Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins 0 L ce pote fi util un curs de clcul diferenţil şi integrl pentru un student de nul întâi cre doreşte sǎ fie licenţit în informticǎ? 9 I Introducere 9 1 Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ l o mulţime: sunt noţiuni fundmentle în mtemticǎ. 9 2 Simboluri folosite în teori mulţimilor. 9 3 Operţii cu mulţimi. 10 4 Relţii binre. 12 5 Funcţii. 14 6 Funcţi compusǎ. Invers unei funcţii. 16 7 Simboluri logice. 17 8 Afirmţi contrrǎ, teorem contrrǎ şi teorem reciprocǎ. 18 9 Condiţie necesrǎ şi condiţie suficientǎ. 19 1
II Clcul diferenţil şi integrl pentru funcţii rele de o vribilǎ relǎ 20 10 Elemente de topologie în R 1. 20 11 Şiruri de numere rele. 21 12 Convergenţ şirurilor de numere rele. 22 13 Reguli privind convergenţ şirurilor de numere rele. 23 14 Punct limitǎ l unui şir de numere rele. 27 15 Serii de numere rele. 28 16 Reguli privind convergenţ seriilor de numere rele. 31 17 Serii bsolut convergente. 36 18 Limit într-un punct unei funcţii. 38 19 Reguli privind limit funcţiei într-un punct. 40 20 Limite lterle. 42 21 Limite infinite. 44 22 Punctele limitǎ le unei funcţii într-un punct. 46 23 Continuitte unei funcţii într-un punct. 47 24 Reguli privind continuitte unei funcţii într-un punct. 48 25 Proprietǎţi le funcţiilor continue. 49 26 Şiruri de funcţii. Mulţime de convergenţǎ. 53 27 Convergenţ uniformǎ unui şir de funcţii şi continuitte. 54 28 Şiruri de funcţii rele egl continue şi egl mǎrginite. 55 2
29 Serii de funcţii. Convergenţǎ şi convergenţ uniformǎ. 56 30 Criterii de convergenţǎ pentru serii de funcţii. 58 31 Serii de puteri. 59 32 Operţii cu serii de puteri. 61 33 Derivbilitte funcţiilor. 62 34 Reguli de derivbilitte. 64 35 Extreme locle. 69 36 Proprietǎţi fundmentle le funcţiilor derivbile. 70 37 Derivbilitte (diferenţibilitte) de ordin superior. 73 38 Polinome Tylor. 74 39 Teorem de clsificre punctelor de extrem. 79 40 Integrl Riemnn-Drboux. 80 41 Proprietǎţi le integrlei Riemnn-Drboux. 82 42 Clse de funcţii integrbile Riemnn-Drboux. 87 43 Teoreme de medie. 90 44 Teorem fundmentlǎ de clcul integrl. 91 45 Tehnici de determinre primitivelor. 93 45.1 Integrre prin pǎrţi.............................. 94 45.2 Schimbre de vribilǎ............................ 95 46 Integrle improprii. 97 3
47 Serii Fourier. 99 48 Diferite forme le seriei Fourier. 104 III Clcul diferenţil şi integrl pentru funcţii de n vribile rele 109 49 Elemente de topologie în R n. 109 50 Limit într-un punct unei funcţii de n vribile. 113 51 Continuitte funcţiilor de n vribile. 114 52 Proprietǎţi remrcbile le funcţiilor continue de n vribile. 116 53 Diferenţibilitte funcţiilor de n vribile. 117 54 Proprietǎţi fundmentle le funcţiilor diferenţibile. 123 55 Diferenţilǎ de ordin superior. 127 56 Teoremele lui Tylor. 129 57 Teoreme de clsificre extremelor locle. 130 58 Extreme condiţionte. 131 59 Integrl Riemnn-Drboux dublǎ pe un intervl bidimensionl. 132 60 Clculul integrlei Riemnn-Drboux duble pe un intervl bidimensionl. 135 61 Integrl Riemnn-Drboux dublǎ pe o mulţime mǎsurbilǎ Jordn. 138 62 Clculul integrlei Riemnn-Drboux duble pe o mulţime mǎsurbilǎ Jordn. 144 63 Integrl Riemnn-Drboux pe o mulţime n-dimensionlǎ mǎsurbilǎ Jordn. 147 4
64 Clculul integrlei Riemnn-Drboux pe o mulţime n-dimensionlǎ mǎsurbilǎ Jordn. 153 65 Curbe simple şi curbe simple închise. 154 66 Integrl curbilinie de speţ întâi. 161 67 Integrl curbilinie de speţ dou. 163 68 Trnsformre integrlelor duble în integrle curbilinii. 164 69 Suprfeţe simple. 168 70 Integrle de suprfţǎ de speţ întâi. 173 71 Integrle de suprfţǎ de speţ dou. 174 72 Proprietǎţi le integrlelor de suprfţǎ. 175 73 Derivre integrlelor cu prmetru. 177 5
L ce pote fi util un curs de clcul diferenţil şi integrl pentru un student de nul întâi cre doreşte sǎ fie licenţit în informticǎ? Acestǎ întrebre ne- fost pusǎ de mi multe ori chir l primele lecţii de cǎtre studenţii cre u prticipt l curs. Este dificil sǎ dǎm un rǎspuns complet şi convingǎtor l întrebre l început pentru cǎ trebuie sǎ vorbim despre utilitte unor concepte şi instrumente mtemtice pe cre cei cre întrebǎ nu le cunosc încǎ în rezolvre unor probleme cu cre nu s-u întâlnit. Chir dcǎ ş stu lucrurile întrebre nu trebuie şi nu pote fi ocolitǎ. Este necesr sǎ formulǎm un rǎspuns prţil cre rtǎ utilitte cestei discipline în rezolvre unei probleme rele şi o fce interesntǎ pentru viitorii informticieni. Dorim sǎ subliniem ici cǎ pentru studenţii cre u optt pentru licenţǎ în mtemticǎ disciplin de clcul diferenţil şi integrl reprezintǎ o prte consistentǎ edificiului mtemticii pe cre ei trebuie sǎ-l studieze şi problem utilitǎţii nu se pune de obicei în termenii unei utilitǎţi în fr mtemticii. Revenim cum l încercre de formulre unui rǎspuns prţil promis studenţilor informticieni. Dorim sǎ spunem de l început cǎ în cest curs vor fi prezentte concepte şi instrumente clsice de clcul diferenţil şi integrl folosite în nliz funcţiilor rele su vectorile de un su mi multe vribile rele. Pentru ilustr utilitte unor concepte şi instrumente prezentte în curs vom consider problem relǎ de elborre unui mers l trenurilor şi vom sublini ce fzǎ în cre numite concepte şi instrumente de clcul diferenţil sunt utile. Elborre unui mers l trenurilor pentru o reţe de cǎi ferte dtǎ este o problemǎ relǎ şi complexǎ. E se bzezǎ pe: cunoştere restricţiilor de vitezǎ pe reţe; pe cunoştere stţiilor; pe cunoştere mterilului rulnt cre urmezǎ sǎ circule pe reţe; pe opţiuni privind oprire su nu şi stţionre unor trenuri în numite stţii şi pe un clcul prelbil din cre rezultǎ cǎ dcǎ nu intervin lucruri neprevǎzute tunci conform mersului, trenurile nu se ciocnesc. Anumite concepte şi instrumente de clcul diferenţil şi integrl se dovedesc utile tocmi în cest clcul. Vom ilustr un frgment dintr-un semene clcul. Pentru se sigur cǎ trenurile nu se ciocnesc este necesr sǎ cunoştem l fiecre moment poziţi trenurilor cre circulǎ pe ceeşi linie şi sǎ ne sigurǎm cǎ nu existǎ un moment l cre poziţiile douǎ trenuri coincide. Sǎ legem de exemplu lini Timişor Bucureşti pe cre o reprezentǎm cu o curbǎ ÃB c în figur urmǎtore: ir un tren cre circulǎ pe cestǎ linie în intervlul de timp [t 0, t 0 +T ] v fi reprezentt cu un punct P. Dcǎ în intervlul de timp considert sunt mi multe trenuri cre circulǎ pe 6
cestǎ linie v trebui sǎ descriem mişcre fiecǎrui. Pentru descrie mtemtic mişcre unui tren reprezentt cu P, putem soci fiecǎrui moment de timp t [t 0, t 0 +T ] lungime rcului de curbǎ ÃP, unde P este punctul de pe curb ÃB unde se flǎ trenul l momentul t. Se obţine stfel o funcţie f definitǎ pentru t [t 0, t 0 + T ] şi cre re vlori în mulţime [0, l]: f : [t 0, t 0 + T ] [0, l]; l este distnţ pe cle fertǎ de l A l B. Subliniem ici cǎ obiectul pǎrut ici în mod nturl pentru descrie mişcre unui tren, este o funcţie relǎ de o vribilǎ relǎ cre este un obiect mtemtic şi este un subiect de studiu l cursului. Trenul despre cre vorbim, trebuie sǎ sosescǎ l numite ore în stţiile în cre re opriri şi re restricţii de vitezǎ pe prcurs, de cee funcţi f pote fi destul de complictǎ. Cu tote ceste sunt câtev crcteristici le mişcǎrii rele cre trebuie sǎ se regǎsescǎ în proprietǎţile funcţiei f. Astfel, de exemplu, mişcre relǎ este continuǎ; prin cest înţelegem cǎ trenul P junge dintr-o poziţie P 1 într-o poziţie P 2 treptt, trecând prin tote poziţiile intermedire şi nu printr-un slt. Acest însemnǎ cǎ funcţi f cre descrie mişcre chir dcǎ este complictǎ trebuie sǎ ibǎ urmǎtore propriette: oricre r fi t 2 [t 0, t 0 + T ] dcǎ t 1 tinde l t 2 tunci f(t 1 ) tinde l f(t 2 ). O funcţie cu o semene propriette, se numeşte în curs, funcţie continuǎ pe segmentul [t 0, t 0 + T ] şi este studitǎ punându-se în evidenţǎ diferite proprietǎţi le cestei. Prin urmre funcţiile continue studite în cdrul cursului sunt utile, de exemplu, pentru descrie mişcre unui tren pe o linie fertǎ. Dcǎ trenul plecǎ în momentul t 0 din stţi A şi se îndepǎrtezǎ continuu de A fǎrǎ sǎ se oprescǎ pânǎ l momentul t 1 în prim stţie S 1 tunci funcţi f cre descrie mişcre re urmǎtore propriette: oricre r fi t, t [t 0, t 1 ], t < t rezultǎ f(t ) < f(t ). În curs o funcţie cu cestǎ propriette este numitǎ monoton crescǎtore. Tot în curs sunt prezentte şi funcţiile monoton descrescǎtore şi proprietǎţi le funcţiilor monotone. În czul mişcǎrii considerte, cest concept este util pentru cǎ exprimǎ propiere su îndepǎrtre. Dtoritǎ restricţiilor de vitezǎ şi opririlor în stţii vitez trenului depinde de locul în cre se flǎ. Mi exct depinde de momentul t: cest întrucât trenul în intervlul de timp [t 0, t 0 + T ] pote sǎ trecǎ de mi multe ori prin celşi loc. Pentru fl vitez trenului l momentul t 1 se considerǎ vitez medie f(t) f(t 1) pe un intervl de timp t t 1 mic [t, t 1 ] şi limit cestei pentru t tinzând l t 1 reprezintǎ vitez trenului l momentul t 1. În curs cestǎ limitǎ se numeşte derivt funcţiei f în t 1 şi se notezǎ f (t 1 ). Dcǎ trenul se flǎ într-o stţie în intervlul de timp [t 1, t 2 ] tunci vitez lui este zero f (t) = 0 pentru t [t 1, t 2 ]. Dcǎ f (t) > 0, tunci trenul se îndepǎrtezǎ de A, ir dcǎ f (t) < 0 tunci trenul se propie de A. Dcǎ trenul merge cu o vitezǎ constntǎ în intervlul [t 1, t 2 ], tunci f (t) = const pe intervlul [t 1, t 2 ]. Aceste considerţii rtǎ cât de util este conceptul de derivtǎ studit în curs în descriere mişcǎrilor mecnice. În finl subliniem cǎ dintr-un profil de vitezǎ v(t) (cre rezultǎ din restricţii de vitezǎ, fixre priori momentelor de sosire şi plecre din stţii) funcţi f(t) cre descrie mişcre se recuperezǎ folosind formul integrlǎ: f(t) = f(t 0 ) + t t 0 v(τ)dτ. prezenttǎ în curs. Nǎdǎjduim sǎ credem cǎ cestǎ rgumentţie extrem de simplǎ şi prţilǎ reuseşte 7
sǎ convingǎ studenţii informticieni cǎ vor fce cunosţiinţ l cest curs cu obiecte şi rezultte mtemtice utile ce le vor fi de folos în viitore crierǎ de informticin. Cursul scris este prezentt într-o formǎ destul de stndrd forte semǎnǎtor cu un curs prezentt pentru cei cre se pregǎtesc sǎ fie licenţiţi în mtemticǎ. Cursul vorbit însǎ este plin cu comentrii şi exemple menite sǎ ilustreze pe prcurs utilitte şi plicbilitte conceptelor şi rezulttelor l rezolvre unor probleme rele. Autorii 8
Prte I Introducere 1 Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ l o mulţime: sunt noţiuni fundmentle în mtemticǎ. Într-un curs de mtemticǎ riguros, noţiunile cre se folosesc trebuiesc definite. O definiţie descrie o noţiune (A) folosind o ltǎ noţiune (B) presupusǎ cunoscutǎ su în orice cz mi simplǎ decât (A). Noţiune (B) l rândul ei trebuie şi e sǎ fie definitǎ şi în definiţi ei se v folosi o ltǎ noţiune (C) mi simplǎ c (B), şi ş mi deprte. Astfel, în construcţi unei teorii mtemtice, în cre noţiunile sunt definite, se degjǎ un set restrâns de noţiuni simple l cre celellte pot fi reduse şi cre l rândul lor nu sunt definite. Noţiunile din cest set vor fi numite noţiuni fundmentle. Noţiunile fundmentle în mtemticǎ trebuie sǎ fie ş de evidente c sǎ nu necesite definiţii. Semnificţi noţiunilor fundmentle se descrie prin exemple. Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ unui element l o mulţime, sunt noţiuni fundmentle în mtemticǎ. Nu existǎ definiţii precise cestor noţiuni, dr semnificţi lor se pote clrific prin exemple. Sǎ considerǎm noţiune de mulţime. Putem vorbi fǎrǎ nici o mbiguitte despre: mulţime studenţilor dintr-o slǎ de curs, mulţime zilelor dintr-un n, mulţime punctelor dintr-un pln, etc. În czurile enumerte; fiecre student din sl de curs, fiecre zi nului, fiecre punct l plnului este un element l mulţimii respective. Atunci când se considerǎ o mulţime concretǎ cee ce este esenţil este c sǎ existe un criteriu în bz cǎrui se pote decide pentru orice element dcǎ prţine su nu prţine l mulţime. Astfel, în czul mulţimii zilelor unui n; 20 mi, 3 iulie, 29 decembrie sunt elemente le mulţimii, ir miercuri, vineri, ziu liberǎ, ziu lucrǎtore nu sunt elemente le mulţimii. În czul mulţimii punctelor dintr-un pln dor punctele din plnul considert sunt elemente le mulţimii. Dcǎ un punct nu este în plnul considert su dcǎ elementul nu este un punct, tunci punctul su elementul nu este element l mulţimii. Pentru defini o mulţime concretǎ este necesr sǎ se descrie clr elementele cre prţin cestei mulţimi. Orice descriere defectuosǎ pote duce l contrdicţie logicǎ. 2 Simboluri folosite în teori mulţimilor. Dcǎ x este un element l mulţimii A, tunci cest se notezǎ stfel x A. Dcǎ x nu este element l mulţimii A, tunci cest se notezǎ cu x / A. Simbolul se numeşte simbolul prtenenţei. Definiţi 2.1. Douǎ mulţimi A şi B cre sunt formte exct din celeşi elemente se zic egle. 9
Altfel spus în fmili mulţimilor eglitte A = B însemnǎ cǎ ceeşi mulţime se notezǎ cu litere diferite, su ltfel, A şi B sunt nume diferite pentru ceeşi mulţime. Notţi A = {x, y, z,...} însemnǎ cǎ mulţime A este formtǎ din elementele x, y, z,... Dcǎ într-o semene notţie numite simboluri se repetǎ ceste desemnezǎ celşi element. De exemplu: {1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}. O mulţime A formtǎ din tote elementele x le unei mulţimi B cre u o numitǎ propriette, se notezǎ stfel: A = {x B...}, unde propriette este specifictǎ dupǎ lini verticlǎ. De exemplu, fie şi b douǎ numere rele stfel { încât < b. Mulţime } de puncte le intervlului închis [, b] este mulţime [, b] = x R 1 x b, unde R 1 este mulţime tuturor numerelor rele. Definiţi 2.2. Dcǎ orice element dintr-o mulţime A este element l unei mulţimi B, tunci zicem cǎ A este o submulţime mulţimii B şi notǎm A B su B A. Relţi A B se citeşte stfel mulţime A este inclusǎ în mulţime B, ir relţi B A se citeşte stfel mulţime B include mulţime A. Se vede uşor cǎ A = B dcǎ şi numi dcǎ A B şi B A. 3 Operţii cu mulţimi. Definiţi 3.1. Oricre r fi mulţimile A şi B reuniune A B este mulţime de elemente cre prţin l A su l B su l mbele mulţimi. Definiţi 3.2. Oricre r fi mulţimile A şi B intersecţi A B este mulţime de elemente cre prţin l A şi l B. Definiţi 3.3. Oricre r fi mulţimile A şi B diferenţ A B este mulţime de elemente din A cre nu prţin l B. Dcǎ mulţime B este o submulţime mulţimii A tunci mulţime A B se numeşte complementr lui B în A şi se notezǎ C A B. Comentriu: 1. Este posibil c douǎ mulţimi A şi B sǎ nu ibǎ nici un element în comun. Într-un semene cz intersecţi A B nu re nici un element. Cu tote ceste convenim c şi în semene czuri sǎ considerǎm cǎ intersecţi A B este o mulţime; cre nu conţine nici un element. Acestǎ mulţime se numeşte mulţime vidǎ (su mulţime nulǎ) şi se notezǎ cu simbolul. 2. Noţiunile de reuniune douǎ mulţimi şi de intersecţie douǎ mulţimi pot fi extinse l trei, ptru, cinci su mi multe mulţimi. Astfel: Dcǎ A 1, A 2,..., A n sunt n mulţimi tunci: - reuniune A 1 A 2... A n este mulţime elementelor cre prţin l cel puţin un din mulţimile A 1, A 2,..., A n. - intersecţi A 1 A 2... A n este mulţime elementelor cre prţin l tote mulţimile A 1, A 2,..., A n. 10
3. Oricre r fi mulţime A sunt devǎrte urmǎtorele incluziuni: A A şi A. Altfel spus mulţime A şi mulţime vidǎ sunt submulţimi le mulţimii A. Aceste douǎ submulţimi le lui A se numesc submulţimi improprii le mulţimii A. O submulţime B mulţimii A diferitǎ de A şi se numeşte submulţime proprie mulţimii A. 4. Uneori reuniune mulţimilor portǎ denumire de sum mulţimilor şi intersecţi mulţimilor portǎ denumire de produs l mulţimilor. 5. Operţiile de reuniune şi intersecţie sunt definite de obicei pe mulţime tuturor submulţimilor (pǎrţilor) unei mulţimi S, cre se notezǎ cu P(S). Operţiile de reuniune şi intersecţie u urmǎtorele proprietǎţi: - socitivitte: - comuttivitte: (A B) C = A (B C) oricre r fi A, B, C P(S) (A B) C = A (B C) oricre r fi A, B, C P(S) A B = B A A B = B A - intersecţi este distributivǎ fţǎ de reuniune: oricre r fi A, B P(S) oricre r fi A, B P(S) A (B C) = (A B) (A C) oricre r fi A, B, C P(S) - reuniune este distributivǎ fţǎ de intersecţie: A (B C) = (A B) (A C) oricre r fi A, B, C P(S) - pentru orice A P(S) existǎ un singur B P(S) stfel încât sǎ vem A B = S şi A B =. Mulţime B este mulţime C S A. - pentru orice A P(S) vem A S = S şi A =. - pentru orice A, B P(S) vem: C S (A B) = C S A C S B C S (A B) = C S A C S B Aceste eglitǎţi se numesc legile lui De Morgn. Definiţi 3.4. Oricre r fi mulţimile A şi B produsul crtezin A B este mulţime de perechi ordonte (, b) cu A şi b B. A B = {(, b) A, b B}. Produsul crtezin este distributiv fţǎ de reuniune şi intersecţie: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) oricre r fi A, B, C oricre r fi A, B, C 11
4 Relţii binre. Definiţi 4.1. O relţie binrǎ în (su pe) mulţime A este o submulţime R produsului crtezin A A : R A A. Prin trdiţie prtenenţ (x, y) R se notezǎ cu xry. Mulţime R = {(x, y) R 1 R 1 x 2 + y 2 1} este o relţie binrǎ în mulţime R 1 numerelor rele. Definiţi 4.2. O relţie binrǎ R în mulţime A este reflexivǎ dcǎ pentru orice x A vem xrx. Mulţime R = {(x, y) R 1 R 1 x y 0} este o relţie binrǎ reflexivǎ în mulţime R 1 numerelor rele. Definiţi 4.3. O relţie binrǎ R în mulţime A este simetricǎ dcǎ xry yrx pentru orice x, y A Mulţime R = {(x, y) R 1 R 1 x 2 + y 2 1} este o relţie binrǎ simetricǎ în mulţime R 1 numerelor rele. Definiţi 4.4. O relţie binrǎ R în mulţime A este ntisimetricǎ dcǎ xry şi yrx x = y pentru orice x, y A Mulţime R = {(x, y) R 1 R 1 x y 0} este o relţie binrǎ ntisimetricǎ în mulţime R 1 numerelor rele. Definiţi 4.5. O relţie binrǎ R în mulţime A este trnzitivǎ dcǎ: xry şi yrz xrz pentru orice x, y, z A. Mulţime R = {(x, y) R 1 R 1 x y 0} este o relţie binrǎ trnzitivǎ în mulţime R 1 numerelor rele. Definiţi 4.6. O relţie binrǎ R în mulţime A este totlǎ dcǎ pentru orice x, y A este devǎrtǎ cel puţin un dintre urmǎtorele douǎ firmţii: xry, yrx. Mulţime R = {(x, y) R 1 R 1 x y 0} este o relţie binrǎ totlǎ în mulţime R 1 numerelor rele. Definiţi 4.7. O relţie binrǎ R în mulţime A este prţilǎ dcǎ existǎ x, y A stfel încât nici un din urmǎtorele douǎ serţiuni nu este devǎrtǎ: xry, yrx. Mulţime R = {(x, y) R 1 R 1 x 2 + y 2 1} este o relţie binrǎ prţilǎ în mulţime R 1 numerelor rele. 12
Definiţi 4.8. O relţie binrǎ R în mulţime A este o relţie de ordine prţilǎ dcǎ re urmǎtorele proprietǎţi: R este relţie prţilǎ; R este reflexivǎ; R este ntisimetricǎ; R este trnzitivǎ. Relţi de incluziune mulţimilor este o relţie de ordine prţilǎ în mulţime pǎrţilor unei mulţimi. Definiţi 4.9. O relţie binrǎ R în mulţime A este relţie de ordine totlǎ dcǎ re urmǎtorele proprietǎţi: R este relţie totlǎ; R este reflexivǎ; R este ntisimetricǎ; R este trnzitivǎ. Mulţime R = {(x, y) R 1 R 1 x y 0} este o relţie binrǎ de ordine totlǎ în mulţime R 1 numerelor rele. Definiţi 4.10. O mulţime A împreunǎ cu o relţie de ordine prţilǎ în A se numeşte sistem prţil ordont şi se notezǎ cu (A, R). Mulţime pǎrţilor unei mulţimi X împreunǎ cu relţi de incluziune este un sistem prţil ordont. Definiţi 4.11. O mulţime A împreunǎ cu o relţie de ordine totlǎ R în A se numeşte sistem totl ordont şi se notezǎ tot cu (A, R). Mulţime numerelor rele împreunǎ cu relţi R = {(x, y) R 1 R 1 x y 0} este un sistem totl ordont. Definiţi 4.12. Fie (A, R) un sistem prţil ordont şi A o submulţime lui A : A A. Un element A este mjornt pentru mulţime A dcǎ verificǎ R oricre r fi A. Un mjornt pentru A este mrgine superiorǎ pentru A dcǎ verificǎ R pentru orice mjornt l lui A. Mrgine superiorǎ lui A dcǎ existǎ se notezǎ cu sup A. Definiţi 4.13. Fie (A, R) un sistem prţil ordont şi A o submulţime lui A : A A. Un element A este minornt pentru mulţime A dcǎ verificǎ R pentru orice A. Un minornt pentru A este mrgine inferiorǎ pentru A dcǎ verificǎ R pentru orice minornt l lui A. Mrgine inferiorǎ lui A dcǎ existǎ se notezǎ cu inf A. Definiţi 4.14. Fie (A, R) un sistem prţil ordont. Un element A este mximl dcǎ pentru orice A cu propriette R rezultǎ R. Remrc 4.1. Fmili P (X) pǎrţilor unei mulţimi X cu relţi de incluziune R = este un exemplu bun pentru ilustrre cestor concepte. Sistemul prţil ordont este (P (X); ). Un mjornt l unei mulţimi B P (X) este orice submulţime mulţimii X cre conţine mulţime B, ir mulţime B este mrgine superiorǎ mulţimii B. B B B B Anlog, mulţime B este mrgine inferiorǎ mulţimii B. Singurul element mximl B B în mulţime P (X) este mulţime X. 13
Definiţi 4.15. O relţie R în mulţime A este relţie de echivlenţǎ dcǎ re urmǎtorele proprietǎţi: R este reflexivǎ, R este simetricǎ şi R este trnzitivǎ. Un exemplu de relţie de echivlenţǎ este eglitte în mulţime pǎrţilor P (X) le unei mulţimi X. Mulţime R = {(x, y) Z Z x y divizibil cu 5} este o relţie de echivlenţǎ în mulţime Z numerelor întregi. Definiţi 4.16. O relţie R între elementele unei mulţimi A şi elementele unei mulţimi B este o submulţime produsului crtezin A B; R A B. Prin trdiţie dcǎ (x, y) R se notezǎ cu xry. Definiţi 4.17. O funcţie f definitǎ pe o mulţime A şi cu vlori în mulţime B este o relţie R între elementele mulţimii A şi elementele lui B (R A B) cre re urmǎtorele proprietǎţi: ) pentru orice x A, existǎ y B stfel încât xry. b) dcǎ pentru x A şi y 1, y 2 B vem xry 1 şi xry 2, tunci y 1 = y 2. Prin trdiţie, o funcţie f definitǎ pe mulţime A şi cu vlori în mulţime B se notezǎ cu f : A B. 5 Funcţii. Noţiune de funcţie jocǎ un rol importnt în mtemticǎ. Nu este o noţiune fundmentlǎ pentru cǎ ş cum m vǎzut pote fi definitǎ folosind noţiune de mulţime (o relţie binrǎ cu numite proprietǎţi). Cu tote ceste pentru cei cre bi încep sǎ studieze nliz mtemticǎ este mi uşor sǎ considere noţiune de funcţie drept noţiune fundmentlǎ clrificând semnificţi ei prin exemple şi descriind-o de o mnierǎ stisfǎcǎtore (pentru sensul comun). Descriere 5.1. Dcǎ l fiecre element x l unei mulţimi A (x A) m pus în corespondenţǎ (m socit) un element y dintr-o mulţime B (y B) pe bz unei reguli, tunci zicem cǎ m definit o funcţie (corespondenţǎ, plicţie) f pe mulţime A cu vlori în mulţime B şi o notǎm cu f : A B. Astfel o funcţie este determintǎ de mulţimile A şi B, precum şi de regul de corespondenţǎ (lege) cre socizǎ unui element x A un element y B. De ce Descriere 5.1. funcţiei nu este o definiţie? Ce-i lipseşte? Descriere 5.1. foloseşte noţiunile de corespondenţǎ şi regulǎ cre nu u fost definite în prelbil şi de cee Descriere 5.1. nu este o definiţie. Desigur intuitiv este clr ce este o regulǎ şi ce este o corespondenţǎ. În czuri simple, ceste noţiuni nu conduc l confuzii şi sunt suficient de clre pentru conferii noţiunii de funcţie clitte de noţiune fundmentlǎ. Altfel spus şi noţiune de funcţie pote fi considertǎ noţiune fundmentlǎ. Trebuie însǎ sǎ reţinem cǎ cest lucru nu este necesr pentru cǎ funcţi pote fi definitǎ cu jutorul noţiunii de mulţime. Este de semene importnt de reţinut cǎ în czul în cre funcţi f : A B este gânditǎ c noţiune fundmentlǎ descrisǎ de 5.1., tunci regul prin cre unui element x A se 14
socizǎ un element y B este plicbilǎ fiecǎrui element x din mulţime A. Elementul x A se numeşte rgumentul funcţiei, ir elementul y B ce corespunde lui x se numeşte vlore funcţiei şi se notezǎ y = f(x). Într-o semene notţie şi viziune funcţi f pre c o regulǎ cre trnsformǎ fiecre element x A într-un element y = f(x) B. De cee funcţi se numeşte dese şi trnsformre. Mulţime A se numeşte domeniul de definiţie l funcţiei f şi mulţime elementelor y B pentru cre existǎ x A stfel c y = f(x), se numeşte domeniul de vlori l funcţiei f. Acest se notezǎ de obicei cu f(a) : { } f(a) = y B existǎ x A stfel încât f(x) = y şi se numeşte dese imgine mulţimii A prin funcţi f. Adese v trebui sǎ considerǎm funcţii cre socizǎ l fiecre numǎr rel x dintr-o submulţime A mulţimii numerelor rele; x A R; un numǎr rel = f(x) R 1. Acest gen de funcţii se numesc funcţii rele de o vribilǎ relǎ şi în czul unor regul de corespondenţǎ este dtǎ de o expresie lgebricǎ explicitǎ. De exemplu: y = x 2 + 2x; y = 1 x x + 2 ; y = 5 1 + 7 x Membrii drepţi i cestor eglitǎţi reprezintǎ regul dupǎ cre x se trnsformǎ în y. Regul în primul cz este: fiecre x se ridicǎ l pǎtrt şi poi se dugǎ dublul lui x. Regulile în cel de-l doile şi cel de-l treile cz pot fi formulte în mod semǎntor. Regul pote fi formultǎ şi cu jutorul funcţiilor elementre exp, log, sin, cos, tg, ctg, rctg, etc în combinţie cu operţii lgebrice. De exemplu: y = log 2 1 + sin x; y = 1 tgx 2 x. Membrii drepţi i cestor eglitǎţi rtǎ regul dupǎ cre x se trnsformǎ în y. O ltǎ metodǎ, utiliztǎ frecvent, pentru defini o regulǎ este urmǎtore: se considerǎ douǎ funcţii f 1 şi f 2 definite printr-o expresie c cele prezentte mi sus şi un numǎr, dupǎ cre se scrie: { f1 (x) pentru x < f(x) = f 2 (x) pentru x Eglitte cest se interpretezǎ c o regulǎ cre l un numǎr x mi mic decât fce sǎ corespundǎ un numǎr y dupǎ regul f 1 şi l un numǎr x mi mre su egl cu fce sǎ corespundǎ un numǎr y dupǎ regul f 2. 15
6 Funcţi compusǎ. Invers unei funcţii. Definiţi 6.1. Fie f : X Y şi g : Y Z douǎ funcţii. Pentru orice x X elementul g(f(x)) prţine mulţimii Z. Corespondenţ: x g(f(x)) defineşte o funcţie pe mulţime X cu vlori în mulţime Z, cre se notezǎ cu g f : X Z şi se numeşte compus funcţiilor g şi f. Comentriu: Regul dupǎ cre elementului x X i se socizǎ elementul g(f(x)) se formulezǎ în cuvinte stfel: prim orǎ se plicǎ f elementului x şi se obţine elementul f(x) Y, dupǎ cee se plicǎ funcţi g elementului f(x) şi se obţine elementul g(f(x)) din mulţime Z. De exemplu: f(x) = sin x ; g(y) = y 2 (g f)(x) = g(f(x)) = sin 2 x f(x) = x 2 ; g(y) = tg y (g f)(x) = g(f(x)) = tg x 2 f(x) = x 2 ; g(y) = cos y (g f)(x) = g(f(x)) = cos x 2 Definiţi 6.2. Funcţi f : X Y este injectivǎ dcǎ pentru orice x 1, x 2 X, x 1 x 2 rezultǎ f(x 1 ) f(x 2 ). Definiţi 6.3. Funcţi f : X Y este surjectivǎ dcǎ pentru orice y Y existǎ x X stfel încât f(x) = y. Definiţi 6.4. Funcţi f : X Y este bijectivǎ dcǎ este injectivǎ şi surjectivǎ. Comentriu: 1. O funcţie injectivǎ f : X Y re urmǎtore propriette: dcǎ f(x 1 ) = f(x 2 ) tunci x 1 = x 2. Funcţiile numerice: y = 5x; y = e x ; y = rctg x sunt injective. 2. O funcţie surjectivǎ f : X Y se numeşte funcţie cu vlori pe Y. Dcǎ funcţi definitǎ pe X este cu vlori pe Y tunci pentru orice y Y ecuţi f(x) = y re cel puţin o soluţie în X. Funcţi numericǎ y = sin x este o funcţie definitǎ pe mulţime R 1 numerelor rele şi cu vlori pe segmentul închis [ 1, 1] şi nu este o funcţie surjectivǎ pe mulţime R 1 tuturor numerelor rele. (Ecuţi sin x = 2 nu re soluţie). 3. O funcţie bijectivǎ f : X Y este o corespondenţǎ unu l unu. Acest însemnǎ cǎ: orice x X re un corespondent y Y, y = f(x) şi l diferiţi x corespund y diferiţi; pentru orice y Y existǎ x X stfel c y = f(x) şi pentru diferiţi x, elementele y sunt diferite. Definiţi 6.5. Fie f : X Y o funcţie bijectivǎ. Pentru orice y Y existǎ un x X, unic! stfel c f(x) = y. Corespondenţ y cel x pentru cre f(x) = y defineşte o funcţie pe mulţime Y cu vlori pe mulţime X, cre se numeşte invers funcţiei f şi se notezǎ cu f 1 ; f 1 : Y X. 16
Comentriu: 1. Regul de corespondenţǎ din definiţi 6.5 implicǎ urmǎtore propriette funcţiei inverse: f(f 1 (y)) = y pentru orice y Y f 1 (f(x)) = x pentru orice x X 2. Funcţiile f şi f 1 sunt mutul inverse; dicǎ: (f 1 ) 1 = f 3. Pentru gǎsi invers unei funcţii numerice y = f(x) (dcǎ f este bijectivǎ) trebuie sǎ exprimǎm x în funcţie de y. Astfel de exemplu: dcǎ y = 3x + 2 funcţi inversǎ este x = y 2 3 ; dcǎ y = x3 funcţi inversǎ este: x = 3 y. 7 Simboluri logice. În mtemticǎ se folosesc frecvent urmǎtorele expresii: pentru orice element şi existǎ. Aceste expresii sunt notte cu simboluri specile. Expresi: pentru orice element se notezǎ cu simbolul cre se obţine prin inversre literei A; prim literǎ din cuvântul Any. Expresi existǎ se notezǎ cu simbolul cre este imgine în oglindǎ literei E; prim literǎ din cuvântul Exist. Se foloseşte de semene simbolul cu semnificţi rezultǎ. Dcǎ A şi B sunt douǎ firmţii tunci A B însemnǎ cǎ din A rezultǎ B. Dcǎ A B şi B A tunci firmţiile A şi B sunt echivlente şi cest se notezǎ cu A B. A B însemnǎ cǎ firmţi A este devǎrtǎ dcǎ şi numi dcǎ B este devǎrtǎ. Folosind ceste notţii injectivitte unei funcţii f : X Y pote fi scrisǎ sub form: x 1, x 2 X, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) ir surjectivitte celeşi funcţii sub form: y Y x X f(x) = y. Lini verticlǎ ininte eglitǎţii f(x) = y se citeşte stfel încât. Notţi A def B se foloseşte când vrem sǎ definim o noţiune A folosind o firmţie B. E se citeşte: prin definiţie A este B. Astfel de exemplu notţi: X Y def {( x)(x X) (x Y )} defineşte X c submulţime mulţimii Y. Prte dreptǎ notţiei se citeşte stfel: orice element x din X este element l mulţimii Y. 17
8 Afirmţi contrrǎ, teorem contrrǎ şi teorem reciprocǎ. Definiţi 8.1. Oricre r fi firmţi A, notǎm cu Ā firmţi: firmţi A este flsǎ. Afirmţi Ā se numeşte firmţi contrrǎ. Exemplu 8.1. Dcǎ A este firmţi: 7 este un numǎr impr tunci Ā este firmţi: 7 nu este un numǎr impr. Dcǎ A este firmţi: mâine v plou tunci firmţi Ā v fi: mâine nu v plou. Dcǎ A este firmţi: tote rchetele vor tinge ţint, tunci Ā este firmţi: cel puţin o rchetǎ nu v tinge ţint. Definiţi 8.2. Pentru teorem dcǎ A tunci B firmţi dcǎ Ā tunci B se numeşte teoremǎ contrrǎ. Teorem contrrǎ teoremei contrre este teorem iniţilǎ. Exemplu 8.2. A= sum mǎrimilor douǎ unghiuri opuse într-un ptrulter este eglǎ cu 180 o, B= ptrulterul este inscriptibil, Ā= sum mǎrimilor douǎ unghiuri opuse într-un ptrulter nu este eglǎ cu 180 o, B= ptrulterul nu este inscriptibil Teorem dcǎ A tunci B se formulezǎ stfel: dcǎ sum mǎrimilor douǎ unghiuri opuse într-un ptrulter este egl cu 180 o tunci ptrulterul este inscriptibil. Teorem contrrǎ: dcǎ Ā tunci B se formulezǎ stfel: dcǎ sum mǎrimilor douǎ unghiuri opuse într-un ptrulter nu este eglǎ cu 180 o tunci ptrulterul nu este inscriptibil În cest exemplu mbele teoreme: ce directǎ şi ce contrrǎ sunt devǎrte. Definiţi 8.3. Pentru orice firmţie în mtemticǎ (teoremele inclusiv) cre u form A B se pote construi o nouǎ firmţie permutând A şi B. Astfel se obţine firmţi B A cre se numeşte firmţie reciprocǎ su teoremǎ reciprocǎ. Mi exct teorem B A este reciproc teoremei A B. Reciproc teoremei reciproce este teorem iniţilǎ. De cee teoremele A B şi B A se zic mutul reciproce. Dcǎ teorem directǎ A B este devǎrtǎ, reciproc ei B A pote fi devǎrtǎ su flsǎ. Exemplu 8.3. Teorem directǎ (teorem lui Pitgor) este: dcǎ triunghiul este dreptunghic tunci pǎtrtul lturii celei mi mri triunghiului este egl cu sum pǎtrtelor celorllte douǎ lturi. Teorem reciprocǎ este: dcǎ pǎtrtul lturii celei mi mri triunghiului este egl cu sum pǎtrtelor celorllte douǎ lturi tunci triunghiul este dreptunghic. În cest exemplu tât teorem directǎ cât şi ce reciprocǎ sunt devǎrte. Exemplu 8.4. Teorem directǎ: dcǎ douǎ unghiuri sunt drepte tunci cele douǎ unghiuri sunt egle. Teorem reciprocǎ: dcǎ douǎ unghiuri sunt egle tunci cele douǎ unghiuri sunt drepte. În cest exemplu teorem directǎ este devǎrtǎ, ir teorem reciprocǎ este flsǎ. Teorem reciprocǎ este echivlentǎ cu teorem contrrǎ. Acest însemnǎ cǎ teorem reciprocǎ este devǎrtǎ dcǎ şi numi dcǎ teorem contrrǎ este devǎrtǎ. 18
9 Condiţie necesrǎ şi condiţie suficientǎ. Definiţi 9.1. Dcǎ teorem A B este devǎrtǎ tunci: condiţi A este suficientǎ pentru B şi condiţi B este necesrǎ pentru A. Dcǎ teorem reciprocǎ B A este devǎrtǎ tunci: condiţi B este suficientǎ pentru A şi condiţi A este necesrǎ pentru B. Definiţi 9.2. Dcǎ teorem directǎ A B şi teorem reciprocǎ B A sunt devǎrte tunci : condiţi A este necesrǎ şi suficientǎ pentru B şi condiţi B este necesrǎ şi suficientǎ pentru A. Cu lte cuvinte condiţiile A şi B sunt echivlente. A este devǎrtǎ dcǎ şi numi dcǎ B este devǎrtǎ. Exemplu 9.1. Teorem lui Bézout este: Dcǎ α este o rǎdǎcinǎ polinomului P (x) tunci polinomul P (x) este divizibil cu x α. Reciproc teoremei lui Bézout este: Dcǎ polinomul P (x) este divizibil cu x α tunci α este o rǎdǎcinǎ polinomului P (x). Ştim cǎ tât teorem lui Bézout cât şi reciproc ei sunt devǎrte. Rezultǎ de ici cǎ o condiţie necesrǎ şi suficientǎ pentru c numǎrul α sǎ fie rǎdǎcinǎ polinomului P (x) este c polinomul P (x) sǎ fie divizibil cu x α. Prin urmre, este devǎrtǎ teorem: polinomul P (x) este divizibil cu x α dcǎ şi numi dcǎ α este rǎdǎcinǎ polinomului P (x). 19
Prte II Clcul diferenţil şi integrl pentru funcţii rele de o vribilǎ relǎ 10 Elemente de topologie în R 1. Definiţi 10.1. O vecinǎtte punctului x R 1 este o mulţime V R 1 cre conţine un intervl deschis (, b) R 1 ce conţine pe x: dicǎ x (, b) V. Orice intervl deschis cre conţine pe x este vecinǎtte pentru x. Un intervl deschis este vecinǎtte pentru orice x ce prţine intervlului. Definiţi 10.2. Un punct x R 1 este punct interior l mulţimii A R 1 dcǎ existǎ un intervl deschis (, b) stfel încât x (, b) A. Un punct x l intervlului (, b) este un punct interior l mulţimii (, b). Definiţi 10.3. Interiorul unei mulţimi A R 1 este mulţime punctelor interiore le lui A. Trdiţionl interiorul mulţimii A se notezǎ cu Int(A) su cu Å. Dcǎ A = (, b), tunci Å = (, b) = A. Definiţi 10.4. Mulţime A R 1 este deschisǎ dcǎ A = Å. Orice intervl deschis este o mulţime deschisǎ. Mulţime A R 1 este deschisǎ, dcǎ şi numi dcǎ fiecre punct l ei este în mulţime cu o întregǎ vecinǎtte. Reuniune unei fmilii de mulţimi deschise este o mulţime deschisǎ. Intersecţi unui numǎr finit de mulţimi deschise este mulţime deschisǎ. Mulţime numerelor rele R 1 şi mulţime vidǎ sunt mulţimi deschise. Definiţi 10.5. Mulţime A R 1 deschisǎ. este închisǎ dcǎ complementr ei C R 1A este Orice intervl închis [, b] este o mulţime închisǎ. Intersecţi unei fmilii de mulţimi închise este închisǎ. Reuniune unui numǎr finit de mulţimi închise este o mulţime închisǎ. Mulţime numerelor rele R 1 şi mulţime vidǎ sunt mulţimi închise. Definiţi 10.6. Punctul x R 1 este punct limitǎ su punct de cumulre l mulţimii A R 1, dcǎ orice vecinǎtte V lui x conţine cel puţin un punct y din A cre este diferit de x; y x şi y V A. Definiţi 10.7. Închidere Ā mulţimii A R1 este închise cre conţin mulţime A. intersecţi tuturor mulţimilor 20
Închidere unei mulţimi A re urmǎtorele proprietǎţi: Ā A; Ā = Ā; A B = Ā B; Ā = A dcǎ şi numi dcǎ A este mulţime închisǎ. x Ā dcǎ şi numi dcǎ orice vecinǎtte V lui x intersectezǎ mulţime A (V A ). Definiţi 10.8. Mulţime A R 1 este mǎrginitǎ dcǎ existǎ m, M R 1 stfel încât m x M pentru orice x A. Definiţi 10.9. Mulţime A R 1 este compctǎ dcǎ este mǎrginitǎ şi închisǎ. Orice intervl închis [, b] este mulţime compctǎ. 11 Şiruri de numere rele. Definiţi 11.1. O funcţie definitǎ pe mulţime numerelor nturle N = {1, 2, 3,..., n,...} şi cu vlori în mulţime R 1 numerelor rele se numeşte şir de numere rele. Comentriu: Vlore funcţiei, cre defineşte şirul de numere rele, în 1 se notezǎ cu 1, vlore în 2 se notezǎ cu 2,..., vlore în n cu n,.... Trdiţionl 1 se numeşte primul termen l şirului, 2 cel de-l doile termen l şirului,..., n cel de-l n-le termen l şirului su termenul generl. Şirul 1, 2,..., n,... se notezǎ trdiţionl cu ( n ). Pentru defini un şir trebuie sǎ definim toţi termenii şirului. Altfel spus trebuie dtǎ o regulǎ cre permite determinre fiecǎrui termen l şirului. Exemplu 11.1. n = q n 1, q 0; 1 = 1; 2 = q; 3 = q 2 ;... n = q n 1 ;... n = 1 n ; 1 = 1; 2 = 1 2 ; 3 = 1 3 ;... n = 1 n ;... n = n 2 ; 1 = 1; 2 = 4; 3 = 9;... n = n 2 ;... n = ( 1) n ; 1 = 1; 2 = 1; 3 = 1;... n = ( 1) n ;... n = 1 + ( 1)n 2 ; 1 = 0; 2 = 1; 3 = 0;... n = 1 + ( 1)n ;... 2 Se pote întâmpl c tunci când n creşte şi n creşte. Definiţi 11.2. Şirul ( n ) este crescǎtor dcǎ pentru orice n N re loc ineglitte n n+1. Definiţi 11.3. Un şir ( n ) este descrescǎtor dcǎ pentru orice n N re loc ineglitte n+1 n. Definiţi 11.4. Un şir ( n ) este monoton dcǎ este crescǎtor su este descrescǎtor. Exemplu 11.2. Dcǎ q > 1 tunci şirul n = q n este crescǎtor, ir dcǎ q (0, 1) tunci şirul n = q n este descrescǎtor. Dcǎ q (0, ) şi q 1 tunci şirul n = q n este monoton 21
Definiţi 11.5. Un şir ( n ) este mǎrginit dcǎ existǎ un numǎr M > 0 stfel încât pentru orice n N re loc ineglitte n M. Dcǎ q (0, 1) tunci şirul n = q n este mǎrginit ( n < 1). Şirul n = ( 1) n este mǎrginit ( n 1). Definiţi 11.6. Un şir ( n ) este nemǎrginit dcǎ nu este mǎrginit. Altfel spus, pentru orice M > 0 existǎ n M N stfel încât nm > M. Dcǎ q > 1 tunci şirul n = q n este nemǎrginit. Definiţi 11.7. Un subşir l şirului ( n ) este un şir de form ( nk ) unde (n k ) = n 1, n 2,... este un şir strict crescǎtor de numere nturle. Comentriu: Orice subşir l unui şir crescǎtor este şir crescǎtor. Orice subşir l unui şir descrescǎtor este şir descrescǎtor. Orice subşir l unui şir mǎrginit este şir mǎrginit. 12 Convergenţ şirurilor de numere rele. Se pote întâmpl c dcǎ n creşte termenii n i şirului ( n ) sǎ se propie de un numǎr L. În cest cz jungem l o noţiune mtemticǎ importntǎ, ce de convergenţǎ unui şir l un numǎr. Definiţi 12.1. Şirul de numere rele ( n ) converge l numǎrul rel L dcǎ pentru orice ε > 0 existǎ un numǎr N = N(ε) stfel c toţi termenii de rng n > N(ε) i şirului sǎ verifice ineglitte: n L < ε Fptul cǎ şirul ( n ) converge l numǎrul L se notezǎ pe scurt cu lim n = L şi se exprimǎ n prin cuvintele: pentru n tinzând l infinit limit lui ( n ) este eglǎ cu L su n n L şi se exprimǎ prin cuvintele pentru n tinzând l infinit n tinde l L. În czul n n L se mi spune ( n ) converge l L. Comentriu: Dcǎ şirul ( n ) converge l L, tunci orice subşir ( nk ) l şirului ( n ) converge l L. Acest întrucât pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât pentru n > N(ε) sǎ vem n L < ε. De ici rezultǎ cǎ pentru orice n k > N vem nk L < ε. Nu orice şir este convergent. De exemplu, şirul n = ( 1) n nu converge. Acest întrucât subşirul 2k = ( 1) 2k = 1 converge l 1 şi subşirul 2k+1 = ( 1) 2k+1 = 1 converge l -1. Limit unui şir convergent este unicǎ. Afirmţi contrrǎ r însemn cǎ şirul ( n ) converge l L 1 şi L 2 cu L 1 L 2. Rezultǎ de ici cǎ existǎ N 1 şi N 2 stfel încât n L 1 < L 1 L 2 pentru orice n > N 1 2 22
şi n L 2 < L 1 L 2 pentru orice n > N 2. De ici rezultǎ cǎ pentru orice 2 n > mx{n 1, N 2 } vem: L 1 L 2 L 1 n + L 2 n < L 1 L 2 cee ce este bsurd. Dcǎ un şir ( n ) converge l L, tunci este mǎrginit. Acest întrucât existǎ N(1) stfel cǎ pentru orice n > N(1) sǎ vem: n L < 1 şi stfel n = n L + L < 1+ L pentru orice n > N(1). Rezultǎ în continure cǎ pentru orice n re loc ineglitte: n mx{ 1,..., N(1), 1 + L } 1 Exemplu 12.1. Vom rǎt cǎ lim n = 0. Considerǎm ε > 0 şi condiţi: n 1 0 n < ε Rezultǎ de ici ineglitte 1 < ε su 1 n n < ε2 echivlent cu n > 1 ε. [ ] [ ] 2 1 1 1 Punem N(ε) = + 1, unde este prte întregǎ numǎrului. Este evident ε 2 ε 2 ε2 cǎ dcǎ n > N(ε) tunci n > 1 ε şi ineglitte 1 n 0 2 < ε este stisfǎcutǎ. În cest exemplu m demonstrt convergenţ l zero folosind definiţi convergenţei. În urmǎtore secţiune vom stbili reguli cre permit verificre convergenţei şi clculre limitei de o mnierǎ mult mi simplǎ. În numite czuri se spune cǎ şirul ( n ) converge (tinde) l infinit. Sensul cestei noţiuni este precizt în urmǎtorele definiţii: Definiţi 12.2. Şirul ( n ) tinde l + dcǎ pentru orice M > 0 existǎ N(M) stfel încât n > M oricre r fi n > N(M). Şirul n = n 2 tinde l + în sensul cestei definiţii. Definiţi 12.3. Şirul ( n ) tinde l dcǎ pentru orice M > 0 existǎ N(M) stfel încât n < M pentru n > N(M). Şirul n = n 2 tinde l în sensul cestei definiţii. 13 Reguli privind convergenţ şirurilor de numere rele. Fie ( n ) şi (b n ) douǎ şiruri de numere rele convergente l numerele rele şi respectiv b. Regul sumei: Şirul ( n + b n ) converge l numǎrul rel + b. 23
Demonstrţie. Fie ε > 0 şi ε = 1 2 ε. Deorece n n şi b n n b existǎ N 1 = N 1 (ε ) stfel încât n < ε, n > N 1 şi existǎ N 2 = N 2 (ε ) stfel încât b n b < ε, n > N 2. Fie N 3 = mx{n 1, N 2 }. Pentru orice n > N 3 vem: n b n b n + b n b < ε + ε = 2ε = ε Acest demonstrezǎ cǎ n + b n n + b. Regul produsului: Şirul ( n b n ) converge l numǎrul rel b. Demonstrţie. Deorece b n n b existǎ M > 0 stfel c b n M pentru orice n N. Rezultǎ: n b n b = n b n b n + b n b = b n ( n ) + (b n b) b n n + b n b M n + b n b, n N Fie ε > 0 şi fie ε 1 = ε 2M, ε ε 2 = 2( + 1). Deorece n n, b n n b existǎ N 1 şi N 2 stfel încât: n < ε 1, n > N 1 şi b n b < ε 2, n > N 2. Fie N 3 = mx{n 1, N 2 }. Pentru orice n > N 3 vem: n b n b < ε. Altfel spus: n b n n b. Regul câtului: Dcǎ b n 0, n N şi b 0 tunci şirul n b n b. converge l numǎrul rel Demonstrţie. Prim orǎ rǎtǎm cǎ 1 1 b n n b. Pentru cest evluǎm diferenţ: 1 1 b n b şi gǎsim: 1 1 b n b = b n b b n b Întrucât b n n b existǎ N 1 stfel încât sǎ vem: b n b < 1 b pentru orice { } 2 2 n > N 1. Considerǎm numǎrul M = mx b, 1 b 1,..., 1 şi remrcǎm cǎ re loc b N1 ineglitte 1 b n < M pentru orice n. Fie cum ε > 0 şi ε = ε b M. Pentru ε > 0 existǎ N 2 = N 2 (ε ) stfel încât b n b < ε pentru orice n > N 2. De ici rezultǎ cǎ 1 1 b n b < ε pentru orice n > N 3 = mx{n 1, N 2 }. Cu lte cuvinte 1 1 b n n b. În virtute regulii produsului rezultǎ: n b n n b. 24
Regul de înmulţire cu un numǎr: Şirul (k n ) converge l numǎrul rel k pentru orice numǎr rel k. Regul de înmulţire cu un numǎr este un cz specil l regulii produsului. Aplicţie 13.1 Determinţi limit: lim n n 2 + 2n + 3 4n 2 + 5n + 6 =? Soluţie: Regul câtului nu pote fi plictǎ direct pentru cǎ nici numǎrǎtorul nici n 2 + 2n + 3 numitorul frcţiei nu converge l o limitǎ finitǎ. 4n 2 + 5n + 6 Cu tote ceste dcǎ se dǎ fctor comun n 2 şi l numǎrǎtor şi l numitor şi frcţi se simplificǎ cu n 2 se obţine: n = 1 + 2 n + 3 n 2 4 + 5 n + 6 n 2 Se rtǎ uşor cǎ 1 n 0 şi cǎ şirul constnt (k) converge l k. Aplicând cum regul n sumei, produsului şi înmulţirii cu un numǎr rezultǎ urmǎtorele convergenţe: 1 + 2 n + 3 n 2 n 1 4 + 5 n + 6 n 2 n 4 Aplicând în continure regul câtului obţinem urmǎtore convergenţǎ: Regul cleştelui : ineglitǎţile: 2 n = n2 + 2n + 3 1 + 4n 2 + 5n + 6 = n + 3 n 2 4 + 5 n + 6 n n 2 Fie ( n ), (b n ), (c n ) trei şiruri de numere rele cre verificǎ n b n c n, n N Dcǎ şirurile ( n ) şi (c n ) sunt convergente l ceeşi limitǎ L tunci şirul (b n ) converge l L. 1 4 Demonstrţie. Deorece n b n c n, n N vem: n L b n L c n L, deci: b n L mx{ n L, c n L }, n. Pentru ε > 0 existǎ N 1 = N 1 (ε) şi N 2 = N 2 (ε) stfel încât sǎ vem: n şi Rezultǎ cǎ vem: Cu lte cuvinte b n n L. n L < ε, n > N 1 (ε) şi c n L < ε, n > N 2 (ε) b n L < ε, n > N 3 = N 3 (ε) = mx{n 1 (ε), N 2 (ε)}. 25
Aplicţi 13.2. Arǎtţi cǎ ( 1) n 1 n 2 Soluţie: Fie n = 1 n ; b 2 n = ( 1) n n 0. 1 n 2 ; c n = 1 n 2. Întrucât n n 0; c n n 0 şi n b n c n rezultǎ (plicând regul cleştelui) b n n 0. Regul de convergenţǎ şirurilor monotone: Dcǎ ( n ) este un şir monoton şi mǎrginit tunci este convergent l un numǎr rel. Demonstrţie. Vom demonstr firmţi pentru un şir crescǎtor şi mǎrginit. Demonstrţi este similrǎ pentru un şir descrescǎtor şi mǎrginit. Fie ( n ) un şir crescǎtor şi mǎrginit şi fie M 0 = sup{ n n N}. Pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât N > M 0 ε. Dcǎ n > N, tunci n N şi deci n > M 0 ε. În plus n M 0 pentru orice n N. Rezultǎ stfel cǎ n M < ε pentru n > N. Acest demonstrezǎ cǎ n n M 0. Aplicţie 13.3. Un şir ( n ) este definit stfel: 1 = 1 şi n+1 = n + 1 pentru n 1. 1 + 5 Sǎ se rte cǎ: n n. 2 Soluţie: Prim orǎ se rtǎ, prin inducţie, cǎ şirul ( n ) este crescǎtor. Deorece 1 = 1 şi 2 = 2 vem: 1 2. Clculǎm cum diferenţ n+1 n şi gǎsim: n+1 n = n + 1 n 1 + 1 = n n 1 n + 1 + n 1 + 1 Întrucât sum n + 1 + n 1 + 1 este pozitivǎ dcǎ n 1 n, tunci n n+1. Astfel rezultǎ prin inducţie cǎ şirul ( n ) este crescǎtor. Din relţi de recurenţǎ n+1 = n + 1 prin ridicre l pǎtrt se obţine eglitte: 2 n 2 n+1 = 2 n n 1 = ( n 1 ) 2 5 2 4 şi deorece şirul ( n ) este crescǎtor vem: ( n 1 2 )2 5 0. Din cestǎ ineglitte 4 rezultǎ imedit cǎ şirul ( n ) este mǎrginit superior de numǎrul 1 + 5. Cu regul de 2 convergenţǎ şirurilor monotone deducem cǎ şirul ( n ) este convergent. Fie L = lim n. n Deorece n+1 n L obţinem cǎ L = L + 1 şi stfel L 2 = L + 1. Ecuţi de grdul l doile L 2 1 = L + 1 re douǎ rǎdǎcini: 2 (1 ± 5). Întrucât n 1, n N, rǎdǎcin pozitivǎ este limit. Adicǎ L = 1 2 (1 + 5). Teorem 13.1. Teorem lui Weierstrss-Bolzno Dcǎ şirul de numere rele ( n ) este mǎrginit tunci conţine un subşir convergent l un numǎr rel. Demonstrţie. Fie S N = { n n > N}. Dcǎ fiecre mulţime S N re un cel mi mre element, tunci considerǎm urmǎtorul subşir l şirului ( n ): b 1 = n1 = mx S 1 ; b 2 = n2 = mx S n1 ; b 3 = n3 = mx S n2 ;... 26
Şirul (b n ) este un subşir l şirului ( n ) şi este descrescǎtor. Deorece ( n ) este mǎrginit, şirul (b n ) este şi el mǎrginit. Rezultǎ stfel cǎ şirul (b n ) este convergent. Dcǎ pentru un M, S M nu re un cel mi mre element tunci pentru orice m cu m > M existǎ n cu n > m şi n > m. Fie c 1 = M+1 şi c 2 primul termen l şirului n dupǎ c 1 = M+1 cre re propriette c 2 > c 1. În continure fie c 3 primul termen l şirului ( n ) dupǎ c 2 cre verificǎ c 3 > c 2 şi ş mi deprte. Se obţine în cest fel un subşir (c n ) l şirului ( n ); cre este monoton crescǎtor. Deorece (c n ) este mǎrginit este convergent. Intuitiv este clr cǎ dcǎ n n L tunci termenii şirului cre u rng mre diferǎ puţin de L şi deci şi unul de celǎllt. Mi exct vem: Teorem 13.2. Criteriul Cuchy de convergenţǎ l unui şir de numere rele. Un şir ( n ) de numere rele este convergent l un numǎr rel dcǎ şi numi dcǎ pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât vem: p q < ε, p, q > N(ε) Demonstrţie. Presupunem cǎ şirul ( n ) converge l numǎrul L şi considerǎm un numǎr ε > 0. Existǎ N = N(ε) stfel încât n L < ε pentru orice n > N(ε). Prin urmre: 2 p L < ε 2 şi q L < ε, p, q > N(ε) şi rezultǎ cǎ: 2 p q p L + q L < ε, p, q > N(ε). Presupunem cum cǎ pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât p q < ε, p, q > N(ε). Pentru ε = 1 şi N 1 = N(1) les stfel încât p q < 1, p, q > N 1, vem: şi deci: n = n N1 +1 + N1 +1 n N1 +1 + N1 +1 1 + N1 +1, n N 1 + 1 n mx{ 1, 2,..., N1, N1 +1 + 1} = M, n Cu lte cuvinte şirul ( n ) este mǎrginit. Conform teoremei lui Weierstrss-Bolzno şirul ( n ) conţine un subşir ( nk ) convergent. Fie L = lim n n k k şi ε un numǎr rel pozitiv ε > 0. Existǎ N 1 = N 1 (ε) stfel încât nk L < ε 2, n k > N 1 şi existǎ N 2 = N 2 (ε) stfel încât p q < ε 2, p, q > N 2. De ici rezultǎ cǎ pentru orice n > N 3 = mx{n 1, N 2 } vem: unde n k este les stfel încât n k > N 3. n L n nk + nk L < ε 2 + ε 2 = ε 14 Punct limitǎ l unui şir de numere rele. Definiţi 14.1. Un punct x R 1 este punct limitǎ l şirului ( n ) dcǎ existǎ un subşir ( nk ) l şirului ( n ) cre converge l x; nk n k x. 27
Definiţi 14.2. Mulţime punctelor x R 1 cre sunt puncte limitǎ le şirului ( n ) se notezǎ cu L( n ) şi se numeşte mulţime punctelor limitǎ su pe scurt mulţime limitǎ şirului ( n ). Şirul mǎrginit ( n ) converge l L ( n n L) dcǎ şi numi dcǎ L( n ) = {L}. Definiţi 14.3. Limit superiorǎ şirului ( n ) este mrgine superiorǎ mulţimii L( n ). Limit superiorǎ şirului ( n ) se notezǎ trdiţionl cu lim sup n su cu lim n ; n n lim n = sup L( n ). n Definiţi 14.4. Limit inferiorǎ şirului ( n ) este mrgine inferiorǎ mulţimii L( n ). Limit inferiorǎ şirului ( n ) se notezǎ trdiţionl cu lim inf n su cu lim n ; n n lim n = inf L( n ). n Şirul ( n ) converge dcǎ şi numi dcǎ re loc: lim n = lim n. n n Exemplu 14.1. În czul şirului n = ( 1) n mulţime punctelor limitǎ L( n ) este: L( n ) = { 1, 1} şi: lim n = 1; n lim n = 1. n 15 Serii de numere rele. Fie ( n ) un şir de numere rele. Pentru orice n N fixt, sum: s n = 1 + 2 +... + n re sens. Dcǎ şirul (s n ) converge l s tunci s pote fi numit în mod justifict sum seriei infinite n = 1 + 2 +... + n +... Mi precis: Definiţi 15.1. O serie infinitǎ de numere rele este un şir de numere rele (s n ) l cǎrui termen generl s n re form s n = 1 + 2 +... + n unde ( n ) este un şir de numere rele dt. În mod trdiţionl o serie infinitǎ se notezǎ cu simbolul trdiţie termenul generl l seriei. Tot prin trdiţie simbolul n n şi n se numeşte prin se numeşte serie ir şirul de numere rele (s n ) cu s n = 1 + 2 +... + n se numeşte şirul sumelor prţile le seriei. 28
Definiţi 15.2. Seri n convergent. Limit şirului (s n ) : n = s. Definiţi 15.3. Seri n este divergentǎ dcǎ şirul sumelor prţile (s n ) este divergent. este convergentǎ dcǎ şirul sumelor prţile (s n ) este lim s n = s se numeşte sum seriei şi se notezǎ cu n Exemplu 15.1. Sǎ se verifice cǎ Soluţie: Şirul sumelor prţile l seriei s n n 1 rezultǎ cǎ seri Exemplu 15.2. Sǎ se verifice cǎ seri Soluţie: Şirul sumelor prţile l seriei (s n ) este divergent seri 1 2 n = 1. 1 2 n este s n = n k=1 1 2 este convergentǎ şi 1 n 2 = 1. n n este divergentǎ. n este s n = n este divergentǎ. Exemplu 15.3. Sǎ se verifice cǎ seri cu 1. 1 n 2 + n n k=1 1 2 k = 1 1 2 n. Deorece k = 1 n(n + 1). Deorece şirul 2 este convergentǎ şi sum ei este eglǎ Soluţie: Întrucât: 1 n 2 + n = 1 n(n + 1) = 1 n 1 n + 1 termenul generl l şirului sumelor prţile este: ( s n = 1 1 ) ( 1 + 2 2 1 ) ( 1 +... + 3 n 1 ) n + 1 = 1 1 n + 1 şi deci s n n 1. Comentriu: Exemplul 15.1 este un cz prticulr de serie geometricǎ vând form x n, în cre x este un numǎr rel. Remrcǎm cǎ ici însumre începe cu n = 0 şi nu n=0 cu n = 1. Pentru o serie geometricǎ sum primilor n termeni este: s n = + x + x 2 +... + x n 1 29
Un clcul stndrd rtǎ cǎ s n = (1 xn ) pentru x 1. 1 x De ici s n n x < 1. 1 x Deorece şirul (s n ) este divergent pentru x 1 obţinem urmǎtorul rezultt: Seri geometricǎ x n = + x + x 2 +... + x n +..., 0 converge dcǎ şi numi n=0 dcǎ x < 1. Mi mult sum seriei este 1 x. Deorece sum unei serii convergente este definitǎ c limit şirului sumelor prţile l seriei, rezulttele privind convergenţ şirurilor de numere rele pot fi folosite pentru stbili convergenţ seriilor. Urmezǎ un rezultt cre pote fi dese util pentru test divergenţ unei serii. Teorem 15.1. Convergenţ l zero termenului generl Dcǎ seri n este convergentǎ tunci n n 0 Demonstrţie. Dcǎ seri n este convergentǎ tunci şirul sumelor prţile (s n ) converge l o limitǎ s. Rezultǎ cǎ şirul s n 1 converge tot l s şi stfel n = s n s n 1 converge l 0. Prin urmre n n 0. Aplicţie 15.1 Considerǎm seri seri considertǎ nu este convergentǎ. n n + 1. Deorece n = Trebuie reţinut cǎ dcǎ n n 0 nu rezultǎ cǎ seri exemplu în czul seriei şi ( n n 1) vem: n = n n 1 = s n = n k=1 n n + 1 1 0 rezultǎ cǎ n este convergentǎ. Astfel de 1 n + n + 1 n 0 k = n n + Criteriul lui Cuchy de convergenţǎ unei serii de numere rele Seri n converge dcǎ şi numi dcǎ pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) stfel încât pentru n N(ε) şi p 1 vem: n+1 + n+2 +... + n+p < ε 30