Εύρεση και αποκωδικοποίηση βέλτιστων κωδίκων µε χρήση Πεπερασµένης Γεωµετρίας και Βάσεων Gröbner

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εύρεση και αποκωδικοποίηση βέλτιστων κωδίκων µε χρήση Πεπερασµένης Γεωµετρίας και Βάσεων Gröbner"

Transcript

1 Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Εύρεση και αποκωδικοποίηση βέλτιστων κωδίκων µε χρήση Πεπερασµένης Γεωµετρίας και Βάσεων Gröbner ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μάριος Μαγιολαδίτης Ηράκλειο 4

2 Η µεταπτυχιακή αυτή εργασία κατατέθηκε στο Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης τον Οκτώβρη του 4. Επιβλέπων ήταν ο καθηγητής Γιάννης Α. Αντωνιάδης. Την επιτροπή αξιολόγησης αποτέλεσαν οι: Γιάννης Αντωνιάδης, Θεόδουλος Γαρεφαλλάκης και Νίκος Τζανάκης. Η εργασία βρίσκεται σε ηλεκτρονική µορφή στην διεύθυνση: Τελευταία διόρθωση: 9//4

3 Εισαγωγή Η µετάδοση και η µεταφορά µηνυµάτων µέσω καναλιών είναι ένα σηµαντικό πρακτικό πρόβληµα. Η θεωρία κωδικοποίησης ασχολείται µε την εύρεση µεθόδων που ελαχιστοποιούν την πιθανότητα λάθους στην µετάδοση ενός µηνύµατος. Η εξάπλωση της χρήσης ηλεκτρονικών υπολογιστών µετά την δεκαετία του 95 έπαιξε τον καθοριστικότερο ρόλο στην ανάπτυξη των λεγόµενων κωδίκων διόρθωσης λαθών (error-correcting codes), κωδίκων, δηλαδή, που θα ανιχνεύουν και θα διορθώνουν λάθη που έχουν προκύψει κατά την µεταφορά µηνυµάτων. Η ανάπτυξη της αντίστοιχης θεωρίας οφείλεται κυρίως στους Shannon και Hamming. O Hamming είχε πρόσβαση σε έναν από τους πρώτους ηλεκτρονικούς υπολογιστές αλλά βρίσκονταν σε χαµηλή προτεραιότητα στη λίστα των χρηστών. Η διαδικασία που ακολουθούσε ήταν η εξής: Εισήγαγε δεδοµένα στον υπολογιστή κωδικοποιηµένα πάνω σε χαρτί µηχανής κάθε Παρασκευή και έπαιρνε τα αποτελέσµατά του την ευτέρα. Πολλές φορές έκανε λάθος στην εισαγωγή των δεδοµένων µε αποτέλεσµα ο υπολογιστής να µην µπορεί να δώσει αποτέλεσµα και να περιµένει ξανά µέχρι την επόµενη Παρασκευή για να δώσει ξανά τα δεδοµένα του. Η ιδέα του Hamming ήταν ότι αν ο υπολογιστής µπορεί να βρει ένα λάθος γιατί να µην µπορεί και να το διορθώσει; Σκέφτηκε εποµένως το ακόλουθο µοντέλο. Ο υπολογιστής του Hamming έπαιρνε δεδοµένα σε εφτάδες που αποτελούνται από και. Θεωρούµε µια εφτάδα c c c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 (όπου c i = ή ) η οποία θέλουµε να είναι αποδεκτή από τον υπολογιστή. Ο Hamming σκέφτηκε τα c i να ικανοποιούν τις ακόλουθες εξισώσεις mod : c + c 3 + c 5 + c 7 = c + c 3 + c 6 + c 7 = c 4 + c 5 + c 6 + c 7 = Τα c 3, c 5, c 6, c 7 επιλέγονται ελεύθερα και τα c, c, c 4 προκύπτουν από τις εξισώσεις. Οι εφτάδες που θα ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες θα είναι αποδεκτές από τον υπολογιστή και ονοµάζονται κωδικές λέξεις. Οι υπόλοιπες όχι. Αν υποθέσουµε ότι το τελικά ο υπολογιστής έλαβε το x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 σχηµατίζουµε τις ακόλουθες εξισώσεις mod : z = x + x 3 + x 5 + x 7 z = x + x 3 + x 6 + x 7 z 4 = x 4 + x 5 + x 6 + x 7 Αν το x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 είναι µια κωδική λέξη τότε z = z = z 4 =. Αν υπάρχει ακριβώς ένα λάθος τότε ακριβώς ένα από τα z, z, z 4 είναι διαφορετικό από το µηδέν και το λάθος βρίσκεται στην θέση z + z + 4z 3 (χρησιµοποιώντας κανονική πρόσθεση και όχι πρόσθεση mod ). Έτσι δηµιουργήθηκε ο πρώτος κώδικας διόρθωσης λαθών. Ένας κώδικας αποτελείται από 3 βασικές παραµέτρους. Το πλήθος Μ των κωδικών του λέξεων, το µήκος n των κωδικών λέξεων και την ελάχιστη απόσταση d µεταξύ 3

4 τους. Είναι σηµαντικό να κατασκευάζουµε κώδικες οι οποίοι θα έχουν µεγάλο Μ και µικρό n για οικονοµία στην µετάδοση του µηνύµατος αλλά και µεγάλο d ώστε να µπορούµε να διορθώνουµε όσο το δυνατόν περισσότερα λάθη. Βασικός σκοπός της εργασίας είναι η εύρεση γραµµικών κωδίκων που µια από τις τρεις παραµέτρους, δοσµένων των άλλων δύο, είναι βέλτιστη. Αυτά τα προβλήµατα ονοµάζονται κεντρικά προβλήµατα της Θεωρίας Κωδικοποίησης. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγουµε τον αναγνώστη σε βασικές έννοιες από την θεωρία της Κωδικοποίησης, των Πεπερασµένων Γεωµετριών. Κάνουµε µια σύνοψη βασικών προτάσεων που θα µας φανούν χρήσιµες στα επόµενα κεφάλαια. Στο δεύτερο κεφάλαιο συνδέουµε το πρόβληµα της εύρεσης του µέγιστου n, δοσµένων των n k, d και q, για το οποίο υπάρχει ένας [n, k, d] q -κώδικας µε ένα άλλο γνωστό πρόβληµα: το πεπερασµένο packing πρόβληµα, αυτό της εύρεσης του µεγαλύτερου n για το οποίο υπάρχει σύνολο που αποτελείται από n στοιχεία τα οποία είναι ανά d γραµµικά ανεξάρτητα. Το πρόβληµα αυτό αν και λύθηκε γρήγορα για τις περιπτώσεις όπου d 3 παραµένει ανοικτό µέχρι σήµερα. Χρησιµοποιούµε Πεπερασµένη Γεωµετρία για να αντιµετωπίσουµε το πρόβληµα και παρουσιάζουµε όλα τα γνωστά αποτελέσµατα µέχρι σήµερα. Επίσης, παρουσιάζουµε συνοπτικά την εξέλιξη των αποτελεσµάτων στην περίπτωση των MDS κωδίκων (κώδικες για τους οποίους ισχύει d = k + ), την περίφηµη βασική εικασία για τους MDS κώδικες. Στο τρίτο κεφάλαιο επιχειρούµε µια άλλη προσέγγιση του προβλήµατος αυτό της εύρεσης του ελάχιστου n δοσµένων των k, d και q, για το οποίο υπάρχει ένας [n, k, d] q -κώδικας. είχνουµε ότι ένα πολύ γνωστό φράγµα της Θεωρίας Κωδικοποίησης, το φράγµα του Griesmer µαζί µε ένα άλλο γνωστό αποτέλεσµα µετατρέπουν το πρόβληµα µας σε ένα πεπερασµένο πρόβληµα. Παρουσιάζουµε όλα τα γνωστά αποτελέσµατα στην περίπτωση των τετραδικών κωδίκων (κώδικες µε q = 4) και τα πρόσφατα αποτελέσµατα στην περίπτωση των δυαδικών κωδίκων. Στο τέταρτο κεφάλαιο χρησιµοποιούµε την Θεωρία των Βάσεων Gröbner για να παρουσιάσουµε ένα αλγόριθµο αποκωδικοποίησης κυκλικών κωδίκων. Αρχικά εισάγουµε βασικές έννοιες της θεωρίας και στη συνέχεια παρουσιάζουµε εφαρµογές της στην αποκωδικοποίηση. Αποδεικνύεται ότι ο αλγόριθµος που παρουσιάζουµε γενικεύεται για όλους τους γραµµικούς κώδικες. 4

5 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή µου Γιάννη Α. Αντωνιάδη για όλα αυτά τα χρόνια της συνεργασίας µας. Κοντά του γνώρισα ενδιαφέροντες κλάδους των µαθηµατικών. Πολλές ευχαριστίες χρωστώ στον καθηγητή Gerhard Frey (Duisburg-Essen, IEM) για την φιλοξενία που µου προσέφερε στο Ινστιτούτο Πειραµατικών Μαθηµατικών κατά τη διάρκεια της παραµονής µου στο Essen της Γερµανίας όπου και γράφτηκε ένα µέρος της εργασίας. Με την ευκαιρία να ευχαριστήσω τον υποψήφιο διδάκτορα Roger Oyono που µοιραστήκαµε για τέσσερις µήνες το ίδιο γραφείο καθώς και τους υπόλοιπους φοιτητές του ΙΕΜ τους οποίους γνώρισα. Θα ήθελα να ευχαριστήσω επίσης τους καθηγητές Yves Edel (Heidelberg) και David Glynn (Canterbury, New Zealand) για την επικοινωνία που είχαµε και το υλικό που µου προσέφεραν. Η συνεισφορά τους ήταν ιδιαίτερα σηµαντική για την κατανόηση εννοιών της Πεπερασµένης Γεωµετρίας και της σχέσης της µε την Θεωρία Κωδικοποίησης. Τέλος, ένα ευχαριστώ σε όλους τους φίλους µου που µε βοήθησαν στην παρουσίαση της εργασίας. 5

6 6

7 Περιεχόµενα Περιεχόµενα Εισαγωγή 3 Ευχαριστίες 5 Περιεχόµενα 6 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες. Στοιχεία της Θεωρίας Κωδικοποίησης 9.. Ορισµοί 9.. Φράγµατα. Στοιχεία Πεπερασµένης Γεωµετρίας 3 Κεφάλαιο Εύρεση και κατασκευή βέλτιστων κωδίκων δοσµένης ελάχιστης απόστασης..εισαγωγή 7 Το MLCT πρόβληµα για d 3..Το MLCT πρόβληµα για d = και d =.3.Το MLCT πρόβληµα για d = 3 (ή αλλιώς οι κώδικες Hamming).4.Το MLCT πρόβληµα για d = 4 3 Ακριβείς τιµές για το max 3 (r, q).4.. Ο προσδιορισµός του max 3 (r, ) Ο προσδιορισµός του max 3 (3, q) Ο προσδιορισµός του max 3 (4, q), για q περιττό Ο προσδιορισµός του max 3 (4, q), για q άρτιο Οι τιµές του B q (n, 4), για n q Παρατηρήσεις για το max 3 (r, q) για r Pellegrino caps Hill cap Ο προσδιορισµός του max 3 (5, 4) 44 Γνωστά φράγµατα για το max 3 (r, q).4.. Ένα αναδροµικό άνω φράγµα για το max 3 (r, q) max 3 (7, 3) max 3 (6, 4) Γνωστά κάτω φράγµατα για το max 3 (r, q) για 5 r και q Οι τιµές του B 3 (n, 4), για 5 n Τελικές παρατηρήσεις Το MLCT πρόβληµα για d = r + 6 7

8 Περιεχόµενα Κεφάλαιο 3 Εύρεση και κατασκευή βέλτιστων κωδίκων δοσµένου µήκους 3..Εισαγωγή Βέλτιστοι κώδικες δοσµένης απόστασης στο GF() Βέλτιστοι δυαδικοί κώδικες διάστασης Βέλτιστοι τετραδικοί κώδικες διάστασης Βέλτιστοι τετραδικοί κώδικες διάστασης Βέλτιστοι κώδικες δοσµένης απόστασης στο GF(4) Προκαταρκτικά αποτελέσµατα Βέλτιστοι τετραδικοί κώδικες διάστασης Οι υπόλοιπες δέκα τιµές του n 4 (4, d) Βέλτιστοι τετραδικοί κώδικες διάστασης 5 8 Κεφάλαιο 4 Αποκωδικοποίηση κωδίκων µε τη χρήση βάσεων Gröbner 4. Εισαγωγή Στοιχεία της Θεωρίας των Βάσεων Gröbner 85 Ταξινόµηση µονονύµων στο Κ[Χ,..., Χ n ] 85 Μονονυµικά ιδεώδη και το λήµµα του Dickson 88 Το θεώρηµα βάσης του Hilbert και βάσεις Gröbner Αποκωδικοποίηση κυκλικών κωδίκων µε τη χρήση βάσεων Gröbner 9 Βιβλιογραφία 97 8

9 Κεφάλαιο Κεφάλαιο Βασικές έννοιες. Στοιχεία της Θεωρίας Κωδικοποίησης Θα αναφερθούµε γενικά σε κάποια εισαγωγικά στοιχεία της Θεωρίας Κωδικοποίησης που θα µας είναι χρήσιµα στα κεφάλαια που ακολουθούν. Για περισσότερα στοιχεία παραπέµπουµε τον ενδιαφερόµενο αναγνώστη στο τρίτο κεφάλαιο του [Mag]. Οι αποδείξεις θεωρηµάτων, προτάσεων κλπ, για τις οποίες δεν υπάρχει παραποµπή, υπάρχουν στο [Mag]... Ορολογία Ένας (n, M, d) q -κώδικας είναι ένα υποσύνολο του διανυσµατικού χώρου F n, το q οποίο αποτελείται από Μ διανύσµατα µε ελάχιστη απόσταση Hamming d. Ένας γραµµικός κώδικας είναι ένας διανυσµατικός υπόχωρος του F n q. Σε αυτή την περίπτωση το Μ είναι δύναµη του q. Για ευκολία ένας γραµµικός (n, q k, d) q -κώδικας θα συµβολίζεται και ως [n, k, d] q - κώδικας ή πιο απλά ως [n, k, d]-κώδικας, όταν είναι γνωστό σε ποιο σώµα αναφερόµαστε. Θα αναφερόµαστε σε έναν (n, Μ) q -κώδικα ή σε έναν [n, k] q -κώδικα όταν δεν θέλουµε να αναφερθούµε στην ελάχιστη απόσταση του κώδικα. Ορισµός... Απόσταση Hamming d(x, y) δύο διανυσµάτων x, y στο F n q, µε x = x, x, x n και y = y, y, y n, είναι το πλήθος των συντεταγµένων στις οποίες τα x και y διαφέρουν. ηλαδή d(x, y) = #{i N, i n x i y i } Ορισµός... Βάρος (weight) Hamming w(x) ενός διανύσµατος x = x, x, x n στο F n q είναι το πλήθος των µη-µηδενικών συντεταγµένων του x. ηλαδή, Προφανώς, w(x) = d(x, ). w(x) = #{i N, i n x i } Παρατήρηση...3 Η απόσταση Hamming είναι µια µετρική στον F n q και το βάρος Hamming w είναι µια νόρµα στον F n. q 9

10 Κεφάλαιο Ορισµός...4 Αν C είναι ένας (n, k) q -κώδικας τότε η ελάχιστη απόσταση d του κώδικα είναι d = min d(u, v). u,v C u v Πρόταση...5 Η ελάχιστη απόσταση ενός [n, k]-κώδικα είναι ίση µε το ελάχιστο δυνατό βάρος που έχει κωδική λέξη διάφορη του µηδενικού στοιχείου. Ορισµός...6 Ένας κώδικας ο οποίος διορθώνει το πολύ t λάθη θα λέγεται t- κώδικας διόρθωσης λαθών (t-error-correcting code), ενώ ένας κώδικας ο οποίος ανιχνεύει το πολύ e λάθη θα λέγεται e-κώδικας ανίχνευσης λαθών (e-errordetecting code). Ορισµός...7 Ο δυϊκός (ή ορθογώνιος) κώδικας ενός [n, k, d] q -κώδικα C ορίζεται να είναι.. Φράγµατα C = { x u x = για κάθε u C} Θεώρηµα... (Φράγµα του Hamming) Οι παράµετροι ενός (n. M) q -κώδικα ο οποίος διορθώνει t λάθη ικανοποιούν την ανισότητα n t n Μ + (q ) (q ) q n. t Αν όλα τα διανύσµατα του F n q είναι µέσα σε σφαίρες κέντρου κωδικών λέξεων και ακτίνας t ενός [n, k] q -κώδικα τότε παίρνουµε µια ειδική κατηγορία κωδίκων: Ορισµός... Ένας t-κώδικας διόρθωσης λαθών ορισµένος στο σώµα F q θα ονοµάζεται τέλειος αν στο θεώρηµα... ισχύει η ισότητα. Αν ο C είναι κώδικας όπως αυτός του θεωρήµατος... µε ελάχιστη απόσταση d = t +, τότε αν διαγράψουµε από κάθε λέξη τα τελευταία d σύµβολα πάλι έχουµε έναν κώδικα µε όλες τις κωδικές λέξεις διαφορετικές. Ο κώδικας που προκύπτει έχει µήκος n d +, και παίρνουµε το Θεώρηµα...3 (Φράγµα του Singleton) Για έναν [n. k, d] q -κώδικας ισχύει C q n d +. ηλαδή k n d +. Ορισµός...4 Ένας γραµµικός κώδικας θα λέγεται διαχωρίσιµος µέγιστης απόστασης (maximum distance separable) ή πιο απλά κώδικας MDS αν στο θεώρηµα...3 ισχύει η ισότητα.

11 Κεφάλαιο Συµβολισµός...5 Έστω C γραµµικός κώδικας. Θα συµβολίζουµε µε G έναν γεννήτορα πίνακα (generator matrix) και µε H έναν πίνακα ελέγχου ισοτιµίας (parity-check matrix) του C. Θα συµβολίζουµε µε mld(h) τον ελάχιστο αριθµό των γραµµικά εξαρτηµένων στηλών του Η. Παρατήρηση...6 Επειδή οποιεσδήποτε rank(h) + το πλήθος στήλες του Η είναι γραµµικά εξαρτηµένες προφανώς ισχύει, mld(h) rank(h) + για κάθε πίνακα H. Θεώρηµα...7 Για κάθε [n, k, d]-κώδικα (µε n > k) ισχύουν: (i) k = n rank(h) (ii) d = mld(h) (iii) d n k +. Θεώρηµα...8 (Φράγµα των Gilbert Varshamov) Αν d q n k + > n (q ) i i τότε µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν [n, k] q -κώδικα µε ελάχιστη απόσταση µεγαλύτερη ή ίση από d. Θεώρηµα...9 Αν d q n k > n (q ) i i τότε µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν [n, k, d] q -κώδικα. Επίσης, από κάθε [n, k, d] q -κώδικα µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν [n, k, d] q -κώδικα. Απόδειξη Χρήση του φράγµατος των Gilber-Varshamov. Βλ. [Bie], θεώρηµα 3., σελίδα 79. Παρατηρήστε ότι, το τελευταίο θεώρηµα είναι ισχυρότερο του φράγµατος των Gilbert-Varshamov. Βλ. [Bie], λήµµα 3., σελίδα 8. Θεώρηµα... (Φράγµα του Plotkin) Ένας [n, k, d] q -κώδικας ικανοποιεί την σχέση d n k q (q ) k. (q )q

12 Κεφάλαιο Απόδειξη Βλ. [Lid], κεφάλαιο 4, θεώρηµα 7.5, σελίδα 97. Θεώρηµα... (Φράγµα του Griesmer) Ένας [n, k, d] q -κώδικας ικανοποιεί την σχέση k n g q (k, d) = q d i. Απόδειξη Βλ. το [Gr] όπου βρίσκεται η απόδειξη ακριβώς όπως την έδωσε ο J.H. Griesmer, το 96, για δυαδικούς κώδικες αλλά και το [S-S] όπου παρουσιάζεται η γενίκευση του φράγµατος του Griesmer για όλους τους κώδικες.

13 Κεφάλαιο. Στοιχεία Πεπερασµένης Γεωµετρίας Όπως θα φανεί σε επόµενα κεφάλαια η Θεωρία Κωδικοποίησης συνδέεται στενά µε την Θεωρία της Πεπερασµένης Γεωµετρίας. Θα αναφερθούµε σε κάποια εισαγωγικά στοιχεία. Για κάποια επιπλέον στοιχεία παραπέµπουµε τον ενδιαφερόµενο αναγνώστη στο κεφάλαιο του [Bie] αλλά και στο [Hil]... H προβολική γεωµετρία PG(r, q) Mε τον διανυσµατικό χώρο F r = {(α q, α,, α r ) α i F q }, συνδέουµε µια συνδυαστική κατασκευή PG(r, q) που αποτελείται από σηµεία και ευθείες που ορίζονται ακολούθως. Τα σηµεία του PG(r, q) είναι οι µονοδιάστατοι υπόχωροι του F r. q Οι ευθείες του PG(r, q) είναι οι δισδιάστατοι υπόχωροι του F r. q Το σηµείο P ανήκει στην ευθεία L αν και µόνο αν το P είναι υπόχωρος της L. Πιο γενικά ορίζουµε έναν t-χώρο (t-space) του PG(r, q) να είναι ένας υπόχωρος του F r q διάστασης t +. Εποµένως, ο -χώρος είναι ένα σηµείο και ο -χώρος µια ευθεία. Ένας -χώρος ονοµάζεται επίπεδο (plane), ένας 3-χώρος ονοµάζεται στερεό (solid) και ένας (r )-χώρος στο PG(r, q) ονοµάζεται υπερεπίπεδο (hyperplane). Παρατηρήστε ότι η διάσταση t ενός t-χώρου στο PG(r, q) είναι πάντα κατά ένα µικρότερη από την αντίστοιχη διάσταση του διανυσµατικού χώρου. Συνήθως, ταυτίζουµε έναν t-χώρο στο PG(r, q) µε το σύνολο των σηµείων που περιέχει. Αφού ο (t + )-διανυσµατικός υπόχωρος του F r αποτελείται από q qt + µη-µηδενικά διανύσµατα και το καθένα έχει q µη-µηδενικά (βαθµωτά) q t + πολλαπλάσια έχουµε ότι το πλήθος των σηµείων ενός t-χώρου είναι. q Το PG(r, q) ονοµάζεται η προβολική γεωµετρία των (r )-διαστάσεων πάνω από το F q. Κάθε σηµείο P του PG(r, q), σαν υπόχωρος του F r q µίας διάστασης, παράγεται από ένα µοναδικό µη-µηδενικό διάνυσµα. Εποµένως αν a = (α, α,, α r ) Ρ, τότε Ρ = {λa λ F q }. Στην πράξη, ταυτίζουµε το σηµείο P µε οποιοδήποτε µη-µηδενικό διάνυσµα περιέχεται σε αυτό. Με άλλα λόγια θεωρούµε τα σηµεία του PG(r, q) να είναι τα 3

14 Κεφάλαιο µη-µηδενικά διανύσµατα του F r q µε τον κανόνα ότι αν a = (α, α,, α r ) και b = (b, b,, b r ) είναι δύο τέτοια διανύσµατα, τότε a = b στο PG(r, q) αν και µόνο αν a = λb στον F r q, για κάποιο µη-µηδενικό λ στο F q. Τώρα αναφέρουµε κάποιες στοιχειώδεις ιδιότητες του PG(r, q). Λήµµα... Στο PG(r, q), (i) q r το πλήθος των σηµείων είναι, q (ii) οποιαδήποτε δύο σηµεία βρίσκονται πάνω σε ακριβώς µία ευθεία, (iii) κάθε ευθεία περιέχει ακριβώς q + σηµεία, (iv) q κάθε σηµείο βρίσκεται ακριβώς πάνω σε ευθείες. q (v) το πλήθος των (t + )-χώρων που περιέχουν έναν δοσµένο t-χώρο είναι (r ) t q. q Απόδειξη (i) Επειδή καθένα από τα q r µη-µηδενικά διανύσµατα του F r έχει q q µη-µηδενικά πολλαπλάσια, το πλήθος των σηµείων του PG(r, q) είναι q r. q (ii) Aν τα a και b είναι διακριτά σηµεία του PG(r, q), τότε η µοναδική ευθεία µεταξύ τους αποτελείται από σηµεία της µορφής λa + µb σηµεία, όπου λ, µ F q όχι και τα δύο µηδέν. (iii) Στο (ii), υπάρχουν q επιλογές για το ζευγάρι (λ, µ), αλλά επειδή ταυτίζουµε τα πολλαπλάσια, το πλήθος των διακριτών σηµείων πάνω στην q ευθεία είναι = q +. q (iv) Έστω t το πλήθος των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκεται ένα δοσµένο σηµείο P. Έστω Χ το σύνολο Χ = {(Q, L) όπου Q είναι ένα σηµείο διαφορετικό του Ρ και L η ευθεία που συνδέει τα Ρ και Q}. Υπολογίζουµε τα στοιχεία του Χ µε δύο τρόπους. Επειδή το PG(r, q) έχει q r q r σηµεία, έχουµε επιλογές για το σηµείο Q. Για καθεµία q q επιλογή για το Q υπάρχει µοναδική ευθεία L που ενώνει τα P και Q. Οπότε 4

15 Κεφάλαιο Χ = q r q r q =. q q Από την άλλη, για καθεµία από τις t ευθείες που διέρχονται από το Ρ, υπάρχουν, από το (iii), q σηµεία Q διαφορετικά από το Ρ που βρίσκονται πάνω στην L. Oπότε Χ = tq. q r q Εξισώνοντας τις δύο σχέσεις για το Χ παίρνουµε = tq. Οπότε, q q r t =. q (v) Για ένα δοσµένο t-χώρο οι τρόποι που µπορούµε να επιλέξουµε ένα επιπλέον σηµείο του PG(r, q) για να παράγουµε έναν (t + )-χώρο είναι r t+ r t q q q q = q q q +. Κάποια από αυτά τα επιπλέον σηµεία παράγουν τον ίδιο (t + )-χώρο και εποµένως πρέπει να διαιρέσουµε µε t+ t+ q q q = q q t+ q q t+, το πλήθος των σηµείων ενός τέτοιου (t + )-χώρου τα οποία δεν βρίσκονται στον δοσµένο t-χώρο. Άρα έχουµε ότι στο PG(r, q) το πλήθος των (t + )-χώρων που περιέχουν έναν δοσµένο t-χώρο είναι r t q q q t+ q q q + t+ q = t q r + t q q + t+ q = t+ q (r ) t ( q ) t+ q = (r ) t ( q ) q. Ορισµός... Την προβολική γεωµετρία PG(, q) την ονοµάζουµε προβολικό επίπεδο πάνω από το F q. Παρατήρηση...3 Από το λήµµα... έπεται ότι η PG(, q) είναι µια συµµετρική (q + q +, q +, )-κατασκευή, άρα ο ορισµός που δώσαµε για το (πεπερασµένο) προβολικό επίπεδο συµφωνεί µε τον ορισµό που δίνει ο Hill στο [Hil]. (Βλ. τελική παρατήρηση 4(i), σελ. 6, [Hil]) 5

16 Κεφάλαιο Παραδείγµατα...4 (i) Το απλούστερο προβολικό επίπεδο είναι το PG(, ) το οποίο είναι γνωστό και σαν το επίπεδο του Fano (the Fano plane) προς τιµήν του Ιταλού µαθηµατικού Gino Fano (87-95). Αποτελείται από 7 σηµεία τα οποία ονοµάζουµε,,,,,, και 7 ευθείες όπως φαίνεται στο σχήµα. (Ο εγγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου θεωρείται προβολικά ως ευθεία). Σχήµα Το προβολικό επίπεδο PG(, ). (ii) Τα 6 σηµεία του PG(, 5) είναι τα,,,, 3 και 4 και υπάρχει µια ακριβώς ευθεία που ενώνει τα 6 σηµεία. Τα σηµεία θα µπορούσαν ισοδύναµα να ονοµαστούν, για παράδειγµα, και 3,,,, και 4 αφού στο PG(, 5) ισχύει = 3, =, 3 = και 4 = 4. Παρατηρήσεις...5 () Τα σηµεία του PG(r, q) µπορούν να οριστούν µε µοναδικό τρόπο αν θέσουµε την αριστερότερη µη-µηδενική συντεταγµένη ίση µε. () Αν q =, τα σηµεία του PG(r, ) αντιστοιχούνται στα µη-µηδενικά διανύσµατα του F r. 6

17 Κεφάλαιο Κεφάλαιο Εύρεση και κατασκευή βέλτιστων γραµµικών κωδίκων δοσµένης ελάχιστης απόστασης. Εισαγωγή Το «κεντρικό πρόβληµα της θεωρίας κωδίκων» είναι το πρόβληµα εύρεσης του A q (n, d), της µεγαλύτερης τιµής του Μ για την οποία υπάρχει (n, M, d) q -κώδικας. Εµείς θα ασχοληθούµε µε το ίδιο πρόβληµα, περιορισµένο στους γραµµικούς κώδικες. Αν q είναι δύναµη πρώτου, θα συµβολίζουµε µε Β q (n, d) την µεγαλύτερη τιµή του Μ, για την οποία υπάρχει γραµµικός (n, M, d) q -κώδικας. Προφανώς, το Β q (n, d) είναι πάντοτε µια δύναµη του q, και Β q (n, d) A q (n, d). Θα αναφερόµαστε στο πρόβληµα εύρεσης του Β q (n, d) ως το κεντρικό γραµµικό πρόβληµα της θεωρίας κωδίκων (the main linear coding theory problem) ή πιο σύντοµα ως το MLCT πρόβληµα. Αν θεωρήσουµε τις τιµές των q και d σταθερές, µπορούµε να διατυπώσουµε το πρόβληµα ως εξής. Το MLCT-πρόβληµα (πρώτη εκδοχή) Για δοσµένο µήκος n, να βρεθεί η µέγιστη διάσταση k για την οποία υπάρχει ένας [n, k, d] q -κώδικας. Τότε, γι αυτό το k, ισχύει B q (n, d) = q k. Θυµίζουµε ότι το πλεόνασµα r ενός [n, k, d]-κώδικα είναι απλώς το n k (το πλήθος των συµβόλων ελέγχου µιας κωδικής λέξης). Μια διαφορετική εκδοχή του MLCTπροβλήµατος είναι: Το MLCT-πρόβληµα (δεύτερη εκδοχή) Για δοσµένο πλεόνασµα r, να βρεθεί το µέγιστο µήκος n για το οποίο υπάρχει ένας [n, n r, d] q -κώδικας. Η λύση της πρώτης εκδοχής για κάθε n είναι ισοδύναµη µε τη λύση της δεύτερης εκδοχής για κάθε r, γιατί και στις δύο περιπτώσεις θα ξέρουµε ακριβώς αυτές τις τιµές των n και k για τις οποίες υπάρχει ένας [n, k, d]-κώδικας. Η ισοδυναµία των δύο εκδοχών θα δοθεί επακριβώς στο θεώρηµα..7. Αποδεικνύεται ότι η εκδοχή εξασφαλίζει την πιο φυσική προσέγγιση. Η ιδέα αυτής της προσέγγισης, δίνεται στο επόµενο θεώρηµα. Αλλά πρώτα ας δώσουµε κάποιους ορισµούς. 7

18 Κεφάλαιο Ορισµός.. Ένα (n, s)-σύνολο στο F r q είναι ένα σύνολο από n διανύσµατα του F r q µε την ιδιότητα οποιαδήποτε s από αυτά να είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Παρατήρηση.. Προφανώς, όταν υπάρχει ένα (n, s)-σύνολο στο F r q υπάρχει και ένα (m, s)-σύνολο στο F r q για κάθε m < n το οποίο προκύπτει από την αφαίρεση οποιονδήποτε (n m) διανυσµάτων από το (n, s)-σύνολο. Συµβολισµός..3 Συµβολίζουµε µε max s (r, q) τη µέγιστη τιµή του n για την οποία υπάρχει ένα (n, s)-σύνολο στο F r q. Ορισµός..4 Ένα (n, s)-σύνολο στο F r q για το οποίο ισχύει n = max s (r, q) θα λέγεται βέλτιστο (optimal). Το packing πρόβληµα για το F r q είναι η εύρεση των διάφορων τιµών max s (r, q) και των αντίστοιχων βέλτιστων (n, s)-συνόλων. Το packing πρόβληµα πρώτη φορά µελετήθηκε από τον Bose (947) για το στατιστικό του ενδιαφέρον και στη συνέχεια (96) για την σύνδεσή του µε την θεωρία κωδικοποίησης, η οποία δίνεται από το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα..5 Υπάρχει [n, n r, d]-κώδικας στο F q ακριβώς τότε όταν υπάρχει ένα (n, d )-σύνολο του F r q. Απόδειξη Έστω C ένας [n, n r, d] q -κώδικας µε πίνακα ελέγχου ισοτιµίας H. Ο Η είναι ένας r n πίνακας. Επειδή η ελάχιστη απόσταση του κώδικα είναι d έχουµε ότι οποιεσδήποτε d στήλες του Η είναι γραµµικά ανεξάρτητες ενώ οποιεσδήποτε d στήλες του Η είναι γραµµικά εξαρτηµένες (βλ. και το θεώρηµα 8.4 του [Hil]). Άρα οι στήλες του Η σχηµατίζουν ένα (n, d )-σύνολο στο F r q. Από την άλλη, έστω K ένα (n, d )-σύνολο στο F r q. Αν σχηµατίσουµε έναν r n πίνακα H µε στήλες τα διανύσµατα του Κ, τότε, (βλ. και το θεώρηµα 8.4 του [Hil]) ο Η είναι ο πίνακας ελέγχου ισοτιµίας ενός [n, n r]-κώδικα µε ελάχιστη απόσταση το λιγότερο d. Πόρισµα..6 Αν µας δοθούν τα q, d και r τότε η µεγαλύτερη τιµή για το n έτσι ώστε να υπάρχει ένας [n, n r, d] q -κώδικας είναι max d (r, q). Οπότε το MLCT πρόβληµα (εκδοχή ) είναι το ίδιο µε το packing πρόβληµα της εύρεσης του max d (r, q). Στη συνέχεια δείχνουµε ότι οι τιµές του B q (n, d) δίνονται επίσης ως οι λύσεις αυτού του προβλήµατος. Θεώρηµα..7 Έστω max d (r, q) < n max d (r, q). Τότε, B q (n, d) = q n r. 8

19 Κεφάλαιο Απόδειξη Επειδή n max d (r, q) υπάρχει ένας [n, n r, d] q -κώδικας (πόρισµα..6) και εποµένως B q (n, d) q n r. Αν το B q (n, d) ήταν γνήσια µεγαλύτερο από το q n r θα υπήρχε ένας [n, n r +, d] q -κώδικας που θα σήµαινε ότι n max d (r, q), το οποίο είναι άτοπο λόγω της υπόθεσης. Ας σκιαγραφήσουµε τι θα κάνουµε στις επόµενες παραγράφους του κεφαλαίου. Θα ασχοληθούµε µε το MLCT πρόβληµα για αυξανόµενες τιµές της ελάχιστης απόστασης d. Στην παράγραφο. θα ασχοληθούµε µε τις περιπτώσεις d = και d = οι οποίες είναι εύκολες. Στην παράγραφο.3 θα θεωρήσουµε το πρόβληµα για d = 3 και θα το λύσουµε για όλες τις τιµές των q και r. Στη συνέχεια θα θεωρήσουµε την περίπτωση d = 4, θα τη λύσουµε για q = και θα δώσουµε τα, µέχρι σήµερα, γνωστά αποτελέσµατα για q µεγαλύτερο του. Για τις περιπτώσεις όπου το d είναι µεγαλύτερο του 4 πολύ λίγα πράγµατα είναι γνωστά στη µορφή γενικών αποτελεσµάτων, τουλάχιστον µέχρι το d να φτάσει στην µέγιστη τιµή του για δεδοµένο πλεόνασµα r, δηλαδή για d = r +. 9

20 Κεφάλαιο. Το MLCT πρόβληµα για d = και d = Για d =. Επειδή ο ίδιος ο διανυσµατικός χώρος F n q αποτελεί [n, n, ]-γραµµικό κώδικα, έχουµε ότι B q (n, ) = q n. Προφανώς ισχύει και A q (n,) = B q (n, ) = q n. Για d =. Θεωρούµε το γραµµικό κώδικα C = {x x x n x + x + + x n = }. O C είναι ένας [n, n, ]-κώδικας αφού το διάνυσµα... ανήκει στο C και δεν υπάρχει κωδική λέξη βάρους. Επειδή δεν υπάρχει γραµµικός [n, n, ]- κώδικας έχουµε B q (n, ) = q n..3 Το MLCT πρόβληµα για d = 3 (ή αλλιώς οι κώδικες Hamming) Θεώρηµα.3. Για δοσµένο πλεόνασµα r, το µέγιστο µήκος n ενός [n, n r, 3] q - q r q r κώδικα είναι που σηµαίνει ότι max (r, q) =. q q Απόδειξη Από το πόρισµα..6 η απαιτούµενη τιµή του n για να υπάρχει ένας γραµµικός [n, n r, 3] q -κώδικας είναι max (r, q), το µεγαλύτερο µέγεθος ενός (n, )-συνόλου στο F r q. Τώρα, ένα σύνολο S από διανύσµατα στο F r q είναι ένα (n, )-σύνολο αν και µόνο αν δεν υπάρχει διάνυσµα στο S που να είναι (βαθµωτό) πολλαπλάσιο άλλου διανύσµατος στο S. Όπως είναι γνωστό από την κατασκευή των κωδίκων Hamming πάνω από το F q τα q r µη µηδενικά διανύσµατα στο F r q q r διαµερίζονται σε κλάσεις και κάθε κλάση περιέχει q διανύσµατα για τα q οποία το κάθε διάνυσµα είναι πολλαπλάσιο ενός άλλου διανύσµατος της ίδιας κλάσης. Εποµένως, ένα (n, )-σύνολο του µεγαλύτερου µεγέθους είναι απλά ένα q r σύνολο από διανύσµατα που αποτελείται από ένα διάνυσµα από κάθε µια q από αυτές τις κλάσεις. Ο βέλτιστος [n, n r, 3]-κώδικας µε n = Ham(r, q). q r q είναι ο κώδικας Hamming Η λύση του MLCT προβλήµατος (πρώτη εκδοχή) προκύπτει άµεσα από τα θεωρήµατα..7 και.3.. Θεώρηµα.3. B q (n, 3) = q n r όπου r είναι ο µοναδικός ακέραιος για τον οποίο ισχύει q r q < n q r. q

21 Κεφάλαιο Παρατηρήσεις.3.3 () Είναι εύκολο να εκφραστεί το B q (n, 3) επακριβώς συναρτήσει των q και n. Συγκεκριµένα, B q (n, 3) = q [ n logq (nq n+ )] Απόδειξη Από το θεώρηµα.3. υπάρχει [n, n r, 3] q -κώδικας αν και µόνο αν n q r. q Έχουµε ισοδύναµα: q r n (q ) + r log q [n (q ) + ] n r n log q [n (q ) + ]. [ n logq (nq n+ )] Οπότε, πράγµατι, B q (n, 3) = q. () Για να κατασκευάσουµε έναν γραµµικό (n, M, 3)-κώδικα µε Μ = Β q (n, 3), q r βρίσκουµε τον µικρότερο ακέραιο r τέτοιο ώστε n και τον γράφουµε q σαν πίνακα ελέγχου ισοτιµίας, n διανύσµατα-στήλες του F r q τέτοια ώστε καµία στήλη να είναι (βαθµωτό) πολλαπλάσιο κάποιας άλλης. Μπορούµε πάντα να πάρουµε έναν τέτοιο πίνακα ελέγχου-ισοτιµίας µε το να διαγράψουµε στήλες από τον πίνακα ελέγχου-ισοτιµίας ενός κώδικα Hamming Ham(r, q). Εποµένως, ο καλύτερος γραµµικός -διορθωτικός κώδικας δοσµένου µήκους είναι ή κάποιος πίνακας Hamming ή ένας shortened κώδικας Hamming. Πριν προχωρήσουµε στην περίπτωση όπου d = 4, παρατηρούµε ότι θα ήταν πλεονεκτικότερο να βλέπουµε ένα (n, s)-σύνολο όχι µόνο σαν ένα σύνολο διανυσµάτων του F r q αλλά και σαν ένα σύνολο σηµείων της αντίστοιχης προβολικής γεωµετρίας PG(r, q). Ορισµός.3.4 Ένα σύνολο K που αποτελείται από n σηµεία του PG(r, q) ονοµάζεται ένα (n, s)-σύνολο αν τα διανύσµατα που αναπαριστούν τα σηµεία του K σχηµατίζουν ένα (n, s)-σύνολο στον αντίστοιχο (underlying) διανυσµατικό χώρο F r q. Παρατηρήσεις.3.5 () Το να δουλεύουµε στο PG(r, q) έχει δύο βασικά πλεονεκτήµατα: (a) κάποιοι σχετικά εύκολοι υπολογισµοί µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να πάρουµε πάνω φράγµατα του max s (r, q) και (b) πολλά βέλτιστα (n, s)-σύνολα είναι τελικά κάποιες φυσικές γεωµετρικές κατασκευές. () Ένα (n, )-σύνολο του PG(r, q) είναι απλά ένα σύνολο από n διακεκριµένα σηµεία του PG(r, q). Άρα µπορούµε να περιγράψουµε τον κώδικα Hamming Ham(r, q) ως τον κώδικα ο οποίος έχει πίνακα ελέγχου ισοτιµίας H τέτοιο ώστε.

22 Κεφάλαιο οι στήλες να είναι διακεκριµένα σηµεία του PG(r, q). Φυσικά, διαφορετικές αναπαραστάσεις αυτών των σηµείων θα µας δίνουν διαφορετικούς, αλλά ισοδύναµους, κώδικες. Για παράδειγµα (βλ. το παράδειγµα...4(ii)) ο κώδικας Ham(, 5) ορίζεται από τον πίνακα ελέγχου ισοτιµίας H = 3 4 ή ισοδύναµα H = 3 4

23 Κεφάλαιο.4 Το MLCT πρόβληµα για d = 4 Εφαρµόζοντας το πόρισµα..6 για d = 4 προκύπτει ότι το µέγιστο µήκος ενός [n, n r, 4] q -κώδικα, για δοσµένο r, είναι ίσο µε max 3 (r, q), το µεγαλύτερο µέγεθος ενός (n, 3)-συνόλου στο F r q (ή στο PG(r, q)). Θα εισάγουµε κάποια επιπλέον ορολογία η οποία θα µας φανεί χρήσιµη παρακάτω. Ορισµός.4. Ένα (n, 3)-σύνολο στο επίπεδο PG(r, q) (r 3) ονοµάζεται n- cap. Αν r = 3, ένα (n, 3)-σύνολο στο επίπεδο PG(, q) συνήθως ονοµάζεται n-τόξο (n-arc). Μπορούµε να γενικεύσουµε τον παραπάνω ορισµό για οποιοδήποτε (n, s)-σύνολο. Ορισµός.4. Ένα (n, s)-σύνολο στο επίπεδο PG(r, q) ονοµάζεται (n, s)-cap. Ορισµός.4.3 Ένα cap λέγεται πλήρες (complete) αν δεν περιέχεται σε κανένα cap του ίδιου προβολικού χώρου µεγαλύτερου µεγέθους. Προφανώς, το µέγιστο πλήρες cap έχει µήκος ίσο µε max 3 (r, q). Επειδή τρία σηµεία στο PG(r, q) για r > 3 είναι γραµµικά εξαρτηµένα αν και µόνο αν είναι συνευθειακά (δηλαδή βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία) µπορούµε να περιγράψουµε ένα n-τόξο/n-cap σαν το σύνολο n σηµείων όπου ανά τρία δεν είναι συνευθειακά. Το πρόβληµα προσδιορισµού των τιµών του max 3 (r, q) πρώτα απασχόλησε τον Bose (947). Λύθηκε γρήγορα για q = και όλα τα r, καθώς και για r 4 και για όλα τα q. Αλλά, παρόλο που το πρόβληµα απέσπασε πολύ την προσοχή, λύθηκε επιπλέον µόνο για τα ζευγάρια (r, q) = (5, 3) και (6, 3). Το 999, οι Yves Edel και Jürgen Bierbrauer µε τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών έλυσαν το πρόβληµα για το ζευγάρι (5, 4). Οι γνωστές τιµές για το max 3 (r, q) εµφανίζονται στον παρακάτω πίνακα. max 3 (r, ) = r (Bose 947) q + αν q περιττός max 3 (3, q) = q + αν q άρτιος (Bose 947) max 3 (4, q) = q + αν q περιττός q + αν q άρτιος (Bose 947) (Qvist 95) max 3 (5, 3) = (Pellegrino 97) max 3 (6, 3) = 56 (Hill 973) max 3 (5, 4) = 4 (Edel, Bierbrauer 999) Πίνακας Οι γνωστές τιµές του max 3 (r, q) 3

24 Κεφάλαιο Στις επόµενες παραγράφους θα αποδείξουµε αυτά τα αποτελέσµατα ή θα δώσουµε τα βασικά βήµατα των αποδείξεων..4. Ο προσδιορισµός του max 3 (r, ) Ενδιαφερόµαστε για την εύρεση βέλτιστων δυαδικών γραµµικών κωδίκων µε d = 4. Το ακόλουθο γενικό θεώρηµα µας δείχνει ότι µπορούµε να αποκοµίσουµε τέτοιους κώδικες από βέλτιστους κώδικες µε ελάχιστη απόσταση 3 µε την απλή σκέψη του να προσθέσουµε σε κάθε κωδική λέξη ένα σύµβολο ολικού ελέγχου ισοτιµίας. Θεώρηµα.4.. Έστω d περιττός. Τότε υπάρχει δυαδικός [n, k, d]-κώδικας αν και µόνο αν υπάρχει δυαδικός [n +, k, d + ]-κώδικας. Απόδειξη Παρατηρήστε ότι ένας εκτεταµένος ( extended ) γραµµικός κώδικας δηλαδή ο κώδικας που παίρνεται από έναν γραµµικό κώδικα µε την προσθήκη σε κάθε κωδική λέξη ενός συµβόλου ολικού ελέγχου ισοτιµίας, είναι επίσης γραµµικός. Πιο συγκεκριµένα, αν το βάρος µια κωδικής λέξης είναι άρτιο προσθέτουµε ένα ενώ αν το βάρος της είναι περιττό προσθέτουµε ένα. Αυτό αποδεικνύει την µια κατεύθυνση του θεωρήµατος. Για την αντίθετη κατεύθυνση, διαλέγουµε στον κώδικα [n +, k, d + ] κωδικές λέξεις x και y τέτοιες ώστε d(x, y) = d +. Στη συνέχεια βρίσκουµε µια θέση στην οποία διαφέρουν και την διαγράφουµε από όλες τις κωδικές λέξεις. Το αποτέλεσµα είναι ένας [n, k, d]-κώδικας και αποδείξαµε το θεώρηµα. Από την απόδειξη φαίνεται ότι το θεώρηµα γενικεύεται και για µη γραµµικούς κώδικες. ηλαδή υπάρχει δυαδικός (n, Μ, d)-κώδικας αν και µόνο αν υπάρχει δυαδικός (n +, Μ, d + )-κώδικας. (Βλ. και θεώρηµα.7 του [Hil]). Πόρισµα.4.. Έστω d άρτιος. Τότε (i) B (n, d) = B (n, d ) (ii) max d (r, ) = max d (r, ) +. Απόδειξη (i) Άµεσο από το θεώρηµα.4... (ii) Έχουµε ισοδύναµα n max d (r, ) υπάρχει δυαδικός [n, n r, d]-κώδικας υπάρχει δυαδικός [n, n r, d ]-κώδικας n max d (r, ) n max d (r, ) + Από όπου προκύπτει η ισότητα. Πόρισµα.4..3 max 3 (r, ) = r. 4

25 Κεφάλαιο Απόδειξη Από το θεώρηµα.3. για q = έχουµε ότι max (r, ) = το πόρισµα.(ii), max 3 (r, ) = ( r ) + = r. r = r. Οπότε, από Ο βέλτιστος δυαδικός κώδικας µε d = 4 και πλεόνασµα r είναι ο εκτεταµένος κώδικας Hamming H â m(r, ) (βλ. κεφάλαιο 8 του [Hil]), ένας πίνακας ελέγχου ισοτιµίας για αυτόν τον κώδικα είναι Ĥ = H... M, όπου Η είναι ένας πίνακας ελέγχου ισοτιµίας του κώδικα Ham(r, ) τέτοιος ώστε οι στήλες του H να είναι τα σηµεία του PG(r, ) (για παράδειγµα τα µη- µηδενικά διανύσµατα του F q. Οι στήλες του Ĥ σχηµατίζουν ένα βέλτιστο r -cap στο PG(r, ) το οποίο αποτελείται από τα σηµεία του PG(r, ) τα οποία δεν βρίσκονται στον υπόχωρο {(x,, x r ) x r = }. Γεωµετρικά, µπορεί να περιγραφεί σαν το συµπλήρωµα ενός υπερεπιπέδου..4. Ο προσδιορισµός του max 3 (3, q) Πρώτα θα δώσουµε κάποια παραδείγµατα από καλούς γραµµικούς κώδικες µε d = 4 και r = 3. Στη συνέχεια θα αποδείξουµε ότι αυτοί οι κώδικες είναι βέλτιστοι δείχνοντας ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι κώδικες µε µεγαλύτερο µήκος. Θεώρηµα.4.. Έστω a, a,, a q τα µη-µηδενικά στοιχεία του F q.... (i) Ο πίνακας H = a a... a q είναι ο πίνακας ελέγχου ισοτιµίας a a... a q ενός γραµµικού [q +, q, 4]-κώδικα. Ισοδύναµα, οι στήλες του Η σχηµατίζουν ένα (q + )-τόξο στο PG(, q). ηλαδή αποτελούν ένα (q +, 3)-σύνολο του PG(, q). (ii) Αν ο q είναι άρτιος τότε ο πίνακας Η * = a a a a a a q q 5

26 Κεφάλαιο Απόδειξη είναι ο πίνακας ελέγχου ισοτιµίας ενός γραµµικού [q +, q, 4]-κώδικα. Ισοδύναµα, οι στήλες του Η * σχηµατίζουν ένα (q + )-τόξο στο PG(, q). ηλαδή αποτελούν ένα (q +, 3)-σύνολο του PG(, q). (i) Αρκεί να δείξουµε ότι, οποιεσδήποτε τρεις στήλες του H είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Οποιεσδήποτε τρεις από τις πρώτες q στήλες του Η σχηµατίζουν έναν πίνακα Vandermonde. Είναι γνωστό ότι ένας πίνακας Vandermonde έχει µη-µηδενική ορίζουσα (θεώρηµα. του [Hil]) και ότι κάθε r r πίνακας µε µη-µηδενική ορίζουσα έχει r στήλες γραµµικά ανεξάρτητες (θεώρηµα. του [Hil]). Εποµένως για οποιαδήποτε τριάδα στηλών, η οποία περιέχει µια ή δύο από τις δύο τελευταίες στήλες του Η, η ορίζουσα µπορεί να αναπτυχθεί κατά µια από αυτές τις στήλες και να πάρουµε ξανά µια ορίζουσα ενός πίνακα Vandermonde. Πιο συγκεκριµένα, αν για παράδειγµα πάρουµε την ορίζουσα det a i a j µπορούµε να a i a j αναπτύξουµε ως προς την τελευταία στήλη οπότε θα πάρουµε a i a j. Επειδή a i a j η ορίζουσα det A είναι µη-µηδενική. (ii) είξαµε στο (i) ότι οποιεσδήποτε τρεις στήλες του Η * είναι γραµµικά ανεξάρτητες, µε πιθανή εξαίρεση µια τριάδα της µορφής a i, a j a i a j και. Η ορίζουσα του πίνακα Α που σχηµατίζεται από αυτές τις τρεις στήλες είναι ίση µε a i a. Επειδή, το q είναι άρτιος, το σώµα F j q έχει χαρακτηριστική. Οπότε, a i a j = (a i a j ). Εποµένως η ορίζουσα det A είναι µη-µηδενική αφού a i a j. Επειδή κατασκευάσαµε κώδικες µήκους q + και q + αντίστοιχα έχουµε το ακόλουθο Πόρισµα.4.. max 3 (3, q) q +, q +, αν q περιττός αν q άρτιος Παρατήρηση.4..3 Το (q +)-τόξο που σχηµατίζεται από τις στήλες του Η του θεωρήµατος.4.. είναι η κωνική τοµή {(x, y, z) PG(, q) όπου yz = x }. Παρατηρήστε ότι τα στοιχεία της τρίτης γραµµής είναι ίσα µε το γινόµενο των αντίστοιχων στοιχείων των δύο πρώτων γραµµών. Τώρα θα δείξουµε ότι οι κώδικες/τόξα που δίνονται στο θεώρηµα.4.. είναι βέλτιστοι. 6

27 Κεφάλαιο Θεώρηµα.4..4 (i) Για κάθε δύναµη πρώτου q, max 3 (3, q) q +. (ii) Αν ο q είναι περιττός τότε max 3 (3, q) q +. Πρώτη απόδειξη (i) Επειδή r = 3 είναι k = n r = n 3. Έστω Η ο πίνακας ελέγχου ισοτιµίας, στην κανονική του µορφή, ενός γραµµικού [n, n 3, 4] q -κώδικα C µε n = max 3 (3, q): H = a b c a b c a b c n 3 n 3 n 3, Επειδή d = 4 οποιεσδήποτε τρεις στήλες του Η είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Εποµένως, η ορίζουσα που σχηµατίζεται από οποιεσδήποτε τρεις στήλες του Η είναι διαφορετική του µηδενός. Από το µη-µηδενισµό της ορίζουσας που σχηµατίζεται από δυο από τις τρεις τελευταίες στήλες και από µια από τις n 3 πρώτες, βρίσκουµε ότι όλα τα a i, b i, c i είναι µη-µηδενικά. Πολλαπλασιάζοντας την i-στη στήλη µε a i για i =,,, n 3 σχηµατίζουµε έναν κώδικα ισοδύναµο µε τον C όπου όλα τα a i είναι όλα ίσα µε. Εποµένως, µπορούµε να υποθέσουµε ότι ο κώδικας ελέγχου ισοτιµίας είναι Η = b c... n 3 b... b n 3, c... c όπου τα b i και c i είναι διαφορετικά του µηδενός. Επειδή η ορίζουσα που σχηµατίζεται από την τελευταία στήλη και από δυο από τις n 3 πρώτες στήλες, είναι µη-µηδενική, τα b i πρέπει να είναι, σαν στοιχεία του F q, διαφορετικά ανά δύο. Εποµένως, n 3 q οπότε n q +. (ii) (Προσαρµόστηκε από τους Fenton και Vámos, 98). Ας υποθέσουµε ότι ο q είναι περιττός. Έστω ότι υπάρχει ένας γραµµικός [q +, q, 4]-κώδικας. Θα καταλήξουµε σε άτοπο. Αν λοιπόν υπάρχει τέτοιος κώδικας, όπως και στο (i), µπορούµε να υποθέσουµε ότι ο C έχει πίνακα ελέγχου ισοτιµίας τον Η = b c b c b c q q όπου τα b, b,, b q είναι όλα τα µη-µηδενικά στοιχεία του F q και τα c, c,, c q είναι όλα τα µη-µηδενικά στοιχεία του F q σε κάποια σειρά. Ο µη- µηδενισµός των οριζουσών της µορφής 7

28 Κεφάλαιο det bi ci b c j j µας δίνει ότι τα στοιχεία b c, b c,, b q c q είναι όλα διαφορετικά µεταξύ τους ανά δύο άρα είναι επίσης τα µη-µηδενικά στοιχεία του F q σε κάποια σειρά. Τώρα, επειδή κάθε στοιχείο του F q έχει αντίστροφο διαφορετικό από τον εαυτό του εκτός από τα και τα τρία γινόµενα q i q q b, c i, b c i i είναι όλα ίσα µε. Αλλά τότε q b c = ( q i i i q b )( c i ) = ( )( ) =. Επειδή το q είναι περιττός και καταλήξαµε σε άτοπο. εύτερη απόδειξη (γεωµετρική) (i) Έστω K ένα n-τόξο στο PG(, q) µε µέγιστο µέγεθος n = max 3 (3, q). Έστω P ένα σηµείο του Κ. Από το λήµµα...(iv) υπάρχουν q + ευθείες που περνάνε από το Ρ και κάθε σηµείο του Κ βρίσκεται σε µια από αυτές τις ευθείες. Μάλιστα κάθε µια από αυτές τις ευθείες µπορεί να περιέχει, εκτός του Ρ, ακριβώς ένα σηµείο γιατί από τον ορισµό του n-τόξου δεν υπάρχουν τρία σηµεία του Κ συνευθειακά (δηλαδή γραµµικά εξαρτηµένα). Εποµένως, n + (q + ) = q +. (ii) Έστω τώρα q περιττός. Έστω, µε σκοπό να φτάσουµε σε άτοπο, ότι το Κ είναι ένα (q + )-τόξο στο PG(, q). ηλαδή το Κ περιέχει q + σηµεία τα οποία ανά τρία δεν είναι συνευθειακά. Αν Ρ ένα τυχαίο σηµείο του Κ, κάθε µια από τις q + ευθείες που περνάνε από το Ρ πρέπει να περιέχουν ακριβώς ένα επιπλέον σηµείο από το Κ. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε ευθεία στο PG(, q) τέµνει το Κ ή σε δύο σηµεία ή σε κανένα, αλλά ποτέ σε ένα. Έστω, τώρα, Q ένα σηµείο του PG(, q) που δεν βρίσκεται στο Κ. Από το Q περνάνε q + ευθείες και κάθε ένα σηµείο του Κ βρίσκεται σε ακριβώς µια από αυτές. Άρα αν t από αυτές τις ευθείες τέµνουν το Κ σε δύο σηµεία τότε Κ = t, άρτιος. Είναι άτοπο γιατί K = q + περιττός. Παρατήρηση.4..5 Η γεωµετρική απόδειξη είναι η καλύτερη από τις δύο αποδείξεις. Έχει δύο σηµαντικά πλεονεκτήµατα: () γενικεύεται για να δώσει άνω φράγµατα στο max 3 (r, q) για µεγαλύτερες τιµές του r και () δεν χρησιµοποιεί συγκεκριµένες ιδιότητες του σώµατος F q και εποµένως δίνει κάποια άνω φράγµατα για το µέγεθος των n-τόξων για οποιοδήποτε προβολικό επίπεδο µε τάξη q. 8

29 Κεφάλαιο Το πόρισµα.4.. και το θεώρηµα.4..4 µας δίνουν το Θεώρηµα.4..6 (Bose 947 στο [Bos]) max 3 (3, q) = q +, q +, αν q περιττός αν q άρτιος Παρατήρηση.4..7 Ο Segre το 954 (βλ. [Se]) έδειξε ότι, για q περιττό, κάθε (q + )-τόξο στο PG(, q) είναι µια κωνική τοµή (conic). Από αυτό προκύπτει ότι ο βέλτιστος [q +, q, 4]-κώδικας. είναι µοναδικός, µέχρι ισοδυναµίας. Για q άρτιο, τα βέλτιστα (q + )-τόξα στο PG(, q) δεν είναι, εν γένει, µοναδικά και η κατάταξή τους είναι άγνωστη. Ορισµός.4..8 Ένα (q+)-cap στο PG(, q) ονοµάζεται οβάλ (oval) ενώ ένα (q+)-cap στο PG(, q) ονοµάζεται υπεροβάλ (hyperoval). Το θεώρηµα.4..6 µας δείχνει ότι πάντα υπάρχει ένα oval στο PG(, q) ενώ ένα υπεροβάλ υπάρχει στην περίπτωση όπου το q είναι περιττός..4.3 Ο προσδιορισµός του max 3 (4, q), για q περιττό Θα κάνουµε µια γεωµετρική προσέγγιση του προβλήµατος. Αρχικά παρατηρούµε ότι ένας t-χώρος είναι απλά ένα αντίγραφο του PG(t, q) µε την προϋπόθεση να λαµβάνονται υπ όψιν και οι τυχόν ιδιότητες των υποχώρων του. Συγκεκριµένα, ένα cap στο PG(r, q) πρέπει να τέµνει έναν (t )-χώρο το πολύ σε max 3 (t, q) σηµεία, έχοντας πάντα υπ όψιν ότι το υποσύνολο ενός cap είναι επίσης cap. Τώρα θα παρουσιάσουµε ένα άνω φράγµα του max 3 (4, q) όταν το q είναι περιττός. Θεώρηµα.4.3. Αν q περιττός τότε max 3 (4, q) q +. Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι Κ είναι ένα n-cap στο PG(3, q) µε µέγιστο µέγεθος. ηλαδή ισχύει n = max 3 (4, q). Θεωρούµε P και P δυο σηµεία του Κ και L την ευθεία που ορίζουν τα P και P. Επειδή δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία στο Κ, η L δεν περιέχει άλλα σηµεία του Κ. Σύµφωνα µε το λήµµα...(v) από την ευθεία L περνάνε q + επίπεδα και κάθε σηµείο του Κ, διαφορετικό από τα Ρ και Ρ, βρίσκεται σε ακριβώς ένα από αυτά τα επίπεδα. Επειδή ο q είναι περιττός προκύπτει από το θεώρηµα.4..4(ii) ότι κανένα επίπεδο δεν περιέχει πάνω από q + σηµεία του Κ. Συγκεκριµένα, ένα επίπεδο που τέµνει την ευθεία L µπορεί να περιέχει το πολύ q σηµεία εκτός από τα Ρ και Ρ. Οπότε n + (q + )(q ) = q +. Στη συνέχεια δείχνουµε ότι υπάρχουν (q + )-caps στο PG(3, q), όταν ο q είναι περιττός. Θεώρηµα.4.3. Υποθέτουµε q περιττός. Έστω b ένα στοιχείο του F q όχι τετράγωνο. Τότε το σύνολο 9

30 Κεφάλαιο είναι ένα (q + )-cap στο PG(3, q). Q = {(x, y, z, w) PG(3, q) όπου zw = x by } Απόδειξη Επειδή το b δεν είναι τετράγωνο το µόνο σηµείο του Q µε z = είναι το (,,, ). Τα υπόλοιπα σηµεία µπορούν να αναπαρασταθούν από ένα διάνυσµα µε z =. Άρα µπορούµε να γράψουµε Q = {(,,, ), (x, y,, x by ) όπου x, y F q } (.4.3.3) Από εδώ φαίνεται ότι η τάξη του Q είναι Q = q +. Πρέπει τώρα να δείξουµε ότι οποιαδήποτε τρία σηµεία στο Q δεν είναι συνευθειακά. Προφανώς, το (,,, ) δεν είναι συνευθειακό µε δύο άλλα σηµεία του Q επειδή για κάθε δοσµένο ζευγάρι (x, y) υπάρχει µόνο ένα σηµείο του Q της µορφής (x, y,, *). Έστω, λοιπόν a = (x, y,, x by ) και a = (x, y,, x by ) δύο σηµεία του Q διαφορετικά από το (,,, ). Έστω, για να καταλήξουµε σε άτοπο, ότι η ευθεία που περνάει από τα a και a περιέχει και ένα τρίτο σηµείο στο Q. Τότε, για κάποιο µη-µηδενικό λ ισχύει a + λ a Q. ηλαδή, το σηµείο (x, y, z, w) = (x, y,, x by ) + λ (x, y,, x by ) = (x + λx, y + λy, + λ, x by + λx λby ) ικανοποιεί την zw = x by. Αυτή η συνθήκη γράφεται Ισοδύναµα, ( + λ)(x by + λx λby ) = (x + λx ) b(y + λy ). x by + λx λby + λx λby + λ x λ by = x + λx x + λ x by λby y λ by. Από όπου προκύπτει Επειδή λ έπεται ότι λx + λx λby λby = λx x λby y. (x x ) = b(y y ), το οποίο είναι άτοπο διότι το b δεν είναι τετράγωνο. Τα θεωρήµατα.4.3. και.4.3. µας δίνουν το Θεώρηµα Αν q περιττός τότε max 3 (4, q) = q +. Παράδειγµα Στο θεώρηµα.4.3. θέτουµε q = 3 και b =. Από την σχέση (.4.3.3), ένα -cap στο PG(3, 3) παράγεται από τις στήλες του πίνακα 3

31 Κεφάλαιο Η =. Εποµένως, ο Η είναι ο πίνακας ελέγχου ισοτιµίας του τριαδικού (ternary) γραµµικού [, 6, 4]-κώδικα ο οποίος έχει µέγιστο µήκος για d = 4 και r = 4. ιορθώνοντας τις στήλες του πίνακα ώστε το πρώτο µη-µηδενικό στοιχείο από πάνω προς τα κάτω να είναι προκύπτει ο πίνακας:. Παρατήρηση Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένα -cap στο PG(3, 3), όπως και ένα 4-cap στο PG(, 3), είναι προβολικά µοναδικό..4.4 Ο προσδιορισµός του max 3 (4, q), για q άρτιο Θα παρουσιάσουµε ένα άνω φράγµα του max 3 (4, q) όταν το q είναι άρτιος. Η απόδειξη ότι max 3 (4, 4) = 7 δόθηκε από την Πολωνή Esther Seiden το 95, η οποία, ωστόσο, δεν κατάφερε να γενικεύσει τις µεθόδους της για να δώσει περισσότερα αποτελέσµατα. Για να πάρουµε όλες τις τιµές του max 3 (4, q) για q άρτιο, θα ακολουθήσουµε µια διαδικασία ανάλογη µε αυτήν που είδαµε στην περίπτωση που το q είναι περιττός. Αρχικά θα παρουσιάσουµε την µέθοδο του Bose για να πάρουµε ένα βέλτιστο άνω φράγµα και στη συνέχεια θα δώσουµε ένα cap που να ικανοποιεί την ισότητα. Έστω Κ ένα cap στο PG(r, q). Μια ευθεία ε του PG(r, q) θα λέγεται εφαπτόµενη (tangent) του Κ αν έχει ακριβώς ένα κοινό σηµείο µε το Κ, αλλιώς, αν έχει δύο κοινά σηµεία, θα λέγεται τέµνουσα (secant) του Κ. Αν η ευθεία ε δεν έχει κανένα κοινό σηµείο µε το Κ θα λέµε ότι η ε είναι εξωτερική (external) του Κ. Θεώρηµα.4.4. (Bose) Αν q = h (h > ) τότε max 3 (4, q) q + q +. Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι Κ είναι ένα n-cap στο PG(3, q). Θεωρούµε ένα σηµείο q 3 Ρ του Κ. Από αυτό το σηµείο περνάνε ακριβώς = q + q + ευθείες (βλ. q λήµµα...(iii)). Κάθε ευθεία περνάει από το πολύ ένα ακόµα σηµείο µέσα στο Κ. Εποµένως, το Κ περιέχει το πολύ q + q + + = q + q + σηµεία. 3

32 Κεφάλαιο Θεώρηµα.4.4. Αν q = h (h > ) τότε max 3 (4, q) q + q +. Απόδειξη Υποθέτουµε ότι υπάρχει ένα n-cap, έστω Κ, στο PG(3, q) το οποίο έχει ακριβώς q + q + σηµεία. Θα οδηγηθούµε σε άτοπο. Θεωρούµε ένα σηµείο Ρ του Κ. Κάθε µια από τις q + q + ευθείες του PG(3, q) που περνάνε από το Ρ τέµνουν το Κ σε ακριβώς ένα επιπλέον σηµείο. ιαφορετικά, το Κ θα είχε λιγότερα από q + q + σηµεία. Εποµένως, το Κ έχει µόνο τέµνουσες και δεν έχει εφαπτόµενες. Οπότε κάθε επίπεδο το οποίο τέµνει το Κ πρέπει να έχει τουλάχιστον q + κοινά σηµεία µε το Κ, γιατί διαφορετικά θα µπορούσαµε να φέρουµε µια εφαπτόµενη στο Κ. Από την άλλη, κάθε επίπεδο είναι ένας 3-χώρος και εποµένως έχει το πολύ max 3 (3, q) = q + σηµεία στο Κ (βλ θεώρηµα.4..6). Εποµένως, κάθε επίπεδο τέµνει το Κ ή σε ακριβώς q + σηµεία ή σε κανένα. Επειδή µια ευθεία περνάει από ακριβώς δύο σηµεία του Κ, το πλήθος των τεµνουσών του Κ είναι ίσο µε το πλήθος των τρόπων που µπορούµε να επιλέξουµε q + q + δύο σηµεία µέσα στο Κ, δηλαδή είναι ίσο µε = (q + q + )(q + q). Το πλήθος των ευθειών στο χώρο είναι (q + )(q + q + ). Επειδή q > βλέπουµε ότι η δεύτερη ποσότητα είναι µεγαλύτερη από την πρώτη και εποµένως υπάρχουν ευθείες του χώρου οι οποίες δεν τέµνουν το Κ. Θεωρούµε L µια ευθεία η οποία δεν τέµνει το Κ. Θεωρούµε όλα τα επίπεδα που περιέχουν την L. Αυτά είναι σε πλήθος q + q +. (βλ. λήµµα...(v)). Κάθε ένα από αυτά τα επίπεδα, αν τέµνει το Κ, το τέµνει σε q + σηµεία. Έστω ότι t από αυτά τα επίπεδα τέµνουν το Κ. Τότε το Κ έχει t (q + ) σηµεία. ηλαδή, q + q + = t (q + ). ηλαδή θα πρέπει q = (t )(q+) όπου q = h (h > ) άρα και t >. Εποµένως, to q + διαιρεί το q που σηµαίνει ότι το ( h + ) διαιρεί το h. ηλαδή το h + (περιττός) διαιρεί το h (δύναµη του ). Καταλήξαµε σε άτοπο άρα δεν υπάρχει cap µε q + q + σηµεία στο PG(3, q). Θεώρηµα Αν q = h (h > ) τότε δεν υπάρχει n-cap στο PG(3, q) µε q + < n < q + q +. Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι Κ είναι ένα n-cap στο PG(3, q) µε n = q + α όπου < α < q + και ότι δεν υπάρχει cap στο PG(3, q) µε περισσότερα σηµεία. Θα οδηγηθούµε σε άτοπο. Θεωρούµε ένα σηµείο Ρ του Κ. Μπορούµε να συνδέσουµε το Ρ µε κάθε άλλο σηµείο του Κ. Οπότε από το Ρ περνάνε ακριβώς q + α τέµνουσες και υπάρχουν ακόµη q + q + (q + α ) = q + α (> ) ευθείες οι οποίες εφάπτονται του Κ στο σηµείο P. 3

33 Κεφάλαιο q Έστω L µια εφαπτόµενη στο Κ στο σηµείο P. Θεωρούµε τα = q + επίπεδα q που περιέχουν την εφαπτόµενη L. Τα ονοµάζουµε Ε i όπου i =,,..., q +. Κάθε K E i είναι ένα (q + )-cap. Επειδή κανένα K E i δεν µπορεί να έχει εφαπτόµενη (βλ. σελίδα του [Qv]), τα Ε i τέµνουν το Κ το πολύ σε q σηµεία πέραν του P. Αν υποθέσουµε ότι κάθε ένα από τα q + επίπεδα τέµνει το Κ το πολύ σε q σηµεία πέραν του P θα έχουµε ότι το Κ έχει συνολικά το πολύ (q )(q + ) + = q σηµεία. Το όποιο είναι άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι το Κ έχει q + α σηµεία όπου α >. Εποµένως, κάποια από τα q + επίπεδα που περιέχουν την εφαπτόµενη L τέµνουν το Κ σε q σηµεία. Χωρίς βλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι το Ε τέµνει το Κ σε q + σηµεία. Έχουµε ότι οι εφαπτόµενες του K E τέµνονται σε ένα σηµείο εκτός του K E (βλ. θεώρηµα 5 του [Qv]). Έστω Q αυτό το σηµείο. Προφανώς το Q δεν ανήκει στο Κ. Οι εφαπτόµενες του K E είναι προφανώς και εφαπτόµενες του Κ. Συνδέουµε το Q µε όλα τα σηµεία του Κ. Αν όλες οι ευθείες που συνδέουν το Q µε το K ήταν εφαπτόµενες στο Κ θα προέκυπτε ένα νέο cap αποτελούµενο από όλα τα σηµεία του Κ και το Q. ηλαδή ένα cap µε q + α + σηµεία. Το οποίο είναι άτοπο αφού έχουµε υποθέσει ότι δεν υπάρχει cap µε περισσότερα σηµεία από το Κ. Έστω λοιπόν L µια τέµνουσα του Κ που περνάει από το Q και τέµνει το Κ στα σηµεία Α και Β. Η L δεν ανήκει στο K E αφού το K E περιέχει µόνο εφαπτόµενες του Κ. Τα επίπεδα που περιέχουν την L και τα οποία έχουν µια εφαπτόµενη µε το K E είναι q + στο πλήθος άρα είναι όλα τα επίπεδα που περιέχουν την L. Άρα κάθε ένα από τα q + επίπεδα τα οποίο περιέχει την L έχει µια εφαπτόµενη µε το Κ. Άρα περιέχει το πολύ q + σηµεία. (Στην γεωµετρική απόδειξη του θεωρήµατος.4..4 δείξαµε ότι ένα (q+)-τόξο έχει µόνο τέµνουσες και καθόλου εφαπτόµενες. Αυτό ήταν ανεξάρτητο του αν το q είναι άρτιος ή περιττός). ηλαδή κάθε επίπεδο περιέχει το πολύ q σηµεία εκτός των Α και Β. Συνολικά εποµένως έχουµε ότι το Κ έχει το πολύ (q + )(q ) + = q +. Το όποιο είναι και πάλι άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι το Κ έχει q + α σηµεία όπου α >. είξαµε δηλαδή ότι δεν υπάρχει (q + α)-cap στο PG(3, q) όπου < α < q +. Αυτό ολοκληρώνει και την απόδειξη. Παρατηρήστε ότι αν q = τότε max 3 (3, ) = 8 +. Άρα η εξαίρεση της περίπτωσης q = ήταν απαραίτητη. Τα θεωρήµατα.4.4.,.4.4. και µας δίνουν το Θεώρηµα (Qvist, 95 στο [Qv]) Αν q = h (h > ) τότε max 3 (4, q) q +. Στη συνέχεια δείχνουµε ότι υπάρχουν (q + )-caps στο PG(3, q) όταν το q είναι άρτιος. 33

34 Κεφάλαιο Αρχικά βρίσκουµε ένα στοιχείο b του F q τέτοιο ώστε η εξίσωση Χ + Υ + bχy = () να έχει µοναδική λύση στο F q F q την (x, y) = (, ). Παρατηρούµε ότι αν x = τότε και y = και αντίστροφα. Για να δείξουµε ότι υπάρχει τέτοιο b συµβολίζουµε το Y X µε r και προσπαθούµε να επιλέξουµε τέτοιο b ώστε η εξίσωση να µην έχει λύσεις στο F q. r + br + = () Η τελευταία εξίσωση έχει το πολύ δύο λύσεις. Επίσης, αν r είναι µια λύση της () τότε και η r + b είναι λύση της αφού (r + b) + b (r + b) + = r + b + br + b + = r + br + =. Στην περίπτωση που b = η εξίσωση έχει µοναδική λύση, την r =. Επίσης ισχυριζόµαστε ότι αν θεωρήσουµε διαφορετικές, µη-µηδενικές, τιµές του b δεν προκύπτει ίδια τιµή για το r. Πράγµατι αν b b τότε θεωρούµε τις εξισώσεις r + b r + = r + b r + = Με αφαίρεση κατά µέλη των παραπάνω εξισώσεων προκύπτει ότι (b b ) r = Οπότε, υποχρεωτικά, r =. Το οποίο είναι άτοπο, αφού η () δεν έχει το µηδέν σαν λύση. Αν λοιπόν το r διατρέξει όλες τις τιµές του F q για κάθε r υπάρχει µια τιµή για το b για την οποία το r να είναι λύση της εξίσωσης. Αν r τότε παίρνουµε ακριβώς ένα ζευγάρι διαφορετικών τιµών του b ενώ αν r = παίρνουµε b =. Τέλος, αν r = δεν παίρνουµε καµία τιµή του b. Οπότε, (q ) + = q + = q τιµές του b µας δίνουν λύσεις της εξίσωσης () στο F q. Άρα υπάρχουν q q = q τιµές του b ώστε η εξίσωση () να µην έχει λύση. Αυτό αποδεικνύει και τον ισχυρισµό ότι υπάρχει κάποιο b τέτοιο ώστε η () να έχει µοναδική λύση την (x, y) = (, ). Θεώρηµα Υποθέτουµε q άρτιος. Έστω b ένα στοιχείο τέτοιο ώστε η () να έχει µοναδική λύση την (x, y) = (, ). Τότε το σύνολο 34

35 Κεφάλαιο Q = {(x,y, z, w) PG(3, q) όπου x + y + bxy + zw = } είναι ένα (q +)-cap στο PG(3, q). Απόδειξη Το µόνο σηµείο του Q µε z = είναι το (,,, ). Τα υπόλοιπα στοιχεία µπορούν να αναπαρασταθούν από ένα διάνυσµα µε z =. Άρα µπορούµε να γράψουµε Q = {(,,, ), (x, y,, x + y + bxy) όπου x, y F q } Από εδώ φαίνεται ότι η τάξη του Q είναι Q = q +. Πρέπει τώρα να δείξουµε ότι οποιαδήποτε τρία σηµεία στο Q δεν είναι συνευθειακά. Αρχικά δείχνουµε ότι το (,,, ) δεν είναι συνευθειακό µε δύο άλλα σηµεία του Q. Πράγµατι αν για κάποια µη-µηδενικά λ, λ στο F q και για κάποια διακεκριµένα (x, y,, x + y + bx y ), (x, y,, x + y + bx y ) σηµεία του Q ισχύει (,,, ) = λ (x, y,, x + y + bx y ) + λ (x, y,, x + y + bx y ) τότε θα πρέπει λ + λ =. ηλαδή λ = λ. Οπότε, θα πρέπει (,,, ) = (λ (x + x ), λ (y + y ),, λ (x + y + bx y + x + y + bx y )). ηλαδή, x = x και y = y. Το οποίο είναι άτοπο. Έστω, λοιπόν a = (x, y,, x + y + bx y ) και a = (x, y,, x + y + bx y ) δύο διακεκριµένα σηµεία του Q διαφορετικά από το (,,, ). Έστω, για να καταλήξουµε σε άτοπο, ότι η ευθεία που περνάει από τα a και a περιέχει και ένα τρίτο σηµείο στο Q. Τότε, για κάποιο µη-µηδενικό λ ισχύει a + λ a Q. ηλαδή, το σηµείο (x, y, z, w) = (x, y,, x + y + bx y ) + λ (x, y,, x + y + bx y ) = (x + λx, y + λy, + λ, x + y + bx y + λx + λy + λbx y ) ικανοποιεί την zw = x + y + bxy. Αυτή η συνθήκη γράφεται ( + λ)(x + y + bx y + λx + λy + λbx y ) = (x + λx ) + (y + λy ) + b(x + λx )(y + λy ). Ισοδύναµα, x + y + bx y + λx + λy + λbx y + λx + λy + λbx y + λ x + λ y + λ bx y = x + λ x + y + λ y + bx y + λbx y + λby x + λ bx y. Από όπου προκύπτει 35

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ ιανυσµατικοί Χώροι ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούνε µια σύντοµη εισαγωγή στην έννοια του διανύσµατος

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 Πρόλογος 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 7 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 1.1 Η αριθµητική υπολοίπων.............. 10 1.2 Η πολυωνυµική αριθµητική............ 14 1.3 Θεωρία πεπερασµένων οµάδων και σωµάτων.... 17 1.4 Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα