CURS 4 MEODE NUMERICE PENRU PROBLEM DE VLORI PROPRII ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Prte I. Defț, propretăț.. Metod puter ş vrte le ceste. Metod terțlor smulte. 3. Metod Jcob. Vlor ş vector propr. Vlor ş vector propr. Polom crcterstc. Subspţu propru. Fe dtă mtrce Defţe, relă su complexă. Dcă vectorul x 0 ş sclrul λ stsfc relţ x λx, () tuc: λ se umeşte vlore propre, r x vectorul propru soct lu λ Dcă x ş y sut socţ cu λ, tuc ş α x + βy, α, β sclr, este soct lu λ. Dcă P este o mtrce P P esgulră, mtrce se zce smlră cu. P se zce mtrce de trsformre. Propozţe - Mtrcle smlre u celeş vlor propr. - Dcă x sut vector propr lu, vector propr x lu se găsesc d relţ x Px (Îtr-devăr: dcă x P x, rezultă x λ x.) x λx, rezultă P x P λ x, su P P( P x) λ ( P x) ; cu.ch. Noembre 008
M multe metode umerce trsformă mtrce îtr-o mtrce smlră, de o formă m smplă, determâd vlorle propr ş vector propr mtrc ; po, se determă vector propr lu, cu relţ de m sus. Polomul crcterstc Relţ () este ecuţ d cre se găsesc λ ş x. cest se m scre ( λ I) x 0 () ude I este mtrce utte. Explct, λ M λ K M K M K x 0 x 0 M M M λ x 0 Codţ c () să bă soluţ etrvle x, este det( λ I) 0. Explct, (') p( λ) λ M λ M K K M K M λ 0 (3) p(λ) se zce polomul crcterstc l mtrc, ş p(λ) 0 ecuţ crcterstcă. Fe determtul desvoltt: p ( K λ + c (3') λ) ( ) λ + cλ + + c D (3, 3') ş relţle ître coefceţ ş rădăc, rezultă următorele propretăţ le coefceţlor ş vlorlor propr: ) vem p ( 0) c, ş d determt p det(); urmeză c det() Pe de ltă prte, λ λ Kλ c, ş stfel λλk λ det( ). ) Coefcetul lu λ se găseşte d termeul ( ) λ ) K ( λ) ( λ) + ( )( λ +K. stfel, rezultă:.ch. Noembre 008
3 ( ; + λ + + λ c ) 3) Î geerl: λ K. ( r( ) se zce urm mtrc.) c ( ) Sum morlor prcpl de ordul mtrc. Observţ ) Ordore vlorlor propr: Vlorle propr se ordoeză î şrul λ, λ, K, λ. Î cest şr, o rădăcă multplă de ordul r, se repetă de r or. Uzul, vlorle propr se dexeză î orde descrescătore modululu, dcă λ λ K λ. Vlore propre λ se zce domtă. Mulţme vlorlor propr { λ,, } se zce spectrul mtrc. ) Vector propr socţ ue vlor propr: După determre vlorlor propr, vector propr socţ cu λ se găsesc puâd λ λ î ('), ş rezolvâd sstemul lr ş omoge ('). - Dcă este relă: Î geerl, λ pote f complex, ş tuc vectorul propru x soct cu λ este complex. Dcă ş λ sut rel, tuc vectorul propru x este rel. - Dcă este complexă: Î geerl, vlorle propr ş vector propr sut mărm complexe. Î prtculr, uele dtre ceste pot f ş rele Subspţu propru ş dmesue cestu Sstemul (') este omoge, stfel că dcă x, y sut soluţ, tuc α x + βy sut soluţ. dcă, lu λ î este soct u subspţu lr S de soluţ x. Se rtă că: Dmesue subspţulu S este m mcă decât su eglă cu ordul de multplctte rădăc λ.ch. Noembre 008
4 Dcă r este ordul de multplctte rădăc λ ş p r. dcă, î S exstă cel mult r vector lr depedeţ. Dcă p < r defectvă..ch. Noembre 008 p dmesue lu S, vem, vlore λ se zce defectvă; î cest cz, ş mtrce se zce ( r se m zce multplctte lgebrcă, r 3) Determre efectvă sstemulu propru: Petru clculţ prctcă ( > 3), u se recomdă: p multplctte geometrcă.) - Clculul drect l vlorlor propr, pr rezolvre ecuţe crcterstce (3'). cest, dtortă fptulu că problem clcululu rădăclor uu polom este forte sesblă l mc perturbţ î coefceţ (ceste perturbţ pr d erorle de rotujre). - Clculul drect l vectorlor propr, d sstemul ('). Metode umerce petru găsre vlorlor propr λ, ş vectorlor propr socţ () x, sut prezette î coture. Exemplu- Fe mtrce: 3 3 4 3 4 5 Polomul crcterstc este: 3 3 4 0 3 4 5 Su cf. (3 ) + + + 0, ude:
5 det +3 0 +3+5 9 3 + 3 3 5 + 3 4 4 5 4 6 +9 +6 0 De ude: 0 9 60; ± Ordoâd (descrescător, după module): 9.6347538 0.63475383 0 Vector propr 3 0 3 4 0, 3 4 5 0 î cre se îlocuește. 0.63475383; 9.6347538,,,3 se determă d sstemul omoge De exemplu, vectorul propru r. se găsește d sstemul: 8.6347538 3 0 6.6347538 4 0 3 4 4.6347538 0 U dtre coordote rămâe rbtrră: să legem de ex.,, rezultă +3 8.6347538 4 4.6347538 3 Rezultă (rezolvîd î smplă precze):.ch. Noembre 008
6.0.45934.905869 Orce vector ude α rel, fce fucțe de vector propru r.. log, se determă vector propr r. ș 3.. Mtrc hermtee ş utre Operţ plctă uu vector su ue mtrc oteză trspus-cojugt. stfel: - Dcă x este u vector, - Dcă, este o mtrce, x x. Explct: ], [ j ], vem: j j. [ j Î expresle terore, br oteză cojugt: x x ] ; ]. Petru u vector rel, su o mtrce relă, operţ reve l trspuere:. [ [ j x x ;. Î prtculr, petru u sclr, operţ reve l cojugre: s s. Mtrc hermtee: Mtrce se zce hermtă, dcă Exemplu de mtrce hermtă: + 7 7 5 0 + 3 0 3 Remrcţ că elemetele dgole sut rele, r elemetele smetrce sut cojugte O mtrce relă este hermtă, dcă este smetrcă ( ). O mtrce hermtă se zce poztv deftă, dcă x 0 x x > 0 ( x x este rel) Î prtculr, o mtrce relă ş smetrcă este poztv deftă, dcă: x 0 x x > 0..ch. Noembre 008
7 Mtrc utre: Mtrce U se zce utră, dcă echvlet, U U O mtrce relă este utră dcă U U U U I, ude I este mtrce utte; I, su U U Vlorle propr le ue mtrc utre u modulul egl cu.. Exemplu de mtrce utră (relă): Mtrce de rotțe xelor î pl este utră: Îtr-devăr, vem, ș se verfcă medt că 0 0. Propretăţ le mtrclor hermtee (î prtculr, rele ş smetrce): P. Dcă este hermtă, ş re vlorle propr { λ } dstcte su u, tuc: () Exstă o mtrce utră U, stfel că U U este dgolă: U U dg λ, K, λ ). ( (se zce că U dgolzeză pe.) (b) Exstă vector propr lr depedeţ cre formeză o bză ortoormtă î C (ceşt sut coloele lu U); (c) Vlorle propr sut rele Î prtculr, petru relă ş smetrcă: (-) Exstă U utră ş relă, stfel că U U dg λ, K, λ ). ( (b-) Exstă vector propr lr depedeţ; ceşt formeză o bză ortoormtă î R (coloele lu U);.ch. Noembre 008
8 (c-) Vlorle propr sut rele, ş vector propr sut rel vem ş proprette: P'. Dcă este hermtă (relă ş smetrcă) ş poztv deftă, tuc vlorle propr le lu sut rele ş poztve.3 Produs sclr ş propretăţ de ortogoltte.3. Spţu vectorl rel V Fe x u vector d V, ş x mtrce coloă coordotelor sle îtr-o bză lu V ( x R,, ). Dcă mtrce relă, este smetrcă ş poztv deftă, se defeşte produsul sclr î rport cu mtrce, pr: < x, y > x y y Î prtculr, petru < x, y > x y y vem: x I, cest deve produsul sclr stdrd: x < y, x > < x, y > ; < y, x > < x, y >. Vector x ş y se zc ortogol (reltv l produsul sclr), dcă x, y > 0, su < x, y > 0 stfel: - Vector x ş y sut ortogol reltv l mtrce, dcă x y 0, su y x 0. - Vector sut ortogol, dcă x y 0, su y x 0. <.ch. Noembre 008
9.3. Spţu vectorl complex V Fe x u vector d V, ş x mtrce coloă coordotelor îtr-o bză lu V ( x C,, ). Dcă este o mtrce hermtă ş poztv deftă, se defeşte produsul sclr î rport cu mtrce, pr: < x, y > x y y x. (Ultm egltte rezultă d cee că sclrul său). Produsul sclr deft de I este: s < x, y > este egl cu trspusul < x, y > x y y x vem: < y, x > < x, y >, ş < y, x > < x, y >. Ortogoltte do vector se defeşte c îte, pr codţ x, y > 0, su < x, y > 0 Observţe: Dcă vem x, y > 0, vem ş y, x > 0 < < stfel: - Vector x, y sut ortogol î rport cu, dcă: x y 0, su y x 0. - Vector x, y sut ortogol,dcă: x y 0, su y x 0. < P. Dcă este hermtă, tuc: - Vector propr socţ l două vlor propr dstcte sut ortogol: dcă λ λ, tuc x x 0 ş x x 0. - vem ş: x x 0, x x 0..ch. Noembre 008
0 (Dcă hermtă este ş poztv deftă, vector x, x sut ortogol reltv l mtrce.) Dcă este relă ş smetrcă: - Vector propr socţ l două vlor propr dstcte sut ortogol: x x 0, x x 0. - vem ş: x x 0, x x 0. (Dcă relă ş smetrcă, este ş poztv deftă, vector x, x sut ortogol reltv l mtrce ).4 Câtul Rylegh Fe o mtrce complexă (su relă). Fe v C u vector rbtrr, ş defm ρ ( v) v v v v ρ (v) se umeşte câtul Rylegh. Proprette-: Dcă x este vector propru soct cu λ, tuc ρ (x) λ stfel, câtul Rylegh pote f utlzt petru găs o proxmre vlor propr λ, dcă se cuoşte o proxmre v vectorulu propru x: v x λ ρ(v). Proprette-: Dcă mtrce este hermtă, câtul Rylegh este mărgt de vlorle propr extreme Vlorle propr sut rele; fe ceste λ λ K λ, tuc, vem: λ ρ( v) λ, petru orce v C..ch. Noembre 008
Metod puter. Metod puter Metod puter determă vlore propre domtă ş vectorul propru soct, le ue mtrc, rele su complexe. plctă l vers metod determă vlore propre ce m mcă (î modul), ş vectorul propru soct cu cest. cest, coform propretăţ: Mtrce vector propr. Îtr-devăr: d re c vlor propr versele vlorlor propr le lu ş ceş x λx, îmulţd l stâg cu, rezultă x x x x. Explct: :{ λ, K, λ} ; :{ µ, K, µ }. vem: λ λ, K, λ. µ µ Ipotezele metode puter: - Exstă u set de vector propr lr depedeţ. - Exstă o sgură vlore propre domtă λ : Metod: Fe λ > λ K λ. (Remrcț că prm egltte este strctă!) λ, su w u vector ţl, les rbtrr cu sgur codţe c să bă o compoetă î drecţ lu letor. (Î fpt, () x. Petru împl cestă cerţă, uele codur geereză u vector w este o proxmţe vectorulu propru () x ; dcă o stfel de proxmţe este cuoscută, tuc cest ccelereză terţ de m jos). Desvoltăm w î bz vectorlor propr: w x + x + K + x () ( 0) () () ( ) Presupuem că 0 (codţ de m sus), ş formăm şrul de vector w ( + ) w + w, 0.ch. Noembre 008
vem: w () w λx () Î geerl, w w λ x λ + λ () x + λ () x () + K + λ x λ + K + x λ ( ) ( ) () λ () λ ( ) ( λ ) x + x + K + x (b) λ λ Cum λ > λ petru, urmeză că rportele. stfel, petru crescător, vector drecţ vectorulu propru w ( ) x () λ. ( / λ ) λ td l 0 petru ( ) w se lză d ce î ce m mult l () x. Î cosecţă, petru u sufcet de mre, vem Să cosderăm de semee relţ w ( + ) + () ( λ ) x. Luâd orce coordotă o-zero lu w +, w, să zcem ce de- m- coordotă, obţem λ w + m wm Dezvtjul formule precedete este că, coordotele eule le lu ( ) w dev fe forte mc ( λ < ), fe forte mr ( λ > ), odtă cu creştere lu. cest se evtă pr ormlzre (su sclre) lu orm- ş orm-. stfel, lgortmul metode este: w Vector ţl w z, petru 0 Normlzre w w z ( + ), petru 0 Iterţe ( ) w, l fecre ps. Normele utlzte sut este de oprre terţe. est de colrtte do vector succesv..ch. Noembre 008
3 Vector ( ) z ş ( +) ( + ) z sut colr, dcă rportele z / z, z 0 ρ sut ( + ) egle (coordotele eule sut proporţole), su z z 0. Î clculţ prctcă, puem codţ 0 ( ρ ( ) ρ( ) OL, dcă z ) OL ; su, să vem > smult, ( z ) OL ş ( z + ) OL. OL este o tolerţă specfctă; 0 este dcele ue coordote fxte: este covebl să luăm 0 mx dcele coordote de modul mxm d ( +) z. Se troduc tuc, fctor de colrtte pr vectorul col ( : ), deft stfel: z col( ) z ( + ) ( + ) ( mx) / z ( ) / z ( )) ( mx)) K dcă K ltfel z ( + ) ( ) OL ş z ( ) OL, estul este: col col( mx) OL ( + ) ( + ) z z mx cest îsemă să vem 0 z z Observţe est petru orm- (eucldă): mx (petru z 0 ). Dcă, petru ormlzre lu ( ) w, se utlzeză orm-, vector orm- eglă cu, ş testul de colrtte pote lu form ( + ) z z OL. ( ) z u O problemă speclă pre petru relă, dcă vlore propre domtă este () relă ş egtvă, λ < 0, ş ume: d w z ( λ ) [ x + r ] ş z w / w, rezultă că vectorul ( psul +. (Vlore propre, dtă de λ ( ) z schmbă de sem de l psul l + ) w + m / z m, u este fecttă.). ( +) z dz ( ) z z ( + ) λ < 0.ch. Noembre 008
4 estul de colrtte trebue să ţă cot de cest. stfel, defm, ( + ) s sg(., λ ), dz z s z ( + ) estul corect este dz OL.. est supr lu λ: Iterţ se opreşte pr codţ λ ( + ) λ OL ude OL este o tolerţă. 3. est de stsfcere relţe de defţe: z λ z Prctc, OL ( ) z z, z w ( + ), ş λ ( +) λ. Defd df ( + ) ( + ) w λ z, se pue testul df OL Observţ: - Î cod, dcă vlorle terore () sut stocte î z0 ş lmbd0, r vlorle curete (+) î z ş lmbd, defţ lu df deve df z lmbd z0, luâd z îte de ormlzre. - Vectorul r z λz se zce vectorul rezdul. stfel, testul se m scre r OL..ch. Noembre 008
5 Note - estul propru petru metodă este estul, îtrucât, î eseţă, metod determă vectorul propru r., ş po determă λ d cest. Cu estul, se obţ vector propr m precş decât cu estul (l ceeş tolerţă). - estul 3 u este specfc metode puter, c pote f plct orcăre metode tertve petru vlor ş vector propr. Codurle d Lpc (B et l.(000)), utlzeză estul 3, cu OL ε M λ, ude ε M este ε-mşă. (Î metodele d N: estul 3 v f utlzt um l verfcre sstemulu propru. Fce excepţe metod puter, ude petru studu, se pote lege uul d estele -3; legere se fce prtr-u cod.) Covergeţ: ( ) Covergeţ λ λ este lră, r rt covergeţe este proxmtv λ /. λ (cest rezultt re loc î potez metode λ >, cu potez suplmetră: petru λ, cttăţle λ, 3, sut egljble î rport cu ( / λ ) ( / λ ) λ.). Metod puter verse cu trslţe (shft) Fe mtrce, cu vlorle propr λ, j j,. Metod găseşte vlore propre λ lu, ce m proptă de u umăr dt s; dcă, λ s mm. Se cosderă mtrce B si ş presupuem că B este esgulră. Se verfcă medt că vlorle propr le lu B sut µ λ s. Cttte s zce deplsre su trslţe (shft). j j Fe µ λ s, vlore propre de modul mm lu B, dcă: 0 µ j < µ < ε <, petru j..ch. Noembre 008
6 tuc, metod puter plctă lu cest ν / µ ( ν este vlore domtă petru λ ν + s. B produce vlore propre de modul mxm, fe B ). vem µ / ν, ş Prcpl plcţe metode este de găs vectorul propru, dcă este cuoscută o proxmţe buă vlor propr, să zcem λˆ. (cest pote f furztă de o metodă î cre se determă um vlorle propr u ş vector propr.) Se plcă metod puter verse, cu deplsre de λ, mtrce vectorulu propru s. Chr dcă λˆ λˆ este proptă B λˆ I este îcă esgulră, ş se obţe o buă proxmţe () x. Metod terţe verse cu deplsre, este u dtre cele m precse metode petru clculul vectorlor propr. lgortmul prctc, este următorul: Iterţ d metod puter, plctă l mtrce w B z. ( + ) Î loc de vers B, clculăm Bw z ( + ), B, este ( +) w d sstemul lr pr descompuere LU. Fctorzre se fce o sgură dtă, ş sstemul se rezolvă succesv cu membr drepţ ( ) z, 0..3 Metod terţlor smulte mtrce hermtă. cest este o extdere metode puter petru o mtrce hermtă (î prtculr, relă ş smetrcă). O stfel de mtrce, re vlor propr rele..ch. Noembre 008
7 Presupuem, m mult, că vlorle propr sut de module dstcte: λ > λ > K > λ. Î loc de u vector de strt w, se utlzeză o mtrce de strt, le căre coloe ( 0) (0,) (0,) (0, m) sut vector de strt: W [ w w K w ]. Dcă mtrce este, W este m, ude m. Vector de strt w trebue să fe lr depedeţ. Metod de bză rămâe îmulţre l stâg lu ( + ) W cu mtrce, dcă, W W, 0 ( 0, j). Îte de fecre etpă terţe, mtrce curetă W este ortogolztă pr procedeul Grm-Schmdt, stfel îcât coloele e utră). stfel, vector dmesol l lu ( j) w dev vector ortoormţ (ortogol, ş vâd orm eucldă ( j) w formeză o bză ortoormtă sub-spţulu m- R, sub-îts de vector ţl w ( 0, j). Î cursul terţe, cestă bză se lză d ce î ce m mult l bz vectorlor propr lu, drecţ ( j) w drecţ ( j) x, j. Vlorle propr se evlueză pr câtul Rylegh. Iterţ se îchee câd se tge o tolerţă coveblă, prvtor l drecţle două ( j) bze succesve { w }. Dcă mtrce de strt m vector propr. Petru m, dcă W re m < coloe, se obţ prm W este, se găsesc toţ vector propr. lgortmul: Se cere u umăr e de vector propr.. Se defeşte mtrce W ş W sut mtrc e. W : dcă o proxmre ţlă vectorlor propr u este ( 0) () () ( e) cuoscută, se W [ e e K e ], dcă, prmele e coloe le mtrc utte I. Petru e,. Se plcă Grm-Schmdt l ortoormtă). Se trbue 3. Iţlzre cotor: ter 0 4. Iterţ: ter ter +; W este formtă d W I. W (cu excepţ czulu î cre cest este dej W W. trbure: W W (W mtrce curetă; W mtrce teroră.).ch. Noembre 008
8 5. Se clculeză W W. 6. Se clculeză λ, j e, pr câtul Rylegh: Fe ( j) w ş j, ( 0, j) w j- coloă lu W ş W, respectv; vem λ < w j (0, j), w ( j) > ( ) (0, j) ( j (0, j) (0, j) w w Psul 5; ş < w, w > Pş ş 4.) 7. Se plcă Grm-Schmdt l W, stfel că W deve ortoormtă. 8. Se verfcă tgere tolerţe OL: Pr testul de colrtte.3, : se defeşte col() petru fecre vector z W(:, je), ş test _ vl mx col col( mx). je, e (Îtrucât z sut ormlzţ, testul se pote pue ş sub form d, Observţe.) - Dcă test _ vl OL, eşre d terţe. - ltfel, GOO 4. Observţ - Se pote prescre u umăr lmtă de terţ lt: tuc, se dugă l Psul 8 u test ter lt. - Psul 6 se pote relz um o sgură dtă, după ce s- eşt d terţe. Observţ. Vlor propr de celş modul Îtrucât metod terţlor smulte este î eseţă metod puter, u se obţe covergeţă petru vector propr, dcă exstă vlor propr de modul egl.. Mtrc o-hermtee Dcă plcăm lgortmul de m sus ue mtrc o-hermtee, u vom obţe covergeţă petru vector propr, cu excepţ vectorulu propru corespuzâd.ch. Noembre 008
9 vlor domte λ (petru cre, metod reve l metod puter). cest se îtâmplă deorece potez eseţlă metode este că vector propr formeză o bză ortogolă ş procedeul Grm-Schmdt forţeză c, l fecre ps, vector să fe ortogol. w (, j) otuş, dcă vlorle propr sut de module dstcte, tuc vector propr sut lr depedeţ, ş se obţ proxmţ forte bue petru vlorle propr. ( j) Explcţ este că, procedeul Grm-Schmdt furzeză u set de vector { w } lr depedeţ (ortoormţ), r vlorle propr sut clculte cu câtul Rylegh cre dă proxmţ bue le vlorlor propr chr cu proxmţ grosere petru vector propr. Vlorle propr găste pot f utlzte ulteror, î metod puter verse cu trslţe, petru obţe vector propr petru vlorle λ,. 3 Metod Jcob mtrce relă smetrcă Metod: Metod Jcob este o metodă coveblă petru găs tote vlorle propr ş vector propr ue mtrc rele ş smetrce, de ord modert. Determre vectorlor propr este opţolă. Fe o mtrce relă ş smetrcă. Dcă N este o mtrce esgulră, tuc mtrce N N este smlră cu, ş re celeş vlor propr (br u oteză cum cojugt). Vector propr x lu, sut legţ de vector propr x lu, pr: x Nx. (Propozţ d.). Să presupuem cum, că N este utră, dcă N N Notţ că este de semee smetrcă. N N. Mtrce deve Dgolzre lu :.ch. Noembre 008
0 Să presupuem că N este lesă stfel îcât să devă dgolă: N N dg ( Petru mtrce, vem propretăţle: ) - Vlorle propr le lu sut elemetele dgole: λ - Vector propr lu sut coloele mtrc utte I: ( ) ( ) ( ) x e (ude j j Î cosecţă, rezultă petru : e δ ). - Vlorle propr le lu se găsesc pe dgol mtrc. - Vector propr lu sut coloele mtrc N. Exemplu: x () Ne () M K K K 0 M 0 M Dgolzre Jcob: Metod Jcob costă î trsformăr utre (su, ortogole) plcte succesv lu, pâă l obţere ue forme prope dgole. ume, dcă utre, mtrce se trsformă cum urmeză: N N N N N ( N N ) ( N ) N sut mtrc N N ( N N KN ) ( NNKN ) Dcă mtrce proxmtv zero, luăm ude N N N N K este prope dgolă, dcă, elemetele o-dgole sut N N.ch. Noembre 008
Fecre trsformre N se lege stfel c să elme o pereche de elemete odgole (să zcem pq ş qp l psul ). O stfel de mtrce re structur: N O O cosα sα ( p) O O sα cosα ( q) O...( p)...( q) Elemetele escrse sut zero (cu excepţ dgole prcple ude ceste sut uu). rsformărle N se plcă succesv, fecre dtre ele elmâd elemetul odgol pq, de modul mxm. Prcpl proprette ue stfel de trsformăr este că produsul q. Ughul α se lege stfel îcât pq 0 N N modfcă um elemetele lu d lle ş coloele p ş Nole elemete dgole, sut dte de formulele: r 4 pq + ( pp qq ) ; pp qq ( ( pp pp + + qq qq + r) r) pp qq sα + ; r pq cosα ; r sα.ch. Noembre 008
Observţ - rsformărle N se plcă succesv, fecre dtre ele elmâd elemetul o-dgol de mărme mxmă. - Elemetele reduse l zero îtr-o trsformre u rămâ zero l trsformre următore. Dr, se pote răt că fecre trsformre reduce sum de pătrte elemetelor o-dgole cu pq, dcă, j j j j pq. tfel, după u umt umăr de trsformăr, cestă sumă pote f făcută m mcă decât o tolerţă ε lesă dte. Petru lte detl, v. Cp. 5-II, Cosderţ de progrmre Stocjul mtrc: Se lucreză cu trughul superor l lu, stfel îcât, după dgolzre lu, elemetul (,) coţe λ, etc. rughul superor este stoct î vectorul ( (+)/), î orde coloelor, dcă: [ 3 3 33 K dres elemetulu (, j) este dtă de următore fucţe: Loc (, j) ( j ) * j / + Î prtculr, elemetul dgol (, ) re dres Loc (, ) ( + ) * /. După ce s- efectut o trsformre, mtrce curetă este stoctă î celş vector. Strteg de elmre cest este căutre completă, dcă: se cută î totă mtrce (cocret, î vectorul ), elemetul o-dgol de modul mxm. (Petru lte strteg, v. Numercl lyss, Cp. 5-II,.) Elemetele o-dgole se cosderă zero, dcă sut m mc (î modul) decât o tolerţă OL. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ K ].ch. Noembre 008