Vežbe 6 IZVIJANJE 1 IZVIJANJE Izvijanje se javlja kod aksijalno napregnutih štapova na pritisak, kada imaju relativno veliku dužinu u odnosu na površinu poprečnog preseka. Zbog postojanja geometrijskih i tehničkih odstupanja od izvedenog stanja od idealno analiziranog opterećenja na pritisak, sila ne deluje po idealnoj osi preseka, dolazi do pojave savijanja dugih štapova opterećenih na pritisak. Ovako nastalo savijanje naziva se izvijanje. Ovi štapovi su dimenzionisani prema zakonima aksijalnog naprezanja, što je dovoljno za relativno kratke štapove. Kod dugih štapova problem njihove čvrstoće je prevaziđen ali je izražen problem stabilnosti. U zavisnosti od načina vezivanja dugih štapova delovanje pritisne sile nastalo izvijanje štapova ima različite elastične linije. Preko redukovane dužine štapa uzima se u obzir uticaj vezivanja krajeva štapa. Redukovana dužina štapa definiše rastojanje između prevojnih tačaka na elastičnoj liniji izvijenog štapa. Za izvijanje štapa u elastičnom područiju prema OJLER-ov oj metodi definisana je kritična sila izvijanja, sila pri kojoj nastaje izvijanje datog štapa: F k = π EI min Ojlerova kritična sila izvijanja Štap se izvija oko minimalne ose inercije I min = I ; i min = I min A redukovana dužina (zavisno od dužine i načina vezivanja) E modul elastičnosti Kritični napon u poprečnom preseku: σ = F k = π EI min A l r A = π E λ r λ r = i min vitkost štapa bezdimenziona veličina Na osnovu Hukovog zakona i Ojlerovih obrazaca određuje se kritična vrednost ili granična vrednost vitkosti štapa λ k zavisno od vrste materijala štapova Ako je stvarna vitkost štapa veća od kritične λ r > λ k izvijanje je u područiju elastičnosti važe Ojlerov postupak F k = π EI min l odnosno σ = F k = π EI min r A l r A = π E λ r
Vežbe 6 IZVIJANJE Ako je stvarna vitkost štapa manja od kritične λ r < λ k izvijanje je neelastičnom područiju primenjuje se Tetmajerov postupak σ k = C Dλ r gde su C i D eksperimentalno određene konstante zavisno od vrste materijala (uzimaju se iz tabela) λ k = 105 za ugljenični čelik λ k = 89 za srednje ugljenični čelik λ k = 80 za liveno gvožđe Koeficijent sigurnosti kod izvijanja ν = F k F U praksi, prema literaturi posebno se primenjuje u Nemačkoj, OMEGA postupak σ = ω F A σ dc Stvarni napon se pomnoži sa ω u zavisnosti od vrste materijala i vitkosti iz tabela se uzima vrednost Zadatak 6.1. Koliku aksijalnu silu pritiska može da nosi čelični stub sastavljen od tri jednake cevi, unutrašnjeg prečnika d=139 mm, a spoljašnjeg D=159 mm, visine 10 m, ako je zglavkasto oslonjen na krajevima? Stepen sigurnosti protiv izvijanja je ν = 3.5, E =.1 10 5 MPa I x = I y = π D d 6 = π 15.9 13.9 6 = 1305 cm = 1305 10 m
Vežbe 6 IZVIJANJE 3 A 1 = π D d = π 15.9 13.9 = 6.8 cm = 6.8 10 m A = 3 A 1 = 3 6.8 = 10.5 cm = 10.5 10 m y c = S x1 3 A = A 1 D 3 x c = S y 1 3 A = 0 3 A = 0 = D 3 = 15.9 3 =.589 cm 3 A 1 6 6 I x1 = 3I x + y c1 A 1 = 3 π D d 6 + D 3 π D d = 3 1305 + 13.769 6.8 I x1 = 1789cm = 1789 10 m I x = I x1 y c 3 A 1 = 9831 cm I y = 3I y + x c A 1 = 3 π D d 6 + D π D d = 3 1305 + 15.9 6.8 I y = I = 9831cm = 9831 10 m i min = i = I A = 9831 10.5 = 69.97 = 8.368 cm Pošto je štap dvostrano vezan zglobno iz tablica iz otpornosti materijala D. Rašković strana 97 IX tablica, dvostrano zglavkasto oslonjen slučaj a) = l = 1000 cm = 10 m Vitkost štapa je neimenovan broj pa se može pisati: λ r = 1000 = 119.5 > 89 za topljeni čelik znači primeniti OJLEROV metod 8.368 F k = π EI min = π 11.1 10 9831 10 = 035 10 3 N 10 Sila koju stub može sa sigurnošću da nosi iznosi F = F k ν = 035 103 3,5 = 581.6 10 3 N = 581 kn
Vežbe 6 IZVIJANJE Zadatak 6.. Konzola dužine m opterećena je na slobodnom kraju vertikalnim teretom od 150kN a zategnuta je šipkom S koja je zglavkasto vezana za zid. Odrediti stepen sigurnosti protiv izvijanja konzole ako je napravljena od livenog gvožđa. Poprečni presek konzole je kružni prsten spoljašnjeg prečnika 10 cm a debljine 1. cm. Za LG može poznato je λ k = 80 i E = 1 10 5 MPa sa slike ctgα = 3 Odrediti silu u štapu X i = F Scosα = 0 F = Scosα Y i = Ssinα G = 0 S = 1 sinα G F = Scosα = 1 G cos α = ctgα G = 150 = 00kN = 00 103 sinα 3 Za poznati presek kružnog prstena D=10cm, d=7.6cm iz tablica i 1 = i = i min = D 1 + d D = 10 1 + 7.6 10 = 3.1cm Pošto je štap poduprta konzolaiz tablica iz otpornosti materijala D. Rašković strana 97 IX tablica, poduprta konzola slučaj d) = 0.7l = 0.7 00 cm = 80 cm =.8 m Vitkost štapa je neimenovan broj pa se može pisati: λ r = 80 = 89.17 > 80 za LG znači primeniti OJLEROV metod 3.1 I = I x = I y = π D d 6 = π 10 7.6 6 = 37 cm = 37 10 m F k = π EI min = π 11 1 10 37 10 = 11 10 3 N.8 ν = F k F = 11 103 00 10 3 =.05
Vežbe 6 IZVIJANJE 5 Zadatak 6.3. Poprečni presek stuba, visine m, koji je uklješten na jednom kraju a na drugom slobodan, složen je iz dva ugaonika L100x100x10 na međusobnom rastojanju 10x10 mm(unakrsno). Odrediti aksijalnu silu koju može da prenese stub pri stepenu sigurnosti ν = 3.5, E =.1 10 5 MPa. Iz tablica se očita: I ξ1 = 80cm, I η1 = 73.3cm, e η = 3.99cm A = 19. cm Pa se određuje: ξ = 0, η = 0.5 + 3.99 =.70cm I ξ = I ξ1 = 80 = 560cm = 560 10 m I η = I η1 + η A = 73.3 +. 7 19. = 995cm = 995 10 m i min = i = I A = 560 19. = 1.58 = 3.8 cm Pošto je štap na jednom kraju uklješten a na drugom slobodan iz otpornosti materijala D. Rašković strana 97 IX tablica, slučaj b) = l = 00 cm = 800 cm = 8 m
Vežbe 6 IZVIJANJE 6 Vitkost štapa je neimenovan broj pa se može pisati: λ r = 800 = 09.5 > 105 za ČELIK znači primeniti OJLEROV metod 3.8 F k = π EI min l = π 11.1 10 560 10 r 8 = 181 10 3 N F = F k ν = 181 103 3.5 = 51.7 10 3 N = 51.7 KN Zadatak 6.. Lokomotivska poluga, datog poprečnog preseka, dugačka je 900 mm. Prečnik parnog cilindra je 580 mm, a pritisak pare 1 bar. Izračunati stepen sigurnosti protiv izvijanja. E =. 10 5 MPa. Stepen sigurnosti je: F = D π p = 0.58 π ν = F k F 1 10 5 = 3.697 10 5 N Da bi odredila vitkost treba sračunati i mim I = I y = b 1h 1 3 + b 3 h 1 1 = 3 103 + 8.53 1 1 = 510. cm = 510. 10 m A = A 1 + A = 3 10 + 8.5 = 80 cm = 80 10 m i min = i = I A = 510. 80 = 6.38 =.55 cm Pošto je obostrano vezan zglobom iz otpornosti materijala D. Rašković strana 97 IX tablica, slučaj a) = l = 90 cm =.9 m Vitkost štapa je neimenovan broj pa se može pisati: λ r = 90 = 115 > 105 za ČELIK znači primeniti OJLEROV metod.55 F k = π EI min l = π 11. 10 510 10 r.9 = 1315 10 3 N ν = F k F = 13.15 105 3.697 10 5 = 3.56
Vežbe 6 IZVIJANJE 7 Zadatak 6.5. Pri kojem pritisku pare parnog cilindra, prečnika 10 mm, nastupiti izvijanje poluge okruglog poprečnog preseka F15 mm dužine 300 mm? E =.15 10 5 MPa. F = D π p = F k sila na klipu cilindra pa je p = F k D π Pošto je klipnjača sa jedne strane uklještena a sa druge vođena iz otpornosti materijala D. Rašković strana 97 IX tablica, slučaj d) = 0.7 l = 1 cm = 0.1 m I = I x = I y = πd = π1.5 = 0.8 cm = 0.8 10 m 6 6 i min = i = d = 1.5 = 0.106 = 0.375 cm 16 16 F k = π EI min l = π 11.15 10 0.8 10 r 0.1 = 10.9 10 3 N p = F k = 10.9 103 = 10689.9 10 3 Pa = 1068990 Pa = 106 bar D π 0.1 π
Vežbe 6 IZVIJANJE 8 Zadatak 6.6. Laki štapovi AC i BC zglobno su vezani u tačkama A, B,C. Opterećeni su vertikalnom silom F u tački C. Poprečni preseci oba štapa su kružni prečnika 1cm. Dužina štapa AC je 60 cm. Odrediti silu F ako su štapovi od istog materijala i imaju istu kritičnu vitkost. Poznat je stepen sigurnosti i modul elastičnosti. λ k = 100, ν =, E = 10 5 MPa. Treba odrediti sile u štapovima X i = F A cos60 F B cos5 = 0 F A = cos5 cos60 F B Y i = F A sin60 + F B sin5 F = 0 cos5 sin60 + sin5 cos60 F B = Fcos60 F B = Fcos 60 cos5 sin 60 +sin 5 cos60 = F 6+ = 0.517F F A = cos5 cos60 F B = 1 0.517F = 0.731F I = I x = I y = πd 6 = π1 6 = 0.0908 cm = 0.0908 10 m i min = i = d = 1 = 0.065 = 0.5 cm 16 16 BC = ACsin 60 sin 5 = 60 3 = 60 3 = 73.5 cm Obostrano zglobno vezani štapovi i u oba slučaja = l λ r1 = 60 = 0 > 100 0,5 λ r = 73.5 = 9 > 100 0,5 Zaključak primenjuju se OJLER-ovi obrasci F ka = π EI min = π 11 10 0.0908 10 =.688 10 3 N 0.6 F A = F ka ν =.688 103 = 0.67 10 3 N = 67N F = F A 0.731 = 67 0.731 = 919N F kb = π EI min = π 10 11 0.0908 10 0.733 = 1.791 10 3 N
Vežbe 6 IZVIJANJE 9 F B = F kb ν = 1.791 103 = 0.7 10 3 N = 7N F = F B 0.517 = 7 0.517 = 86N Kao rešenje uzima se manja sila jer zadovoljava da su u oba štapa sile manje od kritičnih sila na izvijanje F = F B 0.517 = 7 0.517 = 86N
Vežbe 6 IZVIJANJE 10 F = D π p = F k sila na klipu cilindra pa je p = F k D π Pošto je klipnjača sa jedne strane uklještena a sa druge vođena iz otpornosti materijala D. Rašković strana 97 IX tablica, slučaj d) = 0.7 l = 1 cm = 0.1 m I = I x = I y = πd = π1.5 = 0.8 cm = 0.8 10 m 6 6 i min = i = d = 1.5 = 0.106 = 0.375 cm 16 16 F k = π EI min l = π 11.15 10 0.8 10 r 0.1 = 10.9 10 3 N p = F k = 10.9 103 = 10689.9 10 3 Pa = 1068990 Pa = 106 bar D π 0.1 π