. Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn od velikih problem više mtemtike je: Definicij.. Ako je dt reln funkcij f koj je neprekidn i nenegtivn n intervlu [, b], ndjite površinu koj se nlzi izme du grf funkcije f i intervl [, b] n x-osi. Uvod u površinski problem Uvod u površinski problem Površinske formule z osnovne geometrijske figure, ko što su prvougonici, poligoni i krugovi idu nzd do njrnijih mtemtičkih zpis. Prvi prvi npredk od njprimitivnih pokušj je nprvio strogrčki mtemtičr Arhimed ( Aρχιµηδης), koji je rzvio genijlnu, li npornu tehniku, koj se zove tehnik iscrpljenj, kko bi nšo površine regij koje su ogrničene prbolm, spirlm i rznim drugim krivim. Do 7-og stoljeć mnogi su mtemtičri otkrili nčine kko izrčunti ove površine koristeći limese. Me dutim, svim ovim metodm je nedostjl generlnost.
Uvod u površinski problem Veliki npredk su nprvili nezvisno jedn od drugog Newton i Leibnitz, koji su otkrili d se površine mogu dobiti obrćući proces diferencijcije. Newtonov rd De Anlysi per Aequtiones Numero Terminorum Infinits izdt 7 se smtr početkom više mtemtike. Sir Isc Newton FRS Gottfried Wilhelm Leibniz Početk moderne mtemtike 2
Posmtrjmo funkciju y = cos 2 x. Ond znmo d je izvod ove funkcije y = 2 cos x sin x = sin 2x. No št ko mormo rditi untrg, odnosno d nm je dt funkcij y = 2 sin 2x i iz nje trebmo pronći originlnu funkciju? Očito, u ovom slučju je y = cos 2 x, li smo to već unprijed znli. U općem slučju, to nije tko jednostvno i zhtjev posebn pristup. Neodre deni integrl Definicij.2. Funkciju F definisnu n intervlu I, nzivmo primitivom ili primitivnom funkcijom ili prim funkcijom ili nti-izvodom ili integrlom funkcije f(x), ko je n tom intervlu f(x) izvod funkcije F (x), tj. ko vrijedi relcij F (x) = f(x), x I. () Definicij.2 se može formulisti tko d umjesto termin izvod koristimo termin diferencijl i td vrijedi d F (x) = F (x)dx = f(x)dx, x I. (2) Primitiv Funkcij 3 x3 je primitiv funkcije f(x) = x 2 n intervlu (, ), zto što je z svko x (, ) F (x) = d [ ] dx 3 x3 = x 2 = f(x). 3
Primjetite d ovo nije jedini primitiv funkcije f n ovom intervlu. Ako dodmo bilo koju konstntu C n 3 x3, ond je funkcij F (x) = 3 x3 + C tko der primitiv funkcije f(x) = x 2, jer je x (, ) F (x) = ( 3 x3 + C) = 3 (x3 ) + C = x 2. Primitiv Teorem.. Nek je F (x), n intervlu I, primitiv funkcije f(x). Td je i funkcij F (x) + C, gdje je C proizvoljn konstnt, tko der primitiv funkcije f(x). Teorem.2. Nek su F (x) i Φ(x) rzličiti primitivi funkcije f(x) n intervlu I. Td je Φ(x) = F (x) + C, C R. (3) Primitiv Dokz. N osnovu pretpostvke teoreme je F (x) = f(x), Φ (x) = f(x), odkle slijedi d je Φ (x) F (x) = [Φ(x) F [x]] = 0, odnosno, vrijedi Φ(x) F (x) = C Φ(x) = F (x) + C. Proces nlženj primitiv nzivmo nti-izvo denjem ili, pozntije, integrcijom. Funkciju F (x) + C nzivmo neodre deni integrl funkcije f(x) i oznčvmo je s f(x)dx = F (x) + C, gdje je C proizvoljn