MATEMATIKA 3. Vera & Rade

MATEMATIKA 3 Vera & Rade

1. Diferencijalne jednačine prvog reda - osnovni pojmovi Oznake: x - nezavisno promenljiva y - nepoznata funkcija, y = y(x) y = dy dx - izvod funkcije Opšti oblik diferencijalne jednačine prvog reda: (1) F (x, y, y ) = Normalni oblik diferencijalne jednačine prvog reda: (2) y = f(x, y) Napomena: (1) i (2) su funkcionalne jednačine

Primer: 1g šećera topi se u vodi brzinom proporcionalnom nerastvorenom delu. Naći jednačinu topljenja šečera. q(t) - broj istopljenih grama u trenutku t q (t) - brzina topljenja q = k(1 q), q() = Definicija: Funkcija y = y(x) je rešenje jednačine (2) na (a, b) ako je y (x) f(x, y(x)), x (a, b) Primer: q(t) = 1 1e kt q = 1ke kt = k(1 1 + 1e kt ) = = k(1 q), t [, )

Primer iz ekonomije (funkcija mortaliteta u osiguranju): Populacija se sastoji od ljudi iste starosti. l(x) - veličina populacije u u trenutku x l(x) (uzrok je mortalitet) Brzina promene populacije proporcionalna je veličini populacije: l (x) = (p + qr x ) l(x) }{{} µ(x) µ(x) > - intenzitet smrtnosti p, q, r - parametri ( ) Rešenje: l(x) = Cs x q rx Gomperdtz-Makeham-ov zakon smrtnosti p = ln s, q ln r = ln q, C slobodan parametar Domaći: Proveriti da je l(x) = Cs x q rx opšte rešenje jednačine ( ).

Napomena: U principu, jednačina (2) ima beskonačno rešenja Definicija: Opšte rešenje j-ne (2) je eksplicitno zadata familija funkcija y = y(x, C) ili implicitno zadata familija ϕ(x, y, C) = koja identički zadovoljava (2) po x i C Primer: q(t) = 1 + Ce kt q = Cke kt = k(1 1 Ce kt ) = = k(1 q), C (, ), t (, ) Definicija: Partikularno rešenje j-ne (2) je svako rešenje koje se dobija iz opšteg za fiksiranu vrednost konstante C Primer: Za C = 1 dobija se partikularno rešenje q = 1 1e kt Definicija: Singularno rešenje j-ne (2) je rešenje koje se ne može dobiti iz opšteg ni za jednu vrednost konstante C Pitanje: Kako doći do opšteg rešenja?

Primer: y = x 2 (f(x, y) = x 2 ne zavisi od y) Skup svih rešenja je skup svih primitivnih funkcija f-je x 2 : y = x 2 dx = x3 3 + C y x Sl. 1 Opšte rešenje y = x3 3 + C sadrži sva rešenja. Za C = dobija se partikularno rešenje y = x3 3.

Napomena: Ako je data familija y = x3 3 + C, parametar C se može eliminisati diferenciranjem: y = 3 x2 3 = x2 Dobija se diferencijalna j-na čije je opšte rešenje polazna familija. Ova napomenena važi u opštem slučaju: y = y(x, C), y = d y(x, C) dx Eliminacija C iz dve veze daje diferencijalnu j-nu čije je rešenje polazna familija y = f(x, y) y = y(x, C) Primer: y = (x C) 3 y = 3(x C) 2 x C = 3 y y = 3( 3 y) 2 Dobijena je jednačina: y = 3 3 y 2

Opšte rešenje j-ne: y = (x C) 3 y y=(x-c) 3 x Sl. 2 Postoji još beskonačno mnogo rešenja koja nisu obuhvaćena opštim (Sl. 3): y y a,b = (x a) 3, x a, a x b (x b) 3, x b

y a b (x,) x Sl. 3 Kroz svaku tačku (x, ) prolazi beskonačno mnogo rešenja. 2. Egzistencija rešenja y = f(x, y) f(x, y) je definisana na oblasti D R 2, (x, y ) D Osnovni problem: postoji li rešenje jednačine y = f(x, y) koje zadovoljava uslov y(x ) = y? Ako postoji, da li je jedinstveno?

Ovo je tzv. Košijev problem: (KP ) y = f(x, y), y(x ) = y Primer 1. y = 3 3 y 2 Kroz tačke (x, y ), y prolazi jedno rešenje y = (x x + 3 y ) 3 : y y x x Sl. 4 Kroz tačke (x, ) prolazi beskonačno mnogo rešenja (sl.5):

(x a) 3, x a y =, y a,b =, a x b (x b) 3, x b y a x b x Sl.5 Primer 2. y = y x Može se proveriti da je y = C x opšte rešenje jednačine

Sl. 6 Kroz tačke (, y ) ne prolazi ni jedno rešenje Teorema (Pikar): Neka je P a,b = {(x, y) : x x a, y y b}. Ako je f(x, y) na P a,b : neprekidna ograničena, tj. f(x, y) M, (x, y) P a,b zadovoljava Lipšicov uslov f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2, (x, y 1 ), (x, y 2 ) P a,b,

tada na (x h, x + h), h = min{a, b/m}, postoji jedinstveno rešenje (KP ) i to rešenje je jedinstveno. y y + b y(x) y y -b x -a x -h x x +h x + a x Sl. 7 Napomena: Ako na P a,b postoji f y i važi f y L, tada važi Lipšicov uslov: f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) = f y (x, ξ)(y 1 y 2 ) L y 1 y 2 Primer: y = x + y, y() = 1 P a,b = {(x, y) : x a, y 1 b}

Funkcija f(x, y) = x + y na P a,b je: neprekidna f(x, y) = x+y x + y 1 +1 a+b+1 = M f y = 1 Zaključak: Na intervalu ( h, h), h = min{a, postoji rešenje jednačine i jedinstveno je. b a+b+1 }, Skica dokaza Pikarove teoreme - metoda sukcesivnih aproksimacija: (KP ) dy dx = f(x, y), y(x ) = y dy(x) = f(x, y(x))dx x x dy(x) = f(x, y(x))dx x x x y(x) y(x ) = f(x, y(x))dx }{{} y x

Integralna jednačina: y(x) = y + x x f(x, y(x))dx Sukcesivne aproksimacije: y (x) y x y 1 (x) = y + f(x, y (x))dx x. x y n+1 (x) = y + f(x, y n (x))dx x. Rezultat: y n (x) y(x), x (x h, x + h) gde je y(x) jedinstveno rešenje (KP ) Ocena greške: y n (x) y(x) ML n x x n+1 (n + 1)! e L x x

Primer: y = x + y, y() = 1 y (x) 1 y 1 (x) = 1 + x = 1 + x2 2 + x y 2 (x) = 1 +. x f(x, y (x))dx = 1 + (x + 1 + x2 2 x (x + 1)dx + x)dx = 1 + x3 6 + x2 + x Domaći: Ispitati uslove Pikarove teoreme za Košijev problem y = x y, y(2) = 4 Napomena: Ako je poznato opšte rešenje, rešenje (KP ) se dobija zamenom početnih uslova u opštem rešenju:

y = y(x, C) y = y(x, C) C = C Traženo rešenje (KP ): y = y(x, C ) Primer: y = 3 3 y 2, y(1) = 1 y = (x C) 3 1 = (1 C) 3 C = y = x 3 y y= x 3 x Sl. 8

METODE REŠAVANJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA PRVOG REDA a) Jednačina koja razdvaja promenljive y = g(x)h(y) g, h - neprekidne funkcije dy = g(x)h(y) h(y) dx dy = g(x)dx h(y) dy = g(x)dx (OR) h(y) Napomene: Ako je h, j-na je trivijalna: y = Ako je h, ali postoji y t. d. h(y ) =, onda je y = y rešenje koje se ne sadrži u opštem

Primer: y = x3 (y + 1) 2 g(x) = x3 h(y) = 1 (y + 1) 2 (y + 1) 2 dy = x 3 dx (y + 1) 2 dy = x 3 dx (y+1) 3 3 = x4 4 + C implicitno zadato rešenje ( ) y = 3 3 C x4 4 1 eksplicitno zadato rešenje (KP ) y() = 1 : 1 = 3 3C 1 C = 8/3 y = 3 3(8/3 x 4 /4) 1

b) Homogena jednačina y = g ( y) x x, g neprekidna funkcija Smena: z = y x dz g(z) z y = zx y = z x + z z x + z = g(z) z x = g(z) z dz g(z) z = dx x, g(z) z = ln x + C Primer: y = y2 +xy x 2 x 2 opšte rešenje = ( y) 2 x + y x 1 y x = z z x + z = z 2 + z 1 z x = z 2 1 dz z 2 1 = dx x 1 2 ln z 1 z + 1 = ln x + C 1 2 ln y x y + x = ln x + C

c) Jednačina koja se svodi na homogenu ( ) y = F αx+βy+γ ax+by+c F neprekidna; γ ili c 1 α β a b = αb βa Smene: x = X + h X- nova nezavisno promenljiva y = Y + k Y - nova nepoznata funkcija dy dx = dy ( ) α(x + h) + β(y + k) + γ dx = F a(x + h) + b(y + k) + c αh + βk + γ = dy dx = F ah + bk + c =, (det ) ( αx + βy ax + by ) = F ( α + β Y X a + b Y X )

2 αb βa = Smena: z = αx + βy (ili z = ax + by) Jednačina se svodi na j-nu koja razdvaja promenljive u odnosu na novu nepoznatu f-ju z Domaći (jun 25): y = (2y+1)2 (x+2y 2) 2 d) Linearna diferencijalna jednačina prvog reda (LNH) y + p(x)y = q(x) (LH) y + p(x)y = p, q - neprekidne funkcije dy = p(x)y, (y ) dx dy = p(x)dx y ln y = p(x)dx + C 1 y = e p(x)dx e C 1 (e C 1 > )

C = { e C 1 za y > e C 1 za y < y = Ce p(x)dx y rešenje (C ) y h = Ce p(x)dx, C R - opšte rešenje (LH) Metoda varijacije konstanata za (LN H) jednačinu: (LNH): y nh = C(x)e p(x)dx y nh = C e p(x)dx Ce p(x)dx p(x) C e p(x)dx Ce p(x)dx p(x) }{{} y nh + p(x)ce p(x)dx }{{} y nh C (x) = e p(x)dx q(x) C(x) = q(x)e p(x)dx dx + C y nh = e ( ) p(x)dx q(x)e p(x)dx dx + C = q(x)

Primer: y + 2xy = 4x (LH) : y + 2xy = dy y = 2xdx ln y = x2 + C 1 y h = Ce x2 y nh = C(x)e x2 C e x2 2xe x2 C + 2xCe x2 = 4x C = 4xe x2 ( ) y nh = e x2 2e x2 + C C(x) = 2e x2 + C = Ce }{{ x2 } + }{{} 2 y h y p Važi u opštem slučaju: y nh = e p(x)dx q(x)e p(x)dx dx }{{} y p + Ce p(x)dx }{{} y h

e) Bernulijeva jednačina y + p(x)y = q(x)y α α = : linearna α = 1 : razdvaja promenljive y y α + p(x)y 1 α = q(x) Smena: z = y 1 α z = (1 α)y α y y y α = z 1 α z 1 α + p(x)z = q(x) (1 α) z + p 1 (x)z = q 1 (x), linearna p 1 = (1 α)p, q 1 = (1 α)q Napomena: Ako je y 1 jedno rešenje Rikatijeve jednačine y + p(x)y 2 + q(x)y = r(x), smena y = y 1 + z svodi jednačinu na Bernulijevu

f) Jednačina sa totalnim diferencijalom Ako F (x, y) ima neprekidne parcijalne izvode na D R 2,onda je df (x, y) = F F dx + x y dy Obratno: ako su P (x, y) i Q(x, y) date funkcije, postoji li F (x, y) tako da je df (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy? Teorema: Neka su P (x, y) i Q(x, y) neprekidne zajedno sa parcijalnim izvodima na D. Tada je izraz P (x, y)dx+q(x, y)dy totalni diferencijal neke funkcije F (x, y) ako i samo ako je P y = Q x na D

Dokaz. ( ) : P dx + Qdy je tot. dif. F t.d. F x = P, F y = Q 2 F x y = P y, 2 F y x = Q x P y = Q x ( ) : (1) P y = Q x. Tražimo F t.d. F x = P (x, y) (2) F y = Q(x, y) (1) F (x, y) = x a P (x, y)dx + ϕ(y) F y = x a P y dx + ϕ (y) = x a Q x dx + ϕ (y) = Q(x, y) Q(a, y) + ϕ (y) = Q(x, y)

ϕ (y) = Q(a, y) ϕ(y) = F (x, y) = x a P (x, y)dx + y b y b Q(a, y)dy + C 1 Q(a, y)dy + C 1 Primena na diferencijalne jednačine: y P (x, y) = f(x, y) = Q(x, y) dy dx = P (x, y) Q(x, y) (3) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P Ako je y x, jednačina (3) je jednačina sa totalnim diferencijalom i može se zapisati u obliku = Q (4) df (x, y) =

Opšte rešenje jednačine (4) : F (x, y) = C 2, tj. x y P (x, y)dx + Q(a, y)dy = C a b Primer: (3x 2 + 6xy }{{ 2 )dx + (6x } 2 y + 4y 2 ) dy = }{{} P Q P y = 12xy = Q x F (x, y) = P (x, y)dx + ϕ(y) = (3x 2 + 6xy 2 )dx + ϕ(y) = x 3 + 3x 2 y 2 + ϕ(y) F y = Q(x, y) : 6x2 y+ϕ (y) = 6x 2 y+4y 2 ϕ (y) = 4y 2 ϕ(y) = 4 3 y3 +C 1 F (x, y) = x 3 +3x 2 y 2 + 4 3 y3 +C 1 Opšte rešenje: x 3 + 3x 2 y 2 + 4 3 y3 = C

Integracioni faktor: sa P y Q x P (x, y)dx + Q(x, y)dy =, r(x, y) P 1 = P r, Q 1 = Q r P 1 (x, y)dx + Q 1 (x, y)dy =, r(x, y) je integracioni faktor ako je P 1 y = Q 1 x Ako je: P 1 y Q x Q(x, y) = f(x) r = e f(x)dx je int. faktor P 2 y Q x P (x, y) = g(y) r = e g(y)dy je int. faktor Dokaz 1 : P 1 = P e f(x)dx, Q 1 = Qe f(x)dx

P 1 y Q 1 x = P y e f(x)dx = Q x e f(x)dx + Qe = Q x e f(x)dx + Qe = P y e f(x)dx = P 1 y Domaći (januar 5): Rešiti jednačinu f(x)dx f(x) = 2y sin 2y tan x + cos 2 x = nalaženjem integracionog faktora r(y) P f(x)dx y Q x Q = 4. Singularne tačke Tačke u kojima su za jednačine dy dx = f(x, y) i dx dy = 1 f(x, y) narušeni uslovi Pikarove teoreme

Primer: dy dx = Ax+By Cx+Dy (, ) je sing. tačka Tipovi singulariteta (kroz primere): 1 dy dx = 2y x ( ) dx dy = 2y x Opšte rešenje: y = Cx 2, y (x ) y x čvor - kroz (, ) prolaze sve integralne krive

2 dy dx = y x ( ) dx dy = x y Opšte rešenje: y = C x, y (x ) sedlo - kroz (, ) ne prolazi ni jedna integralna kriva (osim degenerisanih)

3 dy dx = x y ( dx dy = y ) x Opšte rešenje: x 2 + y 2 = C y x centar - kroz (, ) ne prolazi ni jedna integralna kriva

4 dy dx = x+y x y ( dx dy = x y ) x+y Opšte rešenje: x 2 + y 2 = Ce arctan y x (C > ) x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ ρ = Ce ϕ y x fokus

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA

1. Osnovni pojmovi. Egzistencija rešenja Opšti oblik diferencijalne j-ne n tog reda: (1) F (x, y, y,..., y (n) ) = Normalni oblik: (2) y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ) Definicija: Funkcija y = y(x) je rešenje jednačine (2) na (a, b) ako identički zadovoljava jednačinu (2) na (a, b) Definicija: Funkcija y = y(x, C 1,..., C n ) (ϕ(x, y, C 1,..., C n ) = ) je opšte rešenje j-ne (2) na (a, b) ako identički zadovoljava (2) po x i po C 1,..., C n na (a, b)

Košijev problem: (KP ) y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ) y(x ) = y y (x ). = y y (n 1) (x ) = y (n 1) Pitanje: Da li postoji rešenje (KP )? Ako postoji, da li je jedinstveno? Pikarova teorema: Neka je P a,b = {(x, y, y,..., y (n 1) ) : x x a, y y b,..., y (n 1) y (n 1) b} Ako je 1 f neprekidna na P a,b 2 f(x, y,..., y (n 1) ) M na P a,b 3 f(x, y, y,..., y (n 1)) f(x, ȳ, ȳ,..., ȳ (n 1) ) L( y ȳ + + y (n 1) ȳ (n 1) ), ( Lipšicov uslov) tada na (x h, x + h), h = min{a, b/m}, postoji rešenje y = y(x) (KP ) i jedinstveno je.

Napomena: f y, f y,..., f ograničeni Lipšicov uslov y (n 1) 2. Snižavanje reda 1 F (x, y, y ) = ne sadrži y Smena: y = z y = z F (x, z, z ) = z = z(x, C 1 ) j-na prvog reda opšte rešenje y = z(x, C 1 )dx + C 2 opšte rešenje polazne j-ne 2 F (y, y, y ) = ne sadrži x x y p y

Smena: y = p(y) p - nova nepoznata funkcija koja zavisi od y y = d dx p(y) }{{} y p = p(y, C 1 ) = dp dy dy dx = dp dy p F (y, p, dp dy p) = dy p(y,c 1 ) = dx dif. j-na prvog reda opšte rešenje dy dx = p(y, C 1) dy p(y,c 1 ) = x+c 2 o.r. polazne j-ne 3. Linearna diferencijalna jednačina drugog reda a) Definicija, egzistencija rešenja (LNH) y + p(x)y + q(x)y = f(x) (LH) y + p(x)y + q(x)y = (KP ) za (LNH) ili (LH) : y(x ) = y, y (x ) = y

Teorema (Pikarova, globalni iskaz): Ako su p(x), q(x) i f(x) neprekidne na (a, b) i ako x (a, b), tada postoji jedno i samo jedno rešenje (KP ) definisano na (a, b) Napomena: moguće je a =, b = + Primer: y + 1 x y + 1 5 x y = ln x; y(1) =, y (1) = 1 p(x) = 1 x, q(x) = 1, f(x) = ln x 5 x p je nepr. za x, q je nepr. za x 5 f je nepr. za x > o 1 5 o x Na (a, b) = (, 5) je definisano rešenje (KP ) i jedinstveno je. Napomena: Teorema važi i za n = 1: y + p(x)y = q(x)

b) Osobine rešenja linearne homogene jednačine (LH) y + p(x)y + q(x)y = Napomena: y je rešenje, tzv. trivijalno Teorema: Ako su y 1 (x) i y 2 (x) rešenja (LH), a C 1 i C 2 proizvoljne konstante, onda je rešenje (LH) y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) Dokaz: y = C 1 y 1 + C 2y 2, y = C 1 y 1 2y (LH) : C 1 y 1 + C 2y = C 1 (y } 1 + p(x)y {{ 1 + q(x)y 1) } 2 2 + p(x)(c 1y 1 + C 2y 2 ) + q(x)(c 1y 1 + C 2 y 2 ) = +C 2 (y } 2 + p(x)y {{ 2 + q(x)y 2) } Napomena : y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) je opšte rešenje (LH) ( slabo )

Definicija: Rešenja y 1 (x) i y 2 (x) su linearno zavisna na (a, b) ako je y 2 (x) y 1 (x) const, x (a, b), a linearno nezavisna na (a, b) ako je y 2 (x) u(x), x (a, b) y 1 (x) Napomena: y 2 = const C 1 y 1 + C 2 y 2 (C 1 ili C 2 ) y 1 y 2 = u(x) C 1 y 1 + C 2 y 2, x (a, b) y 1 (osim za C 1 = C 2 = ) Definicije (alternativne): Rešenja y 1 (x) i y 2 (x) su linearno zavisna na (a, b) ako postoje konstante C 1 i C 2, koje nisu obe nule, takve da je C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) =, x (a, b) Rešenja y 1 (x) i y 2 (x) su linearno nezavisna na (a, b) ako važi implikacija C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x) =, x (a, b) C 1 =, C 2 =

Primer: y 1 (x) = x i y 2 (x) = x+1 su rešenja jednačine y = C 1 x + C 2 (x + 1) = (C 1 + C 2 )x + C 2 C 1 +C 2 =, C 2 = C 1 =, C 2 = (lin. nez. reš.) ( y2 (x) y 1 (x) = x+1 x ) = u(x) Definicija: Neka su y 1 (x) i y 2 (x) rešenja (LH) jednačine. Vronskijan rešenja y 1 (x) i y 2 (x) je determinanta W (x) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) Teorema: Rešenja y 1 (x) i y 2 (x) (LH) jednačine su linearno nezavisna na (a, b) ako i samo ako je W (x), x (a, b) Dokaz: ( ) Neka su y 1 (x) i y 2 (x) lin. nezavisna na (a, b). Pretpostavimo, suprotno tvrdnji teoreme, da x (a, b) : W (x ) =

Posmatramo homogeni sistem (S) linearnih algebarskih jednačina po C 1, C 2 C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) =. Zbog det(s) = W (x ) =, imaće netrivijalno rešenje C 1, C 2. Tada je y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) rešenje j-ne koje zadovoljava početne uslove y(x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = (S) y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = (S) Iste početne uslove zadovoljava i rešenje y (Pikarova teorema) C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), x (a, b) Ovo je kontradiktorno pretpostavci o linearnoj nezavisnosti rešenja y 1 i y 2. Pretpostavka W (x ) = se mora odbaciti, pa je W (x), x (a, b)

( ) W (x), x (a, b) Pretpostavimo Sledi C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) =, x (a, b). C 1 y 1 (x) + C 2y 2 (x) =, x (a, b) Za fiksirano x = x (a, b) : C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = Homogen sistem, det = W (x ) C 1 =, C 2 =, tj. y 1 i y 2 su linearno nezavisni Primer: y 1 = x, y 2 = x + 1 W (x) = y =, (a, b) = (, ) x x + 1 1 1 = x (x+1) = 1, x (, )

Teorema: Neka su y 1 (x) i y 2 (x) linearno nezavisna rešenja (LH) jednačine. Tada opšte rešenje (LH) jednačine y h = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) sadrži sva rešenja (LH) jednačine. ( jako rešenje) Dokaz: Neka je y(x) proizvoljno rešenje (LH) jednačine koje zadovoljava početne uslove y(x ) = y, y (x ) = y. Pokazaćemo da se mogu naći konstante C 1 i C 2 takve da i C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x) zadovolji iste te početne uslove, tj. da bude C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = y C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = y Nehomogen sistem, det = W (x ) jedinstveno rešenje: C 1 = C 1, C 2 = C 2. Sada C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) i y(x) zadovoljavaju iste početne uslove (Pikarova t.) C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) y(x), x (a, b)

c) Rešavanje (LH) jednačine ako je poznato jedno rešenje (LH) y + p(x)y + q(x)y = Teorema: Ako je y 1 (x) netrivijalno partikularno rešenje (LH) jednačine,tada se linearno nezavisno rešenje y 2 (x) može dobiti rešavanjem (DJ) prvog reda. Dokaz: y 2 (x) = u(x)y 1 (x) y 2 = u y 1 + uy 1 y 2 = u y 1 + 2u y 1 + uy 1 (LH) u y 1 + 2u y 1 + uy 1 + p(x)(u y 1 + uy 1 ) + q(x)uy 1 = u + 2u y 1 + p(x)u y 1 + u(y } 1 + py {{ 1 + qy 1) = } u y 1 + u (2y 1 + p(x)y 1) = Smena: z = u z = u z y 1 + z(2y 1 + p(x)y 1) = z = z 2y 1 + p(x)y 1 y 1 j-na prvog reda razdvaja prom.

z = z(x) jedno partikularno rešenje u = z(x)dx jedna primitivna funkcija y 2 (x) = u(x)y 1 (x) y h = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)

d) Linearna homogena jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima (LHC) y + py + qy = p, q const; (a, b) = (, ) Rešenje tražimo u obliku y = e λx y = λe λx y = λ 2 e λx λ 2 e λx + pλe λx + qe λx = (KJ) λ 2 + pλ + q = karakteristična jednačina λ 1, λ 2 koreni (KJ) : 1 λ 1 λ 2 realni 2 λ 1 = λ 2 = a realno 3 λ 1, 2 = α ± iβ

1 y 1 (x) = e λ 1x, y 2 (x) = e λ 2x y 2 y 1 = e (λ 2 λ 1 )x const y h = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x 2 y 1 = e ax, y 2 = u(x)y 1 (x) c) u y 1 + u (2y 1 + py 1) = Medjutim, λ 2 + pλ + q = (λ a) 2 = λ 2 2aλ + a 2 p = 2a, q = a 2 pa je y 1 = e ax, y 1 = aeax, u e ax + u (2ae ax 2a }{{} e ax ) = u = p u = A u = Ax + B. Spec. A = 1, B = u = x y 2 (x) = xy 1 (x) = xe ax y h = C 1 e ax + C 2 xe ax

3 λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ y(x) = e (α+iβ)x je kompleksno rešenje y(x) = e αx e iβx = e αx (cos βx + i sin βx) Teorema: Ako je y = u(x) + iv(x) rešenje (LHC), onda su i y = u(x) i y = v(x) rešenja (LHC). Dokaz: domaći Posledica: y 1 (x) = e αx cos βx, y 2 (x) = e αx sin βx su rešenja (LHC) Ona su lin. nezavisna: y 1 y 2 y 1 y 2 = βe2αx, (β ) (proveriti) y h = C 1 e αx cos βx + C 2 e αx sin βx

Primer: y + y 2y = λ 2 + λ 2 = λ 1 = 1, λ 2 = 2 y 1 (x) = e x, y 2 (x) = e 2x y h = C 1 e x + C 2 e 2x e) Struktura opšteg rešenja (LN H) (LNH) y + p(x)y + q(x)y = f(x) (LH) y + p(x)y + q(x)y = Teorema: Neka je y h = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) opšte rešenje (LH), a y p (x) jedno partikularno rešenje (LNH). Tada je y nh = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) +y }{{} p (x) y h opšte rešenje (LN H). Dokaz: y nh = y h + y p y nh = y h + y p, y nh = y h + y p (LNH)

y h + y p + p(x)(y h + y p ) + q(x)(y h + y p ) = = y h } + py {{ h + qy h + y } p + py p + qy p = f(x) }{{} f(x) Napomena: Može se pokazati da je y nh "jako" rešenje (sadrži sva rešenja) Ostaje da se reši problem nalaženja y p. f) Metoda varijacije konstanti za (LN H) (LNH) y + p(x)y + q(x)y = f(x) (LH) y + p(x)y + q(x)y = y h = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) y nh = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) y nh = C 1 y 1 + C 1 y 1 + C 2 y 2 + C 2 y 2

Neka je C 1 y 1 + C 2 y 2 = (1) y nh = C 1y 1 + C 2y 2 y nh = C 1 y 1 + C 1y 1 2 y 2 + C 2y 2 C } 1 y 1 + C 1y 1 {{ + C 2 y 2 + C 2y 2 +p(x)(c } 1 y 1 + C 2y 2 ) + }{{} y nh y nh +q(x)(c } 1 y 1 {{ + C 2 y 2 } ) = f(x) y nh Medjutim, C 1 (y 1 +p(x)y 1 +q(x)y 1) =, C 2 (y 2 +p(x)y 2 +q(x)y 2) = pa je C 1 y 1 + C 2 y 2 = f(x) (2) Nepoznate funkcije C 1 (x) i C 2 (x) odredjuju se iz sistema (1), (2) C 1 y 1 + C 2 y 2 = C 1 y 1 + C 2 y 2 = f(x) za koji je det = W (x).

C 1 = u 1(x), C 2 = u 2(x) C 1 (x) = C 2 (x) = u 1 (x)dx + C 1 u 2 (x)dx + C 2 y nh = ( u 1 (x)dx + C 1 )y 1 (x) + ( u 2 (x)dx + C 2 )y 2 (x) = Primer: = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) }{{} + ( u 1 (x)dx)y 1 (x) + ( u 2 (x)dx)y 2 (x) } {{ y p } y h + y 4y 12y = e 6x y 4y 12y = λ 2 4λ 12 = λ 1 = 6, λ 2 = 2 y h = C 1 e 6x +C 2 e 2x, W (x) = e 6x 6e 6x y nh = C 1 (x)e 6x +C 2 (x)e 2x e 2x = 8e4x 2e 2x

D 1 = e 6x C 1 e6x + C 2 e 2x = 6C 1 e6x 2C 2 e 2x = e 6x e 2x = e4x C 1 (x) = 8 1 2e 2x D 2 = e6x 6e 6x e 6x = e12x C 2 (x) = 1 8 e8x C 1 (x) = 1 8 x + C 1, C 2 (x) = 1 64 e8x + C 2 y nh = C } 1 e 6x + {{ C 2 e 2x } + 1 8 xe6x 1 64 e6x y h }{{} y p 4. Linearna diferencijalna jednačina n tog reda a) Definicija. Egzistencija rešenja (LNH) y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n (x)y = f(x) (LH) y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n (x)y =

(KP ) za (LNH) ili (LH) : y(x ) = y,..., y (n 1) (x ) = y (n 1) Teorema (Pikarova, globalna): Ako su p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x), f(x) neprekidne na (a, b), onda za bilo koje x (a, b) postoji rešenje (KP ) na (a, b) i jedinstveno je. b) Osobine rešenja (LH) jednačine n tog reda y trivijalno rešenje (LH) Teorema: Ako su y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) rešenja (LH) jednačine, a C 1, C 2,..., C n proizvoljne konstante,onda je i y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) rešenje te jednačine. Definicija: Rešenja y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) (LH) jednačine su linearno zavisna na (a, b) ako postoje

konstante C 1, C 2,..., C n, koje nisu sve jednake nuli, takve da je C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) =, x (a, b) Rešenja y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) su linearno nezavisna na (a, b) ako važi implikacija C 1 y 1 (x) + + C n y n (x), x (a, b) C 1 = = C n = Definicija: Vronskijan rešenja y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) (LH) jednačine je determinanta y 1 (x)... y n (x) y W (x) = 1 (x)... y n (x)..... y (n 1) 1 (x)... y n (n 1) (x) Teorema: Rešenja y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) (LH) su linearno nezavisna na (a, b) ako i samo ako je W (x), x (a, b).

Teorema: Ako su y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) linearno nezavisna rešenja (LH) jednačine, tada njeno opšte rešenje y h = C 1 y 1 (x) + + C n y n (x) sadrži sva rešenja (LH) jednačine. ("jako" rešenje) c) Linearna homogena jednačina n tog reda sa konstantnim koeficijentima (LHC) y (n) + p 1 y (n 1) + + p n y = p i = const; (a, b) = (, ) Rešenje tražimo u obliku y = e λx y = λe λx. y (n) = λ n e λx (LHC) : λ n e λx +p 1 λ n 1 e λx + +p n e λx = (KJ) λ n + p 1 λ n 1 + + p n = karakt. j-na λ n + p 1 λ n 1 + + p n = (λ λ 1 ) (λ λ n )

Teorema: Svakom m tostrukom realnom korenu λ = a odgovara m linearno nezavisnih rešenja y = e ax, y = xe ax,..., y = x m 1 e ax Svakom r tostukom konjugovano kompleksnom paru λ = α ± iβ odgovara 2r rešenja y = e αx cos βx, y = xe αx cos βx,..., y = x r 1 e αx cos βx y = e αx sin βx, y = xe αx sin βx,..., y = x r 1 e αx sin βx Svih n rešenja su linearno nezavisni. Primer: y IV 16y = λ 4 16 = (λ 2 4)(λ 2 + 4) = (λ 2)(λ + 2)(λ 2i)(λ + 2i) = λ 1 = 2 : y = e 2x, λ 2 = 2 : y = e 2x λ 3 = 2i : (α =, β = 2) y = e x cos 2x = cos 2x λ 4 = 2i : y = sin 2x y h = C 1 e 2x + C 2 e 2x + C 3 cos 2x + C 4 sin 2x

Domaći: y V II + 3y V I + 3y V + y IV = d) Struktura opšteg rešenja (LNH) (LNH) y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n (x)y = f(x) (LH) y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n (x)y = Teorema: Neka je y h = C 1 y 1 (x) + + C n y n (x) opšte rešenje (LH), a y p (x) jedno partikularno rešenje (LN H) jednačine. Tada je y nh = C 1 y 1 (x) + + C n y n (x) + y p (x) opšte rešenje (LNH) jednačine ( jako je - sadrži sva rešenja te jednačine). e) Metoda varijacije konstanti za (LN H) jednačinu y h = C 1 y 1 (x) + + C n y n (x) y nh = C 1 (x)y 1 (x) + + C n (x)y n (x)

Funkcije C 1 (x),..., C n (x) se dobijaju iz sistema C 1 y 1 + + C n y n = C 1 y 1 + + C n y n =. C 1 y(n 1) 1 + + C n y(n 1) n = f(x) det = W (x) C 1 = u 1(x),..., C n = u n(x) C 1 (x) = u 1 (x)dx + C 1. C n (x) = u 1 (x)dx + C n y nh = ( u 1 dx + C 1 )y 1 + + ( = C 1 y 1 + + C n y n }{{} u n dx + C n )y n = + y 1 u 1 dx + + y n u n dx y h }{{} y p

f) Metoda neodredjenih koeficijenata za (LN HC) (LNHC) y (n) + p 1 y (n 1) + + p n y = f(x) p i = const, i = 1,..., n 1 f(x) = e αx [P (x) cos βx + Q(x) sin βx] P (x), Q(x) polinomi, st(p ) = p, st(q) = q y p (x) = x s e αx [R(x) cos βx + S(x) sin βx] R(x), S(x) polinomi sa neodr. koeficijentima: st(r) = st(s) = max{p, q} s = {, ako α ± iβ nije koren (KJ) red (višestrukost) korena α ± iβ Koeficijenti se odredjuju uvrštavanjem u samu jednačinu

Specijalni slučajevi: α =, β = f(x) = P (x) α =, β f(x) = P (x) cos βx+q(x) sin βx (P ili Q moguće) α, β = f(x) = e αx P (x) Primeri: f(x) = sin 3x : α =, β = 3; P, Q(x) = x, st(p ) =, st(q) = 1 y p = x s [(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x] f(x) = x 2 : α =, β =, P (x) = x 2, st(p ) = 2 y p = x s (Ax 2 + Bx + C) f(x) = e x cos x : α = 1, β = 1; P 1, Q st(p ) =, st(q) = y p = x s e x (A cos x + B sin x)

2 f(x) = f 1 (x) + + f m (x) f i (x) = e α ix (P i (x) cos β i x+q i (x) sin β i x), i = 1,..., m y p = y p1 + + y pm ; y pi se dobija prema 1 Domaći: y V y IV + y y = e x + sin 2x

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

1. Definicija. Egzistencija rešenja x 1,..., x n - nepoznate funkcije t - nezavisno promenljiva (vreme) Opšti oblik sistema diferencijalnih jednačina prvog reda: Normalni oblik: F 1 (t, x 1, x 1,..., x n, x n ) = F n (t, x 1, x 1,..., x n, x n ) = x 1 = dx 1 dt,, x n = dx n dt x 1 = f 1(t, x 1,..., x n ). (1). (2) x n = f n(t, x 1,..., x n ), Simetrični oblik: dx 1 f 1 = = dx n f n = dt 1 (3)

Definicija: Skup funkcija x 1 (t),..., x n (t) je rešenje sistema (2) na (a, b) ako je x 1 (t) f 1(t, x 1 (t),..., x n (t)). x n (t) f n(t, x 1 (t),..., x n (t)), t (a, b) Definicija: Skup funkcija x 1 = x 1 (t, C 1,..., C n ). x n = x n (t, C 1,..., C n ) je opšte rešenje sistema (2) na (a, b) ako identički zadovoljava (2) po t i C 1,..., C n na (a, b) Primer: Da li je familija x = C 1 + C 2 e t y = C 1 + C 3 e t z = C 1 + C 2 e t + C 3 e t o. r. sistema x = y z y = z x z = y x? x = C 2 e t = (C } 1 + {{ C 3 e } t ) (C } 1 + C 2 e {{ t + C 3 e } t ) y z

y = C 3 e t = (C } 1 + C 2 e {{ t + C 3 e } t ) (C } 1 + {{ C 2 e t } ) z x z = C 2 e t + C 3 e t = (C } 1 + {{ C 3 e } t ) (C } 1 + {{ C 2 e t } ) y x Košijev problem: Neka (t, x 1,..., x n ) Rn+1. Postoji li rešenje sistema (2) koje zadovoljava početne uslove x 1 (t ) = x 1,..., x n(t ) = x n? Ako postoji, da li je jedinstveno? Teorema (Pikarova): Neka je P a,b = {(t, x 1,..., x n ) : t t a, x i x i b, i = 1,..., n} i neka su 1 f 1,..., f n neprekidne na P a,b 2 f i (t, x 1,..., x n ) M, i = 1,..., n 3 f i (t, x 1,..., x n ) f i (t, x 1,..., x n ) L( x 1 x 1 + + x n x n ), i = 1,..., n (Lipšicov uslov)

Tada na (t h, t + h), h = min{a, b/m} postoji rešenje x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t) (KP ) i ono je jedinstveno. Napomena: Ako funkcije f i, i = 1,..., n imaju ograničene parcijalne izvode na P a,b, tj. f i x N; i, j = 1,..., n, j onda one zadovoljavaju Lipšicov uslov. 2. Rešavanje (KP ) 1 Približne metode 2 Iz opšteg rešenja: x 1 = x 1 (t, C 1,..., C n ). x n = x n (t, C 1,..., C n ) x 1 (t, C 1,..., C n ) = x 1. x n (t, C 1,..., C n ) = x n C 1,..., C n Rešenje (KP ): x 1 = x 1 (t, C 1,..., C n ). x n = x n (t, C 1,..., C n )

Primer: U prethodnom primeru naći rešenje koje zadovoljava uslov x() = 1, y() = 2, z() = x = C 1 + C 2 e t y = C 1 + C 3 e t z = C 1 + C 2 e t + C 3 e t C 1 + C 2 = 1 C 1 + C 3 = 2 C 1 + C 2 + C 3 = C 1 = 3, C 2 = 2, C 3 = 1. Traženo rešenje: x = 3 2e t y = 3 e t z = 3 2e t e t Mogućnosti nalaženja opšteg rešenja: a) Svodjenjem na diferencijalnu j-nu n tog reda b) Preko prvih integrala sistema c) Metodama za rešavanje linearnih sistema

3. Veza sistema n diferencijalnih jednačina n tog reda sa jednom diferencijalnom jednačinom n tog reda a) Od (DJ) n tog reda ka sistemu od n (DJ) : x (n) = f(t, x, x,..., x (n 1) ) x 1 x 2 x n Smena: x 1 = x, x 2 = x,..., x n = x (n 1) Dobijen je sistem: x 1 = x = x 2 x 2 = x = x 3. x n = x(n) = f(t, x 1,..., x n ) x 1 = x 2 x 2 = x 3. x n 1 = x n x n = f(t, x 1,..., x n )

b) Od sistema n (DJ) ka (DJ) n tog reda - Metoda uzastopnog diferenciranja x 1 = f 1(t, x 1,..., x n ). (S) x n = f n(t, x 1,..., x n ) 1 Jedna od jednačina, npr. prva, se diferencira n 1 put: x 1 = f 1(x 1,..., x n ) x 1 = f 1 t + f 1 x 1 x 1 + + f 1 x n x n = = f 1 t + f 1 f 1 + + f 1 f n = x 1 x n =. ϕ 2 (t, x 1,..., x n ) x (n) 1 = ϕ n (t, x 1,..., x n ) 2 Prvih n 1 jednačina u 1 posmatramo kao sistem od n 1 jednačina sa n 1 nepoznatih x 2,..., x n : x 1 = f 1(t, x 1,..., x n ) x 1 = ϕ 2(t, x 1,..., x n ). x (n 1) 1 = ϕ n 1 (t, x 1,..., x n )

Prema teoremi o implicitnoj funkciji, ako je f 1 f x... 1 2 x n ϕ 2 ϕ x... 2 2 x n.. ϕ n 1 x... 2 ϕ n 1 x n sistem ima jedinstveno rešenje po x 2,..., x n 3 Neka je rešenje dato sa x 2 = λ 2 (t, x 1, x 1,..., x(n 1) 1 ). x n = λ n (t, x 1, x 1,..., x(n 1) 1 ) 4 Zamena x 2,..., x n u poslednju j-nu u 1 : x (n) 1 = ϕ n (t, x 1, λ 2 (t, x 1,..., x (n 1) 1 ),...,..., λ n (t, x 1,..., x (n 1) 1 )) Dobijena jednačina je oblika x (n) 1 = ϕ(t, x 1,..., x (n 1) 1 ) i predstavlja jednačinu n tog reda po x 1

Važi: x 1 = x 1 (t) je rešenje j-ne 4 x 1 = x 1 (t) x 2 = λ 2 (t, x 1 (t),..., x (n 1) 1 (t)). x n = λ n (t, x 1 (t),..., x (n 1) 1 (t)) je rešenje sistema (S) Problem: rešivost sistema 2, tj. efektivno nalaženje funkcija λ 2,..., λ n Primer: x = x 2y y = 4y + x 1 x = x 2y x = x 2y = x 2y 2(4y + x) = x 1y 2 x = x 2y ( f 1 y 3 y = x x 2 4 x = x 1 x x 2 = 2 ) (= λ 2 (x, x )) = 6x + 5x

x 5x + 6x = λ 2 5λ + 6 = λ 1 = 3, λ 2 = 2 x = C 1 e 3t + C 2 e 2t } y = x x 2 = C 1 e 3t C 2 2 e 2t opšte rešenje sistema Primer: x = y z y = z x z = y x domaći Napomena: U opštem slučaju važi: sistem od n jednačina se može svesti na r jednačina reda k 1,..., k r, k 1 + + k r = n 3. Prvi integrali sistema diferencijalnih jednačina (S) x 1 = f 1(t, x 1,..., x n ). x n = f n(t, x 1,..., x n ) D Ispunjeni su uslovi Pikarove teoreme u svakoj tački oblasti D

Definicija: Funkcija ϕ(t, x 1,..., x n ), neprekidno diferencijabilna i različita od konstante na oblasti D, je integral sistema (S) ako je ϕ(t, x 1 (t),..., x n (t)) const, t I gde je x 1 (t),..., x n (t), t I proizvoljno rešenje sistema (S) Primer: sistema Ispitati da li je ϕ = (x + y)e 2t integral x = x 2y y = 4y + x "Proizvoljno rešenje" je opisano opštim rešenjem (prethodni rešeni primer): x = C 1 e 3t + C 2 e 2t y = C 1 e 3t C 2 2 e2t ϕ(x(t), y(t)) = (C 1 e 3t + C 2 e 2t C 1 e 3t C 2 2 e2t )e 2t = = C 2 2 const

Teorema: Funkcija ϕ(t, x 1,..., x n ), neprekidno diferencijabilna i različita od konstante na oblasti D, je integral sistema (S) ako i samo ako je ( ) ϕ t + ϕ x 1 f 1 + + ϕ x n f n =, (t, x 1,..., x n ) D Dokaz: ( ) Neka je ϕ(t, x 1,..., x n ) integral sistema (S), a (t, x 1,..., x n ) proizvoljna tačka oblasti D. Tada postoji rešenje x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t), t I t. d. Sledi: x 1 (t ) = x 1,..., x n(t ) = x n. ϕ(t, x 1 (t),..., x n (t)) const, t I d dt ϕ(t, x 1(t),..., x n (t)) =, t I (I = (t h, t +h)) (Pikar) ϕ t + ϕ x ϕ 1 (t) + + x n (t) =, t I x 1 x n ϕ t + ϕ f 1 (t, x 1 (t),..., x n (t)) + x 1 + ϕ x n f n (t, x 1 (t),..., x n (t)) =, t I

Specijalno, za t = t je (t, x 1 (t ),..., x n (t )) = (t, x 1,..., x n ), pa ( ) važi u (t, x 1,..., x n ). Kako je to proizvoljna tačka, to ( ) važi na D. ( ) : Neka ( ) važi na D. Specijalno,tada ( ) važi u tačkama (t, x 1 (t),..., x n (t)), t I, gde je x 1 (t),..., x n (t) proizvoljno rešenje sistema (S). Čitajući ekvivalencije unazad dobijamo ϕ(t, x 1 (t),..., x n (t)) const, t I, tj. ϕ je integral sistema (S). Primer: ϕ = (x+y)e 2t, x = x 2y y = 4y + x } D = R 3 ϕ t + ϕ x f 1 + ϕ y f 2 = 2e 2t (x + y) + e 2t (x 2y) + + e 2t (4y + x) Definicija: Jednakost (J) ϕ(t, x 1,..., x n ) = C gde je ϕ integral, a C konstanta, naziva se prvi integral sistema (S).

Primer: Proveriti da li su x + y z = C 1, x 2 + y 2 z 2 = C 2, z 2 +xy xz yz = C 3 prvi integrali sistema x = y z y = z x (domaći) z = y x Definicija: Prvi integrali ϕ 1 = C 1,..., ϕ k = C k su nezavisni na D ako ni za jedno i = 1,..., k ne postoji neprekidno diferencijabilna funkcija Φ i oblast D D t.d. je ϕ i = Φ(ϕ 1,..., ϕ i 1, ϕ i+1,..., ϕ k ) na D. Teorema: Neka su ϕ 1 = C 1,..., ϕ n = C n prvi integali sistema (S). (i) Ako je ϕ 1 ϕ x... 1 1 x n J =. ϕ n x... 1. ϕ n x n ϕ 1 = C 1,..., ϕ n = C n su nezavisni na D

(ii) Ako je J na D ϕ 1 = C 1,..., ϕ n = C n su zavisni Teorema: Ako je rang ϕ 1 x... 1. ϕ k x... 1 ϕ 1 x n. ϕ k x n ϕ 1 = C 1,..., ϕ k = C k su nezavisni = k na D 4. Rešavanje sistema (DJ) pomoću prvih integrala (S) x 1 = f 1(t, x 1,..., x n ). x n = f n(t, x 1,..., x n ) 1 Ako je poznato n prvih integrala ϕ 1 (t, x 1,..., x n ) = C 1. ϕ n (t, x 1,..., x n ) = C n koji su nezavisni, tj. J na oblasti D, sistem (S) je u potpunosti rešen

a) Opšte rešenje: b) Rešenje (KP ): x 1 = x 1 (t, C 1,..., C n ). x n = x n (t, C 1,..., C n ) ϕ 1 (t, x 1,..., x n ) = C 1. ϕ n (t, x 1,..., x n ) = C n Traženo rešenje (implicitno zadato): ϕ 1 (t, x 1,..., x n ) = C 1. ϕ n (t, x 1,..., x n ) = C n x = x 1 (t). x n = x n (t) 2 Ako je poznato k prvih integrala ϕ 1 (t, x 1,..., x n ) = C 1. ϕ k (t, x 1,..., x n ) = C k t.d. ϕ 1 x... 1. ϕ k x... 1 ϕ 1 x n. ϕ k x n,

broj jednačina u sistemu se snižava za k: x 1 = λ 1 (t, x k+1,..., x n, C 1,..., C k ). x k = λ k (t, x k+1,..., x n, C 1,..., C k ) x k+1 = f k+1(t, λ 1 ( ),..., λ k ( ), x k+1,..., x n ). x n = f n(t, λ 1 ( ),..., λ k ( ), x k+1,..., x n ) Dobija se n k jednačina sa n k nepoznatih funkcija Primer: x = y z y = z x z = y x x + y z = C 1 x = C 1 y + z y = z C 1 + y z = C 1 + y z = y C 1 + y y = 2y C 1 z } 2 j-ne

5. Nalaženje prvih integrala dx 1 f 1 (t, x 1,..., x n ) = = t x n+1 : ( ) dx n f n (t, x 1,..., x n ) = dt 1 dx 1 X 1 = = dx n X n = dx n+1 X n+1 gde je X i = X i (x 1,..., x n+1 ), i = 1,..., n + 1 a) U ( ) učestvuju "jednostavni izrazi": dx i F i (x i, x j ) = dx j F j (x i, x j ) Obična DJ, opšte rešenje daje prvi integral Primer: dy y = dy x = dt 1 dx y = dy x x2 + y 2 = C 1

b) Osobina proporcije: a 1 b 1 = = a n b n k 1a 1 + + k n a n k 1 b 1 + + k n b n = a i b i, i = 1,..., n Nekad se može doći do veze oblika du U(u, v) = dv V (u, v), u = u(x 1,..., x n+1 ) v = v(x 1,..., x n+1 ) Rešavanjem DJ dobija se prvi integral sistema Primer: dx y z = dy z x = y x dz = dt 1 dx dz y z y+x = dt 1 d(x z) x z = dt du u = dt u = C 1 e t (x z)e t = C 1 Slično: dy dz z y = dt 1 (y z)et = C 2

c) Osobina proporcije: k 1 a 1 + + k n a n = a 1 b 1 k 1 a 1 + + k n a n = Nekad se može doći do veze oblika P 1 (x 1,..., x n+1 )dx 1 + + P n+1 (x 1,..., x n+1 )dx n+1 }{{} dϕ(x 1,...,x n+1 ) ϕ(x 1,..., x n+1 ) = C = Primer: dx y z = dy z x = y x dz = dt 1 dx+dy dz = = dt 1 d(x + y z) = x + y z = C 1 6. Sistemi diferencijalnih jednačina višeg reda F 1 (t, x 1,..., x (k 1) 1,..., x n,..., x (k n) n ) =. F n (t, x 1,..., x (k 1) 1,..., x n,..., x (k n) n ) =

x (k 1) 1 = f 1 (t, x 1,..., x (k 1 1) 1,..., x n,..., x (k n 1). x (k n) n = f n (t, x 1,..., x (k 1 1) 1,..., x n,..., x (k n 1) x 11 x k1,1 x 1n x kn,n Smene: x 11 = x 1, x 21 = x 1,..., x k 1,1 = x (k 1 1) 1. x 1n = x n, x 2n = x n,..., x k n,n = x (k n 1) n n ) n ) x 11 = x 21. x k 1 1,1 = x k 1,1 x k 1,1 = f 1(t, x 11,..., x kn,n) x 1n = x 2n. x k n 1,n = x k n,n x k n,n = f n(t, x 11,..., x kn,n) Primer: x 1 = x x 2 = x x = 2x + 3y y = x + y + e t y 1 = y y 2 = y x 1 = x y 1 = y 2 2 y 3 = y x 2 = 2x y 1 + 3y 2 = y 3 2 y 3 = x 2 + y 3 + e }{{ t } 5 j-na prvog reda

SISTEMI LINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

1. Definicija. Egzistencija rešenja (L) x 1 = a 11(t)x 1 + + a 1n (t)x n + b 1 (t). x n = a n1(t)x 1 + + a nn (t)x n + b n (t) (LNH) : b i (t) za bar jedno i (LH) : b i (t), i = 1,..., n (KP ) : x 1 (t ) = x 1,..., x n(t ) = x n Teorema (Pikar, globalna): Neka su a ij (t), b i (t), i, j = 1,..., n neprekidne na (c, d) i t (c, d). Tada za proizvoljne x 1,..., x n postoji rešenje x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t) (KP ) definisano na (c, d). To rešenje je jedinstveno. Vektorski zapis sistema (L): A = a 11(t) a 1n (t).. a n1 (t) a nn (t), X = x 1. x n,

X = dx dt = x 1. x n, B(t) = b 1(t). b n (t) : (L) dx dt = A(t)X + B(t) (KP ) X(t ) = X, X = x 1. x n Primer: x 1 = 5x 1 + 4x 2 + e 2t [ x 1 x 2 ] }{{} dx dt = x 2 = 4x 1 + 5x 2 [ ] [ ] [ ] 5 4 x1 e 2t + 4 5 x }{{}}{{ 2 }}{{} A X B 2. Osobine rešenja linearnih homogenih sistema dx (LH) = A(t)X, A(t) nepr. na (c, d) dt

Teorema: Ako su X 1 = x 11(t).,..., X n (t) = x 1n(t). x n1 (t) x nn (t) rešenja (LH) sistema, a C 1,..., C n proizvoljne konstante, onda je X(t) = C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) = = rešenje (LH) sistema. C 1x 11 (t) + + C n x 1n (t). C 1 x n1 (t) + + C n x nn (t) (1) Dokaz: dx dt = C 1 dx 1 + + C n }{{} dt AX 1 dx n = C 1 AX 1 + + C n AX n } dt {{} AX n = A(C 1 X 1 + + C n X n ) = AX

Definicija: Rešenja X 1 (t),..., X n (t) su linearno nezavisna rešenja (LH) sistema na (c, d) ako važi implikacija C 1 X 1 (t)+ +C n X n (t), t (c, d) C 1 = = C n = Rešenja X 1 (t),..., X n (t) su linearno zavisna na (c, d) ako postoje konstante C 1,..., C n, koje nisu sve nule, takve da je C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) =, t (c, d) Teorema: Neka su X 1 (t) = x 11(t).,..., X n (t) = x 1n(t). x n1 (t) x nn (t) rešenja (LH) sistema. Potreban i dovoljan uslov za linearnu nezavisnost tih rešenja na (c, d) dat je sa x 11 (t) x 1n (t) W (t) =.., t (c, d) x n1 (t) x nn (t)

Dokaz: ( ) Neka su X 1,..., X n linearno nezavisna rešenja (LH) sistema. Pretpostavimo, suprotno tvrdjenju teoreme, da Posmatrajmo sistem t (c, d) t.d. W (t ) = C 1 x 11 (t ) + + C n x 1n (t ) =. C 1 x n1 (t ) + + C n x nn (t ) = Homoge sistem linearnih jednačina po C 1,..., C n sa det = W (t ) = postoji netrivijalno rešenje C 1,..., C n. Neka je X(t) = C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) Važi: X(t) je rešenje (LH) sistema X(t ) = O Isti početni uslov zadovoljava i rešenje X

Iz Pikarove teoreme sledi C 1 X 1 (t) + + C n X n (t), t (c, d) Ovo je u kontradikciji sa linearnom nezavisnošću rešenja, a do koje je dovela pretpostavka W (t ) =. ( ): Neka je W (t), t (c, d). Pretpostavimo da je C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) =, t (c, d) Za fiksirano t = t je: C 1 X 1 (t ) + + C n X n (t ) =, t.j. C 1 x 11 (t ) + + C n x 1n (t ) =. C 1 x n1 (t ) + + C n x nn (t ) = Homogeni sistem sa det = W (t ) C 1 =,..., C n =.

Napomena: Postoje dve mogućnosti: W (t) ili W (t), t (c, d) Teorema: Neka su X 1 (t),..., X n (t) linearno nezavisna rešenja (LH) sistema. Tada opšte rešenje X h = C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) sadrži sva rešenja tog sistema. Dokaz: Neka je X(t) proizvoljno rešenje, a t (c, d) fiksirano. Tražimo C 1,..., C n t.d. t.j. C 1 X 1 (t ) + + C n X n (t ) = X(t ), C 1 x 11 (t ) + + C n x 1n (t ) = x 1 (t ). C 1 x n1 (t ) + + C n x nn (t ) = x n (t ) Nehomogen sistem, det = W (t ) postoji jedinstveno rešenje C1,..., C n.

Rešenja X(t) i C 1 X 1(t) + + C n X n(t) zadovoljavaju isti početni uslov u t (Pikar) X(t) C 1 X 1(t) + + C n X n(t), t (c, d) Definicija: Matrica Φ(t) = [x ij (t)] n n je fundamentalna matrica sistema (LH) ako su kolone matrice Φ(t) linearno nezavisna rešenja (LH) Φ(t) = x 11(t)... x 1n (t).. x 1n (t)... x nn (t) X 1 (t) X n (t) Napomena: Kolone matrice Φ(t) su rešenja (LH) sistema ako i samo ako Φ(t) zadovoljava pridruženu matričnu diferencijalnu jednačinu (M) dφ dt = A(t)Φ

[ ] x11 x Primer: Φ(t) = 12 x, 1 = a 11x 1 + a 12 x 2 x 21 x 22 x 2 = a 21x 1 + a 22 x 2 [ x (M) 11 x ] [ ] [ ] 12 a11 a = 12 x11 x 12 a 21 a 22 x 21 x 22 x 21 x 22 x 11 = a 11x 11 + a 12 x 21 x 21 = a 21x 11 + a 22 x 21 } prva kolona zadov. sistem x 12 = a 11x 12 + a 12 x 22 x 22 = a 21x 12 + a 22 x 22 } druga kolona zadov. sistem Teorema: Matrica Φ(t) je fundamentalna matrica sistema (LH) ako i samo ako je Φ(t) rešenje (M) i ako je detφ(t), t (c, d). Dokaz: Φ(t) je rešenje (M) kolone su rešenja (LH) detφ(t) = W (t) rešenja su lin. nezavisna Teorema: Ako je Φ(t) fundamentalna matrica, a P nesingularna matrica, onda je Ψ(t) = Φ(t)P fundamentalna matrica.

Dokaz: Napomena: Φ(t)C = dψ dt = dφ P = A(t)ΦP = A(t)Ψ dt detψ = detφ detp = = C 1 x 11 x 1n.. x n1 x nn C 1x 11 + + C n x 1n. C n x n1 + + C n x nn x 11. x n1 C 1. C n + + C n = C 1 X 1 + + C n X n Načini zapisa opšteg rešenja: = = x 1n. x nn = X h = Φ(t)C X h = C 1 X 1 + + C n X n x 1 = C 1 x 11 + + C n x 1n. x n = C 1 x n1 + + C n x nn matrični zapis vektorski zapis skalarni zapis

Primer: Da li je matrica [ e t e Φ(t) = 9t e t fundamentalna matrica sistema e 9t ] x 1 = 5x 1 + 4x 2 A = [ 5 4 4 5 x 2 = 4x 1 + 5x 2? ] [ ] e t ; X 1 = ; X 2 = e t [ e 9t e 9t ] dφ dt = A Φ(t) = [ e t 9e 9t e t [ 5 4 4 5 9e 9t ] ] [ e t e 9t e t e 9t ] = [ e t 9e 9t e t 9e 9t ] det Φ(t) = 2e 1t, t (, ) [ e t e X h = 9t ] [ e t 9e e t e 9t = 9t e t 9e 9t [ ] e t = C 1 e t ] [ C1 C 2 ] + C 2 [ e 9t e 9t = ]

x 1 = C 1 e t + C 2 e 9t x 2 = C 1 e t + C 2 e 9t } opšte rešenje Napomena: Rešenje (KP ) X(t ) = X, t (c, d) : X(t) = Φ(t) C X(t ) }{{} X = Φ(t ) C C = Φ 1 (t )X X(t) = Φ 1 (t )X 3. Homogeni linearni sistemi DJ sa konstantnim koeficijentima (LHC) dx dt = AX, A = const, (c, d) = (, ), ili, skalarno: x 1 = a 11x 1 + + a 1n x n. x n = a n1x 1 + + a nn x n Reš. tražimo u obliku: x 1 = A 1 e λt,..., x n = A n e λt x 1 = A 1λe λt,..., x n = A nλe λt (LHC)

λa 1 e λt = a 11 A 1 e λt + + a 1n A n e λt. λa n e λt = a n1 A 1 e λt + + a nn A n e λt (S) (a 11 λ)a 1 + + a 1n A n = a n1 A 1 + + (a nn λ)a n =. Homogeni sistem lin. alg. jednačina po A 1,..., A n. Netrivijalno rešenje postoji ako i samo ako je det(s) =, tj. a 11 λ a 1n (KJ).. a n1 a nn λ =, odnosno (KJ) det(a λi) = Polinom n tog stepena po λ čiji su koreni λ 1,..., λ n.

1 λ = a je realan jednostruk koren: x 1 = A 1 e at,..., x n = A n e at rešenje A 1,..., A n se odredjuju iz sistema (S) za λ = a. Pokazuje se: rang matrice sistema (S) je n 1 (1 slobodna, n 1 vezanih promenljivih) Primer: 5 λ 4 4 5 λ λ 1 = 1 : x 1 = 5x 1 + 4x 2 x 2 = 4x 1 + 5x 2 A = [ 5 4 4 5 = λ2 1λ + 9 = x 1 = A 1 e t x 2 = A 2 e t ; ] 4A 1 + 4A 2 = 4A 1 + 4A 2 = { λ1 = 1 λ 2 = 9 } (S) A 2 = 1 (proizv.) A 1 = 1, X 1 = λ 2 = 9 : x 1 = A 1 e 9t x 2 = A 2 e 9t ; [ e t e t ] 4A 1 + 4A 2 = 4A 1 4A 2 = } (S)

[ e 9t A 2 = 1 (proizv.) A 1 = 1, X 2 = e 9t ] Φ(t) = [ e t e 9t e t e 9t ] ; X h = Φ(t)C 2 λ = α ± iβ jednostruk kompleksan par: x 1 = A 1 e (α+iβ)t,..., x n = A n e (α+iβ)t rešenje A 1,..., A n se odredjuju iz sistema (S) koji, posle uvrštavanja λ, ima 1 slobodnu i n 1 vezanih promenljivih. Rešenja su kompleksna. Razdvajanjem Re i Im delova dobijamo 2 realna rešenja Primer: x = 2y y = 2x domaći 3 λ = a je realan koren reda k: x 1 = P 1 (t)e at,..., x n = P n (t)e at rešenje P 1 (t),..., P n (t) polinomi stepena k 1 sa neodredjenim koeficijentima (LHC) : sistem od n k jedn. sa n k nepoznatih

Pokazuje se: rang matrice sistema je nk k (k slobodnih, nk k vezanih promenljivih) Izbor slobodnih promenljivih: 1. vezane X 1 } {{ 1 } vezane X k k Primer: x = y y = x + 2y A = [ 1 1 2 linearno nez. reš. ] λ 1 1 2 λ = λ2 2λ + 1 = λ 1 = λ 2 = 1 x = (A 1 + A 2 t)e t y = (B 1 + B 2 t)e t x = A 2 e t + (A 1 + A 2 t)e t y = B 2 e t + (B 1 + B 2 t)e t } (LHC) (A 1 + A 2 + A 2 t)e t = (B 1 + B 2 t)e t (B 1 + B 2 + B 2 t)e t = (A 1 + A 2 t)e t + 2(B 1 + B 2 t)e t

A 1 + A 2 B 1 = A 2 B 2 = A 1 B 1 + B 2 = A 2 B 2 = A 1 + A 2 B 1 = A 2 B 2 = } a) B 1 = 1, B 2 = : A 2 =, A 1 = 1 X 1 = [ e t e t ] b) B 1 =, B 2 = 1 : A 2 = 1, A 1 = 1 [ ( 1 + t)e t X 2 = te t ] Φ(t) = [ e t ( 1 + t)e t e t te t ], X h = Φ(t)C 4 λ = α ± iβ konjugovano kompl. par reda r: x 1 = P 1 (t)e (α+iβ)t,..., x n = P n (t)e (α+iβ)t Na isti način kao u 3 dobija se r linearno nezavisnih kompleksnih rešenja. Razdvajanjem Re i Im delova dobija se 2r linearno nezavisnih rešenja.

4. Nehomogeni sistemi (LNH) dx dt = A(t)X+B(t); A, B nepr. na (c, d) (LH) dx dt = A(t)X Teorema: Neka su X 1 (t),..., X n (t) linearno nezavisna rešenja (LH), a X p (t) jedno rešenje (LNH). Tada opšte rešenje X nh = C 1 X 1 (t) + + C n X n (t) + X p (t) sadrži sva rešenja (LN H). Dokaz: a) X nh je rešenje (LNH): dx nh dt dx = C 1 dx n dx p 1 + + C n + = }{{} dt } dt {{}}{{} dt AX 1 AX n AX p +B = C 1 AX 1 + + C n AX n + AX p + B = = A(C 1 X 1 + + C n X n + X p ) + B = = AX nh + B

b) Ako je X(t) proizvoljno rešenje (LN H), slično kao u homogenom slučaju, pokazuje se da postoje C 1,..., C n t.d. X(t) = C 1 X 1(t) + + C n X n(t) + X p (t) 5. Metoda varijacije konstanti X nh = C 1 (t)x 1 (t) + + C n (t)x n (t) dx nh dt = C 1 X 1 + C 1 X }{{} 1 + + C n X n + C n X }{{} n AX 1 AX n = = C 1 X 1 + + C n X n + A(t)(C 1 X 1 + + C n X n ) = C 1 X 1 + + C n X n + A(t)X nh (LNH) : C 1 X 1+ +C n X n+a(t)x nh = A(t)X nh +B(t) tj. C 1 X 1 + + C n X n = B(t) C 1 x 11. x n1 + + C n x 1n. x nn = b 1. b n,

x 11 C 1 + + x 1nC n = b 1. x n1 C 1 + + x nnc n = b n Sistem lin. alg. jednačina, det = W (t) C 1 = v 1(t),..., C n = v n(t) jedinstv. reš. C 1 (t) = v 1 (t) dt+c 1,..., C n (t) = v n (t) dt+c n X nh = ( v 1 dt, +C 1 )X 1 + + ( = C 1 X 1 + + C n X n }{{} X h + + ( v 1 dt)x 1 + + ( v n dt)x n } {{ } X p v n dt, +C n )X n = x 1 = 5x 1 + 4x 2 + e 2t x x 2 = 4x 1 = 5x 1 + 4x 2 1 + 5x 2 x 2 = 4x (rešen ranije): 1 + 5x 2 [ e t e Φ(t) = [X 1 (t) X 2 (t)] = 9t ], W = detφ = 2e 1t e t e 9t

D 1 = e t C 1 + e9t C 2 = e2t e t C 1 + e9t C 2 = e2t e 9t e 9t, D 2 = et e t e 2t C 1 (t) = D 1 W = 1 2 et C 1 (t) = 1 2 et + C 1 C 2 (t) = D 2 W = 1 2 e 7t C 2 (t) = 1 14 e 7t + C 2 X nh = ( 1 [ ] e t 2 et + C 1 ) e t + ( 1 [ e 9t 14 e 7t + C 2 ) e 9t [ ] [ ] [ ] e t e 9t 37 e = C 1 e }{{ t +C 2 e }}{{ 9t + 2t } 7 4 }{{ e2t } X 1 X 2 X p ] = 6. Matrični zapis metode varijacije konstanti Sledi: X h = Φ(t)C, X nh = Φ(t)C(t)

dx nh dt = dφ dt }{{} A(t)Φ(t) C+Φ dc dt = A(t)Φ(t) }{{} C(t)+B(t) Φ dc dt = B(t) dc dt = Φ 1 B(t) C(t) = Φ 1 (t)b(t) dt + C X nh = Φ(t)[ Φ 1 (t)b(t) dt + C] = Φ(t)C }{{} X h + Φ(t) + Φ(t)[ Φ 1 (t)b(t) dt] } {{ } X p 7. Matrični zapis rešenja (KP ) dx dt = A(t)X + B(t), X(t ) = X X(t) = Φ(t)C(t)

1) X(t ) = Φ(t )C(t ) = X C(t ) = Φ 1 (t )X 2) C(t) zadovoljava dc dt = Φ 1 (t)b(t) Integracijom od t do t: t t dc = t t C(t) C(t ) = Φ 1 (t)b(t) dt t Φ 1 (t)b(t) dt t C(t) = Φ 1 (t )X + t t Φ 1 (t)b(t) dt X(t) = Φ(t)[Φ 1 (t )X + t Φ 1 (t)b(t) dt] t

8. Stabilnost sistema LDJ sa konstantnim koeficijentima x 1 = a 11x 1 + + a 1n x n + b 1 (t). x n = a n1x 1 + + a nn x n + b n (t) (KP ) Reš. (KP ) Reš. x 1 (t ) = x 1,..., x n(t ) = x n x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t) x 1 (t ) = x 1,..., x n(t ) = x n x 1 = x 1 (t),..., x n = x n (t) x _ x i x i _ xi(t) x i (t) t t Pitanje: Ako su x i i x i i = 1,..., n "bliski", da li će rešenja ostati "bliska" u budućnosti?

Ispitivanje stabilnosti proizvoljnog rešenja se svodi na ispitivanje stabilnosti trivijalnog rešenja homogenog sistema x 1 = a 11x 1 + + a 1n x n. x n = a n1x 1 + + a nn x n Definicija: Trivijalno rešenje je stabilno ako ( ε > )( δ > )( x i < δ, i = 1,..., n x i (t) < ε, i = 1,..., n; t t ) x - - e d d e t t

Definicija: Trivijalno rešenje je asimptotski stabilno ako je: a) stabilno b) δ > : x i < δ lim t x i(t) =, i = 1,..., n Teorema 1. Trivijalno rešenje je asimptotski stabilno ako i samo ako svi koreni (KJ) imaju negativne realne delove. Teorema 2. Ako bar jedan koren (KJ) ima pozitivan realni deo, onda trivijalno rešenje nije stabilno.

9. Matrični eksponent e a = e A = e At = k= k= k= a k k! = 1 + a + a2 2! + a3 3! A k + (Mc Laurin) k! = I + A + A2 2! + A3 3! + ; det ea, A (At) k k! = I + At + A2 2! t2 + A3 3! t3 + d dt eat = d dt = A + A2 2! (I + At + A2 2! t2 + A3 3! t3 + ) = 2t + A3 3! 3t2 + = A(I + At + A2 2! t2 + ) = Ae At }{{} e At

1. Primena na homogene sisteme sa konstantnim koeficijentima Φ(t) = e At zadovoljava: dx dt = AX (i) dφ dt = AeAt = AΦ (ii) det e At Φ(t) = e At je fundamentalna matrica "Težina" problema nalaženja fundamentalne matrice prebačena je na sumiranje Košijev problem: X(t ) = X, X = Φ(t)C = e At C, X(t ) = e At C = X C = e At X Rešenje (KP ): X = e At e At X = e A(t t ) X

Primer: x 1 = 2x 2 A = [ 2 1 3 x 2 = x 1 3x 2 ] [ ], A 2 2 6 =, A 3 = 3 7 [ 6 14 7 15 ] Φ(t) = I + At 1! + A2 t 2 2! = + A3 t 3 3! + = 1 2t2 2! + 6t3 3! + 2t 1! + 6t2 2! 14t3 3! + t 1! 3t2 2! + 7t3 3! + 1 3t 1! + 7t2 2! 15t3 3! + Domaći: Naći Φ(t) = e At za sistem x 1 = 5x 1 + 4x 2 x 2 = 4x 1 + 5x 2

11. Izračunavanje matrice e At 1 A = 2 A = a 1 a 2 a 3 a a a, e At =, e At = e a 1t e a 2t e a 3t e at te at e at t 2 2! eat te at e at 3 A = a 1 a 1 a, e At = e a 1t e at te at e at Opšti slučaj: Svodjenje matrice A na (knjiga) Žordanov oblik Domaći: Proveriti 2

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

1. Osnovni pojmovi x 1,..., x n - nezavisno promenljive u(x 1,..., x n ) - nepoznata funkcija (P ) F (x 1,..., x n, u, u x 1,..., u x n ) = Definicija: Funkcija u(x 1,..., x n ) je rešenje jednačine (P ) na oblasti D R n ako identički zadovoljava (P ) na D. (HL) P 1 (x 1,..., x n ) u x 1 + +P n (x 1,..., x n ) u x n = linearna homogena parcijalna jed. prvog reda u const je trivijalno rešenje (LH) (KL) P 1 (x 1,..., x n, u) u x 1 + + P n (x 1,..., x n, u) u x n = = P n+1 (x 1,..., x n, u) kvazilinearna homogena parcijalna jed. prvog reda

2. Linearna homogena parcijalna jednačina prvog reda Neka su P 1,..., P n neprekidno diferencijabilne na D i neka je bar jedna od njih, npr. P n na D. (HL) (S) dx 1 P 1 (x 1,...,x n ) = = dx n P n (x 1,...,x n ) Teorema: Neka je u = ϕ(x 1,..., x n ) neprekidno diferencijabilna funkcija i u const. Važi: ϕ je rešenje (LH) ϕ(x 1,..., x n ) = C je prvi integral sistema (S) Dokaz: P n na D (S) dx i = P i(x 1,..., x n ), i = 1,..., n 1 dx n P n (x 1,..., x n ) (x n nez. pr.) Neka je ϕ = C prvi integral sistema (S) ϕ + ϕ + + x n x 1 P1 ϕ =, (x 1,..., x n ) D P n x n 1 Pn 1 P n

P 1 ϕ x 1 + + P n ϕ x n =, (x 1,..., x n ) D tj. ϕ je rešenje (HL) Teorema: Neka su ϕ 1 = C 1,..., ϕ k = C k prvi integrali sistema (S), a F proizvoljna neprekidno diferencijabilna funkcija k promenljivih. Tada je rešenje (LH) jednačine. Dokaz: u = F (ϕ 1,..., ϕ k ) u = F ϕ 1 + + F ϕ k x 1 ϕ 1 x 1 ϕ k x 1. u = F ϕ 1 + + F ϕ k x n ϕ 1 x n ϕ k x n P 1 u x 1 + + P n u x n = P 1 ( F ϕ 1 ϕ 1 x 1 + + F ϕ k ϕ k x 1 ) + + P n ( F ϕ 1 ϕ 1 x n + + F ϕ k ϕ k x n ) =

= F ϕ 1 (P 1 ϕ 1 x 1 + + P n ϕ 1 x n ) + + F ϕ k (P 1 ϕ k x 1 + + P n ϕ k x n ) = na D, tj. u = F (ϕ 1,..., ϕ k ) je rešenje (HL). Teorema: Ako su ϕ 1 = C 1,..., ϕ n 1 = C n 1 nezavisni prvi integrali sistema (S), a F proizvoljna neprekidno diferencijabilna funkcija, tada je u = F (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) opšte rešenje (HL) jednačine. Postupak: 1 (HL) (S) 2 ϕ 1 = C 1,..., ϕ n 1 = C n 1 nez. prvi int. sistema (S) 3 u = F (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) opšte rešenje (HL) Napomena: Umesto proizvoljne konstante pojavljuje se proizvoljna funkcija Primer: u x y 2 z u y x2 z + u z x2 y = D = {(x, y, z) : x >, y >, z > }

(S) dx y 2 z = dx y 2 z = dy x 2 z = dz x 2 y dy x 2 z x3 + y 3 = C 1 dy x 2 z = dz x 2 y y2 + z 2 = C 2 nezavisni su Opšte rešenje: u = F (x 3 + y 3, y 2 + z 2 ) 3. Problem sa početnim uslovom za (LH) (HL) P 1 u x 1 + + P n u x n =, P i neprekidno diferencijabilne funkcije na D, P n Problem: ako (x 1,..., x n ) D, naći ono rešenje (LH) jednačine koje za x n = x n zadovoljava uslov u(x 1,..., x n 1, x n ) = ϕ(x 1,..., x n 1 ) gde je ϕ data funkcija.