Uvod i vektorski prostori

ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или пропуштено. Нисам посећивао предавања, па ово нису белешке са предавања! Већина одговора је заснована на књизи Линеарна Алгебра, од Г. Калајџића. Коришћена је и књига Алгебра од истог аутора, али и повремено друге књиге (као што је књига Џ. Хеферона, бесплатно доступна). Надам се да ове белешке не угрожавају било чија (ауторска) права пре свега, оне не могу заменити прави уџбеник, и не садрже ни најмањи део онога што би уџбеник морао. Наравно, ја (Данило Шеган) не нудим никакве гаранције у вези ових белешки (па тиме ни гаранције да ћете положити испит, или да вам неће отпасти глава). Просто, понуђене су свакоме на увид и измене. Како се ради о општем знању, нећу се позивати на било која ауторска права, и документ се може дистрибуирати и мењати под Лиценцом за Слободну Документацију (ФДЛ, посетите ). У Београду, 23. септембар 2002. ДАНИЛОВА СТУДЕНТСКА СТРАНИЦА! "#$%&'()*+-,."0/1 "2"331465

Uvod i vektorski prostori pitanje 1. Pojmovi monoida, grupe i prstena. Pravila računanja. Svaki ureden - par (S, ) skupa S i binarne operacije u tom skupu zovemo jednim grupoidom. Ako je tada i operacija asocijativna, tj. važi (a b) c = a (b c), tada ovu strukturu zovemo polugrupom. Element e M nazivamo neutralom polugrupe (M, ) ili same operacije, ako za sve x M važi x e = x, i e x = x. Polugrupe sa neutralom nazivamo monoidima. grupi. Element x monoida (M,, e) je inverzibilan, ako postoji bar jedno x M takvo da je x x = e i x x = e. (Osobine inverza i neutrala) 1 Neutral svakog monoida je jedinstven. 2 Inverz svakog elementa je jedinstven. 3 Inverz svakog elementa x je tako - de inverzibilan i (x ) = x. 4 Za inverzibilne elemente x, y je inverzibilna i njihova kompozicija (x y) = y x. Monoid u kome su svi elementi inverzibilni nazivamo grupom. Svaka jednačina oblika x a = b i a x = b za a, b elemente grupe (G, ) ima tačno jedno rešenje u toj Homomorfizmom grupe (G,,, e) u grupu (Γ,,, ɛ) nazivamo svako preslikavanje f: G Γ za koje je f(a b) = f(a) f(b). (1) Jasno je da je tada takode - i f(a ) = f(a), kao i f(e) = ɛ. Ako postoji bar jedna surjekcija f : G H iz neke (komutativne) grupe (G, ) u neki grupoid (H, ), i važi (1), tada je i grupoid H takode - jedna (komutativna) grupa. D798;:=<?> Iskoristiti surjektivnost i (1) i dokazati sve osobine potrebne da H bude grupa. Operacija je distributivna prema + u skupu K, ako za sve a, b, c K važi (a + b) c = a c + b c, a (b + c) = a b + b c. Strukturu (K, +, ) nazivamo prstenom ako za nju važi: 1 (K, +) je komutativna grupa. 2 (K, ) je monoid. 3 Operacija je distributivna u odnosu na operaciju +. U bilo kojem prstenu K u kojem je nula 0, za sve a, b, c iz K važi: 1 a 0 = 0, 0 a = 0, 2 a( b) = ( a)b = ab, 3 ( a)( b) = ab, 4 (a b)c = ac bc, c(a b) = ca cb. U svakom prstenu možemo uvesti aditivni m-i stepen ma, kao i n-i stepen a n svakog elementa a. Tada važi i (ma) (nb) = (mn)(a b), kao i a m a n = a m+n i (a m ) n = a mn. Takode - je ab = ba (ab) n = a n b n, i ba = ab b r a s = a s b r. Indukcijom se dokazuje da u svakom prstenu K u kojem ab = ba važi i binomna formula n 1 ( ) n (a + b) n = a n + a n k b k + b n. k k=1

pitanje 2. Vektorski prostori. Osnovni primeri. Pod vektorskim prostorom V nad poljem K podrazumevamo svaku algebarsku strukturu (V, +, ) sa jednom binarnom operacijom (u, v) u + v i spoljnom K-operacijom (α, v) αv u skupu V, tako da je za sve u, v V i sve α, β K: 1 (V, +) je komutativna grupa; 2 α(u + v) = αu + αv; 3 (α + β)u = αu + βu; 4 α(βu) = (αβ)u; 5 1u = u, gde je 1 = 1 K jedinica, α + β suma i αβ proizvod elemenata α i β u polju K. Za vektorski prostor V nad poljem K i proizvoljne skalare α, α r iz K, i vektore u, u r iz V važi: 1 0u = 0 V, α0 = 0, 2 αu = 0 α = 0 u = 0, 3 α( u) = ( α)u = αu, 4 α(u 1 + + u n ) = αu 1 + + αu n, 5 (α 1 + + α n )u = α 1 u + + α n u. Primeri 1 Prostor geometrijskih vektora Vektori kao usmerene duži euklidskog prostora, sa njihovim sabiranjem i množenjem skalarima zadovoljavaju aksiome vektorskog prostora. 2 Vektorski prostor K n Svako polje K i prirodan broj n, skup K n ure - denih n-orki iz K (x 1,..., x n ), i operacijama + i definisanim kao (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ), α (x 1,..., x n ) = (αx 1,..., αx n ), indukuje i jedan vektorski prostor (K, +, ). Ovakav prostor zovemo koordinatnim vektorskim prostorom dimenzije n. 3 Vektorski prostor polinoma Svaki prsten L je i vektorski prostor nad bilo kojim njegovim potpoljem K. Označavamo ga sa L K. Tako su prostori i C R, C Q i C C. Naročito, prsten polinoma L = K[X] sa jednom neodre - denom X i koeficijentima iz polja K je i vektorski prostor u odnosu na sabiranje polinoma i množenje skalarima. Svaki skalar je tako - de vektor u ovom prostoru. 4 Vektorski prostor matrica Uobičajeno definisano sabiranje matrica i množenje istih skalarima je i jedan vektorski prostor. 5 Vektorski prostor funkcija Sa K S označavamo skup svih preslikavanja f: S K. Ako je K polje, i u, v: S K bilo koje dve ovakve funkcije, i α K, tada su sa x u(x) + v(x) i x αu(x) definisana tako - de dva preslikavanja iz K S. Označavamo ih sa u + v i αu, i onda je (K S, +, ) tako - de jedan vektorski prostor. 6 Dekartov proizvod vektorskih prostora Za vektorske prostore U 1,..., U n nad istim poljem K, je i skup V svih n-orki (u 1,..., u n ) sa u i U i, jedan vektorski prostor sa operacijama (u 1,..., u n ) + (v 1,..., v n ) = (u 1 + v 1,..., u n + v n ), α (u 1,..., u n ) = (αu 1,..., αu n ). Sada se može pokazati da i ovako definisana struktura (V, +, ) zadovoljava aksiome vektorskog prostora.

pitanje 3. Potprostori vektorskih prostora. Za neprazan skup U vektora iz datog vektorskog prostora V nad poljem K kažemo da je jedan njegov vektorski potprostor, ako je zatvoren u odnosu na njegove operacije, tj. ako važi u, v U u + v U, α K, u U αu U. Jasno je da je sada i sam U jedan vektorski prostor sa istim operacijama nad istim poljem K kao i prostor V. Presek bilo koja dva potprostora U i W prostora V je takode - jedan potprostor od V. Uopšte, presek bilo koje familije potprostora V je takode - potprostor od V. Skup U+W = {u+w : u U, w W } nazivamo sumom vektorskih potprostora U i W. Slično definišemo i sumu vektorskih potprostora U i, U = U 1 + U 2 + + U n, čiji su elementi vektori u = u 1 + u 2 + + u n sa u i U i. Ukoliko su vektori u i sa ovim svojstvom odredeni - jednoznačno, onda naznačenu sumu potprostora zovemo direktnom i pišemo U = U 1 U 2 U n. Za vektor u = u 1 + u n iz direktne sume potprostora U i važi u = 0, tada je i u i = 0 za svako i. Obrnuto, ako za sve i i u i U i važi u 1 + + u n = 0 u 1 = = u n = 0, tada je suma U = U 1 + + U n direktna. Suma U = U 1 + + U n bilo kojih n potprostora U i vektorskog prostora V je direktna, ako i samo ako za svako k, 2 k n je (U 1 + + U k 1 ) U k = {0}. Naročito, suma dva potprostora U i W je direktna, ako i samo ako je njihov presek trivijalan, odnosno U +W = U W U W = {0}. D@9A;B=C?D Izaberemo vektor u iz (U 1 + + U k 1 ) U k, i tada postoje vektori u i U i takvi da je u = u 1 + + u k 1 i u = u k. Prema tome je u 1 + + u k = 0. Ako je data suma direktna, onda mora biti i u 1 = = u k = 0, pa i u = 0, i tvr - denje važi. Kada data suma nije direktna, tada postoje u i U i za koje je u 1 + + u k = 0, a u k 0. Kako sada dati presek sadrži i neki ne-nula vektor u k = u 1 + + u k 1, to on neće biti trivijalan. Neka je V vektorski potprostor nad poljem K. Ako je U potprostor V, onda je njegova slika pri translaciji za vektor a V, a + U = {a + u : u U} jedan afini potprostor datog vektorskog prostora. Tada vektorski potprostor U nazivamo njegovom direktrisom. Afini potprostor je i vektorski potprostor ako i samo ako je vektor a sadržan u U. Presek dva afina potprostora Π = a + U i Γ = b + W istog vektorskog prostora V je ili prazan, ili odreden - afini potprostor sa direktrisom U + W. D@9A;B=C?D Ako je c Π Γ, tada je i Π = c + U, odnosno Γ = c + W. Tada za vektor v važi v Π i v Γ ako i samo ako je v c U i v c W, odnosno v c U W. Zato v pripada Π Γ ako i samo ako pripada i afinom potprostoru c + U W. Afini potprostor Π = a + U je paralelan afinom potprostoru Γ = b + W vektorskog potprostora V, i označavamo sa Π Γ ako je direktrisa jednog sadržana u direktrisi drugog, odnosno U W ili W U.

pitanje 4. Linearna nezavisnost. Neka je V vektorski prostor nad poljem K. Vektor u V je linearna kombinacija nad datim sistemom e = [e 1,..., e n ] od n vektora e i V (ili samih vektora e i ), ako je u = α i e i, za bar jednu n-orku (α 1,..., α n ) skalara iz K. Skup svih linearnih kombinacija nad sistemom e iz vektorskog prostora V nazivamo njegovim linearnim omotačem i pišemo Ω(e) = Ω(e 1,..., e n ). Lako se pokaže da je Ω(e) tada i jedan vektorski potprostor od V. Sa (α 1,..., α n ) (α 1 e 1,..., α n e n ) sada možemo definisati preslikavanje L e : K n V vektorskog prostora K n u sam vektorski prostor V, čija je slika upravo omotač od e: Im L e = Ω(e). Ako je preslikavanje L e (definisano kao iznad) surjektivno, onda sistem vektora e nazivamo generatrisom prostora V. Slično definišemo i linearnu kombinaciju bilo koje S-familije vektora iz V, ili linearnu kombinaciju vektora iz bilo kog podskupa A od V. Tada je i Ω(A) upravo minimalni potprostor od V koji sadrži A. Ako su A i B bilo koji skupovi ili sistemi vektora iz datog vektorskog prostora V, za njihove linearne omotače važi sledeće. 1 Ω(Ω(A)) = Ω(A), 2 A B Ω(A) Ω(B), 3 Ω(A B) = Ω(A) + Ω(B), 4 A B Ω(A) Ω(A) = Ω(B). DE9F;G=H?I 2. važi, a 1. važi iz razloga što je Ω(A) potprostor od V (pa se svi vektori iz njegovog omotača nalaze i u njemu samom). 4. Na osnovu 2. je Ω(A) Ω(B) i pomoću 1. je još Ω(B) Ω(Ω(A)) = Ω(A), pa je Ω(A) = Ω(B). 3. Vektor v je u Ω(A B) ako i samo ako postoji konačno mnogo vektora u i A i vektora w j B, i skalari α i, β j K za koje je v = P α iu i + P β jw j. Kako je sad za u = P α iu i Ω(A) i w = P β jw j Ω(B), v = u + w pa važi tvrdenje. - Ako su data dva sistema vektora e = [e 1,..., e n ] i f = [e 1,..., f r,..., e n ], za sistem f kažemo da nastaje iz sistema e primenom elementarne operacije ako je f r = αe r ili f r = e r + λe s, gde je α inverzibilan element u odgovarajućem polju K. Za sistem f vektora iz V koji se može dobiti uzastopnom primenom konačno mnogo elementarnih operacija iz sistema e, kažemo da je elementarno ekvivalentan sistemu e. Ako je dat jedan homomorfizam L e vektorskog prostora K n u vektorski prostor V sa (α 1,..., α n ) α 1 e 1 + + α n e n, njegova slika je upravo linearni omotač Ω(e). Ukoliko je L e injektivan, to znači da za sve α r, β r K je αr e r = β r e r ako i samo ako je α r = β r. Kada to zapišemo kao (α r β r )e r = 0 vidimo da je L e injektivan ako i samo ako za proizvoljne λ r iz K je λ 1 e 1 + + λ n e n = 0 λ 1 = = λ n = 0. Tada je i L e jedan izomorfizam vektorskog prostora K n na potprostor Ω(e). Ako za sistem vektora e = [e 1,..., e n ] relacija λ 1 e 1 + +λ n e n = 0 moguća jedino za λ 1 = = λ n = 0, kažemo da je dati sistem e linearno nezavisan. Ukoliko sistem nije linearno nezavisan, onda je linearno zavisan. Ako je e = [e 1,..., e n ] bilo koji linearno nezavisan sistem vektora iz V, onda je to i sistem f = [e 1,..., e n, u] ako i samo ako vektor u nije linearna kombinacija vektora iz e. DE9F;G=H?I Ako je u = P α ie i, tada je α 1e 1 + + α ne n + u = 0, pa je uslov neophodan. Ako, pak, vektor u nije linearna kombinacija vektora iz e, ako je α 1e 1 + + α ne n + αu = 0, tada mora biti i α = 0, pa je i α 1e 1 + + α ne n = 0. Ovo je sada moguće jedino kada su svi α r = 0, pa je i sistem f linearno nezavisan. Ako je sistem vektora e linearno nezavisan, onda je to i svaki sistem f koji iz iz prvog može dobiti uzastopnom primenom konačno mnogo elementarnih operacija. DE9F;G=H?I Dokažemo za sistem koji se dobija primenom jedne elementarne operacije.

Linearni omotač Ω(e) bilo kog sistema e = [e 1,..., e n ] vektora iz prostora V ne može imati više od n = e linearno nezavisnih vektora, odnosno, za svaki linearno nezavisan sistem vektora f = [a 1,..., a m ] važi f Ω(e) f e. DJ9K;L=M?N Jasno je da važi za n = 0, 1. Neka je onda n > 1 i f = [a 1,..., a m] bilo koji linearno nezavisan sistem vektora iz Ω(e). Tada moraju postojati i skalari α rs iz K takvi da je a r = α r1e 1 + α r2e 2 + + α rne n, za r = 1,..., m. Za a 1 0 mora biti i bar jedan od skalara α 1r različit od nule, pa neka je to α 11. Tada možemo pomnožiti red a 1 sa λ 2 = α 21/α 11 i dodati na red a 2, pa ćemo imati da je a 2 λ 2a 1 = λ 22e 2 + + λ 2ne n. Slično su i svi ostali a r linearna kombinacija vektora a 1 i e 2,..., e n. Kako se ovakav sistem od vektora a 1 i vektora oblika a r λ ra r 1 za r > 1 dobija elementarnim operacijama iz f, to je i on sam linearno nezavisan. Tako - de je i taj sistem bez vektora a 1 linearno nezavisan, pa se indukcijom dokazuje tvr - denje. pitanje 5. Baza vektorskog prostora. Ako u vektorskom prostoru V nad poljem K postoji neki sistem vektora e = [e 1,..., e n ] koji je i generatrisa i linearno nezavisan, tada za svaki vektor u postoji tačno jedan sistem u e = (α 1,..., α n ) skalara iz K, tako da je u = α 1 e 1 + + α n e n. Uz to je sa u u e definisan i jedan izomorfizam prostora V na prostor K n. DJ9K;L=M?N Kako je e generatrisa, ovakvi skalari moraju postojati. Dalje, kako je sistem e linearno nezavisan, ovi moraju biti i jedinstveni. Da je na ovaj način definisan i jedan izomorfizam lako se proveri. Bazom ili osnovom datog vektorskog prostora V nad poljem K podrazumevamo svaku familiju e = (e s : s S) vektora iz V, koja je i generatrisa i linearno nezavisna. Ovu familiju nazivamo i familijom koordinata, a njene komponente koordinatama samog vektora u odnosu na bazu e. Za svaku familiju e = [e s : s S] vektora iz K-vektorskog prostora V, sledeći uslovi su ekvivalentni: 1 e je jedna baza prostora V. 2 e je neka minimalna generatrisa prostora V. 3 e je neka maksimalna linearno nezavisna familija vektora iz V. Svaki vektorski prostor V konačne dimenzije ima bar jednu bazu. Takode, - u njemu je svaki linearno nezavisan sistem vektora f deo neke baze, i svaka generatrisa g sadrži bar jednu bazu. Ako je vektorski prostor V konačne dimenzije, onda je to i svaki od njegovih potprostora U. Pored toga, postoji i bar jedan potprostor W takav da je V = U W. DJ9K;L=M?N Postoji m N od kojeg prostor V nema više linearno nezavisnih vektora, pa postoji i bar jedan maksimalan linearno nezavisan sistem e = [e 1,..., e p] vektora iz U. Tada je on i jedna baza potprostora U, ali i početni deo neke baze e = [e 1,..., e p, f 1,..., f q] prostora V. Ako je W = Ω(f 1,..., f q), tada mora biti V = U W. Pomoću linearne nezavisnosti se utvrduje - da je ova suma i direktna.

pitanje 6. Dimenzija vektorskog prostora. Ukoliko je e jedna baza vektorskog prostora V sa n vektora, tada i svaka od njegovih baza f mora imati tačno n vektora. DO9P;Q=R?S Mora biti e Ω(f) i f Ω(e), pa je i f e, kao i e f, odnosno f = e. Broj vektora n bilo koje baze vektorskog prostora V nazivamo dimenzijom tog prostora, i označavamo sa n = dim V. Ukoliko je e = [e 1,..., e n ] sistem od n = dim V vektora iz vektorskog prostora V, tada su sledeći iskazi ekvivalentni. 1 sistem e je baza prostora V. 2 sistem e je linearno nezavisan. 3 sistem e je generatrisa prostora V. Dimenzija K-vektorskog prostora V je n 1 ako i samo ako je on izomorfan prostoru K n. Uopšte, dva K-vektorska prostora U i V su izomorfna ako i samo ako su iste dimenzije. DO9P;Q=R?S Pomoću koordinatizacije vektorskog prostora. Za K-vektorski prostor V i njegove potprostore U i W važi: 1 dim U dim V. 2 dim U = dim V U = V. 3 dim(u + W ) + dim(u W ) = dim U + dim W. (Grasmanova formula) DO9P;Q=R?S 3. Pomoću dopuna baza.

Matrice pitanje 7. Vektorski prostor matrica. Kada radimo sa matricama nad nekim poljem ili prstenom K, možemo uočiti neke naročite matrice kao što su dijagonalne ili gornje- i donje-trougaone matrice. Kada definišemo sabiranje matrica kao sabiranje po komponentama, i množenje skalarima kao množenje svake komponente skalarom, lako se proveri da je tako definisana struktura (M mn (K), +, ) i jedan vektorski prostor. Dimenzija ovakvog vektorskog prostora je dim M mn (K) = mn (izabrati sve matrice u kojima je tačno jedna komponenta 1 sistem ovih matrica je jedna baza prostora matrica). Sa ϖ: A A T je definisan i jedan izomorfizam prostora M mn (K) na prostor M nm (K). pitanje 8. Množenje matrica. Pod proizvodom matrica A = [α ij ] m n i B = [β ij ] n p podrazumevamo matricu C = A B = [γ ij ] m p, gde je γ ij = α i1 β 1j + + α in β nj. Razlozi ovakve definicije se nalaze u koordinatnom preslikavanju vektora pomoću matrica, odnosno u kompoziciji takvih preslikavanja. Lako je proveriti da za matricu E datu kao 1 0... 0 0 1... 0 E =......, 0 0... 1 koja je dijagonalna i svi elementi na dijagonali su 1, a reda je n n, važi AE = A, kao i EB = B kad god su odgovarajući proizvodi definisani. Matricu E nazivamo jediničnom matricom reda n nad poljem K. Za proizvoljne matrice A, B, C nad izabranim poljem K i bilo koje od skalara α, β iz K važi sledeće. 1 (AB) T = B T A T. 2 (AB)C = A(BC). 3 (αa)(βb) = (αβ)(ab). 4 (A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB. DT9U;V=W?X Ispitivanjem dimenzija i pojedinačnih komponenti svake rezultujuće matrice. Ako su date matrice A = [A ij ] σ π i B = [B ij ] π τ, u kojima su i A ij i B ij takode - matrice, na sličan način definišemo i proizvod AB. (Pravilo o blok-množenju) Ako su A = [A rk ] i B = [B ks ] bilo koje blok-podele datih matrica A i B nad poljem K za koje postoji proizvod AB, tada je i taj proizvod jedna blok-podela matrice AB. DT9U;V=W?X Prvo proveriti da li je domen isti. Zatim izabrati neki član rezultujućih matrica AB i AB, i pokazati da su oni jednaki.

pitanje 9. Linearna grupa. Ako za matricu A i proizvoljne matrice X i Y važi AX = AY X = Y, odnosno XA = Y A X = Y, tada je matrica A regularna sleva, odnosno zdesna. Matrica je regularna ako je regularna i sleva i zdesna. Ako je sistem vektora e = [e 1,..., e n ] linearno nezavisan, za proizvoljne matrice X i Y nad K važi ex = O X = O, kao i ex = ey X = Y. DY9Z;[=\?] Ako je X = [λ rs], iz ex = O sledi da je λ 1se 1 + + λ nse n = 0 za sve s, pa je sistem e linearno nezavisan ako i samo ako je λ rs = 0 za sve r. ex = ey e(x Y ) = O. Svaka matrica A za koju postoji i bar jedna matrica P takva da je AP = E i P A = E, je inverzibilna matrica. Matricu P zovemo inverzom date matrice A i označavamo sa A 1. Skup M n (K) svih inverzibilnih matrica reda n nad uočenim poljem K je grupa u odnosu na matrično množenje. Grupu iz prethodnog tvr - denja nazivamo linearnom grupom stepena n nad poljem K i označavamo sa GL(n, K) = M n (K). Matrica A formata (m, n) je inverzibilna zdesna, odnosno sleva ako postoji bar jedna matrica P takva da je AP = E, odnosno P A = E. Tada je P njen desni, odnosno levi inverz. Za svaku matricu A formata (m, n) nad poljem K su sledeći uslovi ekvivalentni. 1 matrica A je inverzibilna, odnosno ima i levi i desni inverz. 2 matrica A je kvadratna i ima desni inverz. 3 matrica A je kvadratna i ima levi inverz. 4 matrica A je kvadratna i inverzibilna. 5 matrica A je kvadratna i regularna. 6 kolone i vrste matrice A su linearno nezavisne. DY9Z;[=\?] (1 2): Sa e označimo bazu prostora K m, i sa f = ea. Ako je P takvo da važi AP = E m, tada je i fp = eap = ee m = e, pa je e Ω(f), odnosno e f. Slično se dobije i da je f e, odnosno m = n. (2 4): f = ea je tako - de jedna baza prostora K n, pa postoji Q, e = fq, odnosno f = fqa, pa (pošto je f baza) mora biti E = QA. (6 4): Kako su kolone matrice linearno nezavisne, kao i vrste, to mora biti n = m, pa postoje P i Q za koje je AP = E i QA = E. pitanje 10. Rang matrice. Svaka od kolona A s = (α 1s,..., α ms ) matrice A = [α rs ] m n nad poljem K je i vektor iz vektorskog prostora K m. Pod rangom kolona same matrice A podrazumevamo ρ(a, ) = dim Ω(A, ), gde je (A, ) = [A 1,..., A n ]. Analogno definišemo i rang vrsta. Ako je φ, odnosno ψ bilo koja elementarna operacija na kolonama, odnosno vrstama matrice A M mn (K), tada je φ(a) = Aφ(E), odnosno ψ(a) = ψ(e)a. DY9Z;[=\?] Neka je φ =: K r + αk s, a E jedinična matrica reda n. Ako matricu A zapišemo pomoću njenih kolona, i na isti način i matrice φ(a) i φ(e), i uporedimo odgovarajuće kolone.

Za sve matrice A iz M mn (K) i bilo koje odgovarajuće inverzibilne matrice P i Q, matrice A i P A imaju isti rang kolona, a matrice A i AQ isti rang vrsta. Naročito, ako je ω elementarna operacija na kolonama ili vrstama matrice A, tada matrice A i ω(a) imaju isti rang vrsta i kolona. D^9_;`=a?b Iskoristiti da je AX = O BX = O za svaku kolonu X, ako matrice A i B imaju isti rang kolona; izabrati B = P A. Matrica B nad poljem K je elementarno ekvivalentna (u odnosu na vrste, kolone) sa datom matricom A ako postoji konačno elementarnih operacija kojima se od matrice A dobija matrica B. Za svaku matricu A domena m n nad poljem K postoji ne-negativan ceo broj k za koji je ona elementarno ekvivalentna matrici 1... 0... 0......... A 0 = 0... 1... 0,...... 0... 0... 0 domena m n sa k jedinica na početku dijagonale. Tada je i ρ(a, ) = ρ(a, ) = k. D^9_;`=a?b Elementarnim operacijama svedemo na ovakvu matricu, a zatim je jasno da je k i rang. Rang matrice A je bilo rang kolona, bilo rang vrsta te matrice (pošto su jednaki). Da bi matrica A nad poljem K bila inverzibilna, neophodno je i dovoljno da se ona može elementarnim operacijama na vrstama transformisati u jediničnu matricu. Te iste operacije jediničnu matricu transformišu u matricu A 1. pitanje 11. Ekvivalentne i slične matrice. Matrica B je ekvivalentna matrici A domena m n nad poljem ili prstenom K ako postoji par inverzibilnih matrica P i Q takvih da je B = P AQ. Ako je B = P A, odnosno B = AQ, kažemo da su A i B ekvivalentne sleva, odnosno zdesna. Matrica je regularna ili inverzibilna ako i samo ako je to i bilo koja njoj ekvivalentna matrica. Dve matrice A i B nad poljem K su elementarno ekvivalentne ako i samo ako su i elementarno ekvivalentne, i još važi A, B ekvivalentne A 0 = B 0 ρ(a) = ρ(b). D^9_;`=a?b Neka je B = P AQ, gde su P i Q inverzibilne matrice. Zbog toga matrica C = P A ima isti rang kolona kao i matrica A, a matrica B = CQ = P AQ ima isti rang vrsta kao matrica C, odnosno rang matrice B i A je isti. Ako su ψ 1,..., ψ r, φ 1,..., φ s elementarne operacije koje matricu A domena m n transformišu u matricu A 0, tada ti ψ i -ovi transformišu matricu E m u P, a φ j -ovi matricu E n u Q, takve da su P i Q inverzibilne, i A 0 = P AQ. Za matricu B kažemo da je slična matrici A nad poljem ili komutativnim prstenom K i označavamo B A, ako postoji bar jedna inverzibilna matrica P za koju je B = P 1 AP. Slične matrice su ekvivalentne, kvadratne, istog reda n; relacija je relacija ekvivalencije na M n (K).

Linearna preslikavanja pitanje 12. Pojam i algebra linearnih preslikavanja. Preslikavanje L: V W, gde su V i W K-vektorski prostori, je linearno ako za sve u, v V i svako α K važe L(u + v) = L(u) + L(v), L(αu) = αl(u). Prvi uslov nazivamo uslovom aditivnosti, a drugi uslovom homogenosti preslikavanja L. Još linearna preslikavanja nazivamo i homomorfizmima u klasi svih K-vektorskih prostora. Injektivna linearna preslikavanja nazivamo monomorfizmima, surjektivna epimorfizmima, a bijektivna izomorfizmima. Za svako linearno preslikavanje L: V W gde su V i W K-vektorski prostori važi sledeće. 1 L je izmorfizam L čuva baze. 2 L je epimorfizam L čuva generatrise. 3 L je monomorfizam L čuva linearnu nezavisnost. Algebra linearnih preslikavanja Skup W S svih preslikavanja nepraznog skupa S u vektorski prostor W nad poljem K je i sam jedan K-vektorski prostor u odnosu na operacije (F, G) F + G i (α, F ) αf, odre - dene sa (F + G)(x) = F (x) + G(x) i (αf )(x) = αf (x), gde su F, G: S W. Ako je skup S tako - de jedan K-vektorski prostor, i ako su preslikavanja F i G linearna, onda su to i njihov zbir i proizvod skalarom. Ako su preslikavanja G: U V i F : V W linearna, onda je to i njihova kompozicija L = F G. Tako - de, za proizvoljna K-linearna preslikavanja F, G, H i skalare α, β K važi: 1 (F G) H = F (G H), 2 (αf ) (βg) = (αβ)(f G), 3 F (G + H) = F G + F H, (G + H) F = G F + H F, kada su ove relacije definisane. Ako je dalje n = dim V i m = dim W, i e, f baze prostora V, odnosno W, tada sa Φ(L) = [L] ef označavamo bijekciju prostora L(V, W ) svih K-linearnih preslikavanja L: V W na prostor svih m n matrica M mn (K) nad poljem K. Ako su g, e i f bilo koje baze vektorskih prostora U, V i W, za proizvoljna K-linearna preslikavanja F : U V i G, H: V W važi: 1 [G + H] ef = [G] ef + [H] ef. 2 [αg] ef = α[g] ef. 3 [G F ] gf = [G] ef [F ] ge. Dalje, ako je n = dim V i m = dim W, tada je sa Φ(L) = [L] ef definisan jedan izomorfizam Φ vektorskog prostora L(V, W ) na vektorski prostor M mn (K), a time je i dim L(V, W ) = mn. pitanje 13. Rang linearnog preslikavanja. Ako je dato linearno preslikavanje L: V W, gde su V i W dva K-vektorska prostora. Zbog osobina preslikavanja L je L(V ) vektorski potprostor od W. Skup L(V ), gde je V jedan K-vektorski prostor, i L linearno preslikavanja, nazivamo slikom tog preslikavanja i označavamo sa Im L = {L(u) : u V }. Skup svih vektora u za koje važi L(u) = 0 nazivamo jezgrom linearnog preslikavanja L, i označavamo sa Ker L = {u V : L(u) = 0}. I samo jezgro Ker L je jedan vektorski potprostor od V. Dalje, kako je za L(u) = L(v) i vektor u v Ker L, to je L injektivno ako i samo ako je Ker L = {0}. Za dato preslikavanje L: V W, dimenziju slike Im L ako je konačna nazivamo rangom, a dimenziju jezgra Ker L defektom tog linearnog preslikavanja. Pišemo i ρ(l) = dim Im L i δ(l) = dim Ker L.

Za svaki K-vektorski prostor V konačne dimenzije, suma ranga i defekta bilo kog od linearnih preslikavanja L: V W jednaka je dimenziji njenog domena, tj. ρ(l) + δ(l) = dim V. Dc9d;e=f?g Ako je n = dim V, i h = [h 1,..., h s] jedna baza potprostora Ker L. Ona se može dopuniti sistemom e = [e 1,..., e k ] od k = n s vektora do jedne baze e samog prostora V. Sada je i L(e) jedna generatrisa prostora Im L, a kako je L(h i) = 0, to je e jedna baza prostora Im L. pitanje 14. Promena baze i koordinata. Kako je svaki K-vektorski prostor V dimenzije n izomorfan vektorskom prostoru K n, to svakom vektoru u V možemo pridružiti jednu n-orku brojeva u e = (α 1,..., α n ) iz K n koju nazivamo koordinatama tog vektora u odnosu na bazu e = [e 1,..., e n ] ako je u = α 1 e 1 + + α n e n. Ako su date dve baze e = [e 1,..., e n ] i f = [f 1,..., f n ] vektorskog prostora K, tada vektore f i predstaviti kao linearnu kombinaciju vektora iz e: f 1 = α 11 e 1 + α 21 e 2 + + α n1 e n možemo f 2 = α 12 e 1 + α 22 e 2 + + α n2 e n.. f n = α 1n e 1 + α 2n e 2 + + α nn e n Sada možemo izdvojiti matricu A = [α rs ], i vidimo da je ovde f = ea. Zbog linearne nezavisnosti vektora u e, ova matrica je odredena - jednoznačno. Matricu A nazivamo matricom prelaska sa baze e na bazu f vektorskog prostora V nad poljem K ako za nju važi f = ea. Još je označavamo sa A = [f] e. Ako je e baza vektorskog prostora V nad poljem K, n dimenzija tog prostora, i A matrica iz M n (K), tada je sistem f = ea takode - baza prostora V ako i samo ako je matrica A inverzibilna, i matrica A 1 je matrica prelaska sa baze f na bazu e. Dc9d;e=f?g Ako je f baza, i B = [e] f, iz f = ea i e = fb je e = eab, pa zbog linearne nezavisnosti e mora biti AB = E, što upravo znači da je B = A 1. Ako je e = fa 1, tada je svaki od vektora iz e linearna kombinacija vektora iz f koji zato mora biti jedna generatrisa. Kako on ima n = dim V vektora, jasno je da je i f jedna baza. Prema prethodnom, svaka baza se može dobiti iz neke druge primenom konačno mnogo elementarnih operacija. Ako su u e = (x 1,..., x n ) i u f = (y 1,..., y n ) kolone koordinata istog vektora u V u odnosu na baze e i f, ukoliko za matricu A važi e = fa, onda i samo onda je u e = Au f. Dc9d;e=f?g Iskoristi da je u = eu e = fu f kao i f = ea. Ako su u e = (x 1,..., x n ) T i u f = (y 1,..., y n ) T kolone koordinata vektora u u odnosu na baze e i f = ea vektorskog prostora V, tada sistem x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + + α 1n y n x 2 = α 21 y 1 + α 22 y 2 + + α 2n y n.. x n = α n1 y 1 + α n2 y 2 + + α nn y n nazivamo formulama promene koordinata pri prelasku sa baze e na bazu f = ea, A = [α rs ], kao i u f = A 1 u e.

pitanje 15. Odre - denost i matrica linearnog preslikavanja. Za svaku bazu e = [e 1,..., e n ] vektorskog prostora V nad poljem K, i bilo koji sistem f = [f 1,..., f n ] od n vektora iz K-vektorskog prostora W, postoji tačno jedno linearno preslikavanje L: V W za koje je L(e) = f, odnosno L(e i ) = f i. Tako - de je L(u) = fu e za sve u V, a samo preslikavanje je izomorfizam, epimorfizam ili monomorfizam ako i samo ako je sistem f baza, generatrisa ili linearno nezavisan u prostoru W. Dh9i;j=k?l Kako je L(α 1e 1 + + α ne n) = α 1L(e 1) + + α nl(e n), to je sa L(e i) = f i, odnosno L(α 1e 1 + + α ne n) = α 1f 1 + + α nf n jedinstveno odre - deno ovo linearno preslikavanje. Lako se proveri da je tu i L(u) = fu e. Ako je e = [e 1,..., e n ] baza prostora V, a f = [f 1,..., f n ] baza prostora W, L linearno preslikavanje iz V u W, i sa L(e) = fa odredena - slika baze e, matricu A = [α ij ] nazivamo matricom preslikavanja L u odnosu na baze e i f i označavamo sa A = [L] ef. Ukoliko je i L(e) = fb, mora biti fa = fb, pa i A = B, odnosno ovakva matrica je jedinstvena. Matrica linearnog preslikavanja L: V W u odnosu na neki par baza (e, f) vektorskih prostora V i W je jedina matrica A nad poljem skalara K za koju važi L(u) = fau e za sve u V. Obrnuto, ako je n = e i m = f i A M mn (K), sa L(u) = fau e je odredeno - jedinstveno linearno preslikavanje L: V W za koje je A = [L] ef. Dh9i;j=k?l Kako je L(e) = fa i L(u) = u 1L(e 1) + + u nl(e n) = L(e)u e to je L(u) = fau e. Matrice linearnog preslikavanja L u odnosu na razne parove baza su me - dusobno ekvivalentne. Ako su A i B matrice linearnog preslikavanja L: V W u odnosu na neke parove baza (e, f) i (g, h) prostora V i W, onda postoji tačno jedan par inverzibilnih matrica P i Q nad poljem K za koje je B = Q 1 AP, g = ep, h = fq. Obrnuto, ako je A = [L] ef i P, Q neke inverzibilne matrice za koje je prethodno definisano, tada je i (g, h) jedan par baza prostora V i W, kao i B = [L] gh. Dh9i;j=k?l Kako su g i e, odnosno f i h baze prostora V, odnosno W to postoje inverzibilne matrice P i Q za koje je g = ep i h = fq. Kako je L(e) = fa i L(g) = hb, to je L(g) = L(eP ) = L(e)P, odnosno fap = hb = fqb, a zbog linearne nezavisnosti f je AP = QB i B = Q 1 AP. pitanje 16. Kanonska matrica linearnog preslikavanja. Klasa [L] svih matrica datog K-linearnog preslikavanja L sadrži tačno jednu matricu oblika 1... 0... 0...... A 0 = 0... 1... 0,... 0... 0... 0 u kojoj su svi članovi 0, osim k jedinica na početnom delu njene dijagonale. Tada je i rang ovog preslikavanja jednak upravo k, pa je to i rang svake matrice A iz [L]. Dh9i;j=k?l Matrica A 0 je matrica linearnog preslikavanja L: V W u odnosu na par baza e = [e 1,..., e n] i f = [f 1,..., f m] prostora V i W ako i samo ako je L(e 1) = f 1,..., L(e k ) = f k, L(e s) = 0 za s > k. Dalje se postojanje ovakvih baza dokazuje isto kao u analognom tvrdenju - za rang. Drugi način dokaza bi bio preko ekvivalentnih matrica i tvrdenja - iz prethodnog odgovora, kao i odgovarajućeg tvrdenja - o postojanju takve matrice medu - ekvivalentnim. Ovakvu matricu A 0 nazivamo kanonskom matricom linearnog preslikavanja L.

pitanje 17. Algebra i matrice linearnih operatora. Linearna preslikavanja vektorskog prostora V u njega samog nazivamo njegovim endomorfizmima ili linearnim operatorima. Operator O(u) = 0 nazivamo nula-operatorom, a operator I(u) = u jediničnim operatorom datog prostora V. Skup L(V ) svih linearnih operatora L vektorskog prostora V nad poljem K, u odnosu na operacije sabiranja (L, G) L + G, množenja skalarima (α, L) αl i kompoziciju ili proizvod LG(u) = L(G(u)), je i jedna K-algebra. Ako je P matrica prelaska sa baze e na bazu f vektorskog prostora V, odnosno f = ep, za svaki od linearnih operatora na V važi: A = [L] e P 1 AP = [L] f. Dm9n;o=p?q Kako je e = fp 1 i u e = P u f za sve u V, i kad je L(u) = eau e je i L(u) = f(p 1 AP )u f. pitanje 18. Sopstvene komponente linearnog operatora. Za dati linearni operator L u prostoru V, sve parove (α, u) za koje važi L(u) = αu nazivamo sopstvenim ili karakterističnim parovima. Same skalare α onda nazivamo sopstvenom vrednošću, a vektore u sopstvenim vektorima operatora L. Ako je L(u) = αu, onda je i (L αi)(u) = 0, pa u Ker(L αi). Jezgro Ker(L αi) nazivamo i sopstvenim potprostorom operatora L. Raznim sopstvenim vrednostima λ 1,..., λ n linearnog operatora L: V V odgovaraju linearno nezavisni sopstveni vektori, i suma odgovarajućih sopstvenih potprostora Ker(L λ r I) je direktna. Dm9n;o=p?q Važi za n = 1. Za n > 1 i neka su u 1,..., u n sopstveni vektori koji odgovaraju datim sopstvenim vrednostima. Ovo znači da je L(u r) = λ ru r za u r 0, ako za skalare α r važi P α ru r = 0, onda je i P α rl(u r) = 0, odnosno P αrλ ru r = 0. Kada prvu pomnožimo sa λ 1 i od nje oduzmemo drugu relaciju, biće α 2(λ 1 λ 2)u 2+ +α n(λ 1 λ n)u n = 0. Uz induktivnu pretpostavku da je n 1 sopstvenih vektora u 2,..., u n linearno nezavisno, jasno je da je tada i α r = 0 za sve r > 1. Zatim je i α 1u 1 = 0, odnosno i α 1 = 0, pa su svi sopstveni vektori linearno nezavisni. Dalje je u 1 + + u n = 0 moguće jedino za u r = 0 (zbog prethodnog), pa je tražena suma direktna. Ako je A matrica operatora L u odnosu na bazu e vektorskog prostora V, sopstveni parovi (α, X) su oni skalari i kolone iz X K n za koje je (A αe)x = O i X O. Dm9n;o=p?q Sada je u = eu e i L(u) = eau e. Iz L(u) = αu.

pitanje 19. Dijagonalni i trougaoni operatori. Operator L je dijagonalan ukoliko u odnosu na bar jednu bazi f vektorskog prostora V ima dijagonalnu matricu. Za svaki linearni operator L na K-vektorskom prostoru V dimenzije n, sledeći uslovi su ekvivalentni. 1 operator L ima bar jednu dijagonalnu matricu. 2 minimalni polinom µ operatora L ima m = d µ nula u polju K. 3 prostor V je direktna suma sopstvenih potprostora operatora L. 4 suma dimenzija sopstvenih potprostora operatora L je dim V. 5 operator L ima dim V linearno nezavisnih sopstvenih vektora. Dr9s;t=u?v (1 2) : Ako je D dijagonalna matrica operatora L i λ 1,..., λ r sve razne komponente njene dijagonale. Zato je njen minimalni polinom µ = (λ λ 1) (λ λ m), i onda je broj nula jednak upravo d µ. (2 3) : Ako je µ = (λ λ 1) (λ λ m), gde su λ s razni članovi polja K. Kako su tu svaka dva od polinoma λ λ s koprosti i Ker µ(l) = Ker O = V, na osnovu leme o jezgrima sledi da je tada i sam prostor V direktna suma svih sopstvenih potprostora Ker(L λ si) operatora L. Matrica A M n (K) je slična nekoj dijagonalnoj matrici ako i samo ako je njen minimalni polinom oblika (λ λ 1 ) (λ λ m ), sa raznim λ r -ima iz polja K. Dalje, za dijagonalnu matricu D = diag(α 1,..., α n ) i inverzibilnu matricu P = [P 1,..., P n ] važi P 1 AP = D ako i samo ako su (α 1, P 1 ),...,(α n, P n ) upravo sopstveni parovi matrice A, sa linearno nezavisnim sopstvenim kolonama P s. Dr9s;t=u?v Prvi deo sledi direktno iz prethodnog tvr - denja. Ako je P 1 AP = D, onda je i AP = P D, pa i AP r = P D r za sve r. Tako - de je i D r = α re r, odnosno AP r = α rp E r, odakle je i AP r = α rp r. Linearni operator L vektorskog prostora V nad poljem K je trougaoni ako ima bar jednu trougaonu matricu, npr. α 11 α 12 α 1n 0 α 22 α 2n A =... 0 0... α nn Linearni operator L vektorskog prostora V nad poljem K je trougaoni, ako i samo ako njegov minimalni polinom µ ima linearnu faktorizaciju, npr. µ = (λ λ 1 ) (λ λ m ) u prstenu polinoma K[λ]. Takode, - kvadratna matrica A nad poljem K je slična nekoj trougaonoj matrici, ako i samo ako njen minimalni polinom µ ima linearnu faktorizaciju nad tim poljem. Dr9s;t=u?v Pretpostavimo da polinom µ ima linearnu faktorizaciju, i izaberemo nulu α u polju K. Kako je α i sopstvena vrednost, to postoji vektor v 0, takav da je L(v) = αv. Ako je e = [e 1,..., e n] baza prostora V sa prvim vektorom e 1 = v, u odnosu na nju je matrica od L oblika A = ˆ α a, O B sa matricom B reda n 1. Uz induktivnu pretpostavku da ovo važi za n 1, tj. da je S = R 1 BR gornje-trougaona matrica, za P = ˆ 1 O O R je i P 1 AP = ˆ α ar O S takode - gornje-trougaona..

Determinante pitanje 20. Pojam i osnovna svojstva determinante. skalar Preslikavanje det: M(K) K kojim se kvadratnoj matrici A = [α rs ] reda n nad poljem K pridružuje det A = π S n sgn π (α π1,1 α π2,2 α πn,n ), gde je S n skup svih permutacija π = (π1, π2,..., πn) skupa {1, 2,..., n}, a sgn π je 1 ili 1, odnosno znak te permutacije π, nazivamo determinantom nad poljem K. Skalar det A nazivamo determinantom matrice A. Determinanta bilo koje kvadratne matrice A reda n nad poljem K je jednaka determinanti njenog transponata, odnosno det A = det A T. Dw9x;y=z?{ Neka je A = [α rs]. Tada je i A T = [δ rs] gde je δ rs = α sr. Sada tvr - denje važi zbog osobina permutacija. (Osobine determinanti) 1 Determinanta matrice A u kojoj ima jednakih ili nula-kolona (vrsta) je det A = 0. 2 Zamenom mesta jednom paru kolona ili vrsta matrice A, determinanta menja znak. 3 Množenjem jedne od kolona ili vrsta matrice A skalarom α nova determinanta je α det A. 4 Determinanta ostaje ista ako se jednoj koloni (vrsti) doda bilo koja od preostalih kolona (vrsta) pomnožena nekim skalarom α. Determinanta bilo koje kvazi-trougaone ] matrice iz M n (K) je upravo proizvod determinanti njenih dijagonalnih blokova, tj. det = det P det Q. [ P O S Q h Dw9x;y=z?{ Ako je blok P reda p, blok Q je reda q = n p. Ako su Φ(X) = det X O i S i Ψ(Y ) = det ˆ E p Q O S, Y tada mora biti (jer je determinanta alternirajuća i višelinearna forma) Φ(X) = Φ(E p) det X, kao i Ψ(Y ) = Ψ(E q) det Y. Dalje je Ψ(E q) = 1, i Φ(E p) = Ψ(Q). Zato je Ψ(Q) = det Q, pa je Φ(P ) = Ψ(Q) det P = det Q det P. Ako su A i B kvadratne matrice, onda je det AB = det A det B. Posebno, ukoliko su matrice A i B slične, one imaju jednake determinante. operatora imaju istu determinantu. Slično, sve matrice linearnog Dw9x;y=z?{ Neka je matrica A reda n, i V = K n. Za svaku alternirajuću n-linearnu formu F : V n K, svaki sistem e = [e 1,..., e n] vektora iz V i svaku matricu C reda n važi F (ec) = F (e) det C. Ako tu zamenimo prvo C = AB, imamo da je F (eab) = F (e) det AB, a kada zamenimo e = ea i C = B, onda je F (eab) = F (ea) det B = F (e) det A det B, pa konačno i det AB = det A det B. Ako matrica P ima inverz P 1, tada važi pa za B = P 1 AP je i det B = det A. det P 1 = 1 det P = (det P ) 1,

pitanje 21. Razvoji determinante. pitanje 22. Stav o baznom minoru i Kramerovo pravilo. pitanje 23. Karakteristični polinom.

Euklidski prostori pitanje 24. Skalarni proizvod. Norma i ugao. pitanje 25. Ortogonalnost. Ortonormirane baze. pitanje 26. Ortogonalne projekcije i rastojanje. pitanje 27. Simetrični operatori. pitanje 28. Ortogonalni operatori i izometrije.