Cuprins 1 Integrl definită şi generlizări 3 1.1 Definiţie, proprietăţi, formule de clcul............... 3 1. Integrl curbilinie......................... 17 1.3 Integrl improprie......................... 4 1.4 Integrl cu prmetru....................... 31 1.5 Integrlele lui Euler......................... 37 Ecuţii diferenţile 47.1 Ecuţi diferenţilă de ordinul 1.................. 47. Ecuţi diferenţilă de ordinul n.................. 55..1 Ecuţi şi funcţiile Bessel................. 59.. Ecuţi diferenţilă cu coeficienţi constnţi........ 67.3 Sisteme diferenţile......................... 75.4 Sisteme simetrice.......................... 79.5 Ecuţii cu derivte prţile de ordinul I............... 86 3 Integrle vectorile 93 3.1 Integrl dublă........................... 93 3. Integrl triplă............................ 101 3.3 Integrl de suprfţă........................ 105 1
CUPRINS
Cpitolul 1 Integrl definită şi generlizări 1.1 Definiţie, proprietăţi, formule de clcul Considerăm funcţi mărginită f : [, b] R, [, b] R şi o diviziune cu norm diviziunii = {x 0, x 1,..., x n }, = x 0 < x 1 <... < x n = b = mx 1 i n (x i x i 1 ). Pentru orice i {1,..., n} legem punctele intermedire ξ i [x i 1, x i ] şi considerăm sum σ = σ se numeşte sum Riemnn. n f(ξ i )(x i x i 1 ). i=1 Definiţi 1.1.1 Numim integrlădefinită (Riemnn) numărul I cu propriette că ε > 0, η ε stfel c pentru orice diviziune cu < η ε şi pentru orice legere punctelor intermedire re loc σ I < ε Funcţi f se numeşte integrbilă (Riemnn). 3
4 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Numărul I este unic determint şi se noteză Prin definiţie I = f(x)dx f(x)dx = 0 f(x)dx = b f(x)dx Observţie Dcă f 0, tunci o sumă Riemnn reprezintă sum riilor unor dreptunghiuri cre u bz x i x i 1 şi înălţime f(ξ i ). Acestă oservţie stă l bz unor formule de clcul proximtiv pentru integrl Riemnn. Teorem 1.1.1 Pentru funcţi f : [, b] R următorele firmţii sunt echivlente 1. f este integrbilă. există un număr rel I stfel c pentru orice şir de diviziuni le intervlului [, b] de form n = {x n 0, x n 1,..., x n k n } cu lim n = 0 n şi orice legere punctelor intermedire x n i 1 ξi n sumelor Riemnn σ n converge l I. x n i, i = 1,..., k n şirul Demonstrţie 1.. Fie n = {x n 0, x n 1,..., x n k n } o diviziune c în enunţul punctului. Fie ε > 0 rbitrr. Deorece f este funcţie integrbilă există I şi η ε stfel c σ n I < ε dcă n < η ε. Din convergenţ l 0 şirului n există un rng n ε cu propriette n < η ε, n n ε Combinând cele două relţii precedente, rezultă σ n I < ε, n n ε deci convergenţ şirului de sume Riemnn. Astfel punctul. este demonstrt.. 1. Presupunem prin reducere l bsurd că numărul I definit de punctul. nu este integrl lui f. Atunci există ε 0 > 0 stfel c pentru orice η > 0, pote fi găsită o diviziune η stfel încât sum Riemnn să stisfcă σ n I ε 0. (1.1)
1.1. DEFINIŢIE, PROPRIETĂŢI, FORMULE DE CALCUL 5 dcă în prticulr η = 1, deducem că diviziune socită, nottă n n stisfce n < 1 de unde r urm că n lim n = 0. n Din relţi (1.1) deducem însă că şirul sumelor Riemnn nu converge l I, cee ce contrzice Sume Drboux Notăm Fie f : [, b] R o funcţie mărginită şi o diviziune orecre. m i = şi considerăm sumele inf f(x), M i = sup f(x) x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] s = n m i (x i x i 1 ), S = i=1 n M i (x i x i 1 ). i=1 cre se nunesc sumele Drboux. Se pote demonstr imedit că s σ S (1.) şi că pentru o diviziune, cre stisfce (mi fină) re loc s s, S S. Vom not Are loc I = sup s, I = inf S. s I I S (1.3) Teorem 1.1. Fie f : [, b] R o funcţie mărginită. Următorele firmţii sunt echivlente: 1. ε > 0, η ε stfel c pentru orice diviziune cu < η ε. funcţ f este integrbilă. S s < ε (1.4) Demonstrţie folosim ipotez Vom demonstr dor implicţi 1. Din (1.4) re loc dcă 0 I I S s < ε,.
6 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Deorece ε > 0 este rbitrr rezultă că I = I. Vlore lor comună o notăm cu I şi din (1.3) rezultă s I S Dcă ţinem cont şi de (1.) deducem σ I S s < ε oricre r fi diviziune şi pentru orice legere punctelor intermedire ξ i Teorem 1.1.3 Dcă f, g : [, b] R sunt funcţii integrbile pe intervlul [, b] şi λ, µ R tunci λf + µg este integrbil pe [, b] şi re loc (λf(x) + µg(x))dx = λ f(x)dx + µ g(x)dx. Teorem 1.1.4 Dcă f : [, b] R este o funcţie integrbilă pe intervlul [, b] şi f(x) 0, x [, b] tunci f(x)dx 0. Demonstrţie Este suficient să observăm că σ = pentru orice diviziune si orice legere punctelor intermedire n f(ξ i )(x i x i 1 ) 0 Consecinţ 1 Dcă f, g : [, b] R sunt funcţii integrbile stfel c tunci re loc f(x) g(x), x [, b] f(x)dx g(x)dx. Demonstrţie Din ipoteză funcţi g f este pozitivă şi plicăm Teoremele 1.1.4 şi 1.1.3. g(x)dx f(x)dx = i=1 (g(x) f(x))dx 0 Consecinţ Dcă f : [, b] R este o funcţie integrbilă şi m f(x) M, x [, b] tunci
1.1. DEFINIŢIE, PROPRIETĂŢI, FORMULE DE CALCUL 7 m(b ) f(x)dx M(b ). Demonstrţie Rezultă imedit dcă plicăm consecinţ nterioră funcţiei f şi funcţiilor constnte m, M Teorem 1.1.5 Fie f : [, b] R o funcţie integrbilă şi c (, b) stfel încât restricţiile lui f l [, c] şi [c, b] sunt integrbile. Atunci f este integrbilă pe [, b] şi f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Definiţi 1.1. Fie f : J R, unde J R este un intervl. Funcţi F : J R se numşte primitivă su ntiderivtă funcţiei f pe intervlul J, dcă 1. F este derivbilă pe J. F (x) = f(x), x J Remintim că orice două primitive le funcţiei f diferă printr-o constntă şi mulţime tuturor primitivelor se mi numeşte integrlă nedefinită şi se noteză f(x)dxf (x) + c, c R. Mi remintim că o funcţie cre dmite primitive re propriette lui Drboux. Acestă observţie constituie un importnt instrument prin cre decidem uneori dcă o funcţie dmite primitive. Următore celebră teoremă constituie o formulă importntă de clcul. Teorem 1.1.6 (Leibniz Newton) Fie f : [, b] R o funcţie integrbilă şi cre dmite primitive. Atunci pentru orice primitivă F re loc f(x)dx = F (b) F (). Vom folosi notţi F (x) b. Demonstrţie Considerăm o diviziune rbitrră şi plicăm pe intervlul [x i 1, x i ] teorem lui Lgrnge funcţiei derivbile F. Există tunci un punct intermedir ξ i (x i 1, x i ) stfel c F (x i ) F (x i 1 ) = F (ξ i )(x i x i 1 ) = f(ξ i )(x i x i 1 ). Atunci sum Riemnn tştă este n n f(ξ i )(x i x i 1 ) = (F (x i ) F (x i 1 )) = F (b) F () i=1 i=1 şi trecând l limită obţinem firmţi Observţie Se cunosc exemple de funcţii integrbile cre nu dmit primitive.
8 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI TABELUL PRIMITIVELOR Notăm prin F o primitivă funcţiei f şi J R un intervl. f 1 x n, x J R, n N F x n+1 n + 1 x, x J (0, + ), R \ { 1} x +1 + 1 3 x, x J R, R + \ {0, 1} x ln 4 5 1, x J, J (, 0) su J (0, + ) ln x x 1 x, x J R \ {, }, 0 1 ln x x + 6 f(x) = 1 x +, x J R, 0 1 rctn x 7 sin x, x J R cos x 8 cos x, x J R sin x 9 1 cos x, x J R \ {(k + 1)π }, k Z tn x 10 1 sin, x J R \ {kπ}, k Z coth x
1.1. DEFINIŢIE, PROPRIETĂŢI, FORMULE DE CALCUL 9 11 tn x, x J R \ {(k + 1) π }, k Z ln cos x 1 coth x, x J R \ {kπ}, k Z ln sin x 13 1 x +, 0, x J R ln(x + x + ) 14 1 x, > 0, x J (, ) su J (, ) ln(x + x ) 15 1 x, > 0, x J (, ) rcsin x Primitivele funcţiilor rţionle Fie f : J R o funcţie rţionlă, dică este de form f(x) = P (x), Q(x) 0, x J Q(x) unde P, Q sunt două polinome cu coeficienţi reli. Se cunoşte că orice funcţie rţionlă pote fi descompusă într-o sumă finită de frcţii simple. Remintim ceste forme simple şi primitivele lor. 1. 0 x n + 1 x n 1 +... + n 1 x + n re primitiv imedită, dtă de punctul 1 din tbel. 1., n N pe intervlul J (, ) su J (, ) re primitiv (x ) n dtă de punctul 4 din tbel, dc n = 1, ir dcă n > 1 dtă de punctul 1. bx + c 3. (x + px + q), n n N, p 4q < 0; semnlăm două czuri prticulre importnte:
10 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI 3.1 Dcă bx + c este derivt numitorului şi n = 1, tunci primitiv este ln(x +px+q), ir dcă n > 1 primitiv este (x + px + q) n+1. n + 1 1 3. Dcă b = 0, c = 1 şi n = 1, primitiv funcţiei x + px + q este 4q p rctn x + p 4q p Observţie Dcă f : J R o funcţie rţionlă, tunci prin împărţire lui P l Q, se obţine f(x) = P (x) Q(x) = L(x) + R(x) Q(x) unde grd R < grd Q. Frcţiei R(x) îi plicăm următore teoremă. Q(x) Teorem 1.1.7 (Descompunere funcţiilor rţionle în frcţii simple) Fie f : J R o funcţie rţionlă de form f(x) = P (x), Q(x) 0, x J şi P, Q Q(x) două polinome prime între ele. Presupunem că Q se descompune în fctori primi Q(x) = (x 1 ) α 1... (x m ) α m (x + p 1 x + q 1 ) β 1... (x + p n x + q n ) β n. Atunci f se descompune unic f(x) = L(x) + m i=1 ( A1,i (x i ) + A,i α i (x i ) +... + A ) i,i + α i 1 x i n j=1 ( B1,j x + C 1,j (x + p j x + q j ) + B,j x + C,j β j (x + p j x + q j ) +... + B ) j,jx + C j,j β j 1 (x + p j x + q j ) unde L este un polinom cu coeficienţi reli, i, p j, q j, A j,i, B i,j, C i,j R şi p j 4q j < 0. Teorem 1.1.8 (Integrre funcţiilor continue) continuă este integrbilă. Orice funcţie f : [, b] R
1.1. DEFINIŢIE, PROPRIETĂŢI, FORMULE DE CALCUL 11 Demonstrţie Remintim că orice funcţie continuă pe un intervl de form [, b] este uniform continuă, dică ε > 0 există η ε > 0 stfel c x, x [, b] cu x x < η ε rezultă f(x ) f(x ) < ε b. (1.5) Pentru o diviziune cu norm diviziunii < η ε legem u i, v i [x i 1, x i ] stfel c f(u i ) = m i = Are loc folosind (1.5) inf f(x), f(v i) = M i = inf f(x) x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] M i m i = f(v i ) f(u i ) < ε b. Pentru demonstr integrbilitte, vom folosi teorem 1.1., deci re loc mjorre n S s = (M i m i )(x i x i 1 ) < ε n (x i x i 1 ) = b i=1 = ε (b ) = ε. b Observţie Un cz intâlnit în prctică este cel l funcţiilor cre sunt continue pe porţiuni; dică pe intervlul [, b] există un număr finit de puncte de discontinuitte c i (, b) de speţ întâi (există limitele lterle şi sunt finite ) şi pe fiecre subintervl determint de punctele de discontinuitte restricţiile sunt continue. Aceste funcţii rezultă de semene integrbile, folosind teorem 1.1.5 Teorem 1.1.9 (Teoremă de medie) Dcă este o funcţie continuă, tunci există ξ [, b] stfel c 1 b f(x)dx = f(ξ). Demonstrţie Deorece funcţi este continuă pe un intervl închis şi mărginit îşi tinge mrginile, deci există u, v [, b] stfel c m = f(u) = i=1 inf f(x), M = f(v) = sup f(x). x [,b] x [,b] Aplicând Consecinţ Teoremei 1.1.4, din m f(x) M rezultă m(b ) f(x)dx M(b )
1 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI deci f(u) = m 1 b f(x)dx M = f(v). Dr f re propriette lui Drboux pe [, b], fiind continuă. Exist deci ξ [, b] 1 b stfel c f(x)dx = f(ξ). b Următore teoremă este devărtă pentru orice funcţie intgrbilă, dr este usor de demonstrt în czul funcţiilor continue. Teorem 1.1.10 Dcă f : [, b] R este o funcţie continuă tunci re loc f(x)dx f(x) dx. Demonstrţie Afirmţi rezultă imedit dcă ţinem cont de fptul c f rezultă funcţie continuă, deci integrbilă şi ineglitte f(x) f(x) f(x), x [, b] Teorem 1.1.11 (Existenţ primitivelor unei funcţii continue) f : [, b] R este continuă, funcţi F : [, b] R definită prin Dcăfuncţi F (x) = x este o primitivă cre se nuleză în punctul. f(t)dt, x [, b] (1.6) Demonstrţie Vom demonstr că F este derivbilă pentru orice x 0 [, b]. Folosind definiţi şi Teorem 1.1.3 rezultă F (x) F (x 0 ) = x f(t)dt x0 f(t)dt = x x 0 f(t)dt. Din teorem de medie, există ξ x în intervlul de extremităţi x 0, x, stfel c x x 0 f(t)dt = f(ξ x )(x x 0 ). Din ultimile două relţii deducem dcă ţinem cont şi de continuitte funcţiei f F (x) F (x 0 ) lim x x 0 x x 0 = lim x x0 f(ξ x ) = f(x 0 ).
1.1. DEFINIŢIE, PROPRIETĂŢI, FORMULE DE CALCUL 13 (Dcă x 0 = su x 0 = b se consideră limitele lterle.) Deducem stfel că F = f, ir din definiţie F () = 0 Observţie Deşi orice funcţie continuă dmite primitive, nu totdeun cest se pote exprim cu jutorul funcţiilor elementre. Un exemplu cunoscut este cel l funcţiei e x ; pentru cest nu se pote folosi formul Leibniz-Newton, ci metode proximtive de clcul. Teorem 1.1.1 (Formul de integrre prin părţi) Dcă f, g : [, b] R sunt funcţii derivbile, cu derivte continue, tunci Demonstrţie f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b Din formul de derivre produsului (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) g(x)f (x)dx. (1.7) deducem că fg este o primitivă funcţiei f g + fg şi plicând teorem Leibniz Newton vem (fg)(b) (fg)() = = (fg) (x)dx = f (x)g(x)dx + de unde deducem imedit firmţi teoremei (f (x)g(x) + f(x)g (x))dx = f(x)g (x)dx Teorem 1.1.13 (Schimbre de vribilă) Fie ϕ : [, b] [c, d] o funcţie cu proprietăţile: ϕ derivbilă, cu derivt continuă pe [, b]. Fie f : [c, d] R o funcţie continuă. Atunci re loc formul f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ() f(x)dx. (1.8) Demonstrţie Funcţi f fiind continuă, dmite primitive. Fie F o primitivă lui f, deci F (x) = f(x), x [c, d] (1.9) Din teorem Leibniz Newton vem ϕ(b) ϕ() f(x)dx = F (ϕ(b)) F (ϕ())
14 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Prin formul de derivre funcţiilor compuse din (1.9) deducem (F ϕ) (t) = F (ϕ(t))ϕ (t) = (f ϕ)(t)ϕ (t), t [, b]. Din nou din teorem Leibniz Newton vem (f ϕ)(t)ϕ (t) = (F ϕ)(b) (F ϕ)() = ϕ(b) ϕ() f(x)dx Aplicţii le integrlei definite Ari unei mulţimi Definiţi 1.1.3 O mulţime D se numeşte elementră dcă D = n i=1 unde D i sunt dreptunghiuri cu lturile prlele cu xele de coordonte, ir orice două dreptunghiuri diferite u cel mult o ltură comună. Numim rie D i ri(d) = n ri(d i ) i=1 Observţii 1. Reprezentre unei mulţimi elementre nu este unică, dr ri este unic determintă.. Reuniune, intersecţi şi diferenţ două mulţimi elementre sunt tot mulţimi elementre. Definiţi 1.1.4 Fie A o mulţime mărginită din pln. A re rie dcă există două şiruri de mulţimi elementre D n şi E n, n N, stfel c D n A E n şirurile de numere ri(d n ) şi ri(e n ) sunt convergente şi lim n ri(d n) = lim n ri(e n ).
1.1. DEFINIŢIE, PROPRIETĂŢI, FORMULE DE CALCUL 15 Observţii 1. Noţiune de rie nu depinde de legere mulţimilor elementre.. Dcă A, B u rie, tunci mulţimile A B, A B, A \ B u rie. 3. Dcă A, B u rie şi A B =, tunci ri(a B) = ri(a) + ri(b). 4. Dcă o mulţime re rie, nu rezultă că orice submulţime s re rie. Dcă f : [, b] R + este con- Teorem 1.1.14 (Ari unei suprfeţe plne) tinuă tunci mulţime D = {(x, y) R x b, 0 y f(x)} re rie şi ri(d) = f(x)dx. (1.10) Teorem 1.1.15 (Volumul unui corp de rotţie) Dcă f : [, b] R + este continuă tunci corpul de rotţie determint de f, dică mulţime re volum dt de formul V = {(x, y, z) R 3 y + z r, x b} vol(v ) = π f (x)dx (1.11) Lungime unui rc de curbă Fie f : [, b] R + o funcţie şi corespunzător unei diviziuni definim funcţi poligonlă, dică funcţi cre trece prin punctele de coordonte (x i 1, f(x i 1 )) şi (x i, f(x i )) şi pe subintervlele [x i 1, x i ] este drept determint de ceste puncte. f (x) = f(x i 1 ) + f(x i) f(x i 1 ) x i x i 1 (x x i 1 ), x [x i 1, x i ], 1 i n. Lungime cestui grfic este l = n (xi x i 1 ) + (f(x i ) f(x i 1 )). i=1
16 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Definiţi 1.1.5 Spunem că grficul funcţiei continue re lungime finită dcă există o constntă M 0 stfel c l M pentru orice diviziune intervlului [, b]. Numărul sup{l } se numeşte lungime grficului funcţiei f. Teorem 1.1.16 (Lungime unui rc de curbă ) Dcă f : [, b] R + este o funcţie derivbilă cu derivt continuă tunci 1. grficul lui f re lungime finită. lungime este dtă de l = 1 + (f (x)) dx (1.1) Demonstrţie Folosind fptul că funcţi f este continuă, deci mărginită pe [, b], există M > 0 stfel c 1 + (f (x)) M, x [, b] Atunci lungime grficului unei funcţii poligonle socite unei diviziuni rbitrre este mrginită, deorece l = n (xi x i 1 ) + (f(x i ) f(x i 1 )) = i=1 n 1 + (f (ξ i )) (x i x i 1 ) M i=1 n (x i x i 1 ) = M(b ) unde punctele ξ i [x i 1, x i ], 1 i n există din plicre teoremei lui Lgrnge funcţiei f pe intervlele dte de diviziune. Deci grficul re lungime finită. Mi rezultă că dcă n = {x n 0, x n 1,..., x n k n } este un şir de diviziuni cu lim n = 0, tunci şirul lungimilor grficului funcţiilor poligonle este convergent l numărul l, dică n lim l n = l n Aplicăm teorem lui Lgrnge pe fiecre subintervl [x n i 1, x n i ]; tunci există ξi n [x n i 1, x n i ] stfel c i=1 f(x n i ) f(x n i 1) = f (ξ n i )(x n i x n i 1).
1.. INTEGRALA CURBILINIE 17 Evluăm lungime grficului funcţiei poligonle l n = n i=1 (x n i xn i 1 ) + (f(x n i ) f(xn i 1 )) = n 1 + (f (ξi n)) (x n i x n i 1) = σ n i=1 dică o sumă Riemnn socită funcţiei 1 + (f (x)) ; cestă funcţie este integrbilă, fiind continuă şi folosind teorem 1.1.1 rezultă vlore integrlei este limit şirului l n, dică l = 1 + (f (x)) dx Teorem 1.1.17 (Ari unei suprfete de rotţie) Dcă f : [, b] R + este o funcţie derivbilă cu derivt continuă tunci suprfţ de rotţie determintă de f, dică mulţime re rie dtă de S = {(x, y, z) R 3 y + z = f(x), x b} ri(s) = π 1. Integrl curbilinie Integrl curbilinie (IC) de speţ întâi f(x) 1 + (f (x)) dx (1.13) Fie f : D R o funcţie continuă unde domeniul D R n cu n =, 3. Fie γ o curbă inclusă în D cre este netedă. Un exemplu teoretic de curbă netedă fost dt în teorem 1.1.16. În czul n = 3, o curbă netedă este de form (γ) x = x(t) y = y(t) z = z(t), t [, b] R (1.14) unde x, y, z sunt funcţii derivbile cu derivte continue pe [, b]. Mi generl o curbă pote fi netedă pe porţiuni, dică există un număr finit de subintervle le lui [, b] determinte de = t 0 < t 1 <... < t n = b stfel c restricţi curbei l [t i 1, t i ], i = 1,..., n să fie netedă.
18 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Definiţi 1..1 γ f(x, y, z)ds = Numim integrlă curbilinie (IC) de prim speţă funcţiei f f(x(t), y(t), z(t)) (x ) (t) + (y ) (t) + (z ) (t)dt unde ds = (x ) (t) + (y ) (t) + (z ) (t) este elementul de rc. (1.15) Observţii 1. Dcă γ este o curbă plnă tunci în ecuţiile (1.14) vom lu z = 0, ir IC este f(x, y)ds = f(x(t), y(t)) (x ) (t) + (y ) (t)dt. γ. IC de speţ întâi este independentă de sensul de prcurs pe curbă. 3. IC nu depinde de prmetrizre lesă pentru curbă. Aplicţii 1. Ms unei curbe netede γ. Presupunem că în fiecre punct l curbei, ms este o funcţie continuă f(x, y, z), tunci ms curbei este IC următore M = f(x, y, z)ds. (1.16) γ. Momentele sttice le unei curbe în rport cu xele de coordonte se pot exprim tot cu jutorul unor IC M x = xf(x, y, z)ds γ M y = yf(x, y, z)ds γ (1.17) M z = zf(x, y, z)ds γ Integrl curbilinie (IC) de speţ dou Fie γ o curbă inclusă în D cre este netedă, dtă c în (1.14). Fie funcţiile rele de vribile rele P, Q, R : D R, D R 3 cre sunt continue. Presupunem că γ D.
1.. INTEGRALA CURBILINIE 19 Definiţi 1.. Numim intgrl curbilinie de speţ dou P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = = γ (P (x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t)+ +R(x(t), y(t), z(t))z (t))dt (1.18) Observţie Dcă γ este o curbă plnă, tunci expresi IC este P (x, y)dx + Q(x, y)dy = γ = (P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t))dt (1.19) Observţie 1. Dcă (γ) re extremităţile A, B şi C este un punct rbitrr de pe curbă, tunci IC se pote desfce stfel = +. γ ÂC ĈB Observţie. Dcă schimbăm sensul de prcurs pe curb (γ) tunci IC de speţ dou îşi schimbă sensul. Deci IC de speţ dou depinde de sensul de prcurs, spre deosebire de ce de prim speţă, cre nu depinde de cest. 3. Dcă curb (γ) este închisă, tunci legem un sens de prcurs pe curbă şi IC se noteză P (x, y)dx + Q(x, y)dy + R(x, y)dz. γ Să ilustrăm idee de sens de prcurs în pln. Dcă dcă domeniul este un disc, tunci vom spune că prcurgem în sens direct conturul dcă cest coincide cu sensul trigonometric ( invers celor de cesornic); cest mod coincide cu lăsre l stâng domeniului, reltiv l un reper fixt (un nsmblu de xe de coordonte pe cre s- fixt un sens), dcă deplsre re loc pe cerc. Astfel vom extinde sensul direct pentru curbe ce mărginesc domenii orecre: sensul este direct dcă prin deplsre în cest sens pe curb ce mărgineşte domeniul, cest este lăst l stâng. 4. În rţionmentele nostre curbele de- lungul căror fcem integrre sunt simple, dică nu trec de mi multe ori prin celşi punct. Aplicţii le integrlei curbilinii
0 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Teorem 1..1 (Ari unui domeniu pln) Ari unui domeniu pln mărginit de o curbă netedă simplă este ri(d) = 1 xdy ydx. (1.0) Lucrul mecnic Presupunem că supr unui punct mteril se cţioneză cu o forţă F cărei mărime şi direcţie depind numi de poziţi punctului M, cre se deplseză pe curbă într-un sens determint. Presupunem că F se proiecteză pe xele Ox, Oy prin x = x(x, y), y = y(x, y). Lucrul mecnic este dt de L = (x(x, y)dx + y(x, y)dy (1.1) γ Acestă ultimă plicţie ne conduce l unele întrebări : 1. depinde lucrul mecnic de form triectoriei?. dcă triectori este închisă este lucrul mecnic totdeun 0? Vom răspinde l ceste întrebări prin considerre următorelor considerente teoretice. γ Independenţ de drum integrlei curbilinii Vom studi cestă problemă mi întâi în pln, ir în prte dou cursului vom relu independenţ în R 3. În cele ce urmeză vom presupune că P, Q : D R, D R { sunt două funcţii continue şi că vem o curbă netedă, inclusă în D x = x(t) nottă (γ) :, t [, b]. y = y(t) Teorem 1.. În ipotezele nteriore următorele firmţii sunt echivlente 1. IC este independentă de drum. pentru orice curbă C închisă şi simplă re loc P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1.) C Demonstrţie 1.. Fie C o curbă închisă şi simplă, legem două puncte rbitrre A, B pe C; pe rcele ÂB şi BA legem două puncte M, N. Atunci = + = = 0 C AMB BNA deorece integrl este independentă de drum. AMB ANB
1.. INTEGRALA CURBILINIE 1. 1. Fie două puncte rbitrre A, B D si legem două drumuri rbitrre de l A l B; pe drumurile ÂB şi BA legem două puncte M, N. Observăm că se obţine o curbă închisă C = ANBMA, pe cre, din ipoteză IC este nulă. Din 0 = = deducem independenţ de drum IC C AMB ANB Definiţi 1..3 Presupunem că există o funcţie F : D R, D R cu derivte prţile de ordinul întâi continue, stfel c F F (x, y) = P (x, y), x (x, y) = Q(x, y), (x, y) D. y Expresi P (x, y)dx + Q(x, y)dy se numeşte diferenţilă totlă exctă. Observăm că în cest cz diferenţil funcţiei F este: df (x, y) = F F (x, y)dx + (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. x y Vom răt în continure c independenţ de drum IC este echivlentă cu fptul că P (x, y)dx + Q(x, y)dy este o diferenţilă totlă exctă. Teorem 1..3 Presupunem că există o funcţie F : D R cu derivte prţile continue stfel încât F F (x, y) = P (x, y), x (x, y) = Q(x, y), (x, y) D. y Atunci re loc P (x, y)dx + Q(x, y)dy = F (x(b), y(b)) F (x(), y()). (1.3) γ În prticulr integrl rezultă independentă de drum. Demonstrţie Din definiţi IC re loc P (x, y)dx + Q(x, y)dy = γ (P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t))dt.
CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Folosind ipotez, ultim integrlă este eglă cu ( F x (x(t), y(t))x (t) + F ) y (x(t), y(t))y (t) dt. Demonstrăm că expresi de sub integrlă este o primitivă pentru funcţi compusă F (x(t), y(t)). Observăm că este derivbilă, fiind o funcţie compusă de funcţii derivbile; derivăm funcţi compusă în rport cu t prin intermediul funcţiilor x, y vem df (x(t), y(t)) dt = F (x(t), y(t))dx x dt + F (x(t), y(t))dy y dx = = F x (x(t), y(t))x (t) + F y (x(t), y(t))y (t). Afirmţi rezultă dcă plicăm teorem Leibniz Newton. În clculul integrlei intervin dor extremităţile, deci în cest cz IC este independentă de drum. Teorem 1..4 Dcă integrl P (x, y)dx + Q(x, y)dy este independentă de drum, tunci funcţi F : D R, D R definită prin F (x, y) = γ (x,y) (x 0,y 0 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy (1.4) pe orice curbă netedă cu extremităţile (x 0, y 0 ), (x, y) D stisfce F F (x, y) = P (x, y), x (x, y) = Q(x, y). y Demonstrţie Fie (x 1, y 1 ) D şi să demonstrăm că în cest punct există derivt prţilă F x (x 1, y 1 ); pentru cest clculăm limit F (x 1 + h, y 1 ) F (x 1, y 1 ) lim. h 0 h Folosind (1.4), ultim expresi devine lim h 0 (x1 +h,y 1 ) (x 0,y 0 P (x, y)dx + Q(x, y)dy (x 1,y 1 ) ) (x 0,y 0 ) h P (x, y)dx + Q(x, y)dy Din definiţi IC deducem că numărătorul pote fi desfăcut sub form =
1.. INTEGRALA CURBILINIE 3 (x1,y 1 ) (x 0,y 0 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy + (x 1 +h,y 1 ) (x 0,y 0 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy (x 1,y 1 ) (x 0,y 0 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (x 1 +h,y 1 ) (x 0,y 0 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy Dcă înlocuim mi sus, găsim, dcă mi ţinem cont că pe curb de extremităţi (x 1, y 1 ), (x 1 + h, y 1 ) vem dy = 0 lim h 0 (x1 +h,y 1 ) (x 0,y 0 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy h = lim h 0 x1 +h x 1 P (x, y 1 )dx P (ξ, y 1 )h = lim = P (x 1, y 1 ), h 0 h unde ξ se flă între x 1 şi x 1 + h, dcă folosim teorem de medie pentru integrl definită şi fptul că P este o funcţie continuă. Din existenţ limitei deducem că F x (x 1, y 1 ) = P (x 1, y 1 ) Pentru cellltă firmţie procedăm nlog Teorem 1..5 Presupunem că funcţi F : D R, D R re derivte prţile de ordinul doi, continue şi că tunci re loc df (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, (x, y) R (1.5) P y Q (x, y) = (x, y) (1.6) x h = Demonstrţie Folosim teorem lui Schwrz P y (x, y) = F y x (x, y) = F Q (x, y) = (x, y) x y x Observţie P (x, y) = Reciproc nu este devărtă în generl. De exemplu dcă legem y x, Q(x, y) = x + y x + y, (x, y) R \ {(0, 0)} tunci P Q (x, y) = y x (x, y) = y x (x + y ).
4 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Dcă integrăm pe conturul unui cerc cu centrul în origine, vlore integrlei este π. Dcă IC r fi independentă de drum, din Teorem 1.. r rezult că dx + Qdy = 0 C cee ce contrzice clculul precedent. Acest provine din fptul că funcţiile P, Q sunt definite pe un domeniu cre re goluri (R \ {(0, 0)}). Un domeniu cre nu re goluri se v numi simplu conex. Noţiune descrisă intuitiv pote fi definită riguros, r cest r depăşi cu mult nivelul cursului. Vom demonstr în ultimul cpitol că pe un domeniu simplu conex următorele firmţii sunt echivlente: 1. P (x, y)dx + Q(x, y)dy este independentă de drum γ. P y = Q, (x, y) D. x 1.3 Integrl improprie După cum m văzut în prgrful precedent, noţiune de integrlă Riemnn se studiză pentru funcţii mărginite definite pe intervle mărginite şi închise ( compcte). Vom renunţ pe rând l cele două ipoteze. Integrle improprii pe intervl nemărginit Fie f : [, + ) R, R. Definiţi 1.3.1 f se numeşte integrbilă pe [, + ) dcă 1. f este integrbilă pe intervlul [, b], b R. există şi este finită limit lim b + + f(x)dx = lim b + f(x)dx. Vom not Vom spune în cest cz că integrl este convergentă şi vom not ir în cz contrr că este divergentă. f(x)dx. (1.7) f(x)dx < +,
1.3. INTEGRALA IMPROPRIE 5 Definiţi 1.3. Funcţi f : [, + ) R, R se numeşte bsolut integrbilă pe [, + ) dcă Integrl Exemple + 1. Pentru > 0, Într-devăr vem + f(x) dx < +. f(x)dx se numeşte bsolut convergentă. { convergentă dcă α < 1 x α dx = divergentă dcă α 1 x α dx = bα+1 α + 1 α+1 α + 1 şi se consttă imedit că există limit finită expresiei de mi sus, pentru b dor dcă α < 1, de unde firmţi.. sin x. 3. + 0 + cos xdx este divergentă, deorece nu există limit l infinit funcţiei e λx dx este convergentă, deorece lim b + 1 λ (e λ e λb ) = 1 λ e λ. Anlog se pot defini noţiunile de integrbilitte pe intervle de form (, b], unde b R su (, + ). Menţionăm că în cest l doile cz, legem c R şi reducem l situţiile precedente, dcă relizăm desfcere f(x)dx = Există situţii când integrl c f(x)dx + + este finită limit următore, numită vlore principlă vp c f(x)dx. f(x)dx nu este convergentă şi totuşi există şi f(x)dx = De exemplu se pote constt că integrl vlore principlă π. Într-devăr lim + 1 + x dx = lim 1 + x + lim + f(x)dx (1.8) 1 + x dx este divergentă dr re 1 + x ( rctn x + 1 ln(1 + x ) ) + = π.
6 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Teorem 1.3.1 (Teoremă de crcterizre) Integrl şi numi dcă ε > 0, b ε stfel încât b, b b ε re loc + f(x)dx < + dcă f(x)dx < ε. (1.9) b Demonstrţie. Se plică teorem lui Cuchy de crcterizre limitei finite l, observând că f(x)dx f(x)dx = b f(x)dx Menţionăm o primă plicţie teoremei. Teorem 1.3. Dcă f : [, + ) R, R este bsolut integrbilă tunci este şi integrbilă. Demonstrţie. Afirmţi rezultă imedit dcă folosim proprietăţile integrlei Riemnn, şi nume f(x)dx b b f(x) dx Teorem de crcterizre este un instrument teoretic cu jutorul cărui se pot deduce criterii de convergenţă mi comod de plict în prctică decât definiţi. Teorem 1.3.3 (Criteriul de comprţie) Fie integrlele + g(x)dx. 1. Presupunem că sunt îndeplinite condiţiile tunci rezultă că integrl + + f(x)dx şi g(x)dx este convergentă (1.30) f(x) g(x), x x 1, x 1 R (1.31) + f(x)dx este bsolut convergentă.
1.3. INTEGRALA IMPROPRIE 7. Dcă + f(x)dx este divergentă (1.3) rezultă că integrl + 0 f(x) g(x), x x, x R (1.33) g(x)dx este divergentă. Demonstrţie. Pentru prim firmţie observăm că dcă b, b > x 1 re loc b f(x)dx şi se plică teorem de crcterizre. Pentru dou firmţie, dcă prin bsurd, din prim prte r rezult că presupunere făcută + b f(x) dx + Teorem 1.3.4 (Criteriul cu limită) 1. Dcă tunci tunci +. Dcă + b g(x)dx g(x)dx r fi convergentă, tunci f(x)dx este convergentă, cee ce contrzice lim f(x) x + xα < + şi α > 1 (1.34) f(x)dx este bsolut convergentă. f(x)dx este divergentă. lim x + f(x)xα > 0 şi α 1 (1.35) Demonstrţie. Prim prte rezultă dcă observăm că există x 1 R + stfel c f(x) A + x şi integrl A este convergentă dcă α < 1, potrivit exemplului precedent. Utilizăm poi criteriul de comprţie. α x 1 xα Prte dou rezultă nlog, dcă observăm că există x R stfel c f(x) B x α, x x Observţie. Din demonstrţi criteriului precedent deducem că cest se pote formul mi generl, fără solicit existenţ limitei ci dor mjorările din demonstrţie.
8 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Se pote enunţ şi demonstr o formulă de schimbre de vribilă pentru integrle improprii. Menţionăm că dcă x = ϕ(t), l ipotezele Teoremei supr schimbării de vribilă în integrl Riemnn se dugă şi ϕ(t) = + ; tunci vem formul + f(x)dx = + şi integrlele de mi sus u ceeşi ntură. Integrlele lui Fresnel făcând în integrlele + 0 + 1 + sin x dx şi sin x dx şi + ϕ() 0 + 1 lim t + f(v(t))v (t)dt + cos x dx sunt convergente, căci sin x dx schimbre x = t obţinem sin t 1 cos t dt, respectiv t 1 dt. Ne ocupăm de prim dintre ele, folosind t teorem de crcterizre şi integrre prin părţi sin t b t dt = cos b t t 1 b cos t dt. b 4t 3 cos t Integrl de mi sus pote fi făcută oricât de mică deorece lim = 0 şi t + t 1 descăzutul provine de l o integrlă convergentă, cum rezultă imedit dcă se foloseşte criteriul de comprţie. Integrle improprii de funcţii nemărginite Fie f : [, b) R,, b R o funcţie nemărginită în b. Definiţi 1.3.3 Funcţi f se numeşte integrbilă pe [, b), dcă 1. f este integrbilă pe orice intervl ([, b ε]), ε > 0. există şi este finită limit lim ε 0 ε f(x)dx = lim f(x)dx. Vom not ε 0 ε f(x)dx. (1.36) Integrl se numeşte convergentă şi vom not f(x)dx < + ir în cz contrr, divergentă. Definiţi 1.3.4 pe [, b) dcă Funcţi f : [, b) R,, b R se numeşte bsolut integrbilă f(x) dx < +. (1.37)
1.3. INTEGRALA IMPROPRIE 9 Anlog se pote defini integrbilitte pentru funcţii definite pe (, b], nemărginite în. Dcă f : [, b] R şi f nu este mărginită într-un punct interior intervlului c, studiul convergenţei se pote reduce l czurile precedente, desfăcând integrl f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Pentru ultim situţie se defineşte de semene noţiune de vlore principlă prin următore limită (dcă există şi este finită) vp ( c ε ) f(x)dx = lim f(x)dx + f(x)dx ε 0 c+ε (1.38) L fel c în primul cz furnizeză o eventulă informţie suplimentră, dcă integrl este divergentă. Exemple. 1. Integrl 0 x α dx este o integrlă proprie pentru α > 0. Dcă α < 0, funcţi este nemărginită în 0. Aplicăm definiţi lim ε 0 ε ( ) { b x α α+1 dx = lim ε 0 α + 1 εα+1 convergentă dcă α + 1 > 0 = α + 1 divergentă dcă α + 1 0. dx (b x) α = lim ε 0 ε (b x) α dx. Găsim imedit ( ) { (ε) α+1 (b ) α+1 convergentă dcă α < 1 lim = ε 0 α + 1 α + 1 divergentă dcă α 1 3. 0 1 ln xdx = lim ε 0 (x ln x x) 0 ε= lim ε 0 (b ln b b ε ln ε + ε) = b ln b b. dx 4. este divergentă, după cum rezultă din Exemplul 1, dr re vlore 1 x principlă 0; într-devăr ( ε dx 1 lim ε 0 1 x + ε ) dx = lim(ln ε ln ε) = 0. x ε 0
30 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Teorem 1.3.5 (Teoremă de crcterizre) Integrl f(x)dx este convergentă dcă şi numi dcă ε > 0 există δ > 0 stfel c oricre r fi t, t [, b), cu 0 < b t < δ, 0 < b t < δ re loc t t f(x)dx < ε. (1.39) Demonstrţi este nlogă celei de l integrle improprii pe intervl nemărginit, c şi rezulttelor ce urmeză. Teorem 1.3.6 Dcă funcţi f este bsolut integrbilă pe [, b) tunci e este integrbilă pe [, b). Teorem 1.3.7 (Criteriu de comprţie) Fie integrlele f(x) şi g(x)dx. Dcă + g(x)dx este convergentă (1.40) rezultă că Dcă rezultă f(x) g(x), x [c 1, b), c 1 (1.41) f(x)dx este bsolut convergentă. f(x)dx este divergentă (1.4) 0 f(x) g(x), x [c, b), c (1.43) g(x)dx este divergentă. Teorem 1.3.8 (Criteriul cu limită) 1. Dcă tunci tunci. Dcă lim f(x) (b x b,x<b x)α < + şi α < 1 (1.44) f(x)dx este bsolut convergentă. f(x)dx este divergentă. lim f(x)(b x b,x<b x)α > 0 şi α 1 (1.45)
1.4. INTEGRALA CU PARAMETRU 31 Exemplu Integrl este divergentă, deorece π 0 lim x 0,x<0 dx sin 3 x x 3 sin 3 x = 1. 1.4 Integrl cu prmetru Dcă f : [, b] R R este o funcţie cu propriette că pentru orice y R, există integrl F (y) = f(x, y)dx (1.46) spunem că m definit o integrlă cu prmetru. Ne punem problem să studiem proprietăţile de continuitte, derivbilitte şi integrbilitte le funcţiei F. Teorem 1.4.1 (Continuitte integrlei cu prmetru) Dcă f : [, b] R R este uniform continuă, tunci funcţi F este continuă. Demonstrţie Funcţi f fiind uniform continuă, rezultă că ε > 0, δ > 0, stfel c x x < δ, y y < δ tunci rezultă f(x, y ) f(x, y ) < ε. Prticulrizăm în cestă definiţie x = x = x, y = y, y = y 0 şi găsim că F (y) F (y 0 ) f(x, y) f(x, y 0 ) dx < ε(b ) de îndtă ce y y 0 < δ În prticulr, dcă f este continuă pe [, b] [c, d], rezulttul din teoremă se păsteză. Teorem 1.4. (Derivbilitte integrlei cu prmetru) Dcă f : [, b] [c, d] R şi u loc: i. y [c, d] există integrl cu prmetru F (y) = ii. există f continuă pe [, b] [c, d] y tunci F este derivbilă şi F (y) = f(x, y)dx; f (x, y)dx. (1.47) y
3 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Demonstrţie Din definiţ derivbilităţii şi ipotezele i, ii vem F (y) F (y b 0 f y y 0 y (x, y 0)dx = ( = f(x, y) f(x, y0 ) f ) y y 0 y (x, y 0) dx f(x, y) f(x, y 0) y y 0 f y (x, y 0) dx. Dcă y y 0, membrul întâi l relţiei precedente pote fi făcut oricât de mic, de unde firmţi teoremei Exemplu C plicţie să indicăm un lt mod de clcul l integrlei I n (y) = 1 0 dx, n N, y 0. (x + y ) n Deorece ipotezele teoremei nteriore sunt îndeplinite, putem deriv integrl în rport cu y şi găsim 1 ( ) n I n(y) 1 1 dx = dx = yn 0 y x + y 0 (x + y ) = yni n+1(y) n+1 Am obţinut stfel relţi I n+1 (y) = 1 ny I n(y). Să o plicăm pentru clculul integrlei I. Deorece I 1 (y) = 1 rctn 1, rezultă y y că I = 1 y I 1(y) = 1 y (rctn 1 3 y + y y + 1 ). Teorem precedentă pote fi generliztă stfel. Teorem 1.4.3 (Teorem lui Leibniz) Fie integrl cu prmetru F (y) = β(y) α(y) f(x, y)dx, y [c, d] şi presupunem îndeplinite următorele ipoteze i. funcţiile α, β : [c, d] [, b] sunt derivbile,
1.4. INTEGRALA CU PARAMETRU 33 ii. f : [, b] [c, d] R este o funcţie continuă, iii. există f y : [, b] [c, d] R, continuă tunci F este derivbilă şi re loc formul F (y) = f(β(y), y)β (y) f(α(y), y)α (y) + β(y) α(y) f (x, y)dx. (1.48) y Demonstrţie Fie y 0 [c, d]; vem F (y) F (y 0 ) y y 0 = 1 y y 0 + 1 y y 0 α(y0 ) α(y) β(y0 ) α(y 0 ) f(x, y)dx + 1 y y 0 (f(x, y) f(x, y 0 ))dx+ β(y0 ) β(y) β(y 0 ) f(x, y)dx. f Limit primului termen pentru y y 0 este α(y 0 ) y (x, y 0)dx. Pentru cel de-l doile termen se foloseşte o teoremă de medie şi nume 1 y y 0 α(y0 ) α(y) f(x, y)dx = α(y 0) α(y) y y 0 f(x, y) unde x este cuprins între α(y) şi α(y 0 ). Rezulttul se obţine dcă folosim continuitte funcţiilor α şi f şi trecem l limită pentru y y 0. Se procedeză semănător cu cel de-l treile termen l relţiei. Teorem 1.4.4 (Integrre unei integrle cu prmetru) Fie f : [, b] [c, d] R o funcţie continuă, tunci re loc formul d c ( ) f(x, y)dx dy = ( d c ) f(x, y)dy dx. (1.49) Demonstrţie Deorece funcţi este continuă mbele integrle există, de cee rămâne de rătt dor eglitte lor. Fie η [c, d] şi considerăm integrlele F 1 (η) = ( η ) b f(x, y)dx dy şi F c (η) = ( η f(x, y)dy) dx. Putem plic c formul de derivre lui Leibniz şi găsim F 1(η) = f(x, η)dx = F (η). Deci F 1, F diferă printr-o constntă. Deorece F 1 (c) = F (c) = 0, rezultă că F 1 F, ir firmţi teoremei rezultă pentru η = d
34 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI În condiţiile teoremei vom spune că putem schimb ordine de integrre. Să mi observăm că din teorem precedentă se regăseşte teorem privind primitiv unei funcţii continue. Exemplu Să clculăm 1 0 1 ln x (xb x )dx, x > 0, > 0, b > 0. 1 Observăm că ln x (xb x ) = x y dy, x [0, 1]. Deorece x y este continuă pe [0, 1] [, b], putem schimb ordine de integrre, 1 0 ( ) x y dy dx = ( 1 0 ) x y dx dy = = ln(y + 1) b = ln b + 1 + 1. Integrle improprii cu prmetru ( ) x y+1 y + 1 1 0 dy = dy y + 1 = Fie f : [, + ) [c, d] R,, c, d R şi considerăm integrl cu prmetru F (y) = + f(x, y)dx, y [c, d]. (1.50) Remintim că existenţ integrlei de mi sus presupune prin definiţie existenţ limitei lim f(x, y)dx, în cre cz vom mi spune că integrl converge simplu pe [c, d]. b + Ne propunem să stbilim condiţii în cre funcţi definită de integrl precedentă re proprietăţi de continuitte, derivbilitte şi integrbilitte. Convergenţ simplă nu mi este suficientă, de cee vom introduce o noţiune mi puternică. Fie b n un şir numeric cre re limit + şi considerăm integrl F n (y) = n f(x, y)dx. Definiţi 1.4.1 Spunem că integrl (1.50) este uniform convergentă dcă pentru orice şir b n cre re limit +, şirul de funcţii F n converge uniform l F pe [c, d].
1.4. INTEGRALA CU PARAMETRU 35 Teorem 1.4.5 (Teoremă de crcterizre) Integrl (1.50) este uniform convergentă dcă şi numi dcă ε > 0, δ ε > 0, stfel încât b, b > δ ε şi y [c, d] re loc f(x, y)dx b < ε. Demonstrţie Din crcterizre Cuchy limitei finite şi uniforme l +, ε > 0, δ ε > 0 stfel c b, b > δ ε şi y [c, d], re loc f(x, y)dx f(x, y)dx = f(x, y)dx < ε. b În prctică este util criteriul următor. Teorem 1.4.6 (Criteriu de convergenţă uniformă şi bsolută) Dcă f : [, + ) [c, d] R şi există g : [, + ) R stfel c tunci i. f(x, y) g(x), x [, + ) ii. + g(x)dx < + + Demonstrţie f(x, y)dx este uniform şi bsolut convergentă. b Afirmţi rezultă imedit din ineglitte f(x, y)dx f(x, y) dx g(x)dx < ε şi din crcterizre convergenţei integrlei improprii b Teorem 1.4.7 (Continuitte integrlei improprii cu prmetru). Dcă f : [, + ) [c, d] R este o funcţie continuă şi f(x)dx este uniform convergentă, tunci funcţi F (y) = + + b f(x, y)dx este continuă pe [c, d]. Demonstrţie Fie b n + şi F n (y) = n f(x, y)dx cre rezultă funcţii continue din Teorem continuităţii integrlei cu prmetru. Din ipoteză şirul F n converge uniform l F pe [c, d], ir limit unui şir uniform convergent de funcţii continue este o funcţie continuă.
36 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Teorem 1.4.8 (Derivbilitte integrlei improprii cu prmetru) Fie funcţi f : [, + ) [c, d] R cu proprietăţile i. ii. + + f(x, y)dx converge f (x, y)dx converge uniform y tunci F este derivbilă şi re loc d dy + f(x, y)dx = + f (x, y)dx. (1.51) y Demonstrţie Fie b n +. Derivăm integrl cu prmetru pe intervlul [, b n ] şi găsim n F n(y) f = (x, y)dx y ir cest şir converge uniform. Deorece F n converge uniform, trecând l limită, deducem demonstrţi teoremei Teorem 1.4.9 (Integrbilitte unei integrle improprii cu prmetru) funcţi f : [, + ) [c, d] R,, c, d R continuă stfel încât i. integrl ii. integrl tunci re loc + + + ( d c f(x, y)dx este uniform convergentă, ( d ) f(x, y)dy dx este convergentă c ) f(x, y)dy dx = d ( + c Fie ) f(x, y)dx dy. (1.5) Demonstrţie Pentru b n un şir numeric cre re limit + observăm că F n (y) = n f(x, y)dx converge uniform l F, ir F n sunt funcţii continue; putem integr termen cu termen şi găsim d c F (y)dy = lim n + d c F n (y)dy. În integrl cu prmetru putem schimb ordine de integrre şi obţinem n ( d ) d (n ) f(x, y)dy dx = f(x, y)dx dy. c Trecând l limită în relţi precedentă, obţinem firmţi teoremei. c
1.5. INTEGRALELE LUI EULER 37 1.5 Integrlele lui Euler Considerăm integrlele cu prmetru şi Γ(p) = B(p, q) = + 0 1 0 x p 1 e x dx (1.53) x p 1 (1 x) q 1 dx. (1.54) pe cre le numim integrlele lui Euler. Ne propunem să le studiem proprietăţile de convergenţă, continuitte, derivbilitte şi să dăm unele plicţii le lor. Teorem 1.5.1 (Convergenţ integrlelor lui Euler) Integrlele improprii cu prmetru (1.53) şi (1.54) sunt convergente pentru p > 0, respectiv p, q > 0. Demonstrţie Observăm că integrl (1.53) pote fi scrisă c sumă de două integrle + 0 x p 1 e x dx = 1 0 x p 1 e x dx + Prim integrlă este proprie pentru p 1. x p 1 e x x p 1 pentru x [0, 1], ir integrl + 1 x p 1 e x dx. Dcă p < 1, re loc mjorre 1 0 x p 1 dx este convergentă, dcă p > 0. Pentru dou integrlă utilizăm criteriul cu limită şi observăm că pentru orice α > 0, lim x + x α+p 1 e x = 0, deci integrl este convergentă. Observăm că dcă p 1, q 1 integrl este proprie. În generl, integrl Bet se descompune 1 0 x p 1 (1 x) q 1 dx = 1 0 x p 1 (1 x) q 1 dx + Dcă 0 < p < 1 şi x (0, 1 ) vem xp 1 (1 x) q 1 1 0 1 1 x p 1 dx converge dcă p > 0. 1 1 x p 1 (1 x) q 1 dx. x p 1, ir integrl Dcă 0 < q < 1, x ( 1, 1), rezultă xp 1 (1 x) q 1 (1 x) q 1, ir integrl (1 x) q 1 dx este convergentă pentru q > 0 sfdem Teorem 1.5. Funcţi Gmm este continuă pe (0, + ).
38 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Demonstrţie Observăm că pentru orice intervl compct [c, d] (0, + ) funcţi x p 1 e x este mjortă de mx{x c 1 e x, x d 1 e x }, ir funcţi cre mjoreză este integrbilă pe (0, + ). deci pe [c, d] integrl converge uniform l o funcţie continuă, deci Γ(p) este continuă pe [c, d]. Deorece [c, d] este rbitrr, firmţi rezultă pe (0, + ) Teorem 1.5.3 (0, + )). Funcţi Gmm este de clsă C (0, + ) (indefinit derivbilăpe Demonstrţie Derivăm sub integrlă şi consttăm că integrl obţinută este convergentă. Într-devăr Γ (p) = + x p 1 ln xe x dx, ir funcţi de sub integrlă 0 se mjoreză pe orice [c, d] (0, + ) prin x c 1 ln xe x, cre este integrbilă. Astfel există derivt funcţiei Γ, cre rezultă şi continuă, deci Γ este de clsă C 1 (0, + ). Procedeul pote fi repett, deci rezultă firmţi din enunţ Grficul funcţiei Gmm Funcţi Gmm fiind derivbilă şi Γ(1) = Γ() = 1, din teorem lui Rolle, deducem că există p 0 (1, ) stfel c Γ (p 0 ) = 0. Se pote clcul vlore proximtivă p 0 = 1, 4616 şi Γ(p 0 ) = 0, 8856. Deorece Γ (p) > 0, deducem că p 0 este punct de minim. Mi deducem lim Γ(p) = lim Γ(p + 1) p + p + p Grficul funcţiei Γ re următore formă = +, lim Γ(p) = + p + Teorem 1.5.4 ( Formule de clcul) proprietăţi Integrlele lui Euler stisfc următorele Γ(1) = 1 (1.55) Γ(p + 1) = pγ(p) (1.56) B(p, q) = B(q, p) (1.57) B( 1, 1 ) = π (1.58)
1.5. INTEGRALELE LUI EULER 39 Demonstrţie Formul (1.55) se deduce imedit. Γ(1) = + Pentru deduce (1.56) integrăm prin părţi. Γ(p + 1) = + 0 0 e x dx = e x + 0 = 1. x p e x dx = e x x p + 0 + + 0 px p 1 e x dx = pγ(p). Dcă în definiţi funcţiei Bet, fcem schimbre de vribilă y = 1 x, obţinem imedit formul (1.57). Pentru formul (1.58), fcem schimbre de vribilă x = sin t B(p, q) = 1 0 dx + π = x(1 x) 0 1 sin t cos tdt = π sin t cos t Corolrul 1.5.1 Din (1.56) deducem Γ(n + 1) = n! (1.59) Γ(n + 1 (n 1)... 31 ) = Γ( 1 n ) (1.60) Teorem 1.5.5 (Legătur dintre Gmm şi Bet) Are loc următore formulă B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q). (1.61) Demonstrţie În formul (1.54) de definiţie funcţiei Bet fcem schimbre de vribilă t = 1 x şi deducem x B(p, q) = formul pe cre o vom înlocui mi jos B(p, q)γ(p + q) = + 0 + 0 t q 1 dt (1 + t) p+q t q 1 dt (1 + t) p+q + 0 x p+q 1 e x dx.
40 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI În integrl interioră fcem schimbre de vribilă x = (1 + t)y şi găsim B(p, q)γ(p+q) = + 0 = t q 1 dt (1 + t) p+q + 0 t q 1 dt + 0 + În ultim integrlă schimbăm ordine de integrre B(p, q)γ(p + q) = 0 + 0 (1+t) p+q 1 y p+q 1 e (1+t)y (1+t)dy = y p+q 1 e (1+t)y dy =. y p+q 1 e y dy + ir ın ultim integrlă fcem schimbre ty = u. Atunci găsim B(p, q)γ(p + q) = + 0 y q 1 e y dy + 0 0 t q 1 e ty dt u q 1 e u du = Γ(p)Γ(q) Corolrul 1.5. Următorele firmtii sunt devărte Γ( 1 ) = π (1.6) + 0 e x dx = Teorem 1.5.6 (Formul lui Wllis) Are loc π (1.63) π = lim n + ( ) 1 4... n = lim n + 1 1 3... (n 1) n + 4n (n!) 4 (n!) (n + 1) (1.64) Demonstrţie În formul (??) de definiţie funcţiei B fcem schimbre de vribilă x = sin θ cre plică biunivoc [0, 1] în [0, π ] şi găsim B(p, q) = π 0 sin p 1 θ cos q 1 θdθ. (1.65) În (1.65) luăm p = m+1, şi găsim π 0 sin m θdθ = 1 B(m + 1, 1 ).
1.5. INTEGRALELE LUI EULER 41 Folosind monotoni integrlei găsim şi dcă ţinem cont de (1.61), vem B(m + 1, 1 ) < B(m + 1, 1 ) < B(m, 1 ) Γ(m + 1)Γ( 1) Γ(m + 3) < Γ(m + 1)Γ( 1) Γ(m + 1) < Γ(m)Γ( 1 ) Γ(m + 1 ) Γ(m) Amplificăm ultim relţie cu Γ(m + 1 şi ţinem cont de (1.56) ) mγ(m) (m + 1)Γ(m + 1) < Γ(m + 1) Γ(m + 1) < Din ultim relţie deducem imedit Γ(m) Γ(m + 1 ) m m + 1 < Γ (m + 1 Γ(m)Γ(m + 1) < 1 Amplificăm ultim relţie cu m+ 1 m 1 < m + 1 m Folosind din nou (1.56), deducem relţie din cre se obţine şi deducem Γ (m + 1 Γ(m)Γ(m + 1) < m + 1 m. lim (m + 1 ( Γ(m + 1 m + ) ) ) = 1 (1.66) Γ(m + 1) Γ(m + 1) Γ(m + 1) = 1 m! (m 1 )(m 3 )... 1 Γ(1 1 3... (m 1) ) = π = m! m Înlocuind în (1.66), deducem = m! m (m!) π. de unde rezultă imedit (??). (m + 1 lim )((m)!) π = 1 m + ( m (m!) )
4 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI Teorem 1.5.7 (Formul lui Stirling) Demonstrţie Are evident loc Următore formulă este devărtă n! = πn n+ 1 e n+ω n, 0 < ω n < 1 1n ln n! = n ln k k= ir ln k pote fi proximt, după cum rezultă din figur (1.67) ln k = k k 1 ln xdx + 1 (ln k ln(k 1)) ε k (1.68) unde ε k = k ln xdx 1 (ln k + ln(k 1)). În relţi (1.68) prntez rotundă k 1 semnifică ri triunghiului dreptunhgic ABC, ir în definiţi lui ε k, prntez reprezintă ri trpezului ABB A. Să evluăm ε k ε k = (x ln x x) k k 1 1 ln k(k 1) = (k 1 ) (ln k ln(k 1)) 1 Un clcul simplu ne rtă că ε k = k 1 ( ln(1 + 1 k 1 ) ln(1 1 ) k 1 ) 1 şi dcă folosim dezvoltre în serie logritmului, deorece < 1 obţinem k±1 ε k = k 1 ( ) 1 k 1 + 1 3(k 1) +... 1 3 (m + 1)(k 1)... 1 = m+1 = 1 3(k 1) + 1 5(k 1) +... 1 4 < 1 3(k 1) = ( 1 + 1 (m 1)(k 1) +... < m ) = 1 (k 1) + 1 (k 1) +... 4 1 1 3(k 1) 1 1 = (k 1) 1 1k(k 1).
1.5. INTEGRALELE LUI EULER 43 1 Deorece ε k <, rezultă că seri cu termenul generl ε 1k(k 1) k este convergentă, deci există α = + k= ε k. Rezultă α ω n := n ε k = k= + ε k + k= k=n+1 ε k. Să observăm că expresi nottă mi sus prin ω n stisfce 0 < ω n < Sumând după k relţi (1.68) găsim k=n+1 1 k(k 1) = 1 1n. ln n! = (n + 1 ) ln n n + 1 α + ω n şi notăm ln C = 1 α. Din relţi precedentă deducem prin inversre n! = Cn n+ 1 exp n+ω n (1.69) Pentru determinre constntei C, înlocuim în formul lui Wllis π = lim n + de unde rezultă C = π 4n C 4 n (n+1) e 4n+4ω n c (n) 4n+1 e 4n+ω 4n (n + 1) = lim n + c n (n + 1) = c 4 O consecinţă cestei formule, de mre importnţă pentru clculul probbilităţilor, este următore teoremă cre proximeză formul termenului generl l binomului lui Newton din dezvoltre (p + q) n, p + q = 1 p > 0, q > 0 cu o funcţie exponenţilă, pentru vlori forte mri le lui n. Teorem 1.5.8 (Teorem Moivre-Lplce) Dcă p, q > 0, p + q + 1, tunci lim n + Ck np k q n k = lim n + 1 πnpq e (k np) npq. (1.70) Demonstrţie Notăm x = k np, de unde n k = nq x şi proximăm fctorilele cu formul lui Stirling. Avem C k np k q n k = n! k!(n k)! px+np q nq x =
44 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI = πn (n+ 1 ) e ( n+ωn ) πk (k+ 1 ) e ( k+ω k) (n k) ( n+k+ 1 ) e ( n+k+ω n k) px+np q nq x = = eα n n π (x + np)(nq x) (1 + x np ) x np (1 x nq ) nq+x, unde α n tinde l 0, dcă n +. Notăm cu N produsul ultimelor două prnteze şi vem Cnp k k q n k = eαn n N. (1.71) π (x + np)(nq x) Deorece pentru n suficient de mre u loc mjorările x np dezvoltre în serie logritmului vem < 1, x nq ln N = ( np x) ln(1 + x np ) + ( nq + x) ln(1 x nq ) = < 1, utilizând = ( np+x)( x np x n p +...)+( nq+x)( x nq x x...) = n q npq +O( 1 n ). Deducem că N = e x 1 npq + O( n ). Înlocuind în (1.71) şi trecând l limită, deducem firmţi Teorem 1.5.9 (Formul lui Guss) Γ(p) = lim n + n!n p p(p + 1)... (p + n) (1.7) Demonstrţie Are loc e x = folosind integrre prin părţi. n (1 x n )n x p 1 dx = (1 x xp )n n 0 n lim (1 t n + n )n. Să evluăm următore integrlă p n 0 n p ( 1 n ) n = n 1 (1 x p n 0 n )n 1 x p n! 1 dx =... = p(p + 1)... (p + n 1 n!n p = p(p + 1)... (p + n) Se pote demonstr că Γ(p) = + 0 x p 1 e x dx = lim n + şi folosind rezulttul precedent, deducem (1.7). n 0 0 (1 x n )n 1 x p dx = n n n 0 (1 x n )n x p 1 dx x p+n 1 dx =
1.5. INTEGRALELE LUI EULER 45 Teorem 1.5.10 (Formul complementelor ) Dcă p (0, 1) tunci re loc Γ(p)Γ(1 p) = π sin πp (1.73) Demonstrţie Înlocuim în formul lui Guss şi găsim Γ(p)Γ(1 p) = lim n + lim n + n!n p n!n 1 p p(p + 1)... (p + n)(1 p)( p)... (n + 1 p) = n(n!) (n + p 1)p(1 p )... (n p ) = lim n + Vom folosi dezvoltre funcţiei sinus în produs infinit [ ] sin x = x (1 x n π n=1 1 p(1 p )(1 p )... (1 p ). n în cre dcă fcem schimbre x = πp, găsim exct relţi precedentă
46 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITĂ ŞI GENERALIZĂRI
Cpitolul Ecuţii diferenţile.1 Ecuţi diferenţilă de ordinul 1 Form generlă e unei ecuţii diferenţile ordinre de ordinul 1 este y (x) = f(x, y) (.1) x (, b) este funcţi necunos- unde x este vribil independentă, y = y(x), cută, y (x) = dy este derivt, ir f : D R, dx D R este o funcţie continuă. Definiţi.1.1 Numim soluţie ecuţei (.1) funcţi y : (, b) R, y = y(x) derivbilă pe (, b) cre verifică identic ecuţi (.1), dică y (x) = f(x, y(x)), x (, b). Interpretre geometrică Soluţi este o curbă în plnul x0y, vând în fiecre punct tngentă cre vriză continuu in rport cu punctul. Curb se numeşte curbă integrlă şi pote fi dtă crtezin explicit, dică y = y(x) su crtezin implicit dică F (x, y) = C. Mulţime tuturor curbelor soluţie se numeşte soluţie generlă. Exemplu Pentru ecuţi y = y x funcţi y(x) = c, c R este soluţi generlă, cee ce se verifică imedit. x Dcă nu putem găsi soluţi exctă unei ecuţii, este posibil să rezolvăm grfic ecuţi punând în evidenţă câmpul direcţiilor. 47
48 CAPITOLUL. ECUAŢII DIFERENŢIALE O soluţie prticulră pote fi determintă prin impunere unor condiţii, de exemplu condiţii iniţile de form y(x 0 ) = y 0, x 0 (, b). (.) Numim problemă Cuchy determinre unei soluţii ecuţiei (.1) cre stisfce o condiţie de form (.). Geometric, cest revine l determinre unei curbe integrle cre să tecă printr-un punct dt (x 0, y 0 ). Vom stbili o teoremă de existenţă şi unicitte, în numite ipoteze supr lui f soluţiei problemei Cuchy, pe o vecinătte în jurul lui x 0. Metode elementre de rezolvre Următorele tipuri de ecuţii clsice dmit soluţie exprimbilă prin formule în cre intervin integrle si cre se numesc ecuţii integrbile prin cudrturi. 1. Ecuţii de form y (x) = f(x) Considerăm problem Cuchy de form { y (x) = f(x) y(x 0 ) = y 0 (.3) unde x (, b) şi f este o funcţie continuă pe (, b). Soluţi problemei Cuchy este de form y(x) = y 0 +. Ecuţii cu vribile seprbile x x 0 f(t)dt. (.4) Considerăm problem Cuchy de form { y (x) = f(x)g(y) y(x 0 ) = y 0 (.5) unde x (, b) şi f este o funcţie continuă pe (, b) ir g este o funcţie continuă şi nenulă pe (c, d). Soluţi problemei Cuchy este de form y(x) = G 1 ( f(t)dt). x 0 (.6) Într-devăr dcă scriem ecuţi sub form x