Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - P X H Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja -
R R Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3 R R Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
O S N O V N E O P E R A C I J E S M A T R I C A M A Matice označavamo velikim (masnim) slovima : A n m Oznaka etka Oznaka stupca Pimje : A element pvog etka i dugog stupca matice A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Zbajati i oduzimati se mogu samo matice istih dimenzija! Pimje : + 3 a b c a b 3c A 4 5 6 B d e f AB 4d 5e 6 f 7 8 9 g h i 7 g 8 h 9 i + Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6
Osnovna pavila množenja : AB BA komutativnost A (BC) = (AB) C A (B+C) = AB + AC... množenje s lijeva /A (B+C) A = BA + CA... množenje s desna /A A nm * B mp C np Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 7 Pimje : a b c 3 4 d e f A, B 5 6 7 8 g h i j k l c c c3 C AB c c c 3 c ad3g4j c be3h4k c cf 3i4l 3 c 5a6d7g8j c 5b6e7h8k c 5c6f 7i8l 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 8
Definicija : - adj(a) A =, det(a) = A det(a) T A A A3 Am A A A3 An A A A3 A m A A A3 A n adj(a) A3 A3 A33 A3m A3 A3 A33 An3 An An An3 Anm Am Am A3m Anm Izačun pema algoitmu Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 9 Pimje : A 3 adj(a) A det(a) 3 det (A) (6 ) (4 ) ( 3) 3 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 0
Adjugianje matice A : T A A A3 A A A3 adj( A) A A A 3 A A A 3 A3 A3 A33 A3 A3 A33 A 3 3 3 A ( ) 4 A 3 ( ) 3 3 A ( ) 3 A 3 ( ) 0 4 - - 3 3 33 A adj(a)= - 3 ( ) A 33 ( ) 3 3 0 3 - A ( ) 4 3 3 3 A ( ) 3 adj(a) A 0 det (A) 3 A 3 ( ) 3 3 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - Pikaz sistema u postou stanja: X AX BU jednadžba stanja sistema Y CXDU jednadžba izlaza sistema X deivacija vektoa stanja A = dim (n n) matica koeficijenata sistema X(t) vekto stanja sistema U(t) vekto ulaza sistema B = dim (n m) matica ulaza sistema C = dim (p n) matica izlaza sistema Y(t) vekto izlaza sistema D = dim (p m) matica pijenosa sistema n boj vaijabli stanja = ed sistema m boj ulaznih vaijabli p boj izlaznih vaijabli Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja -
X AX BU Y CXDU D U (t) X (t) X(t) Y(t) B C A Blokovski pikaz lineanog vemenski-invaijantnog invaijantnog sistema s koncentianim paametima u postou stanja. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3. Fazne vaijable stanja. Kanonske vaijable stanja. Fazne vaijable stanja I slučaj Matematički model zadan je običnom difeencijalnom jednadžbom "n"-tog eda, bez deivacije ulazne vaijable. Biamo tzv. Fazne vaijable stanja, što ezultia time da dobijemo maticu sistema A u tzv. Fobeniusovom obliku A=F Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
Pimje. Sustav zadan difeencijalnom jednadžbom pevedite u posto stanja! 43 5 n = 3 Rješenje: m = p = 3 3 4 3 5 3 4 5u 3 3 0 0 0 u 0 0 0 - -3-4 5 X A X B U 3 4 3 3 3 X 0 0 0 u Y C D U A = F = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a0 a a a3 an Sistem tećeg eda pikazan s ti jednadžbe džb pvog eda! Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Blok pikaz: D B C A 3 u (t) 5 4 3 u (t) 5 3 4 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6
Pimje. Sustav zadan difeencijalnom jednadžbom pevedite u posto stanja! Rješenje: 4 3 3.8 7.4 59. 60.37 n = 4 m = p = 3 3 4 3 60.37 59. 7.4 3.8 u 4 60.37 59. 7.4 3.8 u 4 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 u 3 0 0 0 3 0 4-60.37-59. -7.4-3.8 4 X A X B U 0 0 0 0u 3 4 Y C X D U A=F Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 7 Blok pikaz: 4 4 3 3.8 7.4 59. 60.37 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 8
II slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je običnom č difeencijalnom jednadžbom "n"-tog eda s deivacijama ulazne vaijable ""-tog eda ( n). Vši se pelazak u s-podučje! Pi Pimje 3. Sustav zadan difeencijalnom jednadžbom pevedite u posto stanja! 4 3 5u4u 3u u n=3 =3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 9 III slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom u kojoj je izostala dinamika ulazne vaijable, a dinamika izlazne vaijable je "n"-tog eda. Vši se pelazak u vemensko podučje obnutom Laplaceovom tansfomacijom! Time se slučaj III svodi na slučaj I. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 0
Pimje 4. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u posto stanja! Rješenje: (s) 6 G(s) n = 3 u(s) s 7s 4s 8 3 m = p = G(s) (s) 6 3 u(s) s 7s 4s8 3 s (s) 7s (s) 4s(s) 8(s) 6u(s) L - A=F 7 4 8 6 dalje slučaj I 3 3 8 4 7 6 8 4 7 6u 3 3 0 0 0 0 0 0 u 0 0 0 u 3-8 -4-7 3 6 3 X A X B U Y C X D U Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - Blok pikaz: u (t) 3 u 6 7 4 8 D B C A B C A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja -
IV slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom koja ima dinamiku ulazne vaijable ""-tog eda i dinamiku izlazne vaijable je "n"-tog eda. Vši se astav pijenosne funkcije i potom obnuta Laplaceova tansfomacija. Rastav pijenosne funkcije daje dvije pijenosne funkcije od kojih svaka odeđuje jednu jednadžbu postoa stanja! Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3 Pimje 5. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u posto stanja! (s) 6s 8 G(s) u(s) s 3 7s 4s 8 Rješenje: G(s) (s) u(s) (s) (s) n = 3 m = p = G(s) (s) (s) (s) u(s) u(s) (s) G(s) G( (s) G(s) (s) u(s) N(s) B(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
(s) (s) L G(s) L - 3 u(s) N(s) s 7s 4s8 L - G(s) B(s) 6s 8 (s) 7 4 8 3 8 4 7 3 8 4 7 u 3 3 A=F (t) 6 8 (t) 8 6 0 0 0 u 0 0 3-8 -4-7 3 3 X A X B U Y C X D U 0 8 6 0 0 u Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Blok pikaz: 6 3 8 7 4 8 B C A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6
Pimje 6. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u posto stanja! 3 L - (s) s 3s 4s 5 G(s) 4 3 5u 4u 3u u n = 3 3 u(s) s 4s 3s m = Pimje 3. p = Rješenje: (s) G(s) 3 u(s) N(s) s 4s 3s 4 3 3 3 4 3 3 4 u 3 3 (s) L - 3 G (s) B(s) s 3s 4s 5 (s) L - (t) 5 4 3 (t) 54 33 ( 3 43 u) (t) 5 u 3 0 0 0 0 u 0 0 - -3-4 3 3 X A X B U 3 Y C X D U - -5 u Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 7 Blok pikaz: 5 3 4 3 D u (t) B C A Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 8
Pimje MDS sustav S M Blok pikaz: M (t) D D M M D S A=F S D M M M S M 0 0 = + u S D - - M M M X = A X + B U S D u M M M Y C X D U 0 0u Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 9. Kanonske vaijable stanja I slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom s jednostukim polovima. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 30
Pimje. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u kanonsku fomu postoa stanja! Rješenje: (s) 6 G(s) 3 u(s) s 7s 4s 8 3 K.J. s 7s 4s 8 0 G(s) s s s 4 3 3 (s) B 6 A A A3 u(s) N s 7s 4s 8 s s s 4 3 n = 3 m = p = ealni jednostuki polovi n A i G(s) ( ) s s i i Heaviside-ov azvoj : B A 6 i A N s si 3s 4s 4 s 6 A 3 3s 4s 4 s 6 A3 3s 4s 4 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3 s 4 (s) 3 G(s) u(s) s s s 4 u(s) u(s) u(s) u(s) (s) 3 (s) (s) 3 (s) 3(s) s s s4 (s) 3 (s) (s) u(s) (s) s L - u(s) (s) s L - u(s) 3 ( ) s 4 L - L 3(s) 3 43 3 3 3 3 3 43-0 0 0-0 u 3 0 0-4 3 X A X B U A=Λ Λ = diag [λ i ] B matica jedinica Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 3
(s) (s) 3 (s) 3(s) L - (t) 3 3 3 Y C X D U u -3 0 C=[A C=[A A... A n ] Blok pikaz: 3 3 odvojena kuga 3 zasebna egulatoa 3 3 4 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 33 II slučaj Matematički model jednovaijabilnog sistema zadan je pijenosnom funkcijom kod koje se pol λ ponavlja puta. Pimjena astava pijenosne funkcije na sumu pacijalnih azlomaka : Y(s) K K K K K K G(s) K U(s) s s s s n K 0 s lim G(s) n 0 (s ) (s ) (i) d i (i) K (s ) G(s), i,,3,..., (i )! ds s Odabiu se kanonske vaijable stanja : (s) i i(s), i,,...,( ) s u(s) (s) s u(s) i(s), i,,...,( i n) s Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 34 i
Pimje. Sustav zadan pijenosnom funkcijom pevedite u kanonsku fomu postoa stanja! Rješenje: 3 K.J. s 7s 6s 0 3 (s) s 4s 49s 5 G(s) 3 u(s) s 7s 6s s s s 3 3 3 n = 3 m = p = ponavljanje polova = 3 K 0 (s) B s 4s 49s 5 K K K3 G(s) u(s) N (s ) (s 3) (s ) s s 3 Heaviside-ov azvoj : 3 s 4s 49s5 K (s ) G(s) s 0! K s 3 0 lim G(s) s s 3 d s 4s 49s5 K 3! ds s 3 3 s B s 4s 49s 5 K3 4 N 3s 4s 6 s3 s3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 35 (s) 3 4 G(s) u(s) (s ) s s 3 u(s) u(s) u(s) u(s) (s) 3 4 u(s) (s ) s s3 (s) (s) 3 (s) 4 3(s) u(s) (s) (s) 3 (s) u(s) u(s) (s) (s ) s s s L - (s) u(s) (s) - s L u(s) (s) - 3 s 3 33 3 33 3 L - 0 0 0-0 u 3 0 0-3 3 X A X B U A=J Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 36
(s) (s) 3 (s) 4 (s) u(s) - 3 L (t) 3 4 3 3 4 u C = [K K... K 3 ] 3 K 0 Y C X D U Blok pikaz: u (t) 3 3 3 4 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 37 I slučaj Matematički model multivaijabilnog sistema dat je skupom običnih difeencijalnih jednadžbi, u kojima su izostale deivacije ulaznih vaijabli. Odabiu se fazne vaijable stanja. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 38
Pimje. Sustav zadan sistemom difeencijalnih jednadžbi pevedite u posto stanja! Rješenje: 3 4 3 u 3u 5 6 7 5 6 4u 5u 4 3 4 5 5 6 n = 6 m = p = 4 3 3 u 3u 6 65 7 6 5 4u5u 3 6 5 7 6 5 4u 5u 3 43 3 34 5 6 u3u 6 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3-4 -3 - -3 - - 3 3 u 0 0 0 0 0 3 0 0 u 4 4 u u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 5 6-6 -5 - -7-6 -5 6 4 5 6 X A X B U Y C X D U Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 39 Blok pikaz: 4 3 u (t) 3 3 3 5 u (t) 6 4 6 5 4 5 5 6 7 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 40
II slučaj č Matematički model multivaijabilnog sistema zadan je skupom običnih difeencijalnih jednadžbi, u kojima se pojavljuje j samo pva deivacija ij jedne ulazne vaijable u svakoj jednadžbi (neobavezno). Ulazna vaijabla koja ima deivaciju, ili njena deivacija, veže se uz odgovaajuću vaijablu stanja. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4 Pimje 3. Rješenje Sustav zadan sistemom difeencijalnih jednadžbi pevedite u posto stanja! 3 u3uu n = 4 3 u u m = p = 3u 3u 3 u u 3 u u 4 4 4 3 u 3 7 u 3 3 u 8 4 8 4 X A X B U 3 7 3 uu 0 0 u u 3 3 u u 0 0 0 8 4 8 4 Y C X D U Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 4
Blok pikaz: 3 3 u (t) 7 3 8 3 8 (t) 4 u 4 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 43 Pimje 4. Rješenje: Sustav zadan sistemom difeencijalnih jednadžbi pevedite u posto stanja! 3 u u u u 3u n = 3 m = p = ( u ) 3 u u u 3u u 3 u u 3 u u 4u 3 u u 3 3 u u 3 u 3u 3 u 3u 3 3 0 0 0 u 3 u 3 0 3 3 X A X B U 0 0 0 0 3 Y C X Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 44
Blok pikaz: 3 u (t) 3 u (t) 3 3 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 45 Objekt egulacije: Xt A XtB Ut / L Y t C X t D U t / L * sx s A X s B U s Y s C X s D U s sx s A X s B U s si AX s B U s / si A. Y s CsI A B U s D U s Y s C si A B D U s G(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 46 G s CsIA BD C s BD
s si A esolventna matica At t L s e fundamentalna matica adj si A si A det si A adj si A G s C BD det si A U(s) G(s) Y(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 47 g (s) g (s) g m (s) u g (s) g (s) g m (s) u g (s) n g n (s) g nm (s) um n G(s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 48
Matica pijenosnih funkcija G(s) je "pava" matica pijenosnih funkcija, ako je esolventna matica (s) nedegeneativna, odnosno ako je polazna jednadžba stanja, iz koje se izvodi (s) "pava" jednadžba stanja koja jednoznačno opisuje stanja sistema. Matica (s) je nedegeneativna ako i samo ako ne postoji polinom h(s) najniže pvog eda (stupnja) koji je zajednički fakto svih bojnika i svih nazivnika svih elemenata matice (s). Ako je (s) nedegeneativna matica, onda je kaakteistični polinom K(s) matice A, istovemeno i njen minimalni polinom M(s), pa vijedi K(s)=M(s). Rješenje K(s) po s su polovi s, s,..., s n koji su identični vlastitim (svojstvenim) vijednostima matice A, odnosno identični koijenima sistema. Ako je (s) nedegeneativna matica, a u matici pijenosnih funkcija izvedenoj iz takve (s) nema zajedničkih nula u svim elementima G(s) koje bi se mogle pokatiti s identičnim polovima sistema, onda je sistem minimalne ealizacije (ed sistema je minimalan) i ima svojstvo potpune upavljivosti (Contollabilit) i potpune mjeljivosti (Obsevabilit) stanja sistema. Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 49 Pimje. Rješenje: Odedite maticu pijenosnih funkcija za sustav zadan sa: 0 0 A, B, C, D 0 0 0 G(s) C si A B D s 0 si A 0 s detsi A s 3s s 0 0 s j A ( ) adj si adj si A s 0 (s) si A det si A s 3s 0 s G(s) s 0 0 0 s 3s 0 s 0 C (s) B D G(s) (s ) s s s 0 s 3s s s 0 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 50
