OT3OS 06.2.207.
Stabilnost i kaualnost sistema Da bi sistem bio stabilan oblast konvergencije mora obuhvatati jedinični krug Da bi sistem bio kaualan oblast konvergencije mora se nalaiti ivan kruga koji prolai kro pol najudaljeniji od koordinantnog početka Za kaualni linerani vremenski invarijantni sistem navedena dva uslova će biti adovoljena ako i samo ako svi polovi funkcije prenosa leže unutar jediničnog kruga kompleksne ravni
Analogno-digitalne transformacije Funkcija prenosa digitalnog IIR filtra najčešće se formira transformacijom analognog prototip filtra. Primenom analogno-digitalnog preslikavanja funkcija prenosa analognog prototip filtra transformiše se u funkciju prenosa traženog digitalnog filtra.
Transformacija s ravni u ravan Idealna transformacija bi trebalo da ima sledeće osobine Stabilan kaualan analogni filtar transformiše u stabilan kaualan digitalni filtar. Zadržava neimenjenu amplitudsku i fanu karakteristiku analognog filtra.
Transformacija s ravni u ravan Da bi osobina. bila adovoljena, transformacija mora: preslikati levu polovinu s ravni u unutrašnjost jediničnog kruga u ravni, preslikati desnu polovinu s ravni u oblast ravni ivan jediničnog kruga.
Transformacija s ravni u ravan Da bi osobina 2. bila adovoljena j osa s ravni morala bi se preslikati linearno na jedinični krug (=e j ) u ravni. Na žalost, ni jedna transformacija ne može adovoljiti ovaj drugi uslov. U praksi se koristi nekoliko transformacija koje daju adovoljavajuće reultate u mnogim slučajevima.
Analogno-digitalne transformacije Transformacija funkcije prenosa analognog filtra u funkciju prenosa digitalnog filtra Impulsno-invarijantna transformacija Amplitudska i fana karakteristika su približno iste posle preslikavanja Bilinearna transformacija Amplitudska karakteristika je identična Fana karakteristka je iobličena
Impulsno-invarijantna transformacija Diskretiacija impulsnog odiva analognog prototip filtra. Ako je dat analogni filtar čiji je impulsni odiv ha(t), projektuje se digitalni filtar čiji se impulsni odiv h(nt) dobija diskretiacijom ha(t), h nt Th t Th nt a t nt a
Impulsno-invarijantna transformacija 2 H e j H j j k a T T k a 0, H j T Isto kao u dokau teoreme o odabiranju!!! j H e H a j H a j, T
Frekvencijska karakteristika analognog i digitalnog filtra H d H a a k= H a a k=0
Funkcija prenosa preko parcijalnih ralomaka N k k k a s s R s H ) ( N k Ts k d e R T TH H k ) ( ) ( 0 0, 0, ) ( t t e R t h N k t s k a k Inverna Laplace-ova transformacija
Funkcija prenosa preko parcijalnih ralomaka s knt skt n st k k H ( ) h n TR e H n0 k n0 N k a k k k k TR Ts e k k N N h n Th nt TR e u n TR e u n n N n Z transformacija
Funkcija prenosa preko parcijalnih ralomaka Polovi i leve polovine s ravni se preslikavaju u polove unutar jediničnog kruga ravni 0 ) Re( ) Im( ) Re( k k s s k e e s N k Ts k e TR H k T k T k k k k T k k k k k k k k e T e T R T R e R T s s R s s R 2 2 * cos 2 sin Im cos Re 2 2Re
Primer Projektovanje Batervort-ovog filtra trećeg reda Dat je prototip filtar (Ω 3dB =) H a PT s 2 s s s Rastavljanjem na parcijalne ralomke Ha PT s s 0.5 j0.2887 s 0.5 j0.8660 0.5 j0.2887 s 0.5 j0.8660
Primer Denormaliacija s s 3dB Rastavljanjem na parcijalne ralomke i sređivanjem dobija se H a s s 3dB 3dB 3dB s 0.5 3dB 0.5 j0.2887 j0.8660 3dB s 0.5 3dB 0.5 j0.2887 j0.8660
Primer Polovi funkcije H a (s) i reiduumi u polovima su: s = Ω 3dB R =Ω 3dB s 2 =Ω 3dB (0.5+j0.8660) R 2 =Ω 3dB (0.5 j0.2887) s 3 =Ω 3dB (0.5j0.8660) R 3 =Ω 3dB (0.5+j0.2887)
Primer f s =6 Ω 3dB /(2π), T=2π/(6 Ω 3dB ) Preslikavamo analogni filtar u digitalni impulsno invarijantnom transformacijom, odnosno preslikavamo polove i s u ravan skt s e k Dobija se H T 2 T e 3dB 3dBT 0.53dBT 0.5 3dB 2 e 0.5 3dB cos0.8660 3dBT 0.2887 3dB sin0.8660 3dBT 0.53dBT 2 3dBT 2 e cos0.8660 T e 3dB.
Primer Kada se sredi ira, dobija se H /3 0.6344 0.3509 0.730 Korak sa denormaliacijom smo mogli i da preskočimo tako što bi prototip digitaliovali s fs=6/(2) 3 0.3509 2
Primer
Bilinearna transformacija 2 T s 2 T H H a
s Bilinearna transformacija 2 T s s T 2 T 2 s T T s s j T 2 jt / 2 T 2 j T 2
Bilinearna transformacija T 2 jt / 2 T 2 j 0 T 2 jt 2 j T 2
Preslikavanje bilinearnom transformacijom jt jt 2 2 e j jt 2 j T 2 2 tan 2 T 2 tan T 2
Kompresija frekvencijske ose 2 tan T 2 0
a D () 0-0 -20-30 -40-50 -60-70 -80 0 2 4 6 8 0 f [kh] Kompresija frekvencijske ose 0 9 8 7 6 5 4 3 2 a C () 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 / 0 fs=20000h wg =.0e+003 * 0.999 3.573-0 -20-30 -40-50 -60-70 -80 0 0.2 0.4 0.6 0.8 /
Kompresija frekvencijske ose 0-0 -20-30 -40 a C () -50-60 -70-80 0 2 4 6 8 0 f [kh] 0 9 8 7 6 5 4 3 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 / 0 fs2=2000h wg2 = 639.0929 899.525 a D2 () -0-20 -30-40 -50-60 -70-80 0 0.2 0.4 0.6 0.8 /
Primer Projektovanje digitalnog Čebiševljevog filtra 3. reda primenom bilinearne transformacije. f s = 8 kh, f p = kh, a p = db. Analogni prototip je Čebiševljev filtar 3. reda, čija je funkcija prenosa H apt (s), H apt s s 3 0.9883s 0.493 2.2384s 0.493
Primer Da bi digitalni filtar imao graničnu frekvenciju prema specifikaciji, mora se ueti u obir sabijanje frekvencijske ose ω p =2πf p /f s =π/4 Korigovana granična frekvencija prop. opsega (054.8 H) pc 2 T tan 2 p 6627.4
Primer Denormaliacija H a BT H a pc s 3 2 2 3 s s sređeno H 2 f s 0.9883s 3 pc 0.9883 2 f 0.493 3.2384s s 0.493... 2 pc pc 3 pc 0.493.2384 2 f s pc. 2 pc 0.493 3 pc
Primer Moguće je da preskočimo korak denormaliacije i da digitalni filtar projektujemo direktno u odnosu na prototip, H apt (s) odredimo T a ω p =2πf p /f s (granična frekvencija digitalnog filtra koju želimo da ostvarimo, ω p =2πf p /f s =π/4) i Ω= (Ω normaliovano ), 2 p 2 normaliovano tan 0.442 Tnormaliovano 2 Tnormaliovano Tnormaliovano 20.442 2 tan f f p s
Primer što odgovara prototip filtru, odnosno T=2tan(πf p /f s ) Na taj način će se efekat sabijanja frekvencija apravo uvrstiti u konstantu bilinearne transformacije s 2 2.442 T tan f p f s
Korekcija fane karakteristike H min funkcija prenosa minimalne fae (nule su unutar jediničnog kruga) H ap funkcija prenosa svepropusnika ) ( ) ( ) ( min H H H ap 2 2 2 2 2 ) ( N N k k k k k N k k k ap a a a a a a H const d ) ( d ) (
Transformacije digitalnih filtara NF - NF = granična frekv. novog p filtra sin ' / 2 p p sin ' / 2 p p
Transformacije digitalnih filtara NF - VF = granična frekv. novog p filtra cos ' / 2 p p cos ' / 2 p p
Transformacije digitalnih filtara NF - PO 2 2 2 2 2 K / K K / K 2 cos u l / 2 cos u l / 2 u l K cot tan 2 2 p
Transformacije digitalnih filtara NF - NPO 2 2 2 2 2 K / K K / K 2 cos u l / 2 cos u l / 2 u l K tan tan 2 2 p
Impulsno invarijantna transformacija () R u U C u I CR C2R2 0.006 s 0.059 s H CR a s scr s CR
Impulsno invarijantna transformacija (2) R u U C u I f 3dB 3dB 2 2 CR CR C2R2 0.006 s 0.059 s
Impulsno invarijantna transformacija (3) R Ha s u U C u I H a s N k Rk s s CR scr s CR k k R s CR CR
Impulsno invarijantna transformacija (4) H a s N k s Rk s k k R s CR CR h a N t k 0 R e k st k, t 0 0, t 0 sknt h n Th nt TR e u n a N k k ha t e RC t RC nt T h n Tha nt e u n RC RC
Impulsno invarijantna transformacija (5) nt T h n Tha nt e u n RC RC H hn n0 n H e T RC T CR C2R2 0.059 s
Impulsno invarijantna transformacija (6) nt T h n Tha nt e u n RC RC H hn n0 n H e T RC T CR CR 0.006 s
Impulsno invarijantna transformacija (7) C2R2 0.059 s CR 0.006 s
Bilinearna transformacija () R u U C u I CR 0.006 s f 3dB 3dB 2 2 CR C2R2 3.83e - 004s
Bilinearna transformacija CR (2) 0.006 s
Bilinearna transformacija (3) C2R2 3.83e - 004s
Bilinearna transformacija (4) gdig ganalog g ganalog _ KORIGOVANO 2 fs tg 2 C2R2 2.5000e - 004s
Bilinearna transformacija (5) Filter propusnik opsega Propusni opseg 200 300H Frekvencija odabiranja 2000 H Red filtra 2
Bilinearna transformacija (5) f 2 f g s 2 f rad T 2 f s g Ω tg 2fstg 4000 0.3249 299.6 s 2 f rad T 2 f s 2 g2 Ω2 tg 2fstg 4000 0.5095 2038.0 s Ω Ω Ω 0 2 Ω Ω Ω W 2 PO NF prototip 206.8 H 324.4 H Red LP analognog prototip filtra će biti!
Bilinearna transformacija (6) H s s LP NF prototip Ω p = s Hs Hs 2 2 W BP s s s 0 W s s 2 2 W 0 Red BP analognog filtra će biti 2! 2 s T H 2 2.2362 0. 7265 H S s 0.367 2 s T
Bilinearna transformacija (7) 0-0 MATLAB proracun H(e jw ) [db] -20-30 -40-50 -60 [b,a]=butter(,[200 300]/000); b=0.367*[ 0 -]; a=[ -.2362 0.7265]; [H,w]=freq(b,a,000,2000); [H,w]=freq(b,a,000,2000); plot(w,20*log0(abs(h)), w,20*log0(abs(h))); -70-80 0 200 400 600 800 000 f [H]
Primer - LP f0=8000; fp=000; fs=2000; wp=fp/(f0/2); ws=fs/(f0/2); rp=; rs=40; [nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs) [nc,wnc]=chebord(wp,ws,rp,rs) [nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs) [ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs) [bb,ab]=butter(nb,wnb); [bc,ac]=cheby(nc,rp,wnc); [bc2,ac2]=cheby2(nc2,rs,wnc2); [be,ae]=ellip(ne,rp,rs,wne); ***ord ista lista ulanih podataka Projektovanje filtra raličita lista ulanih podataka
nb = 6 wnb = 0.2767 Primer reultati nc = 4 wnc = 0.2500 U opštem slučaju red eliptičkog filtra će biti najmanji nc2 = 4 wnc2 = 0.5000 ne = 4 wne = 0.2500
Primer reultati 2 H(e jw ).4.2 0.8 0.6 Butt Cheb Cheb2 ellip Čebiševljev I i eliptički talasanje u propusnom opsegu 0.4 0.2 0 0 000 2000 3000 4000 f [H]
Primer reultati 3 50 0-50 -00 Butt Cheb Cheb2 ellip Čebiševljev II i eliptički talasanje u nepropusnom opsegu H(e jw ) [db] -50-200 -250-300 -350 0 000 2000 3000 4000 f [H]
Primer reultati 4 Butt 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer reultati 5 Cheb Imaginary Part 0.5 0-0.5 4 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer reultati 6 Cheb2 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer reultati 7 ellip 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 2 f0=80000; Promenjeno f0 fp=000; fs=2000; wp=fp/(f0/2); ws=fs/(f0/2); rp=; rs=40; [nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs) [nc,wnc]=chebord(wp,ws,rp,rs) [nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs) [ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs) [bb,ab]=butter(nb,wnb); [bc,ac]=cheby(nc,rp,wnc); [bc2,ac2]=cheby2(nc2,rs,wnc2); [be,ae]=ellip(ne,rp,rs,wne);
nb = 8 wnb = 0.0282 nc = 5 wnc = 0.0250 nc2 = 5 wnc2 = 0.0500 ne = 4 wne = 0.0250 Primer 2 reultati
Primer 2 reultati 2.4.2 Butt Cheb Cheb2 ellip H(e jw ) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 3 4 f [H] x 0 4
Primer 2 reultati 3 00 0 Butt Cheb Cheb2 ellip -00 H(e jw ) [db] -200-300 -400-500 -600 0 2 3 4 f [H] x 0 4
Primer 2 reultati 4 Butt 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 2 reultati 5 Cheb 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 2 reultati 6 Cheb2 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 2 reultati 7 ellip 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 3 - HP f0=8000; fp=2000; fs=000; wp=fp/(f0/2); ws=fs/(f0/2); rp=; rs=40; [nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs) [nc,wnc]=chebord(wp,ws,rp,rs) [nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs) [ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs) [bb,ab]=butter(nb,wnb,'high'); [bc,ac]=cheby(nc,rp,wnc,'high'); [bc2,ac2]=cheby2(nc2,rs,wnc2,'high'); [be,ae]=ellip(ne,rp,rs,wne,'high'); Ključna reč high
nb = 6 wnb = 0.4638 nc = 4 wnc = 0.5000 nc2 = 4 wnc2 = 0.2500 ne = 4 wne = 0.5000 Primer 3 reultati
Primer 3 reultati 2.4.2 Butt Cheb Cheb2 ellip H(e jw ) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 000 2000 3000 4000 f [H]
Primer 3 reultati 3 50 0-50 Butt Cheb Cheb2 ellip -00 H(e jw ) [db] -50-200 -250-300 -350-400 0 000 2000 3000 4000 f [H]
Primer 3 reultati 4 Butt 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 3 reultati 5 Cheb Imaginary Part 0.5 0-0.5 4 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 3 reultati 6 Cheb2 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 3 reultati 7 ellip 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 4 - BP f0=8000; fp=[2000 3000]; fp i fs - vektori fs=[000 3500]; wp=fp/(f0/2); ws=fs/(f0/2); rp=; rs=40; [nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs) [nc,wnc]=chebord(wp,ws,rp,rs) [nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs) [ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs) [bb,ab]=butter(nb,wnb); [bc,ac]=cheby(nc,rp,wnc); [bc2,ac2]=cheby2(nc2,rs,wnc2); [be,ae]=ellip(ne,rp,rs,wne);
Primer 4 reultati nb = 5 wnb = 0.464 0.7744 nc = 4 wnc = 0.5000 0.7500 n* - red NF (LP) prototipa wn* - vektori nc2 = 4 wnc2 = 0.2500 0.8750 ne = 3 wne = 0.5000 0.7500
Primer 4 reultati 2 0.9 0.8 Butt Cheb Cheb2 ellip 0.7 0.6 H(e jw ) 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 0 000 2000 3000 4000 f [H]
Primer 4 reultati 3 0-50 Butt Cheb Cheb2 ellip -00 H(e jw ) [db] -50-200 -250-300 -350 0 000 2000 3000 4000 f [H]
Primer 4 reultati 4 Butt Imaginary Part 0.5 0-0.5 32 5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 4 reultati 5 Cheb Imaginary Part 0.5 0-0.5 4 4 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 4 reultati 6 Cheb2 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 4 reultati 7 ellip 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 5 - BS f0=8000; fp=[000 3500]; fp i fs - vektori fs=[2000 3000]; wp=fp/(f0/2); ws=fs/(f0/2); rp=; rs=40; [nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs) [nc,wnc]=chebord(wp,ws,rp,rs) [nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs) [ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs) [bb,ab]=butter(nb,wnb,'stop'); [bc,ac]=cheby(nc,rp,wnc,'stop'); Ključna reč stop [bc2,ac2]=cheby2(nc2,rs,wnc2,'stop'); [be,ae]=ellip(ne,rp,rs,wne,'stop');
Primer 5 reultati nb = 5 wnb = 0.3364 0.8490 nc = 4 wnc = 0.2500 0.8750 n* - red NF (LP) prototipa wn* - vektori nc2 = 4 wnc2 = 0.5000 0.7500 ne = 3 wne = 0.2500 0.8750
Primer 5 reultati 2.4.2 Butt Cheb Cheb2 ellip H(e jw ) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 000 2000 3000 4000 f [H]
Primer 5 reultati 3 50 0-50 Butt Cheb Cheb2 ellip H(e jw ) [db] -00-50 -200-250 -300-350 0 000 2000 3000 4000 f [H]
Primer 5 reultati 4 Butt 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 5 reultati 5 4 Cheb 0.5 Imaginary Part 0-0.5-4 - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 5 reultati 6 Cheb2 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part
Primer 5 reultati 7 ellip 0.5 Imaginary Part 0-0.5 - - -0.5 0 0.5 Real Part