PM ELEMETI STOJEVA I MEHAIZAMA-PODLOGE ZA PEDAVAJA OSOVE IZ MEHAIKE STATIKA Statika je grana mehanike u kjj se predčavaju stanja mirvanja tijela, kada su pterećenja kja na njih djeluju u međusbnj ravnteži. Sila, mment i spreg sila Sila je dređena veličinm, pravcem djelvanja, smjerm i hvatištem. Znači sila je usmjerena veličina ili vektr. Dužina AB predstavlja u nekm mjerilu veličinu sile, p pravac njezing djelvanja je na pravcu p, smjer djelvanja B prikazan je strelicm, a hvatište sile je tčka A. Hvatište sile se kd krutg tijela mže p vlji pmicati p pravcu njezing djelvanja. kgm Jedinica za veličinu sile je newtn (njutn). A s Sile kje djeluju na nek tijel izvana nazivaju se vanjskim silama, a sile kje djeluju u tijelu i piru se djelvanju vanjskih sila unutarnjim silama. Vanjske sile mgu biti raspređene na pvršinu (npr. hidrstatski tlak), p vlumenu (gravitacijske sile, magnetske sile) ili djeluju kncentriran u jednj tčki. Mment sile (statički mment sile) je umnžak sile i udaljensti pravca njezing djelvanja d si ili tčke prema kjj taj mment djeluje. Mment sile dređen je veličinm i smjerm djelvanja, mže se prikazati vektrm, a najčešće se pisuje veličinm i zakrivljenm strelicm k si ili tčke u smjeru djelvanja mmenta. Veličina mmenta je M a gdje je a krak sile u dnsu na s ili tčku njezing djelvanja. Mment rezultante bzirm na neku s ili tčku jednak je sumi mmenata njezinih kmpnenata u dnsu na istu s ili tčku (mmentn pravil ili Varignnv terem): M a M + M +... + M n M Spreg sila (par sila) čine dvije sile jednake p veličini s paralelnim pravcima djelvanja, a suprtng smjera. azmak između vih sila naziva se krak sprega sila. Veličina mmenta sprega sila iznsi: M b
Jedinica za mment sile i mment sprega sila je jednak, te se mže pjednstavljen reći da je jedinica za veličinu mmenta m (njutn-metar) ili mm (njutn-milimetar). mm ima specifičnst primjene u strjarstvu. Vanjske sile i mmenti kji djeluju na nek tijel, dnsn strjni di, predstavljaju njegv pterećenje. M A B p a M b Sila Mment sile Spreg sila Sile u ravnini Sastavljanje i rastavljanje sila Sile mgu na jedn tijel djelvati u jednj ili više tčaka.. Sile djeluju u jednj tčki A γ β α Paralelgram sila 8 γ Ak u jednj tčki djeluju dvije sile i ne se sastavljaju u rezultantu p zaknu paralelgrama. Djelvanje rezultante u tčki A jednak je zajedničkm djelvanju sila i u tj istj tčki. Vektrski zbrj sila i daje rezultantu : + Sile se mgu zbrajati analitički ili grafički. Zbrj sila i dbiva se analitički ka veličina rezultante pmću ksinusvg pučka: + cs(8 γ ) + + csγ Kutevi α i β dbivaju se iz sinusvg pučka: A Trkut sila sinα sin β sin(8 γ ) Grafički se dvije sile sastavljaju u rezultantu crtanjem trkuta sila. U dabranm mjerilu crta se sila p veličini, pravcu i smjeru djelvanja i na nju nadvezuje sila. Spjnica pčetka prve sile i kraja druge predstavlja rezultantu. Smjer rezultante suprtan je smjeru bilaženja kmpnenata, a pravac djelvanja i veličina rezultante dgvara nacrtanm trkutu sila.
Obrnutim pstupkm d prethdng rastavlja se sila u A p dvije kmpnente. Zadana sila A p, kju treba rastaviti u dva pravca p i p, nacrta se u izabranm mjerilu paraleln s njenim pravcem i smjerm djelvanja. Zatim se pvlače paralele s pravcima p i p, pri čemu treba pvući jedan pravac krz pčetak zadane sile, a drugi krz vrh sile i su tražene kmpnente sile astavljanje sile u dva pravca u pravcima p i p, a njihv smjer bilaženja suprtan je smjeru zadane sile. Kada u nekj tčki djeluje više d dvije sile, rezultanta se dbiva crtanjem pligna sila. Sile se nanse u izabranm mjerilu paraleln prema planu plžaja jedna za drugm spjnica pčetka prve sile i kraja psljednje sile u plignu sila je tražena O rezultanta, čiji je smjer suprtan smjeru bilaženja zadanih sila. Hvatište rezultante u planu plžaja je tčka (zajedničk hvatište zadanih sila), a pravac Sastavljanje sila u rezultantu djelvanja p je paralela pvučena s rezultantm iz plana sila. edslijed kjim se nanse sile prilikm crtanja pligna sila mže se ptpun prizvljn izabrati. Analitički se rezultanta d više zadanih sila dbiva pmću metde prjekcija. Suma svih prjekcija zadanih sila na neku s jednaka je prjekciji rezultante tih sila na tu istu s. Krz hvatište sila dabere se pravkutni krdinatni sustav -y i na isti se prjiciraju sve sile. Ak pćenit sila zatvara s si kut α, veličine njenih prjekcija na s, dnsn y jesu: α 5 3 α3 p 5 α 4 β csα, y sinα Veličine prjekcija rezultante na si i y dbivaju se zbrajanjem dgvarajućih prjekcija zadanih sila: Σ r Σ, y y a veličina rezultante dređuje se pmću Pitagring pučka + Pravac i smjer djelvanja rezultante dređeni su kutevima njezing nagiba prema si i y. Kutevi nagiba α i β mgu se drediti iz dnsa: 4 4 α α α p 5 cs α, y 3 y cs β 3
. Sile djeluju u raznim tčkama Kmpnente rezultante u pravcima si i y: Veličina rezultante agib pravca djelvanja rezultante Plžaj pravca djelvanja rezultante gdje je: a y a α 3 ezultanta sila raznih hvatišta u ravnini Sile kje djeluju u ravnini na jedn tijel u raznim tčkama mgu se takđer zamijeniti jednm rezultantm, a pstupak za sastavjanje vih sila u rezultantu mže pet biti bil analitički, bil grafički. Pri analitičkm pstupku sastavljanja sila služim se pet metdm prijiciranja sila na dabrani pravkutni (rtgnalni) krdinatni sustav s sima i y. Prjekcije zadanih sila na si i y iznse: csα, y sinα Σ, y Σy + prema si : cs α y dređuje se pmću mmentng pravila: a ΣM a - udaljenst pravca djelvanja rezultante d ishdišta krdinatng sustava M mment sile prema ishdištu ( ( a) p α veličina rezultante Opaska: Pri zbrajanju sila kje djeluju u istm pravcu treba sile sa suprtnim smjervima zbrajati ka veličine sa suprtnim predznacima. Tak će pri analitičkm pstupku sastavljanja sila kmpnente tih sila, čiji se smjer pklapa sa smjerm pzitivne plusi krdinatng sustava imati pzitivni predznak, a kmpnente suprtne tm smjeru negativni. Grafički se sile kje djeluju na jedn tijel u jednj ravnini, a imaju različita hvatišta, sastavljaju u rezultantu pmću plana sila i verižng pligna. Prema planu plžaja, kji se nacrta u izabranm mjerilu, crta se plign sila i dređuje veličina i smjer rezultante. Pravac djelvanja rezultante u planu plžaja dređuje se crtanjem verižngpligna. U planu sila (plignu sila) dabere se p vlji tčka P ka pl, a zatim se crtaju M 4
plne zrake, ka spjnice svih pčetaka i krajeva sila s dabranim plm P, kje se znače brjevima d d n. U planu plžaja prduže se pravci djelvanja sila, te se unse plne zrake paraleln s nima u planu sila. Pri tm treba paziti da se p dvije plne zrake sijeku uprav na pravcu djelvanja ne sile s kjm te plne zrake čine trkut (plne zrake u stvari su pmćne sile). Sjecište prve plne zrake s pravcem sile dabere se p vlji. Kak plne zrake i 5 čine s rezultantm u planu sila trkut, t će i pravac rezultante u planu plžaja prlaziti krz njihv sjecište, a bit će paralelan s pravcem rezultante iz plana sila. astavljanje pznate sile u tri zadana pravca, kji se ne sijeku u istj tčki, izvdi se grafički pmću tzv. Culmannve metde. Silu treba rastaviti u tri kmpnente s pravcima djelvanja p, p i p 3. Sjecište pravca djelvanja sile s jednim d zadanih pravaca spaja se sa sjecištem prestalih dvaju pravaca (Culmannva linija). Sila rastavlja se najprije u kmpnente i L, a zatim se sila L rastavlja u kmpnente i 3. Sile, i 3 su tražene kmpnente sile. avnteža Sustav sila kje djeluju na nek tijel nalazi se u ravnteži ak njihv zajedničk djelvanje neće pkrenuti tijel iz stanja mirvanja ili jednlikg pravcrtng gibanja. Analitički uvjeti ravnteže u pćem slučaju sila u ravnini dani su jednadžbama: M M Grafički uvjeti ravnteže ispunjeni su ak je plign sila i verižni plign zatvren. U plignu sila mraju sve sile imati isti smisa bilaženja. Pri ravnteži triju sila trkut sila mra biti zatvren (s istim smjerm bilaženja), a u planu plžaja sve tri sile mraju se sjeći u jednj tčki. Za svak tijel kje se nalazi u statičkj ravnteži mgu se iz pstavljenih statičkih uvjeta ravnteže dređivati nepznate veličine. Ak brj nepznatih veličina nije veći d brja uvjeta ravnteže, nda prmatrani sustav smatram statički dređenim. Suprtn, ak je brj nepznatih veličina veći d mgućeg brja pstavljenih uvjeta ravnteže sustav je statički nedređen. Za analitičk prnalaženje nepznatih veličina statički dređenih sustava ptrebn je primijeniti slijedeći redslijed zahvata: slbditi tijel njegvih veza s klinm; dabrati krdinatni sustav i ucrtati reakcije veza; dabrati i napisati jednadžbe kje na najjednstavniji način izražavaju uvjete ravnteže; riješiti ptrebne gemetrijske dnse; rješavanjem jednadžbi ravnteže izračunati nepznate veličine. rez 5
Oslbađanje tijela njegvih veza s klinm znači zamisliti da su sve veze (slnci) uklnjene, a iste zamijenjene silama (reakcijama veza), kje se putem veza prense na tijel. Te sile drže umjest uklnjenih veza tiel u ravnteži. Oslnci (veze) mgu biti pmični i nepmični. eke snvne vrste slnaca, te za njih ucrtane reakcije veza: Pri grafičkm dređivanju nepznatih reakcija veza kriste se grafički uvjeti ravnteže. Kd sustava paralelnih sila kje djeluju na tijel, grafičk dređivanje reakcija vrši se pmću verižng pligna. Spajanjem presjecišta prve i psljednje plne zrake u planu plžaja s pravcima djelvanja reakcija A i B dbiva se završna stranica ili tzv. zaključnica verižng pligna. Paralela sa zaključnicm pvučena krz plnu tčku P u plignu sila (planu sila) dređuje veličine reakcija A i B. Sile u prstru Sila se u prstru mže rastaviti u tri međusbn kmite kmpnente prema dabranm prstrnm rtgnalnm krdinatnm sustavu. Ak su kutevi nagiba sile prema sima, y i z dabrang krdinatng sustava α, β i γ, nda su njezine kmpnente: csα y cs β z csγ 6
Inverzn se veličina sile mže drediti iz njezinih triju pznatih međusbn kmitih kmpnenata prema izrazu: + + ezultanta više sila kje djeluju u prstru u istj tčki dređuje se prek kmpnenata rezultante na si, y i z: y y y z z z + + U pćem slučaju sila u prstru analitički uvjeti ravnteže dređeni su sa šest jednadžbi: M y z M y M z Težište Ak zamislim tijel rastavljen u mng malih dijelva, na svaki takav di djeluje njegva težina Δ G. ezultanta svih paralelnih sila ΔG je težina tijela G ΔG. Bez bzira na plžaj tijela, pravac djelvanja sile G prbada tijel uvijek u istj tčki u težištu tijela. Kd hmgenih tijela (tijela kja imaju u svim tčkama ista mehanička svjstva) težište se tijela pklapa s težištem vlumena. Pri dređivanju težišta kriste se statički uvjeti ravnteže, kji vrijede za sustav paralelnih sila. Analitičk dređivanje težišta Pri dređivanju težišta materijalne linije zamisli se linija rastavljena na više dijelva, čija težišta su nam pznata. U nekm dabranm krdinatnm sustavu dbivaju se krdinate težišta: l l y z y yl l gdje je l dužina svakg pjeding dijela materijalne linije ukupne dužine l, a, i y su krdinate težišta pjedinih dijelva. Sličn se dređuju krdinate težišta pvršina Α Α y yα Α gdje su A dijelvi pvršine A, čije se težište traži, a, i y krdinate njihvih težišta. Krdinate težišta vlumena V : V V y yv V, y i z krdinate su težišta pjedinih vlumena V. z zv V Pri uptrebi navedenih izraza za izračunavanje krdinata težišta pvršina i vlumena izrezani dijelvi (rupe, prvrti i sl.) uzimaju se s negativnim predznakm. Ak je pznata jedna s simetrije, na je ujedn i pravac na kjem leži težište. 7
U pćem slučaju, kada rastavlja na jednstavnije dijelve nije mguće, uptrebljavaju se izrazi u integralnm bliku za dređivanje krdinata težišta. Primjerice za težište pvršine će u tm slučaju vrijediti Grafičk dređivanje težišta Α d Α y Α yd Α Zadana pvršina rastavi se na dijelve s pznatim težištem. Od pjedinih težišta pvlače se paralele (pravci djelvanja sila) u dva međusbn kmita pravca. U dređenm mjerilu crta se plan u ba međusbn kmita pravca. Sile predstavljaju pvršine pjedinih dijelva. Pmću verižnih pligna dređuju se pravci djelvanja rezultanata u planvima plžaja za ba pravca djelvanja sila (veličina pvršina). U sjecištu ba pravca djelvanja rezultantnih sila pvršina nalazi se tražen težište pvršine. Eksperimentaln dređivanje težišta Tijel se bjesi tanku savitljivu nit i ispd bjesišta se zacrta na tijelu vertikala. Prmjenm plžaja bjesišta i pnvnim zacrtavanjem vertikala, dbiva se u zajedničkm sjecištu svih tak ucrtanih vertikala težište tg tijela. Puni nsači U mehanici se gredm naziva knstrukcijski element, čije su uzdužne dimenzije velike prema dimenzijama pprečng presjeka, a kji je pterećen na savijanje. Tri su snvna tipa grede: jednstavna greda s jednim pmičnim i jednim nepmičnim slncem, uklještena greda ili knzla i greda s prepustm. Opterećenje grede mže biti kncentriranm silm, jednlikim ili nejednlikim raspdijeljenim pterećenjem uzduž grede (kntinuiran pterećenje) ili u bliku sprega sila (mment). Uzduž pterećene grede (npr. svine, vratila) javljaju se mmenti savijanja, pprečne sile i uzdužne sile. Veličine navedenih pterećenja najčešće se mijenjaju uzduž grede. U nekm prmatranm presjeku y-y grede bit će mment savijanja jednak algebarskj sumi statičkih mmenata svih vanjskih sila lijev ili desn d tg presjeka. Dakle dnsn M M Α y a a B ( l ) a3 3 sinα 8
Mment savijanja smatram pzitivnim, ak se pd njegvim djelvanjem greda savija s izbčenm stranm prema dlje, a negativnim ak je izbčena strana prema gre. Pprečna sila u nekm presjeku, jednaka je sumi prjekcija svih vanjskih sila (lijev ili desn d prmatrang presjeka) na s, kja stji kmit na uzdužnu s grede. U presjeku y-y grede pprečna sila iznsi: Q Ay - - dnsn Q B - 3 sin α Pprečna sila je pzitivna ak je za di lijev d presjeka usmjerena prema gre, a za desni di grede prema dlje. Uzdužna sila u nekm presjeku grede jednaka je sumi prjekcija svih vanjskih sila lijev ili desn d tg presjeka grede na njezinu uzdužnu s. Uzdužnu silu, kja pterećuje gredu na vlak, smatram pzitivnm, a na tlak negativnm. U prmatranm presjeku y-y uzdužna sila iznsi - A dnsn 3 cs α Prmjena mmenta savijanja, pprečne sile i uzdužne sile uzduž grede prikazuje se dijagramima. Međusbna zavisnst mmenta savijanja, pprečne sile i relativng pterećenja u smjeru uzdužne si grede (si ) dana je derivacijskim matematičkim izrazima: Q dm dq d M Q d d d a mjestima gdje djeluju kncentrirane sile M-dijagram se lmi. Ak na gredi između dvije sile nema drugg pterećenja, M-dijagram je pravac. Mmentni dijagram jednlikg kntinuirang pterećenja je parabla drugg reda. a mjestu gdje Q-dijagram prlazi krz nulu M-dijagram ima maksimum ili minimum. Grafički mmentni dijagram predstavlja u nekn dređenm mjerilu pvršina verižng pligna nacrtang za prmatran pterećenje grede (Culmannva mmentna pvršina). Ordinate y (mjerene vertikaln d zaključnice) pmnžene plnm udaljenšću H daju mmente savijanja u pjedini presjecima. MH y Ordinatu y treba izmjeriti u mjerilu za dužine, a H u mjerilu za sile. Trenje Pri klizanju tijela težine G knstantnm brzinm p ravnj pdlzi javlja se na ddirnj pvršini tijela s pdlgm sila trenaj t, kja je usmjerena suprtn gibanju tijela. Tijel prema slici giba se pd dijelvanjem sile, kja je uprav tlika da savladava silu trenja. Vertikalna kmpnenta reakcija pdlge i hrizntalna T (sila trenja) stje u mjeru 9
Uz tan qμ slijedi: t tan q μ t U vm izrazu μ je faktr trenja klizanja kji zavisi d: vrste materijala ddirnih pvršina; stanja ddirnih pvršina (hrapavsti); pdmazivanja ddirnih pvršina (suh, plusuh ili mješvit i tekuće trenje); pvršinskg pritiska p (Addirna pvršina) A brzine klizanja. aktr trenja μ dređuje se eksperimentaln. Budući da je faktr trenja mirvanja μ, kak su t pkusi pkazali, veći d faktra trenja klizanja, t će za tijel u stanju mirvanja vrijediti pdlge je: μ a najveća sila pri kjj tijel jš miruje μ t Kak je μ > μ, t je i >. Pveća li se sila za mali izns, tijel će se pčeti gibati jednlik ubrzan, dk će za državanje jednlikg gibanja tijela silu trebati smanjit na izns μ. U graničnm slučaju ravnteže ukupna reakcija + t + μ Kutevi φ i φ št ga reakcije i r zatvaraju s nrmalm nazivaju se kutevi trenja. tacijm pravca reakcije k vertikale pisuje pravac knusnu plhu s vršnim kutem φ - tzv. knus trenja. Ak se pravac ukupne reakcije nalazi unutar knusa trenja ili na njegvu plaštu (granični slučaj), tijel je u statičkj ravnteži. Trenje na ksini Sila kja je ptrebna da tijel težine G vuče knstantnm brzinm uz ksinu nagiba α dbiva se iz uvjeta ravnteže: G sin α t y G cs α Odatle slijedi: ( α μ csα ) G sin +
Za jednlik spuštanje tijela niz ksinu jednadžbe ravnteže glasit će: + μ G sin α y G cs α a ptrebna sila za t spuštanje tijela knstantnm brzinm prema tim jednadžbama iznsit će ( cs sin ) G μ α α ajmanja sila kja će spriječavati da tijel ne klizi niz ksinu ( cs sin ) G μ α α Da tijel sam zbg sile trenja stane u mirvanju na ksini (samkčnst ksine) mra biti ispunjen uvjet, kji slijedi iz Trenje klina Sila ptrebna za zabijanje klina iznsi Trenje u kliznm ležaju ( ) G μ csα sinα μ tanα dnsn α ϕ sin α + t cs α sin αα + μ cs α (sin α + μ cs α ) Sila ptrebna za izvlačenje klina sinα + (sinα μ csα) t csα Sila je sila pritiska kmita na pvršinu klina, a t trenja na pvršini klina. μ je sila Za radijalni klizni ležaj sila trenja na bdu rukavca iznsi μ. t je radijalna sila na ležaj, a μ faktr trenja klizanja. Mment zbg trenja (mment trenja) bit će M t d t μ r
Elementarna sila trenja kd aksijalng klizng ležaja prlazi krz težište elementa da ddirne pvršine. Za punu pvršinu A ddira rukavca s ležajem element pvršine je trkut splumjerm udaljensti njegvg težišta d si vrtnje r s r / 3, a ukupni mment trenja iznsi M t r s S r r μ 3 Ak je ddirna pvršina slabljena (zbg utra i sl.) r S ima drugu vrijednst, n pet predstavlja udaljenst težišta elementa pvršine d si vrtnje rukavca. Trenje užeta Za ptpun savitljiv uže prebačen prek nepmičng valjka neka su sile i u pčetnm trenutku jednake. Pstupnim pvećanjem sile, uže staje jš nek vrijeme u ravnteži (zbg trenja između užeta i valja) d trenutka kada sila pretegne (granični slučaj ravnteže). Ak se s t znači ukupna sila trenja između užeta i valjka na luku AB, bit će: + azmatranjem ravnteže elementarne dužine užeta i integriranjem vih uvjeta ravnteže p cijelm luku AB dbiva se međuzavisnst između sila i, faktra trenja između užeta i valjka i buhvatng kuta užeta na valjku, izraženu Eytelweinvm jednadžbm. e gdje je α buhvatni kut izražen u radijanima, μ faktr statičkg trenja između užeta i valjka, a e,78 baza prirdng ligaritma. Obzirm na relativn gibanje užeta i valjka mgu nastupiti slijedeća tri slučaja:. Valjak miruje, a uže klizi p valjku. Između užeta i valjka je prisutan faktr trenja μ. Sila u smjeru gibanja je veća i iznsi prema Eytelweinvj jednadžbi μ α e t μ α. Uže miruje, a valjak se kreće (npr. pjasna kčnica). μ je faktr trenja klizanja. Sila u užetu usmjerena suprtn gibanju valjka veća je i pet iznsi e μ α 3. Uže i valjak miruje ili su u međusbnm relativnm mirvanju. Klizanja između užeta i valjka nema, te se računa s faktrm trenja mirvanja μ. Primjena npr. kd remenskg prijensa, užetng prijensa.
Trenje valjanja Pri valjanju valjka p pdlzi javlja se tpr, kji se mže prikazati mmentm M v f gdje je f faktr trenja valjanja s dimenzijm dužine, a dređuje se eksperimentaln. Valjanje je mguće ak je aktr trenja valjanja u pravilu je bitn niži i d faktra trenja mirvanja i d faktra trenja klizanja. f r < μ 3
4