Autori skripte: Kardaš Ada -5 Eio Kaljić 6-7 Bejami Kapetaović 8-40 Mario Kokoruš 40-45 Bejami Kapetaović, Amar Trka, Alija Jusić 45-5 USMENI ISPIT IZ MATEMATIKE
. Pojmovi metrike /udaljeosti (apstrakta formulacija), metričkog prostora, pseudometričkog prostora, semimetričkog prostora i ultrametričkog prostora.. Pojam diskretog prostora.važi primjeri metričkih prostora. /* Jedia primjera (vezaa za metričke prostore) u toj lekciji su (valjda je a to mislio): */
3. Pojmovi udaljeosti tačke od skupa, udaljeosti između dva skupa,ograičeog (eograičeog) skupa, ograičeog (eograičeog) preslikavaja/fukcije (i, specijalo, ograičeog/eograičeog iza) i dijametra skupa u metričkom prostoru. 4. Pojmovi otvoree (zatvoree) kugle, uutrašje tačke skupa, spoljašje tačke skupa, graiče (rube) tačke skupa, izolovae tačke skupa, tačke gomilaja skupa, otvoreog skupa i zatvoreog skupa u metričkom prostoru. /* Nisam mogo aći graiču (rubu tačku). Ostalo sam ašo a petoj i šestoj straici prvih predavaja, pa potrazite. */
5. Osova svojstva okolia tačke u metričkom prostoru. 3 /* Vezao za trece svojstvo: Ako ekog iteresuje radi se o slijedecoj tvrdji: */ 6. Nizovi u metričkom prostoru (kovergeta iz, divergeta iz, Caucyjev iz). Potpu metrički prostor. 7. Pojmovi orme, ormiraog prostora, Baachovog prostora, skalarog proizvoda, ortogoalosti, uitarog/prethilbertovog prostora i Hilbertovog prostora. Schwarzova ejedakost.
4 8. Važi primjeri Baachovih prostora i Hilbertovih prostora. Pojam dimezioalog (realog, odoso kompleksog) Euklidovog prostora. Cauchyjeva ejedakost. /* Izraz..6 je dat u prethodom pitaju. Posto je profesor aglasio da treba i reali i kompleksi Euklidov prostor, pretpostavljam da je razlika u defiiciji skalarog proizvoda (prethodo pitaje). Kad je skal. proiz. za reale brojeve oda je i Euklidov prostor reali... PRETPOSTAVLJAM, isam sigura. */
5 /* Valjda su to ti primjeri, ema drugih. */ 9. Pojmovi i važi primjeri reale fukcije više realih promjeljivih i vektorske fukcije više realih promjeljivih.
0. Osova svojstva i predstavljaje fukcija više promjeljivih. Pojmovi ivo liija (ivoskih liija) i ivo površi (ivoskih površi). 6
7. Složee fukcije i elemetare fukcije više realih promjeljivih. Primjeri ižejerskih fukcija više promjeljivih. /* Nisam ašao primjere! */
. Graiča vrijedost (simultaa i uzastopa/ sukcesiva) fukcije s više realih promjeljivih pojam, osova svojstva i račuaje pomoću trasformacije koordiata. 8 /* Dio.3. su prethode defiicije (ovaj zadatak). Nisam ašao osova svojstva, a ako je slijedeca slika trasformacija koordiata, oda sam to ašao, u suprotom isam */
3. Neprekidost i uiforma/ravomjera eprekidost fukcija dviju ili više promjeljivih.lokala i globala svojstva eprekidih fukcija više realih promjeljivih. 9
0 /* Lokala svojstva isam ašao */ 4. Parcijali izvodi/ parcijale derivacije i parcijali diferecijali.geometrijska iterpretacija parcijalih derivacija.
