Osnove Fourierove analize. Franka Miriam Brückler

Osnove Fourierove analize Franka Miriam Brückler

Trigonometrijski redovi Zadatak Kako izgleda graf funkcije zadane s f (x) = 2 cos(3x)?

Trigonometrijski redovi Zadatak Kako izgleda graf funkcije zadane s f (x) = 2 cos(3x)? Zadatak Za koji a će sin(ax) imati period π/2?

Trigonometrijski redovi Zadatak Kako izgleda graf funkcije zadane s f (x) = 2 cos(3x)? Zadatak Za koji a će sin(ax) imati period π/2? 1?

Trigonometrijski redovi Zadatak Kako izgleda graf funkcije zadane s f (x) = 2 cos(3x)? Zadatak Za koji a će sin(ax) imati period π/2? 1? Periodična funkcija f : R R perioda T (ne nužno temeljnog) potpuno je odredena svojom restrikcijom na segment [ L, L] gdje je L = T 2. Vrijedi i obrnuto: svaka funkcija zadana na [ L, L] prirodno se proširuje do periodične funkcije na R perioda 2L.

Trigonometrijski redovi Zadatak Kako izgleda graf funkcije zadane s f (x) = 2 cos(3x)? Zadatak Za koji a će sin(ax) imati period π/2? 1? Periodična funkcija f : R R perioda T (ne nužno temeljnog) potpuno je odredena svojom restrikcijom na segment [ L, L] gdje je L = T 2. Vrijedi i obrnuto: svaka funkcija zadana na [ L, L] prirodno se proširuje do periodične funkcije na R perioda 2L. Najjednostavnije funkcije koje imaju period 2L su funkcije oblika ( mπx ) f m (x) = cos L i (za m, n N 0 ). g n (x) = sin ( nπx ) L

Trigonometrijski redovi Primjer Ako je L = π, tj. promatramo funkcije perioda 2π, onda je f m (x) = cos (mx), g n (x) = sin (nx). Uočimo da im (za m, n > 1) 2π nije temeljni (najmanji) period. Na vektorskom prostoru svih realnih funkcija s domenom [ L, L] i najviše konačno mnogo prekida skalarni produkt definiramo formulom f, g = L L f (x)g(x) dx. Zbog opisanog poistovjećivanja funkcija s periodom 2L s funkcijama kojima je [ L, L] domena, gornja formula definira i skalarni produkt za funkcije s periodom 2L.

Trigonometrijski redovi Svaka funkcija tipa f m ortogonalna je na svaku funkciju tipa g n, tj. skalarni produkt im je jednak nuli: f m, g n = L L sin (zašto?) Ako m n vrijedi i ( mπx ) ( nπx ) cos dx = 0 L L f m, f n = g m, g n = 0. Nadalje, ako m = n 0 vrijedi f n, f n = g n, g n = L. Za slučaj m = n = 0 imamo f 0, f 0 = 2L, g 0, g 0 = 0.

Trigonometrijski redovi Slično kako se redovi potencija koriste za aproksimacije neperiodičkih funkcija, za periodičke funkcije se koriste trigonometrijski redovi. Trigonometrijski redovi su redovi funkcija oblika + n=0 (A nf n (x) + B n g n (x)). Vidimo da je nulti član konstantna funkcija A 0 (jer je g 0 nulfunkcija). Ostali članovi reda su periodične funkcije s periodom 2L. Stoga je uobičajenija notacija općeg oblika trigonometrijskog reda A 0 + 2 + (A n f n (x) + B n g n (x)). n=1 Ako područje konvergencije trigonometrijskog reda sadrži segment [ L, L], onda je sa f (x) = A 0 + 2 + (A n f n (x) + B n g n (x)) n=1 definirana funkcija na [ L, L], tj. periodična funkcija.

Razvoj funkcije u Fourierov red Možemo li naći koeficijente u redu A 0 + 2 + (A n f n (x) + B n g n (x)) n=1 takve da taj red konvergira na [ L, L] i da je na tom segmentu jednak funkciji f s domenom [ L, L] koju želimo aproksimirati? Kad neku periodičku funkciju možemo zapisati trigonometrijskim redom govorimo o njenom razvoju u Fourierov red. Pretpostavimo da je moguće pisati f (x) = A 0 2 + + n=1 (A nf n (x) + B n g n (x)). Tada je za bilo koji m N 0 f (x)f m (x) = A + 0 2 f m(x) + (A n f n (x)f m (x) + B n g n (x)f m (x)). n=1

Razvoj funkcije u Fourierov red Integriranjem od L do L dobivamo f, f m = L A 0 L 2 f m (x) dx+ + n=1 (A n f m, f n + B n f m, g n ) = A m f m, f m = A m L. Vidimo dakle da za sve n N 0 vrijedi Slično se vidi da je A n = 1 L f, f n. B n = 1 L f, g n, n N. Brojevi A n i B n odredeni gornjim formulama zovu se Fourierovi koeficijenti funkcije f. Kao što je Taylorov red funkcije onaj red potencija u kojemu su koeficijenti odredenog oblika (a n = f (n) (c) n! ), tako je i Fourierov red funkcije onaj trigonometrijski red kojem su koeficijenti posebnog oblika, tj. kojemu su koeficijenti Fourierovi koeficijenti.

Razvoj funkcije u Fourierov red Korisno je primijetiti: ako je f parna funkcija, onda su svi B n jednaki 0, tj. u Fourierovom redu pojavljuju se samo kosinusi, a ako je f neparna funkcija, onda su svi A n jednaki 0, tj. u Fourierovom redu pojavljuju se samo sinusi.

Razvoj funkcije u Fourierov red Korisno je primijetiti: ako je f parna funkcija, onda su svi B n jednaki 0, tj. u Fourierovom redu pojavljuju se samo kosinusi, a ako je f neparna funkcija, onda su svi A n jednaki 0, tj. u Fourierovom redu pojavljuju se samo sinusi. Fourierov red funkcije f : [ L, L] R konvergira na [ L, L] ako f ima najviše konačno mnogo točaka prekida (koje su skokovi) i ako najviše konačno mnogo puta mijenja smjer rast-pad (tj. ima konačno mnogo lokalnih ekstrema). U tom slučaju za sve x [ L, L] (osim eventualno u točkama prekida i u ±L) vrijedi f (x) = A 0 + 2 + (A n f n (x) + B n g n (x)). n=1

Razvoj funkcije u Fourierov red Definicija (Fourierov red funkcije) Neka je zadana (realna ili kompleksna) funkcija f na segmentu [ L, L]. Trigonometrijski red A 0 2 + + n=1 (A nf n (x) + B n g n (x)) za koji vrijedi A n = 1 L f, f n, n N 0, B n = 1 L f, g n, n N zovemo Fourierovim redom funkcije f. Ako mu područje konvergencije sadrži segment [ L, L] i ako je za x iz tog segmenta f (x) = A 0 + 2 + (A n f n (x) + B n g n (x)) n=1 kažemo da smo f razvili u Fourierov red.

Razvoj funkcije u Fourierov red Primjer Odredimo Fourierov red za funkciju definiranu s { 1, 1 < x < 0 f (x) = 1, 0 x < 1 koja je po periodičnosti proširena na R. Funkcija je očigledno neparna pa su svi A n = 0. Koeficijenti B n (n N) iznose B n = 1 1 Stoga je 1 1 0 f (x) sin nπx dx = sin nπx dx + 1 f (x) = 4 π 1 = 1 2 (2 2 cos(nπ)) = nπ nπ (1 ( 1)n ). ( sin πx L + 1 3πx sin 3 L + 1 5 0 ) 5πx sin L +... sin nπx dx =

Razvoj funkcije u Fourierov red

Razvoj funkcije u Fourierov red Primjer Ako je f na [ L, L] zadana s f (x) = 2 L x + 1 za x < 0 i f (x) = 2 Lx + 1 za x 0, imamo parnu funkciju. Stoga su svi B n = 0. Račun za A n daje: za parne n je A n = 0, a za neparne n je A n = 8 za k π 2 n 2 N 0 tj. pripadni Fourierov red glasi A 1 f 1 (x) + A 3 f 3 (x) + A 5 f 5 (x) + A 7 f 7 (x) +... = = 8 ( πx ) (cos π 2 + 1 ( ) 3πx L 9 cos + 1 ( ) ) 5πx L 25 cos +.... L Primjer Ako je f na [ L, L] zadana s f (x) = 1 L x, imamo neparnu funkciju. Stoga su svi A n = 0. Račun za B n daje: B n = ( 1) n+1 2 nπ za n N.