konstnt. Produženo S koje se pojvljuje s lijeve strne definicije neodre denog integrl se zove znk integrcije, što je notcij koju je izumio Leibnitz 675 godine. Funkcij f(x) se zove integrnd ili podintegrlni izrz. C se nziv konstnt integrcije. Pridjev neodre den se odnosi n činjenicu d integrcij ne dje jednu, odre denu funkciju, već čitv snop funkcij (zbog konstnte integrcije). Provjeriti d je ln x x dx = ln2 x 2 + C. Kko je ( d ln 2 ) x + C = 2 ln x dx 2 2 x = ln x x, to je prem definicije neodre denog integrl funkcij ln2 x 2 + C neodre deni integrl funkcije ln x x. 4
Neke osobine neodre denog integrl Iz definicije neodre denog integrl direktno slijedi [ f(x)dx] = [F (x) + C] = F (x) = f(x), (4) d f(x)dx = d[f (x) + C] = F (x)dx = f(x)dx, (5) df (x) = F (x)dx = f(x)dx = F (x) + C, (6) F (x)dx = f(x)dx = F (x) + C. (7) Jednostvnij prvil integrcije Prvilo. Nek je R konstnt. Td vrijedi f(x)dx = f(x)dx (8) Prvilo 2. Ako postoje f i (x)dx, i =, 2,..., n, td vrijedi (f + f 2 +... + f n )(x)dx = f (x)dx + f 2 (x)dx +... f n (x)dx. (9) Jednostvnij prvil integrcije Prvilo 3. Nek je f(t)dt = F (t) + C. Td je f(x + b)dx = F (x + b) + C. (0) Dokz. Kko je immo d je d dt df (t) = F (t) = f(t), dt d dt F (x + b) = F (x + b) = f(x + b), [ ] F (x + b) = F (x + b) = F (x + b) = f(x + b). 5
..2 Tblic osnovnih integrl Tblic osnovnih integrl Integrcij je u osnovi čisto pog dnje - no obrzovno pog dnje! Mi u osnovi pokušvmo d pogodimo št je funkcij iz njenog izvod. Veliki broj integrl možemo riješiti koristeći se nekim, osnovnim integrlim stndrdnih funkcij. Ovdje ćemo nvesti neke od njih. Tblic osnovnih integrl. 0 dx = C; dx = x + C, 2. x dx = + x+ + C, 0,, R, 3. dx = ln x + C, x Tblic osnovnih integrl 4. 5. dx = rc tg x + C; + x2 dx = rcsin x + C; x 2 dx = rc ctg x + C, + x2 dx = rccos x + C, x 2 6. x dx = x ln + C, e x dx = e x + C, Tblic osnovnih integrl 7. sin xdx = cos x + C; cos xdx = sin x + C, 8. 9. cos 2 dx = tg x + C; x sin 2 dx = ctg x + C, x x2 ± 2 dx ln x + x2 ± 2 + C. 6
Tblic osnovnih integrl 0. sec x tn xdx = sec x + C; csc x ctg xdx = csc x + C, Primjeri (x 3 + 2x 5)dx. xdx. sin(mx)dx. Primjeri x + 3 dx. 2x + 5 x 2 + 5x + dx. tg 2 xdx. Primjeri x e x2 + dx. dx x ln x dx. 2dx sin 2x dx. 7
Primjeri cos x sin 2 x dx = cos x sin x sin x dx = t 2 2t 4 ( ) t 4 dt = t 2 2 = = t 2t + C = 2t + C. t csc x ctg xdx = csc x + C t 2 dt + ( 2)dt..3 Integrcij metodom smjene Integrcij smjenom U dosdšnjim primjerim smo se smo koristili osnovnim prvilim i tblicm integrl. Tkvi slučjevi su rijetki i u nekim slučjevim uvo denjem smjene nezvisne promjenljive podintegrlne funkcije možemo svesti integrl n tblični slučj. Nek trebmo izrčunti f(x)dx. () Umjesto nezvisne promjenljive x uvedimo novu promjenljivu t, i nek je x = g(t), dx = g (t)dt. (2) Integrcij smjenom Td integrl () glsi f[g(t)]g (t)dt. (3) Teorem.3. Nek su J i J 2 otvoreni integrli u skupu R. Nek je f : J 2 R, x J 2, neprekidn funkcij n J 2 i nek funkcij g : J J 2 im neprekidne izvode n J. Td z svko t J i svko x = g(t) J 2 vrijedi f(x)dx = f[g(t)]g (t)dt. (4) Integrcij smjenom Tčnost tvrdnje prti n osnovu definicije izvod posredne funkcije i definicije neodre denog integrl. 8
sin 3 x cos xdx. Uvodimo smjenu sin x = t, cos xdx = dt. Td posmtrni integrl glsi sin 3 x cos xdx = t 3 dt = 4 t4 + C = 4 sin4 x + C. Integrcij smjenom xe x2 dx. dx + 4x dx. Integrcij smjenom dx + x dx. cos x + sin 2 x dx. sin 3 xdx...4 Metod prcijlne integrcije Prcijln integrcij Nek su u = f(x) i v = g(x) funkcije promjenljive x i nek imju izvode u = f (x) i v = g (x). Td je po prvilu diferencirnj proizvod d(u v) = u dv + v du, odkle slijedi odnosno u dv = d(u v) v du v du = d(u v) u dv. Iz prethodnih jednkosti integrcijom dobivmo 9
Prcijln integrcij u dv = u v v du (5) odnosno v du = u v u dv. (6) Gornje relcije dju prvil prcijlne integrcije. Primjeri Nek treb nći xe 2x dx. Uzmimo d je u = x, du = dx, dv = e 2x v = e 2x dx = 2 e2x. Td je prem relciji (5) xe 2x dx = x 2 e2x 2 e 2x dx = x 2 e2x 4 e2x + C. Primjeri = x3 ln x 3 x 2 ln x = 3 u = ln x du = dx x dv = x 2 dx v = 3 x3 x 3 dx x = x3 ln x 3 3 x 2 dx = x3 ln x 3 x9 9 + C. Primjeri Izrčunti e x cos(bx)dx. Oznčimo dti integrl s J i nek je Td je prem relciji (5) J = e x cos(bx)dx = u = e x, dv = cos(bx)dx. u = e x du = e x dx dv = cos(bx)dx v = b sin(bx) 0
Primjeri = b ex sin(bx) b e x sin(bx)dx. Ako se z izrčunvnje e x sin(bx)dx uzme u = e x (du = e x dx), dv = sin(bx)dx (v = b cos(bx) ), td slijedi J = b ex sin(bx) b [ b ex cos(bx) + b ] e x cos(bx)dx, Primjeri J = b ex sin(bx) + b 2 ex cos(bx) 2 b 2 J. Rješvnjem prethodne jednčine po J dobijmo ili J = e x cos(bx)dx = b sin(bx) + cos(bx) 2 + b 2 e x, b sin(bx) + cos(bx) 2 + b 2 e x + C. Primjeri Izrčunti dx (x 2 + 2 ) n, n N. J = x2 + 2 dx...5 Integrcij rcionlnih funkcij Integrcij rcionlnih funkcij Rcionln funkcij je funkcij oblik: R(x) = P n(x) Q n (x) = nx n + n x n +... + x + 0 b m x m + b m x m +... + b x + b 0
Ako je. n m td je funkcij R(x) neprv rcionln funkcij; 2. n < m td je funkcij R(x) prv rcionln funkcij. U prvom slučju, prvo polinome P n (x) i Q m (x) podijelimo, tj. R(x) = P n(x) Q n (x) = Λ n m(x) + R (x) Q m (x). Drugi dio desne strne ove jednkosti je ond prv rcionln funkcij. 2x 3 x 2 + x + 5 x 2 4x + = 2x + 7 + 27x 2 x 2 4x +. Izrčunvnje integrl rcionlne funkcije svodi se n izrčunvnje prve rcionlne funkcije. No, prije tog mormo prvu rcionlnu funkciju rzložiti n prostije rcionlne funkcije, tzv. prcijlne rzlomke, ztim rčunti integrle z svki od tih prcijlnih rzlomk. Rstvljnje prve rcionlne funkcije Prostim rcionlnim funkcijm zovemo rcionlne funkcije oblik gdje su A i relni brojevi, odnosno A (x α) k (k N ) (7) Mx + N (x 2 + px + q) k ( k N ; p 2 4 q < 0 ), (2.26 ) gdje su M, N, p i q relni brojevi. Svku prvu rcionlnu funkciju možemo predstviti u obliku (prem fundmentlnoj teoremi lgebre): P n (x) Q m (x) = P n (x) (x ) k (x M ) k M (x2 + p x + q ) l (x 2 + p N x + q N ) l, k i, l N i N, M+N = m Pri tome je p 2 4q < 0, tj. x 2 + px + q se ne može dlje rstviti n proste relne fktore (nem nul u R). Td rcionlnu funkciju možemo izrziti ko: P n (x) (x ) k (x 2 + px + q) l = A x + A 2 (x ) 2 +... + A k (x ) k + + M x + N x 2 + px + q + M 2x + N 2 (x 2 + px + q) 2 +... + M lx + N l (x 2 + px + q) l. 2
A, A 2,..., A n, M, M 2,..., M l, N, N 2,..., N l su nepoznti koeficijenti koje treb odrediti. Ond integrl Pn (x) Q n (x) se u stvri pretvr u k + l integrl koje već možemo riješiti stndrdnim putem! = 2 (x ) 2 dx + 2 3x 2 x + 2 (x ) 2 (x 2 + ) x dx + 2 x + x 2 dx = 2 x + 2 ln(x ) + 2 rctn x 4 ln(x2 + ) + C. Npomen: U opštem slučju, integrl oblik Mx + N x 2 + px + q dx = Mx + N (x + p/2) 2 + 2 rješvmo pomoću smjene x + p 2 = t..2 Odre deni inetgrl.2. Odre deni integrl Odredjeni integrl Nek je funkcij nm je dt funkcij f(x) i nek procesom izrčunvnj neodre- denog integrl možemo nći njen primitiv F (x). U ovoj sekciji ćemo se bviti pojmom tzv. odre denog integrl, li ne teoretskim, već smo primjenjenim putem. Dkle, nećemo formlno definisti odre deni integrl, već smo pomoću njegove veze s neodre denim integrlom. Odre deni integrl funkcije f integrbilne n segmentu [, b] oznčvmo s Ispostvlj se d je b b Ov formul se po dogovoru zpisuje ko f(x)dx f(x)dx = F (b) F ()! b f(x)dx = F (x) b. 3
Ov formul se nziv Newton-Leibnitzov formul! Vidimo d nm odre deni integrl vrć konkretnu vrijednost, p stog i njegovo ime! Osobinu d postoji odre deni integrl funkije n segmentu [, b] ćemo oznčvti s f I[, b]. Osobine odre denog integrl Nek je f I [,b]. Td je, po definiciji, f(x)dx = b b f(x)dxi λ f(x)dx =0, λ [, b]. Lem.. Ako je f I [,b] i α < β b, td je f integrbiln n segmentu [α, β]. Lem.2. Nek je < c < b i nek je funkcij f integrbiln n [, b]. Td vrijedi b f(x)dx = c λ b f(x)dx+ c f(x)dx. (8) Teorem.4. Nek f, g I [,b]. Td su funkcije f + g, f g, λ g integrbilne n segmentu [, b], gdje je λ R ; pri tome vrijedi () (b) b b (f(x) ± g(x))dx = (λf(x)) dx = λ b b f(x)dx. f(x)dx ± b g(x)dx, Teorem.5. Nek su f, g I [,b] tkve d je f(x) g(x) z svko x [, b], td vrijedi b f(x)dx b g(x)dx. (9) Teorem.6. Ako je f integrbiln funkcij n segmentu [, b], td su integrbilne i funkcije f + i f ; osim tog, vrijedi nejednkost b b f(x)dx f(x) dx. (20) Teorem.7. Ako je f C [,b], td je f I [,b]. Izrčunti integrl 3 3 dx +x. 2 dx +x = rctgx 3 = rctg( 3) rctg( ) = π 2 3 ( π 4 ) = 7π 2. 4
Glvni metodi izrčunvnj neodre denog integrl, metod smjene promjenljive i metod prcijlne integrcije, mogu se primijeniti i kod izrčunvnj odre denog integrl. Teorem.8. Nek su funkcije u(x) i v(x) gltke n segmentu [, b]. Td vrijedi jednkost b u(x)dv(x) = u(x)v(x) b b v(x)du(x). (2) Izrčunti odre deni integrl e x 2 ln xdx. Teorem.9. Nek je f : [A, B] R neprekidn, funkcij im neprekidnu derivciju φ (t). Ako je td vrijedi jednkost Izrčunti φ : [α 0, β 0 ] [A, B] α, β [α 0, β 0 ], = φ(α), b = φ(β), b f(x)dx = 0 β α x2 dx. Ako se u izrčunvnju integrl polzni integrl trnsformir u f (φ(t)) φ (t)dt. (22) 2π 0 ( = π ) 4 2π 0 dx 4 3 cos x = +t 2 ( 2dt 4 3 t2 0 0 dx 4 3 cos x, uvede smjen t = tg x 2 +t 2 ) = 0., td se S druge strne, f(x) = 4 3 cos x je pozitivn i neprekidn funkcij n [0, 2π], zto njen integrl mor biti pozitivn (v. teorem 0). Dkle, negdje je nstl grešk. (Smjen t = tg x 2 nije korektn, jer z x = π [0, 2π], nije ni definirn.).2.2 Primjen odre denog integrl Primjen odre denog integrl 5
Teorem.0. Nek je z y = f(x), x [, b] prv derivcij f (x) neprekidn funkcij n [, b] i Γ = (x, f(x)), x [, b]. Td se otvoren kriv y = f(x), x [, b] može rektificirti i dužin krive Γ L(f;, b), izržv formulom L(f;, b) = b + (f (x)) 2 dx. (23) Teorem.. Nek su ϕ(t)iψ(t), α t β, funkcije čije su prve derivcije neprekidne funkcije n [α, β]. Td se kriv Γ, odre den jednčinm x = ϕ(t), y = ψ(t), α t β može rektificirti. Još više, ko je ϕ(α) = i ϕ(β) = b, tj. ϕ ([α, β]) = [, b] R + {0}, njen dužin s(γ) iznosi s(γ) = β α ϕ 2 (t) + ψ 2 (t)dt. Nći obim jediničnog krug centrirnog u nuli. Površinski problem Sd se končno možemo vrtiti i nšem ntičkom problemu površine ispod krive! Nime površin ispod neke nenegtivne krive (do x-ose) n intervlu [, b] je jednk odre denom integrlu : P = b f(x)dx! Ukoliko se kriv nlzi ispod x ose, ond je površin iznd te krive n intervlu [, b] jednk P = b f(x)dx. Površinski problem Izrčunti površinu lik ome denog krivim y = x 2 + 4x + 5 i y = x 5..2.3 Nesvojstveni integrl Nesvojstveni integrl Nesvojstveni (ili neprvi) integrl je grničn vrijednost odre denog integrl, kd se jedn grničn tčk (ili obje grnične tčke) intervl integrcije približv/ju bilo nekom odre denom relnom broju ili + ili. 6
7
Slik : Nesvjostveni integrl u beskončnosti Prvi slučj je kd je desni krj intervl integrcije jednk + (slično i kd je lijevi krj intervl jednk : + f(x)dx = f(x)dx = b lim b + lim b b f(x)dx = f(x)dx = lim [F (b) F ()] b + lim [F () F (b)] b Drug mogućnost je kd funkcij im prekid u tčki x = c. Td posmtrmo b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx. No kko posmtrti te individulne integrle? U slučju prvog integrl: u slučju drugog b c c b = lim f(x)dx, ε 0 c+ε = lim ε 0 c ε dx x 2 f(x)dx 8
Slik 2: Nesvjostveni integrl s prekidom.3 Primjen integrl u ekonomiji Primjen integrl u ekonomiji Sjetimo se grničnih funkcij (prihod, troškov, dobiti, itd). One su bile definisne ko izvodi originlnih funkcij. Koristeći se integrlim, možemo nći ukupnu funkciju iz grnične funkcije! ukupn funkcij = grničn funkcij Zdn je funkcij grničnih troškov GT (Q) = Q(2 Q)e Q+0 i fiksni ukupni troškovi su nul F T = 0. ODrediti funkciju prosječnih troškov. Zdn je funkcij grničnih troškov GT (Q) = 8(Q 2), fiksni troškovi su 0, dok je funkcij potržnje dt ko funkcij cijene Q = p + 2. Izvesti funkciju ukupne dobiti. 9