Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( + ) Ispitati funkciju i nacrtati joj graf: y = + 4 Izračunati integral I = ( + ) arctg d Riješiti sistem jednačina i diskutovati o rješenjima u zavisnosti od parametra λ : λ + λy+ z = λ ( ) λ+ λy+ z = + y+ λz = Tačke A(, y, ), C(,, ), D(, 4, ), D ( 4,, ) su vrhovi paralelopipeda ABCDAB CD Odrediti nepoznatu koordinatu tačke A tako da zapremina paralelopipeda bude jednaka 0 Ispitati funkciju i nacrtati joj graf: ( ) = 4 Izračunati integral I = Ispitati i nacrtati graf funkcije 6+ 7sin sin 5 4cos y e ( + ) ( + ) d 6 y = Izračunati integral ln d + Riješiti matričnu jednačinu ( X A I) B= ( B I) B, ako je 0 A=, B= 0 5 4 Odredite jednačinu ravni π koja sadrži tačku P(,, ) i pravu koja je zadana kao presjek dvije ravni + y z+ 5 = 0 i y+ z = 0 ln Ispitati i nacrtati graf funkcije y = Riješiti sistem jednačina
Izračunati integral + 4 + 45 = + 4 = 9+ 4 5 = 5 + = 4 5 I = d 4 Napisati jednačinu ravni koja sadrži pravu y+ z+ = 0 y + z = 0 Ispit održan dana 0 009 5 y z+ = = i paralelna je s pravom 0 Dokazati matematičkom indukcijom tvrdnju: n( 6n + n ) + 5 + 8 + + ( n ) = ( n ) A,, 4, B, p,5, C,, 4, D,0, 4 Odrediti p tako Dati su vrhovi tetraedra ( ) ( ) ( ) ( ) da je zapremina tetraedra jednaka 68, Ispitati funkciju i nacrtati graf: = ( + ) a zatim izračunati visinu tetraedra spuštenu iz vrha A y e + 4 Izračunati integral I = d 6 5 4 + Naći sve vrijednosti korjena 4 z, ako je z = i i + Izračunati bez upotrebe L Hopitalovog pravila l = lim + 6 Ispitati funkciju i nacrtati graf: 4 Izračunati integral d y = e ln 5 Riješiti matričnu jednačinu 6 0 =, = 0, = 4 0 0 X AB B A A B Naći ortogonalnu projekciju tačke D ( 0,0,0) na ravan koja prolazi kroz tačke A(,, ), B(,,5 ), C(,, 4 ) Ispitati funkciju i nacrtati graf: = ( ) y e
4 Izračunati integral ed ( i) + ( + i) 5 ( + i) 54 5 Izračunati y z + y+ z Date su prave a : = = i b : = = m 4 a) Odrediti m tako da se prave a i b sijeku b) Za nađeno m naći jednačinu ravni α koja sadrži prave a i b Ispitati funkciju i nacrtati graf: y = ( 4 ) 4 Izračunati integral ln 4 ( ln ln 4) ln Pismeni dio ispita iz Matematike, 6 04 009 8 4 Ispitati i nacrtati graf funkcije y= e cos d Izračunati integral (sin 6sin + 5) Diskutovati rješenja sistema linearnih jednačina za razne vrijednosti parametra t + y + z = + ( t + ) y + z = t + y + ( t - ) z = 4 - y + z - 6 = 0 4 Naći projekciju prave p : na ravan α : + y - z + 5 =0 + 5 y - z + 0 = 0 Ispitati i nacrtati graf funkcije y = ln( + e ) 4 - y - z + = 0 Naći tačku projekcije M (4,,0) na pravu p : y - z - = 0 Riješiti jednačinu 4 Izračunati integral ( ) 8( + i) z = + + ln d + Ispitati i nacrtati graf funkcije y= e d Izračunati integral sin ( + cos sin ) Riješiti matričnu jednačinu XA X = A = 0 T + A ako je 0
y+ z+ + y z+ = 0 4 Odrediti broj m tako da se prave l : = = i l : m y z = 0 sijeku Za tako odredjeno m odrediti jednačinu ravni α koja sadrži te dvije prave Ispitati i nacrtati graf funkcije y = ( + ) e sin 4d Izračunati integral: sin 5sin + 6 Odrediti pravu p koja sadrži tačku T(-; ; ), paralelna je ravni α :4 y+ z 5= 0 i + y z+ siječe pravu l : = = 0 n i n( n+ ) 4 Matematičkom indukcijom dokazati = (i )(i+ ) (n+ ) i= Pismeni dio ispita iz Matematike, 8 06 009 + + 4 Izračunati lim bez upotrebe L Hospitalovog pravila r r Dati su vektori p = BP = (,4, ), q = BQ = (4,0,), s = BS = (,, ), gdje je B(-,-,0) Izračunati zapreminu tetraedra BPQS i površinu ΔPQS Ispitati i nacrtati graf funkcije y ( ) 4 Izračunati integral 4 + 0 = + d n Dokazati matematičkom indukcijom tvrdnju 54 ( 9n n ) + + za sve n y+ z Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz pravu a : = =, a od tačke T udaljena je za Ispitati i nacrtati graf funkcije y = ln 4ln 5 d 4 Izračunati integral 4 5 6 (,,) Napisati u trigonometrijskom obliku broj z = + + i (Uputa: za određivanje argumenta iskoristi formulu tg ϕ cos ϕ = ) + tg ϕ Dokazati da su tačke A(, 4, ), B( 0,, 4, ), C(,5, ), D( 5,, 4) kvadrata i naći jednačinu ravni tog kvadrata vrhovi jednog 4
Ispitati i nacrtati graf funkcije 4 Izračunati integral Izračunati limes niza ( y = e + + + d ( + )( + + ) ( n ) ( n+ ) ( n ) + 7+ + + 4 5 lim n Kroz tačku A -,,5) povučene su normale na ravni 4+ y z+ = 0 i y+ z =0 Naći jednačinu ravni koja sadrži te normale Ispitati i nacrtati graf funkcije y= ( ) ( ) 4 Izračunati integral d 8 ( 9) ln Pismeni dio ispita iz Matematike, 0 07 009 Odrediti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačke A(8, 6,), B i C, gdje je tačka B presječna tačka ravni + y 4z =, z =,4+ y+ z =, dok je tačka C presjek prave + y+ z = Ispitati i nacrtati graf funkcije Izračunati integral: y = (ln ) arctg( + ) d y + z = = i ravni + i 4 Broj z = napisati u trigonometrijskom obliku, pa naći z i r r r r r r Vektori d = v + w i d = 5v + 5w su dijagonale paralelograma Izračunajte površinu tog paralelograma ako je r r r r π v =, w = 4 i ( vw, ) = 6 Ispitati saglasnost sistema i naći opšte rješenje u zavisnosti od vrijednosti parametra : Ispitati i nacrtati graf funkcije y = ( e ) 4 sin Izračunati integral: d + cos + 4 + = 8 4 5 + + 5 + 6 = 6 4 5 + + 8 = 7 4 5 + + + 0 + a = 8 4 5 / e Ispitati i nacrtati graf funkcije y = Izračunati integral: cos sin d Odrediti tačku B koja je simetrična tački A(,,4) u odnosu na ravan y+ z 4= 0 a 5
( A I) X( A+ I) = I A 4 Riješiti matričnu jednačinu:, gdje je Ispitati sistem jednačina u zavisnosti od parametra : + y ( m+ ) z = 8 m A = 0 + y ( m+ 4) z = + (6m+ 5) y 7z = 0 Ispitati i nacrtati graf funkcije: y = ln ( + ) Izračunati integral: d ( + ) 4 Naći koordinate ortogonalne projekcije tačke M (,7,4) na pravu definisanu jednačinama y+ z = 0, + y z+ = 0 Pismeni dio ispita iz Matematike, 0 09 009 i + 6 Izračunati realni i imaginarni dio broja z = i + Zadane su tačke A(,0,0, ) B(,,0, ) C( 0,,, ) D (,, ) Utvrditi u kom su odnosu prave AD i BC i izračunati udaljenost tačke C od ravni ABD Ispitati i nacrtati graf funkcije y = e + 4 4 Izračunati integral sin 4 cos d 0 Riješiti matričnu jednačinu ( AX B) = BA, ako je A=, B = r Naći projekciju Pr r b a vektora a r na vektor b r i površinu paralelograma razapetog nad vektorima a r i b r r ur r r ur r ur r ur r π ako je a = p+ q, b= p q, pri čemu je p =, q =, ( p, q) = y = ln ln Ispitati i nacrtati graf funkcije ( ) 4 Izračunati integral 7 cos sin d 4 Koliko racionalnih članova ima u razvoju ( ) 00 +? 9 6
