Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας"

Transcript

1 Σχεδιαµός, Μεθοδολογία και Λογιµικό Παρακολούθηης Συγκλίεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαιίας Κ. ΛΑΚΑΚΗΣ Λέκτορας Α.Π.Θ Σ. Π. ΧΑΛΙΜΟΥΡ ΑΣ Υπ. ιδάκτωρ Α.Π.Θ Π. ΣΑΒΒΑΪ ΗΣ Καθηγητής Α.Π.Θ. Περίληψη Στην εργαία αυτή περιγράφεται ένα ολοκληρωµένο ύτηµα χεδιαµός, µεθοδολογία και λογιµικό εφαρµογής παρακολούθηης των υγκλίεων ε ήραγγες, το οποίο µε κάποιες µικρές τροποποιήεις µπορεί να αναφέρεται ε όλη τη γεωµετρία της κατακευής. Επιχειρείται να παρουιατεί ένα ύνολο οδηγιών και διαδικαιών για την αξιόπιτη παρακολούθηη των ηµαντικών για την «υγεία» της κατακευής, υγκλίεων. Επιπροθέτως και λόγω της εφαρµοµένης εναχόληης ε διάφορες περιπτώεις ηράγγων της «Εγνατίας Οδός Α.Ε.» παρουιάζεται ε ειαγωγικό τάδιο το νέο λογιµικό πακέτο Tuel-Eye. Το λογιµικό αυτό επιχειρεί να δώει αξιόπιτη, αυτοµατοποιηµένη και φιλική το χρήτη απάντηη τις καθηµερινές ανάγκες για την παρακολούθηη της γεωµετρικής υµπεριφοράς της ήραγγας κυρίως τη φάη της κατακευής. Σε πολλές περιπτώεις λόγω της αάφειας των γεωλογικών υνθηκών η γεωµηχανική (γεωµετρική-τοπογραφική και γεωτεχνική γενικότερα παρακολούθηη τείνει να γίνει οδηγός περιότερο και από τη µελέτη της ήραγγας - για όλο τον κύκλο εργαιών κατακευής του έργου, ενός είδους έργου ιδιαίτερα υψηλού κότους και ρίκου.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το Εργατήριο Γεωδαιίας και Γεωµατικής του Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Α.Π.Θ. και το προωπικό του µέα από την πολυετή εναχόληή του µε την παρακολούθηη παραµορφώεων των κατακευών, πρανών ή κατολιθήεων επιχειρεί να παρουιάει την εργαία αυτή µια ολοκληρωµένη πρόταη για την παρακολούθηη της ανά διατοµή ακτινικής µεταβολής της γεωµετρίας (υγκλίεις ηράγγων κυρίως τη φάη της κατακευής τους. Η βαική θεώρηη της εργαίας είναι η ολοκληρωµένη αντιµετώπιη του προβλήµατος, ξεκινώντας από το χεδιαµό των ικτύων Παρακολούθηης και Ελέγχου και καταλήγοντας το Λογιµικό επεξεργαίας και διαχείριης των δεδοµένων και αποτελεµάτων. Στόχος είναι η περιγραφή µιας εφαρµοµένης και πρωτότυπης (βελτιωµένης µεθοδολογίας για την παραγωγή επεξεργαµένης γεωµετρικής πληροφορίας προερχόµενης από γεωδαιτικά δεδοµένα, την οποία θα χρηιµοποιήουν τη υνέχεια γεωτεχνικοί και δοµοτατικοί µηχανικοί µε τόχο την αντιµετώπιη προβληµάτων «τήριξης µιας ήραγγας». Το εξαγόµενο της όλης µεθοδολογίας είναι οι ακτινικά µεταβαλλόµενες ως προς το κέντρο βάρους της κατακευαµένης διατοµής της ήραγγας γεωµετρικές διαφορές (από µέτρηη ε µέτρηη, οι οποίες ως γνωτόν ονοµάζονται υγκλίεις. Για να ικανοποιηθεί ο τόχος της µεθοδολογίας που περιλαµβάνει και τον όρο εφαρµοµένη, έγινε µια προπάθεια να έχουµε µια χετικά «εύκολα» εφαρµόιµη µεθοδολογία, η οποία όµως να µην περιέχει καµία έκπτωη ως προς την ακρίβεια και αξιοπιτία του αποτελέµατος (χετική από µέτρηη ε µέτρηη - ακρίβεια προδιοριµού του µεγέθους των υγκλίεων. Έτι έγιναν κάποιες παραδοχές και ελήφθηαν υπόψη κατακευατικές πρακτικές. Λαµβάνοντας υπόψη την αύξηη την κατακευή υπογείων έργων που παρατηρείται παγκοµίως, έχουν αναπτυχθεί για την κάλυψη του θέµατος διάφορες τεχνικές, οι οποίες βαίζονται τις ίδιες γνωτές µεθόδους τριδιάτατης υνόρθωης για µετρήεις µε GPS, διδιάτατης για τις κλαικές µετρήεις µε γεωδαιτικό ταθµό και µονοδιάτατης για την υψοµετρία. Η διαφοροποίηη που υνήθως παρατηρείται είναι εάν τις µετρήεις το εωτερικό της ήραγγας υλοποιείται κλειτή εξαρτηµένη όδευη υνορθούµενη ή όχι ή χρηιµοποιείται η µέθοδος του ελεύθερου ταθµού. Η µέθοδος του ελεύθερου ταθµού (free stto καθιερώθηκε παγκοµίως και τα πλαίια της µεθόδου ΝΑΤΜ (ew Austr Tuelg Method [] και θα πρέπει να αναφέρουµε ότι κερδίζει υνεχώς έδαφος και τα ελληνικά έργα. Στην παρούα εργαία προτείνεται επίης µια προπάθεια βελτίωης των µεθόδων παρακολούθηης υγκλίεων ηράγγων µέα από τη βελτίωη της διαδικαίας οριµού του κάθετου επιπέδου προβολής των ανά διατοµή µετρήεων, χρηιµοποιώντας ως άξονα του έργου όχι το θεωρητικό (της µελέτης που υλοποιείται τη χάραξη, αλλά αυτόν που κάθε φορά υπολογίζεται από τα κέντρα βάρους των µετρήεων των διατοµών, όπως αυτές έχουν διαµορφωθεί τη χρονική περίοδο των µετρήεων. Τέλος, παρουιάζεται ε ειαγωγικό επίπεδο το αντίτοιχο

2 ολοκληρωµένο πακέτο λογιµικού Tuel-Eye, το οποίο έχει αναπτυχθεί από το Εργατήριο Γεωδαιίας και Γεωµατικής του Α.Π.Θ.. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ x,y,h o : οι υντεταγµένες του ηµείου Ρ το τοπικό ύτηµα αναφοράς δ θ : η οριζόντια διεύθυνη προς το ηµείο : η ταθερά προανατολιµού το ηµείο Ρ ω : η οριζόντια γωνία µε κορυφή το ηµείο Ρ, αριτερό ηµείο και δεξιό ζ S ρ : η ζενίθια γωνία από το Ρ προς το : η οριζόντια απόταη Ρ, : η κεκλιµένη απόταη Ρ, δ, ω, ζ, ρ : οι παρατηρήεις των αντιτοίχων µεγεθών Dr Dh : οριζόντια µετατόπιη : κατακόρυφη µετατόπιη 3. ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΙΚΤΥΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ Η αντιµετώπιη του προβλήµατος της παρακολούθηης των υγκλίεων τις ήραγγες αναφέρεται ε ένα τοπικό, κλειτό και ενιαίο χωρικό ύτηµα που περιλαµβάνει και επιφανειακές και εωτερικά της ήραγγας µετρήεις. Το όλο ύτηµα θα πρέπει να αποτελείται από το Τριγωνοµετρικό ίκτυο Ελέγχου, το ίκτυο Ελέγχου Επιφανείας, τις τάεις οργάνου (όδευης ή ελεύθερου ταθµού εντός της ήραγγας και τα ηµεία ελέγχου εντός της ήραγγας (µάρτυρες []. Σε όλες τις περιπτώεις µιλούµε για τριδιάτατο προδιοριµό θέης.. Τριγωνοµετρικό ίκτυο Ελέγχου (Τ Ε Το Τ Ε εγκαθίταται ε ταθερό κατά το δυνατό γεωλογικά έδαφος και πρέπει να περιβάλλει την περιοχή επίδραης της κατακευής της ήραγγας. Το µήκος κάθε βάης δεν πρέπει να ξεπερνά τα 5 χιλιόµετρα και η διαφορά υψοµέτρου θα πρέπει να είναι µικρότερη των 5 m. Η υλοποίηή του γίνεται µε ειδικά βάθρα διπλών ωλήνων ύψους,3 -,5 m από το έδαφος, βάθους πάκτωης τουλάχιτον, m και εξαναγκαµένης κέντρωης. Μεταξύ των δύο ωλήνων του βάθρου, οι οποίοι είναι από κυρόδεµα, τοποθετείται µονωτικό υλικό (π.χ. υαλοβάµβακας πλάτους 5- cm τουλάχιτον [].. ίκτυο Ελέγχου Επιφανείας ( ΕΕ Το ΕΕ εγκαθίταται ε όλη την περιοχή επίδραης της κατακευής της ήραγγας και ο χεδιαµός του έχει κάποια υγκεκριµένα χαρακτηριτικά που είναι τα εξής: Τα ηµεία του ΕΕ την περιοχή πάνω από τη ήραγγα θα πρέπει να υλοποιούν διατοµές τουλάχιτον 3 ηµείων/κλάδο, ανά ένα χιλιόµετρο το µέγιτο. Το µεαίο ηµείο της κάθε τριάδας θα πρέπει να υλοποιεί επιφανειακά τον άξονα κάθε κλάδου της ήραγγας. Εφόον κριθεί απαραίτητο, είναι δυνατό να δηµιουργηθεί πυκνότερο επιφανειακό δίκτυο πάνω από τη ήραγγα για την παρακολούθηη τοπικών καθιζήεων. Η υλοποίηη των ηµείων του ΕΕ µπορεί να είναι η ίδια µε αυτή του Τ Ε. Γενική απαίτηη είναι δύο από τα ηµεία του ΕΕ να εγκαθίταται ε περίοπτη θέη εµπρός της ειόδου και της εξόδου της ήραγγας έχοντας οπτική επαφή µε τουλάχιτον 6-7 ηµεία των Τ Ε και ΕΕ. 3. Όδευη Στην περίπτωη που χρηιµοποιηθεί όδευη για την υλοποίηη και τον προδιοριµό θέης τάεων οργάνου εωτερικά της ήραγγας, τότε θα πρέπει κάθε κορυφή της να ηµαίνεται ε απόταη τουλάχιτον,5 m από τα πλάγια τοιχώµατα αυτής λόγω των φαινοµένων διάθλαης που παρατηρούνται εωτερικά της ήραγγας. Οι κορυφές της όδευης (τάεις θα τοποθετούνται ε εγκιβωτιµένη το δάπεδο βάη διατάεων τουλάχιτον,5 m Χ,5 m µε εξαναγκαµένη κέντρωη, οπότε θα µπορούαν να αποτελούν δίκτυο ελέγχου µικροµετακινήεων του εδάφους. Επίης, µπορούν να τοποθετούνται τα πλάγια ή άνω τοιχώµατα της ήραγγας ε ειδικές µεταλλικές εγκατατάεις, οι οποίες έχουν τη δυνατότητα άνετης πρόβαης και αντοχής το βάρος (όπου χρειάζεται τουλάχιτον του παρατηρητή. 4. Μάρτυρες Οι µάρτυρες (τόχοι - κάτοπτρα τοποθετούνται ε διατοµές το εωτερικό της ήραγγας ανά m τουλάχιτον και θα πρέπει να υπάρχουν 5 ή περιότεροι ανά διατοµή. Σε κάθε διατοµή η τοποθέτηη των µαρτύρων ακολουθεί υγκεκριµένη διάταξη, η οποία είναι την περιοχή της βάης εκατέρωθεν, µάρτυρας την κορυφή της διατοµής και οι υπόλοιποι δύο ενδιάµεα. Σε περίπτωη που κριθεί απαραίτητο από την εξέλιξη του φαινοµένου, τότε οι µάρτυρες θα µπορούαν να γίνουν 7 ή και περιότεροι και να τοποθετούνται υµµετρικά και µε βάη τη γεωµετρική κατά µέο παρεµβολή των ήδη εγκατατηµένων.

3 3 4. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Για κάθε υπούτηµα-δίκτυο µετρήεων θα πρέπει να καταρτίζεται πρόγραµµα µετρήεων, το οποίο ανά περίπτωη θα έχει τα ακόλουθα χαρακτηριτικά [3]:. Η απαιτούµενη ακρίβεια των αποτελεµάτων των µετρήεων, καθώς και ο ρυθµός επαναµετρήεων είναι υνάρτηη της φύης του γεωλογικού φαινοµένου που προκαλεί τις υγκλίεις. Απαιτείται λοιπόν η υνεργαία µε τη γεωλογική-γεωτεχνική οµάδα, που παρακολουθεί τη ήραγγα. Γενικά πάντως θα πρέπει να υπάρχει δυνατότητα για ακρίβεια προδιοριµού χετικής (ανά περίοδο µετρήεων µεταβολής θέης των µαρτύρων εωτερικά της ήραγγας καλύτερη των +/- 3 mm και τις τρεις διατάεις.. Η ανάγκη κατάρτιης προγράµµατος υνεχών επαναµετρήεων και επιλύεων των ηµείων του ΕΕ είναι επιβεβληµένη. Το πρόγραµµα αυτό θα πρέπει να είναι το ίδιο µε το πρόγραµµα που θα αφορά τις µετρήεις µαρτύρων εωτερικά της ήραγγας. Γενικά θα πρέπει να υπάρχει δυνατότητα για ακρίβεια προδιοριµού χετικής (ανά περίοδο µετρήεων µεταβολής θέης των ηµείων του ΕΕ τουλάχιτον +/- 3 mm και τις τρεις διατάεις. 3. Το Τ Ε πρέπει και αυτό να επαναµετράται µε βάη πρόγραµµα που θα αφορά τις γεωλογικές δυναµικές ιδιότητες των θέεων εγκατάταης, Επειδή, όπως έχουµε προαναφέρει, το Τ Ε εγκαθίταται ε ταθερό γεωλογικά χώρο, το πρόγραµµα ελέγχου του θα είναι ενδεικτικό και η επιλογή της αλλαγής κάποιου ηµείου του θα πρέπει να αποφεύγεται. Είναι λοιπόν ιδιαίτερα ηµαντική η αρχική επιλογή του χώρου εγκατάταης των ηµείων του Τ Ε. Όπως αναφέρθηκε, τη υγκεκριµένη εργαία περιγράφεται µια χετικά «εύκολα» εφαρµόιµη µεθοδολογία, η οποία όµως να µην περιέχει καµία έκπτωη ως προς την ακρίβεια και την αξιοπιτία του τελικού αποτελέµατος. Θα πρέπει λοιπόν να διευκρινιτεί ποιο είναι αυτό το αποτέλεµα. Το τελικό αποτέλεµα είναι οι, ανά περίοδο µετρήεων, διαφορές υντεταγµένων των τόχων ανά διατοµή εντός της ήραγγας. Η αντιµετώπιη της επίλυης των Τ Ε και ΕΕ και της µετάδοης των φαλµάτων τα τελικά αποτελέµατα δεν είναι η κλαική αντιµετώπιη ελαχιτοποίηης του φάλµατος. Αυτό που προτείνεται είναι η επιλογή µιας µεθοδολογίας, η οποία θα χρηιµοποιεί ταθερά ίδια όργανα, παρατηρητές και τύπο µετρήεων και επεξεργαίας, µε τόχο την παραγωγή ταθερά του ίδιου µεγέθους φάλµατος τις ανά χρονική περίοδο µετρήεων υντεταγµένες των µαρτύρων εντός της ήραγγας. Προφανώς αναµένεται τα τελικά αποτελέµατα, τα οποία όπως προαναφέρθηκε είναι διαφορές υντεταγµένων, το φάλµα αυτό να απαλείφεται. Αυτό λοιπόν που αναζητούµε είναι η διαχρονική ακρίβεια των µετρήεων. Επιδιωκόµενο είναι να αποδειχθεί ότι από περίοδο µέτρηης ε οποιαδήποτε άλλη επαναληπτική περίοδο µετρήεων το µέγεθος του φάλµατος (µέο τετραγωνικό τις υπολογιµένες τρεις υντεταγµένες και για κάθε µάρτυρα εντός της ήραγγας παραµένει ταθερό, µε διακύµανη τη ταθερότητά του +/- 3 mm. Με βάη την εµπειρία χετικά µε την µεθοδολογία των µετρήεων έτι όπως περιγράφεται την έκτη παράγραφο του παρόντος, ιχύει ότι τα ηµεία των Τ Ε και ΕΕ µπορούν να υπολογίζονται µε ακρίβεια +/- -3 mm και η διαχρονική τους διακύµανη µπορεί να είναι +/- - mm. Εποµένως, προτείνεται η διερεύνηη της ταθερότητας του υτήµατος από το επόµενο τάδιο της διαδικαίας που είναι η µέθοδος του «ελεύθερου ταθµού» και η ταχυµετρία για τον τελικό υπολογιµό των υντεταγµένων των µαρτύρων εωτερικά της ήραγγας. Ο νόµος µετάδοης των φαλµάτων τη γενική του µορφή για ένα µέγεθος S = f(l, l,, l δίδεται από τον παρακάτω τύπο [4]: m s = f f f ( m + ( m m l l l (4. Από την παραπάνω χέη εξάγεται το υµπέραµα ότι την περίπτωη των έµµεων ιοβαρών µετρήεων µπορούµε αφαλώς τέτοιες να θεωρήουµε τις επαναλαµβανόµενες το χρόνο µε τα ίδια χαρακτηριτικά µετρήεις - τα µεγέθη που λαµβάνονται υπόψη για τον υπολογιµό του µέου τετραγωνικού φάλµατος ενός εµµέως υπολογιζόµενου µεγέθους όπως οι τρεις υντεταγµένες των µαρτύρων εωτερικά της ήραγγας είναι τα άµεα µετρηµένα µεγέθη, η µαθηµατική χέη και το µέο τετραγωνικό φάλµα της κάθε µέτρηης. Θεωρητικά η όλη διαδικαία µπορεί να χωριτεί ε δύο ενότητες κατά τις οποίες, η πρώτη περιλαµβάνει τις µετρήεις που αφορούν τα δίκτυα Τ Ε και ΕΕ µε τη χρήη της δορυφορικής τεχνολογίας GPS και η δεύτερη περιλαµβάνει τη διαδικαία του «ελεύθερου ταθµού» για τον προδιοριµό των υντεταγµένων των µαρτύρων ανά περίοδο µετρήεων, χρηιµοποιώντας ως γνωτά ηµεία (µε γνωτές υντεταγµένες και πίνακα µεταβλητοτήτων - υµµεταβλητοτήτων τα ηµεία των Τ Ε και ΕΕ τα οποία αποτελούν τα αποτελέµατα της πρώτης ενότητας. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, προκύπτει µέα από την εµπειρία, ότι η ακρίβεια των αποτελεµάτων της πρώτης ενότητας µπορεί να είναι +/- -3 mm µε διαχρονική διακύµανη +/- - mm.. Στη δεύτερη ενότητα την οποία περιλαµβάνεται η χρήη γεωδαιτικού ταθµού υψηλής ακριβείας και κατάλληλοι τόχοι µε εξαναγκαµένη κέντρωη, µπορεί να θεωρηθεί αφαλής ο -pror ιχυριµός ότι η ακρίβεια, αλλά και η διαχρονική διακύµανή της διαδικαίας δε θα προθέει τη τελική διακύµανη της ακρίβειας των υντεταγµένων των µαρτύρων περιότερο από - mm. Προτείνεται λοιπόν ο ιχυριµός ότι η όλη διαδικαία µπορεί να αξιολογηθεί - pror µε µία ακρίβεια 3-4 mm και διαχρονική διακύµανη -3 mm., ποότητα η οποία όπως έχει αναφερθεί κυρίως ενδιαφέρει ε µια επαναλαµβανόµενη το χρόνο διαδικαία, όπως είναι η παρακολούθηη των υγκλίεων. Θα πρέπει φυικά να ηµειωθεί ότι θεωρείται χετικά ταθερό το περιβάλλον εργαίας εντός της ήραγγας, ότι τα παρατηρούµενα µεγέθη (γωνίες και αποτάεις δε

4 4 διαφέρουν ηµαντικά ανά περίοδο µετρήεων και ότι χρηιµοποιείται το ίδιο όργανο (βαθµονοµηµένο και ο ίδιος παρατηρητής. 5. ΟΡΓΑΝΑ - ΣΗΜΑΝΣΗ Τα όργανα µετρήεων και η ήµανη των µαρτύρων προδιορίζεται πάντα από τις ανάγκες ακριβείας προδιοριµού θέης και της χετικής µεταβολής της. Συνεπώς, πρέπει τα όργανα να είναι υψηλής ακρίβειας και οι µάρτυρες (κάτοπτρα τέτοιοι, ώτε να είναι υψηλής ακρίβειας, ανθεκτικοί και µε µόνιµη και εξαναγκαµένη κέντρωη. Τα όργανα και οι µάρτυρες που θα χρηιµοποιηθούν θα πρέπει να ικανοποιούν τις ακόλουθες απαιτήεις [3, 4]:. έκτες GPS µιας ή δύο υχνοτήτων, τουλάχιτον 8 καναλιών.. Γεωδαιτικοί ταθµοί υψηλής ακρίβειας µε γωνιακή ακρίβεια (δευτερολέπτου και ακρίβεια µέτρηης απόταης +/- (mm +/- ppm τα 3 Κm περίπου υπό κανονικές υνθήκες. 3. Μάρτυρες µε κάτοπτρα διπλής όψης, υψηλής ακρίβειας και οπτικής διακριτότητας, των οποίων η ήµανη πρέπει να είναι µόνιµη και η κέντρωη εξαναγκαµένη. Σηµαντικό επίης είναι να είναι ανθεκτικοί τις δύκολες κατατάεις εωτερικά της ήραγγας, όπως π.χ. ανθεκτικοί ε χτυπήµατα από διερχόµενα οχήµατα ή προωπικό. 6. ΜΕΘΟ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ Οι βαικές µεθοδολογίες προδιοριµού υντεταγµένων είναι οι κλαικές, µε τη ηµαντική διαφορά τον προδιοριµό των υντεταγµένων ηµείων τάης εωτερικά της ήραγγας, οι οποίες πρέπει και αυτές να είναι αποτέλεµα υνόρθωης. Η µεθοδολογία επίλυης των δικτύων Τ Ε και ΕΕ που προτείνεται προβλέπει καταρχήν την τριδιάτατη υνόρθωη ως ελεύθερου δικτύου υνολικά των ηµείων των δύο δικτύων και τη χρήη τοπικού υτήµατος αναφοράς παραγόµενου από τις µεταχηµατιµένες ΕΓΣΑ87 υντεταγµένες ε WGS84 τις δύο διατάεις (x,y και χρήη τη τρίτη διάταη z του ορθοµετρικού υψοµέτρου H προερχόµενου από το χωροταθµικό δίκτυο της ΓΥΣ. Αυτό θα επιτευχθεί χρηιµοποιώντας τουλάχιτον ένα τριγωνοµετρικό ηµείο της ΓΥΣ τα πλαίια του χεδιαµού του Τ Ε. Η επίλυη αυτή θα χρηιµοποιηθεί ως µηδενική µέτρηη, ενώ για οποιαδήποτε ειρά µετρήεων προτείνεται να επαναλαµβάνεται η ίδια διαδικαία και τα αποτελέµατα να µεταχηµατίζονται µε µεταχηµατιµό οµοιότητας το αρχικό ύτηµα αναφοράς της µηδενικής µέτρηης. Ως τελικά αποτελέµατα των υνορθώεων µπορούν να χρηιµοποιούνται είτε οι x, y ε WGS84 και H ΓΥΣ, ή µεταχηµατίζουµε τις x, y του WGS84 ξανά ε ΕΓΣΑ87 και έχουµε υντεταγµένες τις τρεις διατάεις ε ΕΓΣΑ87 και H ΓΥΣ της ίδιας ακρίβειας µε τα ειερχόµενα την επεξεργαία δεδοµένα που όριαν καταρχήν το τοπικό ύτηµα υντεταγµένων. Έτι, έχουµε ένα κλειτό ύτηµα, το οποίο µε βάη εκτεταµένη πρακτική εµπειρία µπορεί να επιτύχει ακρίβεια τις τρεις υντεταγµένες x, y και H o, +/- -3 mm. και διακύµανη - mm. 6. Μέθοδος αναφορικά µε το Τριγωνοµετρικό ίκτυο Ελέγχου και το ίκτυο Ελέγχου Επιφανείας Κλαική τριδιάτατη υνόρθωη ελεύθερου τριγωνοµετρικού δικτύου. Συνήθως χρηιµοποιείται και προτείνεται εδώ η τεχνολογία των δορυφορικών υτηµάτων προδιοριµού θέης, όπως το GPS και η τεχνική του Στατικού ιαφορικού Προδιοριµού Θέης (sttc DGPS. Η παραµονή του κάθε δέκτη ε κάθε ηµείο πρέπει να είναι τουλάχιτον 6 λεπτών µε περίοδο µέτρηης ανά 5 δευτερόλεπτα. 6. Μέθοδοι αναφορικά µε τα ηµεία τάης εωτερικά της ήραγγας Οι επικρατέτερες µέθοδοι για τον προδιοριµό της τριδιάτατης θέης των ηµείων τάης του οργάνου (γεωδαιτικός ταθµός εωτερικά της ήραγγας είναι η µέθοδος της κλειτής εξαρτηµένης και προανατολιµένης όδευης και η µέθοδος του ελεύθερου ταθµού που προτείνεται την παρούα εργαία. 6.. Μέθοδος Ελεύθερου Σταθµού Η µέθοδος αυτή βαίζεται τη γνωτή µέθοδο της Πολλαπλής Οπιθοτοµίας και έχει τα παρακάτω χαρακτηριτικά: Το άγνωτο ηµείο είναι η τάη του οργάνου εωτερικά της ήραγγας και τα γνωτά είναι κάθε φορά οι ήδη προδιοριµένοι τις τρεις διατάεις µάρτυρες. Εξαίρεη αποτελεί η µέτρηη ειόδου τη ήραγγα, όπου ως οπιθοτοµικά (γνωτά ηµεία χρηιµοποιούνται τα ηµεία των ΕΕ και Τ Ε. Κάθε ειρά µετρήεων ξεκινά έξω από τη ήραγγα και µε βάη τα ηµεία των Τ Ε και ΕΕ. Επαναπροδιορίζονται οι υντεταγµένες των µαρτύρων που έχουν ήδη ηµανθεί και έτι προχωρούµε τις επόµενες διατοµές. Σε περιπτώεις που βρικόµατε τη φάη της κατακευής της ήραγγας και τµήµα της έχει ιορροπήει και δεν παρατηρούνται µικροµετακινήεις µπορούµε (µε επιφύλαξη να ξεκινούµε τις µετρήεις από τις διατοµές που θεωρούνται ταθερές. Σκόπιµο είναι και τις περιπτώεις αυτές, ανά διατήµατα να ελέγχουµε το «ταθερό» τµήµα µε µετρήεις που θα ξεκινούν από τα ηµεία ΕΕ και Τ Ε. Πρέπει να περιλαµβάνει τριδιάτατη υνόρθωη µε βάη τις εξιώεις παρατηρήεων όπως περιγράφεται το επόµενο κεφάλαιο και γι αυτό είναι απαραίτητη η κόπευη ε 6-7 τουλάχιτον γνωτά

5 5 ηµεία, εφόον µιλούµε για τριδιάτατο προδιοριµό θέης. 7. ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΗΣ ΟΠΙΣΘΟΤΟΜΙΑΣ Το πρόβληµα της πολλαπλής οπιθοτοµίας διατυπώνεται ως εξής: από ένα ηµείο P (το οπιθοτοµικό ηµείο έγιναν παρατηρήεις (διευθύνεων, οριζοντίων γωνιών, ζενίθιων γωνιών ή και πλευρών προς m ηµεία µε γνωτές υντεταγµένες (όπου m>3. Ζητούνται οι υντεταγµένες (x,y,z του ηµείου P. Επειδή οι παρατηρήεις είναι πάντοτε περιότερες από τον αριθµό των αγνώτων (τις υντεταγµένες x,y,z του ηµείου P και τη ταθερά προανατολιµού θ της ειράς διευθύνεων, αν µετρήθηκαν διευθύνεις θα λύουµε το παραπάνω πρόβληµα µε την εφαρµογή της µεθόδου των ελαχίτων τετραγώνων και ειδικότερα, µε τη µέθοδο των εξιώεων παρατηρήεων [5],[6]. Οι µορφές παρατήρηης που µπορούν να γίνουν από το οπιθοτοµικό ηµείο P προς τα γνωτά ηµεία, υνδέονται µε τις υντεταγµένες x, y, z µε τη βοήθεια των χέεων: x δ =rct - θ (7. y x ω =rct y x - rct y + y S = ( ( (7. x (7.3 ρ = ( ( ( ζ =rct + y y z z + x (7.4 ( x + ( y z z (7.5 όπου δ, S, ρ και ζ είναι η διεύθυνη, η οριζόντια απόταη, η κεκλιµένη απόταη και η ζενίθια γωνία αντιτοίχως από το ηµείο Ρ προς το ηµείο Ρ και ω είναι η γωνία µε κορυφή το ηµείο Ρ και ανάµεα το αριτερό ηµείο Ρ και το δεξιό ηµείο Ρ. Η εξίωη παρατήρηης, για την παρατήρηη y, έχει την µορφή : = *δx + *δy + *δy δθ + v (7.6 αν η παρατήρηη είναι διεύθυνη, ή αλλιώς: = *δx + *δy + *δy + v (7.7 3 ρ ι 3 z z = - ρ ι όπου δx = x - x, δy = y - y είναι οι διορθώεις των προεγγιτικών υντεταγµένων, δθ = θ - θ είναι η διόρθωη της προεγγιτικής ταθεράς προανατολιµού, v είναι το φάλµα της παρατήρηης και η ανηγµένη παρατήρηη καθώς και οι υντελετές,, για κάθε µορφή παρατήρηης είναι: 3. Παρατήρηη διεύθυνης = - y = δ - (rct y ( S ( S = x x. Παρατήρηη οριζόντιας γωνίας = ω - (rct = x y y ( S ( S = x - y ( S x - ( S 3. Παρατήρηη ζενίθειας γωνίας = ζ - rct = - ( x *( z ( ρ ι * S = - ( y *( z - θ (7.8 x y (7.9 (7. - rct (7. ( x + ( y z ( ρ ι * S S 3 ( ρ ι = z z z 4. Παρατήρηη κεκλιµένης απόταης = ρ - (7.8 = - ρ ι = - 3 (7. (7. (7.3 (7.4 (7.5 (7.6 (7.7 ( x + ( y + ( z z x y (7.9 (7. T Το ύτηµα των κανονικών εξιώεων (A PA x = A T P, αναλυτικά γράφεται:

6 6 xx xy xz xθ xy yy yz yθ xz yz zz zθ xθ yθ zθ θθ δ x δ y δ z δ θ u x u y = (7. u z uθ Όπου η άγνωτη διόρθωη εµφανίζεται µόνο την περίπτωη που γίνουν παρατηρήεις διευθύνεων Ν = xx Ν = yy xθ = - xθ = u = x u = - θ = = = = = =, Ν = xy, Ν = yz = =, = - θ y, u = y = δ θ 3 =, Ν = xz, Ν = zz = =, x θ = -, u = z = 3 3 = 3 3, (7.3 d είναι ο αριθµός των διευθύνεων που παρατηρήθηκαν και είναι το µέο τετραγωνικό φάλµα της παρατήρηης y. 8. ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ ΙΑΤΟΜΩΝ Τα γεωτεχνικά και δοµοτατικά µέτρα αντιµετώπιης προβληµάτων «τήριξης» µιας ήραγγας τη φάη κατακευής της και µε βάη τη µέθοδο ATM (ew Austr Tuelg Method αντιµετωπίζονται ανά κατακευαµένη διατοµή. Είναι βαικό να αναφέρουµε, ότι οι ποότητες που χρηιµοποιούνται την πράξη ως µεγέθη που περιγράφουν το φαινόµενο των υγκλίεων τους επιτήµονες που θα µελετήουν τα µέτρα αντιµετώπιης, είναι οι προβολές της τριδιάτατης ύγκλιης που είναι οι διαχρονικές διαφορές των υντεταγµένων των µαρτύρων - το κάθετο επίπεδο της διατοµής της κατακευαµένης ήραγγας. Σηµαντικό λοιπόν τοιχείο ε ότι αφορά τον ακριβή προδιοριµό των προβολών των υγκλίεων είναι να ορίζεται µε την καλύτερη δυνατή ακρίβεια το κάθετο επίπεδο προβολής την υγκεκριµένη Χ.Θ. της ήδη ως εκεί κατακευαµένης ήραγγας. Χαρακτηριτικό αυτού του υτήµατος προβολής είναι ότι θα πρέπει να ορίζεται ως κάθετο επίπεδο επί του άξονα, της υφιτάµενης ήραγγας και µε ηµείο αναφοράς (, επί αυτού. Στην εργαία αυτή και κατά υνέπεια το λογιµικό πακέτο Tuel-Eye επιχειρείται µια βελτιωµένη προέγγιη αυτού του ζητήµατος. Για τον οριµό του υτήµατος αναφοράς ανά διατοµή δε λαµβάνεται υπόψη ο θεωρητικός άξονας της ήραγγας (άξονας της µελέτης, αλλά µε βάη τα τοιχεία δύο µετρηµένων διαδοχικών διατοµών υπολογίζονται τα αντίτοιχα κέντρα βάρη τους, από τα οποία προκύπτει ο άξονας της ήραγγας (πραγµατικός. Είναι προφανές ότι µε αυτό τον τρόπο προκύπτει αν άξονας µια τεθλαµένη γραµµή (από διατοµή ε διατοµή. Αναλυτικά η διαδικαία που ακολουθείται για την εύρεη των οριζόντιων και των κατακόρυφων µετακινήεων ανά διατοµή είναι η εξής: Λαµβάνοντας υπόψη την µέτρηη των ηµείων παρακολούθηης (υνήθως πέντε µιας διατοµής Α, υπολογίζονται οι υντεταγµένες του κέντρου βάρους της (ΚΒ_Α. Οµοίως προδιορίζονται και οι υνταγµένες του κέντρου βάρους (ΚΒ_Β της αµέως επόµενης µετρηθείας διατοµής Β καθώς και των υπολοίπων διατοµών (Γ, κλπ. Από τις υντεταγµένες των δύο διαδοχικών ηµείων (π.χ. ΚΒ_Α, ΚΒ_Β υπολογίζεται το αζιµούθιο (Az_Α του πραγµατικού άξονα της ήραγγας της πλευράς ΑΒ. Το ίδιο γίνεται και για τις επόµενες διατοµές προδιορίζοντας πάντα το κάθε αζιµούθιο της κάθε πλευράς του άξονα µε βάη την επόµενη διατοµή. Τα αζιµούθια αυτά επανυπολογίζονται ε κάθε ειρά µετρήεων. Έτι, για κάθε πλευρά του άξονα της ήραγγας έχουµε τόα αζιµούθια όες και οι ειρές των µετρήεων. Με βάη τα παραπάνω ορίζεται το τοπικό διδιάτατο ύτηµα της διατοµής που εξετάζουµε ως κάθετο την αρχή της πλευράς του άξονα. Η οριζόντια µετατόπιη Dr καθενός ηµείου παρακολούθηης (χ. θα δίνεται από τον τύπο: Dr = Dx * cos(az Dy * s(az (8. Όπου Dx και Dy είναι οι διαφορές των υντεταγµένων x, y αντίτοιχα µεταξύ της ειράς µετρήεων και της µηδενικής µέτρηης, όποια και αν θεωρούµε ότι είναι αυτή. Επίης Az είναι το αζιµούθιο του τµήµατος εκείνου του άξονα της ήραγγας που έχει υπολογιθεί από τις υντεταγµένες της µηδενικής µέτρηης. Η κατακόρυφη µετατόπιη Dh το ύτηµα της διατοµής (χ. θα δίνεται ως η απλή διαφορά των υντεταγµένων z τις δύο περιόδους µέτρηης. Αν και φαίνεται παράδοξο γεωδαιτικά, δεχόµατε να έχουµε ανά ειρά µετρήεων διαφορετικό αζιµούθιο του άξονα της κατακευαµένης ήραγγας και εποµένως διαφορετικό κάθετο επίπεδο προβολής των υγκλίεων. Αυτό υµβαίνει γιατί είναι αφές ότι οι υγκλίεις είναι ακτινικό µέγεθος µε διεύθυνη κάθετη ως προς τον άξονα κατακευής και εφαπτόµενο το επίπεδο της διατοµής, ακόµη και αν αυτό αλλάζει ανά ειρά µετρήεων, διότι ως τέτοιες θα αντιµετωπιτούν. Φυικά θα µπορούαµε να υµπληρώουµε, ότι ανάγοντας (µεταχηµατιµός

7 7 οµοιότητας κάθε φορά το νέο επίπεδο προβολής το µηδενικό θα µπορούαµε να εξάγουµε και άλλου είδους παραµόρφωη της ήραγγας, η οποία όµως δεν είναι ύγκλιη, είναι προβαλλόµενη το επίπεδο τριδιάτατη ολική παραµόρφωη. Με απλά λόγια, οι υγκλίεις που προκύπτουν προέρχονται από τις διαφορές των προβαλλόµενων το επίπεδο της διατοµής υντεταγµένων των τόχων της κάθε διατοµής, αδιαφορώντας για την καταµήκος του άξονα µετακίνηη, διότι αυτό δεν ονοµάζεται ύγκλιη. το πρόβληµα που θέλει να επιλύει ή την υπολογιτική διαδικαία που θέλει να εκτελέει. 3 Dh (- 9. ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 9. Ειαγωγή 4 5 Dr (+ Dh (- κα τ α κόρυφ ε ς µετακινήεις Dr (+ οριζόντ ιες µετακινήεις Σχ.. Τυπική διατοµή ήραγγας Το λογιµικό πακέτο Tuel-Eye λειτουργεί ε περιβάλλον Wdows. Το πρόγραµµα έχει τη δυνατότητα υνόρθωης οριζοντιογραφικών τοπογραφικών δικτύων (x,y, κατακορύφων δικτύων (z καθώς και υνόρθωης δικτύων ταυτόχρονα και τις τρεις διατάεις (x,y,z (τριδιάτατα δίκτυα [5, 7]. Επίης, επίλυης του προβλήµατος του Free Stto, όπως αυτό αναλύθηκε παραπάνω, δηλαδή υπάρχει η δυνατότητα επίλυης τριδιάτατης πολλαπλής οπιθοτοµίας (υνόρθωη και επίλυης της ταχυµετρικής αποτύπωης, διαχρονική ύγκριη των αποτελεµάτων (υντεταγµένες ηµείων διατοµών και γραφικές παρατάεις των διαφορών των υντεταγµένων. Ένα ηµαντικό µέρος του πακέτου καλύπτει η δυνατότητα της γραφικής απεικόνιης όλων των αποτελεµάτων, ώτε αυτά να είναι άµεα κατανοητά από το χρήτη [8]. Επίης, παρέχει τη δυνατότητα παραγωγής αρχείων ταχυµετρικών ηµείων ε µορφή DXF, ώτε να επιτυγχάνεται η περαιτέρω χεδίαη µε τη βοήθεια οποιουδήποτε γνωτού προγράµµατος CAD. Το Tuel-Eye είναι µία ολοκληρωµένη εφαρµογή µε διαχείριη αρχείων, εκτέλεη υπολογιµών, χρήη γραφικών και φιλική επικοινωνία µε το χρήτη. 9. Περιγραφή του προγράµµατος Η κύρια φόρµα του προγράµµατος φαίνεται παρακάτω (χ., µέα από την οποία ο χρήτης µπορεί να επιλέξει Σχ.. Η κύρια φόρµα ειόδου το πρόγραµµα Η επιλογή γίνεται µε το mouse από το αντίτοιχο εικονίδιο. Με την ολοκλήρωη της επιλογής ενεργοποιείται το κατάλληλο υποπρόγραµµα και ανοίγουν κατά περίπτωη οι φόρµες ειαγωγής τοιχείων. Τα τοιχεία που δίδονται µπορούν να πληκτρολογηθούν ή και να ειαχθούν από κάποιο αρχείο που ήδη υπάρχει. Η επιλογή των ονοµάτων των αρχείων γίνεται από τις γνωτές και κοινές για τα προγράµµατα ε περιβάλλον Wdows φόρµες επιλογής drve, drectory και αρχείου. Μετά την ειαγωγή των απαραίτητων δεδοµένων εκτελούνται οι αντίτοιχοι υπολογιµοί και ε νέο παράθυρο ηµειώνονται τα αποτελέµατα τόο ε αναλυτική µορφή, όο και µε τη χεδίαη γραφικού που δείχνει άµεα τη γεωµετρία της λύης το χρήτη. Στη υνέχεια υπάρχει δυνατότητα εκτύπωης των αποτελεµάτων ή/και της αποθήκευης αυτών ε αρχείο µε την ειαγωγή του pth και του επιθυµητού ονόµατος. 9.3 Παραδείγµατα Εφαρµογών 9.3. Επίλυη Free Stto Ακολουθώντας την επιλογή «ΕΠΙΛΥΣΗ FREE STATIO» µεταφερόµατε την φόρµα του υποπρογράµµατος FREE STATIO που φαίνεται παρακάτω (χ. 3. Στην πρώτη καρτέλα µε όνοµα «Ε ΟΜΕΝΑ ΟΠΙΣΘΟΤΟΜΙΑΣ» γίνεται η επίλυη τριδιάτατης πολλαπλής οπιθοτοµίας λαµβάνοντας ως δεδοµένα τις υντεταγµένες των γνωτών ηµείων και τις µετρήεις προς αυτά, δηλαδή τις οριζόντιες διευθύνεις, τις αποτάεις το χώρο και τις ζενίθιες γωνίες. Τα τοιχεία που ζητούνται µπορούν να πληκτρολογηθούν και, µετά το πέρας της ειαγωγής τους, να γίνει αποθήκευη αυτών ε αρχείο ή και να ειαχθούν από κάποιο αρχείο που ήδη υπάρχει. Στη υνέχεια µέα από την δεύτερη καρτέλα «Ε ΟΜΕΝΑ ΤΑΧΥΜΕΤΡΙΑΣ» ειάγουµε τα απαραίτητα τοιχεία για την επίλυη της ταχυµετρίας και τον προδιοριµό των υντεταγµένων των ηµείων των διατοµών (χ. 4.

8 8 Σχ 3. Επίλυη Οπιθοτοµίας Σχ.5 Γραφική παράταη αποτελεµάτων Επίλυη ικτύων Ακολουθώντας την επιλογή «ΕΠΙΛΥΣΗ ΙΚΤΥΩΝ» µεταφερόµατε την φόρµα του υποπρογράµµατος ETS που φαίνεται παρακάτω (χ.6, µέα από την οποία είναι δυνατή η επίλυη οριζοντιογραφικών και χωροταθµικών τοπογραφικών δικτύων. Σχ. 4 Επίλυη ταχυµετρίας Μετά την ειαγωγή των απαραίτητων δεδοµένων εκτελούνται οι αντίτοιχοι υπολογιµοί και ε νέο παράθυρο ηµειώνονται τα αποτελέµατα τόο ε αναλυτική µορφή, όο και µε τη χεδίαη γραφικού που δείχνει άµεα τη γεωµετρία της λύης το χρήτη. Από την επιλογή «ΓΡΑΦΙΚΑ» του βαικού µενού µεταφερόµατε την φόρµα του χήµατος 5. Εδώ υπάρχει η δυνατότητα ύγκριης µετρήεων της ίδιας διατοµής ε διαφορετικές χρονικές τιγµές. ηµιουργείται ένα αρχείο ανά διατοµή. Ο χρήτης έχει τη δυνατότητα να επιλέξει πιο ετ υντεταγµένων θα είναι η «µηδενική µέτρηη», δηλαδή η διατοµή αναφοράς και πιο ετ θα είναι εκείνο που θα υγκριθεί µε αυτήν. Μέα από τα αντίτοιχα πλήκτρα επιλογών χεδιάζεται η κάθε διατοµή χωριτά ή µαζί µε τη διατοµή ύγκριης, εµφανίζεται ο πίνακας των διαφορών των υντεταγµένων του κάθε ηµείου Dx, Dy, Dz, υπολογίζεται και χεδιάζεται το κέντρο βάρους της κάθε διατοµής και, τέλος, χεδιάζονται οι γραφικές παρατάεις διαφορών µε το χρόνο. Σχ.6 Επίλυη ικτύων. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Τα ηµαντικότερα υµπεράµατα - προτάεις που προκύπτουν µέα από την εργαία αυτή, η οποία κυρίως αναφέρεται ε ήραγγες υπό κατακευή, µπορούν να υνοψιθούν τα παρακάτω: Γίνεται µια ολοκληρωµένη αντιµετώπιη του προβλήµατος παρακολούθηης των υγκλίεων των ηράγγων, ξεκινώντας από τον χεδιαµό των ικτύων Παρακολούθηης και καταλήγοντας το Λογιµικό πακέτο Tuel-Eye. Το λογιµικό πακέτο µας δίνει την δυνατότητα επίλυης όλων των προβληµάτων που προκύπτουν κατά την παρακολούθηη της ήραγγας (υνόρθωη δικτύων και επίλυη της µεθόδου

9 9 Free Stto. Επίης είναι δυνατή η άµεη επίλυη και εµφάνιη των αποτελεµάτων που επιθυµεί ο χρήτης, η οποία είναι πολύ χρήιµη ε άλλες ειδικότητες εµπλεκοµένων για την εξαγωγή αφαλών υµπεραµάτων. Για την πλέον αξιόπιτη διαχρονική µελέτη των υγκλίεων τις διατοµές µιας ήραγγας προτείνεται η χρήη του άξονα που προκύπτει κεντροβαρικά από τις µετρήεις των κατακευαµένων (έως εκεί και όπως διατοµών αυτής. Με βάη την εµπειρία που υπάρχει την κατακευή των ηράγγων κυρίως υγκοινωνιακών έργων, µπορούµε να πούµε ότι υνήθως δεν χρηιµοποιείται ο άξονας αυτός ως βαικό τοιχείο του επιπέδου προβολής των µετρηθέντων υγκλίεων µε αποτέλεµα ηµαντικά ή λιγότερο ηµαντικά φάλµατα τα µέτρα αντιµετώπιης για τη τήριξη της ήραγγας, ή κάποιων διατοµών της. Προτείνεται η υτηµατική αντιµετώπιη της ολοκληρωµένης διαδικαίας τριδιάτατου προδιοριµού της θέης µαρτύρων εωτερικά της ήραγγας και µάλιτα ως κλειτό ύτηµα. Κατά τη διαδικαία αυτή δεν επικεντρώνουµε το ενδιαφέρον µας το να έχουµε ένα ύτηµα βέλτιτο (ελαχιτοποίηη φαλµάτων, αλλά ταθερό (ταθερό φάλµα ε κάθε περίοδο µετρήεων, χρηιµοποιώντας µεθοδολογίες πιο απλές την πρακτική τους εφαρµογή. Συνεπώς, αυτό το οποίο τελικά εξετάζεται είναι το εύρος της χρονικής διακύµανης (µέχρι +/- 3 mm της ταθερότητας του υτήµατος. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Κοντογιάννη Βάια: Η γεωδαιτική µέθοδος ελέγχου ( Motorg παραµορφώεων ηράγγων. Τεκµηρίωη της µεθόδου και ανάλυη παρατηρήεων, ιδακτορική διατριβή. Πανεπιτήµιο Πατρών Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Πάτρα 5.. Μπαντέλας Α., Σαββαΐδης Π.: Παρακολούθηη παραµορφώεων τεχνικών έργων και κατολιθήεις εδαφών µε γεωδαιτικές µεθόδους, Εκδόεις Γ&Κ Παπαγεωργίου Ο.Ε., Θεαλονίκη, Λακάκης Κ.: Τεχνική περιγραφή ηράγγων Γεωδαιτική παρακολούθηη, Εγνατία Οδός Α.Ε., Θεαλονίκη, Μπαντέλας Α., Σαββαΐδης Π., Υφαντής Ι., ούκας Ι.: Γεωδαιία τόµος Ι: Γεωδαιτικά όργανα και µέθοδοι µέτρηης και υπολογιµών, Εκδόεις Αφοί Κυριακίδη, Θεαλονίκη, Ρωικόπουλος.: Τοπογραφικά δίκτυα και υπολογιµοί, Εκδόεις Ζήτη, Θεαλονίκη, ερµάνης Α., Ρωικόπουλος., Φωτίου Α.: Τοπογραφικοί υπολογιµοί και υνορθώεις δικτύων, Εκδόεις Ζήτη, Θεαλονίκη, Βλάχος. : Τοπογραφία - Τόµος Γ, Θεαλονίκη, Sppel K. : Moder motorg system softwre developmet, Proceedgs, th FIG Symposum o Deformto Mesuremets, Clfor,. Κ. Λακάκης Λέκτορας, Εργατήριο Γεωδαιίας και Γεωµατικής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., Πανεπιτηµιούπολη 544 Τ.Θ.Π. 465 Θεαλονίκη Σ. Π. Χαλιµούρδας Υποψήφιος ιδάκτωρ, Εργατήριο Γεωδαιίας και Γεωµατικής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., Πανεπιτηµιούπολη 544 Τ.Θ.Π. 465 Θεαλονίκη Π. Σαββαΐδης Καθηγητής, Εργατήριο Γεωδαιίας και Γεωµατικής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., Πανεπιτηµιούπολη 544 Τ.Θ.Π. 465 Θεαλονίκη

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής epapamic@civil.auth.gr Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μελέτη εντατικοπαραµορφωιακής κατάταης ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων» ΤΣΟΥΤΣΟΥΒΑ ΜΑΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος µικροµετακινήσεων στο δίκτυο κατακορύφου ελέγχου του ήµου Μετσόβου

Έλεγχος µικροµετακινήσεων στο δίκτυο κατακορύφου ελέγχου του ήµου Μετσόβου Έλεγχος µικροµετακινήεων το δίκτυο κατακορύφου ελέγχου του ήµου Μετόβου Ο. Αραµπατζή, ρ. Α.Τ.Μ., Επιτηµονικός Συνεργάτης Ε.Μ.Π.. -. Μπαλοδήµος, Καθηγητής Ε.Μ.Π. Γ. Πηνιώτης, Α.Τ.Μ., Υποψήφιος ιδάκτωρ Ε.Μ.Π..

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία πολυατομικών μορίων Τι μας χρειάζεται; Προβλέπει τη φαματοκοπία και τη υμπεριφορά ατόμων και μορίων Πράξεις Συμμετρίας: κινήεις του μορίου κατά τις οποίες η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 2005-06 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη 4η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη 4η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ Εργατήριο Τεχνολογίας ιάνοιξης Σηράγγων, ΕΜΠ. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ Α.Ι. Σοφιανός Τάεις γύρω από υπόγεια ανοίγματα ε ελατικό πέτρωμα - Κυκλικό άνοιγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N)

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Α)Με βάη το θεώρηµα Shannon για την κωδικοποίηη αναλογικού ήµατος να χαράξετε το διάγραµµα της χέης (S/N) =(), =bit/sample για ένα ήµα µε Gaussian κατανοµή. Β) Χρηιµοποιείτε τους Πίνακες 6.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Εργαστήριο)

Στραγγίσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιευτικό Ίρυμα Ηπείρου Στραγγίεις (Εργατήριο Ενότητα 6 : Η κίνηη του νερού το έαφος IV Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Άκηη Ένας κλειτός υπό πίεη υροφορέας έχει μεταβλητό πάχος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006 ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 006 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΣΠΥΡΑΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΗΟΥ ΧΡΥΣΑΝΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευτών Εργατήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών Υπολογιτικό θέµα : «Η βέλτιτη χεδίαη πτερύγωης τροβιλοµηχανής και η δηµιουργία χετικού µεταπροτύπου»

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής»

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «Αηεπίδραη Εδάφους Κατακευής» 8ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Διάνοιξη και προωρινή

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαιο 1 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ο προδιοριμός του φυικού εντατικού πεδίου έχει α κοπό να δώει αφενός μεν τη βαική γνώη για το πεδίο των τάεων, αφετέρου δε τη υγκεκριμένη γνώη των υνοριακών υνθηκών που

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια...

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... Ένα µεγάλο Ευχαριτώ τον καθηγητή µου κ. Σαλπιτή Χρήτο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΕΡΗΧΩΝ ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ Ε.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ: «ΝΑΥΤΙΚΗ & ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ: «ΝΑΥΤΙΚΗ & ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ: «ΝΑΥΤΙΚΗ & ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΗΡΑΓΓΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ» ΑΝ ΡΕΑΣ Β. ΦΡΑΓΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ 2009 ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ Επιλογή του τρόπου κρούης και απώλεια επαφής Οι δύο µικρές φαίρες και του χήµατος έχουν ίες µάζες και κινούνται το λείο οριζόντιο δάπεδο. Οι φαίρες υγκρούονται και η κρούη τους είναι κεντρική και πλατική.

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 43 / ΕΚΠ 66 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Χρονικά Πιθανοτικά Μοντέλα Temporal Probabilistic Models Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιτών Πολυτεχνείο Κρήτης ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια.

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια. Μια ακόμη πιο δύκολη υνέχεια. Μόνο για καθηγητές. Σαν υνέχεια της ανάρτηης «Μια...δύκολη περίπτωη, αν φύλλο εργαίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους. Ένα ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα