Ámbito científico tecnolóxico. Xeometría. Unidade didáctica 2. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Transcript

1 Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 2 Xeometría

2 Índice 1. Introdución Descrición da unidade didáctica Coñecementos previos Criterios de avaliación Secuencia de contidos e actividades Teorema de Pitágoras Xeometría no plano Perímetros e áreas de polígonos Lonxitude e área de figuras circulares Perímetros e áreas de figuras planas en xeral Xeometría do espazo Poliedros regulares Prismas Pirámides Corpos de revolución Teorema de Tales. Aplicacións Teorema de Tales Relación entre áreas e volumes de figuras semellantes Mapas e escalas Coordenadas xeográficas. Lonxitude e latitude Coordenadas xeográficas Lonxitude e latitude Fusos horarios Actividades finais Solucionario Solucións das actividades propostas Solucións das actividades finais Glosario Bibliografía e recursos Anexo. Licenza de recursos Páxina 2 de 59

3 1. Introdución 1.1 Descrición da unidade didáctica Nesta unidade veremos como calcular os perímetros e as áreas de todos os polígonos e figuras circulares planas tanto illadas como mesturadas unhas coas outras. Estudaremos tamén as áreas e volumes de figuras tridimensionais (poliedros, prismas, pirámides e corpos de revolución). Seguiremos co teorema de Tales e as súas aplicacións para o cálculo indirecto de lonxitudes e superficies e nos planos e escalas. Finalizaremos a unidade co estudo das coordenadas xeográficas. 1.2 Coñecementos previos Para traballar con esta unidade é necesario recordar os conceptos xeométricos estudados nos módulos anteriores, en especial: A clasificación, elementos e características das figuras planas. A clasificación, nomenclatura, elementos e características dos poliedros e figuras de revolución. Os conceptos de figuras semellantes, razón de semellanza e escala. O teorema de Pitágoras A resolución de ecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita. A resolución de sistemas de ecuacións lineais. 1.3 Criterios de avaliación Recoñecer e describir os elementos e as propiedades características das figuras planas, os corpos xeométricos elementais e as súas configuracións xeométricas, incluíndo o cálculo de lonxitudes, áreas e volumes. Utilizar o teorema de Tales e as fórmulas usuais para realizar medidas indirectas de elementos inaccesibles e para obter medidas de lonxitudes de exemplos tomados da vida real. Interpretar o sentido das coordenadas xeográficas e a súa aplicación na localización de puntos. Páxina 3 de 59

4 2. Secuencia de contidos e actividades 2.1 Teorema de Pitágoras Aínda que o teorema de Pitágoras non é un contido desta unidade, incluímolo aquí debido á importancia que vai ter a utilización deste teorema na resolución das actividades. Nun triángulo rectángulo o lado de maior lonxitude chámase hipotenusa, e os outros dous, de menor lonxitude e perpendiculares entre si, catetos. En xeral chamaremos a á hipotenusa e b e c aos catetos. O teorema de Pitágoras afirma o seguinte: a 2 = b 2 + c 2. Isto quere dicir que a área dun cadrado construído sobre a hipotenusa é igual ás áreas dos cadrados construídos sobre os catetos. Esta relación é certa só se o triángulo é rectángulo. INTERPRETACIÓN XEOMÉTRICA DO TEOREMA DE PITÁGORAS Actividade resolta Determine se o seguinte triángulo é un triángulo rectángulo ou non o é. Si é rectángulo, xa que: 4m 5 m 5 2 = m 25 = 25 Páxina 4 de 59

5 2.2 Xeometría no plano Perímetros e áreas de polígonos Xa vimos no módulo I a definición de polígono, a súa clasificación así como a forma de calcular a súa área e o seu perímetro. Na seguinte táboa temos un resumo de todo isto. Nome Figura Perímetro Área Triángulo P = ssss ddd llllllllll ddd lllll A = b h 2 Cadrado P = ssss ddd llllllllll ddd lllll = 4 l A = l l Rectángulo P = ssss ddd llllllllll ddd lllll = A = b h Romboide P = ssss ddd llllllllll ddd lllll A = b h Rombo P = ssss ddd llllllllll ddd lllll = = 4 lllllllll dd laaa D d A = 2 Trapecio P = ssss ddd llllllllll ddd lllll A = (B + b) h 2 Polígonos regulares P = ssss ddd llllllllll ddd lllll = = númmmm dd lllll lllllllll dd llll A = P a 2 Polígonos irregulares P = ssss ddd llllllllll ddd lllll Descompoñémolos en calquera das figuras anteriores, xeralmente triángulos, e sumamos as áreas de cada un deles. Páxina 5 de 59

6 Actividades resoltas Calcule a área e o perímetro da seguinte figura: 3 metros 7 metros 5 metros Árrr = bbbb aaaaaa = 7 3 = 21 m 2 PPPímmmmm = ssss dd lll lllll = = = = 24 m Calcule a área da seguinte figura: A área do triángulo da esquerda é: A 1 = = 9 m2 5 metros A área do triángulo da dereita é: 3 metros 6 metros A área total é: A 2 = 5 6 = 15 m2 2 A T = = 24 m 2 Calcule a área e o perímetro dun hexágono regular de 6 metros de lado. O perímetro é: 6 metros A área é: P = 6 6 = 36 mmmmmm 6 metros A = PPPímmmmm aaaaaaa 2 Para o cálculo da apotema (que chamaremos a) precisamos aplicar o teorema de Pitágoras a este caso e temos que: 6 2 = a = a 2 a = 27 = 5,196 mmmmmm 3 metros Así, a área é 36 5,196 A = = 93,528 m 2 2 Páxina 6 de 59

7 Actividades propostas S1. As diagonais dun rombo miden 15 cm e 22 cm. Calcule a súa área. S2. Calcule a área e o perímetro dun triángulo rectángulo e isósceles de cateto 10m. S3. O perímetro dun triángulo isósceles mide 60 cm e o lado desigual 15 cm. Canto miden cada un dos outros lados? S4. Un atleta adestra nunha pista rectangular de 42 m de longo por 18 m de largo. Cantos metros levará percorrido cando teña dadas 20 voltas á pista? S5. Calcule a área dos seguintes polígonos regulares utilizando a fórmula axeitada. S6. Calcule a área da seguinte figura por descomposición en figuras simples. Observe que para obter as medidas que faltan debe sumar ou restar algunhas das medidas que se indican. S7. Calcule a área da parte coloreada da seguinte figura. 18 m 54 m Páxina 7 de 59

8 2.2.2 Lonxitude e área de figuras circulares Xa vimos no módulo I outras figuras planas como o círculo e as formas que derivan del. Tamén vimos a forma de calcular a súa área e o seu perímetro. Na seguinte táboa temos un resumo de todo isto. Nome Figura Perímetro Área Círculo P = 222 A = π r 2 a Sector circular P = A = πr 2 a 333 Segmento circular a P = AA A = A ssssss ccccccc A tttánnnnn OOO Coroa circular P = 22(R + r) A = π R 2 r 2 Trapecio circular r nº R P = lllllllll aaaa eeeeeeee + +lllllllll aaaa iiiiiiii + +2 (R r) A trapecio circ. n = o x p x ( R 360º 2 r 2 ) Actividades resoltas Calcule a lonxitude do arco dunha circunferencia de raio 8 metros e que abarca un ángulo de 72º. O arco dunha circunferencia ten por lonxitude L = 222, sendo r o raio da circunferencia e a a amplitude do 333 ángulo que abarca o arco. Polo tanto, como neste caso, r = 8 metros e a = 72ᵒ, temos que: L = 2 π 8 77 = 11, 00 metros 366 a A lonxitude do arco dunha circunferencia de raio 10 cm é de 12 cm. Calcule o ángulo que abarca o dito arco. a Aplicamos a expresión da actividade anterior L = 2πr, sendo r o raio da circunferencia e a a amplitude do ángulo 360 que abarca o arco. Polo tanto, como neste caso, r = 10 cm e L = 12 cm, temos que: a = 2 π 10 = a a = 68,75ᵒ π 10 Páxina 8 de 59

9 Calcule a área do sector circular dunha circunferencia de raio 8 metros e que abarca un ángulo de 72º. 8 m. 72º a A área dun sector circular é A = πr 2, sendo r o raio da circunferencia e a a 333 amplitude do ángulo que abarca o arco. Polo tanto, como neste caso, r = 8 metros e a = 72ᵒ, temos que: A = π = 44, 22 m2 333 Dada a seguinte figura, calcule a área da rexión sombreada sabendo que a lonxitude da corda é de 12,94 metros. 8 m. 108º A área dun segmento circular é A = A ssssss ccccccc A tttánnnnn. A área do sector circular é A = πr 2 sendo r o raio da circunferencia e a 333 a amplitude do ángulo que abarca o arco. Polo tanto, como neste caso, r = 8 metros e a = 108ᵒ, temos que: A = π = 66, 33 m2 333 Para calcular a área do triángulo temos que calcular a súa altura para o que utilizaremos o teorema de Pitágoras. Así, a altura é: aaaaaa 2 = 8 2 6,47 2 aaaaaa = 4,71 metros Así a área do triángulo é: A tttánnnnn = 12,94 4,71 = 30,47 metros 2 A área da zona sombreada é 60,32 30,47 = 29,85 m 2 a Actividades propostas S8. Calcule o perímetro dos seguintes sectores circulares cos datos que se indican: a = 45ᵒ r = 8 cc a = 105ᵒ r = 10 m S9. Calcule a área dos sectores circulares da actividade anterior. S10. Se a área dun sector circular correspondente a un círculo de 10 cm de raio é de 62,83 cm 2, cal é a amplitude do ángulo? S11. Calcule o perímetro e a área dos seguintes segmentos circulares cos datos que se indican: a = 45ᵒ r = 8 cc AA = 6,12 cc a = 105ᵒ r = 10 m AA = 15,87 m Páxina 9 de 59

10 S12. Calcule o perímetro e a área das seguintes coroas circulares cos datos que se indican: R = 9 cc r = 8 cc R = 15 m r = 10 m Perímetros e áreas de figuras planas en xeral Moitas veces non é posible calcular a área dunha figura porque non se corresponde con ningunha figura elemental das estudadas ata agora. Nese caso cómpre descompoñela en figuras simples e calcular a área de cada unha por separado. Vexamos algúns exemplos de descomposición de figuras complexas en figuras simples: Outro procedemento consiste en descompor por triangulación a figura dada. Neste caso a dificultade está en coñecer as medidas de cada triángulo en que se descompón a figura. Actividades resoltas Calcule a área da seguinte figura: 12 m 2,5 m 1,2 m Esta figura está composta por un rectángulo e por media coroa circular. Área do rectángulo: Árrr rrrránnnnn = 12 5 = 60 m 2 Área da media coroa circular: Árrr mmmmm cccca = π (2,52 1,2 2 ) = 7,56 m 2 2 Así, a área total é: Árrr ttttt = ,56 = 67,56 m 2 Páxina 10 de 59

11 Calcule a área da seguinte figura: 5 cm Esta figura está composta por un cadrado e dúas figuras iguais que son dous sectores circulares. Área do cadrado: Árrr ccccccc = 5 2 = 25 cc 2 Área do sector circular: Árrr ssssss cccccccc = π = 58,9 cc Así, a área total é: Árrr ttttt = ,9 = 142,8 cc 2 Actividades propostas S13. Calcule a área das seguintes figuras: S14. Calcule a área das seguintes figuras: 2.3 Xeometría do espazo Os corpos xeométricos divídense en poliedros (poliedros regulares, prismas e pirámides) e corpos de revolución (cilindros, esferas e conos). Páxina 11 de 59

12 Os poliedros son figuras tridimensionais limitadas por varios planos en forma de polígonos. Os elementos principais dun poliedro son: Caras: son os polígonos que limitan o poliedro. Arestas: son os segmentos comúns a dúas caras. Vértice: é o punto do poliedro onde se xuntan tres ou máis arestas. O número de caras, vértices e arestas está relacionado mediante a fórmula de Euler. A fórmula de Euler indica que se cumpre que: caras + vértices = arestas Poliedros regulares Un poliedro regular é aquel cuxas caras son polígonos regulares iguais e en cada un dos seus vértices converxe o mesmo numero de caras. Debido a que as súas caras son polígonos regulares e en cada vértice deben coincidir polo menos tres caras, as caras dos poliedros regulares só poden ser triángulos equiláteros, cadrados ou pentágonos regulares. Nome Definición Figura e desenvolvemento plano Tetraedro Formado por catro caras que son triángulos equiláteros. Cubo ou hexaedro Formado por seis caras que son cadrados. Octaedro Formado por oito caras que son triángulos equiláteros. Dodecaedro Formado por doce caras que son pentágonos regulares. Icosaedro Formado por vinte caras que son triángulos equiláteros. Páxina 12 de 59

13 Áreas dos poliedros regulares. Como se pode ver nos desenvolvementos da táboa anterior, as caras de cada un deles son iguais, polo que a superficie do poliedro se calcula multiplicando a superficie dunha cada polo número de caras do poliedro. Tamén hai outra forma de calcular a superficie dos poliedros regulares en función da lonxitude da aresta, que chamaremos a. Así temos: Nome Superficie Volume Tetraedro a a3 Cubo ou hexaedro 6a 2 a 3 Octaedro 2a a3 Dodecaedro 3a a 3 4 Icosaedro 5a a 3 12 Actividade proposta S15. Complete a táboa e comprobe que para os cinco poliedros regulares se cumpre a fórmula de Euler: caras + vértices = arestas + 2 Nome Caras Vértices Arestas C + V=A + 2 Tetraedro =6+2 Páxina 13 de 59

14 2.3.2 Prismas Un prisma é un poliedro limitado por dous polígonos iguais e paralelos entre si (que forman as bases) e as caras laterais (que son paralelogramos). A altura do prisma e a distancia entre as bases. Un prisma é recto se as caras laterais son perpendiculares ás bases. Neste caso as caras laterais son rectángulos. Cando as caras laterais non son perpendiculares ás bases, dise que o prisma é oblicuo. Un prisma ten tantas caras laterais como lados teñen os polígonos que forman as bases. Se as bases tamén son paralelogramos, os prismas chámanse paralelepípedos. Prismas rectos. Teñen nas bases polígonos regulares (prismas regulares) Prismas oblicuos. As caras laterais non son perpendiculares ás bases En función de que o tipo de polígono que forma as bases do prisma sexa un triangulo, un cadrado, un pentágono etcétera, denomínanse prismas triangulares, prismas cuadrangulares, prismas pentagonais, prismas hexagonais etcétera. Área ou superficie dun prisma Para calcular a superficie dun prisma recto podemos razoar a partir do seu desenvolvemento plano: Área total = área lateral + 2 área da base Área lateral: A L é a suma das áreas das súas caras laterais (área lateral = perímetro da base altura (h)) Área da base: é a área do polígono correspondente. No caso dun prisma oblicuo o cálculo da área é máis complicado e podes velo na segunda ligazón web do final do tema. Páxina 14 de 59

15 Actividade resolta Calcule a área total do seguinte prisma de lado da base 4 metros, altura 10 metros e apotema 4,15 metros. Trátase dun prisma recto heptagonal. 1º Calculamos a área lateral: A laaaaaa = perímetro da base altura = = (4 m 7) 10 cm = 280 m 2 2º Calculamos a área da base: PPPímmmmm dd bbbb aaaaaaa 28 4,15 A BBBB = = 2 2 = 58,1 m 2 3º Calculamos a área total: Árrr ttttt = Árrr llteeee + 2 Árrr bbbb = = ,1 = 396,2 m 2 Volume dun prisma O volume dun prisma calquera, recto ou oblicuo, é o produto da área da base pola altura. Así, se a altura é h e a área da base A B, o volume é: V pppppp = A B h Actividade resolta Calcule o volume do seguinte prisma de lado da base 4 metros, altura 10 metros e apotema 4,15 metros. 1º Calculamos a área da base: pppímmmmm dd bbbb aaaaaaa A BBBB = 2 = 58,1 m 2 2º Calculamos o volume: V = A BBBB aaaaaa = 58,1 10 = 581 m ,15 = 2 Páxina 15 de 59

16 Actividades propostas S16. Calcule a superficie dun ortoedro de dimensións 12, 4 e 8 cm. S17. Calcule o volume dun cubo de 11 dm de aresta. S18. Calcule a superficie dun prisma hexagonal de lado da base 15 cm e 0,5 m de altura. S19. As bases dun prisma recto son rombos de diagonais 8 cm e 6 cm. A altura do prisma é 10 cm. Calcule o seu volume. S20. A altura dun prisma recto é de 20 cm. As súas bases son trapecios isósceles cuxas bases miden 11 cm e 16 cm, e a altura da base é de 12 cm. Calcule a área total do prisma. S21. Calcule o volume dun prisma de base hexagonal de 10 cm de altura e de 3 cm de lado da base. S22. Un prisma cuadrangular ten unha altura de 5 cm e a aresta da súa base mide 3 cm. Calcule a súa área total. S23. Calcule o volume dun prisma triangular de 6 cm de altura se a base é un triángulo equilátero de 8 cm de lado. S24. Calcule a superficie e o volume do seguinte corpo xeométrico: S25. Calcule a superficie e o volume do seguinte corpo xeométrico: Páxina 16 de 59

17 2.3.3 Pirámides Unha pirámide é un poliedro que ten por base un polígono calquera e por caras laterais triángulos cun vértice común, que se chama vértice da pirámide. A altura da pirámide é a distancia entre o vértice e o plano da base. Unha pirámide é recta se a altura é perpendicular á base. Cando a altura non é perpendicular á base, dise que a pirámide é oblicua. As caras laterais dunha pirámide son sempre triángulos. Unha pirámide ten tantas caras laterais como lados ten a base. Unha pirámide é regular se a súa base é un polígono regular. Nunha pirámide regular recta todas a arestas laterais son iguais e as caras laterais son triángulos isósceles. As alturas dos triángulos chámanse apotema da pirámide. PIRÁMIDE RECTA DE BASE PENTAGONAL En función de que o tipo de polígono que forma a base da pirámide sexa un triangulo, un cadrado, un pentágono etcétera, denomínanse pirámides triangulares, pirámides cuadrangulares, pirámides pentagonais, pirámides hexagonais etcétera. Área ou superficie dunha pirámide Para calcular a superficie dunha pirámide regular recta podemos razoar a partir do seu desenvolvemento plano: Páxina 17 de 59

18 Área total = área lateral + área da base Área lateral: AL é a suma das áreas das súas caras laterais que son triángulos iguais (área lateral = perímetro da base altura (h)/2). Área da base: é a área do polígono correspondente. No caso dunha pirámide non regular haberá que calcular a área lateral triángulo a triángulo e despois sumalas. Actividade resolta Calcule a área total da seguinte pirámide de lado da base 4 metros, altura 10 metros e apotema da base 4,15 metros. Trátase dunha pirámide recta heptagonal. 1º Calculamos o apotema da pirámide mediante o teorema de Pitágoras aaaaaaa 2 = aaaaaa 2 + aaaaaaa bbbb 2 aaaaaaa 2 = ,15 2 = 117,2225 aaaaaaa = 10,83 m 2º Calculamos a área lateral: A lllllll = 3º Calculamos a área da base: A BBBB = 4º Calculamos a área total: pppímmmmm dd bbbb aaaaaaa dd pppámmmm 2 151,62 m 2 PPPímmmmm dd bbbb aaaaaaa 2 = 7 4 4,15 2 = ,83 2 = = 58,1 m 2 Árrr ttttt = Árrr lllllll + Árrr bbbb = 151, ,1 = 209,72 m 2 Volume dunha pirámide O volume dunha pirámide calquera, recta ou oblicua, é o produto da área da base pola altura, dividido por 3. Así, se a altura é h e a área da base A B, o volume é: V pppámmmm = A B h 3 Páxina 18 de 59

19 Actividade resolta Calcule o volume da seguinte pirámide de lado da base 4 metros, altura 10 metros e apotema da base 4,15 metros. 1º Calculamos a área da base: pppímmmmm dd bbbb aaaaaaa A BBBB = = 2 2º Calculamos o volume: V = A BBBB aaaaaa 3 = 58, ,15 = 58,1 m 2 2 = 193,67 m 3 Troncos de pirámide Un tronco de pirámide é unha pirámide á que se lle corta a parte do vértice cun corte paralelo á base. h Para calcular o seu volume temos que fixarnos na seguinte figura: Na figura da esquerda temos un tronco de pirámide completado ata unha pirámide. h Podemos distinguir dúas pirámides. Unha grande desde a base inferior ata o vértice. Unha pequena desde a base do medio ata o vértice. O volume do tronco de pirámide é o volume da pirámide grande menos o volume da pirámide pequena. Para calcular o volume só temos que calcular a altura da pirámide pequena. Para calcular a súa área temos que considerar que agora temos dúas bases e que as caras laterais son trapecios isósceles. Vexamos todo isto cun exemplo. Páxina 19 de 59

20 Actividade resolta Un tronco de pirámide ten as súas bases regulares e heptagonais. A inferior ten lados de 7 cm e a súa apotema mide 7,27 cm. Os lados da cara superior miden 3 cm e o seu apotema 3,11 cm. Se ten 2 cm de altura, calcule a súa superficie e o seu volume. 1º Se completamos o tronco de pirámide ata ter unha pirámide completa obtemos o triángulo da parte inferior da figura. 2º Calculamos H: Na figura inferior temos dous triángulos semellantes. O de lados H, A, 3 11 e o de lados 2+H, a+a, Polo tanto 2 + H H = 7,27 3,11 (2 + H) = 7,27 H 3,11 6,22 + 3,11 H = 7,27 H 6,22 = 4,16 H H = 1,5 cc 3º Calculamos A e a: Polo teorema de Pitágoras aplicado ao triángulo pequeno temos que A 2 = H 2 + 3,11 2 A 2 = 1, ,11 2 = 11,92 Así A = 11,92 = 3,45 cc que é o apotema da pirámide pequena (a que non está) Agora aplicamos o teorema de Pitágoras ao triángulo grande e temos que: (A + a) 2 = (H + 2) 2 + 7,27 2 (A + a) 2 = 3, ,27 2 = 65,10 Así A + a = 65,10 = 8,07 cc que é a xeratriz da pirámide sen truncar. A altura das caras laterais da pirámide truncada é a = 8,07 3,45 = 4,62 cc. 4º Calculamos o volume do tronco da pirámide 7 7 7, ,11 3,5 1,5 V = V gggggg V ccccccc = = 191,47 cc 3 5º Calculamos a superficie. Superficie inferior 7 7 7,27 = 178,12 cm 2 2 Superficie superior 7 3 3,11 = 32,66 cc 2 2 Superficie lateral ,62 = 161,7 cc2 2 Superficie total = 178, , ,7 = 372,48 m 2 Páxina 20 de 59

21 Actividades propostas S26. Calcule a área total dunha pirámide cuadrangular de apotema 6 cm e 4 cm de lado do cadrado da base. S27. Calcule o volume dunha pirámide que ten de base un cadrado de 10 cm e unha altura de 12 cm. S28. Calcule a área total dunha pirámide de base hexagonal que ten 6 cm de altura e 3 cm de lado da base. Terá que utilizar o teorema de Pitágoras para o cálculo do apotema da base e do apotema da pirámide. S29. Calcule o volume dunha pirámide hexagonal regular, que ten unha base de lado 30 cm, un apotema do hexágono de 26 cm e a altura da pirámide é 26 cm. S30. Calcule a área total dunha pirámide pentagonal de 9 cm de altura, cuxo polígono da base é regular con 6 cm de lado e un apotema de 4,13 cm. S31. Calcule o volume dunha pirámide de base pentagonal de 14 cm de lado, 9,63 cm de apotema da base e 60 cm de apotema lateral. S32. Unha pirámide ten por base un hexágono cuxos lados miden 10 m e o apotema 8,66 m. O apotema lateral da pirámide é de 44 m. Calcule a área total. S33. Unha pirámide regular ten por base un cadrado de 8 cm de lado e a súa altura é de 10 cm. Calcule o seu volume. S34. Calcule a superficie dunha pirámide regular de 80 cm de altura e de base hexagonal e lado da base 30 cm. S35. Calcule a área total dunha pirámide hexagonal de 13 cm de altura que ten como raio da base 6 cm. S36. A maior das tres pirámides que hai en Gizeh (Exipto) é a de Keops. A súa base é un cadrado que mide 230 m de lado, e súa altura é de 147 m. Calcule o volume da pirámide. Páxina 21 de 59

22 2.3.4 Corpos de revolución Cando xiramos unha figura plana arredor dun eixe obtemos un corpo de revolución. Os tres corpos de revolución máis importantes, e que imos estudar, son o cilindro, o cono e a esfera. Cilindro Un cilindro recto é un corpo xeométrico xerado a partir dun rectángulo que xira arredor dun dos seus lados. As bases dun cilindro recto son círculos. A distancia entre as bases chámase altura. A xeratriz do cilindro corresponde á lonxitude do lado oposto ao eixe, é dicir, coincide coa altura. Área dun cilindro Ao cortar un cilindro recto pola súa xeratriz obtemos o seu desenvolvemento no plano e apréciase que a parede lateral do cilindro é un rectángulo de base igual ao perímetro do círculo, 2 π r, e a súa altura, h, é a do cilindro. Área Lateral = 2πr h Área Total = Área Lateral + Área das dúas bases A t = 2ππ h + 2πr 2 Páxina 22 de 59

23 Actividade resolta Calcule a área total dun cilindro de 3 dm de raio da base e 5 dm de altura. A l = 2 π 3 5 = 94,25 dd 2 A ttt = 94, π 3 2 = 150,80 dd 2 Volume dun cilindro O volume dun cilindro calcúlase igual que o volume do prisma. Así, se a altura é h e a área da base A B, o volume é: V cccccccc = A B h Actividade resolta Calcule o volume dun cilindro de 3 dm de raio da base e 5 dm de altura. 1º Calculamos a área da base: A BBBB = π r 2 = 28,27 dd 2 2º Calculamos o volume: V = A BBBB aaaaaa = 28,27 5 = 141,35 dd 3 Cono Facendo xirar un triángulo rectángulo arredor dun dos catetos, obtense un cono recto. A base dun cono recto é un círculo. A altura é a distancia do vértice á base. A xeratriz do cono é a lonxitude da hipotenusa do triángulo. Páxina 23 de 59

24 Área dun cono Ao cortar un cono recto pola súa xeratriz obtemos o seu desenvolvemento no plano Así, pódese apreciar que a superficie lateral dun cono recto é un sector circular de raio x e a porción de círculo que ten este sector podémola calcular do seguinte xeito: lllllllll dd cccccccccccccc ssssssssss dd círrrrr lllllllll dd aaaa = ssssssssss dd ssssss 2ππ πx 2 = 2ππ A A = 2ππ πx2 = πππ 2ππ Polo tanto: Área lateral = πππ Área total = πππ + πr 2 Actividade resolta Calcule a área total dun cono de 3 dm de raio da base e 5 dm de altura. 1º Calculamos a lonxitude da xeratriz utilizando o teorema de Pitágoras: x 2 = = 34 = 5,83 dd 2º Calculamos a superficie lateral: A l = π 3 5,83 = 54,95 dd 2 3º Calculamos a superficie total: A ttt = 54,95 + π 3 2 = 83,22 dd 2 Volume dun cono O volume dun cono calcúlase igual que o volume da pirámide. Así, se a altura é h e a área da base é A B, o volume é: V cccc = A B h 3 Páxina 24 de 59

25 Actividade resolta Calcule o volume dun cono de 3 dm de raio da base e 5 dm de altura. 1º Calculamos a área da base: A BBBB = π r 2 = 28,27 dd 2 2º Calculamos o volume: V = A BBBB aaaaaa 3 = 28,27 5 = 47,12 dd 3 3 Tronco de cono Un tronco de cono é un cono ao que se lle corta a parte do vértice cun corte paralelo á base. Para calcular o seu volume temos que fixarnos na seguinte figura: Na figura da esquerda temos un tronco de cono completado ata un cono. Podemos distinguir dous conos. r Un grande coa base de raio R e altura h + H. Un pequeno coa base de raio r e altura H. O volume do tronco de cono é o volume do cono grande menos o volume do cono pequeno. R Para calcular o volume só temos que calcular H. Isto farémolo na seguinte actividade resolta. Páxina 25 de 59

26 Para calcular a súa área temos que fixarnos na seguinte figura: Na figura da esquerda temos o desenvolvemento plano dun tronco de cono. A superficie do tronco de cono está formada por:. Un círculo de raio R. Un círculo de raio r. A superficie lateral que é un trapecio circular. Esta superficie é a superficie lateral do cono grande, do que falabamos na figura anterior, menos a superficie lateral do cono pequeno. A superficie do tronco de cono é a suma destas tres superficies. A superficie lateral dun cono vén dada pola expresión πrx, sendo x a xeratriz dos conos. Polo tanto o único problema é calcular canto mide a xeratriz destes conos. Actividade resolta Calcule o volume e a superficie dun tronco de cono con raios R=5 metros e r=2 metros e que ten unha altura h=3 metros. 1º Se completamos o tronco de cono ata ter un cono completo obtemos o triángulo da parte inferior da figura. 2º Calculamos H: Na figura inferior temos dous triángulos semellantes. O de lados H, X, r e o de lados h + H, x + X, R. Polo tanto H + h H = R r H + 3 H = (H + 3) = 5 H 2 H + 6 = 5H 6 = 3 H H = 2 3º Calculamos X e x: Polo tanto H=2 metros. Polo teorema de Pitágoras aplicado ao triángulo pequeno temos que X 2 = H 2 + r 2 X 2 = = 8 Así X = 8 = 2,83 m, que é a xeratriz do cono pequeno (o que non está) Agora aplicamos o teorema de Pitágoras ao triángulo grande e temos que: (X + x) 2 = (H + h) 2 + R 2 (X + x) 2 = = 50 Así X + x = 50 = 7,07 m que é a xeratriz do cono sen truncar. 4º Calculamos o volume do tronco de cono V = V gggggg V ccccccc = π 52 5 π 22 2 = 122,52 m º Calculamos a superficie. Superficie superior = π 2 2 = 12,57 m 2 Superficie inferior = π 5 2 = 78,54 m 2 Superficie lateral = Superficie lateral enteira Superficie lateral cortada = π 5 7,07 π 2 2,83 = 93,27 m 2 Superficie total = 12, , ,27 = 184,38 m 2 Páxina 26 de 59

27 Esfera As esferas son corpos de revolución que se xeran ao facer xirar un semicírculo arredor do seu diámetro. A esfera queda determinada polo seu raio R. Área dunha esfera Para calcular a superficie dunha esfera, imaxinemos a esta envolta nun cilindro que se axusta a ela completamente. Pois resulta que a área da esfera é igual que a área lateral dese cilindro. A lllllaa dd cccccccc = 2ππ 2R = 4πR 2 Polo tanto a superficie dunha esfera de raio R é: A = 4πR 2 Volume dunha esfera Para calcular o volume dunha esfera, imaxinémola outra vez envolta nun cilindro que se axusta a ela completamente. Páxina 27 de 59

28 Pois resulta que o volume da esfera é igual aos dous terzos do volume dese cilindro. Xa que o raio da base do cilindro é o mesmo que o da esfera, R, e a altura do cilindro é 2R, entón o volume do cilindro será: V cccccccc = A bbbb AAAAAA = πr 2 2R = 2πR 3 Entón o volume dunha esfera de raio R é: V = 2 3 V cilindro = 4 3 πr3 Actividade resolta Calcule a superficie e o volume dunha esfera de raio 2 metros. 1º Calculamos a superficie: A = 4 π r 2 = 4 π 2 2 = 50,27 m 2 2º Calculamos o volume: V = 4 3 π r3 = 4 3 π 23 = 33,51 m 3 Actividades propostas S37. Indique a cantidade de chapa que se necesita para construír un depósito cilíndrico pechado de 60 cm de raio de base e 1,8 m de altura. S38. As latas de refrescos teñen a forma cilíndrica de 12 cm de altura e 6 cm de diámetro. Calcule o volume de refresco que cabe nel. S39. Calcule o volume dun cono de 11 cm de altura e 4 cm de raio. S40. Calcule a superficie total dun tronco de madeira con forma de cilindro recto, de 3 cm de altura e diámetro da base 30 cm. S41. Determine a área total dun cono de 5 cm de raio e 20 cm de xeratriz. S42. Calcule a superficie esférica dun balón que ten 20 cm de diámetro. S43. Unha cúpula semiesférica dun edificio ten 10 m de diámetro e unha altura de 5 m. Calcule a súa superficie. Páxina 28 de 59

29 S44. A pantalla dunha lámpada de pé ten forma de tronco de cono sen ter ningunha das bases. O diámetro da base superior é de 19 cm e o da inferior ten 46 cm. A xeratriz do tronco de cono mide 23 cm. Calcule a superficie da pantalla. S45. Unha papeleira ten forma de tronco de pirámide de base cadrada coas dimensións que aparecen na figura. Calcule volume da papeleira. 2.4 Teorema de Tales. Aplicacións Teorema de Tales Figuras semellantes Dúas figuras son semellantes cando teñen a mesma forma pero diferente tamaño, por exemplo un cadro e a súa reprodución ou un debuxo ou figura e a súa copia reducida na fotocopiadora. Así o podemos observar nas figuras seguintes: Cando dúas figuras son semellantes, a razón entre os lados homólogos é unha Páxina 29 de 59

30 constante que se denomina razón de semellanza. Así na figura anterior podemos dicir: a = b = c = d = e = f = r (razón de semellanza) a b c d e f Cando dous polígonos son semellantes, dáse entre os seus lados unha relación de proporcionalidade: o cociente entre lados homólogos ten o mesmo valor e recibe o nome de razón de semellanza. Dise tamén que os lados son proporcionais. En xeral, para que dous polígonos sexan semellantes teñen que ter os lados proporcionais e os ángulos iguais. Polo tanto para decidir se dous polígonos son semellantes é necesario comprobar que todos os ángulos correspondentes son iguais e que todos os lados correspondentes son proporcionais coa mesma razón de semellanza. Para que dous polígonos sexan semellantes non abonda con que os seus lados sexan proporcionais. Actividade resolta Indique se as seguintes figuras son semellantes ou non o son. Claramente non son semellantes por non ter a mesma forma, é dicir os ángulos de ambas as figuras non son iguais. É importante decatarse de que neste exercicio os lados si que son proporcionais xa que: 10 4 = 8 3,2 = 3 1,2 = 6 2,4 = 2,5 1 = 2,5 Actividade proposta S46. Indique cales das seguintes figuras son necesariamente sempre semellantes: Todos os cadrados. Todos os triángulos equiláteros. Todos os triángulos rectángulos. Todos os pentágonos regulares. Todos os hexágonos. Todos os paralelogramos. Todos os rectángulos. Todos os triángulos isósceles. Todos os rombos. Todos os hexágonos regulares Páxina 30 de 59

31 Triángulos semellantes Como calquera outra figura, dous triángulos son semellantes cando teñen todos os seus ángulos correspondentes iguais e ademais os lados correspondentes son proporcionais. Pero para comprobar se dous triángulos son semellantes non é necesario comprobar todo iso. Para que dous triángulos sexan semellantes tense que cumprir algunha das tres condicións seguintes: Todos os ángulos correspondentes dos triángulos son iguais. A = A B = B C = C Todos os lados correspondentes dos triángulos son proporcionais. AA A B = BB B C = CC C A Dous lados correspondentes son proporcionais e o ángulo que forman é o mesmo en ambos os triángulos. AA A B = BB B C B = B Páxina 31 de 59

32 Actividade resolta Calcule a lonxitude do lado A B, sabendo que A = 92ᵒ, B = 47ᵒ, A = 92ᵒ, B = 47ᵒ, a lonxitude do lado AB é de 10 cm, a do lado BC de 25 cm e a do lado B C de 5 cm. 1º Os triángulos son semellantes pois ao ter dous ángulos iguais o terceiro tamén o é (lembre que a suma dos ángulos dun triángulo é de 180ᵒ). 2º Como nos dan as lonxitudes de dous lados correspondentes (un de cada triángulo), podemos calcular a razón de semellanza: 3º Agora calculamos a lonxitude do lado A B. r = B C BB = 5 25 = 1 5 = 0,2 0,2 = A B AA = A B 10 0,2 10 = A B A B = 2 cc Actividade resolta Podemos calcular a altura dunha árbore medindo a lonxitude da súa sombra e comparándoa coa lonxitude da sombra dun obxecto coñecido. Aplicando as relacións de proporcionalidade entre os lados de triángulos semellantes, neste caso os triángulos AB C e ABC, calculamos: x 1 = 6 1,5 x = 6 1, x = 4m 1,5 Así calculamos que a altura da árbore é de 4 metros. Páxina 32 de 59

33 Actividade proposta S47. Calcule a altura do edificio. S48. Calcule a altura do edificio. Teorema de Tales Cando dúas ou máis rectas paralelas son cortadas por dúas rectas transversais, os segmentos das rectas transversais son proporcionais. AA A B = BB B C = AA A C Isto é unha xeneralización das condicións de semellanza de triángulos pois, como podemos ver na figura seguinte, se prolongamos as transversais ata que se cortan obtemos triángulos semellantes xa que todos eles teñen os mesmos ángulos. Páxina 33 de 59

34 Actividade proposta S49. As rectas a, b e c son paralelas. Calcule a lonxitude de x Relación entre áreas e volumes de figuras semellantes Este é un rectángulo de dimensións 1 cm x 2 cm, que ten unha área de 2 cm 2. Un rectángulo semellante a el con razón de semellanza r = 2 é: que ten unha área de 8 cm 2. A área do novo rectángulo é 4 veces maior ca a do rectángulo orixinal. Resulta que 4 é o cadrado da razón de semellanza r 2 = 2 2 = 4. Outro rectángulo semellante ao primeiro pero con razón de semellanza r = 3 é: que ten unha área de 18 cm 2. A área do novo rectángulo é 9 veces maior ca a do rectángulo orixinal. Resulta que 9 é o cadrado da razón de semellanza r 2 = 3 2 = 9. Páxina 34 de 59

35 Estas relacións podémolas xeneralizar para calquera razón de semellanza: Cando unha figura plana é transformada noutra semellante cunha razón de semellanza r, a área da nova figura é a área da figura orixinal multiplicada por r 2. Este é un paralelepípedo de dimensións 1 cm x 1 cm x 2 cm, que ten un volume de 2 cm 3. Un paralelepípedo semellante a el con razón de semellanza r = 2 é: que ten un volume de 16 cm 3. O volume do novo paralelepípedo é 8 veces maior ca a do paralelepípedo orixinal. Resulta que 8 é o cubo da razón de semellanza r 3 = 2 3 = 8. Esta relación podémola xeneralizar para calquera razón de semellanza: Cando unha figura é transformada noutra semellante cunha razón de semellanza r, o volume da nova figura é o volume da figura orixinal multiplicada por r 3. Actividade resolta As áreas de dous rectángulos semellantes son de 1 m 2 e 1 cm 2 respectivamente. Cal é a razón de semellanza? O primeiro que debemos facer é poñer as superficies nas mesmas unidades. Imos expresalas en cm 2. Así, a razón entre as superficies é: Pero a razón entre as áreas é r 2 polo que: 1 m 2 = cm = r 2 = r = = 100 Así o primeiro dos rectángulos é 100 veces maior ca o segundo. Páxina 35 de 59

36 Actividades propostas S50. As alturas de dous cilindros semellantes están en relación 4:5. Calcule a relación entre os volumes dos cilindros. S51. Un produto para a limpeza dos baños véndese en dous tamaños: normal e familiar. O normal contén 500 ml e o familiar contén 750 ml. Os envases de ambos os tamaños son semellantes. Se a altura do envase normal é de 12 cm, cal é a altura do envase familiar? S52. Mercamos un coche de xoguete que está feito a escala a partir dun coche real. A lonxitude do coche de xoguete é 50 veces máis pequena ca a lonxitude do coche real. Calcule a relación entre o volume do coche real e o volume do xoguete Mapas e escalas Os planos dunha casa ou os mapas dun lugar son semellantes á realidade. Neles, ademais da distribución de lugares, importan os tamaños e as distancias, por iso levan unha escala. A escala é o cociente entre cada lonxitude da reprodución, sexa plano ou mapa, e a correspondente lonxitude na realidade. É dicir, é a razón de semellanza entre a reprodución e a realidade. A escala utiliza o cm como unidade de referencia e exprésase en comparación á unidade. Por exemplo 1:2000 quere dicir que 1 cm no plano ou mapa equivale a 2000 cm na realidade ou o que é o mesmo 1 cm no mapa equivale a 20 metros na realidade. Actividades resoltas Esta fotografía do retablo da igrexa da Virxe da Antiga de Monforte de Lemos está a escala 1:150. Cal é a altura do retablo na realidade se na foto mide 5 cm? Xa que a fotografía e o retablo na realidade son figuras semellantes, aplicamos a igualdade de razóns de semellanza: = 5 x x = = 750 cc 750 cm =7,5 metros é a altura do retablo Páxina 36 de 59

37 A distancia en liña recta entre A Coruña e Ferrol son 19,13 km, no mapa a distancia en liña recta entre estas dúas cidades é de 3,826 cm. A que escala está debuxado o mapa? 19,13 km= cm 3, = 1 x x = = ,826 O mapa está a unha escala 1: Actividades propostas S53. Temos un plano dunha casa. No plano o longo dun dormitorio é de 4 cm. Na realidade, o longo dese dormitorio é de 3 metros. Cal é a escala do plano? Cantos metros mide o corredor na realidade se no plano mide 7 cm? S54. Un mapa está a escala 1: A cantos quilómetros estarán dúas cidades que no mapa están separadas 12,5 cm? 2.5 Coordenadas xeográficas. Lonxitude e latitude Coordenadas xeográficas Nos mapas sinálanse liñas imaxinarias que axudan a localizar puntos na superficie terrestre. Son as coordenadas xeográficas. Nestas liñas imaxinarias temos: Ecuador: liña imaxinaria que divide a Terra en dous hemisferios: o hemisferio norte e o hemisferio sur. Paralelos: circunferencias imaxinarias paralelas ao ecuador. Hai uns paralelos con nome propio: trópico de Cáncer, ao norte, e trópico de Capricornio, ao sur. Preto dos polos sitúanse o círculo polar ártico e o círculo polar antártico. Meridianos: circunferencias imaxinarias que cruzan os polos. O de referencia é o meridiano 0º ou meridiano de Greenwich, a partir do cal se ordenan os demais ao leste e ao oeste. Ao ser a Terra esférica, ten 360º de circunferencia. A cada meridiano e a cada paralelo correspóndelle un grao. Os meridianos van desde o 180º ao leste e 180º ao oeste partindo en ambos os casos do meridiano de Greenwich. Os paralelos van desde o 90º norte ao 90º sur, partindo en ambos os casos desde o ecuador cara ao polos. Páxina 37 de 59

38 2.5.2 Lonxitude e latitude Os meridianos e os paralelos permítennos situar con precisión calquera punto da superficie terrestre mediante a lonxitude e a latitude: Lonxitude: é a distancia, medida en graos, minutos e segundos, entre o meridiano 0º ou de Greenwich e un punto calquera da superficie terrestre. Os meridianos situados ao oeste de Greenwich teñen lonxitude oeste. Os situados ao leste de Greenwich, lonxitude leste. Latitude: é a distancia, medida en graos, minutos e segundos, entre o ecuador e un punto calquera da superficie terrestre. Os lugares situados no hemisferio norte teñen latitude norte. Os do hemisferio sur, latitude sur. As coordenadas xeográficas de Santiago de Compostela son: Latitude: N; Lonxitude: O Fusos horarios Un día é o tempo que tarda a Terra en dar unha volta completa sobre si mesma. Un día ten 24 horas. Como unha circunferencia completa ten 360º, nunha hora a Terra móvese sobre si mesma 15º pois: = 15ᵒ Se tomamos como punto de referencia o meridiano 0º ou de Greenwich podemos saber o día e a hora en calquera parte da Terra, valéndonos dos fusos horarios. O fuso horario é cada unha das 24 partes en que se dividiu a esfera terrestre polo ecuador para sinalar a variación horaria. O valor de cada fuso é de 15º e corresponde a unha hora. Se viaxamos cara ao leste, adiantaremos unha hora por cada fuso horario. En cambio, se imos cara ao oeste, atrasamos unha hora, xa que o movemento de rotación da Terra vai de oeste a leste. Páxina 38 de 59

39 Fusos horarios Na liña do cambio de data, os que veñen do oeste retrasan un día no calendario. Os que proceden do leste adiántano. Actividade resolta Nun barco percorremos, seguindo sempre o mesmo paralelo, desde a lonxitude 100º L ata 40º O. Cantos fusos horarios visitamos incluíndo o de saída e o de chegada? Cal é a diferenza horaria entre os puntos de saída e de chegada? Como = 6,67 desde o meridiano de Greenwich ata o punto de saída hai 6 fusos horarios completos e parte dun sétimo fuso. Do mesmo xeito, como = 2,67 desde o meridiano de Greenwich ata o punto de chegada hai 2 fusos horarios completos e parte dun terceiro fuso. Polo tanto saímos dun fuso horario, percorremos oito fusos completos e chegamos ao fuso horario de destino. En total 10 fusos horarios diferentes. Como facemos nove cambios de fuso horario, hai 9 horas de diferenza e como viaxamos cara ao oeste, no fuso horario de chegada son 9 horas máis tarde ca no fuso de partida. Actividades propostas S55. Cal é a diferenza horaria entre un punto con coordenadas xeográficas N e L e outro coas coordenadas N e O? S56. Cal é a diferenza horaria entre un punto con coordenadas xeográficas N; O e outro coas coordenadas S; L? Páxina 39 de 59

40 3. Actividades finais S57. Calcule a área coloreada da seguinte figura: 2 m 11 m 10 m 15 m S58. Calcule a área coloreada da seguinte figura: 1 m 10 m 4 m 10 m S59. Canto mide o bordo dunha piscina da forma e dimensións indicadas na figura? S60. Calcule a área das seguintes figuras circulares: a) Coroa circular de raios 5,7 cm e 23 mm. b) Sector circular de 8 cm de raio e 72º de ángulo. c) Segmento circular de 90º de amplitude nunha circunferencia de 10 cm de raio, 14,14 cm de corda e 5 cm de distancia do centro á corda. d) Trapecio circular de 35º 24 na coroa circular do apartado a) deste exercicio. Páxina 40 de 59

41 S61. Unha circunferencia mide 15 cm. Calcule o raio e a área do círculo. S62. A área dun círculo é de 114 cm 2. Calcule a lonxitude da circunferencia. S63. Calcule a área e o perímetro dun semicírculo de raio 5 metros. S64. Calcule o perímetro dos seguintes sectores circulares cos datos que se indican: a = 235ᵒ r = 3 cc a = 60ᵒ r = 15 kk a = 330ᵒ r = 50 m S65. Calcule a área dos sectores circulares da actividade anterior. S66. Se o perímetro dun sector circular correspondente a un círculo de 10 cm de raio é de 32,57 cm, cal é a amplitude do ángulo? S67. Calcule o perímetro e a área dos seguintes segmentos circulares cos datos que se indican: a = 170ᵒ r = 3 cc AA = 5,98 cc a = 60ᵒ r = 15 kk S68. Calcule o perímetro e a área das seguintes coroas circulares cos datos que se indican: R = 17 cc r = 3 cc R = 60 kk r = 15 kk S69. Calcule o perímetro da seguinte figura. Páxina 41 de 59

42 S70. Calcule a área e o perímetro da figura: S71. Calcule a área e o perímetro da seguinte figura. S72. Cal é a superficie dunha pista de atletismo con oito rúas de 122 cm de ancho cada unha delas, sabendo que cada recta mide 100 metros e a corda interior das curvas tamén mide 100 metros. O centro de xiro da curva é o marcado na figura. Páxina 42 de 59

43 S73. Calcule a área e o perímetro da figura: S74. Calcule a área e o perímetro da figura: S75. Calcule a superficie e o volume dun tetraedro que ten unha aresta de 2 metros. S76. Calcule a superficie e o volume dun cubo que ten por caras cadrados de área 9 m 2. S77. Calcule a superficie e o volume dun octaedro que ten unha aresta de 5 centímetros. S78. Calcule a superficie e o volume dun dodecaedro que ten unha aresta de 1 metro. S79. Calcule a superficie e o volume dun icosaedro que ten unha aresta de 4 centímetros. S80. Calcule o volume dun ortoedro de dimensións 12, 4 e 8 cm. S81. Calcule a superficie dun cubo de 11 dm de aresta. S82. Calcule o volume dun prisma hexagonal de lado da base 15 cm e 0,5 m de altura. Páxina 43 de 59

44 S83. As bases dun prisma recto son rombos de diagonais 8 cm e 6 cm. A altura do prisma é 10 cm. Calcule a área total. S84. A altura dun prisma recto é de 20 cm. As súas bases son trapecios cuxas bases miden 11 cm e 16 cm, e a altura 12 cm. Calcule o seu volume. S85. Calcule a superficie dun prisma de base hexagonal de 10 cm de altura e de 3 cm de lado da base. S86. Un prisma cuadrangular ten unha altura de 5 cm e a aresta da súa base mide 3 cm. Calcule o seu volume. S87. Calcule a superficie total dun prisma triangular de 6 cm de altura se a base é un triángulo equilátero de 8 cm de lado. S88. Unha piscina ten 10 m de longo, 6 m de largo e 2 m de profundidade. Canto teremos que gastar se a queremos pintar e a pintura custa a 11 o metro cadrado? S89. Unha piscina ten 10 m de longo, 6 m de largo e 2 m de profundidade. Canto tempo tardará en encherse se a billa bota 25 litros de auga por minuto? S90. Calcule o volume dunha pirámide cuadrangular de apotema 6 cm e 4 cm de lado do cadrado da base. Lembre que terá que aplicar o teorema de Pitágoras para o cálculo da altura. S91. Calcule a área total dunha pirámide que ten de base un cadrado de 10 cm e unha altura de 12 cm. Lembre que o primeiro é calcular a altura dun dos seus triángulos laterais (apotema da pirámide) aplicando o teorema de Pitágoras. S92. Calcule o volume dunha pirámide de base hexagonal que ten 6 cm de altura e 3 cm de lado da base. S93. Calcule a superficie total dunha pirámide hexagonal regular, que ten base de lado 30 cm e un apotema do hexágono de 26 cm, e a altura da pirámide é 26 cm. S94. Calcule o volume dunha pirámide pentagonal de 9 cm de altura, cuxo polígono da base é regular con 6 cm de lado e un apotema de 4,13 cm. S95. Calcule a área dunha pirámide de base pentagonal de 14 cm de lado, 9,63 cm de apotema da base e 60 cm de apotema lateral. Páxina 44 de 59

45 S96. Unha pirámide ten por base un hexágono cuxos lados miden 10 m e o apotema 8,66 m. O apotema lateral da pirámide é de 44 m. Calcule o seu volume. S97. Unha pirámide regular ten por base un cadrado de 8 cm de lado e a súa altura é de 10 cm. Calcule a súa superficie total. S98. Calcule o volume dunha pirámide regular de 80 cm de altura e de base hexagonal e lado da base 30 cm. S99. Unha pirámide ten a base cadrada. Sábese que a súa área total é de 1248 cm 2 e a súa área lateral 992 cm 2. Calcule o que miden os lados da base da pirámide. S100. Calcule o volume dunha pirámide hexagonal de 13 cm de altura que ten como raio da base 6 cm. S101. A maior das tres pirámides que hai en Gizeh (Exipto) é a de Keops. A súa base é un cadrado que mide 230 m de lado, e súa altura é de 147 m. Calcule a área lateral total da pirámide. S102. Un balón ten forma de esfera cun raio de 14 cm. Inflámolo ata que ten un diámetro de 29 cm. Canto aumentou o seu volume? S103. Calcule a superficie e o volume da seguinte figura: S104. Un trofeo dun campionato de baloncesto ten unha base cilíndrica de 10 cm de raio e 7 cm de altura. Ten enriba un tronco de cono de 3 cm de altura e raios 10 cm e 5 cm. Na parte superior ten un balón esférico de 4 cm de raio. Calcule o volume do trofeo. Páxina 45 de 59

46 S105. Dentro dunha circunferencia de raio 6 metros construímos un triángulo equilátero inscrito nela. A altura do triángulo é 1,5 veces o raio da circunferencia. Facemos xirar a figura sobre o eixe vermello obtendo unha esfera cun cono dentro dela. Calcule o volume do espazo que está dentro da esfera e fóra do cono. (NOTA: Para calcular o raio da base do cono debe utilizar o teorema de Pitágoras). S106. Temos un cilindro de raio 10 cm e cunha altura de 25 cm cheo de auga. Dentro del introducimos un prisma hexagonal, de base regular, recto e macizo, que encaixa de forma exacta dentro do cilindro. Ao introducilo no cilindro, parte da auga que contén o cilindro é desaloxada. Calcule o volume de auga que queda dentro do cilindro unha vez que rematamos de introducir o prisma. S107. Un tronco de pirámide ten como bases hexágonos regulares. Unha das bases ten un lado de 10 cm e a outra de 3 cm. A súa altura é de 14 cm. Calcule a súa superficie e o seu volume. S108. As bases dun tronco de cono teñen un diámetro de 14 cm e 4 cm. A altura do tronco de cono é de 20 cm. Calcule a súa superficie e o seu volume. S109. Indique cales das seguintes figuras son necesariamente sempre semellantes: Todos os cubos. Todos os prismas. Todos os icosaedros. Todos os dodecaedros. Todos os conos. Todos os paralelepípedos. Todas as pirámides. Todas as esferas. Todos os cilindros. Todos os tetraedros. S110. Calcule a altura dunha torre que proxecta unha sombra de 25 m sabendo que á mesma hora un pau de 2 m de lonxitude proxecta unha sombra de 1,25 m. Páxina 46 de 59

47 S111. Pedro quere saber a altura dun poste e aproveita para conseguilo unha poza que hai nas proximidades, na que Pedro pode conseguir ver o extremo do poste. A altura de Pedro é de 1,75 m. Para resolver o problema ten que comezar por localizar dous triángulos semellantes e establecer a relación entre os seus lados. S112. As rectas a e b son paralelas. Podemos asegurar, a partir das medidas do debuxo, que a recta c tamén é paralela ás rectas a e b? S113. Unha fábrica de chocolates fabrica bombóns que envasa en caixas de dous tamaños: tamaño normal e tamaño grande. As caixas de ambos os tamaños son semellantes. A caixa normal ten como base un sector circular de raio 15 cm e un ángulo de 60º. A súa altura é de 4 cm. Sabendo que o volume da caixa grande é o dobre do volume da caixa normal, calcule a altura da caixa grande. S114. Dúas latas cilíndricas de refresco de cola da marca Refrescola son semellantes. A pequena contén 33 cl de refresco e a outra contén medio litro de refresco. Calcule a razón que existe entre as superficies das bases de ambas as latas. S115. Hai algún tempo definíase o metro como a dezmillonésima parte de cuadrante de meridiano terrestre. Segundo esa definición canto mide un meridiano? Cal é o raio da Terra? S116. Utilizando o teorema de Pitágoras, calcule o raio do paralelo 45º e a súa lonxitude, utilizando como raio da Terra 6371 km. S117. Utilizando como raio da Terra 6371 km, e supoñendo que a Terra é unha esfera perfecta, calcule a superficie e o volume da Terra. Páxina 47 de 59

48 4. Solucionario 4.1 Solucións das actividades propostas S cm2 S2. Área = 50 m2, Perímetro = 34,14 m S3. 22,5 cm S metros. S mm2 e 520 mm2 respectivamente. S6. 12,5 + 10, ,5 = 30,5 m2 S7. 841,86 m2 (usouse unha aproximación do apotema de dúas cifras decimais). S8. 22,28 cm 38,33 m S9. 25,13 cm 2 91,63 m 2 S10. 72º S11. P=12,40 cm A=25,13-22,61=2,52 cm 2 P=34,20 m A=91,58-48,32=43,26 m 2 S12. P=106,81 cm A=53,41 cm 2 P=157,08 m A=392,70 m 2 S ,62 m 2. 55,93 cm 2 Páxina 48 de 59

49 S ,27 m 2. 19,27 m 2 S15. Nome Caras Vértices Arestas C + V=A + 2 Tetraedro =6+2 Cubo ou Hexaedro = Octaedro = Dodecaedro = Icosaedro = S cm 2 S dm 3 S ,1 cm 2 S cm 3 S ,4 cm 2 S cm 3 S cm 2 S ,32 cm 3 S24. S=22680 cm 2 V= cm 3 Páxina 49 de 59

50 S25. S=12800 cm 2 V=96000 cm 3 S cm 2 S cm 3 S28. 82,23 cm 2 S cm 3 S ,49 cm 2 S ,37 cm 3 S ,8 m 2 S ,33 cm 3 S cm 2 S ,6 cm 2 S m 3 S37. 9,05 m 2 S ,29 cm 3 S ,21 cm 3 S ,46 cm 2 S ,5 cm 2 S ,64 cm 2 S ,08 m 2 S ,54 cm 2 Páxina 50 de 59

51 S ,76 cm 3 S46. Si Non Si Non Non Non Si Non Non Si S m S48. 17,25 m S49. 2,8 cm S50. 64/125 S51. 13,74 cm S S53. Escala 1:75. O corredor mide 5,25 metros. S54. 62,5 quilómetros. S horas máis tarde no de chegada. S horas máis tarde no de saída. Páxina 51 de 59

52 4.2 Solucións das actividades finais S m 2 S m 2 S59. 51,376 m S60. 85,408 cm 2 40,192 cm 2 43,15 cm 2 8,398 cm 2 S61. Raio = 2,39 cm. Área = 17,94 cm 2 S62. 37,85 cm S63. Área = 39,27 m 2, Perímetro = 25,71 m S64. 18,30 cm 45,71 km 387,98 m S65. 18,46 cm 2 117,81 km ,48 m 2 S66. 72º S67. P=14,88 cm A=13,35-0,78=12,57 cm 2 P=21,71 km A=117,81-97,43=20,38 km 2 S68. P=125,66 cm A=879,65 cm 2 P=471,24 km A=10602,88 km 2 S69. 20,8 metros. S70. P = 1850 cm, A = cm 2 Páxina 52 de 59

53 S71. P = = 34,97 m, A = 40 m 2 S ,65 m 2 S73. P = 34,34 m, A = 69,88 m 2 S74. P = 32,08 m, A = 40,39 m 2 S75. S = 6,93 m 2, V = 0,94 m 3 S76. S = 54 m 2, V = 27 m 3 S77. S = 86,6 cm 2, V = 58,93 cm 3 S78. S = 20,65 m 2, V = 7,66 m 3 S79. S = 138,56 cm 2, V = 139,63 cm 3 S cm 3 S dm 2 S ,36 cm 3 S cm 2 S cm 3 S ,8 cm 2 S cm 3 S ,69 cm 2 S S horas S90. 30,17 cm 3 Páxina 53 de 59

54 S cm 2 S92. 46,77 cm 3 S ,26 cm 2 S ,85 cm 3 S ,05 cm 2 S ,87 m 3 S ,33 cm 2 S ,83 cm 3 S cm S ,3 cm 3 S ,8 m 2 S ,01 cm 3 S103. S=121,14 cm 2, V=92,15 cm 3 S ,98 cm 3 S ,1 m 3 S ,79 cm 3 S107. Superficie = 878,04 cm 2 ; Volume = 1685,2 cm 3 S108. Superficie = 901,23 cm 2 ; Volume = 1656,67 cm 3 S109. Si Non Non Non Si Si Si Non Non Si Páxina 54 de 59

55 S metros. S111. 4,67 metros. S112. Se se cumpren as condicións de proporcionalidade que establece o teorema de Tales, podemos concluír que as rectas a, b e c son paralelas. 2,4 cm 2cm 3,6cm = 3cm 2,4 3 = 2 3,6 7,2 = 7,2 S113. 5,04 cm S114. 1,32 S115. Meridiano = m. = km. Raio = 6366,2 km S116. Raio paralelo 45º = 4504,98 km. Lonxitude paralelo 45º = 28305,62 km S117. Sup. = km 2 ; Vol. = km 3 Páxina 55 de 59

56 5. Glosario A C Área Aresta Apotema dun polígono regular Apotema dunha pirámide Cara Cateto Cilindro Cono Corpo de revolución Cubo (ou hexaedro) Superficie dunha figura plana. Segmento común a dúas caras dun poliedro Distancia entre o centro do polígono e o punto medio de calquera dos seus lados. Altura da cara lateral dunha pirámide. Cada un dos polígonos que limita un poliedro. Lado que nun triángulo rectángulo forma parte do ángulo recto. Corpo xeométrico xerado a partir dun rectángulo que xira arredor dun dos seus lados. Corpo xeométrico xerado a partir dun triángulo rectángulo que xira arredor dun dos seus catetos. Corpo tridimensional obtido xirando unha figura plana ao redor dun eixe. Políedro regular formado por seis caras que son cadrados. D Dodecaedro Poliedro regular formado por doce caras que son pentágonos regulares. E F H Escala Esfera Fuso horario Hexaedro (ou cubo) Hipotenusa Cociente entre cada lonxitude da reprodución, sexa plano ou mapa, e a correspondente lonxitude na realidade. Corpo de revolución que se xera ao facer xirar un semicírculo arredor do seu diámetro. Cada unha das 24 partes en que se dividiu a esfera terrestre polo ecuador para sinalar a variación horaria. Políedro regular formado por seis caras que son cadrados. Lado que nun triángulo rectángulo non forma parte do ángulo recto. I Icosaedro Poliedro regular formado por vinte caras que son triángulos equiláteros. L Latitude Lonxitude Distancia, medida en graos, minutos e segundos, entre o ecuador e un punto calquera da superficie terrestre. Distancia, medida en graos, minutos e segundos, entre o meridiano 0º ou de Greenwich e un punto calquera da superficie terrestre. M Meridiano Circunferencias imaxinarias sobre a superficie terrestre que cruzan os polos. O P Octaedro Ortoedro Paralelepípedo Paralelo Perímetro Pirámide Poliedro Poliedro regular Prisma Poliedro regular formado por oito caras que son triángulos equiláteros Paralelepípedo recto. Prisma no que as bases son paralelogramos. Circunferencias imaxinarias na superficie terrestre que son paralelas ao ecuador. Lonxitude total das liñas que limitan unha superficie plana pechada. Poliedro que ten por base un polígono calquera e por caras laterais triángulos cun vértice común Figura tridimensional limitada por varios planos en forma de polígonos. Poliedro cuxas caras son polígonos regulares iguais e en cada un dos seus vértices converxe o mesmo numero de caras. Poliedro limitado por dous polígonos iguais e paralelos entre si, que forman as bases, e as caras laterais que son paralelogramos. Páxina 56 de 59

57 R Razón de semellanza Razón entre os lados homólogos de dúas figuras semellantes. S Semellantes As figuras son semellantes cando teñen a mesma forma pero diferente tamaño. T Teorema de Pitágoras Tetraedro Tronco de cono Tronco de pirámide Teorema que indica que nun triángulo rectángulo a suma dos cadrados dos catetos é igual ao cadrado da hipotenusa. Polígono regular formado por catro caras que son triángulos equiláteros. Cono ao que se lle corta a parte do vértice cun corte paralelo á base. Pirámide á que se lle corta a parte do vértice cun corte paralelo á base. V Vértice Punto dun poliedro no que se xuntan tres ou máis arestas. X Xeratriz dun cilindro Xeratriz dun cono Lonxitude do lado oposto ao eixe. Lonxitude da hipotenusa do triángulo que xira. Páxina 57 de 59

58 6. Bibliografía e recursos Bibliografía Libros para a educación secundaria a distancia de adultos. Ámbito tecnolóxicomatemático, Consellería de Educación e Ordenación Universitaria. Matemáticas ESO 1, Ed. Anaya, Matemáticas ESO 2, Ed. Anaya, Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas ESO 3, Ed. Anaya, Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas ESO 3, Ed. Anaya, Matemáticas enseñanzas académicas ESO 3, Ed. Santillana. Matemáticas enseñanzas aplicadas ESO 3, Ed. Santillana. Ligazóns de Internet Nestas ligazóns pode atopar trucos e información que pode consultar para mellorar a súa práctica ligonos/index_semejan.htm A_problemas_geometricos/impresos/4quincena8.pdf Páxina 58 de 59

59 7. Anexo. Licenza de recursos Licenzas de recursos utilizadas nesta unidade didáctica RECURSO (1) DATOS DO RECURSO (1) RECURSO (2) DATOS DO RECURSO (2) Procedencia: Procedencia: RECURSO 1 RECURSO 2 Procedencia: Procedencia: RECURSO 3 RECURSO 4 Páxina 59 de 59