Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F tautologija. 3. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula (q p) p F tautologija. 4. Naći iskaz F čija je istinitosna vrijednost predstavljena tablicom 5. Ispitati tačnost formula p q r F (i) ( x N)( y N)( z N) x + y = z; (ii) ( x N)( z N)( y N) x + y = z; (iii) ( z N)( x N)( y N) x + y = z; (iv) ( x Z)( y Z)( z Z) x + y = z. 6. Dokazati da za sve skupove A, B, C X vrijedi: (i) A\(A\B) = A B (ii) (A B)\C = (A\C) (B\C) (iii) (A\B)\C = (A\C)\(B\C) (iv) A B = A B (A B) (v) A B = A B (A B) (vi) P(A B) = P(A) P(B), gdje je P oznaka za partitivni skup. (vii) (A\B) C = (A C)\(B C) (viii) A (B\C) = (A B)\(A C) (ix) f(a B) = f(a) f(b) (x) f 1 (A) f 1 (B) = f 1 (A B) (x) f(a) B = f(a f 1 (B)) 1

7. (i) Neka su A, B, C podskupovi skupa X. Dokazati A B C ako i samo ako A B c C. (ii) Neka je {A i : i I} kolekcija skupova indeksirana skupom I. Dokazati da za proizvoljan skup B vrijedi B ( i I A i ) = i I(B A i ). 8. (i) Neka su A, B, C podskupovi skupa X. Dokazati C A B ako i samo ako B c C A. (ii) Neka je {A i : i I} kolekcija skupova indeksirana skupom I. Dokazati da za proizvoljan skup B vrijedi B ( i I A i ) = i I(B A i ). 9. Pokazati da za skupove A, B vrijedi (i) A B P (A) P (B); (ii) P (A) P (B) P (A B). Dati primjer skupova A, B tako da u (ii) vrijedi stroga inkluzija. 10. Za kakve skupove A, B, C sljedeći sistemi imaju rješenje (i) A X = B X, A X = C X, (ii) A\X = X\B, X\A = C\X? Šta je rješenje sistema? 11. Odrediti relacije R 1, R R, R R 1, ako je (i) R = {(x, y) : x, y N, x y} N N (ii) R = {(x, y) : x, y R, x + y 0} R R (iii) R = {(x, y) : x, y R, x 3y} R R 1. Ako su R, R 1, R A B relacije iz A u B, dokazati da je onda: (i) (R 1 R ) 1 = R 1 1 R 1 (ii) (R c ) 1 = (R 1 ) c. 13. Dokazati da je relacija biti djelitelj relacija poretka na N. 14. Dokazati da ako je R relacija poretka da je onda i R 1 relacija poretka. 15. Dokazati da ako su R 1 i R simetrične relacije da su onda i R 1 R, R 1 R, R 1 1 simetrične.

16. Neka su R 1 i R simetrične relacije. Dokazati da je R 1 R simetrična ako i samo ako je R 1 R = R R 1. 17. Navesti primjer relacije koja je: (i) refleksivna, simetrična i netranzitivna (ii) refleksivna, antisimetrična i netranzitivna. 18. Koja od sljedećih relacija je relacija ekvivalencije na S, (i) S = N\{0, 1}, x y nzd(x, y) > 1, gdje je nzd najveći zajednički djelilac; (ii) S = R, x y ( n Z) x = n y? 19. Neka su R 1 i R relacije ekvivalencije na X. Dokazati: (i) R 1 R 1 = X X R 1 = X X; (ii) R 1 R = X X R R 1 = X X. 0. Dokazati da je ρ A relacija ekvivalencije ako vrijedi A ρ, ρ = ρ 1, ρ ρ ρ. 1. Dokazati da je ρ A relacija poretka ako vrijedi A ρ, ρ ρ 1 A, ρ ρ ρ.. Dokazati da svaka particija nepraznog skupa X definiše jednu relaciju ekvivalencije na tom skupu čije su klase ekvivalencije skupovi iz posmatrane particije. 3. Ispitati da li je relacija ρ R definisana sa xρy def x n y n 0 relacija poretka za (i) n = 3; (ii) n = 4. 4. Neka je A relacija poretka na skupu A i B relacija poretka na skupu B. Na skupu A B definisana je relacija AB na sljedeći način (a 1, b 1 ) AB (a, b ) def a 1 A a b 1 B b. (i) Pokazati da je AB relacija poretka na A B. (ii) Ako su A i B linearna uredjenja, da li je tada i AB linearno uredjenje? 5. Dokazati da na nepraznom skupu A jedina relacija koja je istovremeno relacija ekvivalencije i relacija poretka jeste dijagonalna relacija A. 3

6. Ako je ρ relacija poretka na skupu A pokazati da je i ρ 1 relacija poretka na skupu A. Na osnovu toga dokazati da na svakom konačnom nepraznom skupu ima neparan broj relacija poretka. 7. Neka je ρ refleksivna i tranzitivna relacija na skupu A i relacija na skupu A definisana sa x y def xρy yρx. Pokazati da je relacija ekvivalencije i da je (A/, ) uredjen skup ako je relacija definisana sa def a b aρb. 8. Uz pomoć matematičke indukcije dokazati: n 1 (i) (3k )(3k + 1) = n 3n + 1 (ii) (iii) (iv) (v) (vi) n ( 1) k k n n(n + 1) = ( 1) n a k n a k, gdje su a 1,..., a n R proizvoljni; n cos x k = sin x n sin x, za proizvoljno x (0, π); n n ( 1 + x k) = 1 xn+1, za sve x 1; 1 x k=0 n 1 k < n, za n ; ( ) n, n+1 (vii) n! < za sve n > 1. 9. Neka je niz (a n ) rekurzivno dat sa a 1 = 1, a = 1, a n = 1 Dokazati da je 1 a n, za sve n N. 30. Neka je niz (a n ) rekurzivno dat sa ( a n 1 + ) a n (n 3). a 1 = 1, a = 1, a n = a n 1 + a n (n 3). Dokazati da je a n = 3 n 1 + ( 1) n, za sve n N. 31. Neka je niz (a n ) rekurzivno dat sa a n = a n 1 + 3a n (n 3). Dokazati: (i) Ako su a 1, a N neparni, onda su svi (a n ) neparni; (ii) a 1 = a = 1 a n = 1 ( 3 n 1 ( 1) n) (n N ). 4

3. Koje od sljedecih funkcija f : N N N je surjektivna, ako je (i) f(a, b) = a + b (ii) f(a, b) = ab (iii) f(a, b) = ab(b+1) (iv) f(a, b) = ab(a+b) (v) f(a, b) = 3 a 1 (3b 1) 33. Koja od sljedećih funkcija f : A R je injektivna, ako je (i) A = R, f(x) = x 1+x (ii) A = ( 1, 1), f(x) = (iii) A = R, f(x) = x 1+x (iv) A = [0, ), f(x) = (v) A = R, f(x) = x3 1+x. x 1+x x 1+x 34. Ispitati da li je funkcija f : R R data sa f(x) = injektivna. Da li je surjektivna? { x + 1, za x < 0 1 x, za x 0 35. Neka je funkcija f : R R data sa f(x, y) = (4 + x y, y x 5). Pokazati da je f bijekcija i naći njenu inverznu funkciju. 36. Neka su f : A B i g : B C preslikavanja. Pokazati (i) Ako je g f injektivno preslikavanje onda je f injektivno preslikavanje; (ii) Ako je g f surjektivno preslikavanje onda je g surjektivno preslikavanje; (iii) Ako je g f bijektivno preslikavanje onda je f injektivno preslikavanje, a g surjektivno preslikavanje. 37. Pokazati da se svako preslikavanje može razložiti kao kompozicija dva preslikavanja od kojih je jedno injektivno a drugo surjektivno. 38. Neka je f : X X preslikavanje koje ima osobinu da postoji prirodan broj n tako da je f n = id X (pri čemu je f n = f n 1 f i id X je identičko preslikavanje na skupu X). Pokazati da je f bijekcija. 39. Neka je f : X Y prelikavanje i A X, B Y. Dokazati (i) A f 1 f(a); (ii) ff 1 (B) B; (iii) A = f 1 f(a) ako i samo ako je f 1-1 ; (iv) ff 1 (B) = B ako i samo ako je f na. 5

40. Preslikavanje f : A B je 1 1 ako i samo ako za sve neprazne skupove S i sva preslikavanja g : S A i h : S A vrijedi f g = f h g = h. Dokazati. 41. Preslikavanje f : A B je na ako i samo ako za sve neprazne skupove S i sva preslikavanja g : B S i h : B S vrijedi g f = h f g = h. Dokazati. 4. Neka je X skup. Pokazati da je funkcija f : P (X) {0, 1} X data sa f(a) = χ A (gdje je χ A karakteristična funkcija skupa A) bijekcija. 43. Neka su A, B, C X skupovi. Pomoću funkcija χ A, χ B i χ C izraziti funkcije χ A B, χ A B, χ A (B C), χ X\A i χ A B. 44. Dokazati da za proizvoljne skupove A 1,..., A n postoje disjunktni skupovi A 1,..., A n takvi da je A i A i za i = 1,..., n. 45. Neka su A, B, A 1, B 1 skupovi. Dokazati: (i) A B B A (ii) A A 1 B B 1 A B A 1 B 1 (iii) A A 1 B B 1 A B A B1 1. 46. Neka su A, B, C skupovi. Dokazati (i) A C B C (A B) C ; (ii) (A B ) C A B C. 47. Dokazati da je za svaki skup X ispunjeno P (X) {0, 1} X. 48. Dokazati da ako je S N beskonačan, onda S nije ograničen odozgo. 49. Dokazati da je skup A beskonačan ako i samo ako postoji preslikavanje f : A A koje je injektivno a nije surjektivno. 50. Ako je A B tada postoji surjektivno preslikavanje f : B A. Dokazati. 51. Dokazati da je [a, b] Q Q, gdje je a, b R, a < b. 5. Dokazati da skup (0, 1) (0, 1) nije prebrojiv. 53. Dokazati da skupovi realnih i iracionalnih brojeva ekvipotentni. 54. Dokazati da konačnih podskupova od N ima prebrojivo mnogo. 55. Dokazati da je skup svih intervala (otvorenih, zatvorenih, poluotvorenih, poluzatvorenih) u R sa racionalnim granicama prebrojiv. 56. Pokazati da je bilo koja familija disjunktnih otvorenih intervala u R najviše prebrojiva. 57. Neka je A = {A N : A}. Pokazati da je A = c. 6

58. Neka je N relacija definisana na sljedeći način: Za m, n N (i) Pokazati da je relacija poretka. m n def m n. (ii) Ako je A N konačan skup naći (ako postoje) sup A, inf A, max A i min A. (iii) Ako je P N N skup prostih brojeva naći (ako postoje) sup A, inf A, max A i min A. 59. Neka je O = {(, a) : a R} P (R). Pokazati da za svaku familiju A O vrijedi A O. 60. Ako je = A R i B R i ako je za sve a A i sve b B ispunjeno a b, pokazati da je sup A inf B. 61. Neka su A, B R ograničeni skupovi i neka je Pokazati (i) sup(a + B) = sup A + sup B; (ii) inf(a + B) = inf A + inf B. A + B = {a + b : a A, b B}. 6. Neka je A R odozdo ograničen skup i neka je A = { a : a A}. Pokazati da je sup( A) = inf A. 63. Odrediti sup S, inf S, min S, max S, ako je skup S dat sa: { } { (i) x 1+ x : x R ; (ii) x + 1 x : 1 }; < x { { } 3n 1 (iii) 5n+ }; : n N m (iv) m+n : m, n N { } } 1 (v) m 1 n : m, n N (vi) {1 + 3 ( 1)n n : n N. 64. Dokazati da za sve n N vrijedi sljedeće: (i) k n je prirodan ili iracionalan broj, za svako k N; (ii) n + n + 1 je iracionalan broj; (iii) n + n je iracionalan broj. 65. Dokazati da za sve a, b R, a, b 0 i n N važi a < b n a < n b. 66. Dokazati k b k a < k b a, za sve 0 < a < b i k N. 67. Dokazati da svaki neprazan podskup skupa {1 + n : n N} ima najmanji element. 7

68. Neka je r Q. Dokazati da je funkcija f : (0, ) R, f(x) = x r strogo rastuća za r > 0, a strogo opadajuća za r < 0. 69. Ako je A = {x R, x > 0 : x > }, naći inf A. 70. Ako je A = {x Q : x 3 < 4}, naći sup A. 8