LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA. 1. Pojam transformacije

Transcript

1 LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA. Pojam ransformacije Pri rešavanju nekih maemaičkih roblema rimenjuju se meodi ransformacije. Sušina ovih meoda sasoji se u inegralnim ransformacijama sa ciljem da se neki roblemi ojednosavljuju u smislu šo se funkciji f realne romenljive, za dai roblem, koresondira neka funkcija F komleksne romenljive sa kojom je znano jednosavnije oerisai. Jedna od akvih ransformacija je Lalaceova ransformacija. Lalaceova ransformacija je deo oeraorskog računa koji ima izuzeno veliku rimenu u mnogim naučnim discilinama, kao šo su Teorija kola, Elekromagneika, Teorija auomaskog uravljanja, Teorija elekominikacija, id. Definicija. Originalom se naziva komleksna funkcija f realne romenljive, koja isunjava sledeće uslove: f = za < ; Funkcija f zajedno sa svojim izvodima do n-og reda je deo o deo nerekidna; 3 Posoje oziivni brojevi K i s akvi da je f < Ke s >. Definicija. Lalaceova ransformacija ili slika originala f definisana je sa L f = F = fe d C.. Funkcija F u. zove se Lalaceova slika originala f, a inegral koji se ojavljuje u. naziva se Lalaceov inegral. Primećujemo da nova romenljiva uvedena definicijom ima rirodu učesanosi ako je vreme, jer je veličina bez dimenzije i = /. Zbog oga se u inženjerskim discilinama česo naziva komleksna učesanos. U elekroehničkim naukama česo se oeriše sa zv. jediničnom funkcijom ili Heavisideovom funkcijom, koja se definiše omoću { >, h = <. U ački = funkcija h ima rekid rve vrse. Funkciju f definisanu na inervalu a, < a možemo učinii originalom ako umeso f išemo fh. Ubuduće uvek ćemo kada govorimo o originalu f odrazumevai funkciju fh. Primer. Funkcije /, e, cos/ su rimeri funkcija koje nisu originali jer ne isunjavaju uslove iz definicije. Funkcija f = e, koja je definisana za svako, osaje original ako se definiše sa f = e, f = <, ili, koriseći jediničnu funkciju, sa e h. P. S. Lalace , francuski maemaičar, čia se Lalas. O. Heaviside, 85-95, engleski inženjer, fizičar i maemaičar, čia se Hevisajd.

2 lalasova ransformacija Inegral koji se ojavljuje u definiciji je konvergenan, kao šo vrdi sledeća eorema. Teorema. Teorema o konvergenciji. Ako je f original, ada inegral. konvergira u oblasi { Re a > s}. Dokaz. Neka je f < Ke s i Re a > s. Tada imamo F fe d < K e Re +iim e s d K e s a d = K a s. Ovo znači da funkcija F osoji u navedenoj oblasi. Sledeću eoremu navodimo bez dokaza. Teorema.. Funkcija F, definisana sa., je analiička u oblasi { Re a > s}.. Osnovne osobine Lalaceove ransformacije U ovom odeljku dajemo osnovne osobine Lalaceove ransformacije. zasnovani na definiciji. i osobinama odred enog inegrala. Dokazi izloženih eorema su Teorema. Teorema o linearnosi. Važi formula L c f + c f = c L f + c L f,. gde su c i c roizvoljne konsane. Dokaz. Koriseći definiciju. i osnovne osobine odred enog inegrala, imamo L c f + c f = c f + c f e d = c = c L f + c L f, odakle sleduje formula.. f e d + c f e d Teorema. Teorema omeranja. Ako je a roizvoljan komleksan broj i ako je Lf = F, imamo Dokaz. Prema definiciji. dobija se Le a f = F a. L e a f = e a fe d = fe a d = F a. Teorema.3 Teorema sličnosi. Ako je k > i L f = F, ada je L fk = k F k.

3 Dokaz. Kako je rema definiciji. osnovne osobine lalaceove ransformacije 3 L fk = fke d, savljajući k = u, dobijamo L fk = k fue u/k du = k F. k Teorema.4 Teorema kašnjenja. Ako je L f = F, ada za svaku oziivnu konsanu a važi L f a = e a F. Dokaz. Prema definiciji Lalaceove ransformacije imamo L f a = f ae d. Ako uvedemo smenu a = u i uzmemo u obzir da je fu = za u <, dobijamo f ae d = fue u+a du = e a a fue u du = e a F. Teorema.5 Teorema negaivnog kašnjenja. Ako je a >, ada je L f + a = e a F gde je L f = F. Dokaz. Kako je L f + a = uvodeći smenu + a = u a u <, dobijamo a a fe d,. f + ae d a >,.3 f + ae d = fue u+a du = e a fue u du a a = e a fue u du fue u du = e a F a fue u du.

4 4 lalasova ransformacija Odavde, na osnovu.3, sleduje.. Teorema.6 Teorema o eriodičnoj funkciji. Neka je original f eriodična funkcija sa eriodom T. Tada važi formula L f = F = T e T fe d..4 Dokaz. Kako je F = uvodeći smenu = u + T, dobijamo T fe d = fe d + T fe d,.5 T fe d = e T fu + T e u du = e T fue u du = e T F.6 jer je fu + T = fu. Iz formula.5 i.6 sleduje.4. Primer.. Odredimo sliku funkcije sin. Kako je sin eriodična funkcija sa eriodom π, rema formuli.4 imamo L sin = e π jer je sin = sin za, π. S obzirom da je π sin e d = π e π π e sin d e sin d = + e π +, dobijamo L sin = π + e π coh + e π = +. Teorema.7 Teorema o diferenciranju originala. Ako su funkcija f i njeni izvodi do n-og reda originali, ada važi formula Dokaz. Za n = imamo L f n = n L f n n k f k..7 k= L f = f e d = e f + fe d = L f f,

5 osnovne osobine lalaceove ransformacije 5 šo znači da je u om slučaju formula.7 ačna. Preosavimo da formula.7 važi za neko n. Imamo L f n+ = f n+ e d = e f n + f n e d = L f n f n = n L f n n k f k f n = n+ L f n n k f k. k= Prema ome, iz reosavke da.7 važi za neko n, dobili smo da.7 važi i za n +. Kako je, s druge srane, formula.7 ačna za n =, zaključujemo da je ona ačna za svaki rirodan broj n. Teorema.8 Teorema o inegraciji originala. Ako je L f = F, ada je L fudu = F. k= Dokaz. Redom imamo L fudu = = fudu e d = e e fd = F. fudu + e fd Teorema.9 Teorema o diferenciranju slike. Ako je L f = F, ada važi formula L n f = n F n..8 Dokaz. Kako je F = diferencirajući ovu jednakos n ua o, dobijamo fe d, F n = n n fe d..9 S druge srane, imamo a iz.9 i. sleduje formula.8. L n f = n fe d,.

6 6 lalasova ransformacija Primer.. Za nalaženje L sin omoću definicije, rebalo bi rešii inegral e sin d. Jednosavniji način je rimena eoreme o diferenciranju slike, koja daje L sin = F 6 = = Teorema. Teorema o inegraciji slike. Ako je L f = F, i ako inegral konvergira, ada je f L = Dokaz. Koriseći reosavku o konvergenciji inegrala inegracije ako da je F udu = du fe u d = fd F udu F udu.. e u du = F udu, može se romenii redosled Posledica. Ako u. usimo da, dobijamo važnu formulu f d = Primer.3. Funkcija Si inegralni sinus definisana je sa Si =, rema eoremi o inegraciji slike, imamo + sin L = + d = arcan f e d = L f. F udu.. = arcan arcan = arcan. sin u du. Kako je Lsin = u Ovde smo rimenili formulu arcan a arcan b = arcan a b, ri čemu u ovom slučaju a. Dalje, + ab koriseći se eoremom o inegraljenju originala, nalazimo sin u LSi = L u du = arcan. Usu, koriseći formulu., dobijamo Ovo je oznai Dirichleov inegral. sin d = + d = π.

7 lalaceova ransformacija elemenarnih funkcija 7 3. Lalaceova ransformacija elemenarnih funkcija Najre ćemo odredii Lalaceovu ransformaciju funkcija a a > i e. Dobijeni rezulai, zajedno sa rehodno dokazanim eoremama, omogućuju nalaženje Lalaceove ransformacije još nekih srodnih funkcija. Kao šo je naomenuo na očeku, da bi funkcija f bila original neohodno je da bude f = za <, ako da, na rimer, funkcija e ne može bii original Lalaceove ranformacije. Med uim, kada govorimo o Lalaceovoj ransformaciji funkcije e mi odrazumevamo funkciju e h, j., { e, <, mada o nećemo ekslicino isicai. Da bismo odredili Lalaceovu ransformaciju oencijalne funkcije a, odseimo da se gama funkcija definiše inegralom Γx = x e d Re x >. Odavde sleduje da je Γa + = Savimo x = i dx = d. Inegral 3. osaje x a e x dx a >. 3. Γa + = a+ a e d, odakle izlazi Drugim rečima, dokazali smo formulu Γa + a+ = a e d. Secijalno, ako je a = n n N imamo L a = Γa + a+ a >. L n = Γn + n+ = n!, 3. n+ odakle za n = dobijamo L = L h =. o Lalaceova ransformacija eksonencijalne funkcije nalazi se direkno o definiciji. Naime, imamo Le = e e d = e d = Re >.

8 8 lalasova ransformacija Sada ćemo, rimenjujući eoreme iz rehodnog odeljka, odredii slike nekih elemenarnih funkcija. Kako je Le =, na osnovu eoreme o sličnosi imamo Le a = a a = a. Polazeći od dobro oznaih formula nalazimo cos a = eia + e ia, sin a = eia e ia, i cosh a = ea + e a, sinh a = ea e a, ia + = + ia Lcos a = Leia + Le ia = Na sličan način dobijamo Lsin a = Le ia Le ia = i i ia = + ia Lcosh a = Le a + Le a = a + = + a Lsinh a = Le a Le a = a = + a 3 Koriseći se rehodnim rezulaima i eoremama. i.9, nalazimo Le a + a cos b = + a + b, Le a sin b = L a e b = b + a + b, Γa + b a+ a >. Primer 3.. Preosavimo da se funkcija f može razvii u oencijalni red čiji koeficijeni zadovoljavaju uslov f = n= a n n < < + a. a + a, a, a a. a n < M sn n!, 3.3 gde su M i s oziivne konsane. Koriseći ovu nejednakos lako je okazai da je funkcija f original, kao i da red n! a n n+ 3.4 n= asoluno konvergira od uslovom 3.3 i za > s. Zaisa, n= n! a n n+ M n! s n n+ n! = M n= odakle sledi da je red 3.3 asoluno konvergenan za > s. n= s n,

9 Na osnovu 3. imamo konvolucija 9 n L a k k = k= n k= Kada n, na osnovu konvergencije reda 3.4 nalazimo Lf = L n= a n n = n= a k k! k+. n! a n = F. n+ Prema ome, od uslovom 3.3 slika oencijalnog reda jednaka je sumi slika svakog člana. Primenimo gornji rezula za odred ivanje Lalaceove slike Besselove funkcije rve vrse koja je definisana sa J = Kako je isunjen uslov 3.3 jer je a n+ = i n= n n n n!. a n = n!! n!! n! < n!, imamo L J = n= n n! n n! n+ = n= n n!! n!! n = Konvolucija Definicija. Konvolucija nerekidnih funkcija f i g, u oznaci f g, je inegral f g = Teorema 4.. Za konvoluciju važe sledeća vrd enja: o f g = g f, o f g h = f g h, 3 o f g + h = f g + f h, 4 o f g f g 5 o Ako su funkcije f i g originali, ada je i funkcija f g original. f ugudu. 4. Teorema 4. Borelova 3 eorema. Ako je L f = F i L g = G, ada je L f g = F G. 4. Dokaz. Po definiciji je L f g = e fug udu d = e d fug udu. 3 Émil Borel , francuski maemaičar i državnik.

10 lalasova ransformacija Promenom redosleda inegracije dobijamo L f g = fudu Ako u unurašnji inegral uvedemo smenu = τ + u, nalazimo čime je dokaz završen. L f g = = fudu e u fudu u e g ud. e τ+u gτdτ e τ gτdτ = F G, Primer 4.. Konvolucija funkcija f = sin i g = cos jednaka je f g = sin u cos udu = sin + sinu du = sin. Primenom Lalaceove ransformacije na ovako odred enu konvoluciju, uz korišćenje.8, dobijamo L sin = = + +. Primenom Borelove formule 4. direkno dobijamo Lsin cos = Lsin Lcos = + + = +. Primer 4.. Na osnovu jednakosi 4. i eoreme.7, Lalaceova ransformacija konvolucije izvoda f i funkcije g jednaka je L f ug udu = L f L g = F f G = F G fg. Kako je L fg = fg, iz rehodne jednakosi dobijamo L fg + f ug udu Na osnovu osobine komuaivnosi za konvoluciju funkcija, važi akod e L gf + g uf udu = F G. 4.3 = F G. 4.4 Formule 4.3 i 4.4 oznae su kao Duhamelove 4 formule. Ove formule imaju važnu ulogu u Teoriji elekričnih kola. 4 C. Duhamel , francuski maemaičar, čia se Diamel.

11 inverzna lalaceova ransformacija 5. Inverzna Lalaceova ransformacija Kao šo je oznao, funkcija f koja zadovoljava sledeće uslove: f je deo o deo nerekidna; f ima konačno mnogo eksremuma; 3 inegral f d je konvergenan; može se rikazai Fourierovim 5 inegralom f = π dr fu cos r udu. Uslovi i nazivaju se Dirichleovi 6 uslovi. Polazeći od Fourierovog inegrala dokazuje se sledeća važna eorema: Teorema 5. Riemann-Mellinova eorema. Neka je funkcija f original i neka je L f = F. Ako funkcija f zadovoljava Dirichleove uslove i ako je inegral e fd uniformno konvergenan na ravoj { Re = s}, ada je f = πi s+i s i F e d. 5. Formulom 5. da je obrazac za odred ivanje originala Lalaceove ransformacije kada je oznaa slika. Ta formula definiše zv. inverznu Lalaceovu ransformaciju, koja se zaisuje u obliku L F = f. Iz 5. odmah vidimo da ako dve funkcije koje su originali imaju isu sliku, ada e dve funkcije imaju ise vrednosi u svim ačkama u kojima su nerekidne. Direkno izračunavanje originala omoću formule 5. vrši se meodama komleksne analize konurnom inegracijom. Inegral na desnoj srani jednakosi 5. zove se Bromwichov 7 inegral, a konura o kojoj se vrši inegracija Bromwichova konura. Ova konura je rava s = c + i ω < ω < aralelna imaginarnoj osi, ri čemu se c bira ako da se u levoj oluravni od ove rave nalaze svi olovi ili esencijalni singulariei odinegralne funkcije F e. Primenom Cauchyeve eoreme o osacima jednakos 5. osaje f = πi πi Res F e = Res F e. 5. Primer 5.. Na osnovu 3 o iz 3. odeljka imamo L + + = e cos, + 5 J. B. J. Fourier , francuski maemaičar, čia se Furije. 6 L. Dirichle , nemački maemaičar, čia se Dirihle. 7 T. Bromwich , engleski maemaičar, čia se Bromvič.

12 lalasova ransformacija ali ronad imo inverznu Lalaceovu ransformaciju omoću Bromwichovog inegrala. Funkcija e ima dva ola z = + i, z = i. Njihovi osaci su Res z= +i Res z= i e = lim +i e = lim i a je ražena funkcija jednaka zbiru osaaka, j. e + i + i + + i = e +i, e + + i + i + + i = e i, f = e +i + e i = e e i + e i = e cos. Primer 5.. Odredii f ako je F = Slika F se može rikazai u obliku F = = Uored ivanjem oznaih ransformacija sa slikom F dobijamo direkno f = L F = L L + + = e cos + e sin. Na sledećoj sranici dajemo jednu ablicu inverznih Lalaceovih ransformacija nekih racionalnih funkcija, na koje se najčešće nailazi rilikom rešavanja roblema.

13 inverzna lalaceova ransformacija 3 3 Slika a + a a Original e a a e /a a ea a 3 e a ae a a + ba be b a b a b a 3 + a e a a a + b + a cos a a cosh a a e b a + b cos a + ba sin a b + a b a + a b a cos a + b sin a 4 + a 4 a 3 cosh a sin a sinh a cos a 4 a 4 sinh a sin a a3 a 4 + a 4 sin sinh a a 4 a 4 cosh a cos a a3 + a sin a a cos a a3 a a cos a sinh a a3

14 4 lalasova ransformacija Zadaak. Rešii diferencijalnu jednačinu Izabrani zadaci sa ismenih isia x 4x + 3x = h, od uslovom x =, x =, gde je h jedinična funkcija. Rešenje: Neka je L x = X, ada je L x = X x = X i L x = X x x = X. Primenom Lalaceove ransformacije na levu i desnu sranu dae diferencijalne jednačine, dobijamo odakle je X = X 4X + 3X =, = + 3 = 3 + 3s 3. Primenjujući inverznu Lalaceovu ransformaciju, nalazimo x = L X = 3 e + 3 e3. Zadaak. Odredii ono rešenje diferencijalne jednačine y y = 3, koje zadovoljava y = y = y =. Rešenje: Primenjujući Lalaceovu ransformaciju na dau jednačinu dobijamo 3 Y = 6 3 3, j. Odavde je 3 Y = Y = = = Primena inverzne Lalaceove ransformacije daje rešenje jednačine sa daim očenim uslovima y = e + 3. Zadaak 3. Naći ono rešenje diferencijalne jednačine y + y = f, za koje je y = y =. Odredii y u secijalnom slučaju kada je f = cos.

15 izabrani zadaci sa ismenih isia 5 Rešenje: Neka je L y = Y, L f = F. Primenom Lalaceove ransformacije dobijamo jednačinu Y y y + Y = F, j. + Y = F, odakle je Y = F +. Kako je Lsin =, koriseći Borelovu formulu 4. o konvoluciji, imamo + y = sin uf udu. Secijalno, ako je f = cos, koriseći rezula iz rimera 4., dobijamo y = sin cos = sin. Zadaak 4. Funkcija f definisana je sa f = cos x x dx, a >. + a a Odredii Lalaceovu ransformaciju funkcije f. b Primenom inverzne Lalaceove ransformacije na dobijenu sliku, naći funkciju f. Rešenje: Na osnovu definicije. imamo L f = F = = Odavde je Kako je fe d = x + a x + dx = cos x x + a dx a F = π a e d = x + a dx x + a x + dx = + a. L F = L π = π a + a a e a, e cos x d π a a π. sledi da je f = π a e a. Zadaak 5. Primenom Lalaceove ransformacije rešii sisem diferencijalnih jednačina x + x + y y = e, x + x y + y = e

16 6 lalasova ransformacija sa očenim uslovima x = y = y =, x =. i Rešenje: Kako je L x = X, L y = Y, L e =, L e = +, L x = X, L y = Y, L x = X, L y = Y, dai sisem se ransformiše u sisem algebarskih jednačina Rešavajući ovaj sisem nalazimo + X + Y =, + X Y = +. X = + = 8 3 Y = Primena inverzne Lalaceove ransformacije na slike X i Y daje rešenja x = 4 sinh e, y = 3 sinh. 4 +, Zadaak 6. Odredii ono rešenje inegro-diferencijalne jednačine za koje je y =. dy d + y + yudu = e >, Rešenje: Primenom Lalaceove ransformacije dobijamo odakle je Y = Y + Y + Y = +, = = Primenom inverzne Lalaceove ransformacije na oslednji izraz dobijamo rešenje y = cos sin 3 e / e.

17 izabrani zadaci sa ismenih isia 7 Zadaak 7. Primenom Lalaceove ransformacije rešii diferencijalnu jednačinu od uslovima y = 5, y =. y + y y = Rešenje: Neka je L y = Y. Koriseći eoreme o diferenciranju originala i diferenciranju slike, nalazimo Y 5 y Y 5 Y 5 Y =, odakle je Y Y = + +. Ovo je nehomogena linearna diferencijalna jednačina čije je rešenje Y = ex ud C + v ex ud d, gde je u = 3 +, v = +. Odavde nalazimo + Y = Primena inverzne Lalaceove ransformacije daje Kako je rema uslovu zadaka C = C y = L Y = C + e + 5e. lim y = C lim =, jedino izbor C = obezbed uje zahevani uslov. Prema ome, raženo rešenje je y = 5e. Zadaak 8. Primenom eoreme o inegraciji slike izračunai a cos a cos b d, b sin d, gde je a > b >. Rešenje: a Kako je L cos c = cos a cos b, koriseći eoremu. nalazimo + c d = + a + b d = log + a + b = log a b.

18 8 lalasova ransformacija b Najre odred ujemo Lalaceovu ransformaciju funkcije sin = cos. Primenom eoreme o inegraciji slike dobijamo sin L = u u u du = log u + 4 log u + 4 = 4 log u u + 4 = 4 log + 4. Primenjujući onovo eoremu o inegraciji slike nalazimo sin d = 4 = log + 4 d = d = arcan log + 4 = π. + 4 d