Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija
|
|
- Γάννης Κόρακας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen je i definisan Hamingov kod. On nam pomaže pri otkrivanju i ispravljanju grešaka koje nastaju pri prenosu informacija, na primer u telekomunikacijama. Pored specijalnih slučajeva u radu je prikazano kako Hamingov kod funkcioniše za bilo koji opšti slučaj. Ključne reči: Kod, matrica, greška, bit parnosti, kodna distanca. Uvod Teorija kodiranja je grana matematike bazirana na analizi podataka koji se prenose kroz kanale sa šumom i na ispravljanje eventualnih grešaka koje pri tom nastaju. Glavna razlika izmedju kriptografije i kodiranja je u tome što je glavni zadatak kriptografije da napravi poruke koje su teške za razumevanje bez šifre, što sa kodiranjem nije slučaj. Dakle ako imamo reč koju prenosimo a koja je u binarnom zapisu, kodiranjem se dodaju neki pomoćni bitovi koji pomažu pronalaženju i ispravljanju eventualne greške nastale pri prenosu reči od pošiljaoca do promaoca. Najprostiji način kodiranja je pomoću bitova parnosti o čijoj će primeni biti više kasnije. Posle više pokušaja, prvi kod pomoću kojeg se pronalazi i ispravlja nastala greška, predstavio je Ričard Haming. 2 Savršeni kodovi Pre definisanja Hamingovog koda, pokazaćemo najbitnije karakteristike savršenih kodova u koje spada i sam Hamingov kod. U teoriji kodiranja posmatra se skup F od q različitih simbola, tj. slova koji se naziva azbuka. U praktičnim problemima je obično q = 2 i F = {, }, dok se u teorijskim razmatranjima uzima da je q = p r, tako da je p prost broj i F = GF (q). Tako je moguće formirati q n n-torki koristeći slova skupa F koje se nazivaju reči. Sa F n
2 se obeležava skup svih reči dužine n. Kada je q = p r reči se mogu predstaviti kao n dimenzionalni vektori nad poljem GF (q) i tada je F n vektorski prostor nad poljem. Poruke koje se šalju kroz telekomunikacioni kanal kodiraju se pomoću reči iz skpa F n. Ovakav način kodiranja naziva se blokovsko kodiranje. Možemo pretpostaviti da se reč prenosi slovo po slovo kroz kanal. Usled smetnji svako slovo može se pogrešno preneti i na kraju kanala korisnik ga registruje kao neko drugo slovo. Neka je p verovatnoća da se slovo na kraju kanala registruje kao neko drugo, tada je np srednja vrednost broja grešaka prilokom prenošenja reči dužine n. Na osnovu te verovatnoće može se odrediti maksimalan broj grešaka e koje se mogu prsktično pojaviti. Osnovni zadatak teorije kodova je da razradi metode za korekciju greške. Skup S(x, r) = {y y F n, d(x, y) r} n-torki y koje su od n-torke x udaljene za najviše r naziva se (zatvorena) kugla poluprečnika r sa centrom u x. Svaki podskup C skupa F n naziva se kod. Minimalno medjusobno rastojanje n-torki iz jednog koda C naziva se kodovsko rastojanje. Kod kodovskog rastojanja 2e + ima osobinu da se njegove n-torke mogu rekonstruisati na kraju telekomunikacionog kanala ako se prilikom prenošenja svake n-torke na napravi više od e grešaka, tj. ako bar n e prenošene reči tačno primi na kraju kanala. Definicija Kod C = {x, x 2,..., x m }( F n ) kodovskog rastojanja 2e + se naziva savrěn ako je m S(x i, e) = F n i= tj. ako je unija kugli poluprečnika e opisanih oko n-torki koda C jednaka skupu svih n-torki F n. 3 Hamingov kod Mašine treba da rade. Ljudi treba da razmišljaju., reči su američkog matematičara koji se zvao Ričard Vesli Haming (Richard Wesley Hamming). On je rodjen. februara 95. godine u Čikagu, a preminuo je 7. januara 998. godine u Montereju, Kalifornija. Imao je dosta uticaja na razvoj kompjuterskih nauka i telekomunikacija. Njegova najuticajnija otrića bila su Hamingov kod (iz kojeg proističe Hamingova matrica), Hamingovi brojevi i definisanje Hamingove distance. Zanimljivo je da je radio kao jedan od programera u Drugom svetskom ratu, čiji je zadatak bio da provere da li će eksplozija atomske bombe štetiti atmosferi. Dobio je više nagrada medju kojima je najznačajnija Tjuringova. Da bismo definisali Hamingov kod moramo se upoznati sa osnovnim karakteristikama koda. Definicija 2 Kod C je podskup skupa A n gde je A alfabet nad kojim se vrši kodiranje, a A n je skup svih uredjenih n torki. Definicija 3 Kod u alfabetskom prostoru i čiji je linearni prostor iznad tog polja onda je taj kod linearan. Definicija 4 Reč je element A n. Kodna reč je element C. 2
3 Dimenzija koda je broj vektora u bazi koda. Linearni kodovi dužine n i dimenzije k će se opisivati kao [n, k] kodovi. Hamingovi kodovi su linearni kodovi koji se opisuju kao [n, k] kodovi koji odredjuje i q koje predstavalja kardinalnost baze F q, gde je q = 2 jer je F q = {, }. Hamingov kod radi na principu dodavanja pomoćnih bitova parnosti bitova na pozicijama stepena dvojke reči koju treba da prenesemo. Definisaćemo matricu B pomoću koje odredjujemo zavisnost vrednost bitovi parnosti bitova od ostalih bitova kodne reči. Definicija 5 Matrica B[2 n, n], gde je b ij {, } se konstruiše tako što se svako i izrazi u obrnutom binarnom zapisu u i-toj vrsti,a ostala polja b ij imaju vrednost nula. Matrica za specijalan slučaj gde je n=3 izgleda: x x 2 x 4 x Definicija 6 Bit parnosti 2 j je odredjen svakim i iz j-te kolone ako je b ij =. Za specijalni slučaj imamo: x 4 = x 5 + x 6 + x 7 x 2 = x 3 + x 6 + x 7 x = x 3 + x 5 + x 7 Iz gore navedenog se može primetiti da svaki bit parnosti zavisi od bitova reči u čijem se indeksu sadrži indeks samog bita parnosti. Ako želimo preneti reč () onda se ona kodira na sledeći način:. (x x 2 x 4 ) 2. (x x 2 ) 3. (x ) 4. ( ) Za reč potrebna su 3 bita parnosti, što znači da će primalac dobiti reč od 7 bitova. Kodiranje se vrši tako što se ne popunjavaju mesta na kojima se bitovi parnosti nalaze već se datom rečju redom popunjavaju 3, 5, 6 i 7. mesto kodne reči. x, x 2, x 4 se izračunavaju po gore navedenim formulama. Za proveru greške u ovom slučaju koristićemo sledeće jednačine: z = x 4 + x 5 + x 6 + x 7 z 2 = x 2 + x 3 + x 6 + x 7 z 3 = x + x 3 + x 5 + x 7 3
4 z z 2 z 3 predstavlja binarni zapis indeksa bita na kojem se nalazi greška. Ako je z =, z 2 = i z 3 = onda se greška nalazi na 5. bitu, jer je (5) 2 =. Ukoliko je z z 2 z 3 = onda nema greške u primljenoj reči. Ovo treba dokazati u opštem slučaju. Svaki z se predstavlja zbirom odgovarajućeg bita parnosti i bitova od kojih taj bitovi parnosti bit zavisi.. Ako je z =, onda nema greške u kodnoj reči, jer zbir 2 istovetna bita parnosti treba da bude. 2. Ako!z i =, gde je z {z, z 2,..., z n } onda je greška na 2 n i bitu parnosti. 3. Ako postoji m z i takvih da je z i i m, onda je greška u bitovima koda, a mesto koda je predstavlja binarni zapis svih z j. Dokaz: Ako imamo grešku na x i bitu, posmatrajmo sldeće: z n = x + x 3 + x x 2 n z n = x 2 + x 3 + x 6 + x z n 2 = x 4 + x 5 + x 7... z n k = x 2 k +... z = x 2 n +... Ako je i indeks bita na kom je greška tada je (z z 2... z n ) 2 = i. z j =, gde je j =, 2, 3,... n ako x i bit učestvuje u sumi z j. x 2 n j bitovi parnosti bit z j i on će čekirati x i ako 2 n j učestvuje u zapisu broja i. Posmatrajmo binarni zapis broja i. Neka je to (a a 2...a n ) 2 = i = a 2 +a a n j 2 j +a j 2 n j +...+a n 2 n 2 +a n 2 n a j = Ovim je dokaz završen. a j = z j i = (z z 2... z n ) 2 Definicija 7 k- dimenzionalni potprostor C vektorskog prostora F n naziva se linearni (n, k) - kod nad poljem GF (q) Linearni kodovi C se obično predstavljaju pomoću generišuće matrice koda. Vrste generišuće matrice obrazuju bazu vektorskog prostora C. Ako C predstavlja (n, k) kod, njegova generišuća matrica je dimenzija k x n. Vektori koda C se dobijaju kao linearne kombinacije vrsta matrice G, pri čemu se koeficijenti uzimaju iz odgovarajućih polja GF ( q). Skup svih vektora koji su ortogonalni na sve vektore koda C naziva se dualni kod koda C i obeležava se sa C. Ako je C linearni (n,k)-kod, dualni kod C je linearni (n, n k)-kod. Generišuća matrica H dualnog koda C naziva se kontrolna matrica koda C. Generišuća matrica G i kontrolna matrica H koda C povezane su jednakošću GH T =, odnosno C = {x Hx T = } koja se neposredno proverava na osnovu navedenih definicija. 4
5 Definicija 8 Neka je H matrica tipa m 2 m čije su kolone binarni zapisi brojeva, 2,..., 2 m. Ova matrica predstavlja kontrolnu matricu Hamingovog koda, a kod je dimenzija [2 m, 2 m m], gde je m prirodan broj. Skup C svih n torki (n = 2 m ) iz F n (F = GF (2)) koje su ortogonalne na sve vrste matrice H predstavlja Hamingov kod. Kontrolna matrica [7, 4] binarnog Hamingovog koda za ovaj specijalni slučaj gde je m = 3 ima sledeći oblik: a kod će izgledati: ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) Za proveravanje grešaka pomoću matrice, neophodno je definisati pojam Hamingove distance. Definicija 9 Rastojanje d(x, y) reči x i y iz F n je jednako broju koordinata u kojima se reči x i y razlikuju. Lema Minimalna distanca izmedju dve kodne reči u Hamingovom kodu je 3. Dokaz: Neka su x i y dve kodne reči Hamingovog koda C sa kontrolnom matricom H. Kada x y C, C je linearan kod. Ako je d H (x, y) = onda matrica H(x y) je jedna od kolona matrice H. Sve kolone matrice H su različite od nule, ali ako je (x y) kodna reč, onda je H(x y) =. Kontradikcija. Ako je d H (x, y) = 2 onda je H(x y) = akko u matrici H postoje dve kolone koje su linearno zavisne. Pošto to ne važi, sledi da je d H (x, y) 3 za svaku x, y kodnu reč. Svaka kontrolna matrica Hamingovog koda će imati tri kolone koje su linearno zavisne, i iz te činjenice proizilazi da je Hamingova kodna distanca nekih kodnih reči 3. Ovim je tvrdjenje dokazano. On je linearan blokovski (n, n m) kod. Svaka nenulta n-torka koda sadrži bar 3 simbola jednaka, zato je kodovsko rastojanje koda jednako 3 i on može ispravljati jednu grešku. Broj n torki u kodu je 2 n m, a kugla poluprečnika sadrži n + n torku. Pošto je 2 (n m)(n+) = 2 n sve n-torke su pokrivene kuglama pa je Hamingov kod savršen. Za proizvoljno polje GF (q) sa q 2 elemenata konstrukcija matrice H je složenija. Broj kolona ove matrice iznosi qm q Matrica Hamingovog koda se koristi za proveravanje i ukazivanje na samo jednu grešku u primljenoj kodnoj reči. Pošto je Mx T = i ako je x = y gde je y primljena kodna reǒnda će važiti sledeće: My T = što znači da nije 5
6 došlo do greške u prenosu. Ukoliko Mx T, onda je greška na bitu čija pozicija odgovara broju koji je u binarnom zapisu dobijen množenjem M i x T. Za specijalan slučaj imamo Hamingovu matricu kod koje je m = 3 i primljenu kodnu reč []. = Iz ovoga se vidi da je greška na 5. bitu kodne reči jer je () 2 = 5. Za opšti slučaj treba dokazati sledeću teoremu. Teorema Proizvod matrica A[2 (m ), m] i B i je binarni zapis indeksa bita na kome se nalazi greška. Dokaz:Neka se greška nalazi na i tom mestu u kodnoj reči. Po definiciji Hamingove matrice A njena i ta kolona predstavlja binarni zapis broja i. Pošto je nula neutralni element za operaciju konjukcije, onda sve jedinice koje se nalaze na a ij poziciji postaju z. Posle operacije konjukcije, bitovi se sabiraju po modulu dva i to daje konačan rezultat.. Ukoliko je x i = (greškom prelazi u ), onda se na osnovi navedenog postupka za vrednost z j dobija. =, nakon greške to prelazi u ( = ) 2 m j= a ij b j = 2 2. Za x =, analogno prethodnom, važi =, gde zbog greške prelazi u =, pa se zbog promene nakon sabiranja po modulu 2 umesto nule dobija. Hamingov kod se koristi i za pronalaženje više od jedne greške u nekoj kodnoj reči. Koristi se način proširene Hamingove matrice. Ako na primer imamo primljenu reč (), gde su greške na. i 5. mestu, i ukoliko tu reč pomnožimo sa kontrolnom Hamingovom matricom dobićemo sledeće: = () je binarni zapis broja 4 i iz prethodnog sledi da je greška na 4. bitu, što ovde nije slučaj. Pošto se prethodno opisan način koristi za odredjivanje greške na jednom bitu mora postojati njena neka složenija kontrolna matrica 6
7 koja ukazuje na dve greške. Zato se konstruiše proširena Hamingova matrica koja će biti u mogućnosti da detektuje dve grške. Da bi se konstruisala potreban je još jedan bitovi parnosti bit x koji je odredjen nasledeći način: x = x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 Sada kod ima dužinu 8, ali je i dalje linearan sa dimenzijom 4. Sada se konstruiše [8, 4] prošireni Hamingov kod koji za bilo koju dužinu dodaje novi bit parnosti. Proširena Hamingova matrica se lako konstruiše iz kontrolne matrice običnog Hamingovog koda tako što se nule dodaju sa leve strane, a jedinice na dno matrice. Imamo x i y binarne reči Hamingovog koda distance 3, gde x ili y imaju jedan paran, drugi neparan broj bitova parnosti. Uzmimo da x ima paran broj bitova parnosti. Ako su x i y kodne reči proširene Hamingove matrice, onda je x =, pošto x ima parni broj bitova parnosti, a y =, zato što je broj bitova parnosti u y neparan. Distanca izmedju x i y je veća od distance izmedju x i y, tako da je minimalna kodna distanca proširenog Hamingovog koda 4. Ako primimo reč koja u odnosu na poslatu reč ima distancu, onda možemo da ispravimo tu grešku jer se ona javlja samo na jednom bitu. Ukoliko se poslata i primljena reč razlikuju za 2, onda se ukazuje na to da su u prenosu nastale greške na dva bita u reči. Dekodiranje proširenom Hamingovom matricom je malo komplikovanije. Njegova kontrolna matrica proširenog Hamingovog koda je M, a H matrica običnog Hamingovog koda od kojeg je proširena matrica nastala i neka je y = (y, y,..., y n ) primljena reč. Pretpostavimo da se pojaqvila greška na samo jednom bitu i to na poslednjem. My T množenje je ekvivalentno M(y, y,..., y n ) T množenju. Poslednji red My T će biti zato što postoji samo jedna greška, tako da binarni zapis broja n odgovara koloni M koja je brojem r odredjena. Pretpostavimo da je greška na bitu parnosti. Tada je M (y, y,..., y n ) T =, tako da će prvih n kolona biti jednako, ali poslednja će imati vrednost jer je greška samo na bitu parnosti koji odgovara jednoj koloni matrice M. Na kraju pretpostavimo da su se javile dve grške u primljenoj reči. Bilo gde da su detektovani, patiti bitovi će biti tačni zato što će proizvod biti u poslednjoj vrsti i to neće biti kolona kontrolne matrice. Možemo generalisati konstrukciju linearnog q Hamingovog koda gde je [n, k] Hamingov kod linearni prostor nad poljem odredjenim nad q. Za dato r izaberimo r torku elemenata iz F q. Izaberimo još jednu r torku koja je linearno nezavisna od prve. To pravi 2 kolone. Nastavlja se sabiranje r torki sve dokle je moguće da one budu linearno nezavisne. Ove r torke se rasporedjuju kao kolone matrice M. Postoji q r takvih r torki. Broj kolona matrice M je qr q. Definišimo linearan kod čija kontrolna matrica ima sledeće dimenzije: (q r )(q ), qn q r. Kontrolna matrica je generišuća matrica dualnog koda, koji u ovom slučaju mora da ima dimenziju r, jer dimenzija našeg Hamingovog koda mora da bude: n r = qr q r. Za [4, 2] Hamingov kod (q = 3) kontrolna matrica će biti: 7
8 a kod će izgledati: [ 2 ] ( ), ( ), ( 2 2 2), ( 2), (2 2 ), ( 2 ), (2 2 ), (2 ), (2 2) Isti [4, 2] Hamingov kod se može predstaviti i sledećom matricom: [ ] a čiji je kod: ( ), ( 2 ), ( 2 2), ( ), (2 2 2), ( 2), (2 2 ), ( 2 2 ), (2 ) Dakle imamo proizvod My T za kontrolnu matricu M a primljenu reč y. Ako je proizvod nula, onda nema greške, a ako nije nula onda proizvod odgovara nekoj koloni matrice M. Ukoliko je proizvod αm i gde je α F q i i iz m i predstavlja redni broj kolone matrice M i uzmimo da je to vektor greške koji je kodu dodat prilikom prenosa poruke. To je vektor (... α... ), gde je α na i-tom mestu. Sledi da je vektor koji prestavlja primljenu reč y (... α... ). Definicija Kod koji ispravlja e grešaka(e kod) nazivamo e perfektni kod ako je C S e (x) F q n ili e ( ) n F q n = C (q ) i i i= Lema 2 Za Hamingov kod važi C = q n r. Dokaz: Od q elemenata možemo izabrati tačno q n n torki. Pošto vrednosti bitova parnosti kojih ima tačno m, zavise od vrednosti ostalih bitova, onda se broj n torki smanjuje 2 r puta. Teorema 2 Hamingov kod je perfektan kod. Dokaz: Imamo na osnovu definicije perfektnog koda da je ( ) n F q n = C (q ) i i i= i iz definicije Hamingovog koda da je C = q n r. Kombinacijom ovih dveju jednakosti dobijamo sledeće: F q n = q n r ( + n(q )) pa kako je n = qr q onda F q n = q n r ( + q r ) što je i trebalo dokazati. F q n = q n 8
9 4 Zaključak Hamingov kod ima veliku primenu u telekomunikacijama. Trenutno postoje pretpostavke da Hamingov kod može koristiti u detektovanju i ispravljanju grešaka na digitalnim slikama (fotografijama). To se može realizovati time što bi se Hamingov kod definisao uz još parametara koji bi omogućili ispravljanje ne samo jedne greške. Literatura [] Dr Dragoš Cvetković, Dr Slobodan Simić, Kombinatorika i grafovi, Računarski fakultet, Beograd, 26. [2] Gojko Kalajdžić, Linearna algebra, Procesor, Matematički fakultet, Beograd, 994. [3] Filip Dž. Devis (Philip J. Davis), The Mathematics of matrices, GINN and Company, 965. [4] Radosav v Z. Djordjević, Gradimir V. Milovanović, Linearna algebra, Edicija: Osnovni udžbenici, 24. [5] James Fiedler, Hamming Codes 9
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραDiferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 03. Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 23. Reč autora Ovo je verzija teksta koji je pod naslovom Linearna algebra prvobitno bio pripremljen za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα4 Matrice i determinante
4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραAksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότερα