c > 0 i konačno f (c 1 ) > 0, to je i f( 1 ) y( 1 ) > 0, pa za svako 1 > 0 važi f( 1 ) > y( 1 ), što znači da je f( 1 ) veće od ordinate tangente u tački 1,
5.3 Asimptote 36 odnosno da se tačka na krivoj nalazi iznad tangente, odakle sledi da je funkcija za 1 > 0 konveksna. Na isti način se može dokazati da je funkcija konveksna i za 1 < 0. Dokaz za konkavnu funkciju se izvodi analogno. Ako je f ( 0 ) = 0 ili f () ne postoji za = 0 a postoji za 0, i ako pri tome f () menja znak pri prolazu kroz 0, tada je 0 prevojna tačka. Primer 34 Posmatrajmo funkciju Njen prvi i drugi izvod su, redom Kako je y = 1 +. y = 1 + (1 + ) = 1 (1 + ) y = (1 + ) (1 + )(1 ) (1 + ) 4 = ( 1 + ) (1 + ) 3 = ( 3) (1 + ) 3. y = 0 = 0 = 3 = 3 i kako pri prolazu kroz sve tri gornje tačke drugi izvod menja znak, to sve tri tačke predstavljaju prevojne tačke. 5.3 Asimptote Prava p je asimptota krive y = f() ako i samo ako rastojanje d tačke M sa krive od prave p teži nuli kada se M udaljava u beskonačnost po krivoj. Postoje vertikalne, orizontalne i kose asimptote. Vertikalne asimptote mogu postojati samo na krajevima oblasti definisanosti (tačkama u kojima funkcija nije definisana). Funkcija ima vertikalnu asimptotu = a ako je lim f() = ± a ili lim f() = ± a 0 ili lim f() = ±. a+0 Broj vertikalni asimptota funkcije je neograničen.
5.3 Asimptote 37 Primer 35 Funkcija f() = tg() ima vertikalne asimptote za svako = π + k π, k = 0, ±1, ±,... Prava y = b je orizontalna asimptota funkcije f() ako je ili lim f() = b lim f() = b. Funkcija može imati najviše dve orizontalne asimptote. Primer 36 Funkcija f() = arctg ima orizontalne asimptote y = π y = π. i Prava y = k + n je kosa asimptota funkcije f() ako je f() lim = k lim [f() k] = n. Pri tome, obe granične vrednosti moraju postojati i biti konačne. Može se, naime, dogoditi da prva granična vrednost bude konačna a da druga bude beskonačna ili uopšte ne postoji, u kom slučaju ne postoji ni kosa asimptota. Funkcija f() može imati kosu asimptotu kada samo ako nema orizontalnu asimptotu kada. Analogno važi kada. Prema tome, ukupan broj orizontalni i kosi asimptota funkcije je najviše dve. Primer 37 1) Funkcija y = e 1 nema orizontalni asimptota jer je pa stoga može imati kosu. Kako je lim f() = f() lim = lim e 1 = 1 = k lim [f() k] = lim [e 1 e 1 1 ] = lim 1 = 1 = n to je prava y = + 1 kosa asimptota ove funkcije kada.
5.3 Asimptote 38 ) Funkcija y = 3 nema orizontalnu asimptotu kada jer je lim f() = lim ( 3 ) = lim ( 3 1 1) = pa stoga može imati kosu. Mežutim, iako je dobija se da je f() lim = lim 3 = lim 1 3 1 1 = 1 = k lim [f() k] = lim [ 3 + ] = pa funkcija nema ni kosu asimptotu kada.