VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ==================================

ii Autori: dr Milan Jovanović, PMF Banjaluka dr Milan Merkle, ETF Beograd dr Zoran Mitrović, ETF Banjaluka Izdavač: ETF Banjaluka Recenzenti: dr Dobrilo D-. Tošić, ETF Beograd dr Zagorka Lozanov-Crvenković, PMF Novi Sad Štampa: Tiraž: 5 primjeraka

Sadržaj Prostor vjerovatnoća Slučajne promjenljive 3 3 Numer. karakteristike sluč. promjenljivih 45 4 Karakteristične funkcije 67 5 Granične teoreme 87 6 Matematička statistika 5 7 Dodaci 9 7. Pregled važnijih raspodjela..................... 9 7. Statističke tablice........................... iii

iv Predgovor SADRŽAJ Zbirka je pisana po programu predmeta Verovatnoća i statistika koji se predaje na ETF-u Beogradu kao i po programu predmeta Vjerovatnoća i statistika na ETF-u Banjaluci. Većinu zbirke čine ispitni zadaci koji su detaljno urad - eni. Zbirku mogu da koriste i studenti na svim fakultetima na kojima se predaje odgovarajući predmet. Zahvaljujemo se recenzentima na korisnim sugestijama. Posebnu zahvalnost dugujemo kolegi Ostoji Čeniću.

Prostor vjerovatnoća Zadatak.. Četiri kartice su numerisane brojevima,, 3, 4. Slučajno se izvlači jedna kartica i registruje broj. Pokazati da su dogad - aji: A-broj je paran, B-broj je manji od 3, C-broj nije potpun kvadrat, u parovima nezavisni, ali nisu nezavisni u ukupnosti. Rješenje. Ovdje je Ω = {,, 3, 4}, A = {, 4}, B = {, }, C = {, 3}. Pošto je vrijedi sljedeće: A B = A C = B C = A B C = {}, P (A) = P (B) = P (C) =, P (A B) = P (A C) = P (B C) = 4, P (A B C) = 4. Dakle, P (A B) = P (A)P (B), P (A C) = P (A)P (C), P (B C) = P (B)P (C), ali je P (A B C) P (A)P (B)P (C). Zadatak.. Dokazati da nezavisnost dogad - aja A i B povlači nezavisnost dogad - aja A C i B C, A C i B te A i B C. Rješenje. Iskoristićemo formule P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) i P (A C ) = P (A).

. PROSTOR VJEROVATNOĆA Vrijedi slijedeće Dakle, P (A C B C ) = P ((A B) C ) = P (A B). P (A C B C ) = (P (A) + P (B) P (A B)). Ako su A i B nezavisni dogad - aji onda je P (A C B C ) = P (A) P (B) + P (A)P (B) = ( P (A))( P (B)) = P (A C )P (B C ), pa su i dogad - aji A C i B C nezavisni. U drugom slučaju je Kako je imamo P (B) = P (Ω B) = P ((A A C ) B). (A A C ) B = (A B) (A C B), P (B) = P (A B) + P (A C B) P (A A C B), pa zbog, P (A A C B) = P ( ) =, dobijamo Ako su A i B nezavisni slijedi pa je P (B) = P (A B) + P (A C B). P (B) = P (A)P (B) + P (A C B), P (A C B) = ( P (A))P (B) = P (A C )P (B). Treći slučaj: Ako su A i B nezavisni, onda su A C i B nezavisni, pa su i (A C ) C i B C tj. A i B C nezavisni dogad - aji. Ili iz nezavisnosti A i B slijedi nezavisnost B i A, pa i B C i A. Zadatak.3. Neka su dogadjaji A i B takvi da je Odrediti P (A B). Rješenje. Kako je P (A B) = 4, P (AC ) = 3, P (B) =. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) i P (A C ) = P (A), imamo P (A B) = 3 + 4 =. Zadatak.4. Tri igrača A, B, C tim redom bacaju kocku sve dok prvi put ne padne broj 6. Pobjed - uje onaj igrač kod koga padne 6. Naći za svakog igrača

3 vjerovatnoću da bude pobjednik. Rješenje. Neka su A k, B k, C k dogad - aji: igraču A, B, C je u k-tom pokušaju pala šestica, a D A, D B, D C dogad - aji da je odgovarajući igrač pobijedio. Tada vrijedi D A = A + A C B C C C A + A C B C C C A C B C C C A 3 + + +A C B C C C A C B C C C A C k BC k CC k A k+ + Dogad - aji A C, B C, C C,..., A C k, BC k, CC k, A k+,... su nezavisni i pa je P (A C k ) = P (B C k ) = P (C C k ) = 5 6, P (A k+) = 6, P (D A ) = 6 + ( 5 6 ) 3 6 + + Slično se dobije P (D B ) = 3 9 i P (D C) = 5 9. Kraće je ovako. Neka je P (D A ) = p. Tada je P (D B ) = 5p 6, ( ) 3k 5 6 6 + = 36 9. jer ako igraču A u prvom bacanju ne padne 6, igra se ponavlja u redoslijedu B, C, A. Takod - e, P (D C ) = 5p 36 i D A + D B + D C = Ω, odakle je p + 5p 6 + 5p 36 = i p = 36 9. Primjedba. Ako je A B =, umjesto A B pišemo A + B. Zadatak.5. Četiri crne i četiri crvene karte nižu se slučajno. Naći vjerovatnoće sljedećih dogad - aja: a) A-niz počinje i završava crnom kartom, b) B-crne karte su jedna do druge, c) C-crne karte su jedna do druge i crvene karte su jedna do druge, d) D-boje su naizmjenično poredane. Rješenje. a) Broj svih mogućih nizova (rasporeda karata) je 8!. Na prvom mjestu crna karta se može naći na ( 4 ) načina. Za svaki od njih crna karta se na poslednjem mjestu može naći na ( ( 3 ) načina. To je 4 3 )( ) mogućnosti. Za svaku od njih preostalih 6 karata se, izmed - u, može rasporediti na 6! načina. Dakle, broj povoljnih rasporeda je ( ( 4 ) 6! 3 ), pa je ) ( 6! 3 ) P (A) = ( 4 8! = 3 4.

4. PROSTOR VJEROVATNOĆA b) U povoljnim slučajevima crne karte su na mjestima,, 3, 4 ili, 3, 4, 5 ili 3, 4, 5, 6 ili 4, 5, 6, 7 odnosno 5, 6, 7, 8. Na četiri mjesta četiri crne karte se mogu naći na 4! načina, a crvene isto tako na preostala četiri mjesta. Broj povoljnih slučajeva (ishoda) je 5 4! 4!, pa je Na sličan način dobijamo P (B) = P (C) = P (D) = 5 4! 4! 8! = 4. 4! 4! 8! = 35. Zadatak.6. Kocka se baca 5 puta. Odrediti najvjerovatniji broj pojavljivanja dogad - aja : pao je broj djeljiv sa 3. Rješenje. Za najvjerovatniji broj pojavljivanja dogad - aja u Bernulijevoj šemi, to jest za broj k {,,..., n} za koji je vjerovatnoća ( ) n P k = p k q n k k maksimalna vrijedi Ovdje je np q k np + p. n = 5, p = 3, q = 3, pa vrijedi 6 = 5 3 3 k 5 3 + 3 = 7. Dakle, k {6, 7}. Zadatak.7. Data je električna šema A C D Svaki od prekidača je nezavisno od drugih, zatvoren sa vjerovatnoćom. Naći vjerovatnoću da je mreža AB zatvorena. Rješenje. Dio mreže CD je otvoren ako su oba prekidača otvorena. Vjerovatnoća tog dogad - aja je 4, a vjerovatnoća da je dio CD zatvoren je 3 4. Sada je mreža reducirana na A E CD F B Dio EF je zatvoren ako su oba prekidača zatvorena. Vjerovatnoća tog dogad - aja B

5 je 3 4 = 3 8. Sada mreža izgleda ovako A EF B Dakle, mreža AB je otvorena sa vjerovatnoćom 5 8, a zatvorena sa vjerovatnoćom 6. Zadatak.8. Od N proizvoda M je neispravnih. Slučajno se bira n proizvoda (n N). Naći vjerovatnoću da je med - u njima: a) m neispravnih (m n), b) najviše m neispravnih. Rješenje. a) Od N proizvoda, n se može izabrati na ( N n) načina. Neispravni proizvodi se mogu izabrati na ( ) ( M m, a ispravni na N M ) n m načina. Dakle, ( M N M ) p = m)( n m ( N. M) Dalje, vrijedi N M n m (inače bi med - u izabranim proizvodima bilo više ispravnih nego što ih ukupno ima), odnosno m n + M N. Slijedi uslov K = max{, n + M N} m min{n, M}. b) Tražena vjerovatnoća je zbir vjerovatnoća dogad - aja: med - u izabranim proizvodima m je nespravnih, ili m neispravnih,... Ako je N M n tada je K = n + M N i ( M N M ) ( p = m)( n m + + M )( N M ) n ( N. n) U( suprotnom )( je N M < n ili < n + M N = K, pa je posljednji sabirak M n+m N N M). Znači, p = m K=K ( M k )( N M ) n k ( N. n) Zadatak.9. U kutiji se nalazi n crvenih i n bijelih kuglica. Iz kutije se na slučajan način vade po dvije kuglice bez vraćanja sve dok se kutija ne isprazni. Kolika je vjerovatnoća da se svaki put par sastojao od jedne crvene i jedne bijele kuglice? Rješenje. Prvi par kuglica možemo izabrati na ( ) n načina. Kada je jedan par kuglica izabran, drugi par kuglica možemo izabrati na ( ) n načina. Pošto smo izabrali dva para kuglica, treći par možemo izabrati na ( ) n 4 načina, itd. Dakle, n parova možemo izabrati na )( n ( n ) ( )

6. PROSTOR VJEROVATNOĆA načina. U prvom izvlačenju možemo izabrati jednu crvenu i jednu bijelu kuglicu na n n načina, nakon toga u drugom izvlačenju možemo izabrati jednu crvenu i jednu bijelu kuglicu na (n )(n ) načina, u trećem izvlačenju možemo izabrati jednu crvenu i jednu bijelu kuglicu na (n )(n ) načina itd. Znači, n parova od jedne bijele i jedne crvene kuglice možemo izabrati na n (n ) načina. Sada je tražena vjerovatnoća Zadatak.. Iz skupa p = ( n (n!) ) ( )( n ) = n ( n n ). Ω = {(x,..., x ) : x + + x =, x i N {}, i =,..., } na slučajan način se bira jedan elemenat (x, x,..., x ). Odrediti vjerovatnoću da je x 3 i x 5. Rješenje. Odredimo prvo broj rješenja jednačine x + + x k = n, u nenegativnim cijelim brojevima. Broj rješenja jednak je broju načina da se izmed - u k jedinica stavi n nula što je isto što i broj načina da se od n + k elemenata izabere podskup od k elemenata, a to je ( ) n + k. k Broj elemenata skupa Ω je ( ) + = ( ) 9. 9 Broj svih elemenata iz Ω za koje je x 3 i x 5 je broj rješenja jednačine y + y + + y = 3 5, gdje je y = x 3, y i = x i, i =,..., 9, y = x 5, a to je ( ) + = Tražena vjerovatnoća je P = ( 9 ( 9 9 ) ). ( ). 9 Zadatak.. Iz kutije koja sadrži n bijelih i m crnih kuglica slučajno izvlačimo k m + n kuglica.

7 a) Naći vjerovatnoću da se med - u kuglicama nalazi tačno j (j k) bijelih. b) Koristeći se rezultatom pod a), naći zbir Rješenje. a) Tražena vjerovatnoća je Kako je imamo k j= ( )( ) n m. j k j ( n m ) j)( k j p j = ), j =,..., k. k j= ( n+m k k p j =, j= ( )( ) n m = j k j ( n + m Zadatak.. Dvije kutije sadrže po kuglica. Iz kutija izvlačimo na slučajan način po jednu kuglicu, pri čemu se pri svakom izvlačenju kutija slučajno bira. Kolika je vjerovatnoća, da u momentu kada se konstatuje da je jedna kutija prazna, druga sadrži 7 kuglica? Rješenje. Označimo sa A prvu, a sa B drugu kutiju sa kuglicama. Tražimo vjerovatnoću da je u kutiji B ostalo 7 kuglica u momentu kada je konstatovano da je kutija A prazna. Sa x i = ili x i = označimo dogad - aj da smo i to izvlačenje vršili iz kutije A ili iz kutije B, te izvukli kuglicu iz kutije ako ih tamo još ima. Svakom slučaju na obostran jednoznačan način možemo pridružiti ured - enu 4-torku (x, x,..., x 4 ) kojih ukupno ima 4. Povoljni slučajevi su oni kod kojih je x 4 =, a med - u x, x,..., x 3 ima tačno koji su jednaki. Prema tome, povoljnih slučajeva ima ( 3 ). Vjerovatnoća je dakle, jednaka p = ( ) 3 4, jer A i B imaju simetričnu ulogu. Zadatak.3. Neka je X = {,,..., n}. Naći vjerovatnoću da za slučajno izabrane neprazne, različite podskupove A, B X vrijedi: a) A B =, b) A B = X. Rješenje. a) Dva neprazna različita podskupa A, B X možemo izabrati na ( n )( n ) načina. Skup A koji ima k ( k n) elemenata možemo izabrati na ( ) n k načina. U tom slučaju B može biti bilo koji neprazan podskup od X \ A. Pošto X \ A ima n k elemenata, takvih podskupova B ima n k. Znači, tražena vjerovatnoća je k ).

8. PROSTOR VJEROVATNOĆA p = n ( n ) k ( n k ) ( n )( n ) = 3n n+ + ( n )( n ). k= b) A B = X A C B C =, sada koristeći rezultat u a) dobijamo da je tražena vjerovatnoća p = n ( n ) k ( n k ) ( n )( n ) = 3n n+ + ( n )( n ). k= Zadatak.4. Pred bioskopom stoji u redu n lica, n od njih ima novčanice od din, a n od 5 din. Svako lice kupuje jednu kartu koja košta 5 din. Prije prodaje karata u kasi nije bilo novca. Naći vjerovatnoću da nijedno lice neće čekati kusur. Rješenje. Možemo smatrati da se skup svih mogućih slučajeva sastoji od svih ured - enih n torki (x,..., x n ) pri čemu je x i = 5 ili x i = u zavisnosti od toga da li i to lice ima novčanicu od 5 ili od dinara. Pošto tačno n lica ima novčanicu od 5 dinara i tačno n lica ima novčanicu od dinara, ukupan broj slučajeva je ( ) n n. Odredimo broj onih koji su povoljni. U zavisnosti od toga da li i to lice koje stoji u redu ima novčanicu od 5 ili od dinara pridružimo mu tačku (i, ) ili (i, ). Povucimo izlomljenu liniju iz tačke (, ) kroz tačke sa apscisama,,..., n, a ordinatu u svakoj tački sa apscisom i, i =,,..., n odredimo kao zbir ordinata tačaka sa apscisama,,..., i (njihove ordinate su ili u zavisnosti od toga da li i to lice ima novčanicu od 5 ili dinara). Skup svih povoljnih slučajeva je skup svih izlomljenih linija koje nemaju tačke iznad x ose. Svakoj datoj izlomljenoj liniji koja ima tačku iznad x ose možemo obostrano jednoznačno pridružiti izlomljenu liniju koja se sa datom poklapa do prve tačke zajedničke sa pravom y = i dalje od te tačke simetrična sa datom izlomljenom linijom u odnosu na pravu y =. Takve izlomljene linije polaze iz (, ) i završavaju u (n, ), jer izlomljena linija koja je simetrična sa njom u odnosu na pravu y = završava u (n, ) (jer ima n lica sa novčanicama od 5 dinara i n lica sa novčanicama od dinara). Prema tome, one imaju n + uspona i n padova, pa je njihov broj ( n n+). Znači, broj nepovoljnih slučajeva je ( n n+), pa je tražena vjerovatnoća ( n ) n+ p = ) = n +. ( n n Zadatak.5. N lica izmješaju svoje šešire i nasumice stavljaju na glavu po jedan šešir. Naći vjerovatnoću da bar jedno lice stavi svoj šešir na svoju glavu. Čemu teži ta vjerovatnoća kada broj lica i šešira neograničeno raste? Rješenje. Neka je A dogad - aj da bar jedno lice stavi svoj šešir na svoju glavu. Sa A i označimo dogad - aj da je i to lice stavilo svoj šešir na svoju glavu (i =,,..., N). N lica može rasporediti N šešira na glave na N! načina, ako je i to lice stavilo svoj šešir na svoju glavu, tada preostalih N lica može

rasporediti N šešira na svoje glave na (N )! načina. (N )! P (A i ) = =. Sličnim razmišljanjem dobijamo da je N! N 9 Prema tome je (N )! P (A i A j ) = = N! N(N ), i < j N, (N 3)! P (A i A j A k ) = = N! N(N )(N ), i < j < k N,... P (A A A N ) = N!. Pošto je očigledno A = N A i i pošto vrijedi formula i<j<k N imamo da je Odavde je Znači, pa P (A) = i= i= N N P ( A i ) = P (A i ) i= i<j N P (A i A j )+ P (A i A j A k ) + ( ) N P (A A A N ), N i= P (A) = N ( ) N i<j N N(N ) + N(N ) + + ( )N N!. +( ) N ( ) N 3 N(N )(N ) N!. P (A) =! + 3! + ( )N, N! P (A) kad N. e Zadatak.6. Iz skupa {,,..., n} slučajno biramo broj a. Naći vjerovatnoću da on nije djeljiv ni sa jednim od brojeva a,..., a k, gdje su a i, i =,,..., k prirodni i uzajamno prosti brojevi. Čemu teži ta vjerovatnoća kad n. Rješenje. Neka je A dogad - aj čija se vjerovatnoća traži. Označimo sa A i dogad - aj da je a djeljiv sa a i, i =,,..., k. Sada imamo, da je A C = Ako sa [ ] označimo najveće cijelo, dobijamo da vrijedi [ n ] a i k i= A i. P (A i ) = n, i =,,..., k,

. PROSTOR VJEROVATNOĆA [ n ] a i a j P (A i A j ) =, i < j k..., n [ n ] a P (A A A k ) =... a n, n jer su a,..., a k uzajamno prosti, pa pošto vrijedi dobijamo pa je Vidimo da P ( k A i ) = i= P (A C ) = k P (A i ) i= i<j k +( ) k P (A A k ) [ n ] k a i n i= P (A) = P (A) i<j k [ n ] +( ) k a a k, n ( ) [ n ] k a i n + [ ( ) k + ( ) k k P (A i A j ) + [ n a i a j ] n ( ) k n ] a... a k n [ n a i a j ] n k ( a i ) kad n +, i=. + + jer [ n ] a n kad n +. a Zadatak.7. U voz sa m vagona na slučajan način i nezavisno jedan od drugog ulazi n putnika (n m). Odrediti vjerovatnoću da u svaki vagon ud - e bar jedan putnik. Rješenje. Neka je A i oznaka za dogad - aj da u i ti vagon nije niko ušao, i =,,..., m. Ako sa A označimo dogad - aj čija se vjerovatnoća traži u zadatku, tada očigledno A C = m A i. i= P (A i ) = P (A i A j ) = ( m) n i =,,..., m ( m) n, i < j m

Sada je... ( P (A i A im ) = m ) n, i <... i m m. m P (A C ) = m i= + ( ) m ( ) n ( n + m m) i<j m i < <i m m ( m m Znači, ( ) m ( P (A) = ) ( ) n + + ( ) m m ( m ) n. m m m Zadatak.8. Izvodi se n nezavisnih opita koji se sastoje u bacanju k novčića. Izračunati vjerovatnoće dogad - aja: A-bar jednom su na svim novčićima pali svi grbovi, B-tačno m puta su na svim novčićima pali svi grbovi. Rješenje. Neka A i označava dogadjaj da u i-tom opitu nisu pali svi grbovi, i =,..., n. Vrijedi ) n P (A i ) = k, i =,..., n i AC = A A n. Dogadjaji A i su nezavisni, pa vrijedi P (A C ) = ( k ) n. Dakle, ( P (A) = ) n k. Za vjerovatnoću dogadjaja B, koristeći vjerovatnoću pojavljivanja dogadjaja u Bernulijevoj šemi, imamo ( ) ( ) m ( n P (B) = m k ) n m k. Zadatak.9. Slučajno se bira jedan element iz razvijenog oblika determinante reda n. Naći vjerovatnoću p n, da on ne sadrži element sa glavne dijagonale. Naći lim p n. n + Rješenje. Neka je A i oznaka za dogad - aj da slučajno izabrani element iz razvijenog oblika determinante reda n sadrži i elemenata sa glavne dijagonale, i =,,..., n. Ako sa A označimo dogad - aj čija se vjerovatnoća traži u zadatku očigledno je A C = n i= A i. Broj svih elemenata u razvijenom obliku determinante n tog reda je n!. Broj svih onih koji sadrže po jedan element sa glavne

. PROSTOR VJEROVATNOĆA dijagonale je (n )!, broj onih koji sadrže po dva elementa sa glavne dijagonale je (n )! i tako dalje. Prema tome je P (A i ) = P (A i A j ) =... (n )!, i =,,..., n, n! P (A i A n ) = n!. i= (n )!, i < j n, n! Znači, n n P (A) = P ( A i ) = P (A i ) pa je Sada dobijamo da je i= i<j n P (A i A j ) + +( ) n P (A A n ) ) ( ) ( ) ( ) n (n )! n (n )! n = + + ( ) n n! n! n n!, p n =! +! + ( )n n!. lim n + p n = e. Zadatak.. Kocka se baca sve dok ne padne broj 6. Naći vjerovatnoću da su potrebna bar tri bacanja, ako se u prvom nije pojavio broj 6. Rješenje. Posmatrajmo dogad - aje: i A k u k tom bacanju je pala šestica, k N B = A C A C A 3 + A C A C A C 3 A 4 +, dogad - aj da su potrebna bar tri bacanja da padne šest. Treba odrediti uslovnu vjerovatnoću P (B A C i ). Vrijedi P (B A C ) = P (B AC ) P (A C ). Kako je B C = A + A C A slijedi A B C = B C, odakle je A C B = B. Dakle, ( 6 + 5 6 ) 6 P (B A C ) = P (B) P (A C ) = P (BC ) P (A C ) = 5 6 = 5 6.

3 Zadatak.. U svakoj od n kutija se nalazi po a bijelih i b crnih kuglica. Na slučajan način se iz prve kutije bira kuglica i prebacuje u drugu, zatim iz druge u treću itd, dok se iz zadnje ne izvuče jedna kuglica. a) Kolika je vjerovatnoća da je zadnja izvučena kuglica bijela? b) Ako je treća izvučena kuglica bijela, kolika je vjerovatnoća da je i prva bijela? Rješenje. a) Neka je B i dogad - aj da je u i tom izvlačenju izvučena bijela kuglica i C i dogad - aj da je u i tom izvlačenju izvučena crna kuglica. Vrijedi P (B n ) = P (B n )P (B n B n ) + P (C n )P (B n C n ). Dakle, Kako je imamo Sada zaključujemo da je b) a + P (B n ) = P (B n ) a + b + + P (C a n ) a + b +. P (B ) = a a + b, P (C ) = b a + b, P (B ) = a a + a + b a + b + + b a a + b a + b + = a a + b. jer P (B ) = P (B ) pa kako je imamo P (B n ) = a a + b. P (B B 3 ) = P (B )P (B 3 B ) P (B 3 ) = P (B 3 B ), P (B 3 B ) = P (B 3 B )P (B B ) + P (B 3 C )P (C B ), P (B B 3 ) = a + a + a + b + a + b + + a b a + b + a + b + = (a + ) + ab (a + b + ). Zadatak.. Vjerovatnoća da aparat za igru izbaci broj i, je p i = e i i!, i N {}. Poznato je da je aparat izbacio dva broja i da je njihov zbir n. Odrediti vjerovatnoću da je prvi broj jednak k. Rješenje. Traži se P (X = k X + Y = n), gdje je Kako je P (X = i) = P (Y = i) = e i i!, i N {}. P (X = k X + Y = n) = P (X = k)p (Y = n k) P (X + Y = n)

4. PROSTOR VJEROVATNOĆA i to jest imamo P (X + Y = n) = n P (X = i)p (Y = n i), i= n e P (X + Y = n) == i i! e n i (n i)!, i= ( ) n P (X = k Y = n k) = k e n! n, P (X = k X + Y = n) = ( ) n, k {,,..., n}. k n Zadatak.3. Iz džepa u kome su bile 3 bijele i 6 crnih kuglica ispala je jedna kuglica. Nakon toga izvučene su dvije kuglice. Kolika je vjerovatnoća da je izgubljena bijela, ako su izvučene bijele kuglice? Rješenje. Neka su H, H dogad - aji (hipoteze) da je ispala bijela, odnosno crna kuglica, a A dogad - aj da su izvučene dvije bijele kuglice. Treba odrediti P (H A). Prema Bajesovoj formuli je P (H A) = P (H )P (A H ) P (H )P (A H ) + P (H )P (A H ). U nazivniku je vrijednost P (A) (formula potpune vjerovatnoće). Vrijedi ( )( ) ( )( ) 6 3 5 P (A) = 3 9 ( ) + 6 8 9 ( ) = 8, pa je P (H A) = 3 8 = 7. Zadatak.4. Pri proizvodnji istog proizvoda, 3 mašine tipa A, 5 tipa B i tipa C proizvode redom 5%, 3%, % neispravnih proizvoda. Slučajno se bira jedan proizvod. a) Kolika je vjerovatnoća da je neispravan? b) Ako je izabrani proizvod neispravan, kolika je vjerovatnoća da je proizveden na mašini tipa B? Rješenje. a) Neka su H A, H B, H C dogad - aji: proizvod je proizveden na mašini tipa A, B, odnosno C, a D izabrani proizvod je neispravan. Prema formuli potpune vjerovatnoće je: P (D) = P (H A )P (D H A ) + P (H B )P (D H B ) + P (H C )P (D H C ),

5 pa je b) P (D) = 3 Prema Bajesovoj formuli je 5 + 5 P (H B D) = P (H B)P (D H B ) P (D) 3 + = 5 =.3. 3 3 = 5 3. Zadatak.5. Dva strijelca gad - aju istu metu svaki ispalivši po jedan hitac. Vjerovatnoća pogotka za prvog strijelca je.7, a za drugog.5. Poslije gad - anja ustanovljeno je da je meta pogod - ena jednim metkom. Odrediti vjerovatnoću da ju je pogodio drugi strijelac. Rješenje. Neka je A dogad - aj da je meta pogod - ena jednim metkom. Dalje, neka je: H dogad - aj da ni jedan strijelac nije pogodio, H dogad - aj da je pogodio samo prvi strijelac, H dogad - aj da je pogodio samo drugi strijelac, H dogad - aj da su pogodila oba strijelca. Sada je P (H ) = 3 5, P (A H ) =, P (H ) = 7 P (H ) = 3 5, P (A H ) =, 5, P (A H ) =, P (H ) = 7 5, P (A H ) =. Na osnovu formule potpune vjerovatnoće je P (A) = 7 Prema Bajesovoj formuli je 5 + 3 5 35 + 5 = = 5 =. P (H A) = P (A H )P (H ) P (A) = 3 5 = 3 =.3. Zadatak.6. Jedan ured - aj se sastoji iz dva dijela. Da bi ured - aj radio neophodno je da radi svaki dio. Vjerovatnoća da radi prvi dio u intervalu vremena t iznosi.8, vjerovatnoća da drugi dio radi u istom intervalu iznosi.7.

6. PROSTOR VJEROVATNOĆA Ako je ured - aj ispitivan u intervalu vremena t i otkazao je, naći vjerovatnoću da su otkazala oba dijela. Rješenje. Neka je A dogad - aj da je ured - aj otkazao i H dogad - aj da su otkazala oba dijela, H dogad - aj da je otkazao samo drugi dio, H dogad - aj da je otkazao samo prvi dio, H dogad - aj da su oba dijela ispravna. Imamo, P (H ) = 3, P (A H ) =, P (H ) = 8 P (H ) = P (H ) = 8 3, P (A H ) =, 7, P (A H ) =, 7, P (A H ) =. P (A) = P (A H )P (H ) + P (A H )P (H ) + P (A H )P (H ) +P (A H )P (H ) = 6 + 4 + 4 = 44. P (H A) = P (A H )P (H ) P (A) = 6 44 = 6 44 = 3 Zadatak.7. U jednom skladištu su svi proizvodi ispravni, a u drugom ima 35% škarta. Na slučajan način je odabran dobar proizvod iz nekog skladišta i nakon toga vraćen u isto skladište. Izračunati vjerovatnoću da je drugi proizvod iz istog skladišta škart. Rješenje. Neka je A dogad - aj da je prvi izvučeni proizvod dobar. Neka su H, H dogad - aji (hipoteze) da je proizvod izvučen iz prvog odnosno drugog skladišta. Imamo, Sada je P (H ) =, P (A H ) =, P (H ) =, P (A H ) = 65. P (A) = P (H )P (A H ) + P (H )P (A H ) = P (H A) = P (H )P (A H ) P (A) = ( + 65 ) = 65. 65 = 65,

P (H A) = P (H )P (A H ) P (A) = 65 65 = 65 65. Neka je B dogad - aj da je drugi izvučeni proizvod škart. Opet, prema formuli potpune vjerovatnoće je gdje je H = H A, H = H A. P (B) = P (B H )P (H ) + P (B H )P (H ), P (B) = 65 65 35 + 65 = 65 65 35 = 9 66. Zadatak.8. Vozovi dužine 8 metara kreću se brzinom 3 metara u sekundi po prugama koje se med - usobno ukrštaju. Trenutak u kome će oni proći kroz raskršće je slučajan izmed - u 9 = i 9 3 =. Izračunati vjerovatnoću sudara. Rješenje. Neka je A dogad - aj da je došlo do sudara. Ako sa X označimo trenutak ulaska prvog, a sa Y trenutak ulaska drugog voza u raskršće, tada, pošto vozovi dužine 8 metara prolaze kroz raskršće 6 sekundi jer se kreću brzinom 3 metara u sekundi imamo Ω = {(x, y) x 8, y 8}. A = {(x, y) Ω x y < 6}. 7 8 6 6 8 Neka je m(a) mjera oblasti A, to jest u ovom slučaju površina. vjerovatnoća je Tražena P (A) = m(a) m(ω) = 8 794 8 =.6656 Zadatak.9. Tačke M, N, P su sredine stranica trougla ABC. Na slučajan način se bira n tačaka u trouglu ABC. Odrediti vjerovatnoću p i, i =,..., n, da se u trouglu MNP nalazi i tačaka. Za koje i je ta vjerovatnoća maksimalna?

8. PROSTOR VJEROVATNOĆA Naći vjerovatnoću da se u trouglu MNP nalaze bar n tačke. Rješenje. Odredimo vjerovatnoću da tačka pripada trouglu M N P. P ABC p = P MNP = = P ABC 4 P ABC 4. Sada za vjerovatnoću p i imamo ( n p i = i ) p i ( p) n i, dakle, ( n p i = i ) 3 n i 4 n, Najvjerovatniji broj pojavljivanja u Bernulijevoj šemi (zadatak.6) je za n + 4 i n +. 4 Vjerovatnoća da se u trouglu nalaze bar n tačke je p n + p n + p n = 9n 3n + 4 n. Zadatak.3. Data je jednačina x3 3 a x + b =, gdje se a i b slučajno biraju iz intervala (,). Neka je N broj realnih korijena te jednačine. Naći P {N = k}, k =, 3. Rješenje. Polinom trećeg reda može da ima samo jednu realnu ili tri realne nule. Znači, P {N = } + P {N = 3} =. Osim toga, polinom trećeg stepena ima tri realne nule ako i samo ako njegov grafik ima sljedeći oblik to jest ako i samo ako za tačku minimuma x min, odnosno maksimuma x max važi: gdje je f(x max ) >, f(x min ) <, f(x) = x3 3 a x + b. Pošto je x max = a i x min = a to vrijedi a3 3 + a3 + b >, a 3 3 a3 + b <. Znači, data jednačina ima tri realne nule ako i samo ako vrijedi b > a3 3, b < a3 3.

9 Tačke a, b se biraju iz (,) pa je b > a3 3 uvijek zadovoljeno. Sada imamo Ω = {(a, b) a, b (, )}, Znači, pa je A = {(a, b) Ω b < a3 3 }. P {N = 3} = m(a) m(ω) = m(a) = P {N = } = 5 6. a 3 3 da = 6, Zadatak.3. Brojevi x i y se na slučajan način i nezavisno jedan od drugog biraju iz intervala [, ]. Neka je A = {(x, y) : x y } i B = {(x, y) : max{x, y} }. Naći vjerovatnoću dogadjaja A B. Rješenje. Lako se dobija µ(a) = 4 = 3 4, µ(b) = 4, µ(a B) = 4. Kako je P (A B) = P (A) + P (B) P (A B), imamo P (A B) = 3 4. Primjedba. Kako je A B = A imamo P (A B) = P (A) = 3 4. Zadatak.3. Na kružnici poluprečnika R slučajno su izabrane tri tačke A, B i C. Kolika je vjerovatnoća da je trougao ABC oštrougli? Rješenje. Neka je x dužina luka kružnice koji spaja tačke A i B, a y dužina luka kružnice koji spaja B i C. y B C Rπ-x-y A x Izbor tačaka A, B i C jednoznačno odred - uje brojeve x, y za koje važi < x, < y, x + y < Rπ. Znači, Ω = {(x, y) x >, y >, x + y < Rπ}.

. PROSTOR VJEROVATNOĆA Trougao ABC je oštrougli ako je x < Rπ, y < Rπ, x + y > Rπ. Sada je A = {(x, y) Ω x < Rπ, y < Rπ, x + y > Rπ}. y Rπ Rπ A Znači, P (A) = m(a) m(ω) = R π R π = 4. x Rπ Rπ Zadatak.33. Ako je Ω = {(x, y) x, y [, ]}, za koje vrijednosti a su dogad - aji A = {(x, y) Ω x y a} i B = {(x, y) Ω x + y 3a}, nezavisni? Rješenje. Za dogad - aj A imamo pa je U slučaju dogad - aja B je, a < P (A) = ( a), a <, a., a < 9a Znači, P (B) =, a < 3 ( 3a), 3 a < 3, 3 a A B = {(x, y) Ω x y a x + y 3a},

pa na sličan način dobijamo, a (, ) [, + ) P (A B) = a, a [, 3 ) 7a + 6a, a [ 3, ) ( a), a [, ) Znači da za a (, ] {/3} [/3, + ), vrijedi P (A B) = P (A)P (B). Zadatak.34. Na duži dužine a na slučajan način se biraju dvije tačke. Odrediti vjerovatnoću da je svaka od tri tako dobijene duži kraća od b (b > a 3 ). Rješenje. Svakom izboru dvije tačke A i B odgovara izbor tri duži na duži dužine a. x y a x y A B Prema tome za Ω možemo uzeti, Ω = {(x, y) x >, y >, x + y < a}. Neka je D dogad - aj čija se vjerovatnoća traži, D = {(x, y) Ω < x < b, < y < b, a b < x + y < a}. Sada razlikujemo dva slučaja P (D) = m(d) m(ω) = (3b a) a,

. PROSTOR VJEROVATNOĆA P (D) = m(d) m(ω) = 6ab a 3b a.

Slučajne promjenljive Zadatak.. Neka je X slučajna promjenljiva i { ax + b, x f(x) =, x > njena gustina raspodjele vjerovatnoća. Pokazati da je b = i a. Rješenje. Funkcija f(x) je gustina vjerovatnoća, pa vrijedi + f(x)dx = (ax + b) =, odakle dobijamo b =. Dalje, f(x) je nenegativna funkcija, pa je f() i f( ). Sada imamo to jest a + i a +, a. Zadatak.. Funkcija gustine vjerovatnoća slučajne promjenljive X je { cx, x [3, 6] f(x) =, x / [3, 6]. Naći: (a) konstantu c, (b) P (X [a, b]), gdje je [a, b] [3, 6], (c) P (X 9X + ). 3

4. SLUČAJNE PROMJENLJIVE Rješenje. (a) Iz relacije 6 3 cxdx = dobijamo da je c = 7. (b) P (X [a, b]) = (c) Dakle, b a 7 xdx = b a. 7 P (X 9X + ) = P ((X 4)(X 5) ) = P (X [3, 4] [5, 6]). P (X 9X + ) = 4 3 6 7 xdx + 7 xdx = 3. Zadatak.3. Neka X ima normalnu raspodjelu sa parametrima µ = i σ = 3. Odrediti vjerovatnoću dogadjaja (X [4, 6]). Rješenje. Neka slučajna promjenljiva X ima normalnu raspodjelu sa parametrima µ i σ tada slučajna promjenljiva Y = X µ ima normalnu raspodjelu sa σ parametrima i to jest standardizovanu normalnu raspodjelu. Sada imamo ( 4 P (4 X 6) = P X ) 6, 3 3 3 pa je P (4 X 6) = P ( X ) = e t dt =.9544. 3 π Zadatak.4. Neka X ima N (, σ ) raspodjelu. Odrediti vrijednost σ tako da je vjerovatnoća P ( X 3) najveća. Rješenje. Neka X ima N (µ, σ ) raspodjelu. Tada je Koristeći smjenu t = x µ σ P (a X b) = πσ dobijamo b a 5 e (x µ) σ dx. P (a X b) = π b µ σ e x dx. a µ σ

5 Sada imamo 3 P ( X 3) = σ π e x dx. Vjerovatnoća je najveća za onu vrijednost σ za koju vrijedi σ Dobija se 3 σ e 9 σ + σ e σ =. σ = ln 3. Zadatak.5. Slučajna promjenljiva X ima unifomnu raspodjelu na intervalu [, ]. Odrediti raspodjelu slučajne promjenljive Y = X. Rješenje. Neka je F X (x) funkcija raspodjele vjerovatnoća slučajne promjenljive X i F Y (y) funkcija raspodjele vjerovatnoća slučajne promjenljive Y. Za y [, ], vrijedi F Y (y) = P (X < y) = P (X < y) = F X ( y). Dalje, imamo da za gustinu raspodjele slučajne promjenljive Y vrijedi f Y (y) = (F Y (y)) = (F X ( y)) = f X ( y) y, gdje je f X (x) gustina raspodjele slučajne promjenljive X. Kako je {, x [, ] f X (x) =, x / [, ] imamo f Y (y) =, y [, ] y, y / [, ] Zadatak.6. Neka je X neprekidna slučajna promjenljiva i y = ϕ(x) neprekidna funkcija. Pokazati da slučajna promjenljiva Y = ϕ(x) ne mora biti slučajna promjenljiva neprekidnog tipa. Rješenje. Neka X ima uniformnu raspodjelu na intervalu [, ] i { ϕ(x) =, x.5 x.5, x >.5. Tada slučajna promjenljiva Y = ϕ(x) nije neprekidnog tipa. funkcija raspodjele je {, y.5 F Y (y) =, y <.5 Naime njena

6. SLUČAJNE PROMJENLJIVE Zadatak.7. Slučajna promjenljiva X ima funkciju raspodjele vjerovatnoća F koja je strogo rastuća. Pokazati da slučajna promjenljiva Y = F (X) ima uniformnu raspodjelu na [, ]. Rješenje. Kako je F (X), vrijedi P (Y < y) = P (F (X) < y) =, y <, P (Y < y) = P (F (X) < y) =, y >. Dalje, P (Y < y) = P (F (X) < y) = P (X < F (y)) = F (F (y)) = y, y [, ]. Dakle slučajna promjenljiva Y ima uniformnu raspodjelu na [, ]. Zadatak.8. Slučajna promjenljiva X ima uniformnu raspodjelu na intervalu [a, b]. Ako je E(X) = i V ar(x) =, odrediti a i b, a zatim naći funkciju raspodjele vjerovatnoća slučajne promjenljive Y = X +. Rješenje. Neka je X : U[a, b] tada je E(X) = a + b i V ar(x) = Iz uslova zadatka dobijamo a = i b =. promjenljive Y vrijedi (b a)., y (, ], F Y (y) = y, y (, ],, y (, + ). Za funkciju raspodjele slučajne Zadatak.9. Slučajna promjenljiva X ima normalnu raspodjelu N (, ) i slučajna promjenljiva Y ima log normalnu raspodjelu to jest Y = e X. Odrediti raspodjelu slučajne promjenljive Y. Rješenje. Za funkciju raspodjele F Y slučajne promjenljive Y vrijedi F Y (y) = P (Y < y) = P (e X < y) =, y, F Y (y) = P (X < ln y) = ln y e t dt, y >. π Gustina slučajne promjenljive Y je e ln y, y > f Y = πy, y.

7 Zadatak.. Slučajna promjenljiva X ima gustinu { e f(x) = x, x >, x. Odrediti gustinu slučajne promjenljive Y = (X ). Rješenje. Grafik funkcije y = (x ) dat je na slici y x x x 3 x Razlikujemo tri slučaja: Za y je F Y (y) = P {Y < y} =. Za < y je F Y (y) = P {Y < y} = P {x < X < x } = P { y < X < + + y y} = e x dx = e + y e y. y Za < y je F Y (y) = P {Y < y} = P { < X < x 3 } = P { < X < + + y y} = e x dx = e y., y Sada je F Y (y) = e + y e y, < y e y, < y. Zadatak.. Slučajna promjenljiva X ima Košijevu raspodjelu Naći gustinu slučajne promjenljive Rješenje. Grafik funkcije y = f(x) = π Y = + x. X X. x dat je na slici x

8. SLUČAJNE PROMJENLJIVE y x=- x= x x x 3 x 4 x Razlikujemo sledeće slučajeve: Za y <, F Y (y) = P {Y < y} = P {x (, x ) (, x 4 )}. Znači, F Y (y) = pa je f Y (y) = π Za y = je F Y (y) = Za y > je + y q+ y y y = π π π dx + x + = ( π arctan ), y + y. dx + x + + π y + q+ y dx + x =. π dx + x F Y (y) = P {Y < y} = P {x (, x ) (, x 3 ) (, + )}, F Y (y) = pa je y +y dx π( + x ) + y + q+ y dx π( + x ) + F Y (y) = ( π arctan ) +, y f Y (y) = π + y. + dx π( + x ),

9 Znači, slučajna promjenljiva Y ima Košijevu raspodjelu sa gustinom f Y (y) = π + y. Zadatak.. Neka X ima Poasonovu raspodjelu P(λ). Definišimo Y = X i Z = sin πx. Odrediti zakon raspodjele za Y i Z. Rješenje. Imamo da je P (X = k) = e λ λk, k =,,... k! Slučajna promjenljiva Y = X može uzimati samo vrijednosti koje su kvadrati prirodnih brojeva i nule, pri čemu je P (Y = k ) = P (X = k) = e λ λk, k =,,... k! Slučajna promjenljiva Z uzima vrijednosti iz skupa {,, }. Imamo da je P (Z = ) = Na sličan način nalazimo i + k= P (X = k) = e λ + k= λ shλ + sin λ P (Z = ) = e λ shλ sin λ P (Z = ) = e. λ k (k)! = e λ chλ. Zadatak.3. Neka je S = [, ] [, ] i gustina raspodjele vjerovatnoća f : R R, data sa {, (x, y) S f(x, y) =, (x, y) / S Odrediti funkciju raspodjele. Rješenje. Neka (x, y) S. Tada je Za x, y > je F (x, y) = x y dudv = xy. x F (x, y) = dudv = x, itd.

3. SLUČAJNE PROMJENLJIVE Dobije se odnosno xy, (x, y) S x, x, y > F (x, y) = y, y, x >, x >, y >, (x, y) R \ R + F (x, y) = max{, min{x, y, xy, }}. Zadatak.4. Neka je gustina slučajnog vektora (X, Y ) data sa { 4xy, x >, y >, x + y < f(x, y) =, inače. Odrediti f X (x) i f Y X (y x). Rješenje. Za marginalnu gustinu f X (x) vrijedi + x f X (x) = f(x, y)dy = 4xydy = x( x), < x <. Dalje, f Y X (y x) = f(x, y) f X (x) = 4xy x( x) = y ( x), < y < x. Zadatak.5. Odrediti c R tako da c f(x, y) = π ( + x )( + y ), x, y R bude gustina za slučajni vektor Z = (X, Y ). Odrediti marginalne gustine i vjerovatnoću da Z uzme vrijednosti iz kvadrata S = [, ] [, ]. Rješenje. Funkcija f je gustina ako je funkcija raspodjele. Vrijedi F (x, y) = x y F (x, y) = x y f(u, v)dudv cdudv π ( + u )( + v ) = c (arctgx π + π ) ( arctgy + π ). F je funkcija raspodjele ako i samo ako vrijedi:. F je neopadajuća po svakoj od promjenljivih,. F je neprekidna s lijeve strane po svakoj promjenljivoj, 3. lim x + y + F (x, y) =, lim F (x, y) = lim x F (x, y) =. y

3 4. za sve a < a, b < b je F (a, b ) F (a, b ) F (a, b ) + F (a, b ). Iz uslova 3 slijedi da je c =. Ispunjeni su uslovi i. Ostaje da se vidi da li vrijedi uslov 4. Neka je a < a, b < b, tada je F (a, b ) F (a, b ) F (a, b ) + F (a, b ) = π (arctga arctga )(arctgb arctgb ), jer je funkcija x arctgx monotono rastuća. Dalje je odakle je F X (x) = π analogno se dobije Na kraju, x + dudv ( + u )( + v ) = π f X (x) = f Y (y) = P (Z S) = π S π( + x ), π( + y ). ( arctgx + π ), dxdy ( + x )( + y ) = 6. Zadatak.6. Nezavisne slučajne promjenljive X i Y imaju E() raspodjelu. Naći gustinu slučajne promjenljive Z = X 3Y. Rješenje. Zbog nezavisnosti gustina slučajnog vektora (X, Y ) je f(x, y) = { e (x+y), x >, y >, inače pa za funkciju raspodjele imamo slučajne promjenljive Z vrijedi F Z (z) = e (x+y) dxdy. Diferenciranjem dobijamo gustinu x 3y<z f Z (z) = 5 e z 3, z < 5 e z, z.

3. SLUČAJNE PROMJENLJIVE Zadatak.7. Gustina slučajnog vektora (X, Y ) je f (X,Y ) (x, y) = { 5x y, x y,, inače. (i) Odrediti funkciju raspodjele slučajne promjenljive Z = X + Y. (ii) Odrediti gustinu slučajne promjenljive W = X. Rješenje. (i) F Z (z) =, za z <, z F Z (z) = P (X + Y < z) = { F Z (z) = (ii) Gustina slučajne promjenljive X je 5 z x z x y z y 5x ydydx, z 5x ydxdy, z, 64 z5, z + 5 4 z 5z + 5 z3 64 z5, z, f X (x) = F Z (z) =, za z. x 5x ydy = 5 x ( x ). Sada za gustinu slučajne promjenljive W dobijamo f X ( w) w = 5 w( w), < w <. 4 Zadatak.8. Neka su X i Y nezavisne slučajne promjenljive sa eksponencijalnom raspodjelom E(λ). Odrediti raspodjelu slučajne promjenljive (a) Z = X Y, (b) Z = X X + Y. Rješenje. (a) Uvedimo smjene u = x, v = x y, imamo x = u, y = u v, za Jakobijan preslikavanja vrijedi J = =.

33 Slučajne promjenljive U = X i V = X Y su nezavisne, pa za funkciju gustine vjerovatnoća slučajnog vektora (U, V ) je Dakle, f(u, v) = f X (u)f Y (u v) J. f(u, v) = λe λu λe λ(u v), u >, u v >. Za funkciju gustine vjerovatnoća slučajne promjenljive V je f V (v) = f V (v) = + + v λ e λ(u v) du = λ e λv, v, λ e λ(u v) du = λ eλv, v >. Znači funkcija gustine vjerovatnoća slučajne promjenljive Z je f Z (z) = λ e λ z, z R. (b) Zbog nezavisnosti, gustina vektora (X, Y ) je f(x, y) = f X (x)f Y (y) = λ e λ(x+y), gdje je λ >, x >, y >. Za z je X F (z) = P { < z} =. X + Y Ako je < z onda je F (z) = f(x, y)dxdy. X X+Y <z y x x+y<z y= -z z x x

34. SLUČAJNE PROMJENLJIVE Znači, F (z) = λ + + λx (e e λy dy)dx = z z z x Za z > je F (z) = (x, y)dxdy. R + Znači, sada je F (z) =. Dakle, {, z F (z) = z, < z, pa Z ima uniformnu raspodjelu U(, ). Napomenimo da se zadatak mogao riješiti koristeći postupak dat u rješavanju zadatka (a). Zadatak.9. Vijek trajanja sijalice je dat eksponecijalnom raspodjelom. Ako je srednja vrijednost vijeka trajanja sijalice od 8 vati 3 sati, a srednja vrijednost vijeka trajanja sijalice od vati sati odrediti vjerovatnoću da sijalica od vati traje duže od sijalice od 8 vati. Rješenje. Ako su X i Y nezavisne slučajne promjenljive sa funkcijama gustina vjerovatnoća f(x) = λe λx, g(y) = µe µy respektivno tada je P (X < Y ) = + + x f(x)g(y)dxdy = + f(x)( G(x))dx, gdje je G(y) funkcija raspodjele vjerovatnoća slučajne promjenljive Y. dobijamo da je P (X < Y ) = λ λ + µ. Sada U zadatku je λ = 3 i =, pa imamo da je tražena vjerovatnoća µ P (X < Y ) = 5. Zadatak.. Buffonov problem. U ravni je dat skup paralelnih pravih, pri čemu je rastojanje izmed - u susjednih pravih a, a >. Na ravan se baca igla dužine l, (l < a). Odrediti vjerovatnoću da igla siječe neku od pravih.

Rješenje. Zbog l < a, igla ne može da siječe više od jedne prave, zato je dovoljno posmatrati pravu koja je najbliža središtu bačene igle. U odnosu na ovu pravu, položaj igle je odred - en rastojanjem X od središta igle do prave i uglom Θ izmed - u igle i prave. Slučajne promjenljive X i Θ su nezavisne. Možemo uzeti da je slučajna promjenljiva X uniformna na [, a] i da je raspodjela slučajne promjenljive Θ uniformna na [, π ]. Zajednička gustina raspodjele za (X, Θ) je f(x, θ) = πa, x a, θ π, f(x, θ) =, inače. Igla siječe najbližu pravu ako i samo ako je X l sin θ. Odgovarajuća vjerovatnoća je π P (X l sin θ) = l sin θ dxdθ = l πa πa. U specijalnom slučaju l = a, dobijena vjerovatnoća je /π. Zadatak.. Slučajni vektor (X, Y ) zadan je funkcijom gustine 35 { 4x f(x, y) = 3 y( x ), < x <, < y <, inače. Odrediti funkciju gustine slučajne promjenljive Z = XY. Rješenje. Odredimo prvo funkciju raspodjele slučajne promjenljive Z. Imamo, F Z (z) = P {Z < z} = P {XY < z}. Sada razlikujemo sledeće slučajeve. Za z, F Z (z) =. Za < z, z z x F Z (z) = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy = z z z x = 4x 3 y( x )dxdy + 4x 3 y( x )dxdy = ( z z x 3 ) = 4 ( x )dx + x 3 z z x ( x )dx = ( ) z 6 = z4 4 + z = z 6 3z 4 + 3z 4 Za z > je F Z (z) =. Sada imamo da je gustina slučajne promjenljive Z data sa : { 6z f Z (z) = 5 z 3 + 6z, z (, ) z (, ). Zadatak.. X i Y su nezavisne slučajne promjenljive sa istom uniformnom raspodjelom U(, ). Naći P { < Z < 3 4 }, ako je slučajna promjenljiva Z definisana sa Z = min{x, Y }. Rješenje. Za funkciju raspodjele slučajne promjenljive Z vrijedi F Z (z) = P {Z < z} = P {min{x, Y } < z}.

36. SLUČAJNE PROMJENLJIVE Kako X i Y imaju uniformnu raspodjelu U(, ) to je F Z (z) = za z > i F (z) = za z. Zbog nezavisnosti slučajnih promjenljivih X i Y je { { } F Z (z) = P {Z < z} = P min X, Y { { } } = P min X, z, Y { } F Z (z) = P X z, Y z = P Sada za < z imamo Za < z je F Z (z) = P {X z}p } < z { X z, Y Z { Y }. z P {Z < z} = ( z) = z. P {Z < z} = ( z) z = 3 z. { Znači, P < Z < 3 } ( ) ( ) 3 = F Z F Z = 4 4 3. Zadatak.3. Neka su X i Y nezavisne slučajne promjenljive i }. P (X = k) = P (Y = k) = q k p, k =,,..., p (, ), q = p Slučajne promjenljive Z i W definisane su sa Z = Y X, W = min(x, Y ). (i) Pokazati da je P (W = w, Z = z) = p q w+ z, w, z Z. (ii) Odrediti P (W = w). (iii) Odrediti P (Z = z). (iv) Da li su Z i W nezavisne slučajne promjenljive? Rješenje. (i) Ako je tada je Y X = Z < w = W = Y i X = Y Z = w + z.

37 Dakle, Ako je tada je Dakle, (ii) (iii) P (W = w, Z = z) = P (Y = w, X = w + z ) = p q w+ z. Y X = Z w = W = X i Y = X + Z = w + z. P (W = w, Z = z) = P (X = w, Y = w + z) = p q w+z. P (W = w) = + z= P (Z = z) = p q w+ z = p q w ( p ) = p( p)q w. + w= p q w+ z = p q z q = pq z p. (iv) Slučajne promjenljive Z i W su nezavisne jer vrijedi P (Z = z, W = w) = P (Z = z)p (W = w). Zadatak.4. Slučajni vektor (X, Y ) ima uniformnu raspodjelu unutar trougla sa vrhovima A(, ), B(, ), C(, ). Naći raspodjelu za Z = Y X. Rješenje. Za funkciju raspodjele slučajne promjenljive Z imamo { } Y F Z (z) = P {Z < z} = P X < z Sada je za z, F Z (z) = za < z, F Z (z) = D dxdy = = z zx x dxdy = (z + ) ( z)

38. SLUČAJNE PROMJENLJIVE 3 za < z, F Z (z) = = D dxdy = dxdy = D z+ x+ = dx dy = zx + 4z z ( + z) 4 za z >, F Z (z) = Zadatak.5. Neka je K R jedinični krug i (X, Y ) ima uniformnu raspodjelu na K. Odrediti uslovnu raspodjelu za X, pri Y =. Naći gustinu za Z = Y X. Rješenje. Zajednička gustina za (X, Y ) je {, (x, y) K f(x, y) = π, (x, y) K Uslovna gustina za X pri Y = y je f X (x y) = gustina za Y. Kako je f(x, y) f Y y, gdje je F Y marginalna f Y (y) = + y f(x, y)ds = dx = y, π π y imamo i Neka je F X (x y) = f(x, ) f Y () = /π /π = f X (x ) = za x >. D = {(x, y) R y/x < z}. za x

39 Odredimo funkciju raspodjele G(z) slučajne promjenljive z. Za z > je G(z) = D f(x, y)dxdy = π D T K dxdy = m(d K) π = π ( ( arctan z + π )) 4 = + arctan z. π Za z <, G(z) = π ( ( π arctan( z)) ) = + arctan z, π

4. SLUČAJNE PROMJENLJIVE G() = π π =. Dakle, i G(z) = + arctan z, z R π g(z) = π( + z ), z R. Zadatak.6. Neka su X i Y nezavisne slučajne promjenljive sa raspodjelama N (, ) i N ( 3, 4). Naći vjerovatnoću P (Y < X 5). Rješenje. Zbog nezavisnosti, gustina slučajnog vektora (X, Y ) je pa je Smjenom Iz { U = X V = Y + 3 f(x, y) = x 4π e (( ) +( y+3 )), P {Y < X 5} = dobija se ϕ u ϕ u Y <X 5 f(x, y)dxdy. { x = ϕ (u, v) = u + y = ϕ (u, v) = v 3 ϕ v ϕ v =. f UV (u, v) = f XY (ϕ (u, v), ϕ (u, v))j(u, v), slijedi da je gustina za slučajni vektor (U, V ), f UV (u, v) = π e ( u + v )., pa je jakobijan Skup {(x, y) y < x 5} bijektivno se preslikava na {(u, v) v < u}, te je arctan P {V < U} = e u +v dudv = + dθ dρ = π π. v<u π+arctan

4 Zadatak.7. Ako su X i Y nezavisne slučajne promjenljive sa eksponencijalnom raspodjelom E(λ), pokazati da su U = X + Y i V = X Y nezavisne slučajne promjenljive. Rješenje. Iz u = x + y imamo Za Jakobijan preslikavanja vrijedi v v+ J = Dakle, v = x y x = uv v + y = u v +. u (v+) v+ u (v+) = u (v + ). f (U,V ) (u, v) = f (X,Y ) (x, y) J = f (X,Y ) ( uv v +, f (U,V ) (u, v) = λ ue λu u (v + ). ) u v + Osim toga, za gustine slučajnih promjenljivih U i V vrijedi pa je f U (u) = f V (v) = + + f (U,V ) (u, v)dv = λue λu, f (U,V ) (u, v)du = f (U,V ) (u, v) = f U (u)f V (v). (v + ), u (v + ), Znači U i V su nezavisne slučajne promjenljive. Zadatak.8. Neka su X i Y nezavisne slučajne promjenljive koje uzimaju cjelobrojne vrijednosti i Z = X + Y, ako je a = min{n : P {Z = n} > } i b = max{n : P {Z = n} > }.

4. SLUČAJNE PROMJENLJIVE Dokazati da je min{p {Z = a}, P {Z = b}} 4. Rješenje. Neka je a X = min{n : P {X = n} > }, b X = max{n : P {X = n} > } i analogno definisani a Y i b Y. Očigledno je a = a X + a Y i b = b X + b Y. Sada je min{p {Z = a}, P {Z = b}} min{pq, ( p)( q)}, gdje je p = P {X = a X }, q = P {Y = a Y }, pa je dovoljno pokazati min {pq, ( p)( q)} p,q [,] 4, što vrijedi zbog { p min {pq, ( p)( q)} min p,q [,] p [,], p } 4. Zadatak.9. Neka su X i Y apsolutno neprekidne, nezavisne slučajne promjenljive sa funkcijama raspodjele F i G respektivno i neka je Z(t) slučajna promjenljiva definisana na sledeći način: {, t < X Z(t) = Y, t X. Ako je F () = G() = i F (x) =, x, ispitati za koje t je Z(t) diskretnog, a za koje apsolutno neprekidnog tipa. Navesti primjer za takve X i Y. Rješenje. Neka je I{A} indikator slučajnog dogad - aja A, vrijedi Z(t) = I{t < X} + Y I{t X}. Razlikujemo sledeće slučajeve (i) t, P {Z(t) = } = P {X > t} = F (), pa je Z(t) diskretna slučajne promjenljiva. (ii) < t <, za z. Ako je z > onda je P {Z(t) < z} = P { I{t < X} + Y I{t X} < z} = P { < z, t < X} + P {Y < z, t X} = P { } + P {Y < z}p {t X} = F (t)g(z) = P { < z, t < X} + P {Y < z, t X} = F (t) + F (t)g(z).

43 Pošto je F (t) > to Z(t) nije apsolutno neprekidna, ali nije ni diskretna jer ima beskonačno mnogo vrijednosti. Z(t) je apsolutno neprekidnog tipa samo ako je X takva da je F (t) = za t (, ). Primjer takve slučajne promjenljive Z(t) je zadan sa funkcijama raspodjela X i Y, x F (x) = x, x, < x, G(x) = {, x x x +, x >. Zadatak.3. Neka je (X, Y ) slučajni vektor sa funkcijom gustine raspodjele { c/x, < y < x, < x < f(x, y) =, inače. Odrediti konstantu c. Naći f X, f Y i f X Y =y. Da li su slučajne promjenljive X i Y nezavisne? Rješenje. Iz dobijamo da je c =. Dalje je Dakle, f X (x) = f Y (y) = x c x dydx = x f(x, y)dy = x dy, < x <, inače, f(x, y)dx = x dx, < y < y, inače, {, < x < f X (x) =, inače, Kako je imamo da je Vidimo da je f Y (y) = f X Y =y (x) = f X Y =y (x) = { lny, < y <, inače, { f(x,y) f Y (y), f Y (y) >, inače, { x lny, < y < x <, inače, f X (x)f Y (y) f(x, y),

44. SLUČAJNE PROMJENLJIVE pa slučajne promjenljive X i Y nisu nezavisne. Zadatak.3. Neka je { 6 f (X,Y,Z) (x, y, z) = 5 (x + y), (x, y, z) (, ) 3, inače, gustina slučajnog vektora (X, Y, Z). Odrediti f X Y (x y). Rješenje. Za gustinu slučajnog vektora (X, Y ) imamo f (X,Y ) (x, y) = Sada za gustinu slučajne promjenljive Y vrijedi f Y (y) = 6 5 (x + y)dz = 6 5 (x + y), (x, y) (, ). 6 5 (x + y)dx = 6 ( ) 5 3 + y. Kako je zaključujemo f X Y (x y) = f (X,Y )(x, y), f Y (y) f X Y (x y) = x + y 3 + y, < y <.

3 Numer. karakteristike sluč. promjenljivih Zadatak 3.. Odrediti c R tako da je sa P {X = k} = c, k =,,..., k(k + )(k + ) dat zakon raspodjele. Odrediti E(X). Rješenje. Da bi datom formulom bio definisan zakon raspodjele vjerovatnoća slučajne promjenljive X mora biti c i + k= c k(k + )(k + ) =. Odavde je pa pošto je to je c = 4. Sada je + c k= + k= k(k + )(k + ) =, k(k + )(k + ) = 4 E(X) = + k= k P {X = k} = + k= 4 k k(k + )(k + ) =. Zadatak 3.. Četiri prijatelja ugovorili su susret u gradu sa četiri hotela, ali nisu precizirali u kom hotelu će se sastati. Odrediti zakon raspodjele slučajne promjenljive X: broj hotela u kojima neće biti ni jednoga od prijatelja u zakazano vrijeme. Naći E(X) i V ar(x). 45

46 3. NUMER. KARAKTERISTIKE SLUČ. PROMJENLJIVIH Rješenje. Pretpostavljamo da svaki od prijatelja bira hotel slučajno, a kako nije bilo dogovora prijatelji hotele biraju nezavisno jedan od drugog. Broj svih mogućih rasporeda četiri čovjeka na četiri mjesta je 4 4. Slučajna promjenljiva X uzima vrijednosti, ako su svi otišli u različite hotele. To je moguće na 4! načina. Dakle P {X = } = 6. Jedan hotel je bez i jednog prijatelja, ako 64 su u preostala tri prijatelji došli tako što su u jednom dva (mogućnosti ( 4 ) ), a u preostala dva po jedan (na dva načina). Za fiksiran hotel bez prijatelja to je moguće na 3 (4 ), jer dva čovjeka mogu u svaki od tri preostala hotela. Uzimajući u obzir sve hotele, broj povoljnih slučajeva je 4 3 (4 ), pa je P {X = } = 36. U dva hotela nema prijatelja, ako su po dva u dva hotela, ili u 64 jednom tri. Broj povoljnih slučajeva je ( 4 )( 4 ) + ( 4 )( 4 3 ), pa je P {X = } = 64. Na kraju je P {X = 3} = 4 4 4 =. Dakle, zakon raspodjele je dat sa 64 X : 3 6 64 36 64 E(X) =.6, V ar(x) =.4. Zadatak 3.3. Za slučajnu promjenljivu X vrijedi E(X) = i V ar(x) = 5. Odrediti E(X ), E(X + 6) i V ar( 3X + 5). Rješenje. Vrijede formule 64 64. E(cX) = ce(x), E(X + c) = E(X) + c, V ar(x) = E(X ) E (X), V ar(cx) = c V ar(x), V ar(x + c) = V ar(x), gdje je c konstanta. Sada imamo E(X ) = V ar(x) + E (X) = 5, E(X + 6) = E(X) + 6 = 6, V ar( 3X + 5) = 9V ar(x) = 35. Zadatak 3.4. Data je funkcija g sa, x g(x) =, x x, x. a) Odrediti konstantu c tako da funkcija f(x) = cg(x) bude gustina slučajne promjenljive X. b) Odrediti funkciju raspodjele, matematičko očekivanje i varijansu slučajne promjenljive X.

47 c) Naći P (X < 3 X 7 4 ). Rješenje. a) Iz uslova to jest dobijamo c + dx + f(x)dx =, ( x)dx = c = 3. b)za funkciju raspodjele vjerovatnoća F imamo pa je F (x) =, x (x+) 6, < x x+3 6, < x x +4x+ 6, < x, x >. Kako je f parna funkcija imamo E(X) =. Dakle, Var(X) = Var(X) = E(X ), x dx + x ( x)dx = 5 6. c) Koristeći formulu za uslovnu vjerovatnoću zaključujemo da je P (X < 3 X 7 4 ) = P ( X < 3 ) P ( X < 7 4 ) = F ( 3 ) F () 44 F ( 7 = 4 ) F () 47. Zadatak 3.5. Neka slučajna promjenljiva X ima momenat trećeg reda. Pokazati da funkcija f definisana sa f (x) = ω (X(ω) x) P (ω), ima minimum za x = E(X), a funkcija f definisana sa f (x) = ω (X(ω) x) 3 P (ω),

48 3. NUMER. KARAKTERISTIKE SLUČ. PROMJENLJIVIH monotono opada. Rješenje. Kako je f (x) = ω ( )(X(ω) x)p (ω), zaključujemo da je za Osim toga, f (x) = X(ω)P (ω) ω x = = E(X). P (ω) ω f (x) = ω P (ω) = >, pa je zaista tačka minimuma funkcije f. x = E(X) f (x) = ω ( 3)(X(ω) x) P (ω), ( f (x) = ( 3) (X(ω)) P (ω) x X(ω)P (ω) + x ) P (ω). ω ω ω Kako je i ( ω zaključujemo da je P (ω) = > ω X(ω)P (ω)) ω (X(ω)) P (ω) = V ar(x), f (x), za sve x R, pa f monotono opada. Zadatak 3.6. Date su slučajne promjenljive X i Y. ( ) ( ) x x X : y y, Y :, x p p q q x, y y. Ako vrijedi E(XY ) = E(X)E(Y ) pokazati da su X i Y nezavisne slučajne promjenljive. Rješenje. Slučajne promjenljive U = X x x x, V = Y y y y

49 imaju sljedeće raspodjele ( U : p p ) (, V : q q ). Ako je tada je E(XY ) = E(X)E(Y ) E(UV ) = E(U)E(V ). Ako su U i V nezavisne slučajne promjenljive onda su takve i slučajne promjenljive X i Y. Sada je dovoljno pokazati nezavisnost slučajnih promjenljivih U i V. Imamo pa je Dalje, znači Slično dobijamo E(UV ) = P (U =, V = ) i E(U)E(V ) = P (U = )P (V = ), P (U =, V = ) = P (U = )P (V = ). P (U =, V = ) = P (U = ) P (U =, V = ) = P (U = )( P (V = )), P (U =, V = ) = P (U = )P (V = ). P (U =, V = ) = P (U = )P (V = ), P (U =, V = ) = P (U = )P (V = ). Dakle, slučajne promjenljive U i V su nezavisne, pa su takve i X i Y. Zadatak 3.7. Ako je ( ) 3 X : p p p 3 slučajna promjenljiva kod koje je E(X) = i Var(X) = 3 odrediti p, p i p 3. Rješenje. Vrijedi p + p + p 3 =, osim toga, kako je E(X) = imamo p + p + 3p 3 =. Dalje, pa je Var(X) = E(X ) E (X) = 3, p + 4p + 9p 3 4 = 3.

5 3. NUMER. KARAKTERISTIKE SLUČ. PROMJENLJIVIH Sada iz p + p + p 3 = p + p + 3p 3 = p + 4p + 9p 3 = 4 3, dobijamo p = p = p 3 = 3. Zadatak 3.8. Neka je X slučajna promjenljiva. Pokazati da je E(X) E(X ) + 4. Rješenje. Iz 4X + 4X + i 4X 4X + imamo 4 X X 4 + X. Kako vrijedi to imamo to jest X Y E(X) E(Y ), E ( 4 ) ( ) X E(X) E 4 + X, E(X) E(X ) + 4. Zadatak 3.9. Naći očekivanje broja realnih nula jednačine x 3 3x Y =, x R, gdje je Y slučajna promjenljiva sa gustinom f(y) = π( + y ). Rješenje. Neka je ϕ(x) = x 3 3x y, y R. Funkcija ϕ ima ekstreme za x {, } i vrijedi ϕ( ) = ( y), ϕ() = ( + y), tako da ϕ ima jednu realnu nulu ako je ϕ( ) < ili ϕ() >, odnosno y (, ) (, + ). Ako je y [, ] funkcija ϕ ima dvije nule i u preostalom slučaju tri nule. Neka je slučajna promjenljiva Z broj nula. Tada vrijedi P {Z = } = P {y < } + P {y > },