ELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA

ELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA Cursul CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

STATISTICA DESCRIPTIVA Populate, Caracterstca dscreta, cotua Prezetarea datelor: tabele (frecvete), grafce (hstograme), dcator statstc (de localzare, de mprastere) Costrurea s utlzarea hstograme Varable aleatoare, dscrete s cotue Fuct de repartte, fuct de probabltate Repartt dscrete clasce, bomala, hpergeometrca, Posso Aplcat CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Populaţe statstcã, colectvtate statstcã, lot. Mulţmea elemetelor luate î studu U elemet al populaţe statstce se umeşte utate statstcã sau dvd statstc. Populat: fte, fte Populat: omogee, eomogee Caracterstcã, sau varablã Propretatea comuã tuturor utãţlor statstce provete dtr-o populaţe omogeã Caracterstc: cattatve, caltatve Caracterstc: dscrete, cotue CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Aplcaţa. U lot de bucse cu dametrul de 0±0, produse pr sterzare repreztã o populaţe statstcă omogeã. Mulţmea bucselor produse de SC Sterom SA îtr-o luã repreztã o populaţe eomogeã; Datele epermetele provete d mãsurarea forţe de aşchere la rectfcare repreztã o populaţe statstcã omogeã. Datele epermetale provete d mãsurarea regmulu de aşchere (s,t,v) la rectfcare repreztã o populaţe eomogeã. Eemple de caracterstc - cattatve - eprmate pr valor umerce- dmesue, greutate - caltatve - eprmate pr atrbute ca bu - defect; satsfãcãtor - esatsfãcãtor etc. Caracterstcle cattatve pot f - dscrete - umerele care le repreztã aparţ mulţm umerelor îtreg sau raţoale (umãrul de pese defecte dtr-u lot) - cotue - dacã îtr-u terval se poate obţe orce valoare realã petru caracterstcã - abater dmesoale, forta, testate.. CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Cercetare: - completa; - selectva (esato) Valoarea umercã a ue caracterstc cattatve refertoare la o utate statstcã se umeşte valoare observatã. Totaltatea valorlor observate formeazã datele epermetale - TABELE -GRAFICE PREZENTAREA DATELOR EXTERIMENTALE - INDICATORI STATISTICI CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Softur petru prelucrarea datelor epermetale EXCEL STATGRAF GNUPLOT Q-DAS CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Etapele prelucrar datelor epermetale Caracterstc dscrete s/sau cotue Achzta datelor (tabelul datelor prmare) Sortare (crescatoare/descrescatoare) Deterarea ampltud A Determarea umarulu de clase Determarea marm tervalulu Determarea frecvetelor Tabelul frecvetelor Trasarea hstograme (repartta frecveta) Calculul dcatorlor statstc CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Etapele prelucrar datelor epermetale Caract. Dscrete. Achzta datelor Tabelul Datelor Prmare 60 77 7 74 78 66 76 74 8 69 73 7 6 76 67 73 75 68 7 79 7 73 69 83 8 67 7 85 6 70 83 75 73 63 68 76 74 7 7 77 69 7 7 76 67 80 73 77 65 74. Sortare (crescatoare/descrescatoare) Tabelul Valorlor Ordoate 60 6 64 65 65 66 67 67 67 68 68 69 69 69 70 7 7 7 7 7 7 7 7 7 73 73 73 73 73 74 74 74 74 75 75 76 76 76 76 77 77 77 78 79 80 8 8 83 83 85 CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Etapele prelucrar datelor epermetale Caract. Dscrete 3. Deterarea ampltud A A5 A X ma X m 4. Deterarea umarulu de clase m + 3,3 lg 4. Relaţa lu H.A.Sturges 4. Relaţa lu H.B.Ma ş A. Wald petru >00 m 5 4 ( ) 4 4.3 petru >00 m CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Etapele prelucrar datelor epermetale Caract. dscrete 4. Deterarea umarulu de clase m + 3,3 lg 4. Relaţa lu H.A.Sturges 4. Relaţa lu H.B.Ma ş A. Wald petru >00 m 5 4 ( ) 4 4.3 petru >00 m CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Etapele prelucrar datelor epermetale Caract. Dscrete 5. Determarea marm subtervalulu ua/m5/55 6. Calculul frecvetelor 6. Frecveta absoluta 6. Frecveta relatva 6.3 Frecveta cumulata A a f a m a A a F c A c d a F c d A d CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Etapele prelucrar datelor epermetale Caract. Dscrete 7. Tabelul frecvetelor Itervalul de grupare Frecveţa absolutã a relatvã f absolutã crescãtoare A c Frecveţa cumulatã relatvã crescãtoare F c absolutã descrescãtoare A d relatvã descrescãtoare F d (60-65] 6 0, 6 0, 50,00 (65-70] 0, 7 0,34 44 0,88 (70-75] 0 0,40 37 0,74 33 0,66 (75-85] 9 0,8 46 0,9 3 0,6 (85-85] 4 0,08 50,00 4 0,08 Ampltude CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

