Eletrotehniči faultet Univerziteta u Beogradu Milan Tadić Predavanja iz vantne mehanie Beograd, 011.
Predgovor Predgovor I izdanju Ovaj test predstavlja beleše sa predavanja na II delu predmeta Kvantna mehania oje je autor držao u tou šest nedelja u letnjem semestru 005/006. godine studentima II godine Odsea za fiziču eletroniu Eletrotehničog faulteta u Beogradu. Dati test je nastao ao rezultat želje da se prezentovana materija na času učini razumljivijom studentima. Autor je svestan nesavršenosti, prisutnih tipografsih grešaa i mogućih boljih formulacija prezentovane teorije. Svaa sugestija pažljivog čitaoca u smislu unapredenja testa je dobro došla. Preferirani udžbeni za izradu materijala za ovaj deo ursa je bio: B. H. Bransden, J. C. Joachain, Introduction to quantum mechanics, Longman, 1989., mada su orišéni delovi neih drugih udžbenia. Treba primetiti da su u prezentovanom materijalu vetori označeni boldiranim slovima i da su orišćene standardne oznae za matrične elemente u vantnoj mehanici. Autor smatra da je bilo aav materijal za pripremu ispita bolji od niavog i nada se da će prezentovani materijal pomoći studentima da laše savladaju ispit i da ih uvede u interesantnu oblast vantne mehanie i njenih primena. Bez osnovnih znanja iz ove oblasti fizie je pratično nemoguće pratiti savremene fundamentalne i primenjene discipline, ao što su fizia nanostrutura i nanosistema, nanoeletronia, optoeletronia i vantno računarstvo. Beograd, 14.6.006. Prof. dr Milan Tadić 3
4 Predgovor II izdanju U ovom izdanju pripremljenom za slušaoce ursa u šolsoj 006/007. godini, dodata su dva nova poglavlja o interacijama eletromagnetsog zračenja sa vantnim sistemom i numeričom rešavanju Šredingerove jednačine. S obzirom na uvećanu materiju, za nee oblasti oje su obradene u ovom ursu, nije bilo dovoljno vremena, tao da nisu ni tretirane na časovima. Taode, ispravljene su uočene štamparse greše. Studentima se preporučuje da onsultuju svoje beleše sa predavanja, ao bi utvrdili oja je materija ispredavana i oja će, dale, biti ispitivana. Beograd, 10.7.007. Autor Predgovor III izdanju U ovom izdanju za slušaoce ursa Kvantna mehania u letnjem semestru šolse 007/08. godine dodata su poglavlja o operatorima reacije i destrucije i neolio poglavlja oja se odnose na primenu vantne mehanie na nanostruture. Taode, u Dodatu je objašnjena Diraova bra-et notacija i prezentovana matrična reprezentacija vantne mehanie. Autor je uočio neonzistentnost uočavanja vetora u neim poglavljima masnim slovima, a u drugim vetorsom strelicom. Ova isprava je ostavljena za naredno izdanje. Beograd, 09.6.008. Autor Predgovor IV izdanju IV izdanje je pripremljeno za slušaoce ursa u šolsoj 009/10. godini. U ovom izdanju su zadaci izdvojeni u posebnu Zbiru zadataa. Pored toga, dat je doaz Hajzenbergove relacije
5 neodredenosti. Zbog nedostata vremena da se obrade sve predvidjene celine po programu, numeričo rešavanje Šredingerove jednačine se sada obraduje u ursu Nanotehnologije i nanoomponente, gde se slušaoci upućuju na onretan rad iz oblasti modelovanja nanostrutura. Beograd, 10.6.010. Autor Predgovor V izdanju V izdanje je pripremljeno za slušaoce ursa u šolsoj 010/11. godini. Dodate su napomene o operatoru projecije, superponiranim stanjima, uneolio je izmenjeno izvoddenje po WKB metodu i otlonjene su uočene greše. Beograd, 6.6.011. Autor
6
1 Preliminarna razmatranja 1. Diraova notacija Prema Diraovoj bra-et notaciji salarni proizvod talasnih funcija se piše u formi: ψ 1 ψ = ψ1ψ dv. (1) Ovde je uzeto da se radi o trodimenzionom integralu, za slučaj talasne funcije oja zavisi od tri prostorne oordinate. Za druge slučajeve, funcije oja zavisi od dve oordinate ψ(x, y) i jedne oordinate ψ(x) treba umesto dv pisati ds = dxdy i dx. Integracija je po relevantnom domenu, tj granice integracije nisu esplicitno označene. Ao je talasna funcija definisana u celom prostoru tada su sve granice sva integrala od (, + ). Za jednostavniji slučaj talasne funcije zavisne samo od x oordinate i onfiniranja čestice u besonačno dubooj potencijalnoj jami širine d, domen integracije, za oordinatni početa na mestu jednog od dva besonačna soa potencijalne energije, je [0, d]. Salarni proizvod pruža osnov da se definišu et: ψ = ψ () i bra: ψ 1 = ψ1. (3) Dale, et i bra mogu da stoje razdvojeno i tada označavaju talasnu funciju datog stanja i njenu onjugovano omplesnu vrednost nezavisno od reprezentacije talasne funcije (na primer, oordinatna ili impulsna). Delovanje proizvoljnog bra χ na proizvoljni et η predstavlja instruciju da se sprovede integracija proizvoda χ η po relevantnom prostoru: χ η = χ ηdv. (4) 7
8 1. Preliminarna razmatranja Lao se može ustanoviti da važe sledeći identiteti: ψ 1 ψ = ψ ψ 1, (5) ψ 1 cψ = c ψ 1 ψ, c = const, (6) cψ 1 ψ = c ψ 1 ψ, c = const, (7) ψ 3 ψ 1 + ψ = ψ 3 ψ 1 + ψ 3 ψ. (8) Pored toga, ao su funcije ψ 1 i ψ ortogonalne: ψ 1 ψ = 0. (9) Taode, uslov normiranja talasne funcije ψ je: ψ ψ = 1. (10) Očeivana (srednja) vrednost dinamiče promenljive A u stanju opisanom talasnom funcijom ψ n (u oznaci A ) je: A = ψ n  ψ n. (11) Često u oznaci et neog stanja stoji samo vantni broj datog stanja: umesto ψ n često se samo piše n : A = n  n. (1) Za n-to svojstveno stanje hamiltonijana, energije E n, očeivana vrednost je upravo E n, tao da je: E n = ψ n Ĥ ψ n = n Ĥ n. (13) U teoriji se pored očeivane vrednosti, pojavljuju i integrali oblia: ψ n Ô ψ m = n Ô m = ψ nôψ mdv, (14) oji se nazivaju matrični elementi (izmedu stanja n i m, za dati slučaj). Očeivana vrednost je poseban slučaj matričnog elementa za n = m. Razlog za naziv matrični element navedenog integrala će biti dat u poglavlju o matričnoj reprezentaciji u vantnoj mehanici. Može se poazati da etu:  ψ (15) odgovara bra: ψ Â. (16)
1.. Diraova notacija 9 Ovo bra znači: 1) delovanje operatora  na nei et (talasnu funciju); ) množenje sa ψ i 3) integraciju po relevantnom domenu da bi se odredio traženi matrični element. Posmatrajmo matrični element: ψ  χ. (17) Označimo: f =  ψ (18) i g = ψ  (19) Ovde f = f, a g = g. Za dati matrični element: ( ψ  χ = g χ = ψ  χdv = (Âψ) χdv = χ ÂψdV ) = χ  ψ = chi f = f χ. (0) Ovo znači da etu  ψ odgovara bra ψ Â. Drugim rečima, važi: ψ  χ = χ  ψ. (1) Kao primer, razmotrimo matrični element ψ   ψ. Ao označimo sa g = Âψ: ψ   ψ = ψâ gdv = (Âψ) gdv = g gdv = g g, () što demonstrira da etu  ψ odgovara bra ψ  (uporedi prvi i poslednji član ovog niza jednaosti). Ao je operator oji figuriše  = Ĥ u matričnom elementu hermitsi (na primer hamiltonijan, Ĥ = Ĥ ), tada etu Ĥ ψ (3) odgovara ψ Ĥ, (4) što znači: ψ Ĥ χ = χ Ĥ ψ. (5) Navedena veza izmedu et i bra, omogućava da se pojednostave matrični elementi. Na primer, ao je poznato: Ĥψ = Eψ, (6) ali χ nije svojstvena funcija hamiltonijana Ĥ: ψ Ĥ χ = χ Ĥ ψ = E χ ψ = E ψ χ. (7) Efetivno, ispada za ovaj primer ao da se hermitsi operator orene prema bra u matričnom elementu i deluje na njega.
10 1. Preliminarna razmatranja. Matrična reprezentacija talasnih funcija Posmatramo ompletan sup ortonormiranih funcija ψ n ( ψ m ψ n = δ mn ), gde je n ceo nenegativan broj, a ψ n su funcije oordinata u sladu sa dimenzionalnošću Šredingerove jednačine. Uzmimo da ovih funcija ima N. Ove funcije formiraju bazis ili reprezentacju {ψ n }. Proizvoljna talasna funcija χ može se razviti u red formiran od bazisnih funcija: 1 χ = n c n ψ n. (8) Za dati sup bazisnih funcija ψ n, brojevi c n potpuno odreduju talasnu funciju χ. Drugim rečima, oeficijenti c n predstavljaju χ u reprezentaciji {ψ n }. Sup funcija {ψ n } je analogan supu ortogonalnih osa (na primer Deartovog oordinatnog sistema), tj ψ n funcije su analogne jediničnim vetorima osa. Brojevi c n su analogni algebarsim vrednostima intenziteta projecija datog vetora na pojedine ose. Slično, c n ψ n su analogni omponentama vetora duž pojedinih osa. Posmatrajmo delovanje linearnog hermitsog operatora na talasnu funciju χ: η = Âχ. (9) Rezultat je funcija eta. Ova funcija se može odrediti orišćenjem istog bazisa: η = n d n ψ n. (30) Koeficijenti razvoja d n se u opštem slučaju razliuju od oeficijenata razvoja funcije χ, c n. Podsetimo se ao se može odrediti algebarsa vrednost projecije neog vetora duž date ose. Na primer, x omponenta vetora položaja je: x = e x r. (31) Slično se može odrediti oeficijent razvoja talasne funcije d m : ψ m η = n d n ψ m ψ n. (3) S ozbirom da su funcije ortogonalne, ψ m ψ n = δ mn, tao da je: d m = ψ m η. (33) Odredimo sada vezu izmedu oeficijenata u razvoju funcije η i funcije χ: d m = ψ m X = ψ m Â Ξ = n c n ψ m  ψ n. (34) 1 Prisetiti se razvoja proizvoljne periodične funcije u Firijeov red.
.. Matrična reprezentacija talasnih funcija 11 Veza izmedu oeficijenata d i oeficijenata c može se pisati u obliu: d m = n A mn c n. (35) Ao se ovaj postupa sprovede za različite vrednosti m, ova veza se može pisati u matričnoj formi: d 1 A 11 A 1... A 1N c 1 d A = 1 A... A N c......., (36). A N1 A N... A NN c N d N odnosno: d = Ac, (37) gde d i c predstavljaju vetore oji sadrže oeficijente d n i c n, respetivno, do je A matrica oja povezuje ove oeficijente. Element matrice A je: A mn = ψ m  ψ n. (38) ψ m  ψ n je matrični element operatora  u bazisu {ψ n}. Jednaost d = Ac je evivalentna η = Aχ, što znači da sup matričnih elemenata A mn (odnosno matrica A), potpuno odreduju operator Â. Bazis {ψ n} može da sadrži onačan broj funcija N, ali može biti i besonačan, ada N. Bazis {ψ n }, dale, služi ao osnov za matričnu reprezentaciju talasnih funcija. Pri tome, talasnu funciju predstavljaju oeficijenti razvoja (espanzije) c n, a proizvoljni linearni operator  predstavlja matrica A. Prema matričnoj reprezentaciji, salarni proizvod dve talasne funcije svodi se na salarni proizvod dva vetora: η χ = n c n η ψ n = m d mc n ψ m ψ n = n m d mc n δ mn = n n d nc n = d c, (39) gde je: d = (d T ) (40) transponovani i onjugovani vetor d, tj vrsta oja sadrži elemente d m. Broj matričnih reprezentacija talasnih funcija i operatora je besonačan, jer ima besonačno mnogo supova ortonormiranih funcija. Posmatrajmo sada Šredingerovu jednačinu: ĤΨ = EΨ (41) i razvijmo nepoznatu (stacionarnu) svojstvenu funciju Ψ po (poznatim) bazisnim funcijama: Ψ = n c n ψ n. (4)
1 1. Preliminarna razmatranja Množenje Šredingerove jednačine sa ψ m i integracija po relevantnom prostoru daje: c n n ψ mĥψ ndv = E n c n ψ mψ n dv. (43) Pomoću Diracove bra-et notacije, uzimajući u obzir ortonormiranost bazisnih funcija, ova jednačina se može pisati: ψ m Ĥ ψ n c n = Ec m. (44) Ao se ovaj postupa sprovede za sve ψ m, rezultat se može pisati u matričnoj formi: n Hc = Ec, (45) gde je c olona oeficijenata razvoja, a H je Hamiltonova matrica, čiji su elementi oblia: H mn = ψ m Ĥ ψ n = n Ĥ m. (46) Problem rešavanja Šredingerove jednačine, tj odredivanja svojstvenih energija i svojstvenih funcija svodi se na problem odredivanja svojstvenih vrednosti i svojstvenih vetora matrice Hamiltonove matrice H. Traženje svojstvenih vrednosti i svojstvenih vetora je načešće moguće učiniti numeriči, do su analitiča rešenja moguća za mali broj bazisnih funcija. U opštem slučaju, potrebno je matricu H dijagonalizovati, što se svodi na primenu unitarne transformacije bazisnih funcija. Ova transformacija se svodi na množenje neom unitarnom matricom. Unitarne matrica U ima osobinu: U 1 = U. (47) Pomoću ove matrice: c = Uc. (48) Za nove oeficijente, jednačina ima obli (U U = I, I je jedinična matrica): H = UHU c = Ec. (49) Uz pogodan izbor unitarne matrice U, matrica H može biti dijagonalna. U numeričom postupu, dijagonalizacija matrice se sprovodi iterativno. Na raju postupa dijagonalizacije, matrica H ima dijagonalnu formu iz oje se diretno mogu pročitati svojstvene vrednosti: to su vrednosti na glavnoj dijagonali matrice H. Rezultat dijagonalizacije je N svojstvenih vrednosti energije E i, i = 1,,..., N i N svojstvenih vetora c (i), i = 1,,..., N. Posmtrajmo dva stanja, čije su svojstvene funcije Ψ 1 i Ψ : Ψ 1 = n c (1) n ψ n, (50)
3.. Operator projecije 13 i Ψ = n c () n ψ n. (51) Sve funcije moraju biti normirane. Za talasnu funciju Ψ 1, na primer, uslov normiranja se svodi na: Ψ 1 Ψ 1 = m n c (1) m c (1) n ψ mψ n dv = m n c (1) m c (1) n δ mn = c (1) n = 1. (5) Dale, suma vadrata modula oeficijenata espanzije jednaa je 1. Uslov ortogonalnosti dva stanja se svodi na: Ψ Ψ 1 = m n c () m c (1) n ψ mψ n dv = m n c () m c (1) n δ mn = n c () n c (1) n = 0. (53) U matričnoj formi, uslov ortogonalnosti dva stanja je: c () c (1) = c () c (1), (54) gde je c () = c () = (c ()T ), (55) c (1) = c (1). (56) 3. Operator projecije Posmatramo disretni ortonormirani bazis {ψ n }. Karateristia ovog bazisa je ψ m ψ n = δ mn. Definišimo operator: ˆP = ψ n ψ n. (57) Ovaj operator projetuje proizvoljno stanje na et ψ n. Na primer, za proizvoljnu funciju χ, oja se može predstaviti razvojem: χ = n c n ψ n, (58) ˆP χ = ψ n ψ n χ = ψ n χ ψ n = c n ψ n. (59) S obzirom da važi: χ = n ψ n ψ n χ, (60) lao se dobije da je: ψ n ψ n = 1. (61) Ova relacija izražava ompletnost seta bazisnih funcija {ψ n }. n
14 1. Preliminarna razmatranja 4. Superponirana stanja U vantnoj mehanici važi princip superpozicije (Schrödingerova jednačina je linearna diferencijalna jednačina). Prema ovom principu, so su ψ 1 i ψ svojstvene funcije dva stanja, proizvoljna linearna ombinacija ovih talasnih funcija αψ 1 +βψ je taode moguće stanje. Superponirana stanja se esperimentalno verifiuju pomoću interferencionih efeata. Opšte je poznato da se marosopsi objeti ne nalaze u superponiranim stanjima. Na primer, mača (Schrödingerova mača) ne može biti u stanju oje je superpozicija dva stanja: biti živ i biti mrtav. S druge strane, vantna mehania dozvoljava proizvoljnu superpoziciju stanja. Merenjem se, medutim, mogu uočiti samo stanja oja čine superponirano stanje. Dale, vantno Šredingöreova mača može biti u superponiranom stanju, ali interacija sa mernom opremom dovodi do dva rezultata: živ ili mrtav. Interesantna posledica superpozicije stanja je vantno uvezivanje. To je arateristia vantnog stanja, oje je ombinacija stanja dva sistema oji su neada interagovali, ali su zatim razdvojeni i ne nalaze se u odredenom stanju. Stanje oba sistema olapsira u odredeno svojstveno stanje ada se izvrši merenje na jednom od sistema. 5. Heisenbergova relacija neodredjenosti Posmatramo dve dinamiče promenljive A i B. Srednje vrednosti ove dve fiziče veličine su: A = Â = ψ Â ψ, (6) Definišimo neodredenost ao vadratni oren iz srednje vadratne disperzije: B = ˆB = ψ ˆB ψ. (63) A = B = (Â Â ), (64) ( ˆB ˆB ). (65) Treba obratiti pažnju da je u ostatu ursa, A (slično i B) definisano ao odstupanje od srednje vrednosti, do samo ovde A ima značenje standardne devijacije, tj vadratnog orena srednjeg vadratnog odstupanja. Poazaćemo da je: A B 1 ] [Â, ˆB. (66) Drugim rečima, poazaćemo da je proizvod neodredenosti dve dinamiče promenljive veći ili jedna polovini apsolutne očeivane vrednosti dinamiče promenljive oja je predstavljena omutatorom operatora posmatranih dinamičih promenljivih. Najpre ćemo uvesti hermitse operatore: Â = Â Â, (67)
5.. Heisenbergova relacija neodredjenosti 15 ˆB = ˆB ˆB. (68) Dale, vadrati neodredenosti veličina A i B su: ( A) = Â, (69) ( B) = ˆB. (70) Pored ove dve osobine, može se poazati da je: [Â, ˆB ] = [Â, ˆB]. (71) Uvedimo linearni, ali nehermitsi operator: Ĉ = Â + iλ ˆB, (7) gde je λ realna vrednost. Adjungovani operator je (Â i ˆB su hermitsi operatori): Ĉ = Â iλ ˆB. (73) Srednja vrednos ĈĈ je: ĈĈ = ψ ĈĈ ψ = ψĉĉ ψdv = (Ĉ ψ) C ψdv = g dv 0, (74) gde je g = Ĉ ψ. Ovo smo mogli jednostavnije doazati na osnovu prethodnih rezultata za vezu izmedu bra i et: ĈĈ = ψ ĈĈ ψ = ψ Ĉ g = g Ĉ ψ = g g = g g. (75) S druge strane: f(λ) = ĈĈ = (Â + iλ ˆB )(Â iλ ˆB ) = Â + λ ˆB iλ[â, ˆB ]. (76) Na osnovu (69), (70) i (71) sledi: f(λ) = ( A) + λ ( B) iλ [Â, ˆB[ 0. (77) f(λ) je, dale, realno i nenegativno, što znači da [Â, ˆB] ima imaginarne vrednosti. Minimum funcije f(λ) je u: Vrednost funcije u minimumu je: λ 0 = i [Â, ˆB] ( B). (78) f(λ 0 ) = ( A) + 1 [Â, ˆB] 4 ( B) 0. (79)
16 1. Preliminarna razmatranja Množenjem ovog izraza sa ( B), sledi: ( A) ( B) 1 4 [Â, ˆB], (80) odnosno: A B 1 [Â, ˆB]. (81) Za par anonsi onjugovanih promenljivih važi: [Â, ˆB] = i, (8) odale sledi: [Â, ˆB] = i, (83) odnosno: A B. (84) Ovo je Hajzenbergova relacija neodredenosti. Na primer, za par anonsi onjugovanih promenljivih (x, p x ): x p x. (85) Ova relacija nameće inherentna ograničenja na merenja. Po ovoj relaciji, ne može se realizovati stanje u ome se znaju i položaj (x) i oličina retanja (p x ) istovremeno sa proizvoljnom tačnošću.
Kvantovanje linearnog harmonijsog oscilatora Posmatramo česticu oja se reće u potencijalu oblia ao na slici. U oolini x = 0 potencijal se može razviti u Tejlorov red: U(x) = U(0) + 1 1! du dx x + 1 x=0! d U dx x... (1) x=0 S obzirom da potencijal ima minimum u tači x = 0, ao se zadržimo do drugog stepena po x: U(x) = 1 x. () Svai sistem od oga je potencijalna energija ovavog oblia naziva se linearni harmonijsi oscilator (LHO). Klasično, učestanost oscilacija ovavog sistema je ω = /m. Sl. 1. Potencijal oji se za male energije (male oscilacije) u lasičnoj mehanici može aprosimirati parabolom. 17
18. Kvantovanje linearnog harmonijsog oscilatora Sl.. Potencijal LHO. Šchrödingerova jednačina za česticu je: d ψ m dx + 1 mω x ψ = Eψ (3) Uolio se ova jednačina pomnoži sa m/, dobija se: ( d dx + me m ω ) x ψ = 0. (4) Uvedimo smene: E = E ω = E/( ω/), (5) ξ = αx, (6) gde je: Uz zamenu (6): α = mω. (7) d dx = dξ d dx dξ = α d dξ. (8) Ponavaljanjem ovog postupa za drugi izvod se dobija: d d = α dx dξ. (9) Uz smene (6) i (5): me = m ω E = α E (10)
19 Prema tome, Šredingerova jednačina dobija obli: ) (α d dξ + α E α 4 ξ α ψ = 0, (11) odnosno: d ψ dξ + ( E ξ ) ψ(ξ) = 0. (1) Ao posmatramo slučaj x (ξ ), član E se može zanemariti u odnosu na deo od potencijala, pa diferencijalna jednačina ima obli: ( d dξ ξ ) ψ(ξ) = 0. (13) Zadržavajući samo najviši stepen ξ, može se poazati da rešenje ima formu: ψ(ξ) = ξ p e ±ξ /. (14) Od dva znaa u argumentu esponencijalne funcije, samo je zna fiziči opravdan. Za proizvoljnu vrednost oordinate, fiziči opravdano rešenje se može pisati u formi ψ(ξ) = C n e ξ / H(ξ), (15) gde je H(ξ) polinom, ao što će biti poazano, a C n je normalizaciona onstanta. Formirajmo jednačinu po H(ξ), zamenom pretpostavljenog rešenja u jednačinu (1). Prvi izvod ψ je: ψ (ξ) = C n e ξ / H (ξ) + C n ( ξe ξ / )H(ξ) = C n e ξ / (H (ξ) ξh(ξ)). (16) Drugi izvod je oblia: ψ (ξ) = C n e ξ / ( ξ)(h (ξ) ξh(ξ)) + C n e ξ / (H (ξ) H(ξ) ξh(ξ) ), (17) odnosno: ψ (ξ) = C n e ξ / [ H (ξ) ξh (ξ) + (ξ 1)H(ξ) ] (18) Zamenom u jednačinu (1), dobija se: C n e ξ / [H (ξ) ξh (ξ) + (E 1)H(ξ)] = 0. (19) Prema tome, mora biti zadovoljena diferencijalna jednačina H (ξ) ξh (ξ) + (E 1)H(ξ) = 0, (0) oja se naziva Hermitova diferencijalna jednačina. S obzirom da je potencijal parna funcija oordinate, sva stanja se mogu lasifiovati ao parna i neparna. Razmotrimo najpre parna stanja.
0. Kvantovanje linearnog harmonijsog oscilatora 1. Parna stanja Za ovaj slučaj H(ξ) je parna funcija oordinate ξ, tj H(ξ) = H( ξ). (1) H(ξ) sadrži samo parne stepene ξ: Prvi izvod ove funcije po ξ je: H(ξ) = c ξ = H( ξ). () =0 H (ξ) = c ξ 1. (3) =0 Ovde se početna vrednost brojača može postaviti na 0, jer prvi član u sumi ne daje niaav doprinos. Drugi izvod je: H (ξ) = c ( 1)ξ. (4) =0 Zamenom oblia funcije H(ξ), njenog prvog i drugog izvoda u diferencijalnu jednačinu (0), dobijamo: =0 [ ( 1)c ξ ( 1) 4c ξ + (E 1)c ξ ] = 0. (5) Treba primetiti da je prvi član različit od nule = 1. U prvom sabiru možemo zameniti 1, pa sledi: [( + 1)( + 1)c +1 + (E 1 4)c ] ξ = 0. (6) =0 Odavde sledi reurentna relacija za oeficijente c : Za, c +1 = što je odnos pri razvoju u Tejlorov red funcije e ξ : 1 + 4 E ( + 1)( + 1) c. (7) e ξ = c +1 c 1, (8) =0 1! ξ. (9) Prema tome, uolio red ima besonačno mnogo članova, svojstvena funcija bi imala obli: ψ(ξ) e ξ / (30) i dale ne bila ograničena u ξ ±. Zaljučujemo da red mora biti onačan, što znači da su svi oeficijenti u opštem c 0, N, ali c N+1 = 0. (31)
.. Neparna stanja 1 Da bi ovo bilo ispunjeno, energija mora imati disretne vrednosti (treba zameniti N u razlomu ispred c u (7)): E = 4N + 1, N = 0, 1,,.... (3). Neparna stanja Neparna stanja se mogu predstaviti polinomom: H(ξ) = d ξ +1, (33) =0 pri čemu je d 0 0. Slično ao za parna stanja, dobija se: d +1 = Ao se red preine na = N, tao da je d N+1 = 0, sledi 4 + 3 E ( + 1)( + 3) d. (34) E = 4N + 3, N = 0, 1,,... (35) Zajedno se relacije i za parna i za neparna stanja mogu pisati ao E = n + 1, n = 0, 1,, 3,... (36) Zamenom E E: ( E n = ω n + 1 ). (37) Ovde se parno n odnosi na parna stanja, a neparno n na neparna stanja. Svojstvene funcije su oblia ψ n (ξ) = C n H n (ξ)e ξ /. (38) H n je Hermiteov polinom n-tog reda, oji se računa na osnovu: H n (ξ) = ( 1) n e ξ dn dξ n (e ξ Neolio prvih Hermiteovih polinoma ima obli H 0 (ξ) = 1, H 1 (ξ) = ξ, ). (39) H (ξ) = 4ξ (40) H 3 (ξ) = 8ξ 3 1ξ Izgled prvih neolio Hermiteovih polinoma i talasne funcije ψ n (ξ) su dati na slici....
. Kvantovanje linearnog harmonijsog oscilatora Sl. 3. Hermiteovi polinomi i svojstvene funcije LHO. Apscisa se odnosi na promenljivu ξ. Najniža vrednost energije je E 0 = ω/ i naziva se energija nultih oscilacija. U lasičnoj mehanici minimalna energija je jednaa nuli. Energija nultih oscilacija je vantni fenomen i povezana je sa Heisenbergovom relacijom neodredenosti. Spetar se sastoji od besonačnog broja disretnih stanja (jer je jama besonačno duboa). Po lasičnoj mehanici, sve energije LHO-a su dozvoljene. svojstvena funcija osnovnog stanja je Gasuova riva (gausijan): ψ 0 e ξ. ; u svaom svojstvenom stanju čestica egzistira od do +, do su moguće vrednosti oordinate čestice u lasičnoj mehanici ograničene na oblast izmedu povratnih tačaa ([ x 0, x 0 ]; videti prvu sliu u ovoj glavi). Na raju odredimo normalizacionu onstantu na osnovu uslova normiranja: ψ n ψ n = 1, (41) što se svodi na: C n + e ξ H n(ξ)dξ 1 α = 1 (4)
3.. Reurentne relacije svojstvenih funcija LHO 3 Integral 1 + e ξ Hn(ξ)dξ = n n! π, (43) Odavde sledi: C n α n n! π = 1, (44) odale sledi: C n = 4 mω π 1 n n! (45) Konačno, normirane svojstvene funcije LHO imaju obli: ψ n (ξ) = 4 mω π 1 n n! e ξ / H n (ξ). (46) 3. Reurentne relacije svojstvenih funcija LHO Na osnovu reurentnih relacija za Hermiteove polinome mogu se izvesti reurentne relacije svojstvenih funcija LHO Prva tava relacija je: ξh n (ξ) = nh n 1 (ξ) + 1 H n+1(ξ) (47) Pomnožimo ovu jednačinu sa C n e ξ / : ξc n e ξ / H n (ξ) = nc n e ξ / H n 1 (ξ) + 1 C ne ξ / H n+1 (ξ). (48) Uočimo da je: C n = C n 1 / n. (49) Dale, nc n = n/c n 1. (50) Slično je: C n = (n + 1)C n+1. (51) Dale, ξc n e ξ / H n (ξ) = n/c n 1 e ξ / H n 1 (ξ) + 1 (n + 1)Cn+1 e ξ / H n+1 (ξ). (5) S obzirom da je: ψ n (ξ) = n/ψ n 1 + (n + 1)/ψ n+1. (53) 1 Videti Abramowitz, Stegun, Handboo of mathematical functions, Dover, 1965.
4. Kvantovanje linearnog harmonijsog oscilatora Ovo je I reurentna relacija svojstvenih funcija LHO. od: Pored ove reurentne relacije, može se izvesti i reurentna relacija za prvi izvod talasne funcije, polazeći dh n dξ = nh n 1 (ξ). (54) Pomnožimo ovu jednačinu sa C n e ξ /. Lao se dobije: C n e ξ / dh n dξ = nc n e ξ / H n 1. (55) Prvi izvod ψ n po ξ je: dψ n dξ = d dξ (C ne ξ / H n (ξ)) = C n ( ξ)e ξ / H n (ξ) + C n e ξ H n(ξ). (56) Odavde je: C n e ξ H n(ξ) = ψ n + C n ξe ξ / H n (ξ). (57) Koristeći C n = C n 1 /sqrtn, lao se dobije: ψ n = ξψ n (ξ) + n C n 1 n e ξ / H n 1, (58) odnosno: ψ n = ξψ n (ξ) + nψ n 1. (59) Koristeći I reurentnu relaciju, sledi: ψ n = Ovo je II reurentna relacija svojstvenih funcija LHO. n n + 1 ψ n 1 ψ n+1. (60) 4. Višedimenzioni linearni harmonijsi oscilator Posmatramo retanje čestice u potencijanoj jami oblia: U(x, y, z) = 1 m ( ω xx + ω yy + ω zz ). (61) Ao je ispunjeno: ω x = ω y = ω z (6) oscilator je izotropan, inače je anizotropan.
4.. Višedimenzioni linearni harmonijsi oscilator 5 Stacionarna Šredingerova jednačina ima obli: Ao ovu jednačinu podelimo sa ψ(x, y, z) dobijamo: ψ(x, y, z) + m [E U(x, y, z)] ψ(x, y, z) = 0. (63) 1 ψ(x, y, z) ψ(x, y, z) + me m ( ω x x + ωyy + ωzz ) = 0. (64) Uvedimo smene: mωx ξ = x, (65) mωy η = y, (66) mωz ζ = z. (67) Zamenom u jednačinu (64) dobija se: Funcija se može fatorizovati: 1 m ψ(ξ, η, ζ) + me (ω x ξ + ω y η + ω ) z ζ ψ(ξ, η, ζ) m ( ωx ξ + ω y η + ω z ζ ) = 0. (68) ψ(ξ, η, ζ) = X(ξ)Y (η)z(ζ), (69) pri čemu energiju pišemo u obliu: E = E x + E y + E z. (70) Šredingerova jednačina dobija obli: ( m ω x ( m + ω y ( m + ω z 1 X(ξ) 1 Y (η) 1 Z(ζ) d X(ξ) dξ d Y (η) dη d Z(ζ) dζ + me x + me y + me z mω ) x ξ ) mω y η mω z ζ ) = 0. (71) S obzirom da izrazi u zagradama zavise od različitih promenljivih, svai izraz mora ponaosob biti jedna nuli (ili onstanti, ali tao da zbir onstanti bude jedna nuli; lao se da zaljučiti da vrednost svojstvene energije ne zavisi od ovog izbora). Dale za x pravac: m ω 1 x X(ξ) d X(ξ) dξ i slično za y i z. Ova jednačina se može dovesti na formu: + me x mω x ξ = 0 (7) d X dξ + ( E x ξ ) X(ξ) = 0, (73)
6. Kvantovanje linearnog harmonijsog oscilatora Sl. 4. Stepen degeneracije izotropnog 3D LHO. gde je: ao je već uradeno u tretmanu jednodimenzonog LHO. Rešenje za E x je: E x = E x ω x, (74) ( E x = n x + 1 ). (75) Svojstvena vrednost energije je: Slično je: E x,nx = E y,ny = E z,nz = ( n x + 1 ) ω x. (76) ( n y + 1 ) ω y, (77) ( n z + 1 ) ω z. (78) Svojstvene vrednosti energije 3D LHO su: ( E nx,n y,n z = E x,nx + E y,ny + E z,nz = ω x n x + 1 ) ( + ω y n y + 1 ) ( + ω z n z + 1 ). (79) Ao je oscilator izotropan (ω x = ω y = ω z ): E nx,n y,n z ( = ω n x + n y + n z + 3 ), (80) ili ( E n = ω n + 3 ), n = 0, 1,, 3,... (81) Osnovno stanje ima energiju 3 ω/ i nedegenerisano je, do su viša stanja degenerisana, ao je dato na slici. Uočava se da je stepen degeneracije: d = (n + 1)(n + ). (8)
5.. Operatori reacije i destrucije 7 Sl. 5. Stepen degeneracije izotropnog D LHO. Za izotropni dvodimenzioni oscilator u xy ravni se slično dobija: E nx,n y = ω (n x + n y + 1), (83) ili E n = ω (n + 1), n = 0, 1,, 3,... (84) Šema degeneracije stanja je data na slici. Za datu vrednost vantnog broja n, stepen degeneracije ima vrednost n + 1: d = n + 1, (85) ao što je priazano na slici. Svojstvene funcije D linearnog harmonijsog oscilatora su date izrazom: ψ nx,n y (ξ, η) = 4 m ω x ω y π H nx (ξ)h ny (η) n x+n ynx!n y! e (ξ +η )/. (86) 5. Operatori reacije i destrucije Posmatramo hamiltonijan 1D LHO: Ĥ = ˆp m + 1 mωˆq. (87) Ovde q označava proizvoljnu oordinatu, a p njoj pridruženi linearni moment, odnosno impuls. Ove dve veličine čine par anonsi onjugovanih promenljivih. Definišemo bezdimenzioni operator â i njemu adjungovani operator â : â = 1 m ω (mωˆq + iˆp), (88)
8. Kvantovanje linearnog harmonijsog oscilatora â = 1 m ω (mωˆq iˆp). (89) Operator â se naziva operator destrucije, a operator â je operator reacije. Operatori oordinate i linearnog momenta se mogu pisati: ˆq = mω (â + â), (90) m ω ˆp = i (â â). (91) Operatori â i â imaju jednostavne osobine i vrlo su orisni u primenama, ali ne predstavljaju dinamiče opservable (merljive veličine). Proizvod operatora destrucije i reacije je: gde smo oristili: ââ = 1 (ˆp + mωˆq + imωˆpˆq imωˆqˆp ) = m ω Ĥ ω imω [ˆq, ˆp] = Ĥ m ω ω + 1, (9) [ˆq, ˆp] = i. (93) Taode se može poazati da je: â â = Ĥ ω 1. (94) Na osnovu poslednje dve jednaosti: [â, â ] = ââ â â = 1. (95) Označimo ψ n = n. Schrödingerova jednačina za LHO postaje: ( Ĥ n = ω â â + 1 ) ( n = ω ââ 1 ) n = ω (ââ + â â ) n = E n n. (96) Množenje s leva ovog izraza sa â daje: ω(â â â + 1 â ) n = E n â n. (97) Ovde zamenimo â â = ââ 1: odnosno: ) ω (â ââ â + 1â n = E n â n, (98) ( ω ââ + 1 ) â n = (E n + ω)â n. (99) S obzirom da inetiča i potencijalna energija od LHO moraju biti pozitivne, lao se zaljuči da postoji ograničenje za energijse nivoe sa donje strane. Na osnovu: Ĥâ 0 = (E 0 ω)â 0, (100)
5.. Operatori reacije i destrucije 9 Sl. 6. Ilustracija dejstva operatora reacije i destrucije. sledi: â 0 = 0. (101) S obzirom da je: ( Ĥ = ω â â + 1 ), (10) za stanje 0 : Ĥ 0 = ω(â â 0 + 1 0 ) = 1 ω 0 = E 0 0. (103) Odavde sledi: E 0 = ω. (104) Za stanje n : Ĥ n = E n n. (105) S obzirom da je: E n = E n 1 + ω, (106) lao se zaljuči: E n = ( n + 1 ) ω. (107) Na osnovu oblia hamiltonijana: ( Ĥ = ω â â + 1 ), (108) može se definisati operator broja: ˆn = â â. (109)
30. Kvantovanje linearnog harmonijsog oscilatora Stanje â n je svojstveno stanje LHO sa svojstvenom vrednošću E n + ω. Označimo novo stanje sa C n n+1 : C n n + 1 = â n, (110) gde je C n normalizaciona onstanta. Slično se može poazati: C n n 1 = â n, (111) Zaljučujemo da je â odgovoran za reaciju vanta energije ω, â je odgovoran za uništavanje (destruciju) vanta energije ω, ao što je ilustrovano na slici. Odredimo obli normalizacione onstante. Stanja n moraju biti normirana, tj n 1 n 1 = n n = n + 1 n + 1 = 1. (11) Množenjem: C n n 1 = â n (113) s leva sa C n n 1 odnosno n â : C n n 1 n 1 = n â â n = n ˆn n = n n n. (114) Sledi: C n = n, (115) odnosno: â n = n n 1. (116) Može se poazati da je: â n = n + 1 n + 1. (117) Operatori reacije i destrucije čine osnov za teoriju seundarnog vantovanja u vantnoj mehanici.
3 Kretanje čestice u stacionarnom eletromagnetsom polju Eletromagnetso polje je opisano pomoću vetora eletričnog polja K(r, t) i vetora magnetsog polja B(r, t). Alternativno se opis može izvršiti pomoću eletričnog potencijala ϕ(r, t) i magnetsog vetor potencijala A(r, t). Veza izmedu potencijala i polja je poznata iz lasične eletrodinamie: K = ϕ A t, (1) B = rota = A. () Funcije ϕ i A nisu potpuno odredene. Ao se učine transformacije: ϕ ϕ + φ(t) (3) i A A + f(r), (4) gde su φ(t) i f(r) proizvoljne funcije, polja se ne menjaju. Ovo predstavlja invarijantnost u odnosu na izbor alibracije u lasičnoj eletrodinamici, u ojoj je retanje čestice naeletrisanja q opisano jednačinom: m dv dt do je u vantnoj mehanici potrebno rešiti Šredingerovu jednačinu: = qk + q(v B), (5) Ĥψ = Eψ. (6) 31
3 3. Kretanje čestice u stacionarnom eletromagnetsom polju Može se poazati da u eletromagnetsom polju hamiltonijan ima obli: Ĥ = ˆΠ + qϕ, (7) m gde je ˆΠ = ˆp qa. (8) ˆΠ se naziva mehaniči (inematsi) moment, do se ˆp = i naziva anonsi moment. Nestacionarna Šredingerova jednačina za retanje eletrona u eletromagnetsom polju ima obli: i ψ [ ] ( i qa) t = + qϕ ψ. (9) m Ovaj jednačina važi za proizvoljnu zavisnost A i ϕ od prostornih oordinata i vremena, tj A = A(r, t); ϕ = ϕ(r, t). (10) Posmatraćemo samo stacionarni slučaj, tj A = A(r), ϕ = ϕ( r). Za ovaj slučaj važi stacionarna Šredingerova jednačina: [ ( i qa) m ] + qϕ ψ = Eψ. (11) Koristeći: ( i qa) = ( i qa)( i qa) = + iq A + iq A + q A = + iq A + iq ( A) + q A. (1) Ovde smo oristili: Aψ = ψ( A) + A( ψ). (13) Stacionarna Šredingerova jednačina, uz A = diva, dale, ima obli: ( iq m A iq diva q A ) ψ + qϕψ = Eψ. (14) Ovo je najopštiji obli stacionarne Šredingerove jednačine za retanje čestice u stacionarnom eletromagnetsom polju. Ao se čestica nalazi samo u eletričnom polju A = 0, pa je: m ψ + qϕψ = Eψ. (15)
1.. Landauovi nivoi 33 1. Landauovi nivoi Posmatramo česticu u magnetsom polju orijentisanom duž z ose, tj K = 0, (16) gde je B = const. Za Landauovu alibraciju: B = Be z, (17) A = Bye x, (18) ili pri čemu ćemo ovde oristiti prvi obli. Za ovaav izbor potencijala važi da je: A = Bxe y, (19) A = 0, (0) što predstavlja uslov za Kulonovu alibraciju, široo orišćenu u tretmanu optičih prelaza. Ovo znači da je Landauova alibracija specijalni slučaj Kulonove alibracije. Osim toga: Diferencijalna jednačina za ψ dobija obli: A ψ = By ψ x. (1) ( ψ m x + ψ y + ψ z + iq ψ By x q B ) y ψ = Eψ. () Ovo je modifiovana Šredingerova jednačina u ojoj figuriše prvi parcijalni izvod po x. Član sa y se ponaša ao parabolični potencijal, do nema potencijala duž z ose. Rešenje gornje jednačine biramo u obliu: ψ(x, y, z) = e i(xx+zz) η(y), (3) gde je zavisnost od z oblia e izz posledica nezavisnosti potencijala od z oordinate (slično vantnoj žici), a deo e i xx je pretpostavljen. Zamena ovog rešenja u jednačinu () dovodi do jednačine oblia: ( m xη zη + d η dy q xb yη q B ) y η = Eη. (4) Koristeći činjenicu da je: x + q xb y + q B ( y = x + qby ). (5)
34 3. Kretanje čestice u stacionarnom eletromagnetsom polju jednačina (4) dobija obli d η m dy + m ( ) qb y + x η(y) = (E E z ) η(y). (6) Ovde je: E z = z m. (7) Uvedimo novu promenljivu: ỹ = y + qb x (8) Na osnovu ove zamene, može se pisati: ( ) qb y + x = ( ) qb ỹ = 1 lb 4 ỹ. (9) gde l B označava magnetsu dužinu l B = qb. (30) Definišimo cilotronsu (Larmorovu) učestanost ω c = qb m. (31) Moguće je poazati da je: 1 l 4 B = q B = m ω c = α 4 c, (3) gde je: α c = α(ω = ω c ) = mω c /. (33) Prema tome, Šredingerova jednačina postaje: d η m dỹ + 1 mω c ỹ η = (E E z )η, (34) Ovo je Šredingerova jednačina za LHO, pa su svojstvene vrednosti: ( E = ω c n + 1 ) + z, n = 0, 1,,.... (35) m Ove svojstvene vrednosti se nazivaju Landauovi nivoi. Landauovi nivoi imaju disperziju u funciji x i z, pri čemu je disperzija parabolična duž z a onstantna duž x, ao na sliama. Dalje je: η n ( ξ) = 4 mωx π 1 n n! e ξ / H n ( ξ), (36)
1.. Landauovi nivoi 35 Sl. 1. Disperzione relacije Landauovih nivoa. gde je jer je: ξ = ỹ l B, (37) mωc α c = = 1 l B. (38) Za odredenu energiju energiju E n postoji besonačno mnogo talasnih funcija za x (, + ). Uupna talasna funcija za odredene vrednosti x i z je: ψ(x, y, z) = e i( xx+ z z) η(y), (39) pa vadrat modula talasne funcije zavisi samo od y oordinate: ψ(x, y, z) = η (y). (40) Verovatnoća nalaženja čestice u elementarnoj zapremeni dv = dxdydz je: dp = ψ(x, y, z) dω. (41) x = Gustina verovatnoće je dale: ρ(x, y, z) = ψ(x, y, z) + x = + ηn( x, y)d x = ηn(y + x lb)d x. (4)
36 3. Kretanje čestice u stacionarnom eletromagnetsom polju Zamena ỹ = y + l B x uz dỹ d x = l B. (43) Prema tome: ρ = 1 + lb η (ỹ)dỹ = 1 lb. (44) Ovde je orišćena činjenica da je η(ỹ) normirana, na isti načina ao η(y), jer je ỹ samo pomeren u odnosu na y: Ovo znači da je elementarna verovatnoća + η (y)dy = + η (ỹ)dỹ = 1. (45) dp qb dω, (46) što predstavlja činjenicu da su sve tače ravnopravne u homogenom magnetsom polju.
