SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.07.2015 Marko Srdanović

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD TEMA: TORZIJA RAVNOG ŠTAPA Osijek, 15.07.2015 Marko Srdanović 1

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: NAZIV STUDIJA: TEHNIČKE ZNANOSTI TEMELJNE TEHNIČKE ZNANOSTI TEHNIČKA MEHANIKA TORZIJA RAVNOG ŠTAPA MARKO SRDANOVIĆ PREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ Tekst zadatka U radu treba analizirati naprezanja i deformaciju za ravne štapove opterećene momentom torzije. Analizirati štapove kružnog poprečnog presjeka, prstenastog, neokuruglog te tankostjenog poprečnog presjeka. Za odabrane oblike poprečnih presjeka usporediti veličine naprezanja kao i pripadajuću deformaciju. U uvodu treba opisati problem, u teoretskom dijelu izvesti temeljne jednadžbe za rješavanje zadanog problema. Analizu provesti na primjerima različitih poprečnih presjeka. Rad treba sadržavati sažetak na izvornom jeziku. Rad treba predati u 3 primjerka (original + 2 kopije), spiralno uvezana u A4 formatu i cjelovitu elektroničku datoteku na CD-u. Osijek, 26. svibanj 2014. Mentor/ica: Predsjednik/ica Odbora za završne i diplomske ispite: Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina 2

S A D R Ž A J 1. UVOD... 5 2. ŠTAPOVI OKRUGLOG PRESJEKA (OSOVINE) OPTEREĆENI TORZIJOM... 6 3. ŠTAPOVI NEOKRUGLOG PRESJEKA... 12 4. TANKOSTIJENI ŠTAPOVI OPTEREĆENI TORZIJOM... 16 4.1 TANKOSTIJENI ŠTAPOVI OTVORENOG PRESJEKA OPTEREĆENI TORZIJOM... 17 4.2 TANKOSTIJENI ŠTAPOVI ZATVORENOG PRESJEKA OPTEREĆENI TORZIJOM..20 5. RIJEŠENI PRIMJERI 23 6. ZAKLJUČAK.28 7. LITERATURA..29 3

TORZIJA RAVNIH ŠTAPOVA Sažetak: U završnom radu se obrađuje problem uvijanja ravnih štapova. Analizirana su naprezanja i deformacije ravnih štapova opterećenih momentom torzije. Kod štapova kružnog poprečnog presjeka pri deformiranju poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na uzdužnu os štapa. Kod neokruglih i tankostijenih štapova ne vrijede bernoulijeve hipoteze. U radu su analizirani štapovi kružnog, prstenastog, neokruglog i tankostijenog poprečnog presjeka. Za odabrane oblike poprečnih presjeka napravljena je usporedba naprezanja i pripadajućih deformacija. 4

1. UVOD Pri opterećenju ravnog štapa momentima M i koji djeluju u ravnini okomito na os štapa u bilo kojem poprečnom presjeku štapa postoji samo moment torzije (moment uvijanja) M t, dok su sve ostale unutarnje sile jednake nuli. Ovakav slučaj opterećenja štapa nazivamo torzija ili uvijanje štapa. Da bismo odredili moment torzije u nekom presjeku štapa koristimo metodu prereza, tada nam od šest uvjeta ravnoteže ostaje samo uvjet: M x = 0 Ostali uvjeti ravnoteže su zadovoljeni te iz toga slijedi da je k M t = - M i i=i Moment torzije u nekom poprečnom presjeku štapa jednak je sumi svih momenata koji djeluju s jedne ili druge strane štapa. Slika 1.1 Ordinata M t predstavlja veličinu momenta torzije. Karakter deformacije štapova opterećenih torzijom zavisi od oblika poprečnog presjeka. Štapove dijelimo u 3 grupe: Štapovi kružnog poprečnog presjeka Slika 1.2 5

Štapovi neokruglog poprečnog presjeka Slika 1.3 Štapovi tankostijenog poprečnog presjeka Slika 1.4 Rezultati eksperimentalnih istraživanja pokazala su da se samo kod štapova kružnog presjeka primjenjuje se hipoteza ravnih poprečnih presjeka. Kod štapova neokruglog poprečnog presjeka ne vrijedi Bernoulijeva hipoteza te se problemi promatraju u teoriji elastičnosti. Kod štapova tankostijenog presjeka uvodimo niz pretpostavki što omogućuje rješavanje problema torzije metodama znanosti o otpornosti materijala. Iz tih razloga za svaku grupu štapova analizu deformacija i naprezanja radimo drugačije. 2. ŠTAPOVI OKRUGLOG PRESJEKA (OSOVINE) OPTEREĆENI TOR- ZIJOM Pri djelovanju momenta torzije na slobodnome kraju štapa neki presjek na udaljenosti x zaokrenut će se u odnosu na ukliješteni presjek za kut ϕ koji još nazivamo i kutom uvijanja ili kutom torzije. Što je veći moment torzije veći je i kut torzije ϕ te vrijedi ϕ = ϕ (M t ). Grafički to možemo prikazati dijagramom ϕ-m t, a posebno zanimljiv dio dijagrama je dio u elastičnom području, odnosno početni pravocrtni dio dijagrama koji predstavlja linearnu ovisnost između momenta torzije i kuta uvijanja. (slika 2.1) Slika 2.1 6

U presjeku štapa djeluje samo moment torzije te iz toga zaključujemo da u ravnini poprečnoga presjeka djeluju samo posmična naprezanja. Slika 2.2 Na mali element djeluje posmično naprezanje τ koje možemo rastaviti na dvije komponente u smjeru normale na τ n i u smjeru tangente na τ t. Prema zakonu o uzajamnosti posmičnih naprezanja komponenta τ n =τ n ' na plaštu štapa, a ona su jdenaka nuli jer na plaštu štapa ne djeluje uzdužno tangencijalno opterećenje. Prema tome vektor posmičnog naprezanja okomit je na polumjer kruga. Iz toga slijedi da su u bilo kojoj točki naprezanja τ upravljena okomito na odgovarajući polumjer odnosno da imaju smjer tangente na koncentrične kružnice. Slika 2.3 Iz uvjeta ravnoteže dobivamo da M t mora biti jednak zbroju momenata unutarnjih sila τda s obzirom na os ordinata te iz toga slijedi: M t= A Pretpostavke (slika 2.4) : Kod deformacije štapa poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na os štapa odnosno vrijedi hipteza ravnih poprečnih presjeka. 7

Poprečni presjeci se rotiraju oko osi štapa kao kruti diskovi odnosno oni se ne deformiraju u svojoj ravnini, a polumjeri u tim presjecima ostaju pravci i rotiraju se za isti kut odnosno u prijevodu vrijedi hipoteza krutosti presjeka Pri samoj deformaciji štapa razmak između poprečnih presjeka se ne mijenja te u smjeru osi štapa normalna naprezanja jednaka su nuli. Slika 2.4 Uslijed djelovanja momenta torzije desni presjek elementa štapa se zakrene u odnosu na lijevi za neki kut dφ a taj kut se naziva kut uvijanja.beskonačno mali pravokutnik ABCD prelazi u paralelogram A'B'CD. Prvobitni pravi kut ACD postaje oštri i mijenja se za veličinu γ te nastaje smicanje elementa AB u odnosu na CD te iz toga slijedi da iz trokuta OAA' dobivamo da je AA' = ρdφ Slika 2.5 Relativno smicanje dano je izrazom : S obzirom da je dφ kut uvijanja a dx duljina elementa štapa, odnos predstavlja kut uvijanja na jedinicu dužine štapa i naziva se relativni kut uvijanja a mjeri se u rad/m. Ako izraz (relativni kut uvijanja) zamjenimo s Θ tada dobivamo S obzirom da je riječ o čistome posmiku Hookeov zakon ima oblik: 8

Iz gornje jednadžbe vidimo da za ρ = 0 naprezanje τ = 0, a s povećanjem ρ naprezanje raste linearno. Najveće naprezanje je u točkama koje su najudaljenije od središta odnosno osi štapa što je vidljivo na slici ispod. Slika 2.6 Ako u uvjet ravnoteže umjesto τ uvrstimo izraz GΘρ u kojemu modul posmika G i relativni kut torzije Θ ne ovise o površini poprečnoga presjeka tada dobivamo izraz: Integral da je polarni moment tromosti poprečnog presjeka Iz izraza M t slijedi da je : Uvrstimo li Θ u τtada ćemo dobiti konačan izraz za raspodjelu naprezanja u poprečnome presjeku štapa: Najveće naprezanje se pojavljuje na rubnim vlaknima poprečnog presjeka te je dano izrazom: Iz čega slijedi da je : 9

Kada u izraz Θ= uvrstimo izraz za relativni kut uvijanja koji ovisi o kutu uvijanja na jedinicu dužine štapa dobit ćemo kut uvijanja elementa štapa duljine dx: dφ=θ dx= Kut zaokreta krajnjih presjeka: φ= Ako je moment torzije M t (x) konstantan kao i polarni moment tromosti I p (x), duljine l i od homogenog i izotropnog materijala tada kut uvijanja glasi: φ= [rad] Nazivnik G I p naziva se torzijska krutost presjeka štapa a cjelokupni izraz za kut uvijanja daje vezu između momenta torzije i samog kuta uvijanja te je osnova Hookeovog zakona za torziju. - Polarni moment tromosti I p = Slika 2.7 p 10

Prstenasti kružni presjek Slika 2.8 Ako izraz γ p =ρ uvrstimo u Hookeov zakon tada slijedi: τ p =G γ p =G ρ θ ako bi pak u ovaj izraz uvrstili vrijednost za kut θ u kojemu kut θ ovisi o momentu torzije i torzijskoj krutosti tada slijedi: τ p = G ρ odakle je τ= t p Uvedemo li izraz za polarni moment otpora W p =I p /R tada dobivamo slijedeći oblik: τ t = p Za prstenasti kružni presjek polarni moment otpora dan je izrazom: W p = 3 4 11

3. ŠTAPOVI NEOKRUGLOG PRESJEKA Za početak ćemo razmotriti deformaciju štapa neokruglog presjeka opterećenog na uvijanje iz čega ćemo moći zaključiti gdje su deformacije najveće te kakvo je naprezanje u elementima neokruglog presjeka. Prvo promotrimo štap pravokutnog presjeka koji nije opterećen Sama mreža je pravilna te je vidljivo da nema nikakvih deformacija. Slika 3.1 Ukoliko taj štap opteretimo momentum torzije M t mreža na stranama štapa će se zakrenuti u smjeru djelovanja momenta torzije, poprečne linije štapa se pri uvijanju iskrivljuju a najveće deformacije nastaju u sredini strana poprečnoga presjeka. U uglovima deformacija nema. Iz toga možemo zaključiti kako nastaje deplanacija presjeka odnosno ne vrijedi hipoteza ravnih poprečnih presjeka i to vrijedi za sve štapove neokruglog poprečnog presjeka. Proračun naprezanja I deformacija kod štapova neokruglog presjeka kako smo već naveli u uvodu malo je složeniji te se provodi metodama teorije elastičnosti. Za slučaj sa slike 3.2 izbočavanje poprečnih presjeka nije spriječeno te takav slučaj torzije nazivamo čistom ili slobodnom torzijom. Svi poprečni presjeci jednako se deformiraju te se udaljenost među njima ne mijenja, iz čega možemo zaključiti kako su normalna naprezanja jednaka nuli. Uzimajući u obzir diferencijalne jednadžbe ravnoteže, jednadžbe neprekinutosti deformacija, fizikalnih jednadžbi I rubnih uvjeta, metodama teorije elastičnosti dolazi se do Poissonove diferencijalne jednadžbe problema torzije: 2 2 + = -2 G Θ pri čemu je G modul posmika, Φ relativni kut torzije te Φ = Φ(x,y) funkcija naprezanja koja ima konstantnu vrijednost u točkama konture, odnosno: = 0 2 Slika 3.2 12

Slika 3.3 Uvjet na konturi koji je ograničen jednom zatvorenom konturom glasi Φ = 0 Uvjet na čelnim pobočkama štapa glasi: M t =2 Φ(x,y) dxdy A Parcijalne derivacije funkcije Φ(x,y) po koordinatama daju komponente posmičnog naprezanja τ zx i τ zy. Veličina ukupnog posmičnog naprezanja jednaka je gradijentu funkcije Φ(x,y): τ = τ zx = τ zy = - zx 2 zy 2 Vidljivo je da se problem torzije svodi na određivanje funkcije naprezanja Φ(x,y) koja mora zadovoljavati Poissonovu diferencijalnu jednadžbu problema torzije u svim točkama poprečnoga presjeka, kao i jednadžbu za uvjete na konturi (Φ = 0) te jednažbu za uvjete na čelnim pobočkama štapa. Slika 3.4 13

Dijagram posmičnih naprezanja za štap pravokutnoga presjeka gdje je b<h, iz dijagrama je vidljivo da su naprezanja u uglovima jednaka nuli, dok je najveće posmično naprezanje u sredini stranice h, odnosno veće stranice u ovome slučaju točka A. τ A =τ max = t 2 τ B =η τ max Relativni kut torzije glasi: Θ = t 3 Iz relativnog kuta torzije možemo dobiti kut zaokreta s obzirom na duljinu štapa l te on glasi: t φ= l 3 Slika 3.5 Kako je vidljivo u tablici koeficijenti α,β, η ovise o odnosu visine i širine poprečnog presjeka. Slika 3.6 Na gornjoj slici nam je prikazan dijagram posmičnih naprezanja za štap eliptičnoga presjeka, te je vidljivo da se najveće posmično naprezanje pojavljuje u točkama A na krajevima male osi eliptičnoga presjeka. Naprezanje u točki A dano je izrazom: τ A = τ max t 2 14

Naprezanje u točki B dano je izrazom: τ B = t 2 a,b - poluosi elipse Kut zaokreta krajnjih presjeka štapa eliptičnoga presjeka dan je izrazom: φ= Kut zaokreta krajnjih presjeka štapa trokutastog istostraničnog presjeka neke duljine l dan je izrazom: Izraze za naprezanja I deformacije koje smo naveli možemo zapisati u općem obliku kao: τ max = φ= M t =G I t Θ Prikaz torzijskih momenata inercije i otpornih torzijskih momenata ovisno o obliku poprečnog presjeka Slika 3.7 15

4. TANKOSTIJENI ŠTAPOVI OPTEREĆENI TORZIJOM Štapovi odnosno tankostijeni gredni nosači kod kojih je jedna dimenzija poprečnog presjeka debljine stijenke manja od ostalih. Kao orijentacijsku granicu koristimo vrijednost da je t max 0,1b gdje je t max najveća debljina stijenke poprečnog presjeka dok je b neka druga dimenzija poprečnog presjeka. Tankostijeni nosači s obzirom na oblik poprečnog presjeka dijele se na : otvorene, zatvorene i otvoreno-zatvorene. Slika 4.1 Veličina i raspodjela tangencijalnih naprezanja uzrokovana čistom torzijom znatno se razlikuje kod tankostijenih nosača otvorenih i zatvorenih poprečnih presjeka. Dolazi do pojave smičnog toka po poprečnome presjeku. Slika 4.2 Kod otvorenih presjeka vanjskom momentu uvijanja ravnotežu drži moment unutrašnjih sila koje djeluju na malom kraku (slika a) Slika 4.3 Kod zatvorenih presjeka krak unutrašnjih sila djelovanja znatno veći (slika b) te stoga možemo zaključiti da zatvoreni presjeci imaju znatno veću čvrstoću i krutost od otvorenih presjeka. 16

4.1 TANKOSTIJENI ŠTAPOVI OTVORENOG POPREČNOG PRESJEKA Kao i prije promatramo slučaj slobodne torzije, koristeći membransku analogiju najlakše ćemo odrediti karakter naprezanja u poprečnome presjeku tankostijenog štapa. Slika 4.4 Zamislimo izrezan otvor u ravnoj ploči oblika poprečnog presjeka i na njemu napetu membranu opterećenu jednolikim pritiskom, očito je da se oblik membrane kao I naprezanje u štapu neće znatno izmjeniti ako se profile presjeka razvije. Iz toga slijedi da je naprezanje u promatranome otvorenom profilu približno jednako kao I u uskom pravokutnom presjeku, prema tome naprezanja I deformacije u otvorenom presjeku mogu se približno odrediti izrazima: Gore navedeni izrazi vrijede općenito za sve otvorene profile koji se mogu razviti u pravokutnik. Ukoliko je tankostijeni presjek sastavljen od dijelova različite debljine presjek podijelimo na pojedine dijelove konstantne debljine. Slika 4.5 Na osnovu izraza τ max i Θ za svaki pravokutni dio presjeka dobivamo : 17

gdje je b i debljina a s i duljina pravokutnika, s time da vrijedi b i << s i. moment torzije M t u presjeku možemo prikazati kao zbroj memenata M ti Ukoliko u gore navedeni izraz uvrstimo izraz za M ti i uzmemo u obzir da je relativni kut uvijanja Θ jednak za sve dijelove presjeka tada dobivamo: gdje je : Koristeći gore navedene formule te uvrštavanjem jedne u drugu dobivamo izraz za maksimalno naprezanje u i-tom elementu : Slijedi da je najveće naprezanje u presjeku nastaje u sredini stranica elementa koji ima najveću debljinu, odnosno maksimalno naprezanje dano je izrazom: Torzijski moment otpora poprečnog presjeka Membranskom analogijom može se lako pokazati da na unutarnjim uglovima izlomljenog profila dolazi do pojave koncentracije naprezanja jer je kut nagiba membrane α u točki A veći nego u ostlaim točkama unutarnje konture. Maksimalno naprezanje u unutarnjim uglovima ne možemo odrediti nego ih možemo samo analizirati detaljnom primjenom membranske analogije. Maksimalno posmično naprezanje dano izrazom τ max odnosi se na dijelove presjeka koji su dovoljno udaljeni od unutarnjih uglova. 18

Kako bismo smanjili koncentraciju naprezanja na mjestu unutarnjeg ugla zaobljuje se kontura presjeka, odnosno što je polumjer zaobljenja veći, koncentracija naprezanja biti će manja. Slika 4.6 Primjeri Torzijski moment tromosti i torzijski moment otpora za: Kružni tankostijeni otvoreni poprečni presjek Kutijasti otvoreni poprečni presjek Slika 4.7 Slika 4.8 19

4.2 TANKOSTIJENI ŠTAPOVI ZATVORENOG PRESJEKA OPTEREĆENI TORZIJOM Promatramo slučaj slobodne torzije cilindričnog štapa s tankim stijenkama zatvorenog profila, gdje se debljina stijenke t postupno mijenja uzduž konture presjeka tako da se može zanemariti koncentracija naprezanja. Središnjom linijom presjeka nazivamo skup točaka jednako udaljenih od vanjske i unutarnje konture poprečnoga presjeka. Slika 4.9 Prilikom deformacije štapa poprečni presjeci mogu se slobodno vitoperiti bez iskrivljavanja u svojoj ravnini, zbog čega nam oblik poprečnoga presjeka ostaje nepromijenjen. U krajnjim točkama normale n-n na središnju liniju presjeka vector naprezanja ima smjer tangente na vanjsku i unutarnju konturu presjeka, ali zbog male debljine presjeka elementa ti vektori su gotovo paralelni te zbog toga uzimamo da su nam vektori naprezanja τ paralelni s tangentom na središnju liniju presjeka. Ako s dva poprečna i dva uzdužna presjeka okomita na konturu iz štapa izrežemo element duljine dx te razmak između točaka odaberemo proizvoljno s time da je debljina u točki 1 t 1 a u točki 2 t 2. Ako vrijedi zakon o uzajamnosti poprečnih naprezanja u uzdužnim presjecima djeluju posmična naprezanja koja su jednaka, τ 1 i τ 2. Jednadžba ravnoteže u smjeru osi štapa daje: τ 1 t 1 dx τ 2 t 2 dx=0 τ 