Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt. eultă că devoltre î serie Luret î veciătte puctului =, v fi: f () c () Coeficietul c l termeului puctul sigulr = şi se oteă re(f; ). se umeşte reiduul fucţiei f() reltiv l Ţiâd sem de formul ce dă coeficieţii seriei Luret f () c d vem i ( ) Γ c f ()d () i Γ ude Γ este u cerc cu cetrul î puctul =, situt î coro circulră r, î cre f() este olomorfă. eiduul fucţiei f() se pote clcul totodtă cu jutorul devoltării î serie Luret fucţiei f() î jurul puctului =.
Elemete de lgebră, geometrie şi clcul tesoril.. Formule petru clculul reiduurilor Î cul î cre = este u pol multiplu de ordiul p, clculul reiduului se pote fce cu formul: Î prticulr, petru p =, vem: p p re(f,) lim[( ) f ()] (3) p! re(f,) lim[( )f ()] () g() Dcă simplificre cu (-) î formul () u este posibilă şi f (), ude h() g() şi h() sut olomorfe î - şi g() 0, h() 0,h () 0 tuci clculul reiduului se pote fce cu formul: g() re(f,) lim h() (5) eiduul uei fucţii î puctul de l ifiit (= ) este dt de relţi: re (f, ) f ()d (6) i Γ ude Γ este u cerc cu cetrul î origie şi de ră suficiete mre, petru c î eteriorul lui fucţi şă u ibă lte sigulrităţi decât puctul de l. Teorem reiduurilor (Cuchy) Dcă Γ este o curbă simplă îchisă rectificbilă, î iteriorul cărei fucţi uiformă f() re u umăr ifiit de pucte sigulre iolte,,...,, tuci:
Mtemtici specile şi metode umerice tuci 3 Γ f ()d i re(f, ) (7) Teorem. Dcă fucţi f() re u umăr fiit de pucte sigulre iolte, tuci sum reiduurilor cestei fucţii reltiv l tote puctele sigulre iclusiv puctul de l ifiit este ulă. Petru clculul uor itegrle defiite di domeiul rel cu jutorul teoremei reiduurilor procedăm î felul următor: ) Alegem o fucţie compleă f() cre pe relă se reduce l f(); b) Completăm itervlul de itegrre cu u rc de cerc (semicerc su cerc) petru obţie u cotur îchis; c) Aplicăm teorem reiduurilor; d) Evluăm vlore itegrlei pe drumul dăugt. Dcă drumul dăug este u rc de cerc, evlure itegrlei se pote fce ţiâd sem de următorele leme: Lem. Dcă AB este u rc de cerc cu cetrul î şi de ră r, ir f() o fucţie cotiuă îtr-o veciătte puctului, eceptâd evetul puctul, cre stisfce codiţi: lim f () tuci lim f ()d i( ) r 0 AB ude rg( ). Lem. Dcă AB este u rc de cerc cu cetrul î şi de ră, ir f() o fucţie cotiuă î eteriorul cercului cu cetrul î, eceptâd evetul puctul de l ifiit, cre stisfce codiţi: lim ( )f () (8) (9)
Elemete de lgebră, geometrie şi clcul tesoril ude rg( ). lim AB f ()d i( ) Lem 3. (Jord). Dcă f() o fucţie olomorfă î semicercul ( : y, y 0) şi tide uiform către ero câd, tuci i lim e f ()d 0( 0).. Itegrle cu teorem reiduurilor I. Itegrlele de form: P() Q() ude P şi Q sut două poliome cre îdepliesc codiţiile:. Q() 0 (u re rădăcii rele). + grd P() grd Q(), sut covergete. f() = Petru clculul cestor itegrle cu teorem reiduurilor legem P() şi coturul de itegrre Q() semicercul y, y 0. Eemplu : I d Γ AB ude A(,0), B(,0) d ir
Mtemtici specile şi metode umerice Avem îdepliite codiţiile: Q() 0 şi + grd P grd Q, deci itegrl este covergetă. Alegem di fig.. f () şi coturul de itegrre b r O r Figur Atuci Γ d Fucţi f () re poli simpli: di cre umi 0 5 d d cos isi, 0,,,3 cos isi şi coturului mărgiit de curb Γ. Aplicăm teorem reiduurilor vem: Γ dcă. d d 3 3 cos isi se flă î iteriorul d i[re(f, ) re(f, )] 0 Dcă trecem l limită î eglitte precedetă şi ţiem sem că lim f () 0
Elemete de lgebră, geometrie şi clcul tesoril şi de lem () reultă: Clculăm lim d d i[re(f, ) re(f, )] 0 re(f, ) lim 3 0 ( ) i lim 0 0 ( ) i re(f, ) lim lim 3 i i Î coseciţă I d i. II. Itegrlele de form: I si,cosd 0 ude (u,v) este o fucţie rţiolă se pot clcul cu teorem reiduurilor dcă se fce schimbre de vribilă e. Atuci si i i i i e e i i ir d ie d. cos i i e e Câd prcurge itervlul 0,, prcurge cercul o sigură dtă. C urmre I 0 si,cos d, d i i Fucţi fiid rţiolă u re lte sigulrităţi decât poli. Alegem pe cei cre sut î iteriorul cercului. 6 re(, ).
Mtemtici specile şi metode umerice Eemplu : I d 0 si devie: Efectuâd schimbre de vribilă e i,d ie i d itegrl dtă I 0 d si i i re 6 d i i f, 8 ref, 8 ref, d 6 Fucţi 6 re ptru poli, ir î cercul se flă polii Avem şi deci re f, re f, 3 8, 3 lim 3 lim 3 3 lim 3 8 3 8 3 8 3 lim 8 f, ref, re 8. 8 3 8 8 7
Elemete de lgebră, geometrie şi clcul tesoril I d si 0 8 8. III. Itegrlele de form: I F() cosd, J F() si d presupuse covergete se clculeă cu jutorul teoremei reiduurilor, luâd drept cotur de itegrre y, y 0 şi itegrl: K I ij Γ AB ude A(,0), B(,0) şi semicercul F()(cos isi )d F()e i Petru clculul itegrlei K pe coturul meţiot utiliăm fucţi: Eemplu 3: I i f () F() e. cos d 5 Petru clculul itegrlei I, sociem itegrl şi împreuă cu I vem: J si d 5 d K I ij i e d 5 Evidet ek=i şi ImK=J. Coturul de itegrre Γ AB ude A(-, 0),B(, 0) ir este semicercul y, y 0 (fig.). Clculăm itegrl 8 e d 5 Γ i
Mtemtici specile şi metode umerice Cre petru y = 0 se reduce l K. Avem e i d i d i Γ 5 5 e re(f, ) (0) Pe cercul fucţi deci g() stisfce relţi 5 lim g() lim dică g() tide uiform către ero câd Fucţi i lim 0, 5 g() şi 5 şi coform lemei (3) vem: i e d 0 5 e f () re polii i şi i, di cre umi 5 este î iteriorul domeiului mărgiit de Γ. Î coseciţă C urmre Γ re(f, ) lim i ( )e e ( i)e d i 5 i Trecâd l limită î () petru respective K i i e i e d 5 e I e ( i)e i e obţiem: i( i) i e i e [cos si (cos si )] [cos si icos si ] cos si ; J cos si e i 3. Aplicţii l reiduuri cu itegrle şi formule petru reiduuri 9
Elemete de lgebră, geometrie şi clcul tesoril 3.. Să se rte că: 3... d 6 3 3... 3..3. 3... d 0 d d b b 3 b b p 3..5. d, 0 p 0 si p vp 0 3..6. d cot, 0 3..7. 3..8. 3..9. l d 0 3 8 d 0 3 0 l d 3 d 3..0. ; 0 cos cos p 3... d, p 0 cos p p 3.. Aplicţii diverse 3.. ) Aplicâd formulele itegrle le lui Cuchy, clculţi itegrlele: 0
Mtemtici specile şi metode umerice. I cosh d, i C C i : I i cosh 3! 00 i i e. I d; C : y - 0 C 00 i 00 i e e : I i i sih i i i i 3.. b) Clculţi re(f, ) = reiduul fucţiei f() reltiv l puctul său sigulr (pol su puct sigulr eseţil iolt)... 3.. i e f () sih f () f () f () e 5. f () 3 e Soluţii:. i, Z sut poli de ordiul uu re f; e sih i e ( )e cosh(i) /
Elemete de lgebră, geometrie şi clcul tesoril este puct sigulr eseţil eiolt petru cre u se pue problem reiduului (Argumetre după problem 5). () i. e, 0, sut poli de ordiul uu şi pol de ordiul. re(f, ) e () i f () 0 re(f, ) dcă dcă 3... d d 3. = este pol de ordiul doi: re(f,) e e şi = 0 este puct sigulr eseţil iolt re(f,0) = e după cum se vede di devoltre: f () e...!!!......!. = i şi = -i sut poli de ordiul. d ref,i i! d ( )...( ) re(f, i) i ( )! 3...!! i i i... ( )...( ) i ( )! 5. = este puct sigulr eseţil iolt ir este pol de ordiul trei. Devoltâd î jurul puctului = obţiem:
3 f () ( ) 3 3 c!! 3! Deci re(f;) Mtemtici specile şi metode umerice!! re(f, ) re(f;)! Să vedem petru problem, de ce sih 0; e e - ( ) isuy 0 y. Deci petru i; sih 0;m. 3! ( ) 3... u este iolt. 6. Utiliâd teorem reiduurilor, clculţi itegrlele: d 6.. ; C : y - y -3 0 c cos Fucţi re o ifiitte de pucte sigulre (polii de ordiul uu, = 0, ( ) ; ( ) şi sigulritte eioltă, puctul limită de poli.) re(f, ) cos cos Î iteriorul coturului C vem polii: si 3 5,0,,i,i,i cu reiduurile:.,,,,, 3 5 Deci 3 I i. 5 3
6.. e d C Elemete de lgebră, geometrie şi clcul tesoril ) C: y 0 b) C : y Devoltâd î jurul lui =- obţiem: ) e e ( ) )...... e...! e! 3 re(f; ) C e 3 ; b) I ire(f; ) 6.3. cos d r = 0 este puct sigulr eseţil iolt. Clculăm re (f;0). cos!!... ( ) ()!.... Dcă,C 0. Petru, p. p C ( ) ( ) ( )!!! Deci ic. I
6.. I Mtemtici specile şi metode umerice si d i 3 C ) C: 3 ; b) C: i ; c) I C : Soluţii: = 0 pol dublu, =-i, =-3i poli simpli. ire(f,0) ire(f, i) ire(f, 3i). I b ire(f,0) I c 0. coform teoremei lui Cuchy. 6.5. Se cosideră coturul triughiulr C cre se obţie uid două câte două puctele: i, i,. Clculţi d ( ) c Soluţie: 3 f ()d ire(f; ) iref;i ire(f; ) ire(f; ) c i i 0 i. 0 0 5 0 y i o i Figur 5
6.6. Aplicţii: Elemete de lgebră, geometrie şi clcul tesoril. Dcă > 0, >, să se clculee: d ; 0; i I i ref(0) ref(i) ref(-i) ref (0) ref (i) f () 0 i, ( i) ( i) i d. 3 ( ) petru <, >. 3. Clculţi e I d, utiliâd reiduul lui f î puctul de l ifiit. : ( ) f () e...... c 0 I 0.!! cos. I d b i cos 0 Soluţie: cărei îi tşăm itegrl ulă J isi d b i cos I ij i e b i cos 6 d
Mtemtici specile şi metode umerice Notâd e i d, d, cos. i Pri îlocuire obţiem I ij bi d Î iteriorul cercului fucţi de itegrt re dor polul cu reiduul: eultă: 5. i re(f;) ib I ire i b i b b b i f; b si si I 5 cos Soluţie: Atşăm cu itegrl ulă d b b b si cos J 5 cos d Clculâd i e si J ii ii d. 5 cos 7
Elemete de lgebră, geometrie şi clcul tesoril Puâd e i d ii ire f; 5 8