Ivan Slapničar. Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2012.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ivan Slapničar. Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2012."

Φίλων Μαυρίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ivn Slpničr Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2012.

2 Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više vrijbli 7 4 Višestruki integrli 8 5 Diferencijlne jedndžbe 9 6 Metod njmnjih kvdrt 10 Ov skript nstl su n osnovi surdnje Ministrstv znnosti i tehnologije Republike Hrvtske i Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje u Splitu n I-projektu Ministrstv Mtemtik 2 digitlni udžbenik s interktivnim nimcijm i interktivnom provjerom znnj ( Copyright c 2012, Ivn Slpničr. Sv prv pridržn.

3 1 Neodredeni integrl 1. Definirjte primitivnu funkciju i neodredeni integrl. Nvedite primjer. Dokžite d se primitivne funkcije rzlikuju do n konstntu. 2. Dokžite svojstv neodredenog integrl ) linernost, b) ( f(x)dx) = f(x), c) d( f(x)dx) = f(x)dx, d) df(x) = F(x)+C. 3. Kko glsi tblic osnovnih integrl? 4. Opišite metode integrirnj i djte primjere: ) metode supstitucije: (i) ko je x = φ(t), i φ bijekcij, td je f(x)dx = f(φ(t))φ (t)dt; (ii) ko je I = f(x)dx oblik f(x)dx = f(φ(x))φ (x)dx, td uz supstituciju φ(x) = t immo I = f(t)dt; b) prcijln integrcij (dokžite formulu): u dv = u v v du; c) rekurzivne formule: izvedite, n primjer, formulu I n = dx (1+x 2 ) n = x 2n 3 2(n 1)(1+x 2 + ) n 1 2(n 1) I n 1 d) integrirnje rcionlnih funkcij: elimincij zjedničkih nul-točk brojnik i nzivnik; svodenje n prvu rcionlnu funkciju; rstv n prcijlne rzlomke; rješvnje tri osnovn tip integrl; 3

4 e) integrirnje trigonometrijskih funkcij: izvedite univerzlnu trigonometrijsku supstituciju: t = tn x 2, x = 2rctnt, dx = 2 1+t 2dt, sinx = 2t 1+t 2, cosx = 1 t2 1+t 2, tnx = 2t 1 t 2. Z koje x vrijede gornje formule? Primjer. Izvedite supstituciju t = tnx. f) integrirnje hiperbolnih funkcij; g) integrirnje ircionlnih funckij: (i) integrl R ( x, ( ) x+b m 1 cx+d se riješv pomoću supstitucije n 1,..., ( x+b cx+d x+b cx+d = tn ) m k n k ) dx pri čemu je n njmnji zjednički nzivnik od n 1,...,n k, (ii) integrl: R(x, x 2 +bx+c)dx se rješv pomoću supstitucije 2x+b 4c b 2 = t nkon čeg dobijemo jedn od tri slučj R(t, 1 t 2 dt = {t = sinz ili 1 t 2 = z(1 t)} = R(t, t 2 1dt = {t = 1 sinz ili t 2 1 = t+z} = R(t, t 2 +1dt = {t = tnz ili t 2 +1 = t+z} = 4

5 (iii) metod neodredenih koeficijent; h) binomni integrl: x m (+bx n ) p dx = (m,n,p Q) = {x n = t} = 1 ( ) +bt p t m+1 n +p 1 dt = n t 5. Kko se provodi i čemu služi postupk integrirnj pomoću rzvoj u red? 2 Odredeni integrl 1. Definirjte odredeni (Riemnnov) integrl. 2. Objsnite osnovn svojstv odredenog integrl: ) ko je f(x) 0 z svki x [,b], td 3. b f(x)dx dje površinu izmedu f(x) i x-osi od do b, b) vrijedi c) vrijedi d) vrijedi b b f(x)dx = f(x)dx = 0, f(x)dx = Što je odredeni, što neodredeni integrl? c b f(x)dx, b f(x)dx+ c f(x)dx. 4. Dokžite Newton-Leibnitzovu formulu. 5. Ako je funkcij f(x) integrbiln n intervlu [, b], td je jedn primitivn funkcij dn s F(x) = x f(x)dx, x [,b], F() = 0. 5

6 Dokžite! 6. Dokžite teorem srednje vrijednosti z odredeni integrl: ko je f neprekidn n [,b], td postoji c [,b] tko d je f(c) = 1 b f(x)dx b Koj je grfičk interpretcij tog teorem? 7. Dokžite ) monotonost: b) nejednkost trokut: f(x) g(x) b b f(x)dx f(x)dx b b f(x) dx. g(x)dx, 8. Što je neprvi integrl? Dokžite: 0 1 e x = 1, dx x α = 1, z α > 0, α 1 divergir, z α Opišite kriterije konvergencije z neprvi integrl (mjornt, minornt, psolutn konvergencij). 10. Kko rčunmo površinu rvninskih likov? Izvedite dp u Krtezijevim koordintm, dp = dxdy, i polrnim koordintm, dp = 1 2 r2 dφ. Izvedite dp z prmetrski zdne krivulje. Djte primjere. 6

7 11. Kko rčunmo duljinu luk rvninskih krivulj? Izvedite ds u Krtezijevim koordintm, ds = dx 2 +dy 2 = 1+y 2 dx, i polrnim koordintm, ds = r 2 +r 2 dφ. Izvedite ds z prmetrski zdne krivulje. Djte primjere. 12. Slično pitnje z obujm rotcionih tijel. 13. Slično pitnje z oplošje rotcionih ploh (komplncij). 14. Objsnite postupk numeričkog integrirnj ( trpezn formul, Simpsonov formul, Richrdsonov ekstrpolcij)? 3 Funkcije više vrijbli 1. Definirjte n-dimenzionlni prostor R n. N koje sve nčine možemo zdti funkciju f : R n R? Što su nivo-plohe? 2. Kko definirmo udljenost? Što je otvoren kugl K(T,δ)? 3. Definicij limes funkcije više vrijbli: ko tko d lim T T 0 F(T) = ( ε > 0) ( δ > 0) T K(T 0,δ) f(t) < ε. Kko možemo limes definirti pomoću nizov? 4. Definirjte neprekidnost funkcije više vrijbli. 5. Neprekidn funkcij poprim n ztvorenom skupu svoj mksimum i minimum. 6. Nvedite formule z stndrdne plohe drugog red (kugl, elipsoid, stožc, rzni prboloidi, rzni cilindri). 7. Definicij prcijlnih derivcij. 8. Schwrtzov teorem. 9. Definicij totlnog diferencijl. 7

8 10. D li je svk neprekidno derivbiln funkcij i diferencijbiln? 11. Definirjte tngencijlnu rvninu i normlu n plohu. 12. Prcijlno derivirnje složene funkcije (kompozicije funkcij). 13. Totlni diferencijl višeg red. 14. Tylorov formul z funkcije više vrijbli: f(t) = f(t 0 )+ m r=1 d r (f(t 0 )) r! + d(m+1) (f(t ν )) (1 ν) m+1 p p m! Rzvijte funkciju e x+y u Tylorov red u okolini točke (1, 1). 15. Kko definirmo loklne ekstreme funkcije više vrijbli? 16. Kko glsi nuždn uvjet ekstrem funkcije više vrijbli? 17. Kko glsi dovoljn uvjet ekstrem pomoću totlnog diferencijl? 18. Kko glsi dovoljn uvjet ekstrem pomoću pod-determinnti mtrice drugih prcijlnih derivcij? Djte primjere. 19. Što su implicitno zdne funkcije? Izrecite Teorem o implicitnoj funkciji i nvedite primjere. 20. Izvedite nužne uvjete z uvjetni ekstrem funkcije dvije vrijble. Djte primjere. 4 Višestruki integrli 1. Kko definirmo višestruki integrl? 2. Svojstv: linernost, homogenost, integrl ne ovisi o redoslijedu integrcije. 3. Primjene dvostrukog integrl: obujm, površin ko je f(x, y) = Prebcivnje dvostrukog integrl iz Krtezijevih u polrne koordinte. Primjer. 5. Kko definirmo neprve integrle? Primjer neprvog dvostrukog integrl: e x2 dx = π 8

9 6. Kko definirmo trostruku integrl kd je područje integrcije kvdr, kko kd je područje integrcije omedeno plohm? Nvedite primjene trostrukog integrl. 7. Opišite postupk prebcivnj trostrukog integrl iz Krtezijevih u cilindrične i sferne koordinte. Djte primjere. 8. Kko glse općenite formule z zmjenu vrijbli kod višesestrukih integrl? Nvedite primjere. 9. Kko se rčunju momenti i težišt dvodimenzionlnih ploh i trodimenzionlnih tijel? 10. Izvedite postupke derivirnj integrl ovisnih o prmetru. Nvedite primjene tih postupk i djte primjere. 11. Kko gsi problem vrijcionog rčun? 12. Izvedite nužne i dovoljne uvjete rješenj problem vrijciopnig rčun. 13. Izvedite rješenje problem njkrćeg put i problem njkrćeg vremen (brhistohrone). 14. Izvedite Eulerovu metodu končnih rzlik z rješvnje problem rubnih vrijednosti. Djte primjer. 5 Diferencijlne jedndžbe 1. Što je diferencijln jedndžb i što je njeno rješenje? Što je problem rubnih vrijednosti? Što je problem početnih vrijednosti? 2. Kko glse populcijsk i logističk jedndžb te kko se pomoću njih modelir rst ili pd populcije? Djte primjere. 3. Kko definirmo jedndžbe s seprirnim vrijblm i koji je postupk rješvnj? 4. Što je stupnj homogenosti diferencijlne jedndžbe prvog red? Kko se homogene jedndžbe svode n jedndžbe s seprirnim vrijblm? 5. Kko glsi Newtonow zkon hldenj? Djte primjer. 6. Što je polje smjerov diferencijlne jedndžbe prvog red? 7. Izvedite Eulerovu metodu. 8. što su ortogonlne i izogonlne trjektorije i kko ih rčunmo? Djte primjer. 9

10 9. Što su singulrn rješenj i ovojnice i kko ih nlzimo? Djte primjer. 10. Kd je diferencijln jedndžb egzktn? kko g rčunmo? Djte primjer. Što je integrirjući fktor i 11. Kko glsi linern diferencijln jedndžb prvog red? Izvedite formulu z rješenje tkvih jedndžbi. Djte primjer. 12. Kko glsi linern diferencijln jedndžb drugog red? Kko izgled struktur općeg rješenj tkve jedndžbe? 13. Kko definirmo linernu nezvisnost dvju funkcij? Wronskog i čemu služi? Što je determinnt 14. Opišite strukturu rješenj homogene linerne diferencijlne jedndžbe drugog red. 15. Objsnite metodu vrijcije konstnti z rješvnje nehomogene linerne diferencijlne jedndžbe drugog red. Djte primjer. 16. Opišite potupk rješvnj linerne diferencijlne jedndžbe drugog red s konstntnim koeficijentim. Djte primjer. 17. Što su to slobodn, gušen i prisiln titrnj? U kojem slučju se može jviti rezonncij? 18. Kko glsi linern diferencijln jedndžb n-tog red? Kko izgled struktur rješenje tkve jedndžbe? 19. Kko definirmo linernu nezvisnost n funkcij i kko u tom slučju koristimo determinntu Wronskog? 20. Objsnite metodu vrijcije konstnti z rješvnje nehomogene linerne diferencijlne jedndžbe n-tog red. Djte primjer. 21. Opišite potupk rješvnj linerne diferencijlne jedndžbe n-tog red s konstntnim koeficijentim. Djte primjer. 22. Kkv sustv opisuju Lhotk-Volterr-ine jedndžbe. Kko se rješv tkv sustv? Djte primjer. 6 Metod njmnjih kvdrt 1. Kko glsi problem njmnjih kvdrt? 2. Što je linern regresij? Djte primjer. 10

11 3. Izvedite metodu normlnih jedndžbi z rješvnje problem njmnjih kvdrt. Djte primjer. 4. Opišite QR rstv mtrice i nvedite osnovn svojstv mtric Q i R. 5. Kko rčunmo QR rstv vektor pomoću Householderovog reflektor? 6. Kko rčunmo QR rstv mtrice pomoću Householderovih reflektor? Opišite numerički postupk. 7. Opišite postupk rješvnj problem njmnjih kvdrt pomoću QR rstv. 8. Što je ekonomični QR rstv? Što je QR rstv s pivotirnjem? 11

Σχετικά έγγραφα

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivn Slpničr Mrko Mtić Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2003. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više