ΑΚΗΔΙ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ. 2. Έκαξ μνζγόκηζμξ ηοηθζηόξ δίζημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ βύνς από ηαηαηόνοθμ ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ - ΚΤΛΙΗ

Transcript

1 ΑΚΗΔΙ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ - ΚΤΛΙΗ 1. Έκαξ μνζγόκηζμξ ηοηθζηόξ δίζημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ βύνς από ηαηαηόνοθμ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο. Σδ πνμκζηή ζηζβιή t =0 μ ηοηθζηόξ δίζημξ ανίζηεηαζ ζε δνειία ηαζ απμηηά βςκζαηή επζηάποκζδ ιέηνμο α 1 = 2 rad/s 2. α) Σδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 = 5s κα οπμθμβίζεηε: ί) Σδ βςκζαηή ηαπύηδηα ς 1 ημο δίζημο. ii) Σδ βςκία ζηνμθήξ ηαζ ημκ ανζειό ηςκ πενζζηνμθώκ ημο δίζημο iii) Σζξ βναιιζηέξ ηαπύηδηεξ ηςκ ζδιείςκ Μ ηαζ Ν ιε απμζηάζεζξ από ημ ηέκηνμ πενζζηνμθήξ ημο δίζημο R Μ = Ο,5 m Καζ Ρ Ν = 0,2 m ακηίζημζπα. β) Σδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 = 5s μ δίζημξ απμηηά βςκζαηή επζανάδοκζδ α 2 ηαζ ζηαιαηά αθμύ δζαβνάρεζ βςκία ζηνμθήξ ε 2 =10 rad. ί) Να οπμθμβίζεηε ηδ βςκζαηή επζανάδοκζδ α 2 ημο δίζημο, ηαζ ημ πνμκζηό δζάζηδια Γt 2 πμο πνεζάγεηαζ από ηδ πνμκζηή ζηζβιή t= 5s ιέπνζ κα ζηαιαηήζεζ ii) Να ζπεδζάζεηε ζε ααειμθμβδιέκμοξ άλμκεξ ηα δζαβνάιιαηα α(t) ηαζ ς(t) βζα όθδ ηδ ηίκδζδ ημο ηνμπμύ. iii) Να ζπεδζάζεηε πάκς ζημ ζπήια ηα δζακύζιαηα 1, 1, 2 2 Οκαιή ζηξνθηθή θίλεζε: ω = Δθ/Δt και Δθ = ωδt Οκαιά κεηαβαιιόκελε ζηξνθηθή θίλεζε: α γων = Δω/Δt σ = σ 0 α γσλ Δt Δζ = σ 0 Δt 1 αγσλ Δt2 2 Οκαιή επηβξαδπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε κέρξη λα ζηακαηήζεη(σ=0): Δt STOP = ω 0 /α γων, Δx STOP = ω 2 0 /2α γων ε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο: ην εκβαδό σ = f(t) εθθξάδεη ηε γσλία ζηξνθήο Δζ. ην εκβαδό α γσλ =f(t) εθθξάδεη ηε κεηαβνιή ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο Δσ. Όηαλ ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ελόο ζηεξενύ απμάλεηαη ηόηε ην δηάλπζκα ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο έρεη ίδηα θαηεύζπλζε κε ην δηάλπζκα ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο. Ελώ όηαλ ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ελόο ζηεξενύ κεηώλεηαη ηόηε ην δηάλπζκα ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο έρεη αληίζεηε θαηεύζπλζε κε ην δηάλπζκα ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο.. (Απ: α) ω 1 = 10 rad/s, ζ1=25 rad, N=12,5/π, π Μ = 5 m/s, πθ = 2 m/s β) 5 rad/s 2, 2s) 2. Έκαξ μνζγόκηζμξ ηοηθζηόξ δίζημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ βύνς από ηαηαηόνοθμ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο. Σδ πνμκζηή ζηζβιή t=0 μ ηοηθζηόξ δίζημξ έπεζ βςκζαηή ηαπύηδηα ς 0 = 2 rad/s ηαζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t=20s δ βςκζαηή ημο ηαπύηδηα είκαζ ς 1 = - 20 rad/s. Ο δίζημξ εηηεθεί μιαθά επζαναδοκόιεκδ ζηνμθζηή ηίκδζδ. Να ανείηε: α) ηδ βςκζαηή επζηάποκζδ ημο δίζημο β) ηδ πνμκζηή ζηζβιή ηαηά ηδκ μπμία δ βςκζαηή ηαπύηδηα ημο δίζημο βίκεηαζ ζηζβιζαία ιδδέκ ηαζ ηδ βςκία ζηνμθήξ ημο δίζημο ιέπνζ εηείκδ ηδ ζηζβιή. γ) Να ανείηε ημκ ανζειό ηςκ πενζζηνμθώκ ημο δίζημο, όηακ δ βςκζαηή ημο ηαπύηδηα ημο είκαζ 10 rad/s. Ο αξηζκόο πεξηζηξνθώλ Ν ελόο ζηεξενύ θαη ε γσλία ζηξνθήο ζ ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε: θ = Ν 2π δ) Γζα έκα ζδιείμ ημ μπμίμ απέπεζ από ημ ηέκηνμ ημο δίζημο απόζηαζδ R = 1m, ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 = 9s κα ανείηε ηδκ επζηνόπζμ, ηδ ηεκηνμιόθμ ηαεώξ ηαζ ηδκ μθζηή ημο επζηάποκζδ.. (Απ: α) α γωλ = - 2 rad/s 2, β) 10s, 100 rad, γ) N=37,5/π δ) α ε = 2 m/s 2, α θ = 4 m/s 2,α= 2 5 m/s 2 θαη εθθ = 2 )

2 3. ημ δζπθακό ζπήια έκα ζηενεό ζώια ημ μπμίμ εηηεθεί ζηνμθζηή ηίκδζδ. Να ανείηε: α) Σζξ βςκζαηέξ επζηαπύκζεζξ ημο ηζκδημύ ζε ηάεε είδμοξ ηίκδζδ. β) Σδ ζοκμθζηή βςκία ζηνμθήξ ημο ζώιαημξ γ) Σμκ ανζειό πενζζηνμθώκ ημο ζηενεμύ ζώιαημξ ζημ πνμκζηό δζάζηδια 4s 6s. δ) Σδ βςκζαηή ηαπύηδηα ημο ζώιαημξ ηδ πνμκζηή ζηζβιή 5s. (Απ: α) 10 rad/s 2, 0, -5 rad/s 2 β) 30 rad, γ) N=5/π δ) 5 rad/s ) 4. Ο ηνμπόξ αηηίκαξ R=0,5m ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ανπζηά ανίζημκηακ ζε δνειία ηαζ απμηηά ζηαεενή ιεηαθμνζηή επζηάποκζδ α CΜ. Ο ηνμπόξ ηοθίεηαζ πςνίξ μθίζεδζδ ζε μνζγόκηζμ επίπεδμ ηαζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή πμο δ βςκζαηή ημο ηαπύηδηα είκαζ ς 1 = 20 rad/s δ βςκία ζηνμθήξ είκαζ 50 rad. Να ανείηε: α) Σδ βςκζαηή ηαζ ηδ ιεηαθμνζηή επζηάποκζδ ημο ηνμπμύ β) Σμκ ανζειό ηςκ πενζζηνμθώκ ημο ηνμπμύ όηακ έπεζ ιεηαημπζζηεί ηαηά x = 50m Καηά ηε θύιηζε σωπίρ ολίζθηζη ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο κε αθηίλα πεξηθέξεηαο R, γηα ηε κεηαηόπηζε, ηε ηαρύηεηα θαη ηελ επηηάρπλζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ (C.M.) ηζρύνπλ: x = s => x =R ζ. x = s => dx ds d( R) d => R => π CM = σ R = π ΓΡΑΜ dt π CM = σ R => CM dt d d( R) dt dt dt dt d R dt => CM => α CM = α γσλ R. γ) Σα ιέηνα ηςκ ηαποηήηςκ ηςκ ζδιείςκ Α, Β, Γ ηαζ κα ζπεδζάζεηε ηα δζακύζιαηά ημοξ ζε έκα ηαηάθθδθμ ζπήια ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 = 5s. Κάζε ζεκείν ελόο ζηεξενύ (εθηόο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ) πνπ θπιίεηαη έρεη δύν ηαρύηεηεο: Μία ιόγσ ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο ς ΓΡΑΜ = ω r ε νπνία εμαξηάηαη από ηελ αθηίλα r ηνπ ζεκείνπ. θαη κία ιόγσ ηεο κεηαθνξηθήο θίλεζεο ηνπ ζηεξενύ, ηελ ς CM ε νπνία είλαη ζηαζεξή γηα όια ηα ζεκεία ηνπ ζηεξενύ ζώκαηνο. Η νιηθή ηαρύηεηα ηνπ θάζε ζεκείνπ πξνθύπηεη από ηε δηαλπζκαηηθή άζξνηζε ησλ δύν πξνεγνύκελσλ ηαρπηήησλ: CM Μόλν αλ ην ζηεξεό θπιίεηαη σωπίρ ολίζθηζη ηζρύεη θαηά κέηξν: π CM =σr=π ΓΡΑΜ. ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ θαη ην κέηξν ησλ ηαρπηήησλ ηνπ θαηώηεξνπ (ζεκείν επαθήο κε ην επίπεδν θύιηζεο) θαη ηνπ αλώηεξνπ ζεκείνπ ηνπ θπιηόκελνπ ζώκαηνο ζύκθσλα κε ηελ πξνεγνύκελε δηαλπζκαηηθή ζρέζε γίλεηαη: π θαηώη.ζεκ. = π CM -π ΓΡΑΜ = σr σr = 0 θαη π αλώη.ζεκ. = π CM +π ΓΡΑΜ = σr +σ R =2 σ R δ) Σμ ιέηνμ ηδ δζεύεοκζδ ηαζ ηδ θμνά ηςκ ηαποηήηςκ ηςκ ζδιείςκ Γ ηαζ Δ ιε ΟΓ = ΟΔ = R/2, ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 2 = 10s. (Απ:α) 4 rad/s 2, 2 m/s 2 β) N=50/π γ) 20 m/s, 10 2 m/s δ) 30m/s 10 m/s 3

3 ηαηεύεοκ5. Ο ηνμπόξ αηηίκαξ R = 0,2m ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ηοθίεηαζ πςνίξ μθίζεδζδ ζε μνζγόκηζμ επίπεδμ ηαζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή ιδδέκ δ βςκζαηή Σμο ηαπύηδηα είκαζ ς 0 = 20 rad/s. Ο ηνμπόξ απμηηά ηαεενή βςκζαηή επζανάδοκζδ ηαζ ζηαιαηά αθμύ εηηεθέζεζ 50/π πενζζηνμθέξ. Να ανείηε: α) Σδ βςκζαηή ηαζ ηδ ιεηαθμνζηή επζηάποκζδ ημο ηνμπμύ β) Σζξ ηαπύηδηεξ ηςκ ζδιείςκ Α ηαζ Β, ηα μπμία απέπμοκ από ημ έδαθμξ απμζηάζεζξ 2R ηαζ R ακηίζημζπα, ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 =5s γ) Σζξ επζηνόπζεξ επζηαπύκζεζξ ηςκ ζδιείςκ Α ηαζ Γ, ηα μπμία ανίζημκηαζ πάκς ζηδ ηαηαηόνοθμ δζάιεηνμ, ιε ΟΑ = Κ πάκς από ημ ηέκηνμ ηαζ ΟΓ = R/2 ηάης από ημ ηέκηνμ δ)να εηθνάζεηε ηα ιέηνα ηςκ ηαποηήηςκ όθςκ ηςκ ζδιείςκ πμο ανίζημκηαζ πάκς ζηδ ηαηάηόνοθμ δζάιεηνμ ημο ηνμπμύ, ζε ζπέζδ ιε ημ ύρμξ ημοξ h (0 h 2R) από ημ μνζγόκηζμ επίπεδμ ηαζ κα ζπεδζάζεηε ηδκ ακηίζημζπδ βναθζηή πανάζηαζδ βζα ηδ πνμκζηή ζηζβιή t. 2 =10s. Oη ζρέζεηο ηεο νκαιά κεηαβαιιόκελεο ζηξνθηθήο θίλεζεο: σ = σ 0 α γσλ Δt Δζ = σ 0 Δt 1 2 α γσλ Δt 2 θαη νη ζρέζεηο ηεο νκαιά κεηαβαιιόκελεο κεηαθνξηθήο θίλεζεο: π = π 0 ± α CΜ Δt, Δρ = πνt ± 1 2 α CΜ Δt 2 ζηελ ζύλζεηε θίλεζε ηζρύνπλ ηαπηόρξνλα ιόγσ ηεο αξρήο αλεμαξηεζίαο ησλ θηλήζεσλ. (Απ: α) 2 rad/s 2, 0,4 m/s 2 β) 4 m/s ηαηεύεοκζδ δελζά μνζγόκηζα, δύμ ζδιεία ιε 2 2 m/s θαη θ=π/4 γ) 0,4 m/s2, 0,2 m/s 2, δ) π = ω h) 6. Ο ιπνμζηζκόξ ηνμπόξ εκόξ πμδδθάημο έπεζ αηηίκα R 1 = 0,4 m ηαζ μ πίζς R 2 = 0,2 m. Σμ πμδήθαημ ηζκείηαζ ζε μνζγόκηζμ δνόιμ ηαζ μζ ηνμπμί ηοθίμκηαζ πςνίξ κα μθζζεαίκμοκ. α) Να ανείηε ημ πδθίημ ηςκ ζοπκμηήηςκ πενζζηνμθήξ ηςκ δύμ ηνμπώκ β) Ακ δ ηαπύηδηα ημο πμδδθάημο είκαζ ζηαεενή ηαζ ημ πμδήθαημ ιεηαημπίγεηαζ ηαηά π= 100 m ζε πνόκμ t 1 = 10s, κα ανείηε ηδ βςκζαηή ηαπύηδηα πενζζηνμθήξ ημο ηάεε ηνμπμύ γ) Σδ πνμκζηή ζηζβιή t1 = 10s μ πμδδθάηδξ παηάεζ θνέκμ ηαζ ημ πμδήθαημ εηηεθεί μιαθά επζαναδοκόιεκδ ηίκδζδ. Σδ πνμκζηή ζηζβιή t 2 = 15s δ βςκζαηή ηαπύηδηα πενζζηνμθήξ ημο πίζς ηνμπμύ είκαζ 25 rad/s. Να ανείηε: ί) Σδ ιεηαθμνζηή επζανάδοκζδ ημο πμδδθάημο ii) Σμ ζοκμθζηό ανζειό πενζζηνμθώκ ημο πίζς ηνμπμύ από ηδ πνμκζηή ζηζβιή t = Ο ιέπνζ ηδ ζηζβιή πμο ημ πμδήθαημ αηζκδημπμζείηαζ. (Απ: α) f 1 /f 2 = ½, β) 25 rad/s, 50 rad/s γ) 2 m/s 2 δ) 312,5/π πενζζηνμθέξ) ΡΟΠΔ - ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΣΔΡΔΟΤ ΩΜΑΣΟ 7. Γζα ημ δζπθακό ζπήια δίκμκηαζ : δ νάαδμξ είκαζ μιμβεκήξ ηαζ ζζμπαπήξ ιε αάνμξ W 1 =100Ν, ζηδνίγεηαζ ζημ έκα ηδξ άηνμ ζε άνενςζδ Α ηαζ ζημ άθθμ ζε κήια ημ μπμίμ ζπδιαηίγεζ 30 βςκία ιε ηδκ μνζγόκηζα. Ο άκενςπμξ έπεζ αάνμξ W 2 = 800Ν ηαζ ζηέηεηαζ ζε απόζηαζδ ΑΒ = ΑΓ/4 = L/4 από ημ Α. Σμ όθμ ζύζηδια ζζμννμπεί. α) Να ανείηε ημ ιέηνμ ηδξ ηάζδξ ημο κήιαημξ. β) Να οπμθμβίζεηε ηζξ ζοκζζηώζεξ F ΑΧ ηαζ F ΑY ηδξ δύκαιδξ πμο αζηείηαζ από ηδκ άνενςζδ Α ζηδ νάαδμ. γ) Ακ ημ ιήημξ ηδξ νάαδμο είκαζ L = 2 m, κα ανείηε ημ ιέηνμ ηδξ ηάζδξ ημο κήιαημξ ζε 4

4 ζπέζδ ιε ηδκ μνζγόκηζα απόζηαζδ ημο ακενώπμο από ημ άηνμ Α ηδξ νάαδμο. δ) Ακ ημ όνζμ εναύζδξ ημο κήιαημξ είκαζ 1300Ν, κα ανείηε ηδ ιέβζζηδ μνζγόκηζα απόζηαζδ ημο ακενώπμο από ημ άηνμ Α ηδξ νάαδμο πςνίξ κα ζπάζεζ ημ κήια. Όηαλ έλα ζηεξεό ζώκα ηζνξξνπεί ηόηε ε ζρέζε η = Ο ηζρύεη σο πξνο νπνηνδήπνηε ζεκείν. πλήζσο επηιέγνπκε εθείλν ην ζεκείν από ην νπνίν δηέξρνληαη νη πεξηζζόηεξεο άγλσζηεο δπλάκεηο, ώζηε λα πξνθύςεη κία ζρέζε κε όζν ην δπλαηόλ ιηγόηεξνπο αγλώζηνπο. Η δύλακε πνπ αζθείηαη από θάπνηα άξζξσζε π.ρ. FA ζρεδηάδεηαη ζε ηπραία δηεύζπλζε θαη αλαιύεηαη ζε ζπληζηώζεο FΑρ θαη FAy Σν κέηξν ηεο θαη ε δηεύζπλζε ηεο ππνινγίδεηαη κέζσ ησλ ζπληζησζώλ ηεο. (Απ: α) 5ΟΟΝ β) Ν, 650 Ν γ) Σ = 800ρ+100 (S.Ι.) δ) 1,5 m) 8. Η μιμβεκήξ ηαζ ζζμπαπήξ νάαδμξ αάνμοξ W= 100Ν ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ζοβηναηείηαζ μνζγόκηζα ιε ηδ αμήεεζα δύμ ζηδνζβιάηςκ ζηα ζδιεία Γ ηαζ Γ. Γύμ ζθαζνίδζα ιε αάνδ W1=W2 = 100Ν ημπμεεημύκηαζ ζηα ζδιεία Β ηαζ Γ. Γζα ηζξ απμζηάζεζξ δίκεηαζ όηζ ΑΓ=ΓΓ=ΓΒ=α ηαζ ημ όθμ ζύζηδια ζζμννμπεί. α) Να οπμθμβίζεηε ηδ δύκαιδ πμο αζηεί ημ ηάεε οπμζηήνζβια ζηδ νάαδμ. β) Ακ ημ ιήημξ ηδξ νάαδμο ΑΒ είκαζ 9m ηαζ αθαζνέζμοιε ηα δύμ ζηδνίβιαηα Γ ηαζ Γ ζε πμζμ ζδιείμ πνέπεζ κα ημπμεεηήζμοιε έκα ζηήνζβια ώζηε δ νάαδμξ κα ζζμννμπεί; γ) Με ηδ νάαδμ ζηδκ ανπζηή ηαηάζηαζδ ημο ζπήιαημξ, πμζα δ εθάπζζηδ ηαηαηόνοθδ δύκαιδ πμο πνέπεζ κα αζηήζμοιε ζημ άηνμ Α ηδξ νάαδμο ώζηε κα ιδδεκζζηεί δ δύκαιδ ζηήνζλδξ ζημ ζδιείμ Γ.; δ) Να απακηήζεηε ζημ πνμδβμύιεκμ «Γηα λα κεδεληζηεί ε δύλακε ζηήξημεο ζην ζεκείν Δ»: ε έθθξαζε ζεκαίλεη όηη ε ξάβδνο κόιηο πνπ ζα απνθνιιεζεί από ην ζηήξηγκα Δ δει κόιηο πνπ ζα αξρίζεη ηε πεξηζηξνθή ηεο γύξσ από θάπνην άιιν ζεκείν ζηήξημεο (εδώ ην Γ). ενώηδια ακ εέθμοιε κα ιδδεκζζηεί δ δύκαιδ ζηήνζλδξ ζημ ζδιείμ Γ.; (Απ: α) 25ΟΝ β) 5.5 m από ην άθξν Α γ) 250 N δ) 25 N ) 9. Οιμβεκήξ δμηόξ ΑΒ ιήημοξ Ι. = 3 m ηαζ αάνμοξ W = 50Ν ζζμννμπεί μνζγόκηζα ζηδνζγόιεκδ ζημ άηνμ Α ηαζ ζημ ζδιείμ Γ πμο απέπεζ από ημ άθθμ άηνμ Β απόζηαζδ d=0.5 m, όπςξ θαίκεηαζ ζημ ζπήια α) Να οπμθμβίζεηε ηζξ δοκάιεζξ πμο αζημύκ ηα ζηδνίβιαηα ζηδ δμηό ζηα ζδιεία Α ηαζ Γ. β) ημ άηνμ Β ηδξ δμημύ ημπμεεηείηαζ ζώια αάνμοξ W1 ηαζ παναηδνμύιε όηζ δ δύκαιδ πμο αζηείηαζ ζηδ δμηό από ημ άηνμ Α εθαηηώκεηαζ ζημ ιζζό. Να οπμθμβίζεηε ημ αάνμξ W1ημο ζώιαημξ Γ. (Πανελλαδικέρ εξεηάζειρ Εζπεπινού ) (Απ: α) F Γ =30 N, FA= 20 N β) W 1 =5ΟΝ ) 5

5 10. Οιμβεκήξ ηαζ ζζμπαπήξ νάαδμξ ΚΛ ιήημοξ Ι = 1 m ηαζ αάνμοξ W ζζμννμπεί ιε ηδ αμήεεζα ηδξ άνενςζδξ ηαζ ημο μνζγόκηζμο κήιαημξ. Σμ κήια είκαζ δειέκμ ζημ ιέζμ ηδξ ηαζ ζημ άθθμ άηνμ ηδξ είκαζ ακανηδιέκμ ζθαζνίδζμ αάνμοξ W1. Ακ ημ αάνμξ ηδξ νάαδμο είκαζ δζπθάζζμ από ημ αάνμξ ημο ζθαζνζδίμο( W = 2W1), δ βςκία πμο ζπδιαηίγεζ δ νάαδμξ ιε ηδ ηαηαηόνοθμ είκαζ θ = 45 ηαζ δ ηάζδ ημο κήιαημξ είκαζ Σ = 80Ν, κα ανείηε: α) Σμ αάνμξ ηδξ νάαδμο W ηαζ ημ αάνμξ ημο ζθαζνζδίμο W1, β) Σδ δύκαιδ πμο δέπεηαζ δ νάαδμξ από ηδκ άνενςζδ Κ γ) ε πμζμ ζδιείμ ηδξ νάαδμο πνέπεζ κα αζηήζμοιε ηαηαηόνοθδ δύκαιδ F = 160Ν ιε θμνά πνμξ ηα πάκς, ώζηε δ νάαδμξ κα ζζμννμπεί ηαζ δ ηάζδ ημο κήιαημξ κα ιδδεκζζηεί. (Απ: α) 4ΟΝ, 2ΟΝ β) 100 N 45 0 γ) 0.25 m από ην άθξν Α ) 11. Η μιμβεκήξ ηαζ ζζμπαπήξ νάαδμξ ΚΛ ημο δζπθακμύ μπήιαημξ έπεζ αάνμξ W = 20Ν, ζηδνίγεηαζ ζηδκ άνενςζδ Κ ηαζ ζπδιαηίγεζ βςκία θ = 45 ιε ημ μνζγόκηζμ κήια πμο ηδκ ζοβηναηεί. ημ άηνμ Λ ηδξ νάαδμο έπεζ ακανηδεεί ζθαζνίδζμ αάνμοξ W 1 = 20Ν. Ακ δ νάαδμξ ανίζηεηαζ ζε ζζμννμπία κα ανείηε: α) Σμ ιέηνμ ηδξ δύκαιδξ πμο αζηεί ημ κήια ζηδ νάαδμ. β) Σμ ιέηνμ ηαζ ηδ ηαηεύεοκζδ ηδξ δύκαιδξ πμο αζηεί δ άνενςζδ Κ ζηδ νάαδμ γ) Ακ ηάπμζα ζηζβιή (t = 0) ηόρμοιε ημ κήια πμο ζοβηναηεί ηδ νάαδμ ηαζ ακ ημ ιήημξ ηδξ νάαδμο είκαζ L = 1 m, κα ανείηε: i) ηδ ζοκμθζηή νμπή πμο δέπεηαζ ημ ζύζηδια νάαδμξ-ζθαζνίδζμ ςξ πνμξ ημ ζδιείμ Κ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t=0. ii) ηδ ζοκμθζηή νμπή πμο δέπεηαζ ημ ζύζηδια νάαδμξ-ζθαζνίδζμ ςξ πνμξ ημ ζδιείμ Κ όηακ δζένπεηαζ από ηδκ μνζγόκηζα εέζδ. iii) Σδ ζοκμθζηή νμπή πμο δέπεηαζ ημ ζύζηδια νάαδμξ-ζθαζνίδζμ ςξ πνμξ ημ ζδιείμ Κ όηακ δζένπεηαζ από ηδκ ηαηαηόνοθμ εέζδ. (Απ: α) 30 Ν β) 50 Ν, εθζ = 4/3 γ) 15 2 Nm, 30 Νm, 0 Ν ) 12. Η ζηάθα αάνμοξ W ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιόθζξ πμο ζζμννμπεί αημοιπώκηαξ ζε θείμ ηαηαηόνοθμ ημίπμ ηαζ ζημ μνζγόκηζμ επίπεδμ όηακ ζπδιαηίγεζ ιε ημκ μνίγμκηα βςκία θ = 45. Σμ αάνμξ ηδξ ζηάθαξ αζηείηαζ ζημ ηέκηνμ ηδξ. α) Να ανείηε ημ ζοκηεθεζηή ζηαηζηήξ ηνζαήξ ιεηαλύ ημο μνζγμκηίμο επζπέδμο ηαζ ζηάθαξ. Σσεδιαζμόρ δςνάμεων ζε ζηεπεό ζώμα από επιθάνεια ζηήπιξηρ: i) Αλ ε επηθάλεηα είλαη ιεία ηόηε ε δύλακε αζθείηαη ζε δηεύζπλζε θάζεηε πξνο ηελ επηθάλεηα ζηήξημεο( θάζεηε δύλακε ζηήξημεο). ii) Αλ ε επηθάλεηα δελ είλαη ιεία ηόηε εθηόο ηεο θάζεηεο δύλακεο αζθείηαη θαη ε ηξηβή, ε νπνία έρεη δηεύζπλζε παξάιιειε πξνο ηελ επηθάλεηα ζηήξημεο. β) Δπακαημπμεεημύιε ηδ ζηάθα οπό βςκία ε (διε = 0,6 ηαζ ζοκε = 0,8) ιε ηδκ μνζγόκηζα. Μέπνζ πμζμ ζδιείμ ηδξ ζηάθαξ ιπμνεί κα ακέαεζ έκα παζδί ίζμο αάνμοξ W ιε ηδ ζηάθα, πςνίξ αοηή κα βθζζηνήζεζ; Σμ ιήημξ ηδξ ζηάθαξ είκαζ L = 2 m. 6

6 γ) Ακ ημ αάνμξ ηδξ ζηάθαξ είκαζ W= 300Ν κα οπμθμβίζεηε βζα ημ δεύηενμ ενώηδια ηζξ δοκάιεζξ πμο δέπεηαζ δ ζηάθα από ημκ ηαηαηόνοθμ ηαζ ημκ μνζγόκηζμ ημίπμ. Τπιβή Ολίζθηζηρ: Αζθείηαη ζην ζώκα όηαλ ην ζηεξεό νιηζζαίλεη πάλσ ζε θάπνηα επηθάλεηα. έρεη δηεύζπλζε παξάιιειε πξνο ηελ επηθάλεηα, θνξά αληίζεηε ηεο ηαρύηεηαο, πνπ έρεη ην ζεκείν επαθήο ηνπ ζώκαηνο σο πξνο ηε επηθάλεηα θαη κέηξν: Σ νιίζζεζεο = κ Ν, όπνπ κ ν ζπληειεζηήο ηξηβήο θαη Ν ε θάζεηε δύλακε ζηήξημεο. Σηαηική ηπιβή: Αζθείηαη όηαλ ην ζεκείν επαθήο ηνπ ζώκαηνο κε ηελ επηθάλεηα δελ θηλείηαη σο πξνο ηελ επηθάλεηα (π.ρ. ηζνξξνπία, θύιηζε ρσξίο νιίζζεζε). Η ζηαηηθή ηξηβή: Έρεη δηεύζπλζε παξάιιειε πξνο ηελ επηθάλεηα θαη θνξά αληίζεηε ηεο θίλεζεο πνπ ηείλεη λα απνθηήζεη (αιιά δελ απνθηά) ην ζεκείν επαθήο ηνπ ζώκαηνο κε ηελ επηθάλεηα. Δελ έρεη θαζνξηζκέλν κέηξν. Σν κέηξν ηεο ππνινγίδεηαη από ηελ εθαξκνγή ησλ λόκσλ ηεο θίλεζεο ( η=0, F=0 θ.ι.π.) Έρεη κηα νξηαθή ηηκή ( ην ζώκα κόιηο πνπ ηζνξξνπεί ή ην ζώκα κόιηο πνπ δελ νιηζζαίλεη) κε θαζνξηζκέλν κέηξν πνπ ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε: Τ ζηαη.οπιακή = μ ζ Ν, όπνπ κ ν ζπληειεζηήο νξηαθήο ζηαηηθήο ηξηβήο θαη Ν ε θάζεηε δύλακε (Απ: α) 0,5 β) 0.5 m γ) 300 N, Ν κε εθω=2 ) 13. Ο ηνμπόξ αηηίκαξ R ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ εηηεθεί ιόκμ ιεηαθμνζηή ηίκδζδ ηαεώξ μθζζεαίκεζ πνμξ ηα δελζά πςνίξ κα ηοθίεηαζ πάκς ζημ μνζγόκηζμ επίπεδμ. Η μνζγόκηζμ δύκαιδ F αζηείηαζ ζε ύρμξ h = R/2 από ημ μνζγόκηζμ επίπεδμ, δ ιάγαξ ημο ηνμπμύ είκαζ Μ= 2Kg ηαζ μ ζοκηεθεζηήξ ηνζαήξ μθίζεδζδξ ημο ηνμπμύ ιε ημ μνζγόκηζμ επίπεδμ είκαζ ι = 0,7. (g = 10 m/s2 ) α) Να οπμθμβίζεηε ηδ δύκαιδ F πμο αζηείηαζ ζημ ηνμπό. β) Να οπμθμβίζεηε ηδκ επζηάποκζδ ημο ηέκηνμο ιάγαξ ημο ηνμπμύ γ) Πμζα μνζγόκηζα δύκαιδ F 1 πνέπεζ κα αζηδεεί ζημ ηέκηνμ ημο ηνμπμύ ώζηε αοηόξ κα εηηεθέζεζ εοεύβναιιδ μιαθή ηίκδζδ; (Απ: α) 28 N β) 7 m/s 2 γ), 14 Ν ) 14. Η ααανήξ νάαδμξ ΑΓ ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ εθεύεενα βύνς από ηα ζδιείμ Ο. ημ άηνμ Γ ηδξ νάαδμο ζοκδέεηαζ εθαηήνζμ ζηαεενάξ Κ = 100Ν/m, έπμκηαξ ζηδκ άηνδ ημο ζώια ιάγαξ m=1kg. Θέημοιε ημ ζώια ιάγαξ m ζε μνζγόκηζα ηαθάκηςζδ πθάημοξ Α= 0,1 m, εεςνώκηαξ ημ ζώια ηδκ t=0 ζηδ εέζδ π = +Α. Ακ ημ ιήημξ ηδξ νάαδμο είκαζ L = 3 m ηαζ ΟΑ = 2OΓ : α) Να εηθνάζεηε ηδκ μνζγόκηζα δύκαιδ F A ζε ζοκάνηδζδ ιε ημ πνόκμ πμο πνέπεζ κα αζημύιε ζημ άηνμ Α ηδξ νάαδμο ώζηε αοηή κα ζζμννμπεί. β) Μα ανείηε ηδ ιέβζζηδ δύκαιδ ηαηά απόθοηδ ηζιή πμο αζηείηαζ από ημ ζδιείμ πενζζηνμθήξ Ο ζηδ νάαδμ. (Απ: α) 20εκ(10t+π/2) β) 30 N ) 7

7 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ - ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ 15. Να οπμθμβίζεηε ηδ νμπή αδνάκεζαξ ιζαξ ηοηθζηήξ ζηεθάκδξ ιάγαξ Μ ηαζ αηηίκαξ R εεςνώκηαξ ηδ ιάγα ηδξ ζοβηεκηνςιέκδ όθδ ζηδ πενζθένεζα ηδξ, ςξ πνμξ: α). Άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ηδξ ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζημ επίπεδμ ηδξ. β). Άλμκα πμο δζένπεηαζ από ζδιείμ ηδξ πενζθένεζαξ ηδξ ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζημ επίπεδμ ηδξ. Η ξνπή αδξάλεηαο ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο εμαξηάηαη: Από ηε ζέζε ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο σο πξνο ηνλ νπνίν ππνινγίδεηαη. Αλ δίλεηαη ε ξνπή αδξάλεηαο σο πξνο ην Κέληξν κάδαο ηνπ ζηεξενύ ζώκαηνο θαη δεηείηαη σο πξνο άμνλα ν νπνίνο δελ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηόηε εθαξκόδνπκε ην Θεώξεκα ηνπ Steiner. Από ηε κάδα ηνπ ζώκαηνο θαη ηε θαηαλνκή ηεο γύξσ από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο.. Η ίδηα πνζόηεηα κάδαο αλ θαηαλεκεζεί δηαθνξεηηθά γύξσ από ηνλ ίδην άμνλα πεξηζηξνθήο έρνπκε δηαθνξεηηθή ξνπή αδξάλεηαο. (Απ: α) MR 2 β) 2MR 2 ) 16. Η μιμβεκήξ ηαζ ζζμπαπήξ νάαδμξ ημο δζπθακμύ μπήιαημξ έπεζ ιάγα Μ = 3 Kg ηαζ ιήημξ L=2m. ηζξ δύμ άηνεξ ηδξ ηαζ ζημ ηέκηνμ ηδξ έπμοιε ημπμεεηήζεζ από έκα ζθαζνίδζμ ιάγαξ m = 1Kg ημ ηαεέκα. Ακ δ νμπή αδνακείαξ ηδξ νάαδμο ςξ πνμξ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ιάγαξ ηδξ Κ ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζε αοηήκ είκαζ I CM =1/12 ML 2, κα ανείηε ηδ νμπή αδνάκεζαξ ημο ζοζηήιαημξ ςξ πνμξ άλμκα πμο: α) δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ιάγαξ Κ ηδξ νάαδμο ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζηδ νάαδμ. β) δζένπεηαζ από ηδκ άηνδ Α ηδξ νάαδμο ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζηδ νάαδμ. γ) ηαοηίγεηαζ ιε ηδ νάαδμ. δ) Μεηαηζκμύιε ημ ζθαζνίδζμ πμο ανίζηεηαζ ζημ ηέκηνμ Κ ηδξ νάαδμο ηαζ ημ ημπμεεημύιε ζε απόζηαζδ x από αοηό. Παναηδνμύιε άηζ δ νμπή αδνάκεζαξ ημο ζοζηήιαημξ ζε ζπέζδ ιε ηδκ ανπζηή ηδξ ηζιή ςξ πνμξ ημκ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ιάγαξ Κ ηδξ νάαδμο ηαζ είκαζ ηάεεημξ αολήεδηε ηαηά 3%. Να οπμθμβίζεηε ηδκ απόζηαζδ x. (Απ: α) 3Kg m 2 β) 9Kg m 2 γ) 0 δ) 0,3 m ) Παξαηήξεζε Αλ θάπνηα πιηθά ζεκεία βξίζθνληαη πάλσ ζηνλ άμνλα ππνινγηζκνύ ηεο ξνπήο αδξάλεηαο, ηόηε ε ξνπή αδξάλεηαο ησλ πιηθώλ ζεκείσλ απηώλ είλαη κεδέλ 17.ε ηάεε ημνοθή ημο ηεηναβώκμο ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ έπμοιε ημπμεεηήζεζ ηέζζενα όιμζα ζθαζνίδζα ιάγαξ m ημ ηαεέκα. Να οπμθμβίζεηε ηδ νμπή αδνάκεζαξ ημο ζοζηήιαημξ ςξ πνμξ άλμκα πμο δζένπεηαζ: α) Από ηδκ ΑΓ. β) Από ηδκ ΓΒ. γ) Από ημ ζδιείμ Α ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζημ επίπεδμ ημο ηεηναβώκμο. (Απ: α) 2mα 2 β) mα 2 γ) 4mα 2 8

8 18.Έκαξ ηνμπόξ απμηεθείηαζ από ηδ ηοηθζηή ζηεθάκδ ηαζ από δύμ δζαιέηνμοξ-νάαδμοξ όπςξ θαίκεηαζ δίπθα. Η ιάγα ηδξ ηοηθζηήξ ζηεθάκδξ είκαζ ίζδ ιε ηδ ιάγα m ηδξ ηάεε νάαδμο. Όθα ηα ιένδ ημο ηνμπμύ είκαζ μιμβεκή ηαζ ζζμπαπή. Ακ δ νμπή αδνάκεζαξ νάαδμο ςξ πνμξ ημκ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ιάγαξ ηδξ ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζε αοηήκ είκαζ ΙCΜ = ½ ML 2, κα ανείηε ηδ νμπή αδνάκεζαξ ημο ζοζηήιαημξ ςξ πνμξ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο 0. (Απ: 5/3 mr 2 ) 19. Οζ δύμ νάαδμζ ημο ζπήιαημξ είκαζ ημθθδιέκεξ ζημ ζδιείμ Κ. Σα ιήηδ ημοξ είκαζ l AK =l KΓ = 2 m ηαζ μζ ιάγεξ ημοξ m AK = 3 Kg ηαζ m ΚΓ = 6 Kg. Η νμπή αδνάκεζαξ μιμβεκμύξ νάαδμο ςξ πνμξ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ιάγαξ ηδξ ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζε αοηήκ είκαζ Ι CM = ½ mr 2. Να ανείηε ηδ νμπή αδνάκεζαξ ημο ζοζηήιαημξ ςξ πνμξ άλμκα πμο: α) δζένπεηαζ από ημ ζδιείμ Κ ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζηζξ δύμ νάαδμοξ. β) δζένπεηαζ από ημ ζδιείμ Α ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζηζξ δύμ νάαδμοξ. (Απ: α) 12 Kg m 2 β) 60 Kg m 2 ) 20. Ο μνζγόκηζμξ ηνμπόξ ιάγαξ ηδ m= 2Kg ηαζ αηηίκαξ R = 1m ημο δζπθακμύ μπήιαημξ εηηεθεί πενζζηνμθζηή ηίκδζδ βύνς από ηαηαηόνοθμ άλμκα πμο πενκά από ημ ηέκηνμ ημο ιε βςκζαηή ηαπύηδηα ς0 = 20 rad/s.σδ πνμκζηή ζηζβιή t = 0 αζηείηαζ ζημ ηνμπό μνζγόκηζα δύκαιδ ιε απμηέθεζια αοηόξ κα απμηηήζεζ ζηαεενή βςκζαηή επζανάδοκζδ. Σδ πνμκζηή ζηζβιή t1=3 s δ βςκζαηή ημο ηαπύηδηα είκαζ ς1 =8 rad/s. Η δύκαιδ αζηείηαζ ζηδ πενζθένεζα ημο ηνμπμύ ηαζ εθάπηεηαζ ζε αοηήκ. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ημο ηνμπμύ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ημο Ι = ½ mr 2. α) Να ανείηε ηδκ βςκζαηή επζηάποκζδ ημο ηνμπμύ. β) Πμζμ είκαζ ημ ιέηνμ ηδξ δύκαιδξ F πμο αζηείηαζ ζημ ηνμπό. γ) ε πόζδ απόζηαζδ από ημ ηέκηνμ ημο ηνμπμύ ηαζ ηάεεηα ζηδκ αηηίκα πνέπεζ κα αζηδεεί δ δύκαιδ F ώζηε μ ηνμπόξ κα ζηαιαηήζεζ εηηεθώκηαξ 50/π πενζζηνμθέξ δ) Να ζπεδζάζεηε πάκς ζημ ζπήια ηα δζακύζιαηα ηςκ ιεβεεώκ 0,, F Από ηνλ ζεκειηώδε λόκν ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο (Θ.Ν...Κ. ), πξνθύπηεη. όηη: ηαζεξή ξνπή πξνθαιεί ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε. Άξα ηζρύνπλ νη ηύπνη: ω = ω 0 α γων Δt Δθ = ω 0 Δt 1 2 α γων Δt 2 Σα δηαλύζκαηα θαη έρνπλ πάληα ηελ ίδηα θαηεύζπλζε. Πξνζνρή θαηά ηελ εθαξκνγή ηνπ Θ.Ν..Κ. ηα δηαλύζκαηα σο πξνο ηνλ ίδην άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ ζηεξενύ ζώκαηνο. θαη ππνινγίδνληαη πάληα (Απ: α) 4rad/s 2 β) 4 N γ) 0,5 m ) 9

9 21. Ο ηαηαηόνοθμξ ηνμπόξ ιάγαξ m = 2Kg ηαζ αηηίκαξ R = 1m ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ βύνς από μνζγόκηζμ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο. Ανπζηά μ ηνμπόξ ανίζηεηαζ ζε δνειία ηαζ ημο αζημύιε ηαηαηόνοθδ δύκαιδ ζηδ πενζθένεζά ημο. Η δύκαιδ έπεζ ιέηνμ F = 2Ν ηαζ είκαζ ζοκεπώξ ηάεεηδ ζηδκ αηηίκα ημο ηνμπμύ. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ημο ηνμπμύ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ημο Ι = ½ mr2. ηαζ g= 10 m/s 2. α) Να οπμθμβίζεηε ηδ βςκζαηή επζηάποκζδ ημο ηνμπμύ ηαεώξ ηαζ ηδ βςκζαηή ημο ηαπύηδηα ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 =5s β) Να οπμθμβίζεηε ηδ δύκαιδ πμο αζηείηαζ από ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ζημ ηνμπό. γ) Σδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 =5s εκενβμπμζμύιε ημ θνέκμ ηδξ δζάηαλδξ ιε απμηέθεζια κα αζηεί ζηδ πενζθένεζα ημο ηνμπμύ ιζα δύκαιδ F= 8 Ν μνζγόκηζα πνμξ ηα ανζζηενά. Ο θμνέαξ ηδξ δύκαιδξ δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο ηνμπμύ. Ακ δ δύκαιδ Ρ ελαημθμοεεί κα αζηείηαζ ζημκ ηνμπό ηαζ μ ηνμπόξ ζηαιαηά ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 2 =10 s: i) Να οπμθμβίζεηε ημκ ζοκηεθεζηή ηνζαήξ μθίζεδζδξ ιεηαλύ ηδξ επζθάκεζαξ ημο ηνμπμύ ηαζ ημο θνέκμο ii) Να ζπεδζάζεηε ημ δζάβναιια ζε ααειμθμβδιέκμοξ άλμκεξ ηδξ βςκζαηήξ ηαπύηδηαξ ημο ηνμπμύ ζε ζπέζδ ιε ημ Η δύλακε πνπ αζθείηαη από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ζε θάπνην ζηεξεό ζώκα ζπλήζσο δελ είλαη ίζε κε ην βάξνο ηνπ ζηεξενύ ζώκαηνο. Τπνινγίδεηαη από ηελ ζπλζήθε ηζνξξνπίαο ησλ δπλάκεσλ F 0, ζπκπεξηιακβάλνληαο όιεο ηηο δπλάκεηο. πνόκμ από ηδ πνμκζηή ζηζβιή t = 0 έςξ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t= 10 s. iii) Να οπμθμβίζεηε ηα ιέηνα ηςκ ζοκζζηςζώκ ηδξ δύκαιδξ πμο αζηεί μ άλμκαξ πενζζηνμθήξ ζημκ ηνμπό.(ρ π = 26Ν ιε ηαηεύεοκζδ πνμξ ηα πάκς ηαηαηόνοθα, Ρ, = 8Ν ιε ηαηεύεοκζδ πνμξ ηα δελζά μνζγόκηζα) 22Ν ιε ηαηεύεοκζδ ( Απ: α) 2 rad/s 2, 10 rad/s β) 22 N γ) 0,5 F y = 26 N, F x =8N ) 22. Ο ηαηαηόνοθμξ ηνμπόξ ιάγαξ Μ = 4 Κg ηαζ αηηίκαξ R = 0,5 m ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ βύνς από μνζγόκηζμ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο. Γύνς από ημκ ηνμπό είκαζ ηοθζβιέκμ ααανέξ κήια ζηδκ άηνδ ημο μπμίμο είκαζ ακανηδιέκμ ζώια ιάγαξ m= 2 Kg. Σμ όθμ ζύζηδια ανίζηεηαζ ζε δνειία ηαζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t=0 ημ ζώια ιάγαξ m αθήκεηαζ εθεύεενμ. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ημο ηνμπμύ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ημο Ι = ½ mr 2. ηαζ g= 10 m/s 2. Δπίζδξ δεκ παναηδνείηαζ μθίζεδζδ ιεηαλύ ηνμπμύ ηαζ κήιαημξ. Αλ ζην θαηλόκελν πνπ αλαθέξεηαη ε άζθεζε κεηέρνπλ δπν ζώκαηα ηα νπνία ζπλδένληαη κε λήκα ρσξίο νιίζζεζε θαη ην έλα εθηειεί κόλν ζηξνθηθή θίλεζε ελώ ην άιιν κόλν κεηαθνξηθή ηόηε: > ρεδηάδνπκε όιεο ηηο δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη ζην ζύζηεκα. Οη δπλάκεηο ζηα άθξα ελόο λήκαηνο πνπ ζπλδέεη ηα δύν ζώκαηα έρνπλ ζρέζε δξάζεο - αληίδξαζεο, > Πεξηγξάθνπκε ηε θίλεζε ηνπ θάζε ζώκαηνο μερσξηζηά κε βάζε ηνπο αληίζηνηρνπο λόκνπο. > ηξνθηθή:, ς =.., ε =.. θαη κεηαθνξηθή: F ma, ο =..., π =... Γηα ην κέηξν ηεο κεηαθνξηθήο επηηάρπλζεο α ηνπ ζώκαηνο πνπ εθηειεί κεηαθνξηθή θίλεζε ηζρύεη ε ζρέζε α=α βςκ R κόλν ζηελ πεξίπησζε πνπ ην λήκα δελ νιηζζαίλεη. 10

10 Να οπμθμβίζεηε: α) ηδκ επζηάποκζδ ημο ζώιαημξ ιάγαξ m, ηαεώξ ηαζ ημ νοειό ιεηααμθήξ ηδξ βςκζαηήξ ηαπύηδηαξ ημο ηνμπμύ. β) ηδκ ηάζδ ημο κήιαημξ ηαζ ηδ νμπή πμο δέπεηαζ μ ηνμπόξ. γ) όηακ έπεζ λεηοθζπεεί ζπμζκί ιήημοξ l = 10 m ηδ βςκζαηή ηαπύηδηα ημο ηνμπμύ δ) ηδ δύκαιδ πμο αζηεί μ μνζγόκηζμξ άλμκαξ ζημκ ηνμπό. ( Απ: α) 5m/s 2, 10 rad/s 2 β) 10 N 5Nm γ) 20 rad/s δ) F= 50 N ) 23. Η ηνμπαθία ιάγαξ Μ = 8Κg ηαζ αηηίκαξ R = 0,5 m ημο ζπήιαημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ βύνς από μνζγόκηζμ άλμκα πμο πενκά από ημ ηέκηνμ ηδξ. ημ πάκς ιένμξ ηδξ ηνμπαθίαξ εθάπηεηαζ νάαδμξ ΑΒ ιάγαξ m= 0,4 Kg, ημ ζδιείμ επαθήξ ημοξ είκαζ ημ ιέζμ ηδξ νάαδμο. Η νάαδμξ ζηδνίγεηαζ ζηδκ άνενςζδ Α, ζημ άηνμ ηδξ Β δέπεηαζ ηδκ επίδναζδ ζηαεενήξ δύκαιδξ ιέηνμο F = 4Ν δ μπμία ζπδιαηίγεζ βςκία 30 ιε ημκ μνίγμκηα όπςξ θαίκεηαζ ζημ ζπήια. Ο ζοκηεθεζηήξ ηνζαήξ μθίζεδζδξ ιεηαλύ ηνμπαθίαξ ηαζ νάαδμο είκαζ ι =0,5. Σδ πνμκζηή ζηζβιή t = 0 δ ηνμπαθία έπεζ βςκζαηή ηαπύηδηα ς 0 = 20 rad/s. ην θαηλόκελν πνπ αλαθέξεηαη ε άζθεζε: > Η ξάβδνο ηζνξξνπεί ελώ ε ηξνραιία εθηειεί νκαιά επηβξαδπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε- > Η θάζεηε δύλακε ζηήξημεο πνπ αζθεί ε ηξνραιία ζηε ξάβδν έρεη ζρέζε δξάζεο αληίδξαζεο κε ηε θάζεηε δύλακε ζηήξημεο πνπ αζθεί ε ξάβδνο ζηε ηξνραιία. > Σξηβή νιίζζεζεο (όρη ζηαηηθή) αζθείηαη από ηε ξάβδν ζηε ηξνραιία κε θνξά πξνο ηα - αξηζηεξά (δηόηη ην ζεκείν επαθήο ηεο ηξνραιίαο κε ηε ξάβδν νιηζζαίλεη πξνο ηα δεμηά) θαη επίζεο ηξηβή νιίζζεζεο αζθείηαη από ηε ηξνραιία ζηε ξάβδν κε βάζε ην λόκν δξάζεο - αληίδξαζεο, (αληίζεηε θαηεύζπλζε θαη ίδην κέηξν, ε δξάζε θαη ε αληίδξαζε αζθνύληαη ζε δηαθνξεηηθά ζώκαηα ). Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ηδξ ηνμπαθίαξ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ηδξ Ι = ½ mr 2. ηαζ g= 10 m/s 2. Δπίζδξ δ νάαδμξ ανίζηεηαζ ζε ζζμννμπία. α) Να οπμθμβίζεηε ηδ ηάεεηδ δύκαιδ ζηήνζλδξ πμο αζηεί δ ηνμπαθία ζηδ νάαδμ. β) Σδ βςκζαηή επζανάδοκζδ πμο απμηηά δ ηνμπαθία. γ) Σδ πνμκζηή ζηζβιή t=5s ηαηανβμύιε ηδ δύκαιδ F πμο αζηείηαζ ζημ άηνμ Β ηδξ νάαδμο. Να ανείηε ημ πνμκζηό δζάζηδια πμο πνεζάγεηαζ δ ηνμπαθία από ηδ ζηζβιή πμο ηαηανβείηαζ δ δύκαιδ ιέπνζ κα ζηαιαηήζεζ. ( Απ: α) 8Ν β) 2 rad/s 2 γ) 10 s ) 11

11 24. Οζ δύμ ηνμπαθίεξ ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιε ιάγεξ M 1 = 2Kg, Μ 2 = 4Κg ηαζ αηηίκεξ R 1 = 1m, R 2 = 0.5 m ακηίζημζπα, ιπμνμύκ ηαζ πενζζηνέθμκηαζ εκζαία βύνς από ημζκό μνζγόκηζμ άλμκα πςνίξ ηνζαέξ. Μέζς ηοθζβιέκμο κήιαημξ βύνς από ηάεε ηνμπαθία ακανηώκηαζ ζώιαηα ιάγαξ m 1 =3 Kg ηαζ m 2 =4 Kg από ηζξ ηνμπαθίεξ ιάγαξ M 1 ηαζ Μ 2 ακηίζημζπα. Σμ όθμ ζύζηδια ανπζηά ανίζηεηαζ ζε αηζκδζία, ιε ηα ζώιαηα ιάγαξ m 1 ηαζ m 2 ζημ ίδζμ ύρμξ ηαζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t=0 αθήκεηαζ εθεύεενμ. Γεκ οπάνπεζ μθίζεδζδ ιεηαλύ κήιαημξ ηαζ ηνμπαθίαξ. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ηδξ ηάεε ηνμπαθίαξ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ηδξ Ι = ½ mr 2. ηαζ g= 10 m/s 2., α) Να οπμθμβίζεηε ημ ιέηνμ ηαζ ηδ θμνά ηδξ ηαηαηόνοθδξ δύκαιδξ F πμο πνέπεζ κα αζηήζμοιε ζημ ζώια ιάγαξ m 2 ώζηε ημ ζύζηδια κα ζζμννμπεί. β) Να οπμθμβίζεηε ηδ βςκζαηή επζηάποκζδ ηςκ ηνμπαθζώκ ακ αθήζμοιε ημ ζύζηδια εθεύεενμ (ηαηανβείηαζ δ F), γ) Όηακ ηα ζώιαηα ιάγαξ m 1 ηαζ m 2 απέπμοκ ιεηαλύ ημοξ ηαηαηόνοθδ απόζηαζδ 60/11 m, κα οπμθμβίζεηε ηδ βςκζαηή ηαπύηδηα ηςκ δύμ ηνμπαθζώκ. ( Απ: α) 2Ν, θάηω β) 20/11 rad/s 2 γ) 40/11 rad/s ) 25. Ο ηνμπόξ ιάγαξ m=2kg ηαζ αηηίκαξ R= 0,5 m ηοθίεηαζ πςνίξ κα μθζζεαίκεζ ζε μνζγόκηζμ επίπεδμ. Η μνζγόκηζα δύκαιδ ιε ιέηνμ F = 15Ν αζηείηαζ ζημ ηέκηνμ ημο ηνμπμύ ηαζ ανπζηά μ ηνμπόξ ανζζηόηακ ζε δνειία. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ημο ηνμπμύ ςξ πνμξ ημ ηέκηνμ ιάγαξ ημο Ι = ½ mr 2. ηαζ g= 10 m/s 2 α) Να ανείηε ηδ ηαηεύεοκζδ ηδξ ζηαηζηήξ ηνζαήξ πμο αζηείηαζ ζημ ηνμπό ηαζ κα δζηαζμθμβήζεηε ηδκ απάκηδζδ ζαξ. Η θαηεύζπλζε ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο κπνξεί λα βξεζεί πνηνηηθά κόλν όηαλ ε ξνπή ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο είλαη ε κνλαδηθή ξνπή πνπ αζθείηαη ζην ζώκα, θαη άξα θαζνξίδεη ηε θαηεύζπλζε ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο, (ή αληηζηνίρσο: ε ηξηβή είλαη ε κνλαδηθή δύλακε ζηελ επζεία ηεο θίλεζεο πνπ αζθείηαη ζην ζώκα, θαη άξα θαζνξίδεη ηε θαηεύζπλζε ηεο κεηαθνξηθήο επηηάρπλζεο.) Γηα λα βξνύκε ηε θαηεύζπλζε ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο μεθηλάκε νπό ηε θαηεύζπλζε θαη ηε κεηαβνιή ηνπ. ηε ζπγθεθξηκέλε άζθεζε ην ζώκα επηηαρύλεηαη θαη από ηε ζρέζε έρνπκε: η μεηαβολή ηος έσει καηεύθςνζη => η έσει καηεύθςνζη => η έσει καηεύθςνζη Άπα η καηεύθςνζη ηηρ ζηαηικήρ ηπιβήρ είναι ππορ ηα απιζηεπά. β) Να ανείηε ηδ βςκζαηή επζηάποκζδ πμο απμηηά μ ηνμπόξ ηαζ ημ ιέηνμ ηδξ ζηαηζηήξ ηνζαήξ πμο αζηείηαζ ζε αοηόκ. γ) Ακ μ ζοκηεθεζηήξ ζηαηζηήξ ηνζαήξ είκαζ ι ζ = 0,5, κα ανείηε ηδ ιέβζζηδ ηζιή πμο ιπμνεί κα πάνεζ δ δύκαιδ F ώζηε κα έπμοιε ηύθζζδ πςνίξ μθίζεδζδ) δ) ε πόζδ ηαηαηόνοθδ απόζηαζδ πάκς από ημ ηέκηνμ Ο ημο ηνμπμύ πνέπεζ κα αζηδεεί δ μνζγόκηζα δύκαιδ F ώζηε δ ζηαηζηή ηνζαή πμο αζηείηαζ ζημ ηνμπό κα ιδδεκζζηεί. ( Απ: α) αξηζηεξά β) 10 rad/s 2, 5Ν γ) 30 Ν δ) R/2= 0,25 m ) 12

12 26. Ο ηνμπόξ ιάγαξ m = 2 Kg ηαζ αηηίκαξ R = 0,1 m ηοθίεηαζ πςνίξ κα μθζζεαίκεζ ζε μνζγόκηζμ επίπεδμ. Η μνζγόκηζα δύκαιδ ιε ιέηνμ F αζηείηαζ ζημ ακώηενμ ζδιείμ ηδξ πενζθένεζαξ ημο ηνμπμύ ιέζς εκόξ ααανμύξ κήιαημξ ημ μπμίμ είκαζ ηοθζβιέκμ ζημ ηνμπό. Ανπζηά μ ηνμπόξ ανζζηόηακ ζε δνειία ηαζ ηαηά ηδ ηίκδζδ ημο δεκ οπάνπεζ μθίζεδζδ ιεηαλύ κήιαημξ ηαζ ηνμπμύ ηαεώξ ημ κήια λεηοθίβεηαζ. Όηακ δ βςκζαηή ηαπύηδηα ημο ηνμπμύ είκαζ 40 rad/s μ ηνμπόξ έπεζ εηηεθέζεζ 20/π πενζζηνμθέξ. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ημο ηνμπμύ ςξ πνμξ ημ ηέκηνμ ιάγαξ ημο Ι = ½ mr 2 Όηαλ έλα ζηεξεό ζώκα εθηειεί ζύλζεηε θίλεζε κεηέρνληαο ηαπηόρξνλα ζε δύν είδε θηλήζεσλ, κία κεηαθνξηθή θαη κία ζηξνθηθή: > Με βάζε ηελ αξρή ηεο αλεμαξηεζίαο ησλ θηλήζεσλ πεξηγξάθνπκε ηε θίλεζε ηνπ κε ηνπο αληίζηνηρνπο λόκνπο. ηξνθηθή:, ς =.., ε =.. θαη κεηαθνξηθή: F ma, ο =..., π =... > Αλ ε θύιηζε γίλεηαη ρσξίο νιίζζεζε ηόηε ηζρύεη επίζεο θαη ε ζρέζε : α=α βςκ R > Σν μέηπο θαη ε καηεύθςνζη ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο δεν είναι καθοπιζμένα, αιιά πξνθύπηνπλ από ηηο παξαπάλσ εμηζώζεηο.. ηελ άζθεζή καο ε ζηαηηθή ηξηβή είλαη πξνο ηα δεμηά!!!. α) Να οπμθμβίζεηε ηδκ επζηάποκζδ ημο ηέκηνμο ιάγαξ ημο ηνμπμύ. β) Να ανείηε ηδ δύκαιδ F ηαζ ηδ ζηαηζηή ηνζαή πμο αζηείηαζ ζημ ηνμπό. γ) Σδ πνμκζηή ζηζβιή t = 5s κα ανείηε ηδ ηαπύηδηα ημο ζδιείμο ημο κήιαημξ πμο απμημθθάηαζ από ημκ ηνμπό. δ) Να ανείηε ηδ ιεηαηόπζζδ ημο ζδιείμο εθανιμβήξ ηδξ δύκαιδξ F ζημ κήια (ιεηαηόπζζδ κήιαημξ) όηακ μ ηνμπόξ έπεζ ιεηαημπζζεεί ηαηά 15 m. Εδώ κπνξνύκε λα ιύζνπκε ην πξόβιεκα κε ζηηγκηαίν άμνλα πεξηζηξνθήο απηόλ πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν όπνπ εθαξκόδεηαη ε Σξηβή. Έηζη κεδελίδνπκε ηελ ξνπή ηεο θαη εύθνια βξίζθνπκε ηελ θαηεύζπλζε ηεο από ηηο ζρέζεηο F ma θαη. ( Απ: α) 2 m/s 2 β) 3Ν, 1N νξηδόληηα δεμηά γ) 20m/s δ) 30 m ) 27. Η μιμβεκήξ ηαζ ζζμπαπήξ νάαδμξ ιάγαξ ηδ ημο ζπήιαημξ ζηδνίγεηαζ ζηδκ άνενςζδ Α ηαζ ζημ άηνμ ηδξ Β θένεζ ζθαζνίδζμ ιάγαξ m. Η ιάγα ηδξ νάαδμο είκαζ ίζδ ιε αοηή ημο ζθαζνζδίμο ηαζ ημ ιήημξ ηδξ είκαζ L. Η νμπή αδνάκεζαξ ηδξ νάαδμο ςξ πνμξ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ιάγαξ ηδξ ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζε αοηήκ είκαζ Ι CΜ = 1/12 ΜR 2, θ = 60 ηαζ g = 10 m/s 2. α) Να ανείηε ηδ νμπή αδνάκεζαξ ημο ζοζηήιαημξ ςξ πνμξ μνζγόκηζμ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ Α. β) Αθήκμοιε εθεύεενδ ηδ νάαδμ ζηδ εέζδ (ζ), κα ανείηε ηδκ βςκζαηή επζηάποκζδ ηδξ νάαδμο ζηζξ εέζεζξ: (ζ) μνζγόκηζα εέζδ, (ζζ) δ νάαδμξ ζπδιαηίγεζ βςκία 60 ιε ηδκ μνζγόκηζα δζεύεοκζδ ηαζ (ζζζ) ηαηαηόνοθδ εέζδ. 13

13 Η επηηάρπλζε ηνπ θέληξνπ κάδαο α CM πνπ ζα απνθηήζεη ε ζθαίξα έρεη κέηξν 5 acm g. Από ηη ηειεπηαία ζρέζε πξνθύπηεη όηη ε α CM εμαξηάηαη κόλν από ηα g,θ θαη ην 7 ζπληειεζηή ξνπήο αδξάλεηαο (ζηε ζθαίξα 2/5) ελώ είλαη αλεμάξηεηε από ηε κάδα θαη ηελ αθηίλα ηεο ζθαίξαο. Δειαδή δύν νπνηεζδήπνηε ζθαίξεο αλ αθαηζνύλ από ην ίδην ζεκείν ελόο θεθιηκέλνπ επηπέδνπ ζα θηάζνπλ ηαπηόρξνλα ζηε βάζε ηνπ. Σν ίδην πξνθαλώο ηζρύεη κεηαμύ δύν νπνηνλδήπνηε νκνεηδώλ ζηεξεώλ ζσκάησλ, π.ρ. δύν θύιηλδξνη ή δύν ηξνρνί. ( Απ: α) 4/3 ml 2 β) 9g/8L, 9g/16L, 0 ) 28. Μζα μιμβεκήξ ζθαίνα ιάγαξ Μ ηαζ αηηίκαξ R = 0,2 m αθήκεηαζ εθεύεενδ από ηδ ημνοθή εκόξ ηεηθζιέκμο επζπέδμο. Η βςκία ηθίζδξ ημο επζπέδμο είκαζ θ = 30 ηαζ δ ζθαίνα ηοθίεηαζ πςνίξ κα μθζζεαίκεζ. Η νμπή αδνάκεζαξ ηδξ ζθαίναξ ςξ πνμξ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ηδξ είκαζ Ι = 2/5 ΜR2 ηαζ g = 10 m/s2. α) Να ανείηε ηδ ηαηεύεοκζδ ηδξ ζηαηζηήξ ηνζαήξ ηαζ κα δζηαζμθμβήζεηε ηδκ απάκηδζδ ζαξ. Η θαηεύζπλζε ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο είλαη πξνο ηα πάλσ είηε ε ζθαίξα αθήλεηαη ειεύζεξε επί ηνπ θεθιηκέλνπ επηπέδνπ θαη θαηεβαίλεη, είηε βάιιεηαη από ηε βάζε ηνπ επηπέδνπ πξνο ηα πάλσ θαη αλεβαίλεη. Να εμεγήζεηε. β) Να οπμθμβίζεηε ημ ιέηνμ ηδξ επζηάποκζδξ ημο ηέκηνμο ιάγαξ ηδξ ζθαίναξ. γ) Ακ ημ ιήημξ ημο επζπέδμο είκαζ 25/14 m κα ανείηε ηδ βςκζαηή ηαπύηδηα ιε ηδκ μπμία θηάκεζ δ ζθαίνα ζηδ αάζδ ημο ηεηθζιέκμο επζπέδμο. Από ην ζεκειηώδε λόκν ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο πξνθύπηεη όηη αλ ε είλαη κεηαβιεηή κε ην ρξόλν θαη ε ξνπή αδξάλεηαο ζηαζεξή, ηόηε ε είλαη επίζεο κεηαβιεηή κε ην ρξόλν. Έρνπκε δειαδή επηηαρπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε αιιά όρη νκαιά επηηαρπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε. Απηό ζεκαίλεη όηη ελώ κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε ην παξαπάλσ λόκν θαη λα ππνινγίζνπκε ηε ζηηγκηαία επηηάρπλζε ηνπ ζώκαηνο, δελ κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο ζρέζεηο ω = ω 0 α γων Δt Δθ = ω 0 Δt 1 2 α γων Δt 2 νη νπνίεο ηζρύνπλ κόλν ζηελ νκαιά επηηαρπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε. Θα δνύκε παξαθάησ όηη ηέηνηνπ είδνπο θαηλόκελα ηα κειεηάκε κε ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο ελέξγεηαο. δ) Να οπμθμβίζεηε ηδ ιζηνόηενδ ηζιή πμο ιπμνεί κα έπεζ μ ζοκηεθεζηήξ ηνζαήξ ιεηαλύ ηδξ ζθαίναξ ηαζ ημο ηεηθζιέκμο επζπέδμο ώζηε δ ζθαίνα κα ηοθίεηαζ πςνίξ κα μθζζεαίκεζ. ε) Ακ εηημλεύαιε ηδ ζθαίνα από ηδ αάζδ ημο ηεηθζιέκμο επζπέδμο ιε θμνά πνμξ ηα πάκς πμζα δ βςκζαηή επζηάποκζδ πμο εα απμηημύζε ακ ηοθζόκηακ πςνίξ κα μθζζεαίκεζ; ( Απ: α) β) 25/ 7 m/s 2 γ) 125/ 7 rad/s δ) ε) rad/s ) 14

14 29. Έκαξ μιμβεκήξ ηύθζκδνμξ ηαζ ιζα μιμβεκήξ ζθαίνα αθήκμκηαζ ζημ ίδζμ ύρμξ εκόξ ηεηθζιέκμο επζπέδμο. Σα ζώιαηα ηοθάκε ηαηά ιήημξ ημο ηεηθζιέκμο επζπέδμο πςνίξ κα μθζζεαίκμοκ. Γίκμκηαζ: βζα ημκ ηύθζκδνμ Ι CM(K) = ½ MR2, βζα ηδ ζθαίνα Ι CM(K) = 2/5 MR2 α) Να ζοβηνίκεηαζ ηζξ επζηαπύκζεζξ ημο ηέκηνμο ιάγαξ ηςκ δομ ζςιάηςκ. α) Πμζμ από ηα δύμ ζώιαηα πνεζάγεηαζ ημκ θζβόηενμ πνόκμ βζα κα θηάζεζ ζηδ αάζδ ημο ηεηθζιέκμο επζπέδμο; ( Απ: α) α 2 >α 1 β) ε ζθαίξα ) 30. Ο ηύθζκδνμξ ιάγαξ Μ = 1Κg ηαζ αηηίκαξ R = 0,5 m ημο ζπήιαημξ έπεζ ηοθζβιέκμ βύνς ημο ααανέξ ιδ εηηαηό κήια. Ανπζηά ανίζηεηαζ ζε δνειία ζε μνζγόκηζμ επίπεδμ ιε ημ μπμίμ πανμοζζάγεζ ζοκηεθεζηή ζηαηζηήξ ηνζαήξ ι ζ = 2/3. Σδ t=0 αζημύιε ζημ κήια ιία ηαηαηόνοθδ δύκαιδ ιέηνμο F= 3Ν ιε απμηέθεζια μ ηύθζκδνμξ κα ηζκδεεί πνμξ ηα δελζά πςνίξ μθίζεδζδ. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ημο ηοθίκδνμο ςξ πνμξ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ηα ηέκηνα ηςκ δύμ αάζεςκ ημο είκαζ Ι = ½ ΜR 2 ηαζ g=10 m/s 2 α) Να ανείηε ηδ ηαηεύεοκζδ ηδξ ζηαηζηήξ ηνζαήξ ηαζ κα δζηαζμθμβήζεηε ηδκ απάκηδζδ ζαξ. β) Να οπμθμβίζεηε ημ ιέηνμ ηδξ επζηάποκζδξ ημο ηέκηνμο ιάγαξ ημο ηοθίκδνμο. γ) Να ανείηε ημ ιήημξ ημο κήιαημξ πμο έπεζ λεηοθζπεεί όηακ δ βςκζαηή ηαπύηδηα ημο ηοθίκδνμο είκαζ 8 rad/s. δ) Να οπμθμβίζεηε ηδ ιέβζζηδ ηζιή ηδξ δύκαιδξ F βζα ηδκ μπμία μ ηύθζκδνμξ ηοθίεηαζ πςνίξ κα μθζζεαίκεζ. ( Απ: α) β) 2 m/s 2 γ) 4 m δ) 5 Ν ) 15

15 ΣΡΟΦΟΡΜΗ 31. Ο ηαηαηόνοθμξ ηνμπόξ ιάγαξ Μ =4 Κg ηαζ αηηίκαξ R = 0,5 m ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ βύνς μπό μνζγόκηζμ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο. Γύνς από ημκ ηνμπό είκαζ ηοθζβιέκμ ααανέξ κήια ζηδκ άηνδ ημο μπμίμο είκαζ ακανηδιέκμ ζώια ιάγαξ m = 2 Kg, Σμ όθμ ζύζηδια ανίζηεηαζ ζε δνειία ηαζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t = 0 ημ ζώια ιάγαξ M αθήκεηαζ εθεύεενμ. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ημο ηνμπμύ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ημο είκαζ Ι = ½ ΜR2 ηαζ g=10 m/s2. Δπίζδξ δεκ παναηδνείηαζ μθίζεδζδ ιεηαλύ ηνμπμύ ηαζ κήιαημξ. Να οπμθμβίζεηε: α) ημ νοειό ιεηααμθήξ ηδξ ζηνμθμνιήξ ημο ζοζηήιαημξ. β) ημ νοειό ιεηααμθήξ ηδξ ζηνμθμνιήξ ημο ηνμπμύ. Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ελόο ζπζηήκαηνο ζσκάησλ δίλεηαη από ηε dl ζρέζε:.. Μόλν νη εμσηεξηθέο ξνπέο κεηαβάιινπλ ηελ ζηξνθνξκή ελόο dt ζπζηήκαηνο αθνύ νη ξνπέο πνπ νθείινληαη ζε εζσηεξηθέο δπλάκεηο(δξάζε-αληίδξαζε) αιιειναλαηξνύληαη. Γηα έλα ζώκα κόλν ηνπ πξνθαλώο όιεο νη ξνπέο είλαη εμσηεξηθέο dl Η ζρέζε:. δίλεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ελόο ζπζηήκαηνο dt ζσκάησλ ζε κία ρξνληθή ζηηγκή (αλ dt 0) είηε ε.. είλαη ζηαζεξή, είηε είλαη κεηαβιεηή (π.ρ. θίλεζε ξάβδνπ ζε θαηαθόξπθν επίπεδν). Η ζρέζε: d L L L dt t t t t αλαθέξεηαη ζε θάπνην ρξνληθό δηάζηεκα θαη δίλεη ηε κέζε ηηκή ηνπ ξπζκνύ κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο θαη ηε κέζε εμση. γ) ηδ βςκζαηή ηαπύηδηα ηδξ ηνμπαθίαξ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t=2 s. δ) ηδ ζηνμθμνιή ημο ζοζηήιαημξ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 = 5 s. ( Απ: α) 10 Nm β) 5 Nm γ) 20 rad/s δ) 50 Kgm 2 /s ) 32. Ο μνζγόκηζμξ ηνμπόξ ιάγαξ m = 2 Kg ηαζ αηηίκαξ R= 1m ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ (ζ) εηηεθεί πενζζηνμθζηή ηίκδζδ βύνς από ηαηαηόνοθμ άλμκα πμο πενκά από ημ ηέκηνμ ημο ιε βςκζαηή ηαπύηδηα ς 1 =20 rad/s. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ημο ηνμπμύ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ημο I= ½ m R 2. α) ηνέθμοιε ημκ άλμκα ημο ηνμπμύ ηαηά 180 εέζδ (ii) πςνίξ κα αθθάλεζ ημ ιέηνμ ηδξ βςκζαηήξ ημο ηαπύηδηαξ ς 2 = ς 1 = 20 rad/s. Γζα ηζξ εέζεζξ (ί) ηαζ (ii) κα οπμθμβίζεηε. i) ηδ ιεηααμθή ημο ιέηνμο ηδξ ζηνμθμνιήξ ημο ηνμπμύ. ii) ηδ ιεηααμθή ηδξ ζηνμθμνιήξ ημο ηνμπμύ. iii) ημ ιέηνμ ηδξ ιέζδξ νμπήξ πμο αζηήεδηε ζημκ ηνμπό ακ δ ιεηαηίκδζδ από ηδ εέζδ (ζ) ζηδ εέζδ (ii) έβζκε ζε πνμκζηό δζάζηδια 0,5 s. β) Να απακηήζεηε ζηα παναπάκς ενςηήιαηα βζα ηδκ πενίπηςζδ πμο πενζζηνέρμοιε ημκ άλμκα ημο ηνμπμύ ηαηά 90 ΰ, δδθαδή από ηδ εέζδ (ί) ζηδ εέζδ (ζζζ) ιε ς 3 = ς 1 = 20 rad/s. 16

16 Η ζηξνθνξκή είλαη δηαλπζκαηηθό κέγεζνο θαηά ζπλέπεηα νπνηαδήπνηε πξάμε κεηαμύ ζηξνθνξκώλ (π.ρ, νιηθή ζηξνθνξκή L L1 L2... ή κεηαβνιή ηεο ζηξνθνξκήο L L L ) είλαη ππάξη διανςζμαηική. Έηζη: Αλ όιεο νη ζηξνθνξκέο βξίζθνληαη ζηελ ίδηα επζεία νη πξνεγνύκελεο δηαλπζκαηηθέο ζρέζεηο κεηαηξέπνληαη ζε αιγεβξηθέο αλ επηιέμνπκε ζεηηθή θνξά πάλσ ζηελ επζεία θαη πξνζδηνξίζνπκε ην πξόζεκν ηεο θάζε ζηξνθνξκήο. Αλ νη ζηξνθνξκέο αλήθνπλ ζε δηαθνξεηηθέο επζείεο ηόηε εθαξκόδνπκε ηνλ θαλόλα ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ. Να πποζέξοςμε όηι ζε απκεηέρ πεπιπηώζειρ ενώ μεηαβάλλεηαι η καηεύθςνζη ηηρ ζηποθοπμήρ, ηο μέηπο ηηρ παπαμένει ζηαθεπό., Έηζι η μεηαβολή ηος μέηπος ηηρ ζηποθοπμήρ (αθαιπούμε ηα μέηπα όσι ηα διανύζμαηα) είναι μηδέν, ενώ η μεηαβολή ηηρ ζηποθοπμήρ (αθαιπούμε ηα διανύζμαηα) είναι διάθοπη ηος μηδενόρ. ( Απ: α) 0, 40 Kgm 2 /s πνμξ ηα ηάης, 80 Nm β) 0, 20 2 Kgm 2 /s κε ζ=45 0, 40 2 Νm) 33. Ο μνζγόκηζμξ ηνμπόξ ιάγαξ M=80 Kg ηαζ αηηίκαξ R=1m ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ βύνς από ηαηαηόνοθμ άλμκα πμο πενκά από ημ ηέκηνμ ημο. Ανπζηά μ δίζημξ είκαζ αηίκδημξ. Έκα παζδί ιάγαξ m= 40Kg ακεααίκεζ ζηδ πενζθένεζα ημο δίζημο ιε εθαπημιεκζηή ηαπύηδηα ο 0 = 10 m/s, ηαζ ημ ζύζηδια δίζημξ-παζδί ιπαίκεζ ζε πενζζηνμθζηή ηίκδζδ ιε βςκζαηή ηαπύηδηα ς. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ημο ηνμπμύ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ημο Ι = 1/2 mr 2 ηαζ όηζ μζ δζαζηάζεζξ ημο παζδζμύ είκαζ αιεθδηέεξ. Η ζηξνθνξκή ζπζηήκαηνο ζσκάησλ θαηά ηε ζύγθξνπζε δηαηεξείηαη γηαηί αζθνύληαη ζην ζύζηεκα εζσηεξηθέο ξνπέο (δξάζε-αληίδξαζε) θαη αιιειναλαηξνύληαη. Άξα ε ζηξνθνξκή ηνπ ζπζηήκαηνο πξηλ ( L. L1 L2 1 2) είλαη ίζε κε 1 2 ηε ζηξνθνξκή ηνπ κεηά ηε θξνύζε ( L. L1 L2 ( 1 2) ) θαη κεηά ηξνρόο θαη παηδί, θηλνύληαη κε ηελ ίδηα γσληαθή ηαρύηεηα. Αλ όιεο νη ζηξνθνξκέο βξίζθνληαη ζηελ ίδηα επζεία νη πξνεγνύκελεο δηαλπζκαηηθέο ζρέζεηο κεηαηξέπνληαη ζε αιγεβξηθέο αλ επηιέμνπκε ζεηηθή θνξά πάλσ ζηελ επζεία θαη πξνζδηνξίζνπκε ην πξόζεκν ηεο θάζε ζηξνθνξκήο. Η ζηξνθνξκή σο θπζηθό κέγεζνο δελ ραξαθηεξίδεη κόλν ηα ζώκαηα πνπ εθηεινύλ ζηξνθηθή θίλεζε. Έλα πιηθό ζεκείν ην νπνίν θηλείηαη επζύγξακκα έρεη ζηξνθνξκή σο πξνο θάπνηνλ άμνλα, ε νπνία έρεη κέηξν, L=m u r,όπνπ m ε κάδα ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ, π ε κεηαθνξηθή ηνπ ηαρύηεηα θαη r είλαη ε απόζηαζε ηνπ θνξέα ηεο ηαρύηεηαο από ηνλ άμνλα ππνινγηζκνύ ηεο ζηξνθνξκήο. Αλ ν θνξέαο ηεο ηαρύηεηαο δηέξρεηαη από ηνλ άμνλα ππνινγηζκνύ ηεο ζηξνθνξκήο ηόηε ε ζηξνθνξκή ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ είλαη κεδέλ. ' ' α) Να οπμθμβίζεηε ηδ βςκζαηή ηαπύηδηα πμο απμηηά ημ ζύζηδια δίζημξ - παζδί. β) Κάπμζα ζηζβιή ημ παζδί πνμπςνώκηαξ, ιεηαηζκείηαζ από ηδ πενζθένεζα ημο δίζημο ηαζ ζηέηεηαζ ζε απόζηαζδ Κ/2 από ημ ηέκηνμ πενζζηνμθήξ ημοξ. Να οπμθμβίζεηε: i) Σδ κέα βςκζαηή ηαπύηδηα ημο ζοζηήιαημξ δίζημξ - παζδί, ii) Σδ ιεηααμθή ηδξ ζηνμθμνιήξ ημο δίζημο ηαηά ηδ ιεηαηίκδζδ ημο παζδζμύ από ηδ πενζθένεζα ζε απόζηαζδ Κ/2 από ημ ηέκηνμ πενζζηνμθήξ. 17

17 iii) Σδ ιεηααμθή ηδξ ζηνμθμνιήξ ημο παζδζμύ ηαηά ηδ ιεηαηίκδζδ ημο από ηδ πενζθένεζα ζε απόζηαζδ R/2 από ημ ηέκηνμ πενζζηνμθήξ. γ) Σμ παζδί ανίζηεηαζ ζε απόζηαζδ R/2 από ημ ηέκηνμ πενζζηνμθήξ ηαζ ημ ζύζηδια πενζζηνέθεηαζ ιε βςκζαηή ηαπύηδηα 8 rad/s. Πμζμ είκαζ ημ ιέηνμ ηδξ ζηαεενήξ εθαπημιεκζηήξ δύκαιδξ πμο πνέπεζ κα αζηήζμοιε ζηδ πενζθένεζα ημο δίζημο ώζηε ημ ζύζηδια κα αηζκδημπμζδεεί ζε πνόκμ 10s; L Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη : Ακ 0 ηόηε θαη L 0 t Δειαδή ε νιηθή ζηξνθνξκή ηνπ ζπζηήκαηνο παξακέλεη ζηαζεξή. Άξα: ' L.. L.. => L1 L2 L1 L2 => L1 L2 δειαδή νη ζηξνθνξκέο ησλ δύν ζσκάησλ ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη αληίζεηεο. ' ( Απ: α) 5 rad/s β) 8 rad/s, 120Kgm 2 /s, - 120Kgm 2 /s γ) 40 Ν ) 34. Οζ δίζημζ Α ηαζ Β ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιπμνμύκ ηαζ πενζζηνέθμκηαζ βύνς από ημκ ίδζμ ηαηαηόνοθμ άλμκα μ μπμίμξ δζένπεηαζ από ηα ηέκηνα ημοξ. Ανπζηά μζ δίζημζ ανίζημκηαζ ζε δνειία ηαζ δέπμκηαζ ηδκ επίδναζδ ζηαεενήξ εθαπημιεκζηήξ δύκαιδξ ιέηνμο F = 10Ν μ ηάεε έκαξ. Οζ δοκάιεζξ αζημύκηαζ ζημκ ηάεε ηνμπό από ηδ πνμκζηή ζηζβιή t = 0 έςξ ηαζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 = 10s, μπόηε ηαζ ηαηανβμύκηαζ. Οζ δύμ δίζημζ έπμοκ ηδκ ίδζα αηηίκα R=1 m, δ ιάγα ημο δίζημο Β είκαζ m 2 =40Kg ηαζ δ βςκζαηή ηαπύηδηα πμο έπεζ απμηηήζεζ μ δίζημξ Α ηδ πνμκζηή ζηζβιή 10s έπεζ ιέηνμ ς 1 = 20 rad/s. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ δίζημο ςξ πνμξ άλμκα πενζζηνμθήξ πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο I= ½ mr 2. α) Να ζοβηνίκεηε ηα ιέηνα ηςκ ζηνμθμνιώκ πμο έπμοκ απμηηήζεζ μζ δομ δίζημζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 =10s. β) Να οπμθμβίζεηε ηδ βςκζαηή ηαπύηδηα ημο δίζημο Β ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 =10s ηαεώξ ηαζ ηδ νμπή αδνάκεζαξ ημο δίζημο Α. γ) Όηακ μ δίζημξ Α πενζζηνέθεηαζ ιε βςκζαηή ηαπύηδηα ιέηνμο ς, = 20 rad/s ηαζ μ Β ιε ς 2 = 5 rad/s, ιε ηαηάθθδθμ ιδπακζζιό αθήκμοιε ημκ Α δίζημ κα «πέζεζ» πάκς ζημκ Β πςνίξ κα αζηδεμύκ ελςηενζηέξ νμπέξ ζημ ζύζηδια ηςκ δύμ δίζηςκ. Σεθζηά μζ δύμ δίζημζ πενζζηνέθμκηαζ ιε ημζκή βςκζαηή ηαπύηδηα ς. Να οπμθμβίζεηε ηδ ημζκή βςκζαηή ηαπύηδηα ηςκ δύμ δίζηςκ. δ) Να οπμθμβίζεηε ηδκ απώθεζα εκένβεζαξ ημο ζοζηήιαημξ ηςκ δύμ δίζηςκ ιέπνζ κα απμηηήζμοκ ημζκή βςκζαηή ηαπύηδηα. ε) Πμζμ είκαζ ημ ιέηνμ ηδξ ελςηενζηήξ νμπήξ πμο πνέπεζ κα αζηδεεί ζημ ζύζηδια ηςκ δύμ δίζηςκ ώζηε ζε Γt = 20s κα απμηηήζμοκ βςκζαηή ηαπύηδηα ακηίεεηδ αοηήξ πμο οπμθμβίζαηε ζημ πνμδβμύιεκμ ενώηδια; ς=0 ( Απ: α) ίζεξ β) 5 rad/s, 5 Kgm 2 γ) 8 rad/s δ) 450 J ε) -20 Nm ) 18

18 ΔΡΓΑ-ΔΝΔΡΓΔΙΔ 35. Ο μνζγόκηζμξ δίζημξ ιάγαξ Μ = 2 Kg ηαζ αηηίκαξ R= 0,2 m ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ βύνς από ηαηαηόνοθμ άλμκα πμο πενκά από ημ ηέκηνμ ημο. Ανπζηά (t = 0) μ δίζημξ είκαζ αηίκδημξ ηαζ δέπεηαζ ηδκ επίδναζδ ζηαεενήξ εθαπημιεκζηήξ δύκαιδξ ιέηνμο F = 2Ν. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ δίζημο ςξ πνμξ άλμκα πενζζηνμθήξ πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο L =1/2 mr 2, Να οπμθμβίζεηε; Έξγν ζηαζεξήο ξνπήο δύλακεο W η = η ζ Αλ ε ξνπή είλαη κεηαβιεηή ηόηε ην έξγν ηεο ππνινγίδεηαη από ην εκβαδό ηνπ δηαγξάκκαηνο η = f(ζ) ή έκκεζα από ην Θεώξεκα Έξγνπ Ελέξγεηαο ζηελ ζηξνθηθή θίλεζε. Θ.Ε.Ε. ζηελ ζηξνθηθή θίλεζε: η ολ θ = ½ Ι ω 2 ηελ - ½ Ι ω 2 απσ Θ.Ε.Ε. ζηε κεηαθνξηθή θίλεζε: F ολ x = ½ m ς 2 ηελ ½ m ς 2 απσ (Θ.Μ.Κ.Ε.) Θ.Ε.Ε. ζηε ζύλζεηε θηλεζε: η ολ θ + F ολ x = (½ Ι ω 2 ηελ + ½ m ς 2 ηελ) (½ Ι ω 2 απσ+½ Ι ω 2 απσ) α) ημ ένβμ ηδξ δύκαιδξ όηακ δ βςκζαηή ηαπύηδηα ημο δίζημο είκαζ 10 rad/s. β) ηδ βςκζαηή ηαπύηδηα ημο δίζημο όηακ αοηόξ έπεζ δζαβνάρεζ βςκία 20rad. γ) ημ ένβμ ηδξ δύκαιδξ από ηδ πνμκζηή ζηζβιή ιδδέκ ιέπνζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 =2s δ) ηδ ιέζδ ζζπύ ηδξ δύκαιδξ από ηδ πνμκζηή ζηζβιή 0 ιέπνζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 =2s. ε) ημ νοειό ιε ημκ μπμίμ πνμζθένεζ εκένβεζα δ δύκαιδ F ζημ ηνμπό ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 =2s. dwf Fdx ηηγκηαία ηζρύο δύλακεο: PF F. dt dt dw d ηηγκηαία ηζρύο ξνπήο: P. dt dt Η ζηηγκηαία ηζρύο εθθξάδεη ην ξπζκό κε ηνλ νπνίν πξνζθέξεηαη ή αθαηξείηαη ελέξγεηα ζε έλα ζώκα κία νξηζκέλε ρξνληθή ζηηγκή t 1.. Αλ ζηηο παξαπάλσ ζρέζεηο ζέζνπκε όπνπ F ην F νι. θαη όπνπ η ην η νι. ηόηε πξνθύπηνπλ νη αληίζηνηρνη ξπζκνί κεηαβνιήο Ρπζκόο κεηαβνιήο ηεο κεηαθνξηθήο θηλεηηθήο ελέξγεηαο: dkm dwf F dx F. PF dt dt dt Ρπζκόο κεηαβνιήο ηεο πεξηζηξνθηθήο θηλεηηθήο ελέξγεηαο dk. dw. d. P. dt dt dt W F.. Μέζε ηζρύο δύλακεο: PF αλ F=Fνι ηόηε PF PF dt t W.. Μέζε ηζρύο ξνπήο: P αλ η=ηνι ηόηε P P dt t Η κέζε ηζρύο εθθξάδεη ην κέζν ξπζκό κε ηνλ νπνίν πξνζθέξεηαη ή αθαηξείηαη ελέξγεηα ζε έλα ζώκα ζε έλα ρξνληθό δηάζηεκα Δt. ( Απ: α) ίζεο β) 5 rad/s, 5 Kgm 2 γ) 8 rad/s δ) 450 J ε) -20 Nm ) 19

19 36. Έκαξ πμνεοηήξ εηηεθεί πενζζηνμθζηή ηίκδζδ βύνς από ηαηαηόνοθμ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ιάγαξ ημο. Η νμπή αδνάκεζαξ ημο είκαζ Ι 1 = 10 Κgm 2 ηαζ δ βςκζαηή ημο ηαπύηδηα ς 1 = 5 rad/s. Κάπμζα ζηζβιή μ πμνεοηήξ ζοιπηύζζεζ ηα άηνα ημο ιε απμηέθεζια δ νμπή αδνάκεζαξ ημο κα ιεηααθδεεί ηαηά 50% ηδξ ανπζηήξ ηδξ ηζιήξ. α) Να οπμθμβίζεηε ηδ κέα βςκζαηή ηαπύηδηα πενζζηνμθήξ ημο πμνεοηή. β) Να ανείηε ηδ πδιζηή εκένβεζα πμο δαπάκδζε μ πμνεοηήξ βζα κα ζοιπηύλεζ ηα άηνα ημο. ( Απ: α) 10 rad/s β) 125 J ) 37. Έκαξ μιμβεκήξ ηύθζκδνμξ ιάγαξ Μ ηαζ αηηίκαξ R = 0,2 m αθήκεηαζ εθεύεενμξ ζε ύρμξ h = 7,5 m από ηδ ημνοθή εκόξ ηεηθζιέκμο επζπέδμο. Η βςκία ηθίζδξ ημο επζπέδμο είκαζ θ = 30 ηαζ μ ηύθζκδνμξ ηοθίεηαζ πςνίξ κα μθζζεαίκεζ. Η νμπή αδνάκεζαξ ημο ηοθίκδνμο ςξ πνμξ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο είκαζ I = 1/2 ΜR 2 ηαζ g = 10 m/s 2. α) Να ανείηε ηδ ηαπύηδηα ημο ηέκηνμο ιάγαξ ιε ηδκ μπμία μ ηύθζκδνμξ θηάκεζ ζηδ αάζδ ημο ηεηθζιέκμο επζπέδμο.() β) Σδκ ηαπύηδηα εκόξ ζδιείμο ημο ηοθίκδνμο πμο απέπεζ από ημ ηεηθζιέκμ επίπεδμ απόζηαζδ 2R όηακ μ ηύθζκδνμξ θηάκεζ ζηδ αάζδ ημο ηεηθζιέκμο επζπέδμο.() γ) Να απακηήζεηε ζηδκ ενώηδζδ (α) ζηδκ πενίπηςζδ πμο μ ηύθζκδνμξ δεκ ηοθίεηαζ αθθά μθζζεαίκεζ πςνίξ ηνζαέξ. Απσή διαηήπηζηρ ηηρ μησανικήρ ενέπγειαρ ελόο ζώκαηνο (Α.Γ Μ.Δ.) Δ ΜΗΧ.ΑΡΧ. =Δ ΜΗΧ.ΣΔΛ. Ιζρύεη όηαλ ζην ζώκα αζθνύληαη κόλν ζπληεξεηηθέο δπλάκεηο ή αλ αζθνύληαη θαη κε ζπληεξεηηθέο ην έξγν ησλ κε ζπληεξεηηθώλ λα είλαη κεδέλ. Γηα λα ππνινγίζνπκε ηε δπλακηθή ελέξγεηα (mgh) ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο, ην h είλαη ην ύςνο ζην νπνίν βξίζθεηαη ην θέληξν κάδαο ηνπ ζώκαηνο από ην νξηδόληην επίπεδν κεδεληθήο δπλακηθήο ελέξγεηαο (h= 0). δ) Να ελδβήζεηε ηα δζαθμνεηζηά απμηεθέζιαηα ηςκ ενςηήζεςκ (α) ηαζ (β) ζηδνζγόιεκμζ ζηζξ εκένβεζεξ. ( Απ: α) 10 m/s β) 20m/s γ) 5 6 m/s δ) ) 38. Έκα ζηενεό ζώια ιάγαξ m αηηίκαξ r ηαζ νμπή αδνάκεζαξ Ι = θmr 2 (θ= ζηαεενά), αθήκεηαζ εθεύεενμ από ύρμξ h εκόξ ηεηθζιέκμο επζπέδμο βςκίαξ ηθίζδξ θ. Σμ ζώια ηοθίεηαζ επί ημο ηεηθζιέκμο επζπέδμο πςνίξ μθίζεδζδ. Γίκεηαζ g=10 m/s 2. α) Να απμδείλεηε όηζ δ ηαπύηδηα ηαζ δ επζηάποκζδ ημο ηέκηνμο ιάγαξ ημο ζώιαημξ 2gh δίκμκηαζ από ηζξ ζπέζεζξ: CM 1, g CM 1 όπμο h ημ ύρμξ ηαεόδμο ημο ζώιαημξ. β) Να ζοβηνίκεηε ηζξ ηαπύηδηεξ ς CM ηαζ ημοξ πνόκμοξ ηαεόδμο βζα ύρμξ h ζηα ζώιαηα: ζθαίνα ιε θ ζθ = 0,4, ηύθζκδνμξ ιε θ η = 0,5 ηαζ δαηηύθζμξ ιε θ δ = 1. ( Απ: π CMζθ > > π CMθ > π CMδ, t ζθ > < t θ < t δ ) 20

20 39. Ο ηνμπόξ ιάγαξ m= 2 Kg ηαζ αηηίκαξ R = 1m ηοθίεηαζ πςνίξ κα μθζζεαίκεζ ζε ηεηθζιέκμ επίπεδμ οπό ηδκ επίδναζδ δύκαιδξ ιέηνμο F = 26Ν, πανάθθδθδξ πνμξ ημ ηεηθζιέκμ επίπεδμ ιε θμνά πνμξ ηα πάκς. Η δύκαιδ αζηείηαζ ζε απόζηαζδ r = 0,5 m από ημ ηέκηνμ ημο ηνμπμύ. Ανπζηά μ ηνμπόξ ανζζηόηακ ζε δνειία (t = 0, h= 0), δ νμπή αδνάκεζάξ ημο ςξ πνμξ ημ ηέκηνα ιάγαξ ημο είκαζ Ι = ½ mr 2, δ βςκία ηθίζδξ ημο επζπέδμο είκαζ θ = 30 ηαζ g = 10 m/s 2. Να οπμθμβίζεηε: α) Σδ βςκζαηή επζηάποκζδ πμο απμηηά μ ηνμπόξ. β) Σδ ζηαηζηή ηνζαή πμο αζηείηαζ ζημ ηνμπό. γ) Σδ ζηνμθμνιή ηαζ ημ νοειό ιεηααμθήξ ηδξ ζηνμθμνιήξ ημο ηνμπμύ ηδ πνμκζηή ζηζβιή 5 s. δ) Σμ μθζηό ένβμ ηδξ δύκαιδξ F (ένβμ δύκαιδξ ηαζ ένβμ νμπήξ) από ηδκ t = 0 έςξ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t = 2 s. ε) Σδ ιδπακζηή Δκένβεζα ημο ηνμπμύ ηδ πνμκζηή ζηζβιή πμο ανίζηεηαζ ζε ηαηαηόνοθμ ύρμξ h=4m. ηε ζπγθεθξηκέλε άζθεζε λα ζεκεηώζνπκε όηη δελ ηζρύεη ε Α.Δ.Μ.Ε,, δηόηη ζην ζώκα αζθείηαη, θαη ε δύλακε F ε νπνία δελ είλαη ζπληεξεηηθή δύλακε θαη παξάγεη έξγν. Γη απηό κπνξνύκε λα ιύζνπκε ηελ άζθεζε ελεξγεηαθά : είηε κε Θεώξεκα Έξγνπ Ελέξγεηαο ζηελ ζηξνθηθή θίλεζε. ( Θ.Δ.Δ. ): W B + W F +W η.f = K ολ.ηελ Κ ολ.απσ => (επεηδή W T.ζηαη. =0 θαη W N = 0 ) -mgh + F x F r ζ = (½ Ι ω 2 ηελ + ½ m ς 2 ηελ) (½ Ι ω 2 απσ+½ Ι ω 2 απσ) είηε κε Αξρή Δηαηήξεζεο Ελέξγεηαο (Α.Γ.Δ.) : Δ ιδπ.ανπ +W F + W η.f = E ιδπ.ηεθ. ( κε W T.ζηαη. =0 θαη W N = 0 θαη ην βάξνο ζπληεξεηηθή δύλακε, άξα ε κόλε δύλακε πνπ κεηαβάιιεη ηε κεραληθή Ελεξγεία ηνπ ζώκαηνο είλαη ε F κέζα ηνπ νιηθνύ ηεο έξγνπ.) ( Απ: α) 1rad/s 2 β) 14Ν γ) 5 Kgm 2 /s 2, 1 Kgm 2 /s 2 δ) 78 J ε) 104 J ) 40. Ο ηνμπόξ ιάγαξ m = 2 Kg ηαζ αηηίκαξ R = 0,1 m ηοθίεηαζ πςνίξ κα μθζζεαίκεζ ζε μνζγόκηζμ επίπεδμ. Η μνζγόκηζα δύκαιδ ιε ιέηνμ F = 3Ν αζηείηαζ ζημ ακώηενμ ζδιείμ ηδξ πενζθένεζαξ ημο ηνμπμύ ιέζς εκόξ ααανμύξ κήιαημξ ημ μπμίμ είκαζ ηοθζβιέκμ ζημ ηνμπό. Ανπζηό μ ηνμπόξ ανζζηόηακ ζε δνειία ηαζ ηαηά ηδ ηίκδζδ ημο δεκ οπάνπεζ μθίζεδζδ ιεηαλύ κήιαημξ ηαζ ηνμπμύ ηαεώξ ημ κήια λεηοθίβεηαζ. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ημο ηνμπμύ ςξ πνμξ ημ ηέκηνμ ιάγαξ ημο Ι = ½ mr 2. α) Να οπμθμβίζεηε: ηδκ επζηάποκζδ ημο ηέκηνμο ιάγαξ ημο ηνμπμύ ηαζ ημ ιέηνμ ηαζ ηδξ ζηαηζηήξ ηνζαήξ πμο αζηείηαζ ζημ ηνμπό. β) Γζα ηδ πνμκζηή ζηζβιή t=2s κα οπμθμβίζεηε: i) Σμ νοειό ιεηααμθήξ ηδξ πενζζηνμθζηήξ ηζκδηζηήξ εκένβεζαξ ημο ζώιαημξ. ii) Σμ νοειό ιεηααμθήξ ηδξ ιεηαθμνζηήξ ηζκδηζηήξ εκένβεζαξ ημο ζώιαημξ. iii) Σμ νοειό ιεηααμθήξ ηδξ μθζηήξ ηζκδηζηήξ εκένβεζαξ ημο ζώιαημξ. γ) Σμ ένβμ ηδξ δύκαιδξ F από ηδ πνμκζηή ζηζβιή t=0 έςξ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t=2s. δ) Σμ πμζμζηό επί ημζξ εηαηό ημο ένβμο ηδξ δύκαιδξ F πμο έβζκε ηζκδηζηή εκένβεζα θόβς πενζζηνμθήξ 21

21 ( Ρπζκόο κεηαβνιήο ηεο πεξηζηξνθηθήο θηλεηηθήο ελέξγεηαο dk. dw. d. ( FR T R) dt dt dt Ρπζκόο κεηαβνιήο ηεο κεηαθνξηθήο θηλεηηθήο ελέξγεηαο: dk M dwf F dx F. ( F T ) dt dt dt Να πξνζέμνπκε εδώ όηη ην νιηθό έξγν (έξγν δύλακεο θαη έξγν ξνπήο) ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο ζε θύιηζε ρσξίο νιίζζεζε είλαη κεδέλ: W μθ.ζηαη.ηνζαήξ = W +W =Tx+(- TRε) = T x Ts ζε θύιηζε ρσξίο νιίζζεζε x=s άξα: W μθ.ζηαη.ηνζαήξ = T x T s = 0 Σν παξαπάλσ εθθξάδεη όηη ν ξπζκόο κε ηνλ νπνίν ε ξνπή ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο κεηώλεη ηε πεξηζηξνθηθή θηλεηηθή ηνπ ζώκαηνο, είλαη ίζνο θαηά απόιπηε ηηκή κε ην ξπζκό κε ηνλ νπνίν ε δύλακε ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο απμάλεη ηε κεηαθνξηθή θηλεηηθή ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο θαη αληηζηξόθσο. Απ: α) 2 m/s 2, 1 Ν νξηδόληηα δεμηά β) 8 J/s, 16J/s 24 J/s γ) 24J δ) 33, 3% ) 41. Ο ηνμπόξ ιάγαξ m = 2 Kg ηαζ αηηίκαξ R = 1m ημο ζπήιαημξ, εηηεθεί ηοηθζηή ηίκδζδ βύνς από ημ ηέκηνμ ιάγαξ ημο. Ο ηνμπόξ παναιέκεζ ζοκεπώξ ηαηαηόνοθμξ ηαζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t= 0 δ βςκζαηή ημο ηαπύηδηα είκαζ ς 0 = 24 rad/s. Η πενζθένεζα ημο ηνμπμύ ανίζηεηαζ ζοκεπώξ ζε επαθή ιε μνζγόκηζμ ηαζ ηαηαηόνοθμ ημίπςια όπςξ θαίκεηαζ ζημ δζπθακό ζπήια Ο ζοκηεθεζηήξ ηνζαήξ μθίζεδζδξ ιεηαλύ ηαο ηνμπμύ ηαζ ημο ηάεε ημζπώιαημξ είκαζ ι = 0,5. Η νμπή αδνάκεζαξ ημο ηνμπμύ βύνς από άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ιάγαξ ημο είκαζ I = ½ m R 2 ηαζ g = 10 m/s 2. Να ανείηε: α) Σδ ηνζαή μθίζεδζδξ πμο αζηεί ημ ηάεε ημίπςια ζημ ηνμπό. β) Σδ βςκία ζηνμθήξ πμο εα δζαβνάρεζ μ ηνμπόξ από ηδ t =0 ιέπνζ κα ζηαιαηήζεζ. γ) Σμ μθζηό ένβμ ηςκ ηνζαώκ πμο αζημύκηαζ ζημ ηνμπό από ηδ t =0 ιέπνζ κα ζηαιαηήζεζ. δ) Σδ ιεηααμθή ηδξ ζηνμθμνιήξ ημο ηνμπμύ από ηδ πνμκζηή ζηζβιή t = Ο ιέπνζ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t = 1s. ( Απ: α) 8Ν,. 4Ν β) 24 rad γ) 288J δ) -12 Kgm 2 /s ) 42. Η μιμβεκήξ ηαζ ζζμπαπήξ νάαδμξ ιάγαξ m 1 = 3Kg ηαζ ιήημοξ L= 1m ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ ζε μνζγόκηζμ επίπεδμ βύνς από άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ άηνμ ηδξ Α. Σμ ζθαζνίδζμ ιάγαξ m = 4 Kg είκαζ ημπμεεηδιέκμ ζημ ιέζμ ηδξ νάαδμο. Γύκαιδ ιέηνμο F= 4Ν αζηείηαζ ζοκεπώξ ηάεεηα ζημ άηνμ ηδξ νάαδμο. Η νάαδμξ λεηζκά από ηδκ δνειία ηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ηδξ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ηδξ είκαζ Ι = 1/3 m 1 L 2. Να οπμθμβίζεηε: α) ηδ νμπή αδνάκεζαξ ημο ζοζηήιαημξ νάαδμξ - ζθαζνζδίμο ηαζ ηδ βςκζαηή επζηάποκζδ πμο αοηό απμηηά. 22

22 β) ημ ένβμ ηδξ δύκαιδξ από ηδ πνμκζηή ζηζβιή t =0 έςξ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 = 2s ηαζ από ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 1 = 2s έςξ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t 2 = 4s. γ) ηδκ ζζπύ ηδξ δύκαιδξ F όηακ δ βςκία ζηνμθήξ ηδξ νάαδμο είκαζ 4 rad. δ) κα ανείηε ηδ βναιιζηή ηαπύηδηα ημο ζθαζνζδίμο όηακ δ βςκία ζηνμθήξ ηδξ νάαδμο είκαζ 4 rad. ηε ζπγθεθξηκέλε άζθεζε ε ξάβδνο πεξηζηξέθεηαη ζε νξηδόληην επίπεδν θαη δέρεηαη ζηαζεξή ξνπή. Καηά ζπλέπεηα ε ξάβδνο εθηειεί νκαιά επηηαρπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε θαη κπνξνύκε, πέξαλ ηεο ελεξγεηαθήο πξνζέγγηζεο λα αμηνπνηήζνπκε γηα ηε πεξηγξαθή ηνπ θαηλνκέλνπ ηηο ζρέζεηο: ω = ω 0 α γων Δt Δθ = ω 0 Δt 1 2 α γων Δt 2 ( Απ: α) 2 Kgm 2,. 2 rad/s 2 β) 16 J, 48 J γ) 16 W δ) -2 m/s ) 43. Η μιμβεκήξ νάαδμξ ιήημοξ L ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ πςνίξ ηνζαέξ βύνς από μνζγόκηζμ άλμκα μ μπμίμξ δζένπεηαζ από ημ ζδιείμ Α. Η νάαδμξ ζζμννμπεί ιε ηδ αμήεεζα ηδξ δύκαιδξ F πμο αζηείηαζ ζημ άηνμ ηδξ νάαδμο ηαζ ανίζηεηαζ ζημ ίδζμ ηαηαηόνοθμ επίπεδμ ιε αοηήκ. Γίκεηαζ δ ιάγα ηδξ νάαδμο m = 1Κg, ημ ιήημξ ηδξ νάαδμο L = 2m, δ βςκία θ = 30 ηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ηδξ νάαδμο ςξ πνμξ ημ ηέκηνμ ιάγαξ ηδξ Ι CM =1/12 ml 2 ηαζ g= 10 m/s 2. α) Να ανείηε ηδ δύκαιδ Γ πμο αζηείηαζ ζηδκ άηνδ ηδξ νάαδμο ώζηε δ νάαδμξ κα ζζμννμπεί. β) Κάπμζα πνμκζηή ζηζβιή δ δύκαιδ Γ ηαηανβείηαζ ηαζ δ νάαδμξ ιπαίκεζ ζε πενζζηνμθζηή ηίκδζδ. Να ανείηε ηδ βςκζαηή ηαπύηδηα ηδξ νάαδμο ηδ πνμκζηή ζηζβιή πμο ζπδιαηίγεζ βςκία 30 ιε ηδ ηαηαηόνοθμ. ηε ζπγθεθξηκέλε άζθεζε ε ξάβδνο πεξηζηξέθεηαη ζε θαηαθόξπθν επίπεδν θαη ε ξνπή πνπ ηεο αζθείηαη δελ είλαη ζηαζεξή. Καηά ζπλέπεηα ε ξάβδνο εθηειεί επηηαρπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε κε κεηαβιεηή επηηάρπλζε θαη δεν μποπούμε λα αμηνπνηήζνπκε γηα ηε πεξηγξαθή ηνπ θαηλνκέλνπ ηηο ζρέζεηο: σ = σ 0 α γσλ Δt θαη Δζ = σ 0 Δt 1 2 α γσλ Δt 2 - Γηα ηε πεξηγξαθή ηνπ θαηλνκέλνπ ππνρξεσηηθά αθνινπζνύκε ελεξγεηαθή κέζνδν.: Εθαξκόδνπκε ηελ Α.Γ Μ.Δ. => Δ ΜΗΥ.ΑΡΥ. =Δ ΜΗΥ.ΣΔΛ. Γηα λα ππνινγίζνπκε ηε δπλακηθή ελέξγεηα (mgh) ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο, ην h είλαη ην ύςνο ζην νπνίν βξίζθεηαη ην θέληξν κάδαο ηνπ ζώκαηνο από ην νξηδόληην επίπεδν κεδεληθήο δπλακηθήο ελέξγεηαο (h= 0). γ) Να ανείηε ηδ βναιιζηή ηαπύηδηα ηαο ηέκηνμο ηδξ νάαδμο όηακ δ νάαδμξ δζένπεηαζ από ηδ ηαηαηόνοθδ εέζδ. δ) Να ανείηε ηδ δύκαιδ πμο αζηεί μ μνζγόκηζμξ άλμκαξ Α ζηδ νάαδμ όηακ δ ηεθεοηαία δζένπεηαζ από ηδ ηαηαηόνοθδ εέζδ, ( Απ: α) 10 Nm β) 7,5 rad/s γ) 15 m/s δ) 25 N ) 23

23 44. Η μιμβεκήξ ηαζ ζζμπαπήξ νάαδμξ ιάγαξ Μ= 3Kg ηαζ ιήημοξ L= 1m ημο ζπήιαημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ πςνίξ ηνζαέξ βύνς από μνζγόκηζμ άλμκα μ μπμίμξ δζένπεηαζ από ημ άηνμ ηδξ Α. ημ άηνμ ηδξ Β είκαζ ημπμεεηδιέκμ ζθαζνίδζμ ιάγαξ m = 1 Kg. Η νμπή αδνάκεζαξ ηδξ νάαδμο ςξ πνμξ άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ιάγαξ ηδξ, ηάεεημ ζε αοηήκ, είκαζ Ι CΜ = 1/12 MR 2 ηαζ g = 10 m/s 2. Ακ δ νάαδμξ αθεεεί εθεύεενδ από ηδκ μνζγόκηζα εέζδ κα οπμθμβίζεηε: α) ηδ βναιιζηή ηαπύηδηα ημο ζθαζνζδίμο ηδ ζηζβιή πμο ημ ζύζηδια δζένπεηαζ από ηδκ * ηαηαηόνοθδ εέζδ. (5δζ/3) β) ημ νοειό ιεηααμθήξ ηδξ ζηνμθμνιήξ ημο ζοζηήιαημξ όηακ δ νάαδμξ: i) είκαζ ζηδκ μνζγόκηζα εέζδ, ii) πενκάεζ από ηδ ηαηαηόνοθδ εέζδ. iii) ζπδιαηίγεζ βςκία 60 ιε ηδκ μνζγόκηζα δζεύεοκζδ ηαζ iv) ζπδιαηίγεζ βςκία 120 ιε ηδκ μνζγόκηζα δζεύεοκζδ ( Απ: α) 5 m/s β) 25 Nm, 0, 12,5 Nm, -12,5 Nm ) 45. Αηίκδημξ ηαηαηόνοθμξ ηνμπόξ ιάγαξ Μ= 4 Κg ηαζ αηηίκαξ R = 0,5 m ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιπμνεί ηαζ πενζζηνέθεηαζ πςνίξ ηνζαέξ βύνς από μνζγόκηζμ άλμκα μ μπμίμξ δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο. θαζνίδζμ ιάγαξ mζ = Μ/2 αθήκεηαζ εθεύεενμ από ύρμξ h=0,2 m πάκς από ημκ μνζγόκηζμ άλμκα ηαζ πνμζημθθάηαζ ζημ ζδιείμ Α ηδξ πενζθένεζαξ ημο ηνμπμύ. Σμ ζδιείμ Α ανίζηεηαζ ζημ ίδζμ μνζγόκηζμ επίπεδμ ιε ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ημο ηνμπμύ. Γίκεηαζ δ νμπή αδνάκεζαξ ηνμπμύ ςξ πνμξ άλμκα πενζζηνμθήξ πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο Ι = ½ ΜR 2 ηαζ g = 10 m/s 2. Να ανείηε: α) Σδ βςκζαηή ηαπύηδηα πενζζηνμθήξ ημο ζοζηήιαημξ αιέζςξ ιεηά ηδ πνμξηόθθδζδ ημο ζθαζνζδίμο ζημ δίζημ. β) Σδκ εκένβεζα πμο έπαζε ημ ζύζηδια ηαηά ηδ πνμζηόθθδζδ ημο ζθαζνζδίμο ζημ δίζημ. γ) Σδ βςκζαηή ηαπύηδηα ημο ζοζηήιαημξ Καηά ηε θξνύζε ηζρύεη ε αξρή δηαηήξεζεο ηεο ζηξνθνξκήο ζην ζύζηεκα. (Α.Γ..). Μεηά ηε θξνύζε ηζρύεη ε (Α.Δ.Μ.Ε.) θαη ππνινγίδνπκε ηελ γσληαθή ηαρύηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο ζηηο δηάθνξεο ζέζεηο ηνπ. όηακ ημ ζθαζνίδζμ ανίζηεηαζ ζημ παιδθόηενμ ζδιείμ ηδξ ηνμπζάξ ημο. ( Απ: α) 2rad/s β) 2J γ) 2 6 rad/s ) 46. Γζα ημ δζπθακό ζπήια δίκεηαζ όηζ m1= 1Kg, ιάγα ηνμπαθίαξ M= 6Kg, αηηίκα ηνμπαθίαξ R= 0,5 m. Ο ζοκηεθεζηήξ ηνζαήξ μθίζεδζδξ ιεηαλύ ζώιαημξ ιάγαξ m1 ηαζ μνζγμκηίμο επζπέδμο είκαζ ι=0,2.σμ ζύζηδια αθήκεηαζ εθεύεενμ από αηζκδζία (t = 0) ηαζ ημ κήια δεκ μθζζεαίκεζ επί ηδξ ηνμπαθίαξ. Η νμπή αδνάκεζαξ ηδξ ηνμπαθίαξ βύνς από άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ιάγαξ ηδξ είκαζ Ι = ½ mr2 ηαζ g = 10 m/s2. Να ανείηε: α) Σδκ επζηάποκζδ ημο ζώιαημξ ιάγαξ m2. β) Σμ νοειό ιεηααμθήξ ηδξ ζηνμθμνιήξ ηδξ ηνμπαθίαξ. γ) Σμ πμζμζηό επί ημζξ εηαηό ημο ένβμο ημο αάνμοξ από t=0 ιέπνζ t = 2s πμο έβζκε εενιόηδηα θόβς ηδξ ηνζαήξ ιεηαλύ ζώιαημξ ιάγαξ m1 ηαζ μνζγμκηίμο επζπέδμο. δ) Σμ νοειό ιε ημκ μπμίμ ιεηααάθθεηαζ δ ηζκδηζηή εκένβεζα ηδξ ηνμπαθίαξ ηδ πνμκζηή ζηζβιή t=2s ( Απ: α) 3 m/s 2 β) 4,5 Kgm 2 /s γ) 10% δ) 54 Κgm 2 /s ) 24

24 47. θαίνα ιάγαξ m = 2 Kg ηαζ αηηίκαξ R = 0,1 m αθήκεηαζ από ύρμξ H = 5,4 m επί ηεηθζιέκμο μδδβμύ ιε απμηέθεζια ιόθζξ κα εηηεθέζεζ ακαηύηθςζδ ζε ηοηθζηή ζηεθάκδ αηηίκαξ R. Καηά ηδκ ηύθζζδ ηδξ ζθαίναξ δεκ έπμοιε μθίζεδζδ, δ νμπή αδνάκεζαξ ηδξ ςξ πνμξ ημ ηέκηνμ ιάγαξ ηδξ είκαζ I= 2/5 mr 2 ηαζ g = 10 m/s 2. Θεςνήζηε όηζ r<<r. α) Μα ανείηε ηδκ αηηίκα Κ ηδξ ηοηθζηήξ ζηεθάκδξ. β) Σδ ζηνμθμνιή ηδξ ζθαίναξ θόβς ηδξ ζδζμπενζζηνμθήξ ηδξ (sνίn) ζημ ακώηενμ ζδιείμ ηδξ ηοηθζηήξ ζηεθάκδξ. Ανακύκλωζη πάβδος. Μηα ξάβδνο εθηειεί αλαθύθισζε ζε θαηαθόξπθν επίπεδν αλ ε γσληαθή ηεο ηαρύηεηα ζην αλώηαην ζεκείν ηεο ηξνρηάο ηεο είλαη κεγαιύηεξε ή ίζε κε ην κεδέλ( σ 0). Η έθθξαζε «κόιηο λα εθηειέζεη αλαθύθισζε» ζεκαίλεη όηη ε γσληαθή ηαρύηεηα ζην αλώηεξν ζεκείν ηεο ηξνρηάο ηεο είλαη σ=0. Ανακύκλωζη ζθαιπιδίος ζε καηακόπςθη κςκλική ζηεθάνη (ή ζε κήια). Γηα λα εθηειέζεη έλα ζθαηξίδην ην νπνίν θπιίεηαη ζην εζσηεξηθό θπθιηθήο ζηεθάλεο αλαθύθισζε,πξέπεη ζην αλώηεξν ζεκείν ηεο ηξνρηάο ηνπ λα δέρεηαη δύλακε Ν 0. πλζήθε θπθιηθήο θίλεζεο ζην αλώηεξν ζεκείν ηεο ηξνρηάο ηνπ ζθαηξηδίνπ: 2 2 m m FR mg N θαη γηα Ν=0 έρνπκε R R 2 m mg min gh,όπνπ R ε αθηίλα ηεο θπθιηθήο ζηεθάλεο R ( Απ: α) 2 m β) Kgm 2 /s ) 48. Οιμβεκήξ δίζημξ αηηίκαξ R = 40 cm ηαζ ιάγαξ m = 5 Kg ζηνέθεηαζ ιε βςκζαηή ηαπύηδηα ς 1 = 5 rad/s βύνς από άλμκα πμο δζένπεηαζ από ημ ηέκηνμ ημο δίζημο ηαζ είκαζ ηάεεημξ ζημ επίπεδό ημο. Κάπμζα ζηζβιή αζηείηαζ εθαπημιεκζηά ηδξ πενζθένεζαξ ημο δίζημο ηαζ ζε ηοπαίμ ζδιείμ αοηήξ, δύκαιδ ζηαεενμύ ιέηνμο F = 5N. Η δύκαιδ αζηείηαζ κζα μνζζιέκμ πνμκζηό δζάζηδια Γt, ζημ ηέθμξ ημο μπμίμο δ βςκζαηή ηαπύηδηα ημο δίζημο έπεζ απμηηήζεζ ιέηνμ ς 2 = 30 rad/s. (Ι =1/2 mr 2 ). Να οπμθμβίζεηε: α) Σμ ιέηνμ ηδξ νμπήξ ηδξ δύκαιδξ. β) Σμ ιέηνμ ηδξ βςκζαηήξ επζηάποκζδξ πμο απμηηά μ δίζημξ. γ) Σμ πνμκζηό δζάζηδια Γt. δ) Σδ ιεηααμθή ηδξ ηζκδηζηήξ εκένβεζαξ ημο δίζημο ζημ πνμκζηό δζάζηδια πμο αζηήεδηε δ δύκαιδ. (Πανελλαδικέρ επαναληπηικέρ εξεηάζειρ - Ιούλιορ 2002) ( Απ: α) 2Nm β) 5 rad/s 2 γ) 5 s δ) 175 J ) 25

25 49. Η ηνμπαθία ημο δζπθακμύ ζπήιαημξ ιάγαξ Μ = 2Κg, ηαζ αηηίκαξ R 1 = 1m ιπμνεί κα πενζζηνέθεηαζ βύνς από μνζγόκηζμ άλμκα πςνίξ ηνζαέξ. Μέζς ηοθζβιέκςκ κδιάηςκ δομ ζώιαηα ιαγώκm 1 =1Kg ηαζ m 2 =4Kg ακανηώκηαζ από ηδκ ηνμπαθία ζε αηηίκεξ R 1 = m ηαζ R 2 = 0,5m ακηίζημζπα. Σμ ζώια ιάγαξ m 1, είκαζ δειέκμ ζημ πάκς άηνμ ηαηαηόνοθμο ζδακζημύ εθαηδνίμο ζηαεενάξ Κ = 100Ν/m. Σμ όθμ ζύζηδια ανίζηεηαζ ζε ζζμννμπία, δεκ οπάνπεζ μθίζεδζδ ιεηαλύ κήιαημξ ηαζ ηνμπαθίαξ, δ νμπή αδνάκεζαξ ηδξ ηνμπαθίαξ ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ ηδξ είκαζ Ι = ½ mr 2 ηαζ g = 10 m/s 2. α) Να ανείηε ηδ δύκαιδ πμο αζηεί ημ κήια ζημ ζώια ιάγαξ m 1. β) Να ανείηε ηδ παναιόνθςζδ ημο εθαηδνίμο. γ) Κάπμζα πνμκζηή ζηζβιή (t = 0) ημ κήια πμο ζοβηναηεί ημ ζώια m 1 ζπάεζ: i) Να βνάρεηε ηδ πνμκμελίζςζδ ηδξ ηαπύηδηαξ ημο ζώιαημξ m 1 εεςνώκηαξ εεηζηή θμνά ημο άλμκα ηδξ ηαθάκηςζδξ πνμξ ηα πάκς. ii) Να οπμθμβίζεηε ηδκ επζηάποκζδ ημο ζώιαημξ ιάγαξ m 2. iii) Πμζα είκαζ δ βςκζαηή ηαπύηδηα ηδξ ηνμπαθίαξ ηδ πνμκζηή ζηζβιή ηαηά ηδκ μπμία ημ ζώια ιάγαξ m 1, δζένπεηαζ βζα δεύηενδ θμνά από ημ ζδιείμ εηηίκδζδξ ηδξ ηαθάκηςζδξ ημο. ( Απ: α) 20 N β) 0,1 m γ) π=1ζπλ(10 t+π/2), 5m/s 2, 4πr/s ) 50. Γύμ ίδζεξ, θεπηέξ ζζμπαπείξ ηαζ μιμβεκείξ νάαδμζ ΟΑ ηαζ ΟΒ, πμο έπμοκ ιάγα Μ = 4 Kg ηαζ ιήημξ L=1,5 m δ ηάεε ιία, ζοβημθθμύκηαζ ημ έκα άηνμ ημοξ Ο, ώζηε κα ζπδιαηίγμοκ μνεή βςκία. Σμ ζύζηδια ηςκ δύμ νάαδςκ ιπμνεί κα πενζζηνέθεηαζ βύνς από μνζγόκηζμ άλμκα, ηάεεημ ζημ επίπεδμ ΑΟΒ, πμο δζένπεηαζ από ηδ ημνοθή Ο ηδξ μνεήξ βςκίαξ. Σμ ζύζηδια ανπζηά ζοβηναηείηαζ ζηδ εέζδ όπμο δ νάαδμξ ΟΑ είκαζ μνζγόκηζα (όπςξ ζημ παναπάκς ζπήια). Η νμπή αδνάκεζαξ ηδξ ηάεε νάαδμο ςξ πνμξ ημ ηέκηνμ ιάγαξ ηδξ είκαζ Ι =1/12 ML 2. ( g= 10 m/s 2, δι45 = ζοκ45 = 0,7). α) Να οπμθμβίζεηε ηδ νμπή αδνάκεζαξ ηδξ ηάεε νάαδμο ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ πμο δζένπεηαζ από ημ Ο. β) Από ηδκ ανπζηή ημο εέζδ ημ ζύζηδια ηςκ δομ νάαδςκ αθήκεηαζ εθεύεενμ κα πενζζηναθεί πενί ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ πενζζηνμθήξ ζημ ζδιείμ Ο, πςνίξ ηνζαέξ. Να οπμθμβίζεηε ημ ιέηνμ ηδξ βςκζαηήξ επζηάποκζδξ ημο ζοζηήιαημξ ηςκ δύμ νάαδςκ ηδ ζηζβιή ηδξ εηηίκδζδ ξ. γ) Σδ πνμκζηή ζηζβιή ηαηά ηδκ μπμία μζ νάαδμζ ζπδιαηίγμοκ ίζεξ βςκίεξ ιε ηδ ηαηαηόνοθμ κα οπμθμβίζεηε: i) Σμ ιέηνμ ηδξ βςκζαηήξ ηαπύηδηαξ ημο ζοζηήιαημξ ηςκ δύμ νάαδςκ. ii) Σμ ιέηνμ ηδξ ζηνμθμνιήξ ηδξ ηάεε νάαδμο ςξ πνμξ ημκ άλμκα πενζζηνμθήξ πμο δζένπεηαζ από ημ Ο. (Πακεθθαδζηέξ ελεηάζεζξ - Ιμύκζμξ 2002} ( Απ: α) 3 Kgm 2 /s, 3 Kgm 2 /s β) 5 rad/s 2 γ) 2 rad/s, 6 Kgm 2 /s ) 26