ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Διερεύνηση control-limit πολιτικών σε προβλήματα αντικατάστασης συστήματος με δύο καταστάσεις δύο μηνύματα και δύο αποφάσεις.

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Διερεύνηση cotrol-lmt πολιτικών σε προβλήματα αντικατάστασης συστήματος με δύο καταστάσεις δύο μηνύματα και δύο αποφάσεις Περίληψη Σε αυτό το κεφάλαιο μελετάμε μία ειδική περίπτωση του προβλήματος συντήρησης/αντικατάστασης των Οhsh-Ibarak που περιγράψαμε στο κεφάλαιο 6 με δύο καταστάσεις και δύο μηνύματα Ειδικότερα μελετάμε την κλάση των cotrol-lmt πολιτικών στην οποία ανήκει και η άριστη πολιτική με το κριτήριο βελτιστοποίησης για άπειρο χρονικό ορίζοντα και αναζητούμε συνθήκες κάτω από τις οποίες μία cotrol-lmt πολιτική επάγει Μαρκοβιανή διαμέριση στον χώρο των δπ Στην ενότητα 7 δίνουμε τις ιδιότητες των συναρτήσεων μεταφοράς που αντιστοιχούν στα δύο μηνύματα και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μία cotrol lmt πολιτική είναι πεπερασμένα μεταβατική Επίσης παρουσιάζουμε διαγράμματα για τις διάφορες περιπτώσεις Στην ενότητα 7 μελετάμε συνθήκες κάτω από τις οποίες μία cotrol-lmt πολιτική ικανοποιεί τη συνθήκη (Α) της ενότητας 53 καθώς και τις ειδικότερες συνθήκες κάτω από τις οποίες αυτή είναι περιοδική και δίνουμε αρκετά παραδείγματα περιοδικών πολιτικών 7 Πεπερασμένα μεταβατικές cotrol - lmt πολιτικές Θεωρούμε το πρόβλημα αντικατάστασης που περιγράψαμε στην ενότητα 6 με δύο καταστάσεις ((Ν)S{}) και δύο μηνύματα ((Μ) Θ{}) με βάση τις υποθέσεις Υ-Υ5 που αντανακλούν τον Μαρκοβιανό χαρακτήρα της χειροτέρευσης (βλέπε παραγράφο (6)) 39

2 Με και κωδικοποιούμε την καλή (λειτουργική) και την κακή (μη λειτουργική) κατάσταση αντίστοιχα Μήνυμα μπορεί να είναι ένα αποτέλεσμα της λειτουργίας του συστήματος που αντανακλά την άγνωστη σε μας κατάστασή του (πχ ποσοστό ελαττωματικών αντικειμένων αριθμός παραγόμενων τεμαχίων ανά ώρα κλπ) Ετσι ως μήνυμα και μπορούμε να κωδικοποιήσουμε χαμηλά ή υψηλά ποσοστά ελαττωματικών μονάδων που αντανακλούν τις καταστάσεις και αντίστοιχα Για να αποφύγουμε τετριμμένεs περιπτώσεις που δεν παρουσιάζουν ενδιαφέρον περιοριζόμαστε στην τυπική περίπτωση όπου ο πίνακας μετάβασης καταστάσεων και ο πίνακας μηνυμάτων R ζ φ P ηθ ψ χ ζ r ηθr r r φ χψ ) είναι γνήσια ΤPδηλαδή P R > ) έχουν μη μηδενικά στοιχεία δηλαδή : Ή j j rθή θ Σε κάθε χρονική περίοδο επιλέγεται μια απόφαση από το σύνολο Α{}όπου οι κωδικοποιήσεις είναι: :συνέχιση της λειτουργίας /συντήρηση του συστήματος :αντικατάσταση του συστήματος Αν είναι η κατάσταση του συστήματος και α η απόφαση τα άμεσα κόστη c(α) α είναι: C() c C() c C() R C()R για τα οποία υποθέτουμε ότι : c c R R και c-r c R Eίναι βολικό να εργαζόμεθα με την δεύτερη συνιστώσα του δπ: π (-) όπου δηλώνει την a ror πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση Παρόμοια εργαζόμαστε με την δεύτερη συνιστώσα του a-osteror δπ : Τ(πθ)(Τ(πθ) Τ(πθ)) την οποία συμβολίζουμε με Τ(θ) Δηλαδή Τ(θ)Ί Τ(πθ) εκφράζει την a-osteror πιθανότητα το σύστημα στον επόμενο χρόνο (t+) να βρεθεί στην κατάσταση δοσμένου ότι στον ίδιο χρόνο (t+) πήραμε το μήνυμα θ και ότι στον παρόντα χρόνο t επιλέξαμε την απόφαση α (συνέχιση της λειτουργίας του συστήματοs) και η πιθανότητα για την κατάσταση είναι 4

3 Eπίσης {θ/} είναι η πιθανότητα ότι στον επόμενο χρόνο (t+) το μήνυμα θα είναι θ δοσμένου ότι στον παρόντα χρόνο t η πιθανότητα για την κατάσταση του συστήματος είναι και λαμβάνεται η απόφαση α (συνέχιση της λειτουργίας) Θα περιοριστούμε στη μελέτη cotrol-lmt πολιτικών d με συνάρτηση ελέγχου: ( έ ί ) ά ( ) ( ά ) ά < Είναι φανερό ότι μια cotrol -lmt πολιτική d εξαρτάται αποκλειστικά από την κρίσιμη ποσότητα Η συνάρτηση κόστους V(/δ) που αντιστοιχεί στην d γράφεται: V(/δ) c+(c-c)+β{/}v(t()/δ)+ β{/}v(t()/δ)) αν και V(/δ)R+(R-R)+ βv(/δ) αν < Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε συνθήκεs που εξασφαλίζουν ότι μία cotrol - lmt πολιτική είναι πεπερασμένα μεταβατική (t) Εφαρμόζοντας τιs σχέσειs (44) και (45) κατόπιν πράξεων προκύπτει: όπου αθ rθ βθ(- ) rθ P rθ a Τ (θ) g q q + b q + d q 7 {θ/} γθ+δθ 7 γθ rθ+ rθ δθ rθ+ rθ- rθ- rθ ( r r ) P θ Προφανώς ισχύουν: αθ> γθ> θ Για θ:δ( r- r) P - P R < όπου είναι - R ( r- r) 73 Για θ:δ( r- r) P P R > Επίσης βθ(- )rθ P rθ > θ επειδή: P > 4

4 Αυτό προκύπτει διότι - και - ενώ ο επομένως η παραπάνω ορίζουσα είναι θετική πίνακας P είναι ΤP Λήμμα 7: ) Oι συναρτήσειs T ()T() είναι γνήσια αύξουσεs ) H συνάρτηση Τ() είναι γνησίως κυρτή και η συνάρτηση Τ() είναι γνησίως κοίλη Απόδειξη ) Η παράγωγος της Τ(θ) (θ) είναι: Τ (θ) ( a g q q + b q + d q bq gq - a q dq ) ( g + d ) q q δεδομένου ότι: b g - a d P r ( r + r )- r ( r - r ) P P r r > q q q q q q q q q q q q Επομένως η συνάρτηση Τ(θ) είναι γνήσια αύξουσα ) H δεύτερη παράγωγος της Τ(θ) (θ) είναι: Τ (θ)- (βθγθ-αθδθ)δθ(γθ+δθ) -3 Eπομένως Τ ( ) > επειδή δ < Τ () < επειδή δ > Λήμμα 7:Για τις συναρτήσεις Τ() T() ισχύουν: ) T()< T() ) T(θ) < θ W Απόδειξη Aρκεί να αποδείξουμε ότι: ( a + b )( g + d ) - ( a + b )( g + d ) > Λαμβάνοντας υπόψη ότι: {/}+{/} ( g + d ) + ( g + d ) το αριστερό μέλοs της αποδεικτέας ανισότητας γράφεται: ( a + b )( g + d ) - ( a + b )( g + d ) ( a + b )( - ( g + d )) - ( a + b )( g + d ) ( a + b ) - ( a - a + ( b - b ) )( g + d ) 4

5 ( r + P r ) - ( ( r - r ) + P ( r - r ) )( g + d ) r ( + P ) - ( r - r )( + P )( g + d ) ( + P )( r - ( r - r )( g + d )) > H τελευταία ανισότητα ισχύει επειδή: Αν r - r ³ t όt e r - ( r - r )( g + d ) ³ r - ( r - r ) r > Αν r - r < t όt e r - ( r - r )( g + d ) ³ r > ) Τ (θ) aq + bq r q g + d r + r q q q q < θ W Σχήμα 7: Οι συναρτήσεις T(θ) θ Παρατήρηση:Το γεγονός ότι η συνάρτηση T(θ) (θ)είναι αύξουσα είναι αναμενόμενο επειδή από την πρόταση 63 έχουμε: Όμως για π(-) π (- ) έχουμε: Αρα π π Ξ P ή T ( q) T( q) L L Ϋ και T ( q ) ( q ) Ϋ T ( q) T( q) ή L T T ( q) T( q) Επίσης από την πρόταση 6 έχουμε: που ισοδυναμεί με τη σχέση: T ( ) ( ) " ( - ) Ξ P L T T ( ) T( ) Tο γεγονός ότι η παραπάνω σχέση ισχύει με γνήσια ανισότητα (λήμμα 7) και ότι η συνάρτηση Τ(θ) (θ) είναι γνήσια αύξουσα οφείλεται στο γεγονός ότι υϊοθετήσαμε την τυπική περίπτωση στην οποία οι πίνακεs PR είναι γνησίως ΤP και έχουν μη μηδενικά στοιχεία Aλλεs χρήσιμες ιδιότητεs των L 43

6 συναρτήσεων Τ(θ) (θ) θα διατυπωθούν στην πρόταση 7 που ακολουθεί Στην συνέχεια της ενότηταs αυτής θα αναφερόμαστε σε μια corol-lmt πολιτική d με κρίσιμη πιθανότητα Ξ () Συνδεδεμένες με την πολιτική είναι οι συναρτήσεις μεταφοράs Τ(θδ) (θ) όπου Τ(θδ) εκφράζει την a-osteror πιθανότητα το σύστημα στον επόμενο χρόνο (t+) να βρεθεί στην κατάσταση δοσμένου ότι στον ίδιο χρόνο (t+) πήραμε το μήνυμα θ και ότι στον παρόντα χρόνο t η πιθανότητα για την κατάσταση είναι και επιλέξαμε την απόφαση δ()eτσι d Η συνάρτηση μεταφοράs Τ(θ δ) είναι ασυνεχής στο σημείο Σχήμα 7: H συνάρτηση T(θδ) με θ Σχήμα 73: H συνάρτηση T(θδ) με θ Εστω Dδ είναι το σύνολο των σημείων στα οποία η συνάρτηση ελέγχου δ παρουσιάζει ασυνέχεια Προφανώς Oρίζουμε τα σύνολα: Dδ{} D Dδ D - {Ξ[]: T( q d) Ξ D gά κάποιο θ Ξ { } } 3 Το σύνολο D είναι το σύνολο των a-ror πιθανοτήτων για την κατάσταση του συστήματος που είναι δυνατόν σε βήματα να μετασχηματισθούν a osteror στο σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης ελέγχου δ Αν η πολιτική d είναι πεπερασμένα μεταβατική ή περιοδική(ή γενικότερα ικανοποιεί την συνθήκη Α τηs 44

7 ενότηταs 53) τότε η d επάγει Μαρκοβιανή διαμέριση στον χώρο Π των δπ Σύμφωνα με το λήμμα 5 η πολιτική d είναι πεπερασμένα μεταβατική αν και μόνον αν είναι υπάρχει ³ έτσι ώστε: D Ζ Ο ακέραιος δ m{:d Ζ }δηλώνει τον δείκτη της d " ³ d και προφανώς D Ζ Παρατήρηση:Αν η κρίσιμη πιθανότητα τότε εφαρμόζουμε την πολιτική d ποτέ δεν αντικαθιστούμε το σύστημα (το αφήνουμε να λειτουργεί συνεχώς) Προφανώς η συνάρτηση ελέγχου δ είναι συνεχής και επομένως Αρα η πολιτική d αυτή Θεωρώντας Ξ () D DδΖ είναι πεπερασμένα μεταβατική με δείκτη δ στην περίπτωση είναι φανερό ότι: D {} D - {Ξ[ ]: T( q) Ξ D gά κάποιο θ Ξ {}} 3 Για απλοποίηση των συμβολισμών θέτουμε: ()Ί g()ί a + b T() g + d a + b Τ () g + d Στην πρόταση που ακολουθεί συγκεντρώνονται οι κυριότερες ιδιότητες των συναρτήσεων g / [] και απεικονίζονται στο σχήμα 74 που ακολουθεί Σχήμα 74: Οι συναρτήσεις g με τα μοναδικά τους xed-ot ξξ αντίστοιχα H απόδειξη ορισμένων από τις ιδιότητες αυτές στηρίζεται σε προτάσειs της στοιχειώδους ανάλυσης τιs oποίες παραθέτουμε στο παράρτημα Α 45

8 Πρόταση 7:Ιδιότητες των συναρτήσεων g/[] ) Oι συναρτήσεις g/[] είναι γνήσια αύξουσες ) Η συνάρτηση /[] είναι γνήσια κυρτή και η συνάρτηση g/[] είναι κοίλη ) < ( ) < g( ) < γνήσια v) Η συνάρτηση /[] έχει μοναδικό σταθερό σημείο στο διάστημα () το οποίο συμβολίζουμε με ξ δηλαδή (ξ)ξ Επιπλέον < ( ) < x " Ξ [ x ) και x < ( ) < " Ξ ( x ] v) Η συνάρτηση g/[] έχει μοναδικό σταθερό σημείο στο διάστημα () το οποίο συμβολίζουμε με ξ δηλαδή g(ξ)ξ Επιπλέον v) x < x g x < ( ) < x " Ξ [ ) και x < g( ) < " Ξ ( x ] Aπόδειξη Τα ()()και () είναι επαναδιατύπωση των λημμάτων 7 και 7 με τους νέους συμβολισμούς Τα (v)και(v) συνάγονται άμεσα από τα () και ()την συνέχεια των g/[]το γεγονός ότι < ( ) < < g( ) < " Ξ [] και την πρόταση του παραρτήματος Α v) Aν x x τότε από (v) και (v) έχουμε: ( x ) ³ x g( x ) πράγμα άτοπο επειδή από ()συνάγεται g( x) ( x) Eπομένως x x W Σημειώνουμε ότι το σταθερό σημείο x της συνάρτησης /[] προκύπτει ως η επιτρεπτή-δηλαδή η εντός του διαστήματος ()-λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης d c + ( g - b ) c - a Παρόμοια το σταθερό σημείο x της συνάρτησης g/[] προκύπτει ως η επιτρεπτήδηλαδή η εντός του διαστήματος ()- λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης d c + ( g - b ) c - a Eστω /[] η -στη σύνθεση της /[] με τον εαυτό της(o και γενικά -o 3 ) και g /[] η -στη σύνθεση της g /[] με τον εαυτό της( ggggog και γενικά g g-og 3 ) 46

9 Oι παραπάνω συνθέσεις είναι καλά ορισμένες επειδή όπως προκύπτει άμεσα από την πρόταση 7 για τα πεδία τιμών RRg των συναρτήσεων /[]g /[] ισχύει: R [()()] Μ() Rg [g()g()] Μ() Aπο την πρόταση 7 ()συνάγεται ότι: ( ) g ( ) Στα λήμματα 73 και 74 ανακεφαλαιώνονται οι κυριότερες ιδιότητες των συναρτήσεων /[] και g /[] αντίστοιχα Η απόδειξή τους είναι άμεση συνέπεια της πρότασης 3 του παραρτήματος A Λήμμα 73: Ιδιότητες της συνάρτησης /[] ) Για κάθε η συνάρτηση /[] είναι γνήσια αύξουσα με πεδίο τιμών [(o)()] Μ() και έχει σταθερό σημείο (το σταθερό σημείο της /[]) ) Για κάθε Ξ [ x ) η ακολουθία { ( )} είναι γνήσια αύξουσα ( ) x και ( ) Z x όταν Για κάθε Ξ ( x ] η ακολουθία { ( )} είναι γνήσια φθίνουσα x ( ) και ( ) ] x όταν W Λήμμα 74:Ιδιότητες της συνάρτησης g /[] Για κάθε η συνάρτηση g /[] είναι γνήσια αύξουσα με πεδίο τιμών [g(o)g()] Μ () και έχει σταθερό σημείο (το σταθερό σημείο της g/[]) Για κάθε Ξ [ x ) η ακολουθία { g ( )} είναι γνήσια αύξουσα g ( ) x και g ( ) Z x όταν Για κάθε Ξ ( x ] η ακολουθία { g ( )} είναι γνήσια φθίνουσα x g ( ) και g ( ) ] x όταν W Λήμμα 75: Eστω Ξ () ³ ) Αν οι εξισώσεις ( x) ( ) + x έχουν λύσεις στο διάστημα [] και τις συμβολίσουμε με τότε x ( x + ) x και x + αντίστοιχα (δηλαδή ( x) + ( x+ ) ) 47

10 ) Αν οι εξισώσεις g ( x) g ( ) + x έχουν λύσεις στο διάστημα [] και τις συμβολίσουμε με τότε xά gx ( Ά + ) xά και x + Ά αντίστοιχα (δηλαδή g( x Ά ) g ( x Ά + ) + ) Aπόδειξη ) Προφανώς οι λύσεις x και x + είναι μοναδικές Επειδή + ( x + ) ( ( x+ )) και ( x) συνάγεται ότι x ( x + ) ) Παρόμοια όπωs το () Λήμμα 76:Εστω Ξ () Αν οι εξισώσεις ( x) και gx ( ) έχουν λύσεις W στο διάστημα [] και τις συμβολίσουμε με x και x αντίστοιχα (δηλ ( x ) gx ( ) )τότε x < x Aπόδειξη Προφανώς οι λύσεις x και x είναι μοναδικές Αν x ³ x τότε από την πρόταση 7 έχουμε gx ( ) > ( x ) ³ ( x ) δηλαδή > πράγμα άτοπο Αρα x x W Εστω Ξ () η κρίσιμη ποσότητα που συνδέεται με μια cotrol-lmt πολιτική d Οι δυνατές περιπτώσεις πού χρήζουν διερεύνησης λαμβάνοντας υπόψη και την πρόταση 7 είναι οι ακόλουθες: ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ () < < x με δυνατές υποπεριπτώσεις (α) < < () < x (b) () < g() < x αν g() < x (c) g() < x αν g() < x () x < < ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 48

11 (3) x x ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 < < με δυνατές υποπεριπτώσεις (3α) x < < g() αν (3b) x ( ) g() g( ) x < < < < αν (3c) x g() ( ) g( ) x < < < < αν (3d) g( o) x ( ) g( ) x < < < < < αν g() g() g() g() > x > x > x < x ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 (4) x ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5 (5) x Eισάγουμε την ακόλουθη ορολογία: Έστω [ ] o ) Λέμε ότι είναι άμεσος (ή πρώτης τάξης) απόγονος του αν είναι η λύση της εξίσωσης ( ) δηλαδή ( ) και [ o ] )Λέμε ότι είναι άμεσος (ή πρώτης τάξης) g απόγονος του αν είναι η λύση της εξίσωσης g( ) δηλαδή g ( ) και [ o ] 3)Λέμε ότι είναι άμεσος (ή πρώτης τάξης) απόγονος του αν είναι άμεσος απόγονος ή g απόγονος του 4)Λέμε ότι είναι -στης τάξης απόγονος του ( )αν [ o ] και υπάρχουν [ o ] έτσι ώστε τα να είναι άμεσοι (πρώτης τάξης ) απόγονοι των αντίστοιχα Σημειώνουμε όπως προκύπτει άμεσα από την παραπάνω ορολογία ότι αν είναι -στης τάξης απόγονος του είναι +- τάξης απόγονος του και είναι άμεσος απόγονος του τότε Με την εισαγωγή των συμβολισμών g /[] στη θέση των Τ()T() τα σύνολα D γράφονται: D {} 49

12 D {Ξ[ ]: ( ) Ξ D - η g( ) D - Ξ } 3 Τονίζουμε το γεγονός ότι στα παραπάνω σύνολα το διάστημα αναφοράς είναι το []Tο σύνολο D μπορεί να θεωρηθεί ωs το σύνολο των η-στης τάξης απογόνων του Εστω zξ [ ] Oρίζουμε τα ακόλουθα σύνολα: D (z){z} D - (z){ξ[ ]: ( ) Ξ D ( z) ή - g( ) Ξ D ( z) } 3 Σημειώνουμε ότι στα παραπάνω σύνολα το διάστημα [] παραμένει ως διάστημα αναφοράς Το σύνολο D (z) μπορεί να θεωρηθεί ωs το σύνολο των -στης τάξης απογόνων του z Προφανώς για z έχουμε: D ()Ί D 3 Στην πρόταση που ακολουθεί αποδεικνύουμε ότι αν < z < x και z τότε η γενιά του z εκλείπει σε πεπερασμένο χρόνο Αυτή η ιδιότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όπως θα διαπιστώσουμε στη συνέχεια Πρόταση 7:Αν z < x και z τότε υπάρχει φυσικός αριθμός m ³ έτσι ώστε: D (z)ήζ < m και D (z)ζ " ³ m Aπόδειξη Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: ) z< () Τότε z Ο [ () ( )] και επομένως η εξίσωση ( x) z δεν έχει λύση στο διάστημα [] Λαμβάνοντας υπόψη ότι ( o) < g() (πρόταση 7()) έχουμε z< g() Συνεπώς z Ο [ g() g( )] και η εξίσωση g( x) z δεν έχει λύση στο διάστημα [] Άρα στην περίπτωση αυτή το z δεν έχει απογόνους και D (z) Ζ (m) ) () o z < x Eπειδή () Z x όταν (λήμμα 73 ()) υπάρχει φυσικός αριθμός ³ έτσι ώστε: (o) z " και () z > " > 5

13 Είναι φανερό ότι για κάθε > η εξίσωση [] επειδή απλά το z Ο [ () ( )] ( ) x z δεν έχει λύση στο διάστημα Για κάθε λαμβάνοντας υπόψη το λήμμα 73 () έχουμε: () Επομένως z Ξ[ () ( z)] και η εξίσωση z < () z < x ( ) x z διάστημα [z](και κατά συνέπεια στο []επειδή z έχει μοναδική λύση στο )την οποία συμβολίζουμε με z δηλαδή: ( z ) z " Αν τότε ( z ) ( z ) z Αν ³ από λήμμα 75 () έχουμε z- Eπειδή z Aρα z- > z Διακρίνουμε z ( ) z < x έχουμε ότι ( z ) > z (πρόταση 7 (v)) Ετσι προκύπτει η ακόλουθη διάταξη: α) ( o) z < m{ g( o) x} z < z < < z < z < x - τις ακόλουθες υποπεριπτώσεις: Επειδή z < g( o) έc oume z <z< g() o Επομένως z Ο [ g() g( )] z Ο [ g() g( )] και οι εξισώσεις g( x) z g( x) z δεν έχουν λύση στο διάστημα []Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν g-απόγονοι του z και των απογόνων του z z z Συμπεραίνουμε ότι: D (z)ζ " (m+) b) g(o) z x (φυσικά υπό την προϋπόθεση ότι g(o) < x ) Επειδή x < x (πρόταση 7(v)) έχουμε z< gz () < x (πρόταση 7(v))oπότε z Ξ [ g() g( z)] και η εξίσωση g( x) z έχει την μοναδική λύση - g () z στο διάστημα [z] (άρα και στο [] επειδή z ) Επομένως D (z){zψ} Επειδή z είναι η λύση της εξίσωσης ( x) το λήμμα 76 έχουμε < z z από Θα δείξουμε επαγωγικά ότι για οποιοδήποτε -τάξεως απόγονο του z (όπου ) w Ξ D () z ισχύει w z 5

14 Ο ισχυρισμός ισχύει για As υποθέσουμε ότι ο ισχυρισμός ισχύει για k < δηλαδή: w k Ξ D () z ή w z k Θα δείξουμε ότι ο ισχυρισμός ισχύει για k+( ) Η απόδειξη βασίζεται στην προφανή παρατήρηση ότι οι k+ τάξεως απόγονοι του z προκύπτουν ως άμεσοι πρώτης τάξης απόγονοι των k τάξεως απογόνων του z Εστω w k Ξ D () z Θεωρούμε τις εξισώσεις ( x) w g( x) w με λύσεις στο - διάστημα []-αν υπάρχουν- wά ( w) και - wάά g ( w) αντίστοιχα Με άλλα λόγια και εφόσον υπάρχουν - wά ( w) και - wάά g ( w) είναι άμεσοι πρώτης τάξεως απόγονοι του w και επομένως έχουμε wά< wά Πράγματι αν Εύκολα διαπιστώνουμε ότι : Ά> w z k + υπόθεση της επαγωγής wά wάά () Ά Ξ D w z k + k+ z Από το λήμμα 76 τότε w ( wά) > ( zk+ ) z που αντίκειται όμως στην w z k Ά Επομένως w w Ά k z k + και ο ισχυρισμός ισχύει για k+ Aποδείξαμε συνεπώς ότι για w Ξ D () z ή w z Εστω wξ D () z (οπότε w ) Θα δείξουμε ότι z z < ( o) Πράγματι αν z ³ ( o) τότε z ( z ) ³ ( ( o)) + ( o) δηλαδή z³ ( ()) + () το οποίο αντίκειται στον ορισμό του ως max{ Ξ N : ( o) z} Eπομένως w z < ( o) Συμπεραίνουμε ότι w Ο [ () ( )] w Ο[ g() g( )] και οι εξισώσεις ( x) w g( x) w δεν έχουν λύσεις στο [ο]mε άλλα λόγια το w δεν έχει απογόνους και + συνεπώς D ( z) Ζ ( m + ) W Πόρισμα 73: (Περίπτωση ) Αν xτότε η cotrol lmt πολιτική δ με κρίσιμη ποσότητα είναι πεπερασμένα μεταβατική Aπόδειξη Από την πρόταση 7 υπάρχει φυσικός αριθμός m³ έτσι ώστε: 5

15 D D ( ) ΉΖ < m και D D ( ) Ζ " ³ m Επομένως η πολιτική d είναι πεπερασμένα μεταβατική με δείκτη δm W Πρόταση 74:(Περίπτωση ) Αν x < < τότε η cotrol-lmt πολιτική δ με κρίσιμη ποσότητα είναι πεπερασμένα μεταβατική με δείκτη δ Επειδή Ξ ( x ) Aπόδειξη έχουμε x < g( ) < (πρόταση7(v)) Eπομένως Ο[ g() g( )] και η εξίσωση g(x) δεν έχει λύση στο [ο]επειδή x < x ( πρόταση 7(v)) έχουμε Ξ ( x] Συνεπώς x < ( ) < (πρόταση 7 (v))oπότε Ο[ () ( )] και η εξίσωση (x) δεν έχει λύση στο [ο]συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το δεν έχει άμεσους πρώτης τάξεως απογόνους δηλαδή D ΖΕπομένως η cotrol-lmt πολιτική δ είναι πεπερασμένα μεταβατική με δείκτη δ με κρίσιμη ποσότητα W Πρόταση 75:(Περίπτωση (3α)) Αν x go () και x g() o τότε η cotrol-lmt πολιτική δ με κρίσιμη ποσότητα είναι πεπερασμένα μεταβατική με δείκτη δ Aπόδειξη Επειδή Ο [ g() g( )] η εξίσωση g(x) δεν έχει λύση στο διάστημα [ο]επειδή x έχουμε x < ( ) < (πρόταση 7(v)) Eπομένως Ο[ () ( )] και η εξίσωση (x) δεν έχει λύση στο διάστημα [ο]συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το δεν έχει άμεσους πρώτης τάξεως απογόνους δηλαδή D Ζ Αρα η cotrol-lmt δ με κρίσιμη ποσότητα είναι πεπερασμένα μεταβατική με δείκτη δ Πρόταση 76:(Περιπτώσεις (3b) (3c)(3d)) Eστω ότι g() και x < < x 53

16 Αν υπάρχει φυσικός αριθμός l ³ έτσι ώστε να ισχύει η συνθήκη l D Μ [ x ) (Σ) Τότε η cotrol-lmt πολιτική μεταβατική d με κρίσιμη ποσότητα είναι πεπερασμένα Aπόδειξη Εστω ότι ισχύει η συνθήκη (Σ) για l ³ Aν l D Ζ τότε προφανώς η πολιτική d είναι πεπερασμένα μεταβατική με δείκτη l d Εστω ότι l D ΉΖ Προφανώς το πλήθος των l -τάξεως απογόνων του είναι l l πεπερασμένο; D Για z l Ξ D επειδή z Ξ [ x ) υπάρχει φυσικός αριθμός mz ( ) ³ : D () z ΉΖ < m( z) και D () z Ζ " ³ m() z (πρόταση 7) Επομένως η πολιτική () d είναι πεπερασμένα μεταβατική με δείκτη max{ m( z) : z Ξ D l d } + l Ο έλεγχος ισχύος της συνθήκης (Σ) στην παραπάνω πρόταση είναι δύσκολο εγχείρημα λόγω του πλήθους των δυνητικών απογόνων του (οι εν δυνάμει l -τάξεως απόγονοι του είναι l ) Ωστόσο είναι σχετικά απλό να εξετάσουμε την ισχύ της συνθήκης (Σ) για και l W l Πρόταση 77: Eστω g() και x < < x Τότε ) η συνθήκη (Σ) ισχύει για l αν και μόνον αν: < g( x ) ) Aν η συνθήκη (Σ) δεν ισχύει για l ( g( x ) ) τότε η (Σ) ισχύει για l αν και μόνο αν : g( ( )) < < g ( x ) Aπόδειξη 54

17 Οι δυνατές περιπτώσεις όταν (3d) Eπειδή g() και x x Ο[ () ( )] Ξ είναι οι (3b)(3c) και [ g() g( )] από τις δύο εξισώσεις ( c ) g( c ) μόνο η δεύτερη έχει λύση g - ( ) στο διάστημα [ ] Συνεπώς ο μοναδικός άμεσος (πρώτης τάξεως) απόγονος του είναι το και D { }Διαπιστώνουμε ότι Ή Πράγματι επειδή < x έχουμε: g( ) < g( ) (πρόταση 7 (v)) από την οποία προκύπτει < ) η συνθήκη (Σ) ισχύει για l τότε και μόνο τότε αν: < x η ισοδύναμα αν g( ) < g( x ) ) Aν δεν ισχύει η συνθήκη (Σ) για l τότε : x < Αν η εξίσωση ( c) έχει λύση στο διάστημα [ ] τότε - ( ) ³ Πράγματι επειδή ³ x από την πρόταση 7 (v) έχουμε: ( ) ³ ( ) από την οποία προκύπτει ³ Αν η εξίσωση g( c) < έχει λύση g στο διάστημα [ ] τότε - ( ) Πράγματι επειδή < x από την πρόταση 7 (v) έχουμε g( ) < g( ) από την οποία προκύπτει < Εξετάζοντας πότε οι παραπάνω εξισώσεις έχουν λύσεις στο διάστημα [ ] διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: ( ( o) < x ) ( ) < g() α) ( ( o) < x ) g() ( ) ή Επειδή Ξ[ () ( )] Ο [ g() g( )] μόνο η εξίσωση ( c) έχει λύση στο διάστημα [ ] Αρα D - ( ) { }Επειδή ³ συνάγεται ότι ³ x και επομένως η συνθήκη (Σ) δεν ισχύει για l 55

18 b) ( ) < < g() Eπειδή Ο[ () ( )] Ο [ g() g( )] οι εξισώσεις ( c) g( c) δεν έχουν λύση στο διάστημα [ ] Eπομένως D Ζ Σημειώνουμε ακόμη ότι: και η συνθήκη (Σ) ισχύει τετριμμένα για l ( ) < < g() g( ( )) < g( ) < g() c) < g < < g < x ( () ) () ( )( ( ) ) Eπειδή Ξ[ () ( )] Ξ [ g() g( )] οι εξισώσεις ( c) g( c) έχουν λύσεις - g ( ) στο διάστημα - ( ) [ ] Αρα D { } και l Συνάγεται ότι ³ x d) g g x ( ) () ( ( ) ) ή g g x () ( ) ( ( ) ) και επομένως η συνθήκη (Σ) δεν ισχύει για Eπειδή Ο[ () ( )] Ξ [ g() g( )] μόνο η εξίσωση g( c) έχει λύση g στο διάστημα [ ] Επομένως D - ( ) { } και < Η συνθήκη (Σ) ισχύει για l αν και μόνον αν < x ή ισοδύναμα αν ισχύει: g ( ) < g ( x ) Σημειώνουμε επίσης ότι: ( ) g() Ϋ g( ( )) g () g( ) < g() ( ) Ϋ και g () g( ( )) g( ) Συνοψίζοντας από τις περιπτώσεις (α)(b)(c)(d) συνάγεται ότι η συνθήκη (Σ) ισχύει για l τότε και μόνο τότε αν : g( ( )) g ( x ) W O έλεγχος της συνθήκης (Σ) για l 3 επιτυγχάνεται με παρόμοιο τρόπο όμως επισημαίνουμε ότι οι περιπτώσεις που πρέπει να εξετασθούν είναι περισσότερες Δίνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα παραλείποντας την απόδειξη Πρόταση 78: Eστω g() και x < < x Αν η συνθήκη (Σ) δεν ισχύει για l τότε η (Σ) ισχύει για l 3 αν και μόνον αν: 56

19 ) g (( ( )) < g ( x ) g(( ( )) < < g( ( g( x ))) ή ) g(( ( )) < ³ g ( x ) g ( ( )) < < g ( x ) 3 W Πρόταση 79 :(Περίπτωση (4)) Αν x τότε η cotrol-lmt πολιτική d με κρίσιμη ποσότητα είναι περιοδική Aπόδειξη Η εξίσωση ( c ) έχει λύση στο διάστημα x Eπομένως [ ] το σταθερό σημείο της x Ξ D Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις : ) x g() Εχουμε Ο [ g() g( )] και η εξίσωση g( c ) δεν έχει λύση στο διάστημα [ ]Επομένως D { x} " και η πολιτική d είναι τετριμμένα περιοδική ) x³ g() Eπειδή x xέχουμε x g( x) (πρόταση 7) Αρα Ξ [ g() g( )] και η εξίσωση g( c ) x έχει λύση [ ] - g ( x ) στο διάστημα Επειδή g( ) x g( x ) συνάγεται ότι x Σύμφωνα με την πρόταση 7 υπάρχει φυσικός αριθμός m ³ έτσι ώστε: D ( ) ΉΖ < m και D ( ) Ζ " ³ m Συμπεραίνουμε ότι : D { x } - K D { x} ΘU D ( ) k 57

20 Σημειώνουμε ότι D D m " ³ m Eπομένως η πολιτική d είναι περιοδική W Πρόταση 7 :(Περίπτωση (5)) Αν x τότε η cotrol-lmt πολιτική d με κρίσιμη ποσότητα είναι περιοδική Aπόδειξη Η εξίσωση g( c ) έχει λύση στο διάστημα [ ] το σταθερό σημείο της g x Eπομένως Επειδή x > x x Ξ D έχουμε ( ) < (πρόταση 7 (v)) Eπομένως Ο [ () ( )] και η εξίσωση ( c ) δεν έχει λύση στο διάστημα [ ] Συμπεραίνουμε ότι: D { x } και η πολιτική d είναι τετριμμένα περιοδική Τα διαγράμματα που ακολουθούν διαφωτίζουν τις διάφορες περιπτώσεις - 5Ενδεικτικά παραθέτουμε επίσης τη Μαρκοβιανή διαμέριση τη Μαρκοβιανή απεικόνιση και το διάγραμμα ροής της cotrol lmt πολιτικής για κάθε μία από τις περιπτώσεις Περίπτωση (): < < x ( πρβλ πρόταση 73) W Σχήμα 75 58

21 - - a + ( ) g b - d - - a + g ( ) g b - d - - a + ( ) g 3 b - d D {} D D D 3 { } { } 3 Ζ 3 d Mαρκοβιανή διαμέριση του διαστήματος []: V[ψ)V [ψψ3)v3 [ψ3ψ)v4 [ψ]v5() Mαρκοβιανή απεικόνιση v(jθ) Διάγραμμα ροής για την πολιτική d Περίπτωση (): x (πρβλ πρόταση 74) D {} D Ζ δ Mαρκοβιανή διαμέριση του διαστήματος []: V[ ] V() Σχήμα 76 59

22 Mαρκοβιανή απεικόνιση v(jθ) Διάγραμμα ροής για την πολιτική d Περίπτωση (3α): g() x x g() (πρβλ πρόταση 75) D {} D Ζ δ Σχήμα 77 Mαρκοβιανή διαμέριση του διαστήματος []: V[ ] V() Mαρκοβιανή απεικόνιση v(jθ) Διάγραμμα ροής για την πολιτική d 6

23 Πρόταση 77περίπτωση : g() x x g( x ) H Συνθήκη (Σ) ισχύει για l Σχήμα a + g ( ) g < x b - d - - a+ g ( ) b - d D {} D {ψ} Μ [ x ) D {ψ} D 3 Ζ δ3 Mαρκοβιανή διαμέριση του διαστήματος []: V[ψ) V [ψψ)v3 [ψ]v4 (] Mαρκοβιανή απεικόνιση v(jθ) Διάγραμμα ροής για την πολιτική d Πρόταση 77περίπτωση : g() x x ³ g( x ) 6

24 H Συνθήκη (Σ) δεν ισχύει για l: g( ( )) g( x ) H Συνθήκη (Σ) ισχύει για l - - a + g ( ) Σχήμα 79 g ξ b - d D {} D - - a + g g ( ) x b - d < { } D { } Μ [ x ) D 3 { } a + ( ) g 3 b - d Mαρκοβιανή διαμέριση του διαστήματος []: V[ψ3) V [ψ3 ψ)v3 [ψψ)v4 [ψ]v5() D 4 Ζ δ4 Mαρκοβιανή απεικόνιση v(jθ) Διάγραμμα ροής για την πολιτική d 6

25 Περίπτωση (4) : (πρβλ πρόταση 79) g() x g() - x ( ) x g ( ) - D {ξ} D { x } 3 Σχήμα 7 Mαρκοβιανή διαμέριση του διαστήματος [] V[ψ) V [ψ ] V3() Mαρκοβιανή απεικόνιση v(jθ) Διάγραμμα ροής για την πολιτική d Περίπτωση (5): (πρβλ πρόταση 79) ( ) x - - g ( ) x D {ξ} Σχήμα 7 63

26 Mαρκοβιανή διαμέριση του διαστήματος [] V[] V(] Mαρκοβιανή απεικόνιση v(jθ) Διάγραμμα ροής για την πολιτική d 7 Περιοδικές cotrol-lmt πολιτικές Στην ενότητα αυτή θα αναζητήσουμε cotrol-lmt πολιτικές οι οποίες να ικανοποιούν την συνθήκη (Α) της ενότητας 53 και ειδικότερα περιοδικές cotrollmt πολιτικές πέραν των τετριμμένων περιπτώσεων όπου η κρίσιμη ποσότητα είναι ξ ή ξ (βλέπε προτάσεις 79 7) Όπως θα διαπιστώσουμε στη συνέχεια τέτοιες πολιτικές συνδέονται με τα σταθερά σημεία πεπερασμένων συνθέσεων των συναρτήσεων μεταφοράς g όπως ορίστηκαν στην ενότητα 7 Επομένως πρώτα θα μελετήσουμε τέτοιες συνθέσεις τα σταθερά τους σημεία καθώς και τη διαδικασία υπολογισμού τους Θεωρούμε συναρτήσεις h h h ορισμένες στο διάστημα []όπου h ή h g 3 Επειδή τα πεδία τιμών των συναρτήσεων g /[] περιέχονται στο διάστημα [] οι συνθέσεις w hh oh /[] k k είναι καλά ορισμένες και τα πεδία τιμών τους περιέχονται στο διάστημα []Σημειώνουμε ακόμα ότι: k wk wk ohk /[] k Επειδή οι συναρτήσεις g /[] είναι γνήσια αύξουσες συνεχείς και ομογραφικές συνάγεται εύκολα ότι και οι συναρτήσεις wk /[] k είναι γνήσια αύξουσες συνεχείς και ομογραφικές: k Bk wk ( ) k k 64

27 Eπειδή w w h B h ( ) k k k k ( ) k ( k ( )) k k hk ( ) οι παράμετροι ΑkBkΓkΔκ υπολογίζονται όπως διαπιστώνεται εύκολα μέσω των αναγωγικών σχέσεων: A A a k k k Bk Ak k k k k k k k k όπου θ αν hk και θ αν hk g A a B όπου θ αν h και θ αν h g Τέλος οι συναρτήσεις w /[] k k ως ομογραφικές είναι κοίλες ή κυρτές Ανακεφαλαιώνονταςμια τυχούσα σύνθεση μήκους w /[]των συναρτήσεων g /[]είναι γνήσια αύξουσα συνεχής ομογραφική και κοίλη ή κυρτή συνάρτηση B w ( ) όπου οι παράμετροι υπολογίζονται μέσω των αναγωγικών σχέσεων που αναφέραμε προηγούμενα Επειδή συνάγεται ότι: ( x) g( x ) ( x) w ( ) g ( x) Επομένως w () w () και σύμφωνα με την πρόταση του παραρτήματος A η συνάρτηση w /[] έχει μοναδικό σταθερό σημείο ξ () Με άλλα λόγια η εξίσωση w ( ) έχει μοναδική λύση ξ στο διάστημα () και υπολογίζεται ως η επιτρεπτή δηλαδή η εντός του διαστήματος () λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ( B ) Σύμφωνα με την πρόταση του παραρτήματος A έχουμε: 65

28 < w ( ) < [ ) 7 < w ( ) < ( ] 7 Ειδικές περιπτώσεις τέτοιων συνθέσεων μήκους είναι η σύνθεση της ) και η g /[] (-στη σύνθεση της g /[] (-στη )που έχουν σταθερά σημεία (το σταθερό σημείο της και λήμματα 73 74) ) και (το σταθερό σημείο της g ) αντίστοιχα (βλέπε Mια σύνθεση μήκους w /[] των συναρτήσεων g θα αναφέρεται ως μη τετριμμένη αν w g Στην επόμενη πρόταση αποδεικνύεται ότι το σταθερό σημείο μιας μη τετριμμένης σύνθεσης των συναρτήσεων g ανήκει στο διάστημα (ξξ) Πρόταση 7 Θεωρούμε συναρτήσεις h h h ορισμένες στο διάστημα []όπου h ή h g 3 όχι όλες του ίδιου τύπου και τη (μη τετριμμένη) σύνθεση w hh oh /[] Έστω () το μοναδικό σταθερό σημείο της w Tότε ) < < ) < w( ) < < w( ) < w Aπόδειξη ) Επειδή η συνάρτηση /[] είναι μη τετριμμένη σύνθεση μήκους των συναρτήσεων g από την πρόταση 7() παίρνουμε: ( ) < w ( ) < g ( ) Αν τότε από την σχέση (7) παίρνουμε w ( ) ( ) πράγμα άτοπο επειδή w( ) ( ) Αν τότε από την σχέση (7) παίρνουμε g ( ) w ( ) πράγμα άτοπο επειδή g( ) > w( ) Επομένως ( ) 66

29 ) Συνάγεται άμεσα από το () και τις σχέσεις (7) (7) As θεωρήσουμε μια οποιαδήποτε μη τετριμμένη σύνθεση πεπερασμένου μήκους των συναρτήσεων gκαθώς και τις συνθέσεις που παράγονται με κυκλικές εναλλαγές των συναρτήσεων που συμμετέχουν στην αρχική σύνθεση Στην πρόταση που ακολουθεί παρέχονται χρήσιμες σχέσεις που συνδέουν τα σταθερά σημεία αυτών των συνθέσεων Όπως θα δείξουμε στη συνέχεια (πρόταση 73) η cotrollmt πολιτική με κρίσιμη ποσότητα το μέγιστο από αυτά τα σταθερά σημεία ικανοποιεί υπό προϋποθέσεις την συνθήκη (Α) της ενότητας 53 Πρόταση 7: Θεωρούμε h g συναρτήσεις h h h ορισμένες στο διάστημα []όπου 3 όχι όλες του ίδιου τύπου Θεωρούμε τη συνάρτηση h ή /[] που ορίζεται ως η σύνθεση των h h h και τις συναρτήσεις 3 /[] που παράγονται από τις συνθέσεις των κυκλικών εναλλαγών των h h h δηλαδή h h h h h3 h h h h h Αν είναι τα σταθερά σημεία των συναρτήσεων 3 /[] αντίστοιχα δηλαδή ( ) 3 τότε: ) ) h ( ) 3 όπου ) Aν h τότε Aν h g τότε 3 Aπόδειξη )Επειδή οι συναρτήσεις 3 /[] είναι μη τετριμμένες συνθέσεις μήκους των συναρτήσεων gτα σταθερά τους σημεία ανήκουν στο διάστημα ( ) σύμφωνα με την πρόταση 7 () ) Για 3 έχουμε 67

30 h ( ) h ( ( )) ( h )( ) ( h h h h h )( ) ( h h h h h )( h ( )) h ( ( )) Eπομένως h( ) είναι σταθερό σημείο της συνάρτησης /[] και επειδή αυτό είναι μοναδικό συμπεραίνουμε ότι h ( ) ) Για 3 έχουμε: Aν h τότε από το () ( ) Eπειδή > έχουμε ( ) < (πρόταση 7 (v)) Aν h gτότε από το () g( ) Eπειδή < έχουμε g( ) > (πρόταση 7 (v)) Παρατηρήσεις )Η πρόταση 7 παρέχει έναν απλό τρόπο υπολογισμού των σταθερών σημείων των συναρτήσεων /[] όπως αυτές ορίσθηκαν στην ίδια 3 πρόταση Αφού υπολογίσουμε το σταθερό σημείο κάποιας από τις παραπάνω συναρτήσεις με τη διαδικασία που περιγράψαμε στην αρχή της ενότητας για τα υπόλοιπα σταθερά σημεία μπορούμε να αποφύγουμε αυτή τη διαδικασία υπολογισμού και να εφαρμόσουμε απλές αναγωγικές σχέσεις που υπαγορεύονται από το τμήμα () της πρότασης 7 Συγκεκριμένα αν για παράδειγμα έχουμε υπολογίσει το σταθερό σημείο της συνάρτησης με τη γνωστή διαδικασία τότε τα υπόλοιπα σταθερά σημεία 3 των συναρτήσεων 3 υπολογίζονται μέσω των αναγωγικών σχέσεων h a ( ) όπου αν h και αν h g 3 - )Αν η διάταξη των συναρτήσεων gπου συμμετέχουν σε μία σύνθεση παρουσιάζει περιοδικότητα τότε προφανώς το σταθερό σημείο αυτής της σύνθεσης ταυτίζεται με το σταθερό σημείο της σύνθεσης του περιοδικού τμήματος (δηλαδή του τμήματος της διάταξης που επαναλαμβάνεται) Για παράδειγμα το σταθερό σημείο της σύνθεσης g g g g ταυτίζεται με το σταθερό σημείο της σύνθεσης g 68

31 Επίσης αν η διάταξη των g στη σύνθεση είναι περιοδική τότε και οι διατάξεις των gστις συνθέσεις 3 -που προκύπτουν με κυκλική εναλλαγή-παρουσιάζουν και αυτές περιοδικότητα Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι το πρόβλημα σχετικά με τα σταθερά σημεία συνθέσεων των συναρτήσεων g απλοποιείται αν περιοριστούμε σε συνθέσεις διατάξεων των παρουσιάζουν περιοδικότητα Πρόταση 73: Θεωρούμε h g συναρτήσεις h h h g ορισμένες στο διάστημα []όπου που δεν 3 όχι όλες του ίδιου τύπου έτσι ώστε η διάταξη να μην h ή παρουσιάζει περιοδικότητα Θεωρούμε τη συνάρτηση /[] πού ορίζεται ως η σύνθεση των h h h και τις συναρτήσεις 3 /[] πού παράγονται από τις συνθέσεις των κυκλικών εναλλαγών των h h h (όπως στην πρόταση 7)Εστω τα σταθερά σημεία των συναρτήσεων 3 /[] Θέτουμε max{ } και θεωρούμε τη cotrol-lmt πολιτική δ με κρίσιμη ποσότητα ) Για 3 έχουμε: Aν h Aν h τότε το είναι άμεσος Τότε: απόγονος του g τότε το είναι άμεσος g απόγονος του και ) ( και )Tα είναι άμεσοι απόγονοι των αντίστοιχα Θα αναφερόμαστε σε αυτά ως άμεσους περιοδικούς απογόνους των ) Aν ισχύει η συνθήκη (Σ ) τότε η πολιτική δ ικaνοποιεί τη συνθήκη (Α) της ενότητας 53 Η συνθήκη (Σ ) διατυπώνεται ως εξής: Για 3 σε περίπτωση που το σταθερό σημείο άμεσου περιοδικού απογόνου -άμεσο μη περιοδικό απόγονο έστω l έτσι ώστε: l D ( ) (Σ ) έχει-πέραν του υπάρχει Ειδικότερα αν κανένα από τα δεν έχει άμεσο μη περιοδικό απόγονο τότε η πολιτική δ είναι περιοδική 69

32 Aπόδειξη ) Aπό την πρόταση 7 () () και την επιλογή της κρίσιμης ποσότητας το μέγιστο των σταθερών σημείων έχουμε: Για 3 ως h ( ) ( ] Συμπεραίνουμε ότι αν h τότε το είναι άμεσος απόγονος του ενώ αν h g τότε το είναι άμεσος g-απόγονος του Στην πρώτη περίπτωση έχουμε ενώ στην δεύτερη ) Άμεση συνέπεια του () ) Θεωρούμε τα σύνολα (πρόταση 7)()) D m m k D k m Για m το σύνολο m D δηλώνει το σύνολο των απογόνων του τάξεως μικρότερης ή ίσης του m Aν ισχύει η συνθήκη (Σ )τότε σε συνδυασμό με το () συνάγεται ότι: όπου D m l m l D l : max{ l } (Αν το δεν έχει άμεσο μη περιοδικό απόγονο θέτουμε l ) Άρα η πολιτική ικανοποιεί τη συνθήκη (Α) της ενότητας 53 Σημειώνουμε ότι η αποκλείεται να είναι πεπερασμένα μεταβατική επειδή το () συνεπάγεται m D m Θεωρούμε τώρα την ειδική περίπτωση όπου κανένα από τα δεν έχει μη περιοδικό απόγονο Θα δείξουμε ότι η Τότε από το () συνάγεται ότι max{ } j m D { } m (mod ) j m D j m (mod ) m D j m (mod ) είναι περιοδική Πράγματι έστω 7

33 όπου χ+k k k Άρα η είναι περιοδική Παρατηρήσεις )Επειδή 3 (πρόταση 7 ()) και η κρίσιμη ποσότητα της πολιτικής είναι max{ } έχουμε < < )Το τμήμα () της πρότασης 73 δηλώνει ότι αν οι «γενιές» των άμεσων μη περιοδικών απογόνων των σταθερών σημείων -εφόσον υπάρχουν τέτοιοι εκλείπουν σε πεπερασμένο αριθμό χρονικών περιόδων (Συνθήκη (Σ )) τότε η πολιτική υπακούει στη συνθήκη (Α) της ενότητας 53 και επομένως επάγει Μαρκοβιανή διαμέριση στο χώρο Π (βλ πρόταση 534) 3) Αs θεωρήσουμε ότι ο άμεσος περιοδικός απόγονος δηλαδή ( ) Από την πρόταση 73 () έχουμε > άμεσος μη περιοδικός απόγονος του Επομένως είναι < του είναι τύπου Προφανώς ο δυνάμει τύπου g Eπομένως για να διαπιστώσουμε αν υπάρχει άμεσος μη περιοδικός απόγονος του εξετάζουμε αν η λύση g ( ) το g() g( ) της εξίσωσης g( ) ανήκει στο διάστημα [] ή ισοδύναμα αν o Επειδή < από την πρόταση 7(v) παίρνουμε: < < g( ) Άρα το έχει άμεσο μη περιοδικό απόγονο g ( ) αν g() Αποδεικνύεται εύκολα το ακόλουθο: Αν < g( ) τότε το ικανοποιεί τη συνθήκη (Σ ) Πράγματι η σχέση < g( ) ισοδυναμεί με τη σχέση g ( ) < Αν g ( ) < τότε το δεν έχει άμεσο μη περιοδικό απόγονο και επομένως ικανοποιεί τετριμμένα την (Σ ) Αν < < < τότε το έχει άμεσο μη περιοδικό απόγονο g ( ) ( ) ψ g ( ) Eπειδή ψ[ o ) σύμφωνα με την πρόταση 7 υπάρχει l l έτσι ώστε D ( ) 7

34 4)Aς θεωρήσουμε ότι ο άμεσος περιοδικός απόγονος του είναι τύπου g δηλαδή g ( ) Τότε προφανώς ο δυνάμει άμεσος μη περιοδικός απόγονος του είναι τύπου Επομένως για να διαπιστώσουμε αν υπάρχει άμεσος μη περιοδικός απόγονος ( ) διάστημα () ( ) του ανήκει στο διάστημα o εξετάζουμε αν η λύση ( ) ή ισοδύναμα αν το της εξίσωσης ανήκει στο Επειδή > > () συμπεραίνουμε ότι το αν ( ) έχει άμεσο μη περιοδικό απόγονο Αν ( ) τότε το ικανοποιεί τετριμμένα τη (Σ ) 5)Ας θεωρήσουμε ότι j δεν έχει άμεσο περιοδικό απόγονο και επομένως είναι το μέγιστο από τα σταθερά σημεία οπότε η κρίσιμη ποσότητα της πολιτικής είναι j Τότε Ο άμεσος περιοδικός απόγονος j του είναι τύπου g Πράγματι αν j ήταν -απόγονος του τότε θα είχαμε j > j πράγμα άτοπο Το δεν έχει άμεσο μη περιοδικό απόγονο Πράγματι ο δυνάμει μη περιοδικός απόγονος του είναι τύπου Επειδή > από την πρόταση 7 (v) παίρνουμε > ( ) Επομένως [ () ( )] και ή εξίσωση ( ) δεν έχει λύση στο διάστημα [ ]Έτσι το δεν έχει άμεσο μη περιοδικό απόγονο και συμπεραίνουμε ότι το ικανοποιεί τετριμμένα τη (Σ ) Παραδείγματα Στα παραδείγματα που ακολουθούν θεωρούμε τον πίνακα μετάβασης καταστάσεων P και τον πίνακα μηνυμάτων Rπου αντιστοιχούν στην απόφαση α (συνέχιση της λειτουργίας /συντήρησης του συστήματος): 8 8 P R Εφαρμόζοντας τις σχέσεις (7) (73) παίρνουμε: 7

35 5 ( ) T( ) και σταθερό σημείο g( ) T( ) και σταθερό σημείο Παράδειγμα 7: Για h g h παίρνουμε: ( ) g( ( )) 7 γνήσια αύξουσα κυρτή με πεδίο τιμών και σταθερό σημείο ( ) ( g( )) 5 γνήσια αύξουσα κοίλη με πεδίο τιμών κυρτήμε πεδίο τιμών κοίλημε πεδίο τιμών και σταθερό σημείο max{ } Eπειδή το περιοδικός h ( ) g ( ) h ( ) ( ) είναι άμεσος περιοδικός g-απόγονος του -απόγονος του Eπειδή > ( ) < g() 486 το δεν έχει άμεσο (μη περιοδικό) -απόγονο και το περιοδικό) g -απόγονο D { } (mod) D { } (mod ) και το είναι άμεσος δεν έχει άμεσο (μη Σχήμα 7: Διάγραμμα παραδείγματος 7 Η πολιτική με κρίσιμη ποσότητα είναι περιοδική Mαρκοβιανή διαμέριση του διαστήματος [] V[ ] V ( ] V3(] 73

36 Mαρκοβιανή απεικόνιση v(jθ) Διάγραμμα οής για την πολιτική δ Παράδειγμα 7:Για h g h g h3 παίρνουμε: ( ) g( ( )) κοίλη με πεδίο τιμών [ ] και σταθερό σημείο ( ) g( ( g( ))) κοίλη με πεδίο τιμών [597697] και σταθερό σημείο ( ) ( g( )) κοίλη με πεδίο τιμών [ ] και σταθερό σημείο Eπειδή max{ } 3 h ( ) g ( ) h ( ) g ( ) h ( ) ( ) τα είναι άμεσοι περιοδικοί g-απόγονοι των χ αντίστοιχα και το είναι άμεσος περιοδικός -απόγονος του 3 Eπειδή > ( ) 3 > ( ) 3 3 < g() 486 δεν έχουν άμεσο (μη περιοδικό) τα (μη περιοδικό) g -απόγονο -απόγονο και το 3 δεν έχει άμεσο D { } (mod3) D D { } (mod3) { } (mod3) 3 Η πολιτική με κρίσιμη ποσότητα είναι περιοδική 74

37 Σχήμα73: διάγραμμα παραδείγματος 7 Mαρκοβιανή διαμέριση του διαστήματος [] V[ 3 ] V ( 3 χ]v3(χ] V4( ] Mαρκοβιανή απεικόνιση v(jθ) Διάγραμμα ροής για την πολιτική d Παράδειγμα 73:Για h g h h3 παίρνουμε: ( ) g( ( )) κυρτή με πεδίο τιμών [536] και σταθερό σημείο ( ) ( g( )) κοίλη με πεδίο τιμών [9877] και σταθερό σημείο ( ) ( g( ( ))) κυρτή με πεδίο τιμών [934399] και σταθερό σημείο

38 Eπειδή max{ } 3 h ( ) g ( ) h ( ) ( ) 3 h ( ) ( ) το είναι άμεσος περιοδικός g-απόγονος του ενώ τα 3 είναι άμεσοι περιοδικοί -απόγονοι των 3 αντίστοιχα Eπειδή > ( ) < g() 3 συμπεραίνουμε ότι το 3 δεν έχουν άμεσο (μη περιοδικό) D { } (mod3) D { } (mod3) 3 < g() ( g() 486) δεν έχει άμεσο (μη περιοδικό) g -απόγονο -απόγονο και τα D { } (mod3) 3 Η πολιτική με κρίσιμη ποσότητα είναι περιοδική Σχήμα 74 : Διάγραμμα παραδείγματος 73 Mαρκοβιανή διαμέριση του διαστήματος []: V[ ] V ( 3 ] V3 ( 3 ] V4 (] Mαρκοβιανή απεικόνιση v(jθ) 76

39 Διάγραμμα ροής για την πολιτική d Παράδειγμα 74: h g h g h h παίρνουμε: Για ( ) g ( ( )) με πεδίο τιμών [787578] και σταθερό σημείο ( ) g( ( g( )) με πεδίο τιμών [564656] και σταθερό σημείο κυρτή κοίλη ( ) ( g ( )) κοίλη με πεδίο τιμών [383697] και σταθερό σημείο ( ) ( g( ( )) κοίλη με πεδίο τιμών [ ] και σταθερό σημείο max{ } 3 4 Eπειδή h ( ) g ( ) h ( ) g ( ) h ( ) ( ) h ( ) ( )

40 τα χ3 είναι άμεσοι περιοδικοί g-απόγονοι των είναι άμεσοι περιοδικοί Eπειδή 4 -απόγονοι των ( ) ( ) g() αντίστοιχα 4 αντίστοιχα ενώ τα g() 4 (g()486)συμπεραίνουμε ότι τα δεν έχoυν άμεσο (μη περιοδικό) - απόγονο καθώς επίσης τα 3 4 δεν έχουν άμεσο (μη περιοδικό) g -απόγονο D { } (mod 4) D D { } (mod 4) 3 { } (mod 4) D { } 3(mod 4) 4 Η πολιτική με κρίσιμη ποσότητα είναι περιοδική Mαρκοβιανή διαμέριση του διαστήματος []: V[ 3 ] V ( 3 4 ] V3 ( 4 ] V4 ( ] V5(] Σχήμα 75 : Διάγραμμα παραδείγματος 73 78

41 Mαρκοβιανή απεικόνιση v(jθ) Διάγραμμα ροής για την πολιτική d ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στο κεφάλαιο αυτό μελετήσαμε την κλάση των cotrol lmt (λογικών) πολιτικών (στην οποία ανήκει και η άριστη πολιτική με το κριτήριο βελτιστοποίησης για άπειρο χρονικό ορίζοντα)σε ένα πρόβλημα αντικατάστασης συστήματος με δύο καταστάσεις δύο μηνύματα και δύο αποφάσεις Ειδικότερα Διαπιστώσαμε ότι οι συναρτήσεις μεταφοράς που αντιστοιχούν στα δύο μηνύματα είναι ομογραφικές δώσαμε τις ιδιότητές τους και δείξαμε ότι έχουν μοναδικά σταθερά σημεία Εξετάσαμε τους απογόνους της κρίσιμης ποσότητας μιας cotrol-lmt πολιτικής Παρουσιάσαμε συνθήκες κάτω από τις οποίες μια cotrol lmt πολιτική είναι πεπερασμένα μεταβατική καθώς επίσης και διαγράμματα για κάθε περίπτωση Διαπιστώσαμε ότι πεπερασμένες συνθέσεις των συναρτήσεων μεταφοράς είναι επίσης ομογραφικές συναρτήσεις και έχουν μοναδικά σταθερά σημεία Μελετήσαμε κάτω από ποιες συνθήκες το μέγιστο των σταθερών σημείων που αντιστοιχούν σε κυκλικές εναλλαγές μιας πεπερασμένης σύνθεσης συναρτήσεων μεταφοράς αποτελεί κρίσιμη ποσότητα μιας cotrol- lmt πολιτικήs που ικανοποιεί τη συνθήκη (Α) της ενότητας 53 καθώς και τις ειδικές συνθήκες κάτω από τις οποίες η πολιτική αυτή είναι περιοδική Παρουσιάσαμε αριθμητικά παραδείγματα περιοδικών cotrol- lmt πολιτικών 79

42 8