3s 5 s 3 (s )(s ) (s )(s ) 0 G(s) s s 0 (s )(s ) (s )(s ) s 6s7 s3 g (s) g (s) s 3s s 3s G(s) s 3 s s g (s) g (s) Y(s) G(s)U(s) ( ) (s) g (s) g (s) u (s) (s) g (s) g (s) u (s) Blok pikaz: (s) u (s) u (s) g g (s) g (s)u (s) g (s)u (s) (s) g (s)u (s) g (s)u (s) g g G(s) (s) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5 Pimje. Rješenje: Odedite maticu pijenosnih funkcija za MDS sustav zadan sa: 0 0 u S D M M M X A X B U Y C X D U 0 0u D 0 G(s) C si A B D s si A S D s M M det si A Ms Ds S M G(s) C si A B Ms D 0 M G(s) M 0 M Ms Ds S S G(s) C s Ms Ds S M M M B G(s) Ms Ds S Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 5
postupak povjee stabilnosti = postupak ponalaženja polova sistema adj si A Cadj si A B det si A D Gs C BD det sia det si A n n Kaakteistični polinom sistema : det si A a s a s a s a n n 0 Kaakteistična jednadžba sistema : detsi A 0 KORJENI SISTEMA,, 3,...,..., n - kaakteistične vijednosti kaakteistične vijednosti - koijeni ili polovi sistema s, s, s,...,s 3 n - vlastite vijednosti sistema Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 53 Pimje. Odedite stabilnost sistema zadanog sa: 0 A 0 Rješenje: j s 0 si A 0 s det si A (s )(s ) det si A 0 s = - s = - Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 54
Pimje. Odedite stabilnost sistema zadanog sa: Rješenje: s 0 si A 0 s 0 4 s 5 0 0 A 0 0 0 4 5 3 det si A s 5s 4s 0 det si A 0 3 s 5s 4s 0 0 s = s = - s 3 = 5 Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 55 model objekta egulacije opisan jednadžbama stanja: X(t) AX(t) BU(t) Y(t) CX(t) DU(t) jednadžba stanja sistema jednadžba izlaza sistema D B C A OBJEKT REGULACIJE Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 56
egulacijsku je petlju (kug) moguće zatvoiti peko : ) Vektoa stanja ) Vektoa izlaza uvodi se matica konstantnih pojačanja K ) dimenzija (m n) za petlju zatvoenu peko vektoa stanja ) dimenzija (m p) za petlju zatvoenu peko vektoa izlaza dobiva se opći model zatvoenog egulacijskog kuga : X(t) A X(t) B W(t) Y(t) C X(t) D W(t) W(t) vekto vođenja sistema dimenzije (m ) uz X 0 =0, može se izvesti matica pijenosnih funkcija zatvoenog kuga: det si A Y(z) C adj si A B det si A D G(z) C si A B D W(z) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 57 X 0 D W(t) U(t) B X (t) t f X (t) Y (t) ( )dt C t 0 A K X(t) AX(t) BU(t) Y(t) CX(t) DU(t) U(t) = W(t)- KX(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 58
X(t) AX(t) B W(t) KX(t) Y(t) CX(t) D W(t) KX(t) X(t) AX(t) BW(t) BKX(t) Y(t) CX(t) DW(t) DKX(t) X(t) A BKX(t) B W(t) A B Y(t) C DKX(t) D W(t) C D A A BK, B B, C C DK, D D X(t) A X(t) B W(t) Y(t) C X(t) D W(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 59 X 0 D W(t) U(t) B X (t) t f X (t) Y (t) ( )dt C t 0 A K X(t) AX(t) BU(t) Y(t) CX(t) DU(t) U(t) () = W(t) ()-KY(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 60
X(t) AX(t) BW(t) KY(t) AX(t) BW(t) BKY(t) () Y(t) CX(t) DW(t) KY(t) CX(t) DW(t) DKY(t) () Pema () : Y(t) DKY(t) CX(t) DW(t) I DKY(t) CX(t) DW(t) I DK Y(t) I DK CX(t) DW(t) Q IDK Y(t) QCX(t) QDW(t) (3) C QC D QD Y(t) C X(t) D W(t) Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6 (3) () : X(t) AX(t) BW(t) BK QCX(t) QDW(t) X(t) AX(t) BW(t) BKQCX(t) BKQDW(t) X(t) AX(t) BKQCX(t) BW(t) BKQDW(t) X(t) A BKQC X(t) B IKQD W(t) A A BKQC, B B I KQD X(t) A X(t) B W(t) X(t) A X(t) B W(t) Y(t) C X(t) D W(t) Q I DK A A BKQC B B IKQD C D QC QD Mehatonika i obotika Upavljanje i egulacija Osnove postoa stanja - 6