5. ožujka 2018. 7. Proračun nosača naprezanih poprečnim silama
Primjer sloma zbog djelovanja poprečne sile SLIKA 1. T- nosač slomljen djelovanjem poprečne sile Do sloma armirano-betonske grede uslijed djelovanja poprečne sile može doći uslijed: otkazivanja poprečne armature, nenadanog sloma po kosoj pukotini.
Svaki armiranobetonski gredni element opterećen momentom savijanja mora biti dimenzioniran tako da može preuzeti poprečne sile koje se javljaju u nosaču. Prije primjene proračuna armiranobetonskih konstrukcija prema graničnim stanjima proračun se vršio prema dopuštenim naprezanjima. Proračun elemenata na poprečne sile temeljio se na Mӧrsch/ Ritterovoj analogiji s rešetkom. Kasnije je uvedena poboljšana Mӧrsch/ Rittterova analogija s rešetkom koja je nazvana standardnom metodom. Ova metoda uvažava doprinos betona i uzdužne armature nosivosti elementa na poprečne sile.
Opći postupak provjere nosivosti na poprečne sile Postupak je zasnovan na određivanju dvije proračunske vrijednosti nosivosti na poprečnu silu: V Rd,c proračunska otpornost na poprečnu silu elementa bez poprečne armature ( otpornost betona i uzdužne armature ), V Rd,max proračunska vrijednost najveće poprečne sile koju preuzima element ograničen tlačnom čvrstoćom betona. 0 V Rd,c V Rd,max V Ed SLIKA 2. Područja poprečnih sila
Proračunska poprečna sila presjeka kojom se uzima u obzir vanjsko opterećenje ( eventualno prednapinjanje ) izračunava se prema sljedećem izrazu: V Ed = γ G V g + γ Q V q Za vrijednosti γ G i γ Q uzimamo najčešće γ G = 1,35 i γ Q = 1,50. U području nosača gdje vrijedi da je V Ed V Rd,c nije potrebno proračunati poprečnu armaturu. Ipak, potrebno je predvidjeti minimalnu poprečnu armaturu. Poprečne armatura može biti manja od minimalne izuzetno kod grednih nosača manje važnosti kao što su to nadvoji raspona 2,0 m, no poprečna armatura se mora postaviti. Razmak takve poprečne armature može biti i veći od propisanog razmaka za grede većeg raspona. U području gdje je V Ed > V Rd,c treba predvidjeti dovoljnu poprečnu armaturu tako da bude V Ed V Rd.
Proračunska vrijednost otpornosti presjeka bez poprečne armature na poprečnu silu V Rd,c računa se prema izrazima: V Rd,c = [ C Rd,c k 3 100 ρ 1 fck + k 1 σ cp ] b d V Rd,c V Rd,c,min = ( ν min + k 1 σ cp ) b d Vrijednosti f ck i σ cp dane su u N/mm 2, b i d dani su u mm, a V Rd,c se izražava u N. Objašnjenje ostalih oznaka: f ck - karakteristična tlačna čvrstoća betona ( valjak ) u N/mm 2, K = 1 + 200 d 2,0 gdje su brojka 200 i statička visina dani u mm, ρ 1 = A s1 / b d 0,02
A s1 ploština vlačne armature koja se proteže najmanje ili više od ( l bd + d ) izvan promatranog presjeka, σ cp = N ed /A c 0,2 f cd u N/mm 2 N Ed osna sila u presjeku zbog opterećenja ili prednapinjanja u N A c ploština betonskog presjeka u mm 2, b najmanja širina poprečnog presjeka u mm, ( kod ploča 1000 mm, za grede širina hrpta b w ), d- statička visina poprečnog presjeka u mm. Prema našim normama: C Rd,c = 0,18 / γ c k 1 = 0,15 Vrijednost ν min dana je sljedećim izrazom: ν min = 0,035 k 3/2 f ½ ck gdje su ν min i f ck dani u N/mm 2.
Proračun poprečne armature U područjima elemenata gdje je V Ed > V Rd,c potrebno je proračunati poprečnu armaturu. Za grede s vertikalnom poprečnom armaturom ( spone ) otpornost na posmik, V Rd uzimamo manju od sljedećih vrijednosti: V Rd,s = A sw / s z f ywd cotθ V Rd,max = α cw b w z ν 1 f cd 1/ (cotθ + tanθ ) gdje je: V Rd,s proračunska vrijednost poprečne sile koju preuzimaju spone prilikom popuštanja, A sw ploština presjeka svih krakova spona na duljini s i širini b w, A sw = A 1 sw m, gdje je A 1 sw ploština presjeka jedne grane spone, a m je reznost, s razmak spona. Za čisto savijanje preporuka je uzeti cotθ = 1,2
Razmak spona s računa se prema sljedećem izrazu: s = ( A sw / V Ed ) z f ywd cotθ Za f ywd 0,8 f ywk i f ck 60 N/mm 2 uzimamo da je ν 1 = 0,6 Za elemente konstrukcije bez uzdužne tlačne sile preporuča se vrijednost α cw = 1,0. Za kut betonskih tlačnih štapova Θ = 45 0 najveća proračunska ploština presjeka vertikalne poprečne armature iznosi: A sw,max = ½ b w s α cw ν 1 f cd / f ywd
Poprečna sila V Ed proračunata uz uvjet da je uzdužna armatura potpuno usidrena na osloncu uvijek mora zadovoljiti uvjet: V Ed V Rd,max = 0,5 ν b w d f cd Preporučena vrijednost koeficijenta redukcije za beton s posmičnom pukotinom ν računa se prema sljedećem izrazu: gdje je f ck izražen u N/mm 2. ν = 0,6 [ 1 f ck / 250 ] IV
Poprečna armatura greda Poprečna armatura ( spone ) najčešće se postavlja okomito na uzdužnu os grede. Poprečna se armatura sastoji od kombinacije spona koje obuhvaćaju uzdužnu vlačnu armaturu i tlačno područje. Spone trebaju biti zatvorene s kukama na krajevima savijenima pod 135 0, s ravnim dijelom kuke najmanje 10Φ, tako da taj dio uđe u ovijenu betonsku jezgru unutar samih spona. Najmanje 50% poprečne armature mora se sastojati od spona. SLIKA 3. Primjeri poprečne armature
Koeficijent armiranja poprečnom armaturom ρ w, za preuzimanje poprečne sile određuje se prema sljedećem izrazu: ρ w = A sw / s b w sin α ρ w,min Gdje je: A sw ploština presjeka svih krakova spona na duljini s i širini b w. A sw = A 1 sw m, gdje je A 1 sw - ploština presjeka jedne grane spone, a m je broj grana spona u jednom presjeku, s - razmak spona, b w širina hrpta grede, α kut između poprečne i uzdužne armature,
ρ w,min = 0,08 fck fyk U ovom izrazu f ck i f yk moraju biti izraženi u N/mm 2. Prema našim propisima minimalni koeficijent armiranja poprečnom armaturom definiran je izrazom: ρ w,min = 0,15 f ctm / f yd Vrijednosti minimalnog koeficijenta armiranja ρ w,min navedene su u donjoj tablici: TABLICA I. Minimalni koeficijent armiranja poprečnom armaturom, ρ w,min za čeličnu armaturu B500B IV
Najveći uzdužni razmak spona s 1,max dan je u sljedećoj tablici: TABLICA II. Najveći uzdužni razmak spona s1,max
Poprečni razmak spona s t,max dan je u odnosu na vrijednosti proračunske poprečne sile V Ed. TABLICA III. Najveći poprečni razmak spona s t,max
Primjer: 20 2 1 3 8/20 cm 10 Poprečna armatura ( spone ) 1 2 75 Dvorezna spona m=2 8/20 cm l = 240 cm SLIKA 2. Skica armature grede / nije u mjerilu! / 35
PRIMJER Treba proračunati armaturu za pravokutni presjek 30/40, efektivnog raspona l eff =4,50 m. Debljina zaštitnog sloja betona neka je 2 cm ( suhi okoliš). Izvršiti provjeru na djelovanje poprečne sile. Nacrtati u mjerilu nacrt armature te izraditi iskaz armature. h = 40 cm b w = 30 cm c = 2 cm Gradivo: Beton C25/30 f ck = 25 N/mm 2 Armatura B500B f yk = 500 N/mm 2 h A s1 =? d Maksimalne rezne sile: M Ed = 58,92 knm V Ed,max = 52,38 kn b w d 1 IV 17
RJEŠENJE: Karakteristike materijala: Beton C25/30: f cd = α cc f ck / γ c = 1,0 25/ 1,50 = 16,67 N/mm 2 = 1,667 kn/cm 2 f cd = 1,667 kn/cm 2 Čelik B500B: f yd = f yt / γ s = 500 / 1,15 = 434,78 N/mm 2 = 43,478 kn/cm 2 f yd = 43,478 kn/cm 2 IV
Statička visina presjeka: c nom = 2,0 cm suhi okoliš d = h d 1 d 1 = C + Φv + Φ/2 Pretpostavimo: Φ s = 12 mm ( glavna vlačna armatura ) Φ v = 8 mm ( spone ) Dakle: d 1 = 2,0 + 0,8 + 0,6 = 3,4 cm d = 40,0 3,4 = 36,6 cm d = 36,6 cm d 1 c IV
Dimenzioniranje: μ Ed = M Ed / b d 2 f cd μ Ed = 5892/ 30 36,6 2 1,667 = 0,088 < μ RD lim = 0,296 μ Ed = 0,088 Očitamo iz tablice: μ Rd = 0,089 ζ = 0,951 ξ = 0,123 ε c = -2,8 ε s1 = 20,0
Armatura: Proračunski potrebna: A s1, req = M Ed / z x d x f yd = 5892 / 0,951 x 36,6 x 43, 478 = 3,89 cm 2 A s1, req = 3,89 cm 2 Odabrano: 4 Φ 12 ( A s1,prov = 4,52 cm 2 ) IV
Najmanja dopuštena i najveća dopuštena ploština armature u gredi: Najmanja: A s1, min = 0,26 ( f ctm / f yk ) b d = 0,26 ( 2,6 / 500,0 ) 30,0 36,6 = 1,48 cm 2 A s1, min = 0,0013 b d = 0,0013 30,0 40,0 = 1,56 cm 2 ( mjerodavno! ) Najveća: A c = b h A s1, max = 0,04 A c = 0,04 30,0 40,0 = 48,00 cm 2 A s1, max = 0,022 A c = 0,022 30,0 40,0 = 26,40 cm 2 ( mjerodavno! ) h Usporedimo: b A s, min < A s1, req < A s, max 1,48 cm 2 < 4,52 cm 2 < 26,40 cm 2 Odabrano: Glavna armatura: 4 Φ 12 ( A s,prov = 4,52 cm 2 ) IV
Armatura na ležajevima- gornja zona: Naši propisi zahtijevaju postavljanje armature na osloncima ploštine jednake ili veće od: 1/4 armature iz polja ( hrvatski nacionalni dodatak ), 15 % armature iz polja ( HRN EN 1992-1-1 ). Prema tome: A s1, prov / 4 = 4,52 / 4 = 1,13 cm 2 ( mjerodavno ) ( 15/100 ) 4,52 = 0,68 cm 2 1,13 cm 2 > 0,68 cm 2 Odabrano: Gornja zona 2 Φ 12 ( 2,26 cm 2 ) IV
Kontrola otpornosti ( nosivosti ) grede na poprečne sile: V Ed = 52,38 kn Proračunska vrijednost nosivosti poprečnog presjeka na poprečnu silu bez poprečne armature: V Rd,c = [ C Rd,c k 3 100 ρ 1 fck + k 1 σ cp ] b d C Rd,c = 0,18 / γ c = 0,18/ 1,5 = 0,12 k = 1 + 200 d 2,0 k = 1 + 200 366 2,0 = 1,74 2,0 ρ 1 = A s1 / b d 0,02 = 4,52/ 30 36,6 = 0,0041 0,02 As1 = 4 Φ 12 = 4,52 cm 2 k 1 = 1,15 N Ed = 0 pa je σ cp = 0 IV
V Rd,c = [ C Rd,c k 3 100 ρ 1 fck + k 1 σ cp ] b d 3 = [ 0,12 1,74 100 0,0041 25 + 0,15 0] 300 366 = = ( 0,12 1,74 2,1722 + 0 ) 109800 = = 49800,38 N = 49,80 kn V Rd,c = 49,80 kn V Ed ν min = 0,035 k 3/2 f ck ½ = 0,035 1,74 3/2 25 ½ = 0,402 V Rd,max = 0,5 ν b w d f cd ν = 0,6 [ 1 f ck / 250 ] = 0,6 [ 1 25/ 250 ] = 0,540 V Rd,max = 0,5 ν b w d f cd = 0,5 0,540 300 366 16,67 = 494,19 kn V Ed = 52,38 kn V Rd,max = 494,19 kn V Ed / V Rd,max = 52,38 / 494,19 = 0,106 IV
Proračun razmaka spona i izbor spona: S 1,max = min ( 0,75 d; 30 cm ) S 1,max = min ( 0,75 36,6; 30 cm ) S 1,max = min ( 27,45; 30 cm ) S 1,max = 20,0 cm ρ w,min = 0,00090, m = 2 ( dvorezne spone ) A sw,min = ρ w,min S 1,max b w / m = 0,00090 20,0 30 / 2 = 0,27 cm 2 V Rd,s = A sw z f ywd cotθ / s s = 20,0 cm A sw = A sw,min m = 0,50 2 = 1,00 cm 2 V Rd,s = ( 1,00 0,9 36,6 43,48 1,2 ) / 20 = 85,93 kn V Ed Odabrane spone Φ 8/20 ( A sw = 0,50 cm 2 ) IV
Proračun rezne duljine armaturnih šipki- SAŽETAK Oblik savijanja Rezna duljina l Duljina armaturne šipke l l k l l k Duljina armaturne šipke + 2 kutne kuke l + 2 l k l k l 1 l 2 l 1 Zbroj pojedinačnih duljina + 2 kutne kuke 2 l 1 + 2 l 2 + 2 l k
Proračun duljine kutne kuke l k : Računa se prema sljedećem izrazu: l k = d š + ½ d sv + 5 d š gdje su: l k duljina kutne kuke d š promjer armaturne šipke / mm / SLIKA 3. Kutna kuka za standardno savijanje d sv promjer savojnog valjčića / mm /- tablica IV. Duljinu kutne kuke zaokružujemo na cijele centimetre. IV
TABLICA IV. Promjeri savojnih valjčića za stremene, kuke i petlje Promjer šipke d š u mm Promjer savojnih valjčića d sv u cm 6 8 10 12 14 16 20 25 28 4 d š 7 d š 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 14,0 17,5 19,6
PRORAČUN DULJINA ŠIPKI POZ 1, POZ 2 i POZ 3 POZ 1: L 1 = l + 2 l k l = 480 2 c = 480 2 2 = 480 4 = 476 cm l k = d š + ½ d sv + 5 d š = 12 mm + ½ 48 mm + 5 12 mm = 12 + 24 + 60 = 96 mm zaokruženo na 100 mm l k = 10 cm L 1 = l + 2 l k = 476 + 2 10 = 476 + 20 = 496 cm L 1 = 496 cm POZ 2: l = 480 2 c = 480 2 2 = 480 4 = 476 cm l = 476 cm
SLIKA 4. Sidrenje spona POZ 3: l spone = 2 l 1 + 2 l 2 + 2 l k = 2 ( b 2 c ) + 2 ( h 2 c ) + 2 l k l k 10 Φ 70 mm = 10 8,0 = 80 mm. zaokruženo na 100 mm l k = 10 cm l spone = 2 ( b 2 c ) + 2 ( h 2 c ) +2 l k = 2 ( 30 4) + 2 ( 40 4 ) + 2 10 = = 2 26 + 2 36 + 20 = 144 cm l spone = 144 cm Proračun broja spona u gredi: k =( 480-2 c) / s = ( 480 4 ) / 20 = 23,8 = 24 k = 24 S - razmak spona
Plan armature grede IV
Iskaz armature IV
ZADATAK ZA VJEŽBU Treba proračunati armaturu za pravokutni presjek 40/50, efektivnog raspona l eff = 4,00 m. Debljina zaštitnog sloja betona neka je 2 cm. Spone odabrati konstruktivno ( bez provjere na djelovanje na poprečne sile ). Nacrtati u mjerilu plan armature te izraditi iskaz armature. h = 50 cm b w = 40 cm c = 2 cm Gradivo: Beton C25/30 f ck = 25 N/mm 2 Armatura B500B f yk = 500 N/mm 2 Maksimalne rezne sile: h A s1 =? d M Ed = 48,00 knm Pretpostaviti glavnu armaturu Φ 12, konstruktivnu armaturu Φ 10 i spone Φ 8 mm b w d 1 IV 34