3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0 5 Pa
3/8/03 TENZOR NAPONA Telo je opterećeno spoljašnjim silama U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje sile ravan preseka A n Svaka ravan ima normalu na ravan n Posmatramo tačku A u ravni Kroz tačku A možemo da postavimo beskonačno mnogo ravni i 3 n A n ravan preseka Posmatramo tri ravni kroz tačku O Ravni su upravne među sobom Normala ravni 0z je osa ravan preseka Normala ravni 0 je z osa z ravan 0z Normala ravni 0z je osa ravan 0z 0 Znači: svakoj ravani koja je paralelna ravni 0z normala na ravan je paralelna osi svakoj ravani koja je paralelna ravni 0 normala na ravan je paralelna z osi ravan 0 svakoj ravani koja je paralelna ravni 0z normala na ravan je paralelna osi 4
3/8/03 ravan 0z z ravan 0z Svaku silu kroz tačku O možemo Projektovati na jednu od tri ravni i na normalu na tu ravan Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni 0 ravan 0 Sila je prikazana preko projekcija pa nam više nije potrebna Silu u ravni 0 možemo projektovati na ose i Uklonićemo i tu silu jer je menjaju projekcije Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca 5 F da l l ravan preseka F A n n t da t Dobili smo napon u pravcu normale n to je normalni napon i dva smičuća napona u ravni preseka t i l 6 3
3/8/03 Znači: za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno mnogo normalnih i smičućih napona ože se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi z ravan 0z Normalni naponi ravan 0z 0, i zz Smičući naponi, z,, z, z i z ravan 0 7 z A z z zz z z z z z z zz 0 da U matričnom zapisu imamo Kako čitamo: z - smičući napon u tački u pravcu z ose za ravan sa normalom u pravcu pravac normale na ravan pravac napona 8 4
3/8/03 z z z z zz Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona B A ravno stanje napona linearno stanje napona 9 Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki Stav o konjugovanosti smičućih napona =, z = z, z = z Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati Tri normalna napona i tri smičuća napona z z z z zz 0 5
3/8/03 RAVNO STANJE NAPONA Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose Tada je naponsko stanje ravno Normalni naponi, i zz Smičući naponi, z,, z, z i z B A Tenzor napona za ravno stanje napona Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao sa osom A n Poznajemo napone -normalni napon n cos sin -smičući napon n sin cos n D C n 6
3/8/03 Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi) Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona tg Dobijamo dva međusobno upravna pravca i Ako je 0 osa prolazi kroz I i III kvadrant Ako je 0 osa prolazi kroz II i IV kvadrant Vrednosti glavnih napona tada su ( ) 4 ( ) 4 II I III IV -maksimalni glavni napon -minimalni glavni napon 3 Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao *U ravni glavnih osa smičući napon je jednak nuli. τ=0 ma ( ) 4 ( Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45 ) s ma /4 Njemu odgovarajući normalni napon je s ( ) ( ) 4 7
3/8/03 orov krug napona n n To je jednačina kruga sa centrom C ; 0 i poluprečnikom ( ) 4 5 Kako ga konstruišemo. Nacrtamo koordinatni sistem 0. Odredimo tačke A(; ) B(; ) 3. Spojimo tačke A i B i gde seku osu tu je centar kruga 4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti napona i 5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu pravu). One se seku na krugu. To je pol P 6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim vrednostima napona i 6 8
3/8/03 - B 0 0 00 90 80 70 50 40 30 0 0 80 70 50 40 30 0 0 0 P + /4 =50-0 30 40 50 70 80 90 00 0 0 - ma n C N n 0 0 30 40 50 70 80 90 00 0 0 + A + A(; ) B(; ) 7 Specijalna naponska stanja -Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje 0 - zatezanje 0 - pritisak A -tenzor napona =0 = =0 =0, ( 0 ) -pritisak 4 -zatezanje 8 9
3/8/03 Specijalna naponska stanja -Čisto smicanje A =0 =0, ( ) 4 0 4 z Specijalna naponska stanja -Izotropno stanje = A, ( ) 4 0 0 0
3/8/03 ZADATAK. 00 U tački zadato je ravno stanje napona (pa) Odrediti analitički i grafički pomoću orovog kruga napona: -normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50 sa -osom, -glavne pravce i glavne napone -maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon -skicirati orjentirane elemente u tački za svaki koordinatni sistem sa ucrtanim komponentama napona. B A ravno stanje napona ANALITIČKO REŠENJE a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati su izrazima -normalni napon n cos sin -smičući napon n sin cos n D C n
3/8/03 vrednosti trigonometrijskih funkcija cos=cos(00 )=-0.7365 sin=sin(00 )=0.9848 00 00 n ( 0.7365) 0.9848 65.0 00 n 0.9848 ( 0.7365) 89.0 Pa D n C n b) Pa *na slici b) prikazani su ovi naponi. Normalni napon je pozitivan i smer mu je u smeru normale na ravan. Smičući napon je pozitivan i deluje u smeru kao na slici. Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u pozitivnom matematičkom pravcu smer napona poklopi sa smerom normale na ravan. 3 Glavni pravci i glavni naponi 00, ( ) 4 (00 ) 4 0 40000 0 00 0 Pa =-80 Pa ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom ose * tg 0. 75 ( ) (00 ) o 36.87 8.435 ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose o *U ravni glavnih osa smičući napon je jednak nuli. τ=0 4
3/8/03 aksimalni smičući napon ma 4 00 4 00 Pa ravni u kojoj je smičući napon maksimalan zaklapa sa glavnim pravcima ugao od π/4 (45 ) U odnosu na osu taj ugao je α+π/4=8.435+45=63.435 odgovarajući normalni napon s 00 0 Pa s ma /4 5 - B(-;) 0 0 00 90 80 70 50 40 30 0 0 80 70 50 40 30 0 0 0 P + /4 =50 0 30 40 50 70 80 90 00 0 0 - ma=00 n=89,0 C(0; 0) n=65,0 N 0 0 30 40 50 70 80 90 00 0 0 + A(00;-) A(; ) B(; ) 00 - + 6 3
3/8/03 - B(-;) 0 0 00 90 80 70 50 40 30 0 0 80 70 50 40 30 0 0 0 P + /4 =50 0 30 40 50 70 80 90 00 0 0 - ma=00 N n=89,0 n=65,0 0 0 30 40 50 70 80 90 00 0 0 + A(00;-) A(; ) B(; ) - + 7 4