Ztk (Mrko, gimnzij) Jenom ijgonlom osnoke kr položimo rninu koj n rugoj osnoki prolzi smo jenim rhom đite omjer oujmo nstlih tijel Rješenje đimo pro oujm pirmie: + = = = = T je oujm osttk koke jenk: 5 = = = Omjer nstlih oujmo iznosi: 5 : = : = 5 = 5 = : 5 jež Jenom ijgonlom osnoke kr položimo rninu koj n rugoj osnoki prolzi smo jenim rhom đite oujm nstle pirmie Rezultt: Ztk (Rex, gimnzij) ko pirmii olumen m i isine m osiječemo rh prlelno s zom n 9 m isine o ze, koliki olumen im preostli io pirmie? Rješenje = m, = m, = m 9 m = m, =? =, = uući se olumeni pirmi i međusono onose ko kuoi njihoih isin i, slijei: : = : = ( ) m m m m = = = = m ( m) m reostli io pirmie im olumen: = 999 = m m = m jež ko pirmii olumen m i isine m osiječemo rh prlelno s zom n 8 m isine o ze, koliki olumen im preostli io pirmie? Rezultt: 99 m Ztk (nmrij, hotelijersk škol) ko je olumen tetrer 9 m nđi njegou isinu Rješenje olumen tetrer je =, gje je poršin jenkostrničnog trokut: = 4
S slike ii se: =, =, = = =, ( je težišni, točk je težište koje težišniu ijeli u omjeru : ) omoću itgorin poučk nđemo : = = = = 9 = = Iz formule z olumen oije se isin : = 4 7 = = 9 = = 4 8 8 = ( ) 7 7 = = = 4 = 8 = = = = / = m ( ) jež ko je olumen tetrer 4 m nđi njegou isinu Rezultt: m Ztk 4 (Mrko, gimnzij) đite oujm okter s riom Rješenje 4 = = = = = / = 4 4 Okter je jeno o pet prilnih tijel i omeđeno je s osm jenkostrničnih trokut olumen okter iznosi: = = = jež 4 đite oplošje okter s riom Rezultt: O = Ztk 5 (ern, gimnzij) Zroj uljin triju rio što se sstju u istom rhu prilne trostrne prizme iznosi m ko prizm im njeću moguću poršinu poočj, kolik je uljin njezine isine? Rješenje 5 Zroj uljin triju rio što se sstju u istom rhu prilne trostrne prizme iznosi m: + = = oršin poočj prilne trostrne prizme je: ( ) = = = = +
oršin poočj je funkij uljine ri : ( ) = + To je krtn funkij Krtn funkij f(x) = x + x + im ekstrem u točki s psisom: x = Ekstrem je mksimum ko je <, minimum ko je > Zto je uljin ri prilne trostrne prizme jenk: uljin isine prilne trostrne prizme iznosi: = = = ( ) = = = = m = jež 5 Zroj uljin triju rio što se sstju u istom rhu prilne trostrne prizme iznosi 8 m ko prizm im njeću moguću poršinu poočj, kolik je uljin njezine isine? Rezultt: Ztk (ern, gimnzij) Torni pkir sok u mlžu u oliku kr s strnim 5,, Kolik i il ušte u mterijlu g pkir u mlžu u oliku koke? Rješenje Iz jenkosti olumen kr i koke oije se uljin ri koke: olumen koke = 5 / = = = = olumen kr = Oplošj kr i koke iznose: ( ) ( ) ( ) oplošje kr O = + + = 5 + 5 + = 5 + + = 7 oplošje koke O = = = = Ušte u mterijlu je: 7 % = % = 49% 7 7 jež Torni pkir sok u mlžu u oliku kr s strnim 4,, 5 Kolik i il ušte u mterijlu g pkir u mlžu u oliku koke? Rezultt: 8% Ztk 7 (ern, gimnzij) Rnin prolzi kroz tri rh koke i osije o nje tetrer Kko se onose olumeni oienih tijel? Rješenje 7 Rnin osije pirmiu čiji je olumen: = = olumen preostlog ijel koke je:
5 = = = Omjer olumen oienih tijel iznosi: = = : : 5 = 5 5 jež 7 Rnin prolzi kroz tri rh koke i osije o nje tetrer Kko se onose krti olumen oienih tijel? Rezultt: : 5 Ztk 8 (Mir, gimnzij) Točk uljen je o skog rh jenkostrničnog trokut m Koliko iznosi uljenost točke o rnine trokut? 4 m, o ske njegoe strnie Rješenje 8 onoimo! Težišniom trokut nzimo pr koji spj rh trokut s sreinom nsuprotne strnie Težišnie trokut sijeku se u jenoj točki težištu trokut Težište ijeli sku težišniu u omjeru : (rčunjući o rh) uući je točk jenko uljen o skog rh jenkostrničnog trokut, nlzi se točno izn sreišt (težišt T) trokut p zjeno s trokutom efinir prilnu trostrnu pirmiu Sk poočk te pirmie je jenkokrčni trokut s isinom h i strniom Uočimo prokutni trokut i uporom itgorin poučk lko oijemo uljinu strnie osnoke : h = = h T = h / 4 = 4 ( h ) 4 Iz prokutnog trokut T pomoću itgorin poučk izrčun se isin, tj uljenost točke o rnine trokut: T = T = h = h = h ( ) ( ) = h = h 4 h = h h = h + h ( ) 4 4 = h = = = = / = m jež 8 Točk uljen je o skog rh jenkostrničnog trokut m Koliko iznosi krt uljenosti točke o rnine trokut? Rezultt: m m, o ske njegoe strnie Ztk 9 (In, hotelijersk škol) oršine poočki usprne trostrne prizme iznose 4 m, 48 m i 8 m ko je isin prizme m, koliki je njezin oujm? Rješenje 9 Usprn prizm im poočke okomite n osnoku
oočke usprne trostrne prizme su tri prokutnik čije poršine glse: =, =, = uljine strni osnoke iznose: = 4 = 4 /: = 4 = 48 = 48 /: = = 8 = 8 /: = 5 Osnok je prokutni trokut kojemu su ktete = 4, =, hipotenuz = 5 rojerimo! = + 5 = 4 + 5 = + 9 5 = 5 Oujm prizme iunosi: 4 = = = = = 9 m jež 9 oršine poočki usprne trostrne prizme iznose m, 5 m i 5 m ko je isin prizme 5 m, koliki je njezin oujm? Rezultt: m Ztk (In, hotelijersk škol) rostorn ijgonl kr iznosi 8 m i s rninom ze ztr kut o ko ijgonl ze s jenim njegoim riom ztr kut o, koliki je oujm (olumen) kr? Rješenje inči M M S slike ii se: = Q 8, = m α = QQ =, β = MQ = Uočimo prokutn trokut QQ i izrčunmo uljinu ri i uljinu ijgonle ze : sinα = = sinα = 8 sin = 8 = 4 m, osα = = osα = 8 os = 8 = 4 m Iz prokutnog trokut MQ oiju se uljine rio i : sin β = = sin β = 4 sin = 4 = m, os β = = os β = 4 os = 4 = m Oujm kr iznosi: = = 4 = 48 m M M Q Q β inči Q Q β α α S slike ii se: = Q 8, = m α = QQ =, β = MQ = Ztk možemo riješiti i ez upore trigonometrije nopunjnjem prokutnih trokut QQ i MQ n jenkostrnične trokute 5
Q Q α Q β M α = β = 8 = = = 4 m, 8 = = = 4 m, isin jenkostrničnog trokut Oujm kr iznosi: = = 4 = 48 m 4 = = = m, 4 = = = m, isin jenkostrničnog trokut jež rostorn ijgonl kr iznosi 8 m i s rninom ze ztr kut o ko ijgonl ze s jenim njegoim riom ztr kut o, koliko je oplošje kr? Rezultt: ( ) O = 48 + 4 m Ztk (ern, gimnzij) Četerostrn priln usprn pirmi E im z zu krt strnie uge 4 m, poočke su jenkostrnični trokuti ko je točk T poloište ri E, kolik je uljenost točke T o rh? Rješenje onoimo! Kosinuso poučk: = + osα, = + os β, = + osγ T E α Uočimo trokut E i oreimo kut α = E uući je ijgonl krt, rijei: = omoću kosinusoog poučk z trokut E nđemo kut α: = E + E E E osα ( ) = + osα = osα = osα osα = osα = α= 9 Trokut E je, kle, prokutn trokut uući je i trokut ET prokutn, uporom itgorin poučk oije se: 5 T = TE + E T = T T + = + = 4 4 5 5 5 5 T = / T = T = T = 4 m T = 5 m 4 4
jež Četerostrn priln usprn pirmi E im z zu krt strnie uge m, poočke su jenkostrnični trokuti ko je točk T poloište ri E, kolik je uljenost točke T o rh? Rezultt: 5 m Ztk (Filip, tehničk škol) U koku upisn je četerostrn pirmi ko je oplošje upisne pirmie m, koliko je oplošje koke (u m )? Rješenje Upisn četerostrn pirmi im zu krt (to je ujeno z koke) jego poršin je: = Četiri poočke pirmie su prokutni trokuti:,,, Uočimo su i trokut sukln (pourn):, Z prokutne trokute i rijei im se ije ktete poklpju s rioim koke p njihoe poršine iznose: = = = Z prokutne trokute i rijei z jenu ktetu imju ri koke, z rugu plošnu ijgonlu koke p su njihoe poršine: = = = Oplošje pirmie je: O = + + + + O = + + + + uući je oplošje koke O k =, slijei: ( ) O = + O = + O O = ( + ) = + O rionlizij O = k O nzinik = + k O = k ( ) O ( ) O O O = O = O = O = O k + k 4 k k ( ) ( ) ( ) O = m O = m O = m k k jež U koku upisn je četerostrn pirmi ko je oplošje upisne pirmie m, koliko je oplošje koke (u m )? Rezultt: ( ) O m k = 7
Ztk (Mturnt, gimnzij) rostorn ijgonl kr ugčk je m, prem rnini osnoke priklonjen je po kutom 45 ko je jen ri osnoke z m ulji o rugog, koliki je oujm kr? Rješenje ( ) Uočimo prokutn trokut : os 45 = = os 45 = = m Iz prokutnog trokut pomoću itgorin poučk oije se: = x + x + = x + x + 4 x + 4 = x + 4 x + 4 x + 4 x + 4 = =, =, = 48 4 9 /: x + x = x + x 48 = ± 4 x =, ( ) x ± 4 4 48 4 9 9 4, x ± +, x ±, x ± = = =, = Trokut je prokutn jenkokrčn p rijei: Oujm kr iznosi: + 4 x = x = = 4 x = x = = 8 nem smisl = = = = m = x + = + = 8 m = x m 8 m m m 48 m = = = = = = = = m jež rostorn ijgonl kr ugčk je m, prem rnini osnoke priklonjen je po kutom 45 ko je jen ri osnoke z m ulji o rugog, koliko je oplošje kr? Rezultt: O = ( + + ) = 7 m Ztk 4 (Mturnt, gimnzij) Osnok trostrne pirmie je jenkokrčn trokut osnoie m i krk 5 m ko poočke pirmie s zom ztrju kut 45, kolik je uljin isine pirmie? Rješenje 4 x x + 5 45 x 5 E S slike ii se: =, = = 5, = = = isin trokut n strniu oije se pomoću itgorin teorem: = = 5 9 = = 4 uući poočke pirmie s zom ztrju kut 45, slijei su trokuti, i E prokutni i jenkokrčni Zto je: = = = = E Točk je sreište upisne kružnie trokutu p uljin isine iznosi: 8
4 = s = = = = s + + + + 5 4 = = = 5 m jež 4 Osnok trostrne pirmie je jenkokrčn trokut osnoie m i krk 5 m ko poočke pirmie s zom ztrju kut 45, koliki je oujm pirmie? Rezultt: m Ztk 5 (Mturnt, gimnzij) z prilne usprne krnje pirmie je krt strnie m, isin joj je 9 m ko je olumen krnje pirmie 7 m, kolik je uljin strnie krt gornje ze? Rješenje 5 = + + = + + 9 = 7 + + = + + 7 /: 9 + + = + + = + 55 = =, =, = 55 ± 4 ( 55) ± + ± 4 = =,,, = + = = ± 5 ± 5 = m = =,, = nem smisl = = jež 5 z prilne usprne krnje pirmie je krt strnie m, isin joj je 9 m ko je olumen krnje pirmie 7 m, kolik je poršin gornje ze? Rezultt: 5 m Ztk (Mturnt, gimnzij) Smnjimo li sku strniu kr z % nđite smnjenje olumen Rješenje olumen kr iznosi: = olumen kr s smnjenim strnim je: = = 9 = = 9 = = 9 9 9 = = 9 Smnjenje olumen izrženo u postotku glsi: = 79 = 79 ( 79) 79 p = % p = % p = % p = 7% 9
jež Smnjimo li sku strniu kr z % nđite smnjenje olumen Rezultt: 488% Ztk 7 (rmen, ekonomsk škol) ko ijgonlu koke smnjimo z %, z koliko će se smnjiti oplošje? Rješenje 7 Izrzimo oplošje koke ko funkiju uljine prostorne ijgonle : O = O = O = O = O = = = uući se uljin ijgonle smnjil z %, oplošje koke iznosi: 9 = = = O = ( 9 ) O = O O O = = = inči Oplošje se smnjilo z: O O ( 8 % ) p = p = % p = % p = 9% O inči Oplošje se smnjilo z: O O = = O O O 8 O O O 9 O p 9% O = = = = O = = jež 7 ko ijgonlu koke smnjimo z %, z koliko će se smnjiti oplošje? Rezultt: % Ztk 8 (In, kemijsk škol) ri koke im uljinu Četiri rh koke, o kojih po tri ne leže n istom pru, oređuju rhoe prilnog tetrer đite njegoo oplošje Rješenje 8 onoimo! ko je uljin strnie krt, uljin njegoe ijgonle iznosi = Oplošje tetrer uljine ri je: O = 4 4 O = S slike ii se je to tetrer kojem je osnoni ri ijgonl, krt, strnie koke = Oplošje tetrer iznosi: ( ) O = O = O = O = O = 8 jež 8 ri koke im uljinu 4 Četiri rh koke, o kojih po tri ne leže n istom pru, oređuju rhoe prilnog tetrer đite njegoo oplošje Rezultt:
Ztk 9 (n, srenj škol) Osnoni rioi trostrne pirmie ugi su 7, 5 i 8 m, njezin je isin m Se poočke pirmie prem osnoi ngnute su po istim kutom Koliki je tj kut? Rješenje 9 onoimo! ko je zn trokut s uljinm strni, i, t je: + + srenji trokut s = poršin trokut (Herono formul) = s ( s ) ( s ) ( s ) polumjer trokutu upisne kružnie r = s jprije ćemo izrčunti poršinu ze trostrne pirmie (to je trokut ) uući su osnoni rioi trostrne pirmie zni, slijei: = 7, = 5, = 8 7 + 5 + 8 7 = 7, = 5, = 8, s = 5 + + s = s = s = 5 s = = s ( s ) ( s ) ( s ) ( ) ( ) ( ) = 5 5 7 5 5 5 8 = 5 8 7 = 44 = m olumjer upisne kružnie trokutu iznosi: m r = r r m s = 5 m = S M r ϕ S Uočimo prokutn trokut MS S slike ii se: S m tgϕ = tgϕ = tgϕ = tgϕ = ϕ = tg ϕ = 7 8'7'' MS r m jež 9 Osnoni rioi trostrne pirmie ugi su 7, 5 i 8 m, njezin je isin 7 m Se poočke pirmie prem osnoi ngnute su po istim kutom Koliki je tj kut? Rezultt: 77 8' '' Ztk 4 (n, srenj škol) Osnok pirmie jenkostrničn je trokut s strniom uljine m uljin skog očnog ri je m Koliki je prikloni kut očnog ri prem rnini osnoke pirmie? Koliki su prikloni kutoi očnih strn prem rnini osnoke? Rješenje 4 onoimo!
R S r M α S β ko je zn jenkostrničn trokut uljine strnie, t je: polumjer upisne kružnie r = polumjer opisne kružnie R = S slike ii se: = = = =, = = = = R = S = = = 4, r = MS = = = α = M, β = M jprije izrčunmo isinu = S pirmie Uočimo prokutn trokut S i primijenimo itgorin poučk: S = S S = 4 S = 9 48 ( ) S = / S = S = m Uporom prokutnog trokut S i funkije kosinus oije se β, prikloni kut očnog ri prem rnini osnoke pirmie: S 4 4 os β = os β = β = os β = 57 47' 448'' Uporom prokutnog trokut MS i funkije tngens oije se α, prikloni kut očnih strn prem rnini osnoke pirmie: S tgα = tgα = α = tg α = 7 ' 4'' MS jež 4 Osnok pirmie jenkostrničn je trokut s strniom uljine m uljin skog očnog ri je m Koliki je oujm pirmie? Rezultt: m