dr L. Stefanović, mr B. Rand elović, mr M. Matejić TEORIJA REDOVA ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr B. Rand elović, mr M. Matejić TEORIJA REDOVA ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 6.

dr Lidija Stefanović, mr Branislav Rand elović, mr Marjan Matejić TEORIJA REDOVA ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA II izdanje, Niš, 3. Recenzent: dr Ljubiša Kocić, red. prof. Eletronsog faulteta u Nišu Izdavač: Studentsi ulturni centar Niš Za izdavača: Miroslav Jović, diretor Uredni: Alesandar Blagojević Tehniča obrada: dr Lidija Stefanović, mr Branislav Rand elović Štampa: Unigraf Niš Tiraž: primeraa ISBN 978 86 7757 8 Bilo avo umnožavanje ove njige nije dozvoljeno bez pisanog odobrenja autora.

PREDGOVOR PRVOG IZDANJA Ova njiga je proistela iz višegodišnjeg isustva autora u držanju teorijse i pratične nastave na Eletronsom faultetu u Nišu. Zato je, pre svega, prilagod ena studentima tehničih naua. Naravno, mogu da je oriste i studenti drugačije profesionalne orijentacije, oji u oviru predvid enog nastavnog programa imaju ovde iznetu materiju. Knjiga se odnosi na samo jednu oblast matematie (Teorija redova) jer u ovom trenutu nije poznato da li će i na ojem studijsom programu biti izučavana ta oblast. Knjiga sadrži teoriju i rešene primere, oji u potpunosti ilustruju izloženu teoriju. Taod e, njiga sadrži i zadate predvid ene za vežbu, ali sa rešenjima ili neophodnim uputstvima. Autori smatraju da je upravo u prezentovanim primerima i zadacima glavna prednost ove njige nad ostalom literaturom oja se bavi istom problematiom. Ova njiga je, u stvari, istovremeno udžbeni i zbira zadataa. Osim matematiči oretnog izlaganja materije, autori su se trudili da njiga ima pedagoše i metodološe valitete. Na čitaocima ostaje rajnja procena da li su i olio u tome uspeli. Test njige je urad en pomoću programsog paeta EMTEX (verzija Amstex.), a slie pomoću programsih paeta Corel Draw (verzija 9.) i Paintbrush (verzija.). Autori duguju i ovom priliom isazuju zahvalnost mr Zvezdanu Marjanoviću jer je pročitao ruopis i ispravio postojeće materijalne greše u njemu. Taod e, autori isreno zahvaljuju recenzentu, prof. dr Ljubiši Kociću, oji je uazao na manjavosti ruopisa i dao orisne sugestije za prepravu istog, čime je doprineo onačnom uobličenju testa. Niš, 6. g. Autori iii

iv PREDGOVOR PREDGOVOR DRUGOG IZDANJA Drugo izdanje je u izvesnoj meri izmenjeno u odnosu na prvo izdanje. Otlonjene su uočene greše, štamparse i nee materijalne. Ubačeno je neolio napomena, tamo gde su autori smatrali da je test nedorečen. Nei primeri su iz pedagoših razloga rešeni drugačije, a deo Zadaci za vežbu je dopunjen araterističnim zadacima. Niš, 3. g. Autori

SADRŽAJ. UVODNI POJMOVI.. Brojni nizovi.. Funcionalni nizovi 3. BROJNI REDOVI 7.. Definicija i onvergencija 7.. Pozitivni redovi 3... Poredbeni riterijumi onvergencije 7... Ostali riterijumi onvergencije.3. Alternativni redovi 8.4. Redovi sa proizvoljnim članovima 3 3. FUNKCIONALNI REDOVI 38 3.. Definicija, onvergencija i uniformna onvergencija 38 3... Kriterijumi uniformne onvergencije 4 3... Apsolutna onvergencija 44 3.. Stepeni redovi 45 3... Uniformna onvergencija stepenih redova 49 3... Predstavljanje funcija pomoću stepenih redova 55 3.3. Fourierovi redovi 59 4. ZADACI ZA VEŽBU 77 PRILOG 5 LITERATURA 7 v

. UVODNI POJMOVI.. Brojni nizovi Cilj ovog ursa nije proučavanje nizova. Oni su precizno definisani i detaljno obrad eni u prethodnim ursevima matematie (videti [3], str. 9 49; [5]). Ovde samo urato podsećamo čitaoca na nee elementarne pojmove i pravila, više ih opisujući nego definišući. Radi jednostavnosti zapisivanja, na samom početu uvodimo oznae: N za sup prirodnih brojeva, R za sup realnih brojeva i N za sup N {}. Nea je a n R za svao n N. Ured eni sup brojeva a n, u oznaci (a, a,..., a n,... ), zove se realni ili brojni niz. Umesto prethodne, često se oriste i oznae: ( an ) n N, ( an ) n=, ( an ). I svai drugi ured eni sup realnih brojeva zove se brojni niz. (a m, a m+,... ) (m N ) Za brojeve a, a,... se aže da su članovi niza, a za a n da je opšti član niza. Nizovi se najčešće zadaju pomoću opšteg člana. Na primer, niz čiji je opšti član a n = /n za n N u razvijenom obliu glasi ( = (, n), ) 3,....

TEORIJA REDOVA Niz (a n ) je ograničen ao postoji broj M ( < M < + ) taav da je a n M za svao n N. Niz (a n ) je monoton ao je opadajući, rastući, neopadajući ili nerastući. Niz (a n ) je opadajući ao je a n > a n+, rastući ao je a n < a n+, neopadajući ao je a n a n+ i nerastući ao je a n a n+, pri čemu sve nejednaosti moraju da važe za svao n N. Niz (a n ) je onvergentan ao postoji onačan broj a R i ao za svao ε > postoji N(ε) N tao da je a n a < ε za svao n N(ε). Broj a je granična vrednost (granica, limes) niza (a n ). U ovom slučaju se aže da niz (a n ) onvergira a a i piše se lim a n = a. U svim ostalim slučajevima je niz (a n ) divergentan. Pri tome, ao za svao M > postoji N(M) N tao da za svao n N(M) važi a n > M, odnosno a n < M, ažemo da niz odred eno divergira a +, odnosno a, što redom zapisujemo sa: lim a n = +, lim a n =. Podniz ili delimični niz niza (a n ) n N je realni niz (a n ) N oji sadrži nee ili sve članove niza (a n ) n N, uzete u istom redosledu ao u (a n ) n N. Za realne nizove važe sledeća tvrd enja. Teorema... Svai onvergentan niz je ograničen. Teorema... Svai monoton i ograničen niz je onvergentan. Teorema..3. Niz (a n ) onvergira a broju a ao i samo ao svai njegov podniz onvergira a istom broju a. Teorema..4. (CAUCHYEV KRITERIJUM KONVERGENCIJE) Niz (a n ) je onvergentan ao i samo ao za svao ε > postoji N(ε) N tao da je a n a m < ε za svao n, m N(ε). PRIMER... Za q R i n N, posmatramo brojni niz (..) (a n ) = (q n ) i ispitujemo njegovu onvergenciju.

UVODNI POJMOVI 3 Razliujemo četiri slučaja, zavisno od vrednosti broja q. Nea je q <. U ovom slučaju niz (a n ) onvergira i ima graničnu vrednost lim a n = lim qn =. Nea je q =. Niz (a n ) je onstantan niz jer su mu svi članovi isti, a n = za svao n N, pa je onvergentan sa granicom lim a n = lim =. Nea je q >. Sada je lim a n = lim qn = +, pa niz (a n ) odred eno divergira a +. Nea je q. Posmatramo samo q =, a zaljučivanje je isto i za bilo oje drugo q <. Kao je a n = ( ) n, to je a = i a n =, a n = za svao n N. Dale, niz (a n ) se sastoji od dva onstantna podniza (a n ) i (a n ) čije su granice različite, lim a n = lim a n =. Prema Teoremi..3, niz (a n ) divergira. Zaljučujemo da brojni niz (..) onvergira za svai broj q (, ]... Funcionalni nizovi Nea su f n (x) realne funcije za svao n N, definisane na istom području D R. Ured eni sup funcija f n (x), u oznaci ( ) f (x), f (x),..., f n (x),..., zove se funcionalni niz. Umesto prethodne, u upotrebi su i oznae: ( fn (x) ) n N, ( fn (x) ) n=, ( fn (x) ). Taod e, funcionalni niz je i ( ) f m (x), f m+ (x),... (m N ).

4 TEORIJA REDOVA Opšti član funcionalnog niza je f n (x). I funcionalni nizovi se, analogno brojnim nizovima, najčešće zadaju pomoću opšteg člana. Na primer, niz čiji je opšti član f n (x) = x n za n N u razvijenom obliu glasi ( x n ) = (, x, x,... ). Za razliu od brojnih nizova, od funcionalnih nizova se razliuju dve vrste onvergencije: onvergencija (u tači i na intervalu) i uniformna onvergencija. Niz ( f n (x) ) onvergira u tači x = x D ao onvergira brojni niz ( fn (x ) ). Sup svih tačaa x D u ojima niz ( f n (x) ) onvergira zove se oblast onvergencije niza. Ovo je uobičajeni termin, oji ne znači uve i oblast u topološom smislu. Koretnije bi bilo reći područje onvergencije. Pretpostavimo da je oblast onvergencije niza interval (α, β) (ili [α, β], (α, β], [α, β)). Uopštenje onvergencije u tači je sledeće. Niz ( f n (x) ) onvergira na intervalu (α, β) ao postoji realna funcija f(x) (x (α, β)) i ao za svao ε > i svao fisirano x (α, β) postoji N(ε, x) N tao da je f n (x) f(x) < ε za svao n N(ε, x). Funcija f(x) je granična funcija niza ( f n (x) ), što se zapisuje na način lim f n(x) = f(x). U stvari, niz onvergira na intervalu ao onvergira u svaoj tači tog intervala. Uniformna onvergencija se definiše samo na intervalu, ne i u tači. Niz ( fn (x) ) uniformno onvergira na intervalu (α, β) a realnoj funciji f(x) (x (α, β)) ao za svao ε > postoji N(ε) N tao da je fn (x) f(x) < ε za svao n N(ε) i svao x (α, β). Primetimo da u ovom slučaju broj N zavisi samo od ε, a ne zavisi od x ao od obične onvergencije. Važi sledeće tvrd enje (videti [], str. 77). Teorema... Svai uniformno onvergentan niz je onvergentan, ali obrnuto u opštem slučaju ne važi.

UVODNI POJMOVI 5 PRIMER... Za x R i n N, posmatramo funcionalni niz (..) (f n (x)) = (x n ) i ispitujemo njegovu onvergenciju. Za svao fisirano x = x = q R dati funcionalni niz postaje brojni niz (..), oji smo razmatrali u Primeru.. i zaljučili da on onvergira za svao q (, ]. Dale, funcionalni niz (..) onvergira u svaoj onretnoj tači x (, ]. Oblast onvergencije niza (..) je interval (, ]. Niz (..) onvergira na intervalu (, ] a funciji {, x (, ), f(x) =, x =, što se lao proverava. Nea je ε > proizvoljno. Kao je f n (x) f(x) = { x n, x (, ),, x =, to je f n () f() < ε uve i f n (x) f(x) < ε ad je x n < ε, x (, ), tj. n > ln ε, x (, ). ln x Ao uglastim zagradama označimo celobrojni deo neog broja, zaljučujemo da postoji prirodni broj [ ] ln ε N(ε, x) = + ln x tao da je f n (x) f(x) < ε za svao n N(ε, x) i svao fisirano x (, ]. Posmatrani funcionalni niz ne onvergira uniformno na (, ], ča ni na (, ). Kao je lim x ± ln ε ln x =, ne postoji prirodan broj N(ε), oji ne zavisi od x, taav da je f n (x) f(x) < ε za svao n N(ε) i svao x (, ). Med utim, niz (..) uniformno onvergira na bilo om segmentu [ r, r], gde je < r <. Zaista, za x < r je n > ln ε ln x > ln ε ln r, pa postoji N(ε) = [ ln ε ln r ] + tao da je f n (x) f(x) < ε za svao n N(ε) i svao x [ r, r].

6 TEORIJA REDOVA Geometrijsa interpretacija uniformne onvergencije se sastoji u sledećem. Iz nejednaosti fn (x) f(x) < ε, oja važi za svao ε >, svao n N(ε) i svao x (α, β), sledi f(x) ε < f n (x) < f(x) + ε. Ovo znači da se svi članovi niza, počev od neog, nalaze u ε oruženju funcije f(x), što je priazano na Slici... y f(x) + f(x) f(x) f n (x) Slia... Radi upored enja uniformne i obične onvergencije, na Slici... je priazan niz (..) na segmentu [, ]. x y f(x) + f ( x) f(x) f ( x) f ( x) f ( x) 3 f n (x) x x x x 3 n x Slia... Vidimo da niz ( f n (x) ) = ( x n) onvergira a funciji f(x) = za svao x [, ), ali ne i za x =, gde je f n () =. Dale, počev od neog, svi članovi niza ( x n) ulaze u ε oruženje funcije f(x) =, ali na segmentu [, r], gde je < r < bilo oji broj. Za x (r, ], svi članovi beže a funciji f (x) =.

. BROJNI REDOVI.. Definicija i onvergencija Definicija... Nea je (a ) realni niz. Besonačni zbir brojeva (..) a = a + a + + a n + zove se brojni ili numeriči red. Brojevi a, a,... su članovi reda, a a n je opšti član reda (..). Opšti član je, u stvari, pravilo po ojem se generišu svi članovi reda. I svai drugi besonačni zbir brojeva (..) a = a m + a m+ + (m N ) =m zove se brojni red. U opštem slučaju je m, pa se redovi (..) i (..) razliuju za onačno mnogo početnih članova. Definicija... Zbir prvih n članova (..3) S n = n a = a + + a n (n N) je n ta parcijalna suma reda (..). Uočimo da je S n onačan zbir brojeva, pa ao taav uve postoji. Definicija..3. Besonačni zbir (..4) =n+ a = a n+ + a n+ + (n N) 7

8 TEORIJA REDOVA je ostata reda (..). Ostata je taod e red, oblia (..) sa m = n +. Očigledno je (..5) a = a S n. =n+ PRIMER... Besonačni zbir = + + 3 + je brojni red. Opšti član ovog reda je a n =, n ta parcijalna suma je n S n = n = + + + n, a ostata je red =n+ = n + + n + +. Na primer, za n = 3 parcijalna suma i ostata su: S 3 = 3 = + + 3, =4 = 4 + 5 +. NAPOMENA... Red (..) može da se zapiše na način a red (..) na način =m a a =m a (m ), a +(m ). Dale, promena početne vrednosti indesa sumiranja zahteva odgovarajuću promenu indesa članova. Definicija..4. Red a je onvergentan (divergentan) ao je niz parcijalnih suma (S n ) n N onvergentan (divergentan).

Ao postoji, granična vrednost BROJNI REDOVI 9 S = lim S n je suma (zbir) reda (..) i zapisuje se sa (..6) S = Ao je lim S n = +, a. ažemo da red (..) odred eno divergira. lim S n =, PRIMER... Ispitati onvergenciju reda Opšti član može da se zapiše na način pa je n ta parcijalna suma Kao je S n = = n a n = ( ( + ). n(n + ) = n n +, ( + ) = ) + = n +. n ( 3 ( + ) + + ) ( n n + lim S n =, to je dati red onvergentan i njegov zbir je ) S = ( + ) =. (..7) PRIMER..3. Ispitati onvergenciju geometrijsog reda q (q R).

TEORIJA REDOVA Za q, n ta parcijalna suma je geometrijsa progresija, pa je S n = n q = qn+ q = q q q qn. Za q = je S n = n = n = n +. U Primeru.. smo poazali da niz (q n ) divergira za q, onvergira a za q < i odred eno divergira a + za q >. Zato ne postoji lim S n ad je q i lim S n = q, q <, lim S n = +, q >. Kao je još lim S n = + ad je q =, zaljučujemo da geometrijsi red divergira za q, odred eno divergira a + za q i onvergira za q < sa sumom (..8) S = q = q. Niz parcijalnih suma (S n ) i niz (..) se u literaturi sreću pod istim imenom geometrijsi niz. Opšte osobine brojnih redova isazujemo sledećim teoremama. Teorema... Nea je a onvergentan red sa sumom S = i nea je c R proizvoljna onstanta. Tada je onvergentan i red ca sa sumom cs = a ca. Doaz. Ao sa S n i T n označimo parcijalne sume S n = n a, T n = n ca,

važi BROJNI REDOVI T n = cs n. Po pretpostavci teoreme je S = lim S n, pa je lim T n = c lim S n = cs. Teorema... Nea su a i S = Tada su onvergentni i redovi važi Doaz. Za parcijalne sume S n = b onvergentni redovi sa sumama a, S = b. (a ± b ) sa sumama S ± S = n a, S n = (a ± b ). n b, T n = T n = S n ± S n, n (a ± b ) pa je lim T n = lim S n ± lim S n = S ± S. Teorema..3. Redovi a i a (m ) su istovremeno onvergentni ili divergentni. Doaz. Nea je, za n m, S n = =m n a, T n = n a. =m Tada je S n = m a + T n = S m + T n.

TEORIJA REDOVA Zbir S m ima fisiran broj sabiraa m, oji ne zavisi od n, pa je onstantan. Ao stavimo C = S m, dobijamo Iz poslednje jednaosti sledi da lim T n. S n = C + T n. lim S n postoji ao i samo ao postoji Prema Definiciji..3 i Teoremi..3 važi da su red (..) i ostata reda (..4) istovremeno onvergentni ili divergentni. U slučaju onvergentnog reda, sa parcijalnom sumom (..3) i zbirom (..6), ostata je R n = =n+ a = S S n. Teorema..4. Ao je red a onvergentan, tada je to je Doaz. Kao je S n = lim a n =. n n a, S n = a, a n = S n S n. Red a je onvergentan, pa je, prema Teoremi..3, i, jasno, S = lim S n = lim S n, lim a n = lim S n lim S n = S S =. Teorema..4 se najčešće primenjuje u negiranom obliu. Ao je lim a n, tada red a divergira. Na primer, geometrijsi red (..7) divergira za q jer je lim a n = lim qn.

BROJNI REDOVI 3 NAPOMENA... Zahvaljujući Teoremi..3, u literaturi se često sreće Definicija..4 u sledećem obliu. Brojni red (..) onvergira ao za svao ε > postoji N(ε) N tao da je =n+ a < ε za svao n N(ε). NAPOMENA..3. Za S = S = a, T = =m lim S n = C + lim T n = C + T. a, prema doazu Teoreme..3 sledi Ao je onstanta C, očigledno je S T. Dale, onačan broj m članova ne utiče na onvergenciju reda, ali utiče na zbir onvergentnog reda. Tao geometrijsi redovi q i q istovremeno onvergiraju ( q < ) ili divergiraju ( q ). Med utim, u slučaju q <, prema Primeru..3 je S = q = q, do je T = q = + q = + q = q q S... Pozitivni redovi Definicija... Red pozitivan red ao je a za svao N. a naziva se red sa pozitivnim članovima ili Definicija... Red a je red sa negativnim članovima ili negativan red ao je a za svao N. Red oji ima onačno mnogo negativnih članova, a svi ostali su nenegativni, taod e zovemo pozitivnim redom. Analogno, red je negativan i ao je onačno mnogo njegovih članova pozitivno. Teorema... Pozitivan red a je onvergentan ili odred eno divergira a +.

4 TEORIJA REDOVA Doaz. Nea je Tada je S n = n n+ a, S n+ = a. S n+ = S n + a n+. Kao je a n+, važi S n+ S n za svao n N. Dale, niz parcijalnih suma (S n ) je neopadajući. Uolio je niz (S n ) ograničen, prema Teoremi.. on je i onvergentan. Ao (S n ) nije ograničen, on je divergentan. Pri tome, zbog S n+ S n za svao n N, niz (S n ) odred eno divergira a +. Teorema... Pozitivan red a je onvergentan ao i samo ao je niz parcijalnih suma (S n ) ograničen. Doaz. U Teoremi.. smo poazali da je niz (S n ) neopadajući i da iz ograničenosti niza (S n ) sledi onvergencija reda a. Sada poazujemo obrnuto. Nea je a onvergentan red. Tada postoji zbir S = a i važi S = a = n a + =n+ Kao je a za svao N, to je R n, pa je a = S n + R n. S S n za svao n N. Dale, niz (S n ) je ograničen. NAPOMENA... članom jer je Neopadajući niz (a n ) je uve ograničen odozdo svojim prvim a a. Zato se ograničenost niza svodi na ograničenost s gornje strane. Analogno, ograničenost nerastućeg niza znači ograničenost s donje strane. U prethodnim teoremama smo imali neopadajući niz parcijalnih suma (S n ), pa smo pod ograničenošću podrazumevali ograničenost odozgo. Vratimo se na negativne redove i posmatrajmo b sa b za svao N. Nea je a = b. Tada je b = a. Prema Teoremi.., za

c =, redovi b i Pri tome, ao je S = divergira a +, BROJNI REDOVI 5 a su istovremeno onvergentni ili divergentni. a, tada je S = b. Ao a odred eno b odred eno divergira a. Na osnovu prethodnog zaljučujemo da je dovoljno razmatrati samo pozitivne redove. Navodimo sada jedan oristan postupa za formiranje onvergentnih i divergentnih redova. Nea je (M n ) rastući niz za oji je Formiramo pozitivne redove: lim M n = +. (..) (..) (M + M ), ( ). M M + Kao je S n = T n = n (M + M ) = M n+ M, n ( ) M M + = M M n+, to je lim S n = lim M n+ M = +, lim T n = lim =. M M n+ M Zato red (..) odred eno divergira a +, a red (..) onvergira a M, tj. M = ( ). M M +

6 TEORIJA REDOVA (..3) PRIMER... Ispitati onvergenciju reda ( ln + ). Stavimo M n = ln n (n N). Niz (M n ) je rastući jer je M n = ln n < ln(n + ) = M n+ i važi lim M n = +. Kao je to je M + M = ln( + ) ln = ln + ( ln + ) = (M + M ), ( = ln + ), tj. red (..3) je red oblia (..). Prema prethodnom, zaljučujemo da red (..3) divergira. PRIMER... Ispitati onvergenciju reda ( + ). Stavimo M n = n (n N). Niz (M n ) je rastući i važi = M M + + = ( + ), lim M n = +. Kao je to je ( + ) = ( ), M M + pa je dati red oblia (..). Zato dati red onvergira i ima sumu ( + ) = M =. Do istog zaljuča smo, samo na drugi način, došli u Primeru...

BROJNI REDOVI 7... Poredbeni riterijumi onvergencije Navodimo neolio teorema ojima su uspostavljeni riterijumi za ispitivanje onvergencije pozitivnih redova. Kriterijumi su zasnovani na upored ivanju članova reda, pa otuda potiče ime poredbeni riterijumi. Teorema..3. Nea su a i b pozitivni redovi za čije članove važi (..4) a b za svao N. Tada iz onvergencije reda b sledi onvergencija reda a. Taod e, iz divergencije reda a sledi divergencija reda b. Doaz. Sa S n i T n označimo parcijalne sume S n = n a, T n = n b. Prema pretpostavci (..4), za svao n N važi S n T n. Pretpostavimo da je red b onvergentan. Prema Teoremi.., niz (T n ) je ograničen, tj. postoji onstanta M ( < M < + ) tava da je T n < M za svao n N. Tada je S n T n < M, pa je i niz (S n ) ograničen. Ponovnom primenom Teoreme.. zaljučujemo da je red a onvergentan. Obrnuto, nea je red a divergentan. Prema Teoremi.., ovaj red odred eno divergira a +, što znači da je Zbog S n T n, tada je i lim S n = +. lim T n = +, pa je red b taod e odred eno divergentan.

8 TEORIJA REDOVA Sledeće teoreme navodimo bez doaza. Doazi se mogu naći, npr., u [4], str.. I za ostala tvrd enja, oja u produžetu budemo navodili ne doazujući ih, doazi se mogu naći u istoj njizi [4]. Teorema..4. Nea su a i b pozitivni redovi i nea je b za svao N. Ao je a (..5) L = lim, b gde je < L < +, redovi divergentni. a i b su istovremeno onvergentni ili Teorema..5. Nea su a i b pozitivni redovi i nea je a b za svao N. Ao je (..6) a + a b + b za svao N, iz onvergencije reda b sledi onvergencija reda a, a iz divergencije reda a sledi divergencija reda b. NAPOMENA... Tvrd enja Teorema..3 i..5 ostaju na snazi i ao nejednaosti (..4), (..6) važe počev od bilo og = m N. PRIMER..3. Ispitati onvergenciju reda. U Primerima.. i.. smo ustanovili da je red je za svao N ( + ), ( + ) onvergentan. Kao to važi (..4) i možemo da primenimo Teoremu..3. Prema Teoremi..3 red

BROJNI REDOVI 9 je onvergentan. Tada je, prema Teoremi.., onvergentan i red. (..7) PRIMER..4. Ispitati onvergenciju harmonijsog reda. U Primeru.. smo utvrdili da red ( ln + ) divergira. Nea je ( a = ln + ), b =. Tada je b za svao N i odale je Prema (..5) je a b a lim b ( = ln + ) ( = ln + ), = lim ( ln + ) = ln e =. L = (, + ), pa primenjujemo Teoremu..4 i zaljučujemo da je harmonijsi red divergentan. Interesantan doaz divergencije harmonijsog reda, zasnovan na Teoremi.., može se naći u [4], str. 7. Primetimo na ovom mestu da za opšti član harmonijsog reda važi lim a n = lim n =, pa je ovaj red primer da obrnuto tvrd enje Teoremi..4 ne važi u opštem slučaju. (..8) PRIMER..5. Ispitati onvergenciju reda p (p =, 3,... ). U Primeru..3 smo utvrdili da red a = p, b =. onvergira. Nea je

TEORIJA REDOVA Tada je a b za svao N. Formiramo oličnie a + a = ( + ) p p = ( ) p, + b + b = ( + ) = ( ). + Kao je + <, za svao N i ao je p, to je pa je uslov (..6) ispunjen. ( ) a + p ( ) = = b +, a + + b Prema Teoremi..5 iz onvergencije reda onvergencija reda (..8). Red (..8) je specijalni slučaj hiperharmonijsog reda ada je p =, 3,... prirodan broj. Opšti slučaj, ada je p R, razmatramo asnije. sledi... Ostali riterijumi onvergencije Teorema..6. (CAUCHYEV KRITERIJUM) Nea je a pozitivan red. Ao postoje m N i q ( < q < ) tao da je n (..9) a n q < za svao n m, red a je onvergentan. Ao je n an za svao n m, red a divergira. Doaz. Iz nejednaosti (..9) sledi a n q n za svao n m. Kao je < q <, prema Primeru..3 geometrijsi red q je onvergentan. Prema Teoremi..3, tada je onvergentan i red =m a n q n i prema Teoremi..3 sledi onvergencija reda a. q. Zbog nejednaosti

BROJNI REDOVI Ao je n a n za svao n m, tada je i a n za svao n m, pa je lim a n. Prema Teoremi..4 red a divergira. Umesto Teoreme..6 u prasi se, pod istim imenom, češće oristi njena posledica. Teorema..7. (CAUCHYEV KRITERIJUM) Nea je a pozitivan red i nea je (..) L = lim n an. Ao je L <, red a onvergira. Ao je L >, red a divergira. Teorema..8. (D ALAMBERTOV KRITERIJUM) Nea je a pozitivan red sa a za svao N. Ao postoje m N i q ( < q < ) tao da je (..) a n+ a n q < za svao n m, red a je onvergentan. Ao je za svao n m, red a divergira. a n+ a n Doaz. Radi jednostavnosti zapisivanja i ne umanjujući opštost, pretpostavimo da je m =. Nejednaost (..), redom za n =,,..., glasi: odale je a qa, a 3 qa,..., a n qa n, a n qa n q a n q n a. Zbog < q <, geometrijsi red q = q je onvergentan. Prema Teoremi.., tada je onvergentan i red a q. Zbog a n a q n i prema Teoremi..3 sledi onvergencija reda a.

TEORIJA REDOVA Ao je a n+ a n =, prema Teoremi..5 iz divergencije reda (videti Primer..3) sledi divergencija reda a. Kao i od Cauchyevog riterijuma, jednostavnija za primenu je sledeća posledica Teoreme..8. Teorema..9. (D ALAMBERTOV KRITERIJUM) Nea je a pozitivan red sa a za svao N i nea je a n+ (..) L = lim. a n Ao je L <, red a onvergira. Ao je L >, red a divergira. Teoremama..7 i..9 nije obuhvaćen slučaj L =. Razlog je u činjenici da za L = red može da bude onvergentan, ali i divergentan. Na primer, od harmonijsog reda je lim n a n+ an = lim =, a n a taj red je divergentan. Istovremeno, hiperharmonijsi red je onvergetan, a taod e važi lim NAPOMENA..3. Granična vrednost n a n+ an = lim =. a n lim n an = od harmonijsog reda je odred ena prema sledećem. Nea je f(x) = x x za x >. Tada je ln f = x ln x, pa je redom: lim x (ln f) = lim (x ln x) = lim x ln( lim x f) =, x lim x f = lim x xx = e =. ln x x = lim x x x = lim x ( x) =,

BROJNI REDOVI 3 Pri nalaženju lim x (ln f) je upotrebljeno L Hospitalovo pravilo. Za a n = n je lim n an = n lim n = lim ( ) /n, n što je samo disretan obli granične vrednosti lim x xx (videti [5], str. 7 78). Za hiperharmonijsi red funcije f(x) = x x za x >. je lim n an = odred en na isti način, polazeći od Cauchyev riterijum je precizniji od D Alambertovog jer iz (..) sledi (..), do obrnuto ne mora da važi ([5], str. 5 53). Tačnije, postoje slučajevi u ojima pomoću D Alambertovog ne može, a pomoću Cauchyevog riterijuma može da se utvrdi onvergencija (divergencija) reda. PRIMER..6. Ispitati onvergenciju reda ( ) (+). + Za formiramo a n = ( ) n an = n n n(n+) = n + ( ) n n(n+) n + ( ) n n+ ( = ) n+ n + n + i nalazimo graničnu vrednost (..), L = lim n an = ( lim ) [ n+ ( = lim n + n + ) n+ ] = e. Broj e.78 > je transcedentan broj. Ovaj broj se prvi put sreće u Napierovom radu. Kao je L = <, prema Cauchyevom riterijumu (Teorema..7) dati red e onvergira. PRIMER..7. Ispitati onvergenciju reda 3 ( c + ), gde je c > proizvoljan realan broj.

4 TEORIJA REDOVA Za nalazimo a n = n 3 ) n ( c + n n n 3 an = n ( c + ) n = n n n 3 c + n. Analogno ao u Napomeni..3, polazeći od f(x) = x 3/x i uzimajući da x, odred uje n se n 3 =. Zato granična vrednost (..) glasi lim L = lim n an = c. Primenom Cauchyevog riterijuma zaljučujemo sledeće. Za c < je L >, pa posmatrani red divergira. Za c > je L <, pa red onvergira. Za c = je L =, pa se ne zna da li red onvergira ili divergira. Med utim, za c = je lim a n = lim n 3 ( + n ) n =, pa red divergira prema Teoremi..4. Dale, dati red onvergira za c > i divergira za c. PRIMER..8. Ispitati onvergenciju reda Za formiramo olični a n+ a n = n+ (n + )! n i odred ujemo graničnu vrednost (..), L = n!!. a n = n n! = n+ n! n (n + )! = n + a n+ lim = lim a n n + =. Kao je L = <, prema D Alambertovom riterijumu (Teorema..9) dati red onvergira.

BROJNI REDOVI 5 PRIMER..9. Ispitati onvergenciju reda c +, gde je c > proizvoljan realan broj. Za formiramo olični a n = c n + a n+ a n = c n+ + c n + = cn + + c n+ + = c n c + c n, i nalazimo graničnu vrednost (..). Za c imamo a za c > imamo L = L = a n+ c n + lim = lim a n c n+ + =, a + n+ lim = lim c n a n c + c n = c <. Primenom D Alambertovog riterijuma zaljučujemo sledeće. Za c > je L <, pa posmatrani red onvergira. Za c je L =, pa se ne zna da li red onvergira ili divergira. Med utim, za c < i c = je redom: lim a n = lim c n + =, lim a n = lim =, pa red divergira prema Teoremi..4. Dale, dati red onvergira za c > i divergira za c. Osim Cauchyevog i D Alambertovog riterijuma, med u poznatije riterijume spadaju i Kummerov, Raabeov i Gaussov, oji su detaljno opisani u [4], str. 7-. U razmatranje ovih riterijuma nećemo da se upuštamo, samo pominjemo njihov med usobni odnos. Kummerov riterijum je opštijeg tipa, oji se u specijalnim slučajevima svodi na D Alambertov ili Raabeov riterijum. Pri tome je Raabeov precizniji od D Alambertovog riterijuma. Gaussov riterijum je precizniji i od Raabeovog. Navedimo još jedan, često primenjivani riterijum. Teorema... (CAUCHYEV INTEGRALNI KRITERIJUM) Nea je realna funcija f(x) (x R) pozitivna, nepreidna i nerastuća za svao x > x.

6 TEORIJA REDOVA Taod e, nea je a = f() za svao m = [x ] + ( N), gde je [x ] celobrojni deo od x. Tada red =m istovremeno onvergiraju ili divergiraju. a i nesvojstveni integral + f(x) dx m Zbog Teoreme..3, pod uslovima Teoreme.. važi da i a, + m f(x) dx istovremeno onvergiraju ili divergiraju. NAPOMENA..4. Ao je x, može da se uzme m = [x ]. PRIMER... (..3) Ispitati onvergenciju hiperharmonijsog reda p, gde je p R proizvoljan broj. Posmatrajmo funciju f(x) = x p. Ova funcija je pozitivna, nepreidna i nerastuća za svao x > i p >, pa uzimamo x =. Kao je m = [x ] + =, stavljamo a = p = f() za svao m =, tj. za svao N. Primenjujemo Teoremu.. i nalazimo + m f(x) dx = + dx x p = = x p+ p + ln x + +, p,, p =, +, p <, p, p >, +, p =, Za p red (..3) divergira prema Teoremi..4. = +, p, p, p >. Dale, nesvojstveni integral, a time i hiperharmonijsi red (..3), onvergira za p > i divergira za p.

BROJNI REDOVI 7 NAPOMENA..5. Za p > hiperharmonijsi red (..3) onvergira, pa postoji njegov zbir, oji je funcija od p, jer su članovi funcije a = a (p). Zbirna funcija ζ(p) = p (p > ) je poznata Riemannova zeta funcija. NAPOMENA..6. U tou izvod enja doaza Teoreme.., oji smo izostavili, dolazi se do nejednaosti =m+ a + m f(x) dx Prva od ovih nejednaosti se oristi za doazivanje neih drugih važnih nejednaosti. Jedna od tavih se odnosi na hiperharmonijsi red i glasi =m a. p < p p (p > ). PRIMER... Ispitati onvergenciju reda ( 4) +. Posmatrajmo funciju f(x) = (x 4) +. Ova funcija je pozitivna i nepreidna za svao x R. Ispitujemo monotonost funcije i u tom cilju nalazimo f x + 8 (x) = [(x 4) + ]. Funcija f(x) je nerastuća ad je f (x), tj. x 4. Dale, uslovi Teoreme.. su ispunjeni za svao x > 4, pa uzimamo x = 4 i m = [x ] = 4. Stavljajući za svao = 4, 5,... i izračunavajući a = f() = ( 4) + + 4 f(x) dx = + 4 + dx (x 4) + = dt + t + = arctan t = π,

8 TEORIJA REDOVA zaljučujemo da =4 a onvergira, pa onvergira i a = ( 4) +. Cauchyev integralni riterijum može da se isaže i na sledeći način. Teorema... (CAUCHYEV INTEGRALNI KRITERIJUM) Nea je realna funcija f(x) (x R) pozitivna, nepreidna i opadajuća za svao x >. Tada postoji onačna granična vrednost ( n lim a n ) f(x) dx, gde je a = f() za svao =,..., n (n N). NAPOMENA..7. Funcija f(x) = x zadovoljava uslove Teoreme.., pa postoji tj. postoji ( n n lim γ = ) dx, x ( n ) lim ln n. Broj γ se zove Eulerova onstanta i iznosi γ.577. Još uve nije poznata priroda broja γ, tj. ne zna se da li je γ algebarsi ili transcedentan, ča ni da li je racionalan ili iracionalan broj. Na raju ove celine, pomenimo još Cauchyev opšti princip onvergencije, oji je zasnovan na Teoremi..4 za niz parcijalnih suma (S n ). Cauchyev opšti princip je od velie teorijse važnosti, ali se u prasi reto oristi jer je ompliovan za primenu (videti [4], str. 5)..3. Alternativni redovi Definicija.3.. Red a je alternativni red ao njegovi članovi naizmenično menjaju zna, tj. ao za svao N važi a a + <.

Prema definiciji, u alternativnom redu a je BROJNI REDOVI 9 a <, a >, a 3 <, a 4 >,... ili a >, a <, a 3 >, a 4 <,.... Promena znaa članova reda se reguliše drugačijim oznaama: ( ) b, ( ) + b, gde je b = a > za svao N. Umesto prethodnih, bez dovod enja u zabunu, nadalje oristimo standardne oznae: (.3.) ( ) a, ( ) + a, gde je a > za svao N. Kao je ( ) + a = ( ) a, svejedno je oji od redova iz (.3.) razmatramo. Definicije i teoreme navedene u delu. važe za sve brojne, pa i za alternativne redove. Med utim, riterijumi onvergencije pozitivnih redova ne važe za alternativne redove. Zato su izvedeni drugi riterijumi, od ojih je najpoznatiji Leibnizov. Teorema.3.. (LEIBNIZOV KRITERIJUM) Alternativni red (.3.) ( ) + a je onvergentan ao je niz (a n ) n N nerastući i lim a n =. Ostata R n onvergentnog reda (.3.) je po modulu manji od prvog zanemarenog člana, tj. R n a n+, i ima isti zna ( ) n ao taj član.

3 TEORIJA REDOVA Doaz. Parcijalna suma reda (.3.) je pa je S n = n S n = n ( ) + a, ( ) + a = (a a ) + (a 3 a 4 ) + + (a n a n ). Niz (a ) N je nerastući po pretpostavci teoreme, što znači da je a a + za svao N, tj. a a + za svao =,,.... Zato je niz (S n ) neopadajući i važi S n. Drugačijim grupisanjem članova sume S n imamo S n = a (a a 3 ) (a n a n ) a n a, pa je niz (S n ) ograničen. Prema Teoremi.., niz (S n ) je onvergentan i postoji S = lim S n. S druge strane, ao je S n+ = ( ) + a = n+ i, po pretpostavci teoreme, dobijamo n ( ) + a + ( ) n+ a n+ = S n + a n+ lim a n+ =, lim S n+ = lim S n + lim a n+ = S. Dale, niz (S n+ ) onvergira a istoj granici ao i niz (S n ). Prema Teoremi..3, tada je onvergentan i niz (S n ), tj. alternativni red (.3.) onvergira. Ostata R n onvergentnog reda (.3.) zapišimo na način R n = =n+ ( ) + a = ( ) n+ (a n+ a n+ + a n+3 ) =( ) n[ (a n+ a n+ ) + (a n+3 a n+4 ) + ].

BROJNI REDOVI 3 S obzirom na pretpostavu a a + za svao N, zbir u uglastoj zagradi je nenegativan, pa R n ima zna ( ) n, oji stoji uz a n+. Drugim rečima, ostata R n ima isti zna ao prvi zanemareni član ( ) n a n+. Dalje, za zbir u uglastoj zagradi važi (a n+ a n+ ) + (a n+3 a n+4 ) + = a n+ (a n+ a n+3 ) (a n+4 a n+5 ) a n+. Imajući u vidu nenegativnost ovog zbira, dobijamo R n = (an+ a n+ ) + (a n+3 a n+4 ) + an+, tj. R n je po modulu manji od prvog zanemarenog člana. Ovim je teorema u potpunosti doazana. PRIMER.3.. Ispitati onvergenciju reda ( ) +. Ovde je a n = n, pa niz (a n ) n N opada i lim a n =. Prema Leibnizovom riterijumu dati alternativni red onvergira. Ostata R n ima zna ( ) n+ = ( ) n i važi R n < a n+ = n +. PRIMER.3.. Ispitati onvergenciju reda Ovde je ( ) 3 +. a n = n n 3 +, pa niz (a n ) n N opada i lim a n =. Prema Leibnizovom riterijumu dati alternativni red onvergira. Ostata R n ima zna ( ) n+ i važi R n < a n+ = n + (n + ) 3 +.

3 TEORIJA REDOVA.4. Redovi sa proizvoljnim članovima Alternativni redovi su specijalan slučaj redova sa proizvoljnim članovima. Redovi sa proizvoljnim članovima su oni čiji članovi imaju različit zna, pri čemu promena znaa ne mora da podleže neoj posebnoj pravilnosti ao od alternativnih redova. Kod redova sa proizvoljnim članovima, uljučujući i alternativne redove, razliuju se dve vrste onvergencije: apsolutna i uslovna onvergencija. Definicija.4.. Red sa proizvoljnim članovima a apsolutno on- vergira ao onvergira pozitivan red a. Iz Definicije.4. je očigledno da je apsolutna onvergencija neog reda isto što i onvergencija odgovarajućeg pozitivnog reda. Zato za ispitivanje apsolutne onvergencije mogu da se oriste svi riterijumi navedeni u delu.. Teorema.4.. (CAUCHYEVA TEOREMA) Ao je red onvergentan, on je i onvergentan. Doaz. Formiramo nove redove i primećujemo da je b i a apsolutno c sa opštim članovima b n = ( ) an + a n, cn = ) an a n ( a n = b n c n. Kao je a n a n za svao n N, to je b n, c n, b n ( an + a n ) = a n za svao n N. Zbog a n a n, tj. a n a n za svao n N, taod e je za svao n N. Dale, redovi c n ( an + a n ) = a n b i c su pozitivni i za njihove opšte članove važe nejednaosti b n a n, c n a n.

BROJNI REDOVI 33 Po pretpostavci, red a onvergira. Prema poredbenom riterijumu iz Teoreme..3, tada onvergiraju redovi a n = b n c n i Teoremi.., onvergira i red a = b b c. i c. Dalje, prema Obrnuto tvrd enje u odnosu na Cauchyevu teoremu ne važi u opštem slučaju. Preciznije, red može da bude onvergentan, a da ne bude a apsolutno onvergentan. Zato je uveden sledeći pojam. Definicija.4.. Red s proizvoljnim članovima a je uslovno onver- gentan ili semionvergentan ao je a onvergentan i istovremeno a divergentan. Dale, uslovno onvergentan red je onvergentan, ali ne i apsolutno onvergentan, pa se za uslovnu onvergenciju često aže samo onvergencija. PRIMER.4.. Ispitati apsolutnu onvergenciju reda pa je Red Opšti član datog reda je ( ) a n = ( ) n 3 +. n n 3 +, a n = n n 3 +. a je pozitivan red, pa za ispitivanje njegove onvergencije oristimo, npr., poredbeni riterijum iz Teoreme..4. Nea je opšti član reda b n = n, čiju onvergenciju smo ustanovili u Primeru..3. Formiramo a n b n = n n 3 + n = n3 n 3 +,

34 TEORIJA REDOVA i nalazimo Zbog L = (, + ), red L = Prema Cauchyevoj teoremi, dati red a n n 3 lim = lim b n n 3 + =. a onvergira, tj. dati red u Primeru.3. pomoću Leibnizovog riterijuma jer je a apsolutno onvergira. a onvergira. Ovu činjenicu smo već utvrdili a alternativni red. (.4.) PRIMER.4.. Ispitati apsolutnu onvergenciju reda ( ) +. pa je Red Opšti član datog reda je a n = ( ) n+ n, a = a n = n. je geometrijsi red (..7) sa q = / <. onvergira i ima sumu (..8), tj. S = = U Primeru..3 smo poazali da ovaj red = =. Zato red (.4.) apsolutno onvergira i, prema Cauchyevoj teoremi, onvergira. Primetimo da je (.4.) alternativni red, pa smo njegovu onvergenciju (ne i apsolutnu onvergenciju) mogli jednostavno da utvrdimo pomoću Leibnizovog riterijuma. Pomoću ovog riterijuma možemo da dobijemo i procenu ostata R n = =n+ ( ) + < ali ne i zbir reda. Med utim, ao je ( ) + = ( ), red (.4.) možemo da zapišemo u obliu geometrijsog reda (..7), tj. ( ) = ( ) = n, ( ).

BROJNI REDOVI 35 Ovde je q = / i q <, pa red (.4.) onvergira prema Primeru..3 i ima zbir (..8), tj. S = ( ) = + = 3. (.4.) PRIMER.4.3. Ispitati apsolutnu onvergenciju reda ( ) +. pa je Opšti član datog reda je a n = ( ) n+ n, a n = n. Red a = je harmonijsi red (..7), za oji smo u Primeru..4 utvrdili da divergira. Dale, red (.4.) ne onvergira apsolutno. S druge strane, u Primeru.3. smo ustanovili da red (.4.) onvergira. Prema Definiciji.4., posmatrani red (.4.) uslovno onvergira. Na raju, bez doaza navodimo nee značajne teoreme, oje se odnose na onvergenciju brojnih redova. Teorema.4.. (DIRICHLETOVA TEOREMA) Zbir onvergentnog pozitivnog reda ostaje nepromenjen ao se poreda njegovih članova proizvoljno promeni. Neposredna posledica Teoreme.4. je da zbir apsolutno onvergentnog reda ostaje isti pri proizvoljnoj izmeni poreta njegovih članova. Teorema.4.3. Nea je b i, i= i= c i a semionvergentan red i nea su redovi formirani samo od pozitivnih, odnosno samo od negativnih članova reda a, redom. Tada pozitivan red +, a negativan red i= c i i= b i odred eno divergira a. odred eno divergira a Teorema.4.4. (RIEMANN DINIEV STAV) Zbir semionvegentnog reda zavisi od poreta njegovih članova. Preciznije, članovi semionvergentnog

36 TEORIJA REDOVA reda mogu da se pored aju tao da zbir reda ima proizvoljnu vrednost. Ča i više, pogodnim poretom članova, semionvergentni redovi mogu da postanu divergentni. (.4.3) PRIMER.4.4. Ispitati onvergenciju reda ( ( ) () ). Posmatrajmo red (.4.) oji u razvijenom obliu glasi ( ) + = + 3 4 + i za oji smo u Primeru.4.3 poazali da je semionvergentan. U redu (.4.) menjamo redosled članova tao da iza svaog pozitivnog slede dva negativna člana i vršimo odgovarajuće grupisanje. Red (.4.) postaje ( ) ( + 4 3 6 ) + = 8 ( ( ) ) () Dale, red (.4.3) je red (.4.) sa izmenjenim redosledom članova. S druge strane, opšti član reda (.4.3) je a n = n (n ) (n) = (n ) (n) = ( n ) n pa je red (.4.3) isti ao i red ( ) = [ ( ) ( + 3 ) ] + 4 = [ + 3 4 ] + = ( ) +. Nea je S zbir reda (.4.). Prema prethodnom, tada dati red (.4.3) ima zbir ( ( ) () ) = S. Zaljučujemo da je promena poreta članova u redu (.4.) sa zbirom S dovela do reda (.4.3) sa zbirom S, čime je na jednostavan način ilustrovan deo Riemann Dinievog stava. Očigledno, dati red (.4.3) je onvergentan..,

BROJNI REDOVI 37 PRIMER.4.5. Ispitati onvergenciju reda + 3 + 5 + 7 4 + 9 + 6 +. Dati red ćemo odmah, grupišući njegove članove, ali ne menjajući im poreda, da zapišemo u obliu (.4.4) Opšti član ovog reda je ( + 4 3 ). 4 ( a n = + = 4n 3 4n n n 4 3 n + 4 n ). Nea je b n = n opšti član hiperharmonijsog reda (..3), sa p = /, za oji je u Primeru.. već poazano da divergira. Primenom poredbenog riterijuma datog u Teoremi..4, nalazimo ( ) L = a n lim = lim b n 4 3 + n = + = (, + ), 4 4 pa red (.4.4) divergira ao i red (..3). S druge strane, posmatrajmo alternativni red (.4.5) 4 n ( ) + = + 3 4 +, čija onvergencija se lao utvrd uje prema Leibnizovom riterijumu. Med utim, red (.4.5) je semionvergentan jer je divergentan red ( ) + =. Upored ivanjem redova (.4.4) i (.4.5), lao vidimo da je red (.4.4) nastao iz reda (.4.5) promenom poreta članova. Posle svaa dva uzastopna pozitivna člana reda (.4.5) uzet po jedan negativan član iz niza (, ),... 4 Dale, red (.4.4) ima iste članove ao i red (.4.5), samo drugačije pored ane. Kao red (.4.5) onvergira, a red (.4.4) divergira, ovim primerom smo ilustrovali Riemann Diniev stav u celini..

3. FUNKCIONALNI REDOVI 3.. Definicija, onvergencija i uniformna onvergencija Definicija 3... Nea je ( f (x) ) funcija funcionalni niz. Besonačni zbir (3..) f (x) = f (x) + f (x) + + f n (x) + zove se funcionalni red. Funcije f (x), f (x),... su članovi reda, a f n (x) je opšti član reda (3..). I svai drugi besonačni zbir funcija (3..) f (x) = f m (x) + f m+ (x) + (m N ) =m zove se funcionalni red. U opštem slučaju je m, pa se redovi (3..) i (3..) razliuju za onačno mnogo početnih članova. Definicija 3... Zbir prvih n članova (3..3) S n (x) = n f (x) = f (x) + + f n (x) (n N) je n ta parcijalna suma reda (3..). Očigledno je S n (x) funcija, definisana na istom području D R ao i članovi niza f (x) ( N). 38

Definicija 3..3. Besonačni zbir FUNKCIONALNI REDOVI 39 (3..4) =n+ f (x) = f n+ (x) + f n+ (x) + (n N) je ostata reda (3..). Ostata je taod e funcionalni red, oblia (3..) sa m = n +. Važi (3..5) PRIMER 3... f (x) = f (x) S n (x). =n+ Besonačni zbir x = + x + x + je funcionalni red. Opšti član ovog reda je f n (x) = x n, n ta parcijalna suma je a ostata je red S n (x) = =n+ n x = + x + + x n, x = x n+ + x n+ +. Na primer, za n = 3 parcijalna suma i ostata su: S 3 (x) = 3 x = + x + x + x 3, =4 x = x 4 + x 5 +. Kod funcionalnih redova, ao i od nizova iz ojih su nastali, razliuju se dve vrste onvergencije: onvergencija (u tači i na intervalu) i uniformna onvergencija. Definicija 3..4. Red f (x) onvergira (divergira) u tači x = x D ao onvergira (divergira) brojni red f (x ). Sup svih tačaa x D u ojima red (3..) onvergira zove se oblast onvergencije ili, oretnije, područje onvergencije reda. Nea je oblast onvergencije interval (α, β), ili [α, β], (α, β], [α, β).

4 TEORIJA REDOVA Definicija 3..5. Red f (x) onvergira na intervalu (α, β) ao niz parcijalnih suma ( S n (x) ) onvergira na intervalu (α, β). n N Ao postoji, granična funcija S(x) = lim S n(x), x (α, β), je suma (zbir) reda (3..) i zapisuje se sa (3..6) S(x) = f (x). Konvergencija na intervalu, u stvari, znači onvergenciju u svaoj tači tog intervala. Uniformna onvergencija se definiše samo na intervalu, ne i u tači. Definicija 3..6. Red f (x) uniformno (ravnomerno) onvergira na intervalu (α, β) a funciji S(x) ao niz parcijalnih suma ( S n (x) ) n N uniformno onvergira a S(x) na istom intervalu. Za funcionalne redove važi tvrd enje analogno Teoremi.. od funcionalnih nizova. Teorema 3... Ao je red f (x) uniformno onvergentan na intervalu (α, β), tada je on i onvergentan na tom intervalu. Obrnuto u opštem slučaju ne važi. Teorema 3.. je neposredna posledica Definicije 3..6, Teoreme.. i Definicije 3..5, redom. Prema ovoj teoremi, da bi red bio uniformno onvergentan, pre svega mora da bude onvergentan. Uniformna onvergencija je mnogo češća na intervalima oblia [α, β], nego oblia (α, β). Zato ćemo nadalje, ne umanjujući opštost, uniformnu onvergenciju da razmatramo samo na segmentima [α, β]. PRIMER 3... Ispitati onvergenciju i uniformnu onvergenciju reda + = x (x ). Izuzimajući prvi f (x) =, svi ostali članovi reda imaju isti obli f (x) = x (x ) = x x,

FUNKCIONALNI REDOVI 4 pa je n ta parcijalna suma S n (x) = n f (x) = + (x ) + (x x) + (x 3 x ) + + (x n x n ) = x n (n N). Niz (S n (x)) n N = (x n ) n N = (x n ) n N je funcionalni niz (..), čiju smo onvergenciju ispitivali u Primeru.. i došli do sledećih zaljučaa. Niz (S n (x)) onvergira na intervalu (, ] a funciji S(x) = {, x (, ),, x =, a uniformno onvergira na svaom segmentu [ r, r] (, ) a funciji S(x) =. Prema Definicijama 3..5 i 3..6, za dati red važi isti zaljuča. Opšte osobine funcionalnih redova su isazane sledećim teoremama, oje su analogne Teoremama....4 od brojnih redova, pa ih navodimo bez doaza. Teorema 3... Nea je f (x) onvergentan red na intervalu (α, β) sa sumom S(x) = f (x). Taod e, nea je c(x) proizvoljna realna funcija, definisana i ograničena na istom intervalu (α, β). Tada je na intervalu (α, β) onvergentan i red c(x) f (x) sa sumom c(x) S(x) = c(x) f (x). Teorema 3..3. Nea su f (x), (α, β) sa sumama g (x) onvergentni redovi na S (x) = f (x), S (x) = g (x).

4 TEORIJA REDOVA Tada su na (α, β) onvergentni i redovi S (x) ± S (x) = ( f (x) ± g (x) ) sa sumama ( f (x) ± g (x) ). Teorema 3..4. Red f (x) je onvergentan na (α, β) ao i samo ao je na (α, β) onvergentan red =m f (x) (m ). Prema Definiciji 3..3 i Teoremi 3..4 važi da su red (3..) i ostata reda (3..4) istovremeno i na istom intervalu onvergentni, ili su divergentni. U slučaju onvergentnog reda, sa parcijalnom sumom (3..3) i zbirom (3..6), ostata je R n (x) = f (x) = S(x) S n (x). =n+ Teorema 3..5. Ao je red f (x) onvergentan na (α, β), tada je za svao x (α, β) lim f n(x) =. Teoreme 3.. 3..5 važe i u slučaju uniformno onvergentnih redova. NAPOMENA 3... Zahvaljujući Teoremi 3..4, u literaturi se Definicije 3..5 i 3..6 sreću i u drugačijem obliu. Na primer, umesto Definicije 3..6 se oristi sledeća evivalentna definicija. Funcionalni red (3..) uniformno onvergira na [α, β] ao za svao ε > postoji N(ε) N tao da je R n (x) < ε za svao n N(ε) i svao x [α, β]. 3... Kriterijumi uniformne onvergencije Ispitivanje onvergencije na intervalu se svodi na ispitivanje onvergencije u tačama tog intervala, tj. na ispitivanje onvergencije brojnih redova. Zato za običnu onvergenciju nisu razvijeni niavi posebni riterijumi. Za ispitivanje uniformne onvergencije postoji više riterijuma, npr. Weierstrassov, Dirichletov, Abelov (videti [4], str. 4 4). Najpoznatiji med u njima je Weierstrassov riterijum. Teorema 3..6. (WEIERSTRASSOV KRITERIJUM) Nea za svao x [α, β] i svao N važi f (x) M,

FUNKCIONALNI REDOVI 43 gde je < M < + za svao N. Ao je pozitivan brojni red M onvergentan, tada je funcionalni red f (x) uniformno onvergentan na [α, β]. Doaz. Kao je red M onvergentan, prema Napomeni.. za svao ε > postoji N(ε) N tao da za svao n N(ε) važi M = M = M < ε. =n+ =n+ Tada za svao x [α, β] i svao n N(ε) važi f (x) f (x) =n+ =n+ i, prema Napomeni 3.., sledi tvrd enje. =n+ =n+ M < ε PRIMER 3..3. Na [α, β] = [, ] ispitati uniformnu onvergenciju reda x. Za x [, ] i f (x) = x važi x = M. Brojni red M = je geometrijsi red (..7) sa q = / <, pa je onvergentan prema Primeru..3. Primenjujući Weierstrassov riterijum zaljučujemo da je dati red uniformno onvergentan na [, ]. Zbog veliog pratičnog značaja, navodimo bez doaza osobine uniformno onvergentnih redova. Doazi se mogu naći, npr., u [4], str. 43 46. Teorema 3..7. N i nea je red zbir Nea su funcije f (x) nepreidne na [α, β] za svao f (x) uniformno onvergentan na [α, β]. Tada je S(x) = f (x)

44 TEORIJA REDOVA nepreidna funcija na [α, β]. Teorema 3..8. Nea su funcije f (x) nepreidne na [α, β] za svao N i nea je red f (x) uniformno onvergentan na [α, β]. Tada red f (x) može da se integrali član po član, tj. za svao x, x (α x x β) važi x x ( ) f (x) dx = ( x x ) f (x) dx. Teorema 3..9. Nea su funcije f (x) diferencijabilne i f (x) nepreidne na [α, β] za svao N. Taod e, nea je red f (x) onvergentan, a red f (x) uniformno onvergentan na [α, β]. Tada red f (x) može da se diferencira član po član, tj. za svao x [α, β] važi ( ) f (x) = f (x). 3... Apsolutna onvergencija Osim onvergencije i uniformne onvergencije, od funcionalnih redova se uvodi i pojam apsolutne onvergencije. Definicija 3..7. Red f (x) apsolutno onvergira u tači x = x D ao apsolutno onvergira brojni red f (x ). Definicija 3..8. Red f (x) apsolutno onvergira na intervalu (α, β) ao apsolutno onvergira u svaoj tači tog intervala. Imajući u vidu Definicije 3..4 i 3..5, ao i Teoremu.4., jednostavno se sagledava da iz apsolutne onvergencije sledi onvergencija, ali ne i obrnuto. Apsolutna i uniformna onvergencija ne mogu da se porede na ovaj način.

FUNKCIONALNI REDOVI 45 PRIMER 3..4. reda Ovde je U tači x = x = ispitati onvergenciju i apsolutnu onvergenciju x. f (x) = x za svao N. Za x = x = dati funcionalni red postaje brojni f (x ) = f ( ) = ( ) = ( ) +. U Primeru.4.3 smo utvrdili da ovaj brojni red onvergira, ali ne apsolutno. Prema Definiciji 3..7 posmatrani funcionalni red onvergira u tači x =, ali ne onvergira apsolutno u toj tači. NAPOMENA 3... Weierstrassov riterijum obezbed uje i apsolutnu onvergenciju, što se lao sagledava iz doaza Teoreme 3..6. Med u funcionalnim redovima najznačajniji su stepeni i trigonometrijsi redovi, a med u trigonometrijsim Fourierovi redovi. Stepene i Fourierove redove, ao i njihovu onvergenciju, ćemo posebno da razmatramo. 3.. Stepeni redovi Definicija 3... Funcionalni red oblia (3..) a x, gde je a R za svao N, zove se stepeni ili potencijalni red. Vidimo da su članovi potencijalnog reda funcije f (x) = a x ( N). Realni brojevi a ( N) su oeficijenti potencijalnog reda. Red a (x x ), gde je x R fisiran broj, je taod e stepeni red. Ovaj red se smenom t = x x svodi na obli (3..), pa je dovoljno posmatrati samo redove (3..).

46 TEORIJA REDOVA Stepeni red je i svai drugi red a x (m N ), =m oji se od reda (3..) razliuje za onačno mnogo početnih članova. Nadalje posmatramo redove sa m =, tj. (3..) a x. Očigledno, svai stepeni red onvergira u tači x = jer se svodi na oeficijent a. Med utim, postoje stepeni redovi oji nisu onvergentni ni za jedno x. Najpoznatiji riterijum za utvrd ivanje onvergencije potencijalnih redova je Abelov. Teorema 3... (ABELOV STAV) Važe sledeća tvrd enja. Ao je stepeni red a x onvergentan za neo x = P, on je apsolutno onvergentan za svao x za oje je x < P. Ao je stepeni red a x divergentan za neo x = Q, on je divergentan za svao x za oje je x > Q. Doaz. Prema pretpostavci, brojni red a P je onvergentan i, prema Teoremi..4, za njegov opšti član važi lim a np n =. Zato postoji onstanta M ( < M < + ) tava da je an P n M za svao n N. Kao je P, dalje je an x n an = P n xn = an P n P n x P n M x n. P je geometrijsi red (..7), Za svao fisirano x i q = x, red x P P oji onvergira za q = x <, tj. x < P. Prema Teoremi.., P tada za x < P onvergira red M x i, prema Teoremi..3, red P a x. Dale, prema Definiciji 3..8, posmatrani stepeni red (3..) apsolutno onvergira.

FUNKCIONALNI REDOVI 47 Pretpostavimo suprotno, da je red (3..) onvergentan za neo x = x za oje je x > Q, tj. x < Q < x. Prema tvrd enju, red (3..) je tada onvergentan za svao x za oje je x < x, tj. x < x < x, pa i za x = Q. Drugim rečima, onvergentan je brojni red a Q, što je suprotno pretpostavci teoreme. Umesto Abelovog stava, u prasi se mnogo češće oristi njegova posledica. Teorema 3... Za svai red taav da važi: red a x apsolutno onvergira za x < R, red a x divergira za x > R. a x postoji broj R ( R + ), Broj R, čiju egzistenciju obezbed uje prethodna teorema, zove se poluprečni ili radijus onvergencije. Ao je R >, interval ( R, R) je interval onvergencije, tj. oblast onvergencije reda. Odmah primećujemo da Teoreme 3.. i 3.. ne azuju ništa o onvergenciji reda za x = R, tj. x = ±R. Med utim, tada se red (3..) svodi na brojne redove a R, ( ) a R, pa treba ispitivati njihovu onvergenciju prema neom od ranije navedenih riterijuma. Poluprečni onvergencije se najčešće odred uje primenom Cauchyevog (Teorema..7) ili D Alambertovog riterijuma (Teorema..9), na sledeći način. Za red (3..) formiramo olični f n+ (x) f n (x) = a n+ x n+ a n+ = x. a n x n a n Prema D Alambertovom riterijumu, za svao onretno x, brojni red oji se dobija iz (3..) apsolutno onvergira ao je lim a n+ x = x lim a n+ <, a n tj. a n x < lim a n+. a n