4 Približne metode u vantnoj mehanici U vantnoj mehanici postoji usa lasa problema oji se mogu rešiti egzatno, pa se oriste približne metode. Mi ćemo u ovom ursu tretirati samo aprosimativne metode za disretna stanja. Aprosimativne metode za ontinualna stanja su tema vantne teorije sudara. Sve metode se prema obliu Hamiltonijana mogu lasifiovati na vremensi nezavisne i vremensi zavisne. Vremensi nezavisne metode su: teorija perturbacija nezavisnih od vremena; varijacioni metod; WBK metoda. Vremensi zavisna metoda je: teorija perturbacija zavisnih od vremena. 1. Teorija perturbacija nezavisnih od vremena Pretpostavimo da se hamiltonijan sistema oji ne zavisi od vremena može pisati u formi: Ĥ = Ĥ0 + λĥ, (1) gde je Ĥ0 neperturbovani hamiltonijan, a Ĥ hamiltonijan perturbacije (poremećaja). Pretpostavimo da je neperturbovani hamiltonijan dovoljno jednostavan, tao da se vremensi nezavisna Šredingerova jednačina može egzatno rešiti: Ĥ 0 ψ (0) n = E (0) n ψ (0) n. () 37
38 4. Približne metode u vantnoj mehanici Realni parametar λ služi za razliovanje različitih redova perturbacionog računa. Ao je λ = 0, tada Ĥ = Ĥ0, a za λ = 1, Ĥ = Ĥ0 + Ĥ. Svojstvene funcije neperturbovanog problema formiranu potpun sup ortonormiranih funcija, za oji dale važi: ψ (0) i ψ (0) j = δ ij. (3) Pretpostavljamo da su svojstvene vrednosti nedegenerisane i da je perturbacija slaba. Perturbacija je slaba ao je perturbovana svojstvena energija E n najbliža E n (0), a ne neoj drugoj svojstvenoj energiji. Dale, E n = λ 1 E (0) n, (4) Procenu za energiju pravimo razvojem po različitim redovima perturbacije: ψ n = λ 1 ψ (0) n. (5) E n = ψ n = =0 =0 Zamenimo ovu formu rešenja u Šredingerovu jednačinu, što daje: λ E () n, (6) λ ψ () n. (7) (Ĥ0 ( ) + λĥ ) ψ n (0) + λψ n (1) + λ ψ n () +... ( ) ( ) = E n (0) + λe n (1) + λ E n () +... ψ n (0) + λψ n (1) + λ ψ n () +.... Izjednačimo oeficijente s leve i desne strane oji stoji uz isti stepen λ: (8) λ 0 : Ĥ 0 ψ (0) n = E (0) n ψ (0) n (9) λ 1 = λ : Ĥ 0 ψ (1) n + Ĥ ψ (0) n = E (0) n ψ (1) n + E (1) n ψ (0) n (10) λ : Ĥ 0 ψ () n + Ĥ ψ (1) n = E (0) n ψ () n + E (1) n ψ (1) n + E () n ψ (0) n. (11) Član uz λ 0 se odnosi na neperturbovani problem. 1.1. Teorija perturbacija I reda Član uz λ 1 se može pisati u formi: ψ (0) n Ĥ0 E (0) n ψ (1) n + ψ (0) n Ĥ E (1) n ψ (0) n = 0. (1) S obzirom da je operator Ĥ0 hermitsi, sledi: ψ (0) n Ĥ0 ψ (1) n = ψ (1) n Ĥ0 ψ (0) n = E (0) n ψ (1) n ψ (0) n = E (0) n ψ (0) n ψ (1) n. (13)
1.. Teorija perturbacija nezavisnih od vremena 39 Prema tome, Svojstvene funcije neperturbovanog problema su normirane: ψ (0) n Ĥ0 E (0) n ψ (1) n = 0. (14) ψ (0) n ψ (0) n = 1, (15) pa sledi: E (1) n = ψ (0) n H ψ (0) n = H nn. (16) Korecija prvog reda energije nedegenerisanog stanja je, dale, očeivana vrednost Ĥ u datom neperturbovanom stanju. Da bi se odredile nepoznate talasne funcije, prema Rajli-Šredingerovom metodu, reši se neperturbovana jednačina za sve svojstvene vrednosti i svojstvene funcije. Nepoznate funcije ψ (1) n razviju se u red po neperturbovanim svojstvenim funcijama. po teoriji perturbacija I reda ψ (1) n = c (1) n ψ(0). (17) Zamenimo ovaj razvoj u: Ĥ 0 ψ (1) n + Ĥ ψ (0) n = E (0) n ψ (1) n + E (1) n ψ (0) n. (18) Dale: (Ĥ0 E n (0) ) c (1) n ψ(0) + (Ĥ E n (1) )ψ n (0) = 0. (19) Pomnožimo s leva ovu jednačinu i integralimo po relevantnim oordinatama ( ψ m (0) dv ). Sledi: ψ m (0) Ĥ0 ψ (0) }{{} E (0) δ m c (1) n c (1) n E(0) n ψ m (0) ψ (0) } {{ } δ m (0) + ψm Ĥ ψ n (0) E n (1) ψ m (0) ψ n (0) = 0. (0) Prema tome: E (0) m c (1) nm E (0) n c (1) nm + H mn E (1) n δ mn = 0. (1) Ovde je: H mn = ψ (0) m Ĥ ψ (0) n. () Za m = n, dobijamo: E (1) n = H nn, (3) što je već izvedeno. Za m n: c (1) H mn nm =. (4) E n (0) E m (0)
40 4. Približne metode u vantnoj mehanici Odavde sledi potreban uslov za primenu teorije perturbacija I reda: Treba primetiti: n E (0) 1. (5) H mn E (0) m na osnovu ovog računa, ne može se dobiti c (1) nn; stanja ne mogu biti degenerisana, jer c (1) nm divergira za E (0) n E (0) m 0. Prema tome, svojstvene energije i svojstvene funcije su u oviru teorije perturbacija I reda bez degeneracije odredene sa: 1.. Teorija perturbacija II reda E n = E (0) n + E (1) n = E (0) n + H nn, (6) ψ n = ψ n (0) + ψ n (1) = ψ n (0) + H mn ψ (0) m n E n (0) E m (0) m. (7) Po teoriji perturbacija II reda, računaju se poprave I i II reda energije i svojstvenih funcija. Koristimo već izvedeni izraz: Pomnožimo ovu jednačinu sa ψ (0) n Ĥ 0 ψ () n + Ĥ ψ (1) n = E (0) n ψ () n + E (1) n ψ (1) n + E () n ψ (0) n. (8) i integralimo po relevantnim oordinatama: ψ (0) n dv Ĥ0ψ () n E (0) n ψ () n + Ĥ ψ (1) n E (1) n ψ (1) n E () n ψ (0) n = 0 (9) Sledi: ψ (0) n Ĥ0 E (0) n ψ () n + ψ (0) n Ĥ E (1) n ψ (1) n E () n = 0. (30) Na osnovu hermitivnosti Hamiltonijana H 0 : ( ψ () n ψ n (0) Ĥ0 ψ n () = ψ n (0) Ĥ 0 ψ n () dv = ) Ĥ 0 ψ n (0) dv = E n (0) ψ n () ψ n (0 = E n (0) ψ n (0) ψ n () (31) sledi da je prvi sabira u (30) jedna nuli, pa dobijamo: E () n = ψ (0) n Ĥ E (1) n ψ (1) n. (3) S obzirom da je ψ (1) n = c(1) n ψ(0), E n () = c (1) n ψ(0) n Ĥ ψ (0). (33)
1.. Teorija perturbacija nezavisnih od vremena 41 Ao označimo sa H n = ψ(0) n Ĥ ψ (0), lao se dobije: E () n = c (1) n H n E n (1) c (1) nn = c (1) n H n. (34) n reda: Da bismo odredili popravu za funcije II reda, uvedimo razvoj, ao smo radili od teorije pertubacija I ψ () n = c () n ψ(0). (35) Da bismo izračunali c () n ψ (0) formirajmo matrične elemente: m dv (Ĥ0 E n (0) ) c () n ψ(0) + (Ĥ E n (1) ) c (1) n ψ(0) E n () ψ n (0) = 0. (36) Kao i od teorije perturbacije I reda, na osnovu ortonormiranosti svojstvenih funcija neperturbovanog problema, lao se dobija: (E (0) m E (0) n )c () nm + H mc (1) n E(1) n c (1) nm E n () δ mn = 0. (37) Ao je m = n, sledi: E () n = H nc (1) n H nnc (1) nn. (38) Ovde smo oristili E (1) n = H nn. Prema tome, iz sume u gornjoj relaciji treba oduzeti deo sa matričnim elementom H nn. Ovo je posledica arbitrarnosti onstante c (1) nn, ao što će dole biti ilustrovano. Dale, ponovo dobijemo relaciju za popravu svojstvenih vrednosti energije II reda: E () n = n H nc (1) n. (39) Koristeći napred izvedeni izraz za oeficijent c (1) n, dobija se: E () n = n H n H n. (40) E n (0) E (0) S obzirom da je H n = H n : E n () = n H n E (0) n E (0) (41) Svai član u sumi efetivno opisuje prelaz iz neperturbovanog stanja n u stanje i nazad u stanje n. Na osnovu poslednjeg izraza može se zaljučiti da je orecija drugog reda osnovnog stanja uve negativna (E (0) 1 E (0) < 0 za svao 0). Za m n, ao izdvojimo iz H m član H mn: c () nm = 1 E (0) n E (0) m n H m H n E (0) n E (0) H nnh mn (E n (0) E m (0) ) + H E (0) mn n E (0) m c (1) nn. (4)
4 4. Približne metode u vantnoj mehanici S obzirom da perturbacione jednačine ne odreduju c (j) nn, ovi oeficijenti nemaju uticaj na fiziču realnost. Postoji više načina da se odrede ovi oeficijenti. Prvi način je da se perturbovana talasna funcija normira do reda λ j. Po teoriji perturbacija prvog reda: ψ n ψ n = ψ (0) n + λψ (1) n ψ (0) n + λψ (1) n (43) Zadržavajući se na prvom stepenu po λ: ψ (0) n ψ (1) n + ψ (1) n ψ (0) n = 0. (44) S obzirom da je: ψ (1) n = c (1) n ψ(0), (45) na osnovu ortonormiranosti ψ (0) funcija lao se dobija: c (1) nn + c (1) nn = 0. (46) Ovo znači da: do imaginarni deo c (1) nn nije odreden. Re(c (1) nn) = 0, (47) Ao oristimo teoriju perturbacija II reda, pored ovog uslova, mora biti ispunjeno: ψ (0) n ψ () n + ψ (1) n ψ (1) n + ψ () n ψ (0) n = 0. (48) Koristeći: ψ (1) n = c (1) n ψ(0), (49) i ortnormiranost ψ (0) ψ (1) n ψ (1) n = lao se dobija: c (1) n ψ (0) c n ψ (0) dv = c (1) n c (1) n ψ (0) ψ (0) } {{ } δ = c (1) n. (50) Pored toga: i ψ n (0) ψ n () = c () n ψ n (0) ψ (0) dv } {{ } δ n = c () nn (51) ψ () n ψ (0) n = ψ (0) n ψ n () = c () nn. (5)
1.. Teorija perturbacija nezavisnih od vremena 43 Prema tome, po teoriji perturbacija II reda, da bi funcija bila normirana do reda λ, mora biti: c () nn + c () nn + }{{} Re(c () nn) c (1) n = 0. (53) Imaginarni deo c () nn se ne može odrediti jer množenje sa e iα, gde je α realan broj ne menja ψ. Imaginarni delovi c () nn teorije. Za teoriju perturbacija drugog reda je: se mogu postaviti da su svi jednai nuli do onog reda, olii je red perturbacione Im(c (1) nn) = 0 c (1) nn = 0, (54) c () nn = 1 n c (1) n. (55) Drugi način je da se usvoji c (j) nn = 0 do reda perturbacije. Po teoriji perturbacija I reda, oba predložena načina daju isti rezultat. Po drugom načinu, funcije se normiraju na raju računa. Ao se usvoji c (1) nn = 0, c () nn = 0, svojstvene energije su po teoriji perturbacija II reda: a svojstvene funcije: E n = E n (0) + E n (1) + E n () = E n (0) + H nn + n H n E (0) n E (0), (56) ψ n = ψ n (0) + ψ n (1) + ψ n () = ψ n (0) + H mn ψ (0) m n E n (0) E m (0) m + m n n H m H n (E n (0) E m (0) )(E n (0) E (0) ) H nnh mn (E n (0) E (0) m ) ψ (0) m. (57)
44 4. Približne metode u vantnoj mehanici
5 Varijacioni metod 1. Osobine osnovnog stanja sistema Posmatramo disretna stanja vremensi nezavisnog jednodimenzionog Hamiltonijana. Izaberemo proizvoljnu vadratno integrabilnu funciju f ( f dx onačan), na oju deluje hamiltonijan Ĥ.1. Srednja vrednost energije (srednja vrednost hamiltonijana) u stanju opisanom funcijom f je: E = f Ĥ f f f. (1) Pretpostavimo da je f f = 1. Funciju f razvijemo u bazis oji čine svojstvene funcije disretnih stanja (rešenja svojstvenog problema Ĥψ = Eψ), za oje pretpostavljamo da su poznate: f = c ψ, () pri čemu je: Ĥψ = E ψ. (3) Koeficijent c se nalazi na osnovu: ψ f = c ψ ψ, (4) tj tj: ψfdx = c ψψ dx = c, (5) }{{} δ c = ψfdx. (6) 1 Ova funcija se u varijacionom metodu naziva varijaciona ili probna funcija 45
46 5. Varijacioni metod S obzirom da je funcije normirana: f f = f f = f fdx = c c ψψ dx = }{{} δ c = 1. (7) Srednja vrednost energije je: E = Dalje se ovaj izraz može pisati: ( c ψ )Ĥ( c ψ )dx = c ψ c E ψ dx. (8) E = c c E ψ ψ dx = }{{} δ c E (9) Ao su svojstvene energije poredane u niz: E 1 < E <... (10) sledi: E = c E c E 1 = E 1 c. (11) Sledi, dale: E E 1. (1) E zavisi od izbora varijacione funcije f i naziva se funcional energije. Do procene za energiju osnovnog stanja može se, dale, doći pomoću proizvoljne vadratno integrabilne funcije. Procenjena vrednost za energiju je veća ili jednaa energiji osnovnog stanja. Ao je izabrana funcija f svojstvena funcija osnovnog stanja tada funcional E ima vrednost energije osnovnog stanja. Ao je c 1 = 1, a c = 0; > 1, sledi: E = E 1, (13) jer je f = ψ 1. Ao je c 1 = 0, c 0,, E = c E c E = E c = E. (14) = = = Ovo znači da ao je f ortogonalno na ψ 1 (c 1 = ψ 1 f = 0), tada je E E.
.. Ricova teorema 47. Ricova teorema Posmtramo funcional energije (srednju vrednost hamiltonijana): E (f) = f Ĥ f f f. (15) Definicija. Funcional E je stacionaran ao je varijacija ovog funcionala δ E = 0 pri proizvoljnoj infinitezimalnoj varijaciji funcije f (δf). Ricova teorema. Funcional E je stacionaran ao i samo ao je funcija od oje zavisi svojstvena funcija Hamiltonijana i stacionarna vrednost E je svojstvena vrednost hamiltonijana. Drugim rečima: δ E = 0 Ĥf = E f. (16) Doaz. Variramo f za δf, tj f = f + δf. (17) Napišemo: E f f = f Ĥ f. (18) Diferenciramo obe strane ove jednaosti: ( [ f fdx)δ E + E f δfdx + ] δf fdx = f Ĥδfdx + δf Ĥfdx. (19) Treba primetiti da E nije operator. Dalje je: ( f fdx)δ E = f (Ĥ E )δfdx + δf (Ĥ E )fdx. (0) Ao je E stacionarno (δ E = 0): f (Ĥ E )δfdx + δf (Ĥ E )fdx = 0. (1) Ao je Ĥ hermitsi operator, tada je Ĥ E hermitsi operator. Pored toga, označimo sa: ϕ = (Ĥ E )f. () To znači da se može pisati: f (Ĥ E )δfdx = ( ((Ĥ E )f) δfdx = ) ( δf (Ĥ E )fdx = δfϕdx) = ϕ δfdx. (3) Prema tome, uslov da varijacija funcionala bude jednaa nuli, svodi se na: ϕ δfdx + δf ϕdx = 0. (4)
48 5. Varijacioni metod Ova relacija mora biti zadovoljena za proizvoljno δf. Ao izaberemo δf = δλ ϕ, gde je δλ realni broj: ϕ δλϕdx + δλϕ ϕdx = 0, (5) odnosno δλ ϕ ϕdx = 0. (6) Odavde sledi da ϕ dx = 0, što znači da ϕ mora biti jednao nuli, odnosno: Ĥf = E f. (7) Obrnuto se može doazati da na osnovu prethodne jednačine sledi δ E = 0. Naime, ao je E svojstvena vrednost, i f svojstvena funcija, tada je g = g = (Ĥ E )f = 0. Ketu g odgovara bra f (ˆ(H) E = g. S obzirom da je g = 0, g = 0. Odavde sledi da je δ E = 0. Prema tome, δ E = 0 Ĥf = E f, (8) što znači da je funcional E stacionaran ao i samo ao je funcija od oje zavisi svojstvena funcija Hamiltonijana i stacionarna vrednost E je svojstvena vrednost hamiltonijana. 3. Postupa računanja energije osnovnog stanja pomoću varijacionog metoda Iznete osobine osnovnog stanja sistema i Ricova teorema čine osnovu za varijacioni metod. U ovom metodu se za računanje oristi varijaciona (probna) funcija, oja zavisi od neolio varijacionih parametara: f(x, α 1, α,..., α n ). Obično broj parametara nije veći od 3. Funcional E (f) se minimizuje da bi se dobila najbolja aprosimativna vrednost za energiju osnovnog stanja. Ao varijaciona funcija zavisi od jednog parametra f = f(x, α), postupa je sledeći: pretpostavimo obli f = f(x, α); izračunamo: E (α) = f Ĥ f f f = f (x, α)ĥf(x, α)dx f (x, α)f(x, α)dx ; (9) Odredimo položaj estremuma E (α): d E dα = 0; (30) α=α0
3.. Postupa računanja energije osnovnog stanja pomoću varijacionog metoda 49 proveri se da li je estremum u α = α 0 minimum, tj da li je ispunjeno d E /dα α=α0 >0; odredi se E (α 0 ). Često se varijaciona funcija zadaje u formi Cf(x, α). Tada treba prvo odrediti normalizacionu onstantu C, na osnovu uslova f f = 1, a zatim minimizovati funcional: E (α) = f Ĥ f = f (x, α)ĥf(x, α)dx, (31) po α. Na osnovu Ricove teoreme, za vrednost α = α 0, bar približno (egzatno ao je f svojstvena funcija osnovnog stanja) je zadovoljena jednačina: Ĥf(x, α 0 ) = E (α 0 )f(x, α 0 ). (3) Izbor varijacione funcije je poseban problem. Dobra varijaciona funcija sadrži dovoljan broj arateristia tačne talasne funcije za računanje svojstvene energije osnovnog stanja sa malom grešom. Nee od arateristia se mogu dobiti na osnovu simetrije, na primer parnosti ili simetrije u odnosu na moment oličine retanja. Tada se probna funcija bira u sladu sa simetrijom i stanja jedne simetrije su ortogonalna na stanja II simetrije. Na primer, ao je potencijal simetričan, za najniža stanja različite parnosti biraju se različite probne funcije. Obli varijacione funcije treba da bude jednostavan, tao da se, ao je moguće, integrali oji se rešavaju u varijacionom postupu mogu analitiči odrediti.
50 5. Varijacioni metod
6 Teorija perturbacija zavisnih od vremena Posmatramo sistem, čiji je uupni Hamiltonijan Ĥ( r, t) = Ĥ0( r) + λĥ ( r, t), (1) zbir vremensi nezavisnog hamiltonijana Ĥ0 i hamiltonijana λĥ oji predstavlja vremensi zavisnu perturbaciju. Ovde, ao i od teorije perturbacija nezavisnih od vremena, oristimo parametar λ da bi uspostavili vezu izmedu različitih stepena u jednačini sa vremensi zavisnom perturbacijom. Pretpostavljamo da su svojstvene vrednosti E (0) i svojstvene funcije Ψ (0) hamiltonijana Ĥ0 poznate, ao i da funcije Ψ (0) čine potpun sup ortonormiranih funcija. Opšte rešenje nestacionarne Šredingerove jednačine u odsustvu perturbacije je: i Ψ(0) t = Ĥ(0) Ψ (0) () je oblia: 1 Ψ (0) ( r, t) = c (0) ( r)e ie(0) ψ(0) t/. (3) Na osnovu uslova normiranja Ψ 0 Ψ 0 = 1, sledi ( = c (0) ) ( ψ (0) e ie(0) t/ c (0) e i(e (0) E(0) )t/ c (0) c (0) Ω ψ (0) ψ (0) ψ (0) e ie(0) t/ dv } {{ } δ ) = dv c (0) = 1. (4) 1 Za ontinuum, suma prelazi u integral. 51
5 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena c (0) je verovatnoća nalaženja sistema u stanju, a c (0) je amplituda verovatnoće. Ao hamiltonijan ne zavisi od vremena, c (0) ne zavisi od t. Razmotrimo sada vremensi zavisni hamiltonijan Ĥ, tj Šredingerovu jednačinu: i Ψ t = ĤΨ. (5) S obzirom da za opšti obli vremensi zavisne perturbacije norma nije očuvana, nema smisla tražiti orecije svojstvenih vrednosti energije. Razvijmo rešenje za talasnu funciju sa perturbacijom Ψ( r, t) = c (t)ψ (0) e ie(0) t/, (6) gde su c (t) vremensi zavisni oeficijenti (Hamiltonijan zavisi od vremena). Projecija ove funcije na ψ (0) daje: ψ (0) Ψ( r, t) = c (t)e ie (0) t/ ψ (0) ψ (0) dv }{{} δ = c (t). (7) c (t) je verovatnoća da se sistem nade u neperturbovanom stanju ψ (0) u trenutu t. Bez perturbacije c (t) = c (0). (8) c (0) su početne vrednosti za c (t), tj vrednosti c (t) pre nego što je primenjena perturbacija. Zamenom (6) u (5) sledi: i t Ova jednačina se transformiše u: i = c (t)ψ (0) ċ (t)ψ (0) c (t) }{{} e ie(0) t/ = (Ĥ0 + λĥ ) e ie(0) t/ + i Ĥ0ψ (0) E (0) ψ(0) e ie(0) t/ + λ c (t)ψ (0) ( c (t)ψ (0) e ie(0) t/. (9) ) ie (0) e ie(0) t/ Ĥ ( r, t)c (t)ψ (0) e ie(0) t/. Drugi član na levoj strani i prvi član na desnoj strani se potiru. Množenjem ove jednačine sa ψ (0) b odredili nepoznate oeficijente espanzije) i integracijom po relevantnom prostoru dobijamo: (10) (ao bismo i ċ (t)e ie(0) t/ ψ (0) b ψ (0) }{{} δ b = λ ψ (0) b Ĥ ( r, t) ψ (0) }{{} H b e ie(0) t/ c (t), (11)
53 tj ċ b = 1 i λ H b(t)e iω bt c (t). (1) Ovde je: Borova ugaona učestanost. ω b = E(0) b E (0) (13) Na osnovu jednačine (1) sledi da vremensa evolucija c b zavisi od ostalih oeficijenata c. Postavljajući jednačinu za ostale oeficijente dobijamo sistem linearnih diferencijalnih jednačina. Ovaj sistem jednačina možemo rešiti aprosimativno za slučaj slabe perturbacije. Ao je Ĥ malo, Ψ se može izračunati na osnovu neperturbovanih talasnih funcija i svojstvenih vrednosti Diraovim metodom varijacije onstanti. Termin varijacija se odnosi na vremensu promenu. U tom smislu razvijmo oeficijent c (t) u red po λ: c (t) = c (0) + λc (1) (t) + λ c () (t) +... (14) Prema tome, jednačina (1) ima obli: ċ (0) b + λċ (1) b + λ ċ () b +... = 1 i λ H be iω bt (c (0) + λc (1) + λc () +...). (15) Izjednačenjem članova uz isti stepen λ sa leve i desne strane ove jednačine, dobijamo: ċ (1) b = 1 i ċ (s+1) b = 1 i ċ (0) b = 0 (16) H b(t)e iωbt c (0) (t) (17) H b(t)e iωbt c (s) (t). (18) Pretpostavimo da je sistem u vremensim trenucima t t 0 bio u neperturbovanom stanju ψ (0) a : c (0) = δ a (19) Prema tome, uz zamenu b a, dobijamo odnosno: ċ (1) a = 1 i Kriterijum šta je slaba perturbacija biće asnije definisan. H ae iωat δ a, (0) ċ (1) a = 1 i H aa, (1)
54 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena Sl. 1. Vremensi zavisna teorija perturbacija se svodi na odredjivanje Furijeove transformacije perturbacije ativne u onačnom vremensom intervalu. što daje: c (1) a (t) = 1 i t t 0 H aa(t )dt, () pri čemu je uzeto da je c (1) a (t 0 ) = 0. Do prvog reda, oeficijent c a stanja a je dat sa: c a (t) = c (0) a + c (1) a (t) = 1 + 1 i t t 0 t H aa(t )dt exp i H aa(t )dt. (3) t 0 Prema tome, glavni efeat perturbacije je u promeni faze oeficijenta c a, oja je pre delovanja perturbacije bila jednaa nuli. Perturbacijal je slaba, pa ne može da promeni verovatnoću nalaženja sistema u stanju a. Za stanje b uz c (1) b (t 0 ) = 0: c (1) b (t) = 1 i t t 0 H ba(t )e iωbat dt. (4) H ba je matrični element prelaza iz stanja a u stanje b. Verovatnoća da se sistem oji se nalazio u stanju a nade u trenutu t u stanju b a je: P (1) ba (t) = c(1) b (t) = 1 t t 0 H ba(t )e iωbat dt. (5) Posmatramo perturbaciju H ba, oja deluje od t 0 = 0 do t. Ova perturbacija se polapa sa H ba u oblasti 0 < t < t, inače je jednaa nuli. Prema tome, P (1) ba (t) se može pisati u obliu: P (1) ba (t) = c(1) b (t) = 1 + H ba(t )e iω bat dt. (6) što znači da P (1) ba (t) predstavlja salirani vadrat modula Furijeove transformacije H ba za Borovu ružnu učestanost ω ba.
1.. Perturbacija nezavisna od vremena 55 Sl.. Vremensi nezavisna perturbacija uljučena u trenutu t = 0. 1. Perturbacija nezavisna od vremena Posmatramo perturbaciju oja je uljučena u trenutu t = 0 + i oja je onstantna u funciji vremena: Ĥ ( r, t) = Ĥ ( r); t > 0. (7) Na osnovu ao Hamiltonijan ne zavisi od vremena, H aa = const: c (1) a (t) = 1 t H i aa(t )dt, (8) 0 c (1) a (t) = 1 i H aat. (9) Dale, za stanje a: c a (t) = 1 + 1 i H aat e i H aa t. (30) Na osnovu vremensi zavisne forme svojstvene funcije stanja a: c a (t)ψ a (0) e ie(0) a t/ ψ (0) a e i(e(0) a +H aa )t/. (31) Efeat vremensi onstantne perturbacije na stanje a je ao u vremensi nezavisnoj teoriji perturbacija I reda: E a = E (0) a + H aa. (3) Koeficijent stanja b je: Verovatnoća prelaza sa stanja a na stanje b je: c (1) b (t) = 1 t H i ba(t )e iω bat dt = 1 e iωbat 1 i H ba. (33) iω ba 0 P (1) ba (t) = H ba ωba 1 cos ω ba t i sin ω ba t. (34)
56 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena Moduo oji figuriše u poslednjem izrazu je: Konačno verovatnoća prelaza je data izrazom: gde je: 1 cos ω ba t i sin ω ba t = (1 cos ω ba t) = 4 sin ( ωba t ). (35) P (1) ba (t) = H ba F (t, ω ba ), (36) F (t, ω) = ( ) sin ωt ω. (37) Oblie rive je priazan na slici. Površina ispod rive F (t, ω) je: + + sin u F (t, ω)dω = t du = πt (38) S druge strane, Diraova delta funcija može se pisati ao: Prema tome, za t : u } {{ } π δ(x) = lim t sin (tx/) πtx. (39) F (t, ω) = πtδ(ω). (40) Kriva F (t, ω) favorizuje stanja čije se energije razliuju za manje od δe π t po apsolutnoj vrednosti od E a (0) (položaj prve nule rive F (t, ω)). Prema tome, prelaz se uglavnom odigrava na stanja E (0) b sa energijama oje su u opsegu od δe π t oo energije E a (0). Perturbacija predstavlja način za merenje energije sistema pomoću prelaza sa stanja a na stanje b. S obzirom da perturbacija traje vreme t, neodredenost merenja energije E je reda h t, što se polapa sa zaljučom izvedenim na osnovu širine rive F (t, ω). pa je: Srednja vrednost u jednom periodu je (sin (ωt/) = 1/): P (1) Ao je vreme t malo u poredenju sa periodom: ba = H ba ωba. (41) sin ω bat ω bat, (4) P (1) ba (t) = H ba t. (43) Odavde se može zaljučiti da bi važila teorija perturbacija I reda (P (1) ba (t) 1) mora biti ispunjeno: t H ba. (44) Ovo je potreban ali ne i dovoljan uslov za važenje teorije perturbacija I reda. Naime, u teoriji perturbacija II reda, postoje matrični element H n na oje se moraju primeniti odredeni uslovi da bi bili mali.
.. Harmonijsa perturbacija 57 Sl. 3. Funcija F.. Harmonijsa perturbacija Sl. 4. Harmonijsa perturbacija. Smatramo da se perturbacija menja po: Ĥ = Ĥ 1 sin ωt = Âeiωt + Â e iωt. (45) Ovde Ĥ 1 zavisi of prostornih oordinata Ĥ 1 = Ĥ 1( r), a: čiji je adjungovani operator: Â = Ĥ 1 i, (46) Â = Ĥ 1 i, (47) pri čemu smo oristili činjenicu da je Ĥ 1 hermitsi operator. Tipičan primer je eletromagnetso polje oherentne monohromatse svetlosti. Pretpostavljamo da je sistem u početnom trenutu u stanju E a (0) sa funcijom ψ (0), tao da je: a c a (t 0) = 1, (48)
58 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena Sl. 5. Uz razmatranje uslova za rezonantnu aprosimaciju. c b (t 0) = 0, (49) za b a. Na osnovu teorije perturbacija I reda: Ovo znači da je: Rešenje se može pisati u obliu: c (1) b (t) = 1 i c (1) b (t) = 1 t H i bae iω bat dt. (50) 0 t 0 t Ae iωt e iω bat dt + 0 A e iωt e iω bat dt. (51) c (1) b (t) = A ba i F +(t, ω) + A ba i F (t, ω). (5) Ovde je: F (t, ω) = ei(ω ba ω)t 1 i(ω ba ω) F + (t, ω) = ei(ω ba+ω)t 1 i(ω + ω ba ) = e i(ω ba ω)t/ sin ( ω ω ba t ) ω ω ba, (53) = e i(ω ba+ω)t/ sin ( ω+ω ba t ) ω + ω ba. (54) U izrazu za F je isorišćena neparnost funcije sinu/u. Ao je E ba = ω ba > 0, F opisuje apsorpciju. Osim toga: F (t, ω) = F (t, ω ω ba ), (55) F + (t, ω) = F (t, ω + ω ba ). (56) Krive F i F + su centrirane na ω ba i ω ba i nazivaju se rezonantna i antirezonantna riva, respetivno. Označimo sa ω širinu rive F ±, oja je jednaa ω = 4π t. Ao je ω ba ω, može se uvesti rezonatna aprosimacija, tj može se smatrati da samo jedna riva, F + ili F daje značajan doprinos P (1) ba (t). Naime, rastojanje izmedu masimuma dve rive je ω ba. Za malo ω: ω ba ω = 4π t. (57)
3.. Fermijevo zlatno pravilo 59 Odavde se jednostavno dobija: t 1 ω ba 1 ω, (58) gde je uzeto u obzir da se pratično esperimenti izvode sa ω ω ba. Za t 1/ω sistem napravi dovoljan broj oscilacija tao da je efeat perturbacije harmonijsi (sin (ωt/)/ω je harmonijsa funcija vremena). Ao je ω ω ba i t 1/ω: U rezonanciji, za ω = ω ba je: P (1) ba (t) = c(1) b (t) = A ba F (t, ω ω ba ). (59) F (t, 0) = t, (60) što daje: P (1) ba (t) = A ba t. (61) Da bi važila teorija perturbacija P (1) ba (t) 1, mora biti: t A ba (6) Zajedno sa (58): 1 ω ba A (63) ba, što znači: E ba A ba. (64) Razlia energija mora, dale, biti mnogo veća od matričnog elementa prelaza. Ao je t malo u odnosu na 1/ω, F + i F interferiraju, što znači da verovatnoća prelaza nema vremena da zaosciluje. 3. Fermijevo zlatno pravilo Posmatramo harmonijsu perturbaciju, za slučaj rezonantne aprosimacije: P (1) ba (t) = c(1) b (t) = A ba F (t, }{{} ω ). (65) ω ba ω U slučaju ada t : F (t, ω) πtδ( ω). Prema tome za dugo vreme trajanja perturbacije je aprosimativno: P (1) ba (t) A ba πtδ( ω). (66)
60 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena Sl. 6. Prelazi na grupu stanja. Definišemo brzinu verovatnoće prelaza: Ovde smo oristili: W ba (t) = P (1) ba (t) = π t A ba δ(e (0) b E a (0) ω). (67) δ(ax) = 1 δ(x), a = const. (68) a Ovo je brzina verovatnoće prelaza izmedu dva disretna nivoa. Posmatrajmo sada grupu nivoa na oja se dešavaju prelazi. Ova stanja su rasporedene tao da je njihov broj u intervalu (E b, E b + de b ) jedna ρ(e b )de b. Za ovaj slučaj W ba (t) = π A ba ρ(e b )δ(e b E (0) a ω)de b. (69) Odavde sledi: W ba (t) = π A ba ρ(e b ), (70) gde je E b = E (0) a + ω. Prethodni izraz predstavlja Fermijevo zlatno pravilo. Sličan obli Fermijevog zlatnog pravila može se izvesti za perturbaciju nezavisnu od vremena. Za obe razmatrane perturbacije zavisnost od vremena je sadržana u relevantnoj F funciji. Za proizvoljnu perturbaciju ovo pravilo taode važi pod uslovom da se matrični element prelaza (analogan A ba ) iz oga je izdvojena funcija F sporo menja u funciji vremena.
7 WKB metod Ovo je vazilasični metod za rešavanje Šchrödingerove jednačine, oji su razvili G. Wentzel, H. A. Kramers i L. Brillouin. Posmatramo potencijalnu barijeru oblia, ao na slici. Tača x = b je (desna; prisetiti se potencijala LHO) povratna tača. Levo od x = b je lasično dozvoljena oblast u ojoj je E > U, a desno je lasišno zabranjena oblast u ojoj je inetiča energija negativna. Odredimo obli rešenja u lasično dovoljenoj oblasti. Schrödingerova jednačina u lasično dozvoljenoj oblasti može se pisati u obliu: d ψ/dx + (x)ψ(x) = 0, gde je (x) = m[e U(x)]/. Rešenje za talasnu funciju tražimo u obliu ψ(x) = R(x)e iu(x), gde su R(x) i u(x) realne funcije. Zamenimo pretpostavljeni obli rešenja u Schrödingerovu jednačinu. Najpre odredimo drugi izvod ψ po x: ( ) dψ dr dx = dx + ir(x)du e iu(x), (1) dx [ d ψ dx = d ( ) ] R dx + idr du dx dx + u du ir(x)d dx R(x) e iu(x) () dx Sl. 1. Analizirana potencijalna barijera. U x = b je desna povratna tača. 61
6 7. WKB metod Realni deo Schrödingerove jednačine je: d ( ) R du dx R(x) + (x)r(x) = 0, (3) dx a imaginarni Na osnovu poslednje jednačine sledi: Odavde se lao dobije: dr du dx dx + u R(x)d = 0. (4) dx R(x) d du dx dx = dr du dx dx. (5) ln du dx = ln C R (x), (6) gde je C onstanta. Prema tome, prvi izvod u po x je: Zamena ovog rešenja u realni deo Schrödingerove jednačine je: du dx = C R (x). (7) [ ( d ) R C dx = R (x)] R(x). (8) (x) Uvedimo sada aprosimaciju d R/dx 0. Na osnovu poslednje jednačine sledi: Bez gubita opštosti rešenja, pretpostavimo da je (x) > 0. Sledi: odnosno: C R = ± (x). (9) (x) C R = ±(x), (10) (x) R(x) 1/ (x). (11) Pored toga: što daje: Prema tome, du = ±(x), (1) dx b u(x) = u(b) x (x)dx. (13) Ψ ± = e ±i b x (x)dx, (14)
63 a opšte rešenje je linearna ombinacija: Ψ(x < b) = K + Ψ + + K Ψ, K ± = const. (15) Ovavo rešenje je egzatno za U(x) = 0. Naime, za ovaj slučaj je: (x) = = const. (16) Na osnovu: du = (x) =, (17) dx lao sledi: u(0) u(x) = ±x. (18) Na osnovu: du dx = C R =, (19) (x) lao se dobija: R(x) = const. (0) Taode: d R dx = R(x)( ) = 0, (1) i ψ(x) e ±i (x)dx = e ±ix. () Odavde se može zaljučiti da je aprosimacija d R/dx 0 dobra ao je U(x) sporopromenljiva funcija. Slično se može izvesti opšti obli rešenja u lasično zabranjenoj oblasti u oolini desne povratne tače: ψ(x) C κ(x) e x b κ(x)dx, C = const, (3) gde je: κ(x) = m[u(x) E]/. (4) i κ su jednai nuli u povratnoj tači, pa rešenja postaju besonačno velia. U oolini povratne tače je E T, što znači da je 0, pa uslovi za aprosimaciju d R/dx 0 (R(x) (x) 1/ ) nisu ispunjeni. Potrebno je na poseban način povezati rešenja s jedne i s druge strane, preo oblasti u ojoj vazilasični izrazi po WKB ne važe. Taj postupa ovde neće biti priazan, ali se sprovodi linearizacijom potencijala u oolini povratne tače uz orišćenje Airyjevih funcija.
64 7. WKB metod Sl.. Obli rešenja u pojedinim oblastima potencijalne jame. Sl. 3. Analizirani obli barijere. U x = a je leva povratna tača. Za desnu povratnu taču je: ψ(x) = C 1 cos 1 p(x) b x p(x)dx + π, 4 x < b ; (5) ψ(x) = C 1 p (x) e 1/ x b p (x)dx, x > b. (6) Slično je za levu povratnu taču, priazanu na slici: ψ(x) = C p (x) e 1/ a x p (x)dx, x < a. (7) ψ(x) = C cos 1 p(x) x a p(x)dx + π, x > a. (8) 4
1.. Odredjivanje oeficijenta transmisije roz potencijalnu barijeru po WKB metodu 65 Sl. 4. Analizirana potencijalna barijera. Ovde je: p(x) = m(e U(x)), (9) p (x) = m(u(x) E). (30) 1. Odredjivanje oeficijenta transmisije roz potencijalnu barijeru po WKB metodu Posmatramo potencijal, oblia ao na slici: 0; < x < 0 U(x) = U(x); 0 x d. (31) 0; d < x + U oblastima 1 i 3 može se obli svojstvene funcije odrediti analitiči. Šredingerova jednačina u oblasti 1 ima formu: d ψ 1 dx + ψ 1 = 0, (3) gde je: = me. (33) Talasna funcija u 1. oblasti ima obli: ψ 1 (x) = Ae ix + Be ix. (34) Talasna funcija u. oblasti ima formu: d ψ dx κ (x)ψ = 0, (35)
66 7. WKB metod gde je: m κ = [U(x) E]. (36) Prema WKB metodu: ψ = A e 1 x 0 p dx + B e 1 x 0 p dx, (37) p p odnosno: ψ (x) = A p e I(x) + B p e I(x). (38) U trećoj oblasti, talasna funcija je oblia: i rešenje je oblia: d ψ 3 dx + ψ 3 = 0 (39) ψ 3 (x) = A 3 e ix, (40) jer, zbog nepostojanja rasejavača desno od barijere, postoji samo transmitovani talas. Koeficijent transmisije je: T = J trans J inc = A 3 A 1. (41) Da bismo odredili odnos A 3 /A 1, potrebno je postaviti granične uslove za talasnu funciju i I izvod: ψ 1 (0) = ψ (0) A 1 + B 1 = 1 p0 (A + B ) ; (4) ψ 1(0) = ψ (0) p0 i(a B) = (A B ) ; (43) ψ (d) = ψ 3 (d) 1 ( A e I + B e I) = A 3 e id ; pd (44) pd ( ψ (d) = ψ 3 (d) A e I B e I) = ia 3 e id. (45) Ovde je p 0 = p(0) i p d = p(d). Na osnovu I dve jednačine sledi: A 1 + B 1 = 1 p 0 (A + B ), (46) A 1 B 1 = p0 i (A B ). (47) Odavde se lao dobija: A 1 = A ( ) 1 p0 + p0 i + B ( ) 1 p0 p0. (48) i Granični uslovi na mestu x = d daju: A e I + B e I = A 3 pd e id, (49)
.. WKB metod za česticu u potencijalnoj jami 67 A e I B e I = i pd A 3e id. (50) Dalje sledi: ( ) 1 pd A = A 3 eid + i e I, (51) pd ( ) 1 pd B = A 3 eid i e I. (5) pd Zamenimo upravo izvedene izraze u prethodno dobijeni izraz za A 1 : A 1 = 1 4 A 3e id ( pd + ( ) ( + 1 pd 4 A 3e id i pd ) ( i 1 pd p0 + p0 i 1 p0 p0 i ) ) e I e I. (53) Ao je barijera široa, tada je e I 1, što znači da je u prethodnom izrazu drugi sabira s desne strane dominantan. Prema tome: ( 16 A 1 = A 3 e id e I p d ) ( 1 p d p 0 p ) 0 e I. (54) Prema tome, A 3 A = 16e I p d p 0 + p 0 p d + p d p 0 + p d p 0. (55) Izraz u eminicou je veći ili jedna od 4, jer se mogu izdvojiti dva fatora oblia a/b + b/a, za oje važi: (a b) 0 a + b ab/ : ab a b + b. (56) a Odavde sledi: T = A 3 A 1 4e I. (57) Ova formula važi ada je U(x) sporo promenljivo i ada su povratne tače dovoljno razdvojene. Ao je p 0 = p d tada je: T = 4e I. (58) U prasi U(x) nije tačno poznato, pa se daje procena za vrednost oeficijenta transmisije: T e d 0 m(u(x) E) dx. (59)
68 7. WKB metod Sl. 5. Uz odredjivanje vezanih stanja pomoću WKB metoda.. WKB metod za česticu u potencijalnoj jami Posmatrajmo vantnu jamu i svojstveno stanje energije E, ao na slici. U oblastima izvan jame, mora važiti: ψ(x < a) = C e 1 a x p dx. (60) p U oblasti x > b je: ψ(x > b) = C 1 e 1 x b p dx. (61) p Unutar jame mora važiti za levu povratu taču: ψ x>a (x) = C 1 x cos pdx + π p 4 a }{{} I (6) i za desnu povratnu taču: Ovde smo označili: ψ x<b (x) = C 1 1 b cos pdx + π. (63) p 4 x }{{} I 1 I 1 = 1 I = 1 x a b x pdx + π 4, (64) pdx + π 4. (65)
.. WKB metod za česticu u potencijalnoj jami 69 Prethodne dve funcije, definisane u oblasti jame, moraju biti iste: ψ x>a (x) = ψ x<b (x), (66) ψ x>a(x) = ψ x<b(x). (67) Iz ovih jednaosti sledi: C 1 p cos(i 1 ) = C p cos(i ) (68) C 1 sin(i 1 ) p p + C 3/ dp 1p dx cos I 1 = C ( sin(i ) p ) 3/ dp + C p p dx cos I. (69) Drugi sabirci sa leve strane u poslednjoj jednaosti su jednai, prema jednaosti talasnih funcija (68). Sistem jednačina oji treba rešiti je: C 1 p cos I 1 = C p cos I (70) C 1 p sin I1 = C p sin I. (71) Sistem je homogen, pa determinanta sistema mora bit jednaa nuli za netrivijalno rešenje: 1 p cos I 1 1 p cos I p sin I1 p sin I (7) što se svodi na: cos I 1 sin I + cos I sin I 1 = sin(i 1 + I ) = 0. (73) Sledi, dale, da I 1 + I = mπ, gde je m ceo broj, odnosno: 1 x a pdx + 1 b x pdx + π = mπ. (74) Prema tome: 1 ( pdx = n + 1 ) π, n = 0, 1,,... (75) a gde je: p(x) = m(e U(x)), (76) a vrednosti n seletuju fiziči dozvoljena rešenja. Relacija (75) predstavlja WKB uslov vantovanja u potencijalnoj jami, na osnovu oga se aprosimativno dolazi do disretnih stanja. Koeficijenti C 1 i C su povezani: C = C 1 cos I 1 cos I. (77)
70 7. WKB metod Sl. 6. Poredjenje tačne svojstvene funcije i svojstvene funcije odredjene pomoću WKB metoda. Prema tome, unutar jame, svojstvene funcije disretnih stanja su oblia: ψ(x) = C 1 p cos[i 1 (x, a)] (78) do je van jame: C 1 cos I 1 p cos I e 1 a x p dx, ψ(x) = C 1 e 1 x b p dx, x > b. p x < a (79) Oblici tačnog i WKB rešenja za svojstvenu funciju su priazani na slici. U oolini povratnih tačaa ovi izrazi ne važe. Tada se divergencije mogu jednostavno odstraniti iz razultata ili se u oolini granica postavi linearni potencijal i nadju oblici rešenja u oolini povratnih tačaa. WKB metod odredivanja disretnih stanja je bolji za veću masu i veći vantni broj stanja, ada je varijacioni metod neprimenljiv.
8 Spin Do sada je stanje čestice bilo oaraterisano talasnom funcijom ψ(x, y, z). U atomsoj spetrosopiji pojavljuju se fenomeni oji se ne mogu objasniti pomoću talasnih funcija zavisnih samo od prostornih oordinata, pa se uvodi pojam spina. Spin je prvi put onstatovan u Stern-Gerlachovom esperimentu, oji je prvi put izveden 19. godine sa neutralnim atomima srebra, a ponovljen 197. sa atomima vodonia. U ovom esperimentu ubrzani atomi iz izvora prolaze roz magnetso polje postavljeno normalno na smer retanja atoma. Eletronima oji se nalaze na orbitama oo jezgra može se pridružiti eletrična struja. Postojanje ove struje znači da svai atom ima magnetsi moment ( µ = I S). Magnetsi momenti eletrona interaguju sa magnetsim poljem, što dovodi do precesije magnetsog momenta atoma oo pravca magnetsog polja. Zbog slučajne orijentacije magnetsih momenata atoma u magnetsom polju, na eranu bi trebalo da se pojavi ontinualna raspodela eletrona. Medutim, na eranu se pojave disretne linije. Ove linije su objašnjene postojanjem spina. Spin se najčešće shvata ao obrtanje eletrona oo sopstvene ose. Tavo shvatanje je pojednostavljeno i nije precizno. Pravilno shvatanje spina je vezano za esperimente, gde se onstatuje da se spin manifestuje ao moment oličine retanja, pa se može definisati ao sopstveni moment oličine retanja elementarne čestice. Voditi računa: u poslednjoj rečenici nema naznae o tome da se radi o rotaciji eletrona oo sopstvene ose, samo da se spin esperimentalno manifestuje ao moment oličine retanja, pa se može definisati ao sopstveni moment oličine retanja elementarne čestice. Objašnjenje za pomalo sriveni arater spina je: spin nije lasična već vantna veličina. Spin nije odreden nijednom promenljivom oja zavisi od prostornih (x, y, z) ili momentnih (L x, L y i L z ) oordinata. Spin se prirodno pojavljuje u Diraovoj jednačini, oja je osnovna jednačina relativističe vantne mehanie. Jednostavniji pristup je Paulijeva teorija spina, oju ćemo ovde izložiti. 71
7 8. Spin Sl. 1. Ilustracija Stern-Gerlachovog esperimenta. Definišemo spinsi operator ˆ S. To je operator momenta oličine retanja, oji deluje u prostoru spinsih stanja. Ovo znači da za projecije spinsog operatora važi: [Ŝx, Ŝy] = i Ŝz, (1) [Ŝy, Ŝz] = i Ŝx, () [Ŝz, Ŝx] = i Ŝy. (3) Ovaj prostor čine stanja oja su zajedniča ˆ S = Ŝ, jer ova dva operatora omutiraju: [Ŝ, Ŝz] = 0. (4) Ao čestica ima spin, tada je talasna funcija višeomponentna: Ψ s,ms (x, y, z) = ψ(x, y, z)χ s,ms. (5) Ovde je ψ orbitalni deo, oji se odreduje rešavanjem Šredingerove jednačine, do je χ spinsi deo. χ je vetor olona, oja se naziva spinor. S obzirom da je spin moment oličine retanja, Ŝ χ s,ms = s(s + 1) χ s,ms, (6) Ŝ z χ s,ms = m s χ s,ms. (7) Ove dve jednaosti su napisane na osnovu analogije sa L i L z. Pored ove dve jednaosti, definišimo i operatore Ŝ + = Ŝx + iŝy i Ŝ = Ŝx iŝy. Na osnovu analogije sa ˆL + i ˆL : Ŝ ± χ s,ms = s(s + 1) m s (m s ± 1)χ s,ms±1. (8)