y = f(m) ili y = f(x 1, x 2,...,x n ). (1.1)

Glava 1 Teorija polja U matematičkoj teoriji polja 1 ne izučava se fizički smisao neke veličine koja je zadata u datom polju. Izučavaju se samo opšta svojstva polja koja se kasnije, u fizici i drugim oblastima, primenjuje na konkretna fizička polja. Konkretna polja izučavaju se u različitim delovima fizike, dok će se u ovoj knjizi navesti samo neki primeri da bi (ilustrovali) pomogli u razumevanju izložene teorije. 1.1 Skalarno polje Posmatrajmo skup D tačaka n dimenzionalnog Euklikog prostora E n. Ako se svakoj tački M(x 1, x 2,...,x n ) D, prema odre - denom zakonu, dodeli (korespondira) jedan broj (realan ili kompleksan) y, tada kažemo da je odre - dena (definisana) skalarna (realna ili kompleksna) funkcija y od n nezavisno promenljivih i pišemo: y f(m) ili y f(x 1, x 2,...,x n ). (1.1) Koordinate (x 1, x 2,..., x n ) tačke M zovemo nezavisno promenljive, a skup D oblast definisanosti (domen) funkcije tačke f. Me - dutim, u fizici i nekim prirodnim naukama, kao i u tehnici, koristi se pojam polje - da označi deo prostora (oblast) u kome se posmatra ( oseća ) neka fizička pojava. Dakle, pod pojmom skalarno polje, matematički govoreći, podrazumevamo oblast definisanosti skalarne funkcije. U daljem tekstu koristićemo pojam polje umesto - domen, pa prethodno možemo da izrazimo i na sledeći način: ako funkcija f pridružuje svakoj tački iz D skalar (realni ili kompleksni broj), tada kažemo da je skalarno polje dato u D. Napomenimo da vrednost funkcije zavisi samo od tačaka u prostoru, a ne i od posebno izabranog koordinatnog sistema. Treba, dakle, imati stalno na umu da vrednost funkcije f u bilo kojoj tački M D ne zavisi od posebno izabranog koordinatnog sistema. Da bismo istakli tu činjenicu, tako - de je uobičajeno označavanje f(m) umesto f(x 1,...,x n ), što je i iskorišćeno pri pisanju relacije (1.1). Kada je funkcija izražena preko koordinata, kažemo da je data u analitičkom obliku. Kao primere skalarnih polja navedimo sledeće: temperatura, masa, gustina mase, električno naelektrisanje, pritisak, itd. Kako jedna od promenljivih može da bude i vreme t, to ćemo ono skalarno polje koje ne zavisi (eksplicitno) od vremena nazivati stacionarno polje. 1 U matematici se pojam polje koristi i za algebarsku strukturu koju čine skup i dve operacije sa odre - denim osobinama, kao što je na primer skup realnih brojeva sa operacijama sabiranje i množenje. 1

Definicija. Geometrijsko mesto tačaka u kojima funkcija f(m) f(x 1, x 2, x 3 ) ima konstantnu vrednost C: f(m) f(x 1, x 2, x 3 ) C, (1.2) zovemo ekviskalarna površ skalarnog polja. Definicija. Geometrijsko mesto tačaka u kojima funkcija f(m) f(x 1, x 2 ) ima konstantnu vrednost C: f(m) f(x 1, x 2 ) C, (1.3) zovemo ekviskalarna linija skalarnog polja. 1.1.1 Izvod funkcije u pravcu. Gradijent Primena matematičke analize na proučavanje skalarnog polja f(m) omogućava da se opišu njegove lokalne osobine, tj. promene f(m) pri prelasku od tačke M u njoj blisku tačku N. Posmatrajmo neko skalarno polje zadato funkcijom f(x, y, z) f(m), u odnosu na pravougli Dekartov koordinatni sistem. Poznato je da prvi parcijalni izvod skalarne funkcije f pretavlja brzinu njene promene u pravcima koordinatnih osa. Me - dutim, neprirodno je ograničiti se samo na ta tri (u 3 D prostoru) pravca. Proširenje te ideje na promenu u bilo kom pravcu dovodi do uvo - denja pojma: izvod (skalarne) funkcije u pravcu. Da bismo našli ovaj izvod, posmatrajmo neku tačku M prostora i pravac, kroz ovu tačku, odre - den jediničnim vektorom e. Neka je C zrak od tačke M, u pravcu e i neka je N tačka na zraku C, pri čemu je rastojanje izme - du M i N označeno sa s (sl. 1.1) a razlika funkcije f u tačkama M i N sa f f(n) f(m). MN se, (1.4) Slika 1.1: Definicija. Ako limes: f(n) f(m) f lim lim s 0 s s 0 s, (1.5) postoji, tad ga zovemo izvod funkcije f, u tački M, u pravcu e, i označavamo sa De f df. 2

Jasno je da on pretavlja brzinu promene funkcije f, u tački M, u pravcu e. Obe oznake, De f ili df/, su uobičajene, mada je De f pogodnija, jer ukazuje na pravac promene. Izvod funkcije u pravcu, kao što se vidi iz definicije (1.5), ne zavisi od izbora koordinatnog sistema. Me - dutim, da bismo izračunali konkretne vrednosti tih izvoda, posmatraćemo ih u odnosu na, recimo Dekartov pravougli koordinatni sistem i pretavićemo f(m) kao funkciju f(x, y, z). U tom cilju potražićemo promenu funkcije f pri prelasku iz tačke M(x, y, z), koja pripada tom polju, u blisku tačku N(x + x, y + y, z + z) istog polja, a sa pravca e. Dalje, na osnovu definicije parcijalnog izvoda skalarne funkcije, recimo po x, imamo: f x lim f(x + x, y, z) f(x, y, z) f x lim x 0 x x 0 x, (1.6) odakle, za diferencijabilnu funkciju, možemo da napišemo: f x f x x + δ x x, gde δ x 0 kada x 0. (1.7) Na isti način dobijamo i za preostala dva priraštaja f y i f z, pa ukupan priraštaj funkcije f možemo da napišemo u obliku: f f(n) f(m) f f f x + y + x y z z + δ x x + δ y y + δ z z. (1.8) Dalje, kako je s, u pravouglim Dekartovim koordinatama: s x 2 + y 2 + z 2, (1.9) to s 0, kada istovremeno x 0, y 0 i z 0. Odavde, prema slici 1.2, imamo: x s cosα, Slika 1.2: y s cosβ, i po analogiji z cosγ, (1.10) s gde su α, β i γ uglovi koje vektor MN zaklapa sa pozitivnim smerovima koordinatnih osa x, y i z, respektivno. 3

Dakle, izvod skalarne funkcije f u pravcu e, može da se pretavi i na sledeći način df lim f s 0 lim s 0 f x s f x f f x + y + y z z + δ x x + δ y y + δ z z s f f cosα + cosβ + y z cosγ. (1.11) Napomenimo da se u literaturi koristi i oznaka f za ovaj izvod. s Do izvoda u pravcu može da se dode - i na sledeći način. Ako je M(a, b, c) tačka u kojoj tražimo izvod, a N(x, y, z) bilo koja tačka na pravcu e, a r M i r vektori položaja tačaka M i N, respektivno, i (sl. 1.3) s MN, r r M + s e, onda je x a + s cosα, y b + s cosβ, z c + s cosγ. (1.12) Tada za izvod u pravcu e imamo Slika 1.3: Def df lim f(n) f(m) N M s f(r) f(r M ) lim s 0 s lim s 0 f(r M + se) f(r M ). s Razvijajući u red funkciju f(n), u okolini tačke M(a, b, c) i koristeći (1.12), dobijamo: f(n) f(x, y, z) f(a + s cosα, b + s cosβ, c + s cosγ) (1.13) f(m) + 1 f 1! x cosα + f M y cosβ + f ) M z cosγ s + δ(n) s, M pri čemu je lim N M δ(n) 0, odakle sledi: f(n) f(m) s (1.14) f x cosα + f M y cosβ + f M z cosγ + δ(n), M 4

odnosno: Def df lim f(n) f(m) s 0 s f x f f cosα + cosβ + y z cosγ f x cosα + f y cosβ + f z cosγ. (1.15) Dakle, isto kao i relacija (1.11). Kako kroz neku tačku prolazi beskonačno pravaca, to možemo da na - demo beskonačan broj izvoda u tim pravcima. Me - dutim, ako posmatramo neki koordinatni sistem, recimo pravougli Dekartov, možemo bilo koji od tih izvoda da izrazimo preko prvih parcijalnih izvoda funkcije f u tački M i na sledeći način. Neka je tačka M odre - dena vektorom položaja r M i pretpostavimo da je e jedinični vektor. Neka kroz tačku M prolazi linija C, koju možemo da pretavimo u sledećem obliku: r(s) x(s)i + y(s)j + z(s)k r M + se (s 0, e 1), (1.16) gde je r(s) vektor položaja, koji zavisi od parametra s (dužina luka). Posmatrajmo izvod funkcije f duž krive C, tada je De f df izvod funkcije f[x(s), y(s), z(s)] koji zavisi od dužine luka s. Slika 1.4: Prema tome, pretpostavljajući da f ima neprekidne prve parcijalne izvode, a primenom pravila o izvodu složene funkcije, dobijamo: De f df f x dx + f y dy + f z dz gde ( ) označava izvod po parametru s. Diferencirajući vektorsku funkciju r(s), iz (1.16) dobijamo 2 : 2 Neka je kriva C data u parametarskom obliku gde luk krive s pretavlja parametar. Tada je f x x + f x y + f x z, (1.17) r dr x i + y j + z k e( t). (1.18) r(s) x(s)i + y(s)j + z(s)k, dr dx i + dy j + dy k t( e) gde je t vektor pravca tangente u tački na krivoj C, jediničnog intenziteta, jer je ( ) dr dx 2 ( ) dy 2 ( ) dz 2 t dx 2 + dy 2 + dz 2 + + 2 1. 5

Dakle, u ovom slučaju e ima pravac tangente kao što je poznato iz diferencijalne geometrije. Definicija. Relacije (1.17) i (1.18) navode nas da uvedemo vektor definisan relacijom: koji se naziva gradijent skalarne funkcije f. gradf f x i + f y j + f k. (1.19) z Kako je gradijent skalarne funkcije vektorska veličina, to je za ovaj vektor: ( f ) 2 ( ) 2 ( ) 2 f f intenzitet: gradf + +, (1.20) x y z pravac: cosα f/ x f/ y f/ z, cosβ, cosγ gradf gradf gradf. (1.21) Sada možemo izvod u pravcu da pretavimo u obliku skalarnog (unutrašnjeg) proizvoda: odnosno projekciju gradijenta na vektor e De f df e gradf. (1.22) df proj e gradf gradf cosϕ, (1.23) gde je ϕ ugao izme - du gradf i e. Iz ove definicije sledi da je df/ maksimalno kada je cosϕ 1 ϕ 0. Dakle, skalarno polje najbrže se menja u pravcu gradijenta, tj. gradijent odre - duje pravac u kome se skalarno polje najbrže menja. Slika 1.5: U specijalnom slučaju, kada se izvod traži u pravcu +Ox ose, tade je ei, dobijamo: f D i f i gradf i x i + f y j + f ) z k f f i i x x, (1.24) jer je i ji k0. Teorema 1 Neka je f(m) f(x, y, z) skalarna funkcija, čiji su prvi parcijalni izvodi neprekidne funkcije. Tada postoji vektor grad f čiji intenzitet i pravac ne zavise od izbora koordinatnog sistema u prostoru. Ako u tački M gradf nije jednak nuli, tada on ima pravac maksimalnog povećanja funkcije f u tački M. 6

Ovu teoremu ćemo da dokažemo kasnije. Slika 1.6: Teorema 2 Neka je gradijent funkcije u f(x, y, z), u tački M različit od nule. Tada je on upravan 3 na svaku liniju s, koja prolazi kroz tačku M, a leži u ekviskalarnoj površi f const. Dokaz. Posmatrajmo liniju s, koja prolazi kroz tačku M, a leži na površi f const. (sl. 1.6). Kako funkcija ne menja svoju vrednost, kada se tačka kreće duž krive s (jer leži na f const.), to je df 0. Kako je, s druge strane, izvod funkcije duž luka s (1.23) D e f df e gradf gradf cos(gradf,e) 0, to, uz pretpostavku da je gradf 0, dobijamo cosϕ 0 (sl. 1.5). Dakle, kako je e jedinični vektor tangente, sledi da je gradijent upravan na ekviskalarnu površ. Izvod funkcije f u pravcu tangente t (t je jedinični vektor tangente na krivu C, u tački M) po definiciji je, prema (1.23): Odavde dobijamo: ( dx dy dz i + j + k D t f df t gradf (1.25) ) ( ) f f f i + j + x y z k dr gradf. df dr gradf. (1.26) Dakle, kada je skalarna funkcija diferencijabilna, tada je njen totalni diferencijal jednak skalarnom proizvodu gradijenta funkcije i diferencijala vektora položaja. Ovo nam ukazuje na jedan od načina kako da izračunamo gradijent funkcije. Naime, kada diferencijal funkcije može da se pretavi kao skalarni proizvod dva vektora, od kojih je jedan dr, tada je drugi činilac jednak gradijentu funkcije. 1.1.2 Parcijalni gradijent skalarne funkcije Posmatrajmo neku skalarnu funkciju f koja zavisi od dva vektora u i v: f f(u, v), (1.27) 3 Pod upravan na liniju u tački M podrazumevamo da je upravan na tangentnu ravan, koja prolazi kroz M. 7

pri čemu ova dva vektora možemo da pretavimo, u odnosu na pravougli Dekartov koordinatni sistem, u obliku: u u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3, v v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3. Polje ove funkcije odre - deno je tačkama U i V, koje pretavljaju krajeve vektora u i v. Pretpostavimo da je vektor v konstantan i potražimo gradijent ovako dobijene funkcije, prema (1.19) grad u f(u, v) f u 1 e 1 + f u 2 e 2 + f u 3 e 3, (1.28) koji se zove parcijalni (delimični) gradijent skalarne funkcije f, po vektoru u. Na sličan način definišemo parcijalni gradijent i po drugom vektoru. Tako - de, ovu definiciju možemo da proširimo i na proizvoljan, ali konačan, broj vektora. U tom slučaju bi se uzeli za konstantne svi vektori, osim jednog. 1.1.3 Osobine gradijenta a) grad C 0 (C const.), b) grad (U+V )grad U+grad V, gde je U U(M), V V (M), c) grad (U V )V grad U+U grad V, d) grad (CU)C grad U, Cconst., e) grad (U/V )(1/V 2 )(V grad U-U grad V ), f) grad f(u) f U grad U. Dokaz. Na osnovu ovih osobina vidimo da važi: grad(c 1 U 1 + C 2 U 2 ) C 1 gradu 1 + C 2 gradu 2. (1.29) Operatore koji imaju ovu osobinu, zovemo linearni operator. Dakle, gradijent je linearan operator. a) b) gradc z k C C x i + C y j + C z k 0 + 0 + 0 0. grad(u + V ) z k (U + V ) (U + V ) x U x i + U i + (U + V ) y y j + U z k + V x i + y j + z k gradu + gradv. j + (U + V ) k z x i + V y j + V ) U + z k x i + y j + z k ) V 8

c) grad(u V ) z k (U V ) (U V ) x U i + (U V ) y j + (U V ) k z V j V + U V i V + U x x i + U y z k U V + U gradu V + U gradv. Za vežbu pokazati da važe i preostale tri osobina gradijenta. 1.1.4 Nabla operator ili Hamiltonov operator y j + U V k V + U z z k z k V Uvodeći diferencijalni operator, koji nazivamo nabla 4 ili Hamiltonov 5, definisan sa gradijent funkcije f može da se pretavi u obliku x i + y j + k, (1.30) z gradf f f x i + f y j + f z Oznaka f, za gradijent, koristi se veoma često u tehnici. Osobine nabla operatora k. (1.31) Neka su f i g skalarne funkcije, a a i b vektorske funkcije, tada osobine nabla operatora možemo da izrazimo na sledeći način: a) (f g) g f + f g, b) (fa) ( f) a + f ( a), c) (fa) ( f) a + f ( a), d) (a b) a ( b) + b ( a), e) (a b) a ( b) + b ( a) + (a )b + (b )a. 6 f) (a b) (b )a b( a) (a )b + a( b). 4 Po hebrejskom slovu koje se koristi kao oznaka za ovaj operator. 5 William Rowan Hamilton (1805-1865), irski matematičar, poznat po svom radu u dinamici. 6 Napomenimo da je a a x x + ay y + az z 9

1.1.5 Laplasov ili delta operator Definišimo sada operator, skalarne prirode, na sledeći način: 2 z k z k (1.32) 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2. Simbol - - delta, zovemo Laplasov operator 7 ili Laplasijan. 7 Pierre Simon Marquis De Laplace (1749-1827), veliki francuski matematičar. Postavio je osnove teorije potencijala i dao je veliki doprinos u mehanici, astronomiji, kao i u oblasti specijalnih funkcija i teoriji verovatnoće. Interesantno je napomenuti da je njegov učenik bio i Napoleon Bonaparta, jednu godinu. 10