ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 9 1044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 168 1048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 1077060 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΡΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 05-01-018 ΘΕΜΑ Α 1 Σελίδα 95 και 104 σχολικό βιβλίο Σελίδα 106 σχολικό βιβλίο Ψ,έστω οι συναρτήσεις f ( ), [,] και g( ) ( ) 1, [0,4] πληρούν τις προϋποθέσεις του αρχικού ισχυρισμού, αλλά η f μηδενίζει για χ=0 και η g για χ=1 και χ= 4 i) Λ ii) Λ iii) Σ iv) Λ v) Σ ΘΕΜΑ Β 1 i) f '( ) ( )' Άρα f '(0) 1 και f '( ) 1 οι συντελεστές διεύθυνσης των 1, αντίστοιχα Οπότε 1 : y και : y y y y y y ii) y Α, το σημείο 1 τομής των 1, Οπότε το τρίγωνο 1 έχει εμβαδόν 4 Επειδή η ευθεία (ε) είναι εφαπτομένη της f στο σημείο Δ (σημείο επαφής), οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξισώση της (ε) και αλλά και της f f '( ) f '( ) και f ( ) f ( ) 8 i f '( ) ( )' f '( ) ( ) 4 f ( ) 8 ( ) 4( ) 8 9 1 8 5 άρα η f ( ) 4 5 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 1
ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 9 1044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 168 1048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 1077060 ii ζ : 1 018 8y 018 0 8y 018 y 4 8 1 4 4 όπου (η) η εφαπτομένη που είναι κάθετη στη (ζ) και θα έχουμε 1 Άρα f 0 0 0 0 '( ) 4 4 4 0 0 οπότε το κοινό σημείο είναι το Β(0,f(0)) : y f (0) f '(0)( 0) y ( 5) 4 y 4 5 iii Ελέγχω αν οι f,g έχουν κοινό σημείο στο οποίο θα μπορούσαν να έχουν κοινή εφαπτομένη λύνοντας f ( ) g( ) 4 5 4 7 0 ( 1) 0 άτοπο, άρα f,g δεν έχουν κοινό σημείο, οπότε θα ψάξουμε για κοινή εφαπτομένη σε μη κοινό σημείο Έστω η κοινή εφαπτομένη τέμνει την f στο Α(α,f(α)) και την g στο Β(β,g(β)) Η εφαπτομένη της f στο Α θα είναι y f ( ) f '( )( ) y f '( ) f ( ) f '( ) (1) Η εφαπτομένη της g στο B θα είναι y g( ) g '( )( ) y g '( ) g( ) g '( ) () οι (1), () παριστάνουν την ίδια ευθεία όταν f '( a) g '( ) f ( ) f '( ) g( ) g '( ) a 4 4 4 5 (a 4) 4 7 ( 4) 4 5 4 4 7 4 5 7 ( ) 1 1 άρα για β=1 έχουμε α=-1 και για β=-1 έχουμε α=1οπότε για α=-1 παίρνουμε f ( 1) 8 και f '( 1) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 9 1044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 168 1048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 1077060 για α=1 παίρνουμε f (1) 0 και f '(1) 6 άρα οι εφαπτομένες θα είναι: : y 6 και : y 6 6 αντίστοιχα 1 ΘΕΜΑ Γ 1 θέτω f ( ) g( )( 1) g g( ), D [,1) (1, ) f ( ) 1 g( )( 1) g( )( 1) f ( ) lim f ( ) lim lim f ( ) 1 1 1 1 επειδή η f συνεχής και ισχύει lim f ( ) f (1) f (1) 1 1 g( )( 1) 1 ( ) (1) ( )( 1) f f lim lim g lim 1 1 1 1 1 ( 1) g( )( 1) g( )( 1)( 1) 1 lim lim 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)( ) g( )( 1) 1 lim 1 ( ) 1 1 8 8 i) u u f() lim lim lim f() u 0 0 0 u0 u0 Θέτω f ( ) f '( ) h( )( ) f ( ) h( ) f '( ) h( )( ) f ( ) 1( ) 4 lim f '( ) lim lim f '( ) επειδή η f '( ) είναι συνεχής στο f '() Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 9 1044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 168 1048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 1077060 ii) Πρέπει να ισχύει: h( )( ) f ( ) f '() f '( ) f '() h( )( ) f ( ) f '() lim lim lim ( ) h( )( ) f ( ) 6 h( )( ) f ( ) 6 f ( ) f ( ) lim lim ( ) ( ) h( )( ) f ( ) f ( ) 6 f ( ) h( )( ) f ( )( ) ( f ( ) ) lim lim ( ) ( ) h( )( ) f ( )( ) ( f ( ) ) h( ) f ( ) f ( ) f () 1 lim lim f '() ( ) ( ) ( ) ( ) Έστω κ<λ<μ<ν οι τέσσερις πραγματικές και άνισες ρίζες της f H f ως πολυωνυμική είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το με f '( ) 4 Σε κάθε ένα από τα διαστήματα [κ,λ],[λ,μ],[μ,ν] ισχύει το θεώρημα Rolle Άρα στο εσωτερικό κάθε διαστήματος η εξίσωση f '( ) 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα, έστω,, αντίστοιχα Επίσης η παράγωγος επειδή είναι ου βαθμού δεν μπορεί να έχει τις 1 παραπάνω ρίζες από αυτές, τις 1,, Η f ' ως πολυωνυμική είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το f ''( ) 1 6 Σε κάθε ένα απο τα διαστήματα [ 1, ],[, ] ισχύει το θεώρημα Rolle Άρα στο εσωτερικό κάθε διαστήματος η εξίσωση f ''( ) 0 έχει από ακριβώς μια ρίζα τις 1,, αφού ως τριώνυμο δεν μπορεί να έχει παραπάνω από δύο Επειδή η f ''( ) έχει πραγματικές και άνισες ρίζες με 0 6 96 8 4 f ( ) a f '( ) (1 a) f ''( ) ( a) H f ' είναι συνεχής στο 0, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο 0, Επίσης f '(0) f ' 0, όπου 01 από υπόθεση Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την f ', οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 0, τέτοιο ώστε f ''( ) 0 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4
ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 9 1044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 168 1048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 1077060 ΘΕΜΑ Δ 1 0 ( ) ( ) f f f ( ) 1 επειδή η f ( ) είναι συνεχής συνάρτηση στο θα ισχύει lim f ( ) f (0),άρα 0 lim f ( ) lim 1 1 lim lim f ( ) f (0) 0 0 0 0 0 Για κάθε χ>0 έχουμε f ( ) 1 1 (1) γνωρίζω πως ισχύει όπου για (0, ) η σχέση γίνεται για 1 και 1 1 1 1 Άρα η σχέση (1) ισχύει για κάθε χ>0 f ( ) 1 lim f ( ) 0 Η f συνεχής στο, και 4 f 1 και f ( ) 1 άρα σύμφωνα με το ΘΕΤ υπάρχει τουλάχιστον ένα 0, τέτοιο ώστε f( 0 ) 4 Έστω 1 με 1,, ( 1) () 1 1 1 o 1 1 1 1 1 () 1 1 πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις () και () προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε 4 f, f ( ), f 1,1 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5
ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 9 1044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 168 1048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 1077060 5 018( ) 017 f ( ) 017( ) 018 θέτουμε 018( ) 017 g( ) f ( ) 017( ) 018 018( ) 017 017 1 g( ) f( ) 1 0 017( ) 018 018 018 018( ) 017 018 1 lim g( ) lim f ( ) 1 0 017( ) 018 017 017 επίσης η g() είναι συνεχής και επειδή θα υπάρχει λ > π τέτοιο ώστε g( ) 0 Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano για την g() στο [π,λ], 018( ) 017 οπότε υπάρχει ξ > π τέτοιο ώστε f ( ) 017( ) 018 Τις απαντήσεις επιμελήθηκαν οι μαθηματικοί: Καψαλιάρης Στέλιος Νίκου Δημήτρης Παπαθανασίου Νίκος Σιταρίδης Σπύρος Τογανίδης Νίκος Χαραλαμπίδης Δημήτρης Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 6