Tri uzastopna vrha paralelograma ABCD su D(-,,), A(-, -5, -6), B(-4, 4, ) (nacrtati skicu) Odrediti preostali vrh C, ugao γ u trouglu ABC, te zapreminu četverostrane piramide ABCDQ, gdje je Q(-8,0,7) Ispitati i nacrtati graf funkcije y = d 4 Izračunati integral 5 sin cos Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + 4 + y+ z= ( ) + y+ z = λ + 5 ( λ ) + y+ + 7 z = Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz pravu { 4 y+ : z =0 a + 5y z+ = 0 i okomita je na ravan α : y+ 5z = 0 Ispitati i nacrtati graf funkcije y = d 4 Izračunati integral sin sin ( ) 4 Pismeni dio ispita iz Matematike, 7 09 009 Matematičkom indukcijom dokažite da za svaki prirodni broj n vrijedi n(6n n ) +4 +7 + L + (n ) = y+ ( λ) z = Riješiti sistem linearnih jednačina u zavisnosti od parametra λ : y+ ( λ) z = λ y+ 9z = Ispitati i nacrtati graf funkcije: y = e + + 6 4 Izračunati integral: d + 0 Odredite jednačinu ravni koja prolazi kroz koordinatni početak i okomita je sa ravnima α : z 4= 0 i 5 y 4 z+4 β :+ y+ z = 0 Zatim odrediti parametar a tako da prava = = bude paralelna ravni β a Riješiti sistem linearnih jednačina Gaussovom metodom + + = eliminacija za razne vrijednosti parametra a - + + + 4 = 0 + - 4 = 7 - + + + = a 4
+ Ispitati i nacrtati graf funkcije: y = ln 4Izračunati integral: d + Naći sve kompleksne brojeve z 5 ako je z = ( i) (+ i ) Riješiti matričnu jednačinu XA = X + I ako je matrica A = [a ij ] formata zadana sa a = j i, a I je jedinična matrica formata ij Ispitati i nacrtati graf funkcije : y = ln + + 4 Izračunati integral: d + Gupa D n Dokazati da su brojevi oblika 0 + 8n djeljivi sa 7 za svaki prirodan broj n 4 Odrediti ugao između tangenti na krivu y = u presječnim tačkama te krive s koordinatnim osima + e Ispitati i nacrtati graf funkcije y = e e e 4 Izračunati integral: d 4 e + e + e Pismeni dio ispita iz Matematike, oktobar 009 GRUPA A Dokazati metodom matematičke indukcije da važi za sve prirodne brojeve n: n n + sin sin sin + sin + + sin n= sin A, 0,, B,,, C,, Napisati jednačinu prave na kojoj leži Dati su vrhovi trougla ( ) ( ) ( ) visina trougla iz vrha A i odrediti presjek te prave sa pravom BC ( )( + 6 ) Ispitati i nacrtati graf funkcije y = 4 d 4 Izračunati integral I = 4 4 + GRUPA B Riješiti jednačinu 6 + =0 u skupu kompleksnih brojeva 8
9 y+ 4 z 4 + 9 y z + 5 y+ z 5 Prave a: = =, b: = =, c: = = 4 6 0 formiraju trougao Izračunati površinu tog trougla Ispitati i nacrtati graf funkcije y = e e + d 4 Izračunati integral I = 4 + se sijeku tako da GRUPA C Izračunati pomoću L'Hospitalovog pravila L= lim arccos 0 π y z+ y z Naći jednačinu prave koja siječe prave a : = = i b : = = y+ 5 z pravoj c : = = + Ispitati funkciju i nacrtati grafik: y = ln + 4 Izračunati integral I = d i paralelna je GRUPA D 4 5 Riješiti matričnu jednačinu AX ( X = + B ), ako je A= 0, B = 0 0 Naći jednačinu prave koja pripada ravni + y z+ 6= 0 i siječe pravu =, t y = t, z = 6t+ pod pravim uglom Ispitati funkciju i nacrtati grafik: y = + d 4 Izračunati integral I = + 9