5. Lagrageova teorema za fukcije više promjeljivih. /* Ima ovdje i viška stvari, pa proberite sebi. Ja sam se trudio da ađem što više. Međutim, ima i stvari koje fale, pa bih molio da pokušate proaći. */
6.) Pojmovi diferecijabilosti i totalog diferecijala fukcija više promjeljivih. Potreba uslov diferecijabilosti i dovolja uslov diferecijabilosti fukcija dviju ili više promjeljivih. Diferecijabilost i totali diferecijal: 7.) Primjee totalog diferecijala u približim račuima. Primjee totalog diferecijala u približim račuima:
8.) Parcijali izvodi i diferecijali složeih fukcija. Eulerova teorema za homogee fukcije više promjeljivih. Ivarijatost forme totalog diferecijala (prvog reda). Parcijali izvodi i diferecijali složeih fukcija: 3 Ivarijatost forme totalog diferecijala: 9.) Geometrijska iterpretacija totalog diferecijala. Jedačia tagete ravi i jedačie ormale a površ.. Jedačia tagete ravi i površi:
4 0.) Izvod/derivacija fukcije u zadaom pravcu i gradijet fukcije. Hamiltoov operator abla. Izvod/derivacija fukcije u zadaom pravcu i gradijet fukcije: Hamiltoov operator abla:
.) Parcijali izvodi i diferecijali drugog ili višeg reda realih fukcija više realih promjeljivih.. Parcijali izvod drugog reda: 5 Parcijali izvod višeg reda:.) Taylorova formula i MacLauriova formula za fukcije dviju ili više promjeljivih. Taylorova i MacLauriova formula: (*) Taylorova formula; (**) ostatak u Lagrageovom Za a = 0 dobije se MacLauriova formula.
3.) Ekstreme vrijedosti fukcija dviju ili više promjeljivih Optimizacija I: Defiicija lokalog slobodog ekstrema fukcija više promjeljivih, potreba uslov za postojaje lokalih ekstrema (Fermatova teorema) fukcije više promjeljivih, kvadrate forme (pojam, klasifikacija i Silvesterov kriterijum), dovolja uslov za lokali ekstrem fukcija dviju ili više promjeljivih. Lokali ekstremi: 6 Fermatova teorema: Kvadrate forme:
Klasifikacija kvadratih formi: 7 Sylvesterov kriterijum defiitosti kvadratih formi: Dovolja uslov za lokali ekstrem:
8 4.) Preslikavaje (fukcije) iz R u R m, Jacobija i regularo preslikavaje (regulare fukcije) pojam i osova svojstva. Preslikavaje fukcije iz R u R m : Jacobija:
Regularo preslikavaje: 9 5.) Vezai (uslovi) ekstremi fukcije više promjeljivih Optimizacija II: Zadavaje krive i površi u implicitoj formi, tačke u kojima postoje vezai ekstremi, kritiče tačke, gradijet u kritičoj tački, potreba uslov za lokali vezai ekstrem fukcije (za lokali ekstrem fukcije defiirae a krivoj, a površi; Lagrageovi multiplikatori). Vezai (uslovi) ekstremi fukcije više promjejivih: Tražeje vezaog ekstrema:
0 6.) Apsoluti (globali, totali) ekstremi realih fukcija dviju ili više realih promjeljivih. Apsoluti ekstremi realih fukcija dviju ili više promjejivih: 7.) Običe diferecijale jedačie prvog reda Osovi kocepti i ideje; opšti oblik diferecijale jedačie prvog reda, jeo partikularo i opšte rješeje, geometrijsko razmatraje, polje smjerova i izoklie, početi uslovi, Cauchyjev problem Običe diferecijale jedačie prvog reda:
8. Osove diferecijale jedačie prvog reda riješee po izvodu (sa separiraim/ razdvojeim promjeljivim, homogee, lieare, Beroullijeva, Riccatijeva, egzakta/totalog diferecijala).varijacija kostati. (predavaje VI sedmica) Diferecijale jedačie prvog reda su: I. Diferecijala jedačie sa razdvojeim promjeljivim - ima oblik: y ' = f (x, y). II. Homogea diferecijala jedačia - ima oblik: i oa se pomoću smjee y = x u, gdje je u ova epozata fukcija od x, trasformira u diferecijalu jedačiu sa razdvojeim promjeljivim. Možemo takođe primijeiti i smjeu x = y u. III. Lieara diferecijala jedačia prvog reda - ima oblik: IV. Beroullijeva diferecijala jedačia - ima oblik: V. Riccatijeva diferecijala jedačia - ima oblik:
VI. Diferecijala jedačia totalog diferecijala ima oblik 9. Osove diferecijale jedačie prvog reda koje isu riješee po izvodu (jedačie koje se rješavaju uvođejem parametra, Lagrageova jedačia, Clairautova jedačia). (predavaje VI sedmica) I. Lagrageova diferecijala jedačia ima oblik II. Clairautova diferecijala jedačia je specijali oblik Lagregeove diferecijale jedačie i ima oblik:
3 30. Objašjeje a kokretim primjerima (po vlastitom izboru) opštih metoda za rješavaje homogeih i ehomogeih liearih diferecijalih jedačia drugog ili višeg reda. /* Proaći primjere poslije */ 3. Objašjeje a kokretim primjerima (po sopstveom izboru) osovih metoda za rješavaje sistema diferecijalih jedačia (metoda elimiacije, matriča metoda i metoda prvih itegrala), posebo sistema liearih diferecijalih jedačia sa kostatim koeficijetima. /* Proaći primjere poslije */ 3. Direkta i iverza Laplaceova trasformacija; pojmovi i osova svojstva origiala (Laplaceovih fukcija), slika (trasformat). (Predavaje X sedmica prilico jedostavo) Ova trasformacija predstavlja jeda oblik fukcioale itegrale trasformacije kojom se skupu fukcija koje zadovoljavaju određee uslove pridružuje drugi skup fukcija iz određeih praktičih razloga. Itegralim trasformacijama se u mogim slučajevima može uprostiti rješavaje zadataka koje susrećemo u ekim oblastima auke i tehike. Opšti oblik itegrale trasformacije dat je izrazom gdje je z komplesa promjeljiva, a t reala promjeljiva. Fukcija G (z, t) aziva se jezgrom trasformacije, fukcija f (t) origialom, a fukcija F(z) slikom te trasformacije. Defiicija 7... Neka je f (t) fukcija reale promjeljive koja je defiiraa za t 0. Laplaceovom trasformacijom L se datoj fukciji pridružuje fukcija komplekse promjeljive F(z) po formuli: F(z) =...
4 Podsjetimo se da se esvojstvei itegral a desoj strai defiira kao: i, ako postoji avedea graiča vrijedost, kaže se da itegral kovergira. Obzirom da u defiiciji fukcije F(z) učestvuje avedei esvojstvei itegral, jaso je da je oblast defiiraosti ove fukcije skup oih vrijedosti kompleksog parametra z za koje dati itegral kovergira. Ukoliko itegral e kovergira i za jedo z kažemo da Laplaceova trasformacija fukcije f (t) e postoji. Tako pr., e postoji Laplaceova trasformacija fukcije jer se može pokazati da e kovergira i za jedo z. BITNO: 7.. Jedostraa Laplaceova trasformacija Pretpostavimo da fukcija f (t) zadovoljava uvjete: a) f (t) defiiraa a itervalu [0, ), b) f (t) ima ajviše koačo mogo prekida prve vrste a svakom koačom poditervalu itervala [0, ), c) f (t) je ekspoecijalog reda rasta, tj. postoji kostata a R i pozitiva kostata M tako da je za sve t > 0 ispujeo Tača doja graica za koju vrijedi avedea ejedakost aziva se stepe rasta fukcije f (t). Za fukcije koje zadovoljavaju uvjete a), b) i c) reći ćemo da pripadaju klasi E(a) i pisati f (t) E(a). Teorema 7... Neka fukcija f (t) E(a). Tada itegral kovergira za sve vrijedosti z za koje je Re z > a. Teorema 7... Ako fukcija f (t) E(a), tada je aalitička fukcija u oblasti Re z > a. Napomeimo da teoreme 5... i 5... e daju maksimalu oblast u kojoj je fukcija F(z) defiiraa i aalitička. Drugim riječima, Laplaceova trasformacija fukcije f (t) E(a) može postojati i biti aalitička i u oblasti široj od oe koju daju prethode teoreme.
5 33. Osova svojstva Laplaceovih trasformacija. Laplaceova trasformacija izvoda i itegrala. Neke osobie Laplace-ovih f-ja: ) Osobia liearosti Neka je f(t) E(a), f(t) E(a) i eka je L [ f(t)] = F(z), Re z > a, L [ f(t)] = F(z), Re z > a. Tada je L [c f(t) + c f(t)] = L [c f(t)] + L [c f(t)] = c F(z) + c F(z), Re z > max{a, a}, gdje su c i c proizvolje reale kostate. ) Osobia skaliraja Neka je f (t) E(a) i L [ f(t)] = F(z), Re z > a. Tada za b > 0 je 3) Osobia prigušeja Neka je f (t) E(a) i L [ f (t)] = F(z), Re z > a. Tada je 4) Osobia pomaka Neka je f (t) E(a) i L [ f (t)] = F(z), Re z > a. Tada je gdje je b > 0 i U(t b) jediiča odskoča fukcija. 5) Osobia izvoda origiala L [ f '(t)] = G(z) = z F(z) f (0), Re(z) > a L L{ f(t) } = F(p) L{ f'(t) } = pf(p) f(0) L{ f"(t) } = p F(p) pf(0) f'(0) Gdje su f(0) i f'(0) početi uslovi. 6) Osobia itegrala origiala Neka je f (t) E(a), a > 0 i L [ f (t)] = F(z), Re z > a. Tada je 7) Osobia kovolucije ( ) () ( ) ( ) [ f ( t) ] = z F( z) z f (0) z f (0)... zf (0) f (0) t F( z) L f x dx = z > a ( ), Re( ) z 0 t t f = f( x) f( t x) dx = f( x) f( t x) dx = f * 0 0 f * f L [ f * f ] = L[ f ( t) ] L[ f ( t) ] Re( z) > max { a, a } = F ( z) F ( z)
6 Iverza Laplace-ova Trasformacija Neka je F(z) data fukcija komplekse promjeljive. Ako postoji fukcija reale promjeljive f (t) tako da je L [ f (t)] = F(z) tada fukciju f (t) azivamo iverzom Laplaceovom trasformacijom fukcije F(z) i koristimo ozaku Primjer: L z z [] = L = Načii alažeja iverzih Laplasovih f-ja: ) Nalažeje iverze Laplaceove trasformacije količika P(z)/Q(z) (*) (*) se trasformira u jeda od sljedecih oblika:
7 ) Nalažeje iverze Laplaceove trasformacije proizvoda F(z) i F(z). 34. Jediiča skok fukcija.diracova impulsa fukcija. Periodičke fukcije. ( 7.. Laplaceova trasformacija ekih fukcija, Predavaje X, str ) Periodičke: o Trigoometrijske: iz tablice, zamo slico kao:
8 35. Rješavaje diferecijalih jedačia prvog ili višeg reda primjeom Laplaceove trasformacije. o Rješavaje Cauchyjevog problema za lieare diferecijale jedačie tog reda sa kostatim koeficijetima X(z) = L [ x (t)], F(z) = L [ f (t)]. 36. Primjee Laplaceove trasformacije u rješavaju sistema diferecijalih jedačia. o Rješavaje Cauchyjevog problema za sisteme liearih diferecijalih jedačia sa kostatim koeficijetima prvog i višeg reda. Primijei se Laplace-ova trasformacija a svaku od jedačia. Dobije se sistem algebarskih jedačia po trasformacijama epozatih fukcija 3. Rješavajem sistema i alažejem odgovarajućih iverzih Laplaceovih trasformacija, dobija se rješeje polazog sistema u realom domeu 37. Pojmovi trigoometrijskog reda (?), Fourierovog reda i trigoometrijskog Fourierovog reda. Eulerove formule (?). Fukcije s proizvoljim periodom (?). 8.. Fourierovi redovi /* Nisam uspio proači «Pojmovi trigoometrijskog reda», «Eulerove formule» i «Fukcije s proizvoljim periodom» u raspoloživim materijalima */ = = = = + + + + ) ( 0 ) ( 0 0 ) ( ) ( 0 (0),..., ' '(0), (0) ), ( ' x x x x x x t f x a x a x a x a ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 3) ( 0 0 ) ( 0 ) ( 0 0 0 z F z X a x z zx a x zx x z z X z a x zx x z z X z a = + + + + + + [ ] = = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z N z B L z X L t x z N z B z X
9 Trigoometrijski Fourierovi redovi Neka je fukcija f periodiča sa osovim periodom T. Svakoj djelimičo eprekidoj fukciji f a posmatraom razmaku odgovara Fourierov red i koji se često aziva trigoometrijski Fourierov red. Brojevi a i b se zovu Fourierovi koeficijeti određuju se pomoću sljedećih formula: 38. Razvoj fukcije (pare ili epare a simetričom itervalu) u epotpui Fourierov red. Ako je segmet [a, b] simetriča oko ishodišta, odoso ako je zato pojedostaviti: oda se u sljedeća dva slučaja račuaje Fourierovih koeficijeata može. ako je f (x) para fukcija, tj. ako je f ( x ) = f (x), oda je pa Fourierove koeficijete možemo račuati a sljedeći ači:. ako je f (x) epara fukcija, tj. ako je f ( x ) = f (x), oda vrijedi da je pa Fourierove koeficijete možemo račuati a sljedeći ači:
39. Teoreme o egzisteciji Fourierovog reda (Dirichletov teorem i dr.), odoso osovi rezultati o kovergeciji Fourierovog reda fukcije f i jegova povezaost s fukcijom f, te veza trigoometrijskih redova s Fourierovim redovima (?). Teoreme o egzisteciji: Sličo kao i kod Taylorovog reda fukcije i ovdje se postavljaju dva pitaja:. Da li Fourierov red fukcije f (x) kovergira?. Ako Fourierov red kovergira u tački ka broju S(x), da li je oda S(x) = f (x), tj. da li kovergeta red predstavlja fukciju f? Problematika sa kovergecijom opštih Fourierovih redova je jako opšira i a moga pitaja još uvijek isu dati odgovori. Pitaja. i. su riješei Dirichletovom teoremom: 30
40a. Kompleksa forma Fourierovog trigoometrijskog reda. Fourierov itegral kao graiči slučaj Fourierovog reda. Fourierov itegral za pare i epare fukcije. Kompleksa forma Fourierovog itegrala. Objašjeje postupka predstavljaja fukcije Fourierovim itegralom (?). 3 f a b klasiči oblik * a0 ( t) = + = l = l l l l l = π t π t a cos + b si l l π t f ( t)cos dt l π t f ( t)si dt l FOURIEROV RED alterativi oblik f ( t) = c = l + t ( l, l) l l c e = f ( t) e π t i l π t i l FOURIEROV INTEGRAL (Tutorijal Grupa6) f(x) = gdje je + a ( λ )cos( λ * x) + b( λ)si( λ * x) dx + + a ( λ ) = f ( t)cos( λ * t) dt π b ( λ ) = f ( t)si( λ * t) dt π + F(jω) = f(t) = π f ( t) e + jωt F( jω) e dt j ω t d ω o Ako je f(x) para: a( λ ) = f ( t)cos( λ * t) dt π 0 b(λ) = 0 o Ako je f(x) epara: a(λ) = 0 b( λ ) = f ( t)si( λ * t) dt π 0 Komplexa forma dvojog Furierovog itegrala: f ( t) + + i ω ( t x) = dω f ( x) e dx π /* Warig:Nedostaje Objašjeje postupka predstavljaja fukcije Fourierovim itegralom */
3 40b. Kompleksa forma Fourierovog trigoometrijskog reda. Fourierov itegral kao graiči slučaj Fourierovog reda. Fourierov itegral za pare i epare fukcije.kompleksa forma Fourierovog itegrala. Objašjeje postupka predstavljaja fukcije Fourierovim itegralom. Furierov itegral: Furierov itegral za paru fuckiju: B(w) = 0; Furierov itegral za eparu fukciju: A(w) = 0; Ostalo isam isam asao a emam i kjige.. dao.. 4. Direkta i iverza Fourierova trasformacija; formule za Fourierovu trasformaciju i iverzu Fourierovu trasformaciju, veza između Laplaceove i Fourierove trasformacije. Direkta Fourierova trasformacija i formule Iverza Foutierova trasformacija i formule
33 4a. Pojmovi i osova svojstva itegrala po figuri, dvojog itegrala, trojog itegrala (i općeito) itegrala i višestrukog Riemaovog itegrala. Dvoji itegral Troji itegral itegral i višestruki Riemaovog itegrala
4b.) Graiča vrijedost T i λ 0 i= lim S = lim f ( ) µ i itegrale sume λ 0 T i i= 34 S = f ( ) µ i, za datu figuru Φ i datu fukciju f (T) defiirau a Φ, pri uslovu da se svaka od elemetarih figura Φ i (i =,..., ) steže u tačku (tj. λ 0), ako postoji ta graiča vrijedost i ako je koača i ezavisa od ačia a koji je formiraa itegrala suma skalare fukcije f (T) i ozačava sa Φ S = f ( ) µ i, aziva se itegral po figuri Φ T i i= f ( T ) dµ. Dakle je: ( T ) dµ = lim λ 0 Φ i= f f ( ) µ Neka je Φ = D oblast u R. Mjeru µ i elemetare figure Φ i ozačimo sa S i ( i = maksimali dijametar sa λ. Itegralaa suma za fukciju f datu sa f ( x, y), ako D Oxy f ( T ) = f ( x, x ) = f ( y, z), ako D Oyz f ( x, z), ako D Oxz ima oblik S = i= i= T i i, ), a ( i) ( i) f ( T ) µ = f ( x, x ) S. Njeu graiču vrijedost pri uslovu λ 0 (ako i i i postoji) azivamo dvoji itegral (u Riemaovom smislu) fukcije f (T) = f (x, x) po oblasti D i taj dvoji itegral ozačavamo sa f ( x, x ds. Dakle: ) D gdje je D oblast itegracije, x, x (odoso x, y) promjeljive itegracije, ds (= dx dx = dx dy) diferecijal površie rave oblasti D. Razmotrei dvoji itegral u 3) azivamo Riemaov itegral od fukcije f (T) = f (x, x) dvije promjeljive po ravoj figuri. Aalogo, razmotrei troji itegral u 4) azivamo Riemaov itegral od fukcije f (T) = f (x, x, x3) tri promjeljive po prostoroj figuri. Uopštavajući razmatraja. Moguće je a aaloga ači defiirati Riemaov itegral od fukcije f (T) = f (x, x,..., x) ezaviso promjeljivih po dimezioalom skupu S R i azivati ga strukim itegalom po Riemau (ili strukim Riemaovim itegralom).
35 43. Svođeje itegrala a uzastope itegrale i zamjea promjeljivih u itegralu (višestrukom Riemaovom itegralu). Svođeje itegrala a uzastope itegrale Zamjea promjeljivih u itegralu (višestrukom Riemaovom itegralu)
36 44. Primjee dvojih i trojih itegrala. Izracuavaje zapremie i povrsie tjela tijela: Povrsia skoro isto Mjera Povrsi: 44b.) Primjee dvojih i trojih itegrala. Izračuavaje zapremie tijela: Ako je jedačia površi (data sa) z = ϕ (x, y), (x, y) D, z 0, oda je zapremia V opisaog tijela data formulom V ϕ ( x, y) dxdy (za = 3) imamo = D V = dxdydz Σ δz δz Mjera (površia) površi: Koristeći ozake = p, = q mjera (površia) µs površi S defiira se δx δy kao µ S = p + p + D q dx dy Poditegrali izraz u prethodoj jedakosti aziva se elemetom površie.
45. Elemeti vektorske aalize Vektorsko polje i vektorske liije 37
38 45b) Elemeti Vektorske Aalize (Trka) Više dimezija: Baza prostora: e, e,..., e Vektorska fukcija: f : R f = ( y, y,..., y ) y a = +... + a m = f ( x, x,..., x ( a, a,..., a ) = ae + a e ), y m R, m. N = f ( x, x,..., x ),..., y m = f e m ( x, x,..., x ) 45c) Elemeti Vektorske Aalize: Dobrivoje Mihailović Elemeti vektorske aalize/diferecijale geometrije i teorije polja Defiicija: Vektorskom f-jom ----> α (t) jedog skalarog argumeta t azivamo jedozačo preslikavaje skupa realih brojeva (skalara) T a skup vektora V prema određeom zakou korespodecije ----> α (t). Skup realih brojeva (skalara) T predstavlja oblast defiisaosti vektorske f-je ----> α (t). Budući da je ----> α = {a,a,a 3 }, jedozačo preslikavaje skupa T a skup V svodi se a preslikavaje prvog skupa a drugi preko tri skalara zakoa korespodecije, čime su defiisae projekcije vektorske f-je ----> α (t) kao f-je argumeata t, tj. ----> α = {a (t),a (t),a 3 (t)}. Na osovu toga aaliza vektorskih f-ja jedog skalarog argumeta može se svesti a aalizu triju skalarih fukcija-projekcija vektora ----> α a ose Dekartovog pravouglog koordiatog sistema. /* Elemeti vektorske aalize: 5.. Skalara i vektorska polja. Izvodi, liijski i površiski itegrali vektorske fukcije. Izvod skalara u zadatom pravcu. Gradijet skalare fukcije. Simbolički prikaz gradijeta. Primeri. 5.. Divergecija vektorske fukcije - pojam, fizička iterpretacija i aalitički oblik u Dekartovom koordiatom sistemu. Rotor vektorske fukcije - defiicija i aalitički oblik. Simbolički prikaz divergecije i rotora. Klasifikacija vektorskih polja. Gradijet, divergecija i rotor složeijih izraza. 5.3. Itegrale teoreme vektorske aalize (Gausova, Stoksova, Griove teoreme). Prostori izvodi drugog reda - defiicije i aalitički oblici u Dekartovom koordiatom sistemu. Aalitički oblik gradijeta, divergecije, rotora i laplasijaa u geeralisaim koordiatama. Primer cilidričih i sferih koordiata. */
46. Kriva; dužia luka krive, tageta, zakrivljeost (prva krivia) i uvijeost (torzija, druga krivia), brzia i ubrzaje. Defiicija: Hodograf vektorske fukcije a = a(t) je geometrijsko mjesto KRAJNJIH tačaka vektora a ako se početak svih vektora alazi u jedoj utvrđeoj tački (pol hodografa). Hodograf eprekide vektorske fukcije predstavlja eprekidu krivu, ako vector položaja r ρ ={x,y,z} predstavlja vektorsku f-ju skalarog argumeta t, a jedačie ove krive glasi: ----> ----> r = r (t) Njoj odgovarajuće skalare jedačie x=x(t), y=y(t), z=z(t) predstavljaju jedačie krive u prostoru u parametarskom obliku. Nosač vektora je tageta hodografa u tački M, a smjer odgovara smjeru rasta argumeta t. a( t) = ( a( t), a ( t), a3( t)) = ( ax ( t), a y ( t), az ( t)) 39 Sredja brzia tačke: r( t) r( t + t) r( t = ), gdje je r = r( t) = ( x( t), y( t), z( t)) vektorska t t jedačia putaje tačke u prostoru. d r( t) r( t + t) r( t) Treuta brzia tačke: v( t) = = lim. dt t 0 t Modul vektora brzie jedak je izvodu luka putaje po vremeu. Krivia; Torzija: Posmatrajmo vektorsku jedačiu krive u prostoru u obliku ----> ----> r = r (s) gdje je s luk krive mjere od jede određee tačke krive. Vektor: ρ ρ ρ dt d r K = t& = = & r = ds ds aziva se vektorom krivie. Neka je ort K ρ = ρ, tj. K ρ = K ρ * ρ = r& * ρ, tada iz relacije t ρ * t ρ = t ρ *t&=0 tj, t ρ * K ρ = 0, odoso t ρ * ρ = 0, što zači da je osač vektora K ρ uprava a tageti. Zači, ovaj osač predstavlja jedu od ormala krive u tački M, koja se aziva glatkom ormalom. Vektor ρ predstavlja jediiči vektor glave ormale. Modul vektora K, K ρ = K ρ = r& aziva se fleksijom ili prvom kriviom krive, a jea reciproča vrijedost ρ = ρ = K r& aziva se poluprečikom fleksije ili poluprečikom prve krive. Ako je b ρ ----> vektor biormale krive r, tada ρ ρ d b τ = = b& ds azivamo vektorom torzije.
47. Orijetacija krive. (Krivo)liijski itegrali prve i druge vrste (po luku i po koordiatama) pojmovi, osova svojstva i jihovo izračuavaje.trasformacija dvojih itegrala u liijske itegrale (Greeova formula u ravi). Pojam vektorskog liijskog itegrala. Ako je f(x,y,z) defiisaa i eprekida fukcija u svim tačkama dio po dio glatke krive x=x(t), y=y(t), z=z(t), ( t 0 t T ) a ds diferecijal luka, oda se krivoliijski itegral prve vrste izračuava po formuli: ( x, y, z) ds = [ x( t), y( t), z( t) ] x' ( t) + y' ( t) + C T f z' ( t) dt. t 0 40 AB t ( x, y) dx = P( x( t), y( t)) x'( t dt, ( x, y) dy = t g P ) d AB t t g P P( x( t), y( t)) y'( t) dt Ako su fukcije P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) eprekide u svakoj tački M(t) krive x=x(t), y=y(t), z=z(t), ( t 0 t T ), koja se pomjera u smjeru rašćeja parametra t, oda se krivoliijski itegral druge vrste izračuava po formuli: P( x, y, z) dx + Q( x, y, z) dy + R( x, y, z) dz = C = T t0 ( P [ x( t), y( t), z( t) ] x' ( t) + Q[ x( t), y( t), z( t) ] y' ( t) + R[ x( t), y( t), z( t) ] z' ( t)) dt Pri promjei smjera itegracije duž krive C ovaj itegral mijeja zak. P Q Defiicija: Neka su P(x,y) i Q(x,y) eprekide fukcije kao i jihovi parcijali izvodi, u y x oblasti J i a jeoj koturi C. Tada jedačia Q P P( x, y) dx + Q( x, y) dy = dxdy x y C J predstavlja Greeovu formulu. Neka je ϕ (r) skalara ili vektorska fukcija defiisaa a luku L. Tada imamo dvije vrste vektorskog krivoliijskog itegrala: ϕ ( r) dr i ϕ( r) dr. L d L
48. Orijetacija površi, površiski itegrali prve i druge vrste (po površi i po koordiatama) pojmovi, osova svojstva i jihovo izračuavaje. Pojam vektorskog površiskog itegrala. 4 Površiski itegral prve vrste: Ako je S dio po dio glatka dvostraa površ defiiraa jedačiama x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), ( u, v) D, a f(x,y,z) fukcija defiisaa i eprekida a površi S, oda je S [ x( u, v), y( u, v), z( u, v) ] EG F dudv f ( x, y, z) ds f = D x y z x y z E = + +, G = + +, u u u v v v Ovaj itegral e zavisi od izbora strae površi S., gdje je x x y y z z F = + +. u v u v u v Površiski itegral druge vrste: Ako je S glatka dvostraa površ, a kojoj je izabraa jeda od dviju straa, određea smjerom ormale (cosα,cos β,cosγ ), a P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) tri fukcije defiisae i eprekide a površi S, oda je Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ( P cosα + Q cos β R cosγ ) ds. + S S Pri prelazu a drugu strau površi ovaj itegral dobija suprota zak. Neka je S orijetisai dio površi r = r( u, v) i eka je ϕ (r) eprekida skalara ili vektorska fukcija defiisaa a površi S. Neka je σ vektor površie S. Tada imamo dvije vrste vektorskog površiskog itegrala: ) S ϕ( r) dσ i ϕ( r dσ. S
49. Skalara i vektorska polja; pojam skalarog polja, izvod u pravcu i gradijet skalarog polja, pojam vektorskog polja, vektorske liije i soleoid, prostori izvod, divergecija i rotor vektorskog polja, klasifikacija vektorskih polja, Laplaceov operator. Defiicija: Skalara fukcija f ( r) = f ( x, y, z), gdje je r vektor položaja tačke M(x,y,z), zajedo sa svojom oblasti defiisaosti, aziva se skalaro polje. Defiicija: Izvod po pravcu vektora τ u tački M aziva se izvod po bilo kojoj krivoj L koja f f f f prolazi kroz tačku M i dodiruje vektor τ : = cosα + cos β + cosγ. L x y z Defiicija: Gradijet gradf date skalare fukcije f(x, y, z) je vektorska fukcija defiisaa f f f sa gradf = i + j + k. x y z Defiicija: Vektorska fukcija f ( r) = f ( x, y, z), zajedo sa svojom oblašću defiisaosti aziva se vektorsko polje. Defiicija: Vektorska liija stacioarog vektorskog polja je kriva liija čije tagete u svakoj svojoj tački imaju pravac vektora polja: A = P( x, y, z) i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z) k (aalitički izraz). Teorema: Da bi vektorsko polje zadato u oblasti G bilo soleoido, potrebo je i dovoljo da je protok kroz bilo koju zatvoreu površiu, koja pripada G, jedak uli ( div A = 0, gdje je A vektorsko polje). Postoje tri prostora izvoda: gradijet fukcije, divergecija vektora i rotor vektora. Defiicija: Divergecijom vektorskog polja A u tački M aziva se graiča vrijedost odosa protoka kroz površiu koja okružuje tačku M i zapremie oblasti ograičee tom površiom. Graiča vrijedost se određuje pri stezaju površi u tačku M : diva = lim V M S A V 0 ds Defiicija: Vektor čije su projekcije a ose: vektora A i ozačava simbolom rot A : rot A Az y i A 4 Ay A A A x z y Ax,, aziva se rotor z z x x y =. x y z Specijala vektorska polja (klasifikacija): soleoido polje ( div A = 0 ), bezvrtložo polje ( rot A = 0 ) i potecijalo polje ( A = gradϕ, skalara fukcija ϕ - potecijal vektorskog polja A ). Hamiltoov operator (operator abla) je simboliči vektor sa koordiatama (,, ). x y z Operator, koji se defiiše sa u = u aziva se Laplasov operator ili laplasija. Jedačia u = 0 aziva se Laplasova jedačia, a fukcija u, koja je zadovoljava, harmoijska fukcija. x j A y k A z
43 50. Gaussova ( Gree Gauss Ostrogradskog) teorema o divergeciji. Stokesova teorema. Posljedice i primjee Gaussove teoreme i Stokesove teoreme. Teorema (Gaussova): Protok vektorskog polja A kroz zatvoreu površiu jedak je trojom itegralu divergecije div A po oblasti koja je ograičea tom površiom: A 0dS = div AdV (vektorski oblik). ( S ) ( V ) Teorema Ostrogradskog: Ako je za vektorsku f-ju a ρ (r ρ ) egzistira površiski itegral po zatvoreoj površi S koja predstavlja graicu oblasti D i ako je div a ρ eprekida f-ja položaja u toj oblasti, tada je ρ ρ ρ a dσ = diva dd (D = mes D ). S D Teorema Stokesa: Cirkulacija vektora duž zatvoree koture jedaka je protoku rotora vektora kroz površ ograičeu tom koturom: A dr = rot A ds (vektorski oblik). ( l) ( S ) 0 5. Liijski itegrali eovisi o putu itegracije. /* Nisam proašao */