0 5 0 5 Dagramele repartţe Hstograme 0, 0 0,4 0 0 0 0 40 60 0 5 0 5 0 Polgoul frecvetelor Dagrama crculara 5 0 5 0 0% 8% % 0% 4% 4% 3% CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Dagramele repartţe Frecveta Hstograme a f a45, f90,4% 60 65 70 75 80 85 6 < D < 8 6/53++0+9+4/545, CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Dagramele repartţe Frecveta Hstograme AC FC 60 65 70 75 80 85 CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Idcator statstc Tedte: - de localzare -de împrãştere Meda artmetca Meda geometrca Meda armoca Meda patratca Idcator de localzare M [ ] CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA M [ ] a M... g M a M p

Medaa e [( + ) / ] M M e ( / ) + ( + ) Mod, Modala - Valoare cetrala valoarea de pe abscsa care are frecveta mama X X c c X X ma f + + X sup m CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Propretãţ ş observaţ refertoare la dcator statstc de localzare. Petru repartţ umodale smetrce, abaterea medae faţã de meda artmetcã este egalã cu o treme d abaterea modulu faţã de meda artmetcã: M o M e 3. Petru repartţ umodale smetrce, abaterea medae faţã de meda artmetcã este egalã cu o treme d abaterea modulu faţã de meda artmetcã; 3. Medle artmetcã ş pãtratcã sut flueţate de valorle mar ale sere; 4. Medaa u este flueţatã de valorle etreme; 5. Medle geometrcã ş armocã sut flueţate de valorle mc ş reduc d flueţa valorlor mar; 6. Itre ce patru dcator a mede estã relaţa: M a < M g < < M CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA p

Idcator de mprastere Dsperse [] D ( M [ ] ) ( M [ ]) a [] ( M [ ]) D f D C [ ] D [] ( M [ ]) Abaterea mede patratca ( M [ ]) [] D M [ ] Ampltudea W ma CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA m

Itervalul tercuartlc a Itervalul tercuartlc X m Q Q Q 3 X ma Coefcet de varate tercuartlc q Q Q 3 Q Q Q 3 M e Coefcet de varate C [ ] D sau C v v M [ ] s CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Propretãţ ş observaţ refertoare la dcator statstc de mprastere:. Suma algebrcã a abaterlor faţã de meda artmetcã este egalã cu zero. Notâd abaterea valor de ordul I î raport cu meda artmetcã: ε Meda artmetcã a abaterlor este: ε ε ( ) 0 [] D ( M [ ] ) CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Propretãţ ş observaţ refertoare la dcator statstc de mprastere:. Suma abaterlor pãtratce are valoarea mmã atuc câd sut calculate î raport cu meda artmetcã. Cosderâd suma abaterlor pãtratce î raport cu valoarea arbtrarã 0. [ ] ( 0 ) ( ) ( 0 ) [ ] 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( 0 ) ( ) + ( ) ( 0 ) > ( ) CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA 0 0 0

CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA MOMENTE Momete absolute de ordul la care valorle sut cosderate î raport cu orgea Momete cetrate de ordul (la care valorle sut eprmate î raport cu o valoare arbtrarã) m f a m m ) ( M δ δ f ) ( a ) ( M δ δ δ ) ( M f ) ( a ) ( M [] D ) ( M

CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA [] m m m m m m M m m m m M m m M M 3 4 4 3 3 3 3 6 4 3 D 0 + + Corecta mometelor - Corecta Shepard Cauza abaterlor: gruparea pe clase & uformtate clasa ϖ ϖ ϖ 4 4 4 40 7 m m m m m + ω repreztã ampltudea tervalulu de grupare

Idcator petru asmetre ş aplatzare Coefcet de asmetre γ M M 3 3 / M 3 D [] 3 γ >0 γ 0 γ <0 Coefcet de aplatzare γ M M 4 3 M D 4 [] 3 γ <0 γ 0 γ >0 CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Tpur de fuct de repartte Repartte umodala Repartţe bomalã Repartţe atmodalã CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Varable aleatoare CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

VARIABILE ALEATOARE Varabla aleatoare este acea mãrme care î cadrul uu epermet poate lua o valoare ecuoscutã aprorc. Petru u şr de mãsurãtor, varabla aleatoare este o oţue care-l caracterzeazã d douã pucte de vedere: - caracterzare d puct de vedere cattatv - varabla aleatoare e dã formaţ prvd valoarea umercã a mãrm mãsurate - caracterzare d put de vedere caltatv - varabla aleatoare e dã formaţ prvd frecveţa de aparţe a ue valor umerce îtr-u şr. CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

VARIABILE ALEATOARE Varable aleatoare dscrete ( Z ) - umarul de pese defecte Varable aleatoare cotue ( Q, R ) - dmesuea uu semfabrcat,, 3,.. - srul valorlor masurate p, p, p 3,..p - probabltatea aparte valor X : p,, p,,...... p sau X : p, CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Aplcaţa. Se arucã u zar de 00 de or obţâdu-se petru cfra 0 aparţ, petru cfra 8 aparţ petru cfra 3 0 aparţ petru cfra 4 aparţ petru cfra 5 5 de aparţ petru cfra 6 5 aparţ. Probabltatea aparţe cfrelor,,...,6 este: 0 P() 00 P( 4 ) 00 Tabloul repartţe este 0,0P( ) 0,P( 5 ) 8 0 0.8P( 3 ) 0,0 00 00 5 5 0,5P(6 ) 0,5 00 00 X : 0,0 0,8 3 0,0 4 0, 5 0,5 6 0,5 CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Probabltatea Frecveta relatva 0,5 5% p f 0,0 0,8 0% 8% 0,5 0,0 0% 0, % 5% Fucte de repartte 3 4 5 6 P ( X ) P( ) p p CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Probabltatea evemetulu X<., X X : p P(X<)? : 0,0,, p 0,8..., + p,... p + p +... + p 3 0,0 0, 0,5 P(<X<5) P(X) + P(X3) + P(X4) 6 0,5 Evemete compatble s depedete P(<X<5) p + p3 + p4 Varabla aleatoare 4 5 CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA probabltate probabltate 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,8 0,6 0,4 0, 0 3 4 5 6 varabla 0 4 6 8 varabla

Fucte de probabltate F( ) P( X ) P( X ) P( p F( ) P( X ) ). Varable aleatoare cotue Fucte de repartte P(X<) se cteşte probabltatea ca X sã fe cel mult egal cu. F( ) P( X < ) f ( )d F' ( )d Fucta de probabltate f ( ) lm 0 F( + ) F( ) F' ( ) CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

f() f() f()d F(), 0,8 0,6 0,4 0, 0 0,5 0,8 0 0, 0,88 0,7-5 0 5 0 Elemet de probabltate - asmptotã dreapta F()0; - asmptotã dreapta F(); - fucţe strct crescãtoare; petru < F( )<F( ) frecveta 30 0 0 F( ) P( X < ) f ( )d 0 As Ttle CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

3. Aparteeţa ue varable aleatoare la u terval dat Se cuoaste: fucta de repartte F(), f() Se cere: P(a X b). f() P(a X<b) - A - evemetul X<b; - B - evemetul X<a; -C -evemetul a X b. a b B ş C sut compatble AB U C P ( A ) P( BU C ) P( B ) + P( C ) CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

P ( X < b ) P( X < a ) + P( a X < P ( a X b ) P( < b ) P( X < P( a X < b ) F( b ) F( a ) P( a X < b ) b f ( )d a Fuct de repartte f ( )d b ) a ) b a f ( )d Fuct de repartte dscrete - bomala (cu toarcere) - hpergeometrca (fara toarcere) - Posso Fuct de repartte cotue - ormala (Gauss - Laplace) - Studet - χ - Fscher CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA Repartta bomala Dtr- lot format d N bucat se etrag cosecutv fara a pue pesa etrasa la loc pese. - p coefcetul de rebut; probabltatea de-a etrage o pesa defecta - q coefcetul de pese bue; probabltatea de-a etrage o pesa bua Repartta bomala s se etrage o sgura pesa p q C p q C p q C p q C p q C 0 0 0............ 0 p q 0 s se etrag doua pese p qp q 0 s se etrag pese

Fucta de repartte P( X ) P( ) C p q 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 P() 0,749 p4% 0 0,0583 0,00647 0,00056 0 0 3 4 5 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 P() 0 p4% p0% p6% p8% 0 4 6 8 0 Fucte de probabltate P( ) F( ) P( ) C 0 0 p q CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Idcator statstc Meda M[X], µ, X [ ] M X p 0 Mod M o ( p q ) < M o < ( p + p ) Dspersa D[X], σ, S D [ X ] p( p ) pq p q Abaterea stadard σ, s σ pq m M [ X ] pm D[ X ] Momete m, M M 3 pq( q p )M q p Asmetra γ γ pq 4 pq pq( 6 pq + 3pq ) 6 pq Ecesul γ γ CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro pq Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Aplcata.3 Dtr-u lot de 400 de bucat, cu u coefcet de rebut de 5% se etrag cosecutv fara a pue pesa etrasa la loc 3 pese. Sa se costruasca varabla aleatoare a umarulu de pese defecte Sa se a decza de acceptare sau respgere a lotulu CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Repartta hpergeometrca Dtr-u lot format d bucat se etrag cosecutv pud pesa etrasa la loc m pese. - p coefcetul de rebut; probabltatea de-a etrage o pesa defecta - a umarul de pese defecte ap* - q coefcetul de pese bue; - b umarul de pese bue Fucte de probabltate P( X ) P( ) C ac C m b m Fucte de repartte P( X ) F( ) C m C 0 a m b CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Meda M[X], µ, X M [ X ] p mp Mod M o pm q + m + Daca >> m < pm + p + m + M o < + pm q < M < pm + q 0 m mpq m >> m D X D[ X ] Dspersa D[X], σ, S Daca [ ] mpq CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

Aplcata.4 Dtr-u lot de 00 de bucat, cu u coefcet de rebut de 4% se etrag cosecutv pud de fecare data pesa etrasa la loc 3 pese. Sa se costruasca varabla aleatoare a umarulu de pese defecte Sa se a decza de acceptare sau respgere a lotulu CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

4. Repartta Posso Fucte de probabltate - destate de aparte & meda apartlor petru p<0, s p>5 Fucte de repartte P( P( P( X X X ) P( ) ) P( ) e µ 0 ( λt)!! e λ t µ ( p ) p ) e µ! e µ 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 P() 0,303 0,0758 0,0005 0,063 0,00 0,00003 0 3 4 5 6 7 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 P() u0,5 0 5 0 5 0 CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA u u u5

CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA Meda M[X], µ, X [ ] 0 e p X M µ µ µ µ Mod M o ) M o µ µ < < Dspersa D[X], σ, S [ ] µ X D Abaterea stadard σ, s µ σ Momete m, M µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 4 3 3 3 3 M M M 3 m m m + + + + Asmetra γ µ γ Ecesul γ µ γ

STATISTICA DESCRIPTIVA Populate, Caracterstca dscreta, cotua Prezetarea datelor: tabele (frecvete), grafce (hstograme), dcator statstc (de localzare, de mprastere) Costrurea s utlzarea hstograme Varable aleatoare, dscrete s cotue Fuct de repartte, fuct de probabltate Repartt dscrete clasce, bomala, hpergeometrca, Posso Aplcat CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA