Grafičke primiive. D DODIMENZIJSKE PRIMITIE D TOČKE omogena koordinaa (proivoljna a obično je ) sjeciše paralelni pravaca (očka u može se apisai) jedinsven apis osnovni geomerijski ransformacija dodane mogućnosi kod paramearskog prikaa krivulja =(, ) X= (,, ) ili X= (,, ) Točka u je (,, ). Kombinacija (,, ) nije dovoljena. Npr. (, 5) (, 5, ) preslikavanje i n prosora u n+ (4,, ) (, 4) (4, 8, ) Ž. M, ZEMRIS, FER -
D PRC implicini oblik uvođenje omogene koordinae omogena jednadžba a b c a b c a b c marični apis XG n a b c a c b a b vekor normale b a vekor angene po dogovoru uvodimo: XG,,, X X X je "inad" pravca je na pravcu je "ispod" pravca Ž. M, ZEMRIS, FER -
Ž. M, ZEMRIS, FER - dvije očke određuju pravac (vekorski produk) dva pravca sijeku se u očki (vekorski produk) ako je = G G jer se sijeku u G X X G k j i k j i k j i ) ( ) ( ) ( X X c b a c b a G G X G G X b a a b c a a c c b b c k j i c b a c b a k j i ) (
Ž. M, ZEMRIS, FER -4 NPR: 4 8 8 6 4 4 6 k j i k j i k j i X X G ) 4 (6 ) ( X X X 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 X 4 4) 6 (4 ) 9 (6 X X 48 4 6 4 9 6 k j i k j i X X G angene vekor vekor normale 4 4 n n amjena redoslijeda očaka uječe na orijenaciju pravca
Ž. M, ZEMRIS, FER -5 D TRNSFORMCIJE TRNSLCIJ (POMK) T- marica ranslacija Δ T
Ž. M, ZEMRIS, FER -6 ROTCIJ oko isodiša a ku suprono smjeru kaaljke na sau važno je obraii pažnju da se radi o roaciji oko isodiša R cos sin sin cos cos sin sin cos
Ž. M, ZEMRIS, FER -7 SKLIRNJE (promjena mjerila) negaivan prednak -s ( ili -s ) daje rcaljenje oko koordinani osi ( ili ) s s S s s.5 s s s učinak kao dajeisi
Ž. M, ZEMRIS, FER -8 SMIK - udužne ransformacije g g g g p://www.dm-sugar.de/~rk/files/compueranimaion/affine_ransformaion/apple/affine_ransform_apple.ml p://www.vis.uni-sugar.de/~kraus/livegrapicsd/cagd/capfig4.ml
Ž. M, ZEMRIS, FER -9 INERZNE TRNSFORMCIJE ranslacija - inver marice ranslacije odgovara invernoj ransformaciji j. pomaku u supronom smjeru roacija - inverna marice roacije odgovara invernoj ransformaciji j. roaciji u supronom smjeru T cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos R
Ž. M, ZEMRIS, FER - skaliranje - inver marice skaliranja odgovara invernoj ransformaciji j. povećavanje odgovara smanjivanju TRNSFORMCIJ PRC ransformacija očke u maricom je = pravac G ransformiramo u G invernom maricom G = - G neformalni doka: neka je G = G = j. ko očka leži na pravcu G, slika očke leži na slici pravca G. ko je G = - G = - G = G = - G s s s s S
ŽNO operacije su sadržane u podacima (maricama), a ne u insrukcijama adnji supac u navedenim maricama je: šo nači da su ransformacije FINE.j. čuvaju paralelnos pravaca. ransformacije ranslacije, roacije i skaliranja (s =s ) čine akođer orogonalno preslikavanje j. čuvaju kueve kod korišenja više uasopni ransformacija bian je redoslijed i ransformacija (ao šo množenje marica nije komuaivno) *** p://www.cs.princeon.edu/~min/cs46/jar/ransform.ml ** p://www.cs.ri.edu/~icss57/cliptrans/ransformaion.ml ***p://www.cs.brown.edu/eploraories/freesofware/reposior/edu/brown/cs/eploraories/apple s/ransformaiongame/ransformaion_game_java_browser.ml Ž. M, ZEMRIS, FER -
. D TRODIMENZIJSKE PRIMITIE D TOČKE omogena koordinaa (proivoljna a obično je ) =(,, ) X= (,,, ) ili X= (,,, 4 ) 4 4 4 4 4 4 Točka u je (,,, ). Kombinacija (,,, ) nije dovoljena. KOORDINTNI SUST Desni (lijevi) koordinani susav: kada se gleda i poiivnog smjera osi prema isodišu roacija a 9 suprono smjeru (u smjeru) kaaljke na sau daje akreanje osi. Gledano i: daje akreanje: DESNI Ž. M, ZEMRIS, FER - LIJEI
D PRC Paramearski prika pravca Proširenje eksplicinog ili implicinog oblika jednadžbe pravca i dvodimenijskog prosora a još jednu koordinau neće dai pravac u rodimenijskom prosoru. 4 a b c d a b c d X 4 T L L je karakerisična marica pravca je paramear Ž. M, ZEMRIS, FER -
Ž. M, ZEMRIS, FER -4 pravac je određen s dvije očke dvije očke uvrsimo u paramearsku jednadžbu pravca: ovaj oblik vrijedi i u D prosoru linearna inerpolacija p://www.cs.ecnion.ac.il/~cs45/pples/newpples/eperimens/inerpolaion.ml = =,, TL 4 d c b a L L TL
RNIN Jednadžba ravnine u implicinom obliku a a b c d4 4 b R c d a a b R normala na ravninu odredena je vekorom n b c c d po dogovoru uvodimo: R,,, je "inad" ravnine R je na ravnini R je "ispod" ravnine R n Ž. M, ZEMRIS, FER -5
Ž. M, ZEMRIS, FER -6 RNIN Jednadžba ravnine u paramearskom obliku R je karakerisična marica ravnine u, v su parameri koji određuju očku u ravnini 4 4 4 4 c vb u a c vb u a c vb u a c vb u a 4 4 4 4 c c c c b b b b a a a a v u R v u
Ž. M, ZEMRIS, FER -7 ravnina je određena s ri očke (koje nisu kolinearne) ri očke uvrsimo u paramearsku jednadžbu ravnine:.,,,,,,,, v u v u v u R v u R v u v u v u v u v u u =, v = u =, v = u =, v =
Ž. M, ZEMRIS, FER -8 normala na ravninu površina rokua Npr. = (,, ) = (, 4, ) = (,, ) = (-, 4, ), = (-,, ) jedinična normala na ravninu n P 6 6 4 4k j i 8k 6j i k j i P n n n P p://www.p.sr.edu/courses/java-suie/crosspro.ml p://www.slu.edu/classes/mamk/skecpadpples/projeciondocrossproduc.ml
presjek ri ravnine je očka (koje nisu koplanarne) R R R,,. očke leži u sve ri ravnine. Q R R R d d d d Q presjek dvije ravnine je pravac (koje nisu koplanarne) Ž. M, ZEMRIS, FER -9
Ž. M, ZEMRIS, FER - D TRNSFORMCIJE TRNSLCIJ (POMK) T- marica ranslacija Δ T
Ž. M, ZEMRIS, FER - ROTCIJ oko osi a ku suprono smjeru kaaljke na sau oko osi a ku suprono smjeru kaaljke na sau oko osi a ku suprono smjeru kaaljke na sau cos sin sin cos R cos sin sin cos R cos sin sin cos R
Ž. M, ZEMRIS, FER - SKLIRNJE (promjena mjerila) SMIK (udužne deformacije) TRNSFORMTION S S s s s D D g g g g g g
INERZNE TRNSFORMCIJE ranslacija - inverna marice ranslacije odgovara invernoj ransformaciji j. pomaku u supronom smjeru, odnosno mijenja se prednak pomaka duž pojedini osi roacija inverna marice roacije odgovara invernoj ransformaciji j. roaciji u supronom smjeru, odnosno mijenja se prednak kua roacije skaliranje - inverna marice skaliranja odgovara invernoj ransformaciji j. povećavanje odgovara smanjivanju, odnosno mijenja se fakor skaliranja u recipročnu vrijednos Ž. M, ZEMRIS, FER -
PODJEL TRNSFORMCIJ ransformacije čvrsog ijela (engl. rigid bod) - čuva udaljenosi ranslacija, roacija ransformacije sličnosi (engl. similari) - čuva kuove jednoliko skaliranje, Ž. M, ZEMRIS, FER -4
PODJEL TRNSFORMCIJ fine - čuva paralelnos pravaca nejednoliko skaliranje s s, rcaljenje smik udužne ransformacije projekivne - linije osaju linije perspekivna projekcija nelinearne - linije posaju krivulje uvijanje p://www.cs.brown.edu/eploraories/freesofware/reposior/edu/brown/cs/eploraories/apples/coordinaetr ansformaions/coordinae_ransformaions_java_browser.ml Ž. M, ZEMRIS, FER -5
projekivno preslikavanje afine ransformacije ransformacije sličnosi linearne r. ransformacije čvrsog ijela TRNSLCIJ d ROTCIJ JEDNOLIKO SKLIRNJE SKLIRNJE ZRCLJNJE SMIK PERSPEKTIN PROJEKCIJ L L P Q LP LQ P LP Ž. M, ZEMRIS, FER -6
. TRNSFORMCIJ POGLED I PROJEKCIJE projekcija - kamera Ž. M, ZEMRIS, FER -7
TRNSFORMCIJ POGLED view-up Očiše OBJEKT SUST OK SUST SCENE Glediše RNIN PROJEKCIJE TRNSLCIJ ROTCIJ OKO Z-osi ROTCIJ OKO Y-osi ZRCLJENJE Ž. M, ZEMRIS, FER -8
SUST OK TRNSLCIJ OBJEKT RNIN PROJEKCIJE SUST SCENE RNIN PROJEKCIJE SUST OK ROTCIJ OKO Z-osi OBJEKT SUST SCENE Ž. M, ZEMRIS, FER -9
RNIN PROJEKCIJE OBJEKT SUST OK SUST SCENE ROTCIJ OKO Y-osi RNIN PROJEKCIJE SUST OK POKLPNJE osi OBJEKT SUST SCENE Ž. M, ZEMRIS, FER -
KOORDINTE U SUSTU SCENE TRNSFORMCIJ POGLED KOORDINTE U SUSTU OK PROJEKCIJ KOORDINTE U SUSTU PROJEKCIJE UREĐJ NORMIRNJE KOORDINT Ž. M, ZEMRIS, FER -
TRNSFORMCIJ POGLED posupak kojim koordinani susav očiša ransformiramo u koordinani susav scene kako bi mogli primijenii ransformaciju projekcije isodiše koordinanog susava oka - može bii cenar projekcije - udaljenos očiša od ravnine projekcije IEW UP vekor je vekor okomi na -os i određuje roaciju oko vlasie osi promarača ODREZINJE OBZIROM N OLUMEN POGLED (frusum) kvadar piramida STRŽNJ RNIN ODREZINJ obično je o ravnina projekcije (engl. back clipping plane) PREDNJ RNIN ODREZINJ (engl. fron clipping plane) Ž. M, ZEMRIS, FER -
PROJEKCIJ paralelna orografska ( orogonalne) kosa perspekivna p://olli.informaik.uni-oldenburg.de/grafii/grafiinav/flow9/page.ml#ref_id5 p://www.cs.princeon.edu/~min/cs46/jar/reed.ml NORMIRNJE KOORDINT U SUSTU PROJEKCIJE koordinae u susavu ovora (engl. viewpor) koordinae obirom na granice proora normirane koordinae u susavu uređaja NCD OTOR OTOR OBJEKT Ž. M, ZEMRIS, FER -
Ž. M, ZEMRIS, FER -4 PROJEKCIJE projekori - rake kojima se obavlja projekcija PRLELN PROJEKCIJ - projekori su paralelni orografska - projekori su okomii na podlogu orogonalne projekcije na ravnine,,. Npr. ravnina. kose - projekori su koso prema podloi ORTOGRFSK KOS
PERSPEKTIN PROJEKCIJ - projekori idu i cenra projekcije kro vrove objeka C - cenar projekcije ijela koja su bliže promaraču veća su u projekciji PERSPEKTIN PROJEKCIJ Ž. M, ZEMRIS, FER -5
Ž. M, ZEMRIS, FER -6 CENTR PROJEKCIJE JE U ISODIŠTU RNIN PROJEKCIJE = (,, ) S = ( S, S ) CENTR PROJEKCIJE S S slično S S S S S C
Ž. M, ZEMRIS, FER -7 ako je ijelo ia ravnine projekcije CENTR PROJEKCIJE MOŽE BITI N OSI RNIN PROJEKCIJE U ISODIŠTU S S S S S S S S 4 površina uklanjnane skriveni linija i će nam kasnije a reba od očisa jer daje udaljenos koordinau objeka želimo sačuvai ~ ~ 4 4 S S
Perspekivno ispravna inerpolacija -koordinae Ž. M, ZEMRIS, FER -8
Ž. M, ZEMRIS, FER -9 Perspekivno ispravna inerpolacija -koordinae (, ) (, ) C? u u u
Ž. M, ZEMRIS, FER -4 a neki paramear, ijednači ćemo perspekivno projiciranu očku () sa linearno inerpoliranom (u) očkom u prosoru projekcije imeđu očaka i po koordinai i odredii a koji o vrijedi. uvršavanje dobivenog u ira ( - ) +, daje nelinearnu ovisnos (u) provjera a u = i u = u u u u u p://www.neilwallis.com/d/inde.m p://groups.csail.mi.edu/grapics/classes/6.87/f/lecure8/subdvision-pple.ml p://www.cs.unc.edu/~andrew/comp6/w6/
NORMIRNJE KOORDINT orografska projekcija olumen pogleda određuju l - lijeva ravnina odsijecanja (min. koordinaa) - r - desna ravnina odsijecanja (ma. koordinaa) - gornja ravnina odsijecanja (min. koordinaa) - b - donja ravnina odsijecanja (ma. koordinaa) n - prednja ravnina odsijecanja (min. koordinaa) f - sražnja ravnina odsijecanja (ma. koordinaa) - f l n r ORTOGRFSK PROJEKCIJ b Ž. M, ZEMRIS, FER -4
Ž. M, ZEMRIS, FER -4 l - lijeva ravnina odsijecanja (min. koordinaa) r - desna ravnina odsijecanja (ma. koordinaa) l r - l r l r l r l r l - n f n f b b l r l r n f b l r R PROJECTION