Kompleksni oblik Fourierovog reda Često je praktično Fourierove redove koristiti u kompleksnom obliku f (x) = + n= c n e inπx/l (uočite da se sumira i po negativnim indeksima n). Funkcije e inπx/l ćemo kratko označiti s φ n (x). Primijetimo prvo da je φ n(x) = φ n (x) = φ n ( x). Veza kompleksnih Fourierovih koeficijenata c n s realnim Fourierovim koeficijentima A n i B n dana je s c 0 = A 0 2, c n = A n ib n, c n = A n + ib n 2 2 (n N). Ako je f realna i parna funkcija, svi koeficijenti c n su realni brojevi (jer su za parne realne funkcije svi B n = 0), a ako je f realna i neparna, svi c n su čisto imaginarni brojevi (jer su tad svi A n = 0).

Kompleksni oblik Fourierovog reda Primjer Za Fourierov red iz primjera na slide-u 15 imamo c 0 = 0, c n = i B n 2 = i 1 nπ (1 ( 1)n ), c n = i B n 2 = i 1 nπ (1 ( 1)n ) pa je kompleksni oblik Fourierovog reda za funkciju iz tog primjera 2 2... + i 5π e 5iπx/L + i 3π e 3iπx/L + i 2 π e iπx/l i 2 2 2 π eiπx/l i 3π ei3πx/l i 5π ei5πx/l...

Kompleksni oblik Fourierovog reda Ako je f realna funkcija, za sve n vrijedi c n = c n, c n = c n e iϕn, A 2 uz amplitudu c n = n +Bn 2 2 i fazni kut ϕ n = arctg Bn A n. Spektar amplituda periodične funkcije f definira se kao graf ovisnosti c n o kutnoj frekvenciji ω n = nπ L ; fazni spektar je graf ovisnosti faznih kuteva ϕ n o ω n. Kako su n Z, slijedi da se radi diskretnim funkcijama te se ta dva grafa zovu i diskretni frekvencijski spektri ili linijski spektri. U grafičkom prikazu spektra amplituda i faznog spektra često se na apscisu nanosi n umjesto ω n. Primijetimo i da je fizikalna dimenzija od ω n recipročna fizikalnoj dimenziji od L, koja je pak jednaka fizikalnoj dimenziji varijable x funkcije f koju razvijamo u Fourierov red.

Kompleksni oblik Fourierovog reda Primjer Uzmimo periodičnu funkciju koja prikazuje niz impulsa jačine A = 1 koji traju d = 1/20 s, a razmak izmedu početka dva impulsa iznosi 2L = 1/4 s. Tu funkciju možemo opisati s f (t) = 1 za t/s [ 1/40, 1/40], f (t/s) = 0 za ts [1/40, 9/40], uz proširenje po periodičnosti. Za n 0 dobiva se c n = 1 nπ sin nπ 5, ω n = 8nπ. Za n = 0 je c 0 = 1 5. Kako su svi c n realni, slijedi da su svi fazni kutevi nula (tj. fazni spektar je nezanimljiv). Spektar amplituda dobijemo kao prikaz ovisnosti c n = 1 nπ sin nπ 5 o 8nπ ili jednostavnije o n:.

Kompleksni oblik Fourierovog reda Spektar amplituda ukazuje koje od funkcija φ n u sumi najviše doprinose formiranju aproksimacije funkcije f putem Fourierova reda. Tako se iz spektra amplituda na slici desno vidi da u aproksimaciji funkcije s grafom prikazanim na slici lijevo najviše doprinose nulti, drugi, treći i peti član Fourierovog reda, tj. funkcije čiji grafovi su prikazani crno na slici u sredini. Na toj je slici plavo prikazan zbroj spomenuta četiri člana Fourierovog reda.

Kompleksni oblik Fourierovog reda Napomena Formalno gledajući, kompleksni Fourierovi koeficijenti čine kompleksan niz (c n ) + n=, tj. c : Z C (a c n je isto što i c(n)). Ukoliko definiramo c(ω n ) = c n doduše formalno imamo drugu funkciju (domena joj je skup svih cjelobrojnih višekratnika od π/l), no efektivno ništa bitno nismo promijenili.

Kompleksni oblik Fourierovog reda Još dva zadatka Zadatak Zadana je funkcija f : R R formulom f (x) = 1 4 + x 2. Skicirajte spektar amplituda za polinom stupnja 3 koji ju najbolje aproksimira oko 0, uzet kao periodična funkcija s temeljnim periodom 1 (tj. uzeto da je na [ 1, 1] taj polinom definicija periodične funkcije). Imamo prvo: 1 4 + x 2 = 1 4 1 1 ( x 2 /4) = 1 4 ( x 2 /4) n = 1 4 x 2 16 + x 4 64..., n=0 2 < x < 2. Stoga je na [ 1, 1] tražena formula periodične funkcije T 3 (x) = 1 4 x 2 16.

Kompleksni oblik Fourierovog reda Očito se radi o parnoj funkciji te je njen kompleksni Fourieov red oblika + c n exp(nπx), c ±n = A n 2 = 1 1 ( 1 2 1 4 x 2 ) cos(nπx) dx. 16 n= Imamo: c 0 = 1 2 c ±n = 1 2 = 1 32 1 1 Dakle je c 0 = 11/48 i 1 1 1 1 ( 1 4 x 2 ) 16 ( 1 4 x 2 16 dx = 11 48, ) cos(nπx) dx = ( 4 x 2 ) cos(nπx) dx = ( 1)n 8π 2 n 2. c ±n = 1 8ωn 2.

Kompleksni oblik Fourierovog reda Da želimo našu (proširenu) funkciju T 3 aproksimirati sa recimo 5 članova, uzeli bismo n = 0, ±1, ±2 i dobili T 3 (x) 11 48 + 1 1 (exp(πx) + exp( πx)) (exp(2πx) + exp( 2πx)) 8π2 32π2 = 11 48 + 1 4π 2 cos(πx) + 1 16π 2 cos(2πx).

Kompleksni oblik Fourierovog reda Zadatak Spektar amplituda neke realne parne funkcije temeljnog perioda 1 zadan je formulom c n = ωn 1 za n 0 i c 0 = 1/π. Odredite najbolju polinomijalnu aproksimaciju stupnja 2 koji oko 0 najbolje aproksimira tri najznačajnija člana (realnog) Fourierovog reda te funkcije. Kako je zadano da je funkcija parna, imamo A 0 = 2/π, A n = 2 c n = 2L nπ = 1 nπ i B n = 0. Kako spektar amplituda pada s porastom n, tri najznačajnija člana dobivamo iz pet najznačajnijih kompleksnih članova (kao u prethodnom primjeru), odnosno dobijemo f (x) = 2 π + 1 π cos(2πx) + 1 2π cos(4πx). Najbolji kvadratni polinom koji oko 0 aproksimira f je T 2 (x) = f (0) + f (0)x + f (0) 2 x 2 = 7 2π 12πx 2.

Kompleksni oblik Fourierovog reda

Uvod u Fourierovu transformaciju Zamislimo sad funkciju f : R R kao funkciju s jako velikim periodom T = 2L. To znači da su razmaci medu spektralnim linijama ω = ω n+1 ω n = π L = ω 1 vrlo mali. Što je T veći, ti razmaci će biti bliži 0: T + ω 0+

Uvod u Fourierovu transformaciju Zamislimo sad funkciju f : R R kao funkciju s jako velikim periodom T = 2L. To znači da su razmaci medu spektralnim linijama ω = ω n+1 ω n = π L = ω 1 vrlo mali. Što je T veći, ti razmaci će biti bliži 0: T + ω 0+ Fourierovi su koeficijenti niz, dakle funkcija c : π L Z C. Pojednostavljeno rečeno, varijabla funkcije c iz diskretne ω n prelazi u kontinuiranu ω, a sumacija po ω n postaje integracija po dω: f (x) = + n= c n e iωnx f (x) = c(ω)e iωx dω.

c(ω n ) = 1 2 (A n ib n ) = 1 2L f, f n ig n = = 1 L ( f (x) cos nπt 2L L L i sin nπt ) dt = 1 L f (x)e itωn dt L 2L L prelazi u c(ω) = 1 + f (t)e iωt dt. 2π

c(ω n ) = 1 2 (A n ib n ) = 1 2L f, f n ig n = = 1 L ( f (x) cos nπt 2L L L i sin nπt ) dt = 1 L f (x)e itωn dt L 2L L prelazi u c(ω) = 1 + f (t)e iωt dt. 2π Definicija (Fourierov transformat) Ako funkcija f : R C ima svojstvo da nepravi integral + f (t) dt konvergira, kažemo da je apsolutno integrabilna i pišemo f L 1 (R). Za takvu funkciju f je s F(f )(ω) = + f (t)e iωt dt definirana funkcija F(f ) : R C koja se zove Fourierov transformat

Dakle: Kao što je niz Fourierovih koeficijenata c = (c n ) + n= funkcija s domenom Z (skaliranom s π/l) pridružena periodičnoj funkciji f, tako je F(f ) funkcija s domenom R pridružena apsolutno integrabilnoj funkciji f.

Dakle: Kao što je niz Fourierovih koeficijenata c = (c n ) + n= funkcija s domenom Z (skaliranom s π/l) pridružena periodičnoj funkciji f, tako je F(f ) funkcija s domenom R pridružena apsolutno integrabilnoj funkciji f. Kako je e iωt = 1 za sve t i ω, intuitivno se vidi (a može se i dokazati) da zahtjev apsolutne integrabilnosti na f povlači konvergenciju integrala kojim je F(f ) definirana.

Dakle: Kao što je niz Fourierovih koeficijenata c = (c n ) + n= funkcija s domenom Z (skaliranom s π/l) pridružena periodičnoj funkciji f, tako je F(f ) funkcija s domenom R pridružena apsolutno integrabilnoj funkciji f. Kako je e iωt = 1 za sve t i ω, intuitivno se vidi (a može se i dokazati) da zahtjev apsolutne integrabilnosti na f povlači konvergenciju integrala kojim je F(f ) definirana. Općenito će fizikalna dimenzija varijable ω Fourierovog transformata neke funkcije f biti recipročna jedinici varijable t od f. kontekst varijabla funkcije f varijabla od F(f ) akustika, telekomunikacije vrijeme t frekvencija ν p kvantna teorija pozicija x difrakcija vektor r vektor s

F apsolutno integrabilnoj funkciji f pridružuje njen Fourierov transformat F(f ). Domena od F je vektorski prostor L 1 (R), a kodomena je vektorski prostor koji se označava s A(ˆR) (prostor svih funkcija s R u C koje se mogu dobiti kao Fourierovi transformati). je linearan operator, tj. vrijedi: F(f + g)(ω) = F(f )(ω) + F(g)(ω), za sve f, g L 1 (R) i skalare α. F(αf )(ω) = αf(f )(ω),

F apsolutno integrabilnoj funkciji f pridružuje njen Fourierov transformat F(f ). Domena od F je vektorski prostor L 1 (R), a kodomena je vektorski prostor koji se označava s A(ˆR) (prostor svih funkcija s R u C koje se mogu dobiti kao Fourierovi transformati). je linearan operator, tj. vrijedi: F(f + g)(ω) = F(f )(ω) + F(g)(ω), F(αf )(ω) = αf(f )(ω), za sve f, g L 1 (R) i skalare α. Vrijedi i svojstvo pomaka: ako polaznu funkciju horizontalno translatiramo (tj. gledamo g(t) = f (t t 0 )), efekt na pripadni Fourierov transformat je skaliranje s e iωt 0 : F(g)(ω) = F(f )(ω)e iωt 0. Takoder, skaliranje polazne funkcije (g(t) = e iω 0t f (t)) znači pomak za pripadni Fourierov transformat: F(g)(ω) = F(f )(ω ω 0 ).

Fourierov transformat realne funkcije Općenito je F(f ) kompleksna funkcija: F(f )(ω) = a(ω) + ib(ω), gdje su a i b realne funkcije s domenom R. Po definiciji imamo F(f )(ω) = pa je + f (t)e iωt dt = + f (t)(cos(ωt) i sin(ωt)) dt, a(ω) = + f (t) cos ωt dt, b(ω) = + f (t) sin ωt dt.

Fourierov transformat realne funkcije Općenito je F(f ) kompleksna funkcija: F(f )(ω) = a(ω) + ib(ω), gdje su a i b realne funkcije s domenom R. Po definiciji imamo F(f )(ω) = pa je + f (t)e iωt dt = + f (t)(cos(ωt) i sin(ωt)) dt, a(ω) = + f (t) cos ωt dt, b(ω) = + f (t) sin ωt dt. Vidimo: ako je f realna, a je parna, a b je neparna realna funkcija.

Fourierov transformat realne funkcije Općenito je F(f ) kompleksna funkcija: F(f )(ω) = a(ω) + ib(ω), gdje su a i b realne funkcije s domenom R. Po definiciji imamo F(f )(ω) = pa je + f (t)e iωt dt = + f (t)(cos(ωt) i sin(ωt)) dt, a(ω) = + f (t) cos ωt dt, b(ω) = + f (t) sin ωt dt. Vidimo: ako je f realna, a je parna, a b je neparna realna funkcija. Ako je f parna i realna slijedi da je F(f ) realna, a ako je f neparna i realna, F(f ) je čisto imaginarna.

Sljedeći teorem daje kriterij kako po Fourierovom transformatu raspoznati radi li se o realnoj funkciji: Teorem Funkcija f je realna ako i samo ako njen Fourierov transformat F(f ) ima svojstvo da je za sve ω R F(f )( ω) = F(f )(ω). http://www-rohan.sdsu.edu/~jiracek/dagsaw/images/ fig3-4a.gif

Sljedeći teorem daje kriterij kako po Fourierovom transformatu raspoznati radi li se o realnoj funkciji: Teorem Funkcija f je realna ako i samo ako njen Fourierov transformat F(f ) ima svojstvo da je za sve ω R F(f )( ω) = F(f )(ω). http://www-rohan.sdsu.edu/~jiracek/dagsaw/images/ fig3-4a.gif Kao i Fourierov red, tako i Fourierov transformat odreduje dva spektra: spektar amplituda i fazni spektar M(ω) = F(f )(ω), ϕ(ω) = arctg b(ω) a(ω).

Često pitanje je: ako znamo funkciju F i znamo da je ona nepoznate funkcije f, kako odrediti f? Odgovor na to daje sljedeći teorem. Teorem (Inverzna ) Neka je F L 1 (R) A(ˆR). Pretpostavimo da je F = F(f ) za neku f L 1 (R). Tada za sve t R vrijedi f (t) = 1 2π + F (ω)e iωt dω.

Vezano za Fourierovu transformaciju često se pojavljuje Diracova δ-funkcija. Iako se može integrirati po intervalima skupa R, Diracova δ-funkcija nije uobičajena realna funkcija. Možemo ju zamisliti kao trenutni impuls odnosno kao funkciju koja je jednaka nula svuda osim u jednoj točki (trenutku 0), u kojoj iznosi + ; pritom se definicijom zahtijeva da je + δ(t) dt = 1. Vrijedi: F(δ)(ω) = + e iωt δ(t) dt = 1. Inverzna Fourierva transformacija daje integralnu formulu δ-funkcije: δ(t) = 1 + e iωt dω. 2π Fourierov transformat pomaknute δ-funkcije δ(t a) (funkcije koja je svuda 0 osim u a kad je beskonačna) je e iωa.

Želimo li prikazati dva razdvojena impulsa razmaknuta za 2a, možemo ih reprezentirati funkcijom formule čiji Fourierov transformat je δ(t a) + δ(t + a) e iωa + e iωa = 2 cos ωa.

Želimo li prikazati dva razdvojena impulsa razmaknuta za 2a, možemo ih reprezentirati funkcijom formule čiji Fourierov transformat je δ(t a) + δ(t + a) e iωa + e iωa = 2 cos ωa. Periodični niz jediničnih impulsa (s periodom T ) je opisan s δ T (t) = + n= δ(t nt ). Funkcija δ T zove se i Diracov češalj. Pripadni Fourierov red je δ T (t) = 1 + T n= einω0t uz ω 0 = 2π T. Integriranjem član po član dobiva se: F(δ T )(ω) = ω 0 + n= δ(ω nω 0 ). Dakle, Diracov češalj je do na multiplikativnu konstantu ω 0 sam sebi Fourierov transformat.

Svojstva Fourierove transformacije Skaliranje: Ako je g(t) = f (αt), onda je F(g)(ω) = 1 α F(f ) ( ω α). Promjena smjera: Ako je g(t) = f ( t), onda je F(g)(ω) = F(f )( ω). Simetrija: Ako je g(t) = F(f )(t), onda je F(g)(ω) = 2πf ( ω). Deriviranje: F(f )(ω) = iωf(f )(ω); Modulacija: Ako je g(t) = f (t) cos ω 0 t, onda je F(g)(ω) = 1 2 (F(f )(ω ω 0) + F(f )(ω + ω 0 )); Konvolucija obzirom na vrijeme: F(f g) = F(f )F(g); Konvolucija obzirom na frekvenciju: F(f ) F(g)(ω) = F(2πf (t)g(t)). Konvolucija???

Definicija (Konvolucija) Konvolucija a dviju funkcija f, g : I R (gdje je I neki, ne nužno ograničen, interval u R) je funkcija f g definirana s: f g(x) = f (t)g(x t) dt. I a Naravno, konvolucija nije definirana za sve funkcije f i g, već za tzv. Schwartzove funkcije. Jedan način kako vizualizirati konvoluciju dvije funkcije je da zamislimo da se graf jedne giba u smjeru osi apscisa jednolikom brzinom preko grafa druge funkcije te da u svakom trenutku računamo površinu presjeka iznos te površine je vrijednost njihove konvolucije u tom trenutku. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/ Convolution_Animation_(Boxcar).gif

http: //www.ysbl.york.ac.uk/~cowtan/fourier/convthry.html

Gornje ideje lako se poopćavaju na trodimenzionalni slučaj: F(f )(s) = f (r)e iπs r dr R 3 gdje je r radij-vektor promatrane točke u R 3, a s je vektor u recipročnom prostoru (izomorfnom s R 3 ). Posjetimo se da je jedinica duljine u recipročnom prostoru recipročna jedinici duljine u direktnom prostoru to je u skladu s već uočenom činjenicom da je jedinica varijable Fourierovog transformata (ovdje je to s) recipročna jedinici varijable osnovne funkcije f (ovdje je to r). U standardnoj situaciji kakva se susreće u difrakcijskoj strukturnoj analizi, r je radij-vektor nekog atoma ili iona u kristalu, f je funkcija elektronske gustoće (nepoznata), a F(f ) je rezultat dobiven difrakcijom na kristalu. Cilj je odrediti točke maksimuma funkcije elektronske gustoće, tj. pozicije atoma.

Trodimenzionalna varijanta δ-funkcije je nula svuda osim u jednoj točki (x 0, y 0, z 0 ). Trodimenzionalni Diracov češalj se definira s δ a,b,c (x, y, z) = + i,j,k= δ(x ia, y jb, z kc). Možemo ga zamisliti kao trodimenzionalni periodički niz jediničnih signala. Stoga kristalnu strukturu možemo opisati kao konvoluciju kristalne rešetke (trodimenzionalnog Diracova češlja) i sadržaja jedinične ćelije. Fourierov transformat bilo kakve rešetke daje njoj recipročnu rešetku. Stoga je Fourierov transformat kristalne strukture produkt Fourierova transformata sadržaja jedinične ćelije i recipročne rešetke. Činjenica koju smo u jednodimenzionalnom slučaju opisali teoremom 1 sad se može iskazati i ovako: difrakcijski uzorak, budući da potječe od realnog kristala, je uvijek centrosimetričan.