ΕΠ ΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Λύσεις Α Κάθε συνάρτηση της μορφής G() F() c, όπου c, είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού G () (F() c) F () f (), για κάθε Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ Τότε για κάθε ισχύουν F () f () και G () f (), οπότε G () F (), για κάθε Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G() F() c, για κάθε Α Μια συνάρτηση f :A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f ( ) f ( ) Α Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim f (), lim f () είναι ή, τότε η ευθεία 0 0 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f Α α Σ β Σ γ Λ δ Λ ε Λ ΘΕΜΑ Β B z i 8 z z i z i 8 z z zz iz iz 9 8 zz z z 9 zyi i z z 8 z z 0 iyi 6 0 y 0,y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η ευθεία ε: y 0 B Έστω w i,,, τότε: w i Imw i i i () Επειδή i 0, πρέπει και 0, τότε η () γίνεται: Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού w ικανοποιεί υην εξίσωση y y, άρα ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η παραβολή y
Β Έστω ότι το Μ έχει συντεταγμένες, y, τότε επειδή M, Η απόσταση του Μ από την ε είναι: dm, 8 dm, y, θα είναι Είναι 0 dm, Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων της παραβολής και της ευθείας είναι και πραγματοποιείται όταν M,, δηλαδή ΘΕΜΑ Γ Γ Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, με f e f e f 0 f 0, Είναι Παρατηρούμε ότι f για κάθε f f 0 f, f και και f 0, οπότε: για κάθε 0 f f 0 f 0, Η f έχει ελάχιστο το ln Είναι lim f lim e e γιατί ln lim lim lim 0 και DLH e e e lim f lim e ln 0 0 η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα Στο διάστημα 0, f f, lim f, 0 Στο διάστημα, η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα f f, lim f, Το σύνολο τιμών της f είναι το f A f f, f
Γ Αρχικά πρέπει Η συνάρτηση 0 ή είναι συνεχής στο,, και, πρέπει και h, Επειδή f f f f και ή, άρα (), και η f είναι στο,, η () γίνεται:, άρα A,, Γ Αρχικά πρέπει f 0 f f g Για κάθε f f και για κάθε 0 f f f f f f f βρίσκεται στο εσωτερικό του f, οπότε: Επειδή το,, υπάρχει στο εσωτερικό του 0, και στο εσωτερικό του, τέτοια, ώστε f και f Επειδή επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη στα αντίστοιχα διαστήματα, τα, είναι τα μοναδικά στα διαστήματα αυτά Γ Η εφαπτομένη της C f στο ε: y f f,f έχει εξίσωση Για να διέρχεται από το Μ, πρέπει: f f f f 0 Έστω F f f,, Η F είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων F f f f f 0 για κάθε 0, και F f Επειδή F F 0 F 0 f 0, γιατί 0, και 0 f 0, τέτοιο, ώστε, λόγω του θbolzano, υπάρχει f f 0 ΘΕΜΑ Δ
Δ f f f f f ln f ln c, c () Για η () γίνεται: 0 c f ln και για 0 είναι, άρα ln f Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 0,, είναι συνεχής στο, άρα 0 0 ln f lim f lim lim DLH Δ Έστω, άρα ln,0 f, f h f d d, 0 f Επειδή οι συναρτήσεις f, είναι συνεχείς στο 0, και, 0,, η h είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων f με: h f f f f f ln ln ln Όμως για 0 είναι f f, άρα h f f 0 και επειδή h f f 0, είναι 0, h c, c h 0 για κάθε άρα f Είναι h f d d 0, άρα f f h 0 f d d f d d για κάθε 0,
Δ α Είναι f f g() d d f d και ln,0 g f, ln ln Για κάθε 0 είναι g Έστω ln, 0, Είναι Για κάθε 0 0, Για κάθε Άρα ln είναι 0 0,, άρα ln 0 για κάθε είναι 0,, οπότε 0 για κάθε 0 για κάθε 0,,, οπότε για κάθε 0,, και επειδή η g είναι συνεχής 0,, άρα η g είναι κοίλη C τέμνει τον στο Α,0 C στο Α, είναι η ε: y g y g 0 στο, είναι γνησίως φθίνουσα στο β Επειδή g 0, η g Η εφαπτομένη της g Επειδή η g είναι κοίλη, βρίσκεται κάτω από κάθε εφαπτομένη της, εκτός βέβαια από το σημείο επαφής, άρα g 0, με το ίσον να ισχύει μόνο για Άρα E για κάθε gd g d 9 g gd g f d f d f d 0 f d 0 Είναι: f, όμως f 0, άρα και f f f, άρα Είναι 0 για κάθε,, έχουμε: ln f 0 f 0 και επειδή η ισότητα δεν ισχύει f 0 5
f d f d f d f d 0 f d 0 ln Είναι lim f lim ln και lim f lim lim 0 0 0 DLH 0, έχει σύνολο Δ Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο τιμών το f lim f, lim f 0,, άρα 0 0 Αν, τότε: 0 και επειδή η ισότητα δεν ισχύει για κάθε f 0 για κάθε 0 f 0, άρα, ισχύει ότι 0 Αν 0, τότε: 0 και επειδή η ισότητα δεν ισχύει για κάθε 0, ισχύει ότι f d 0 f d 0 Τέλος αν τότε f d 0 Άρα γενικά ισχύει ότι f d 0 για κάθε 0 f d 0, άρα f 0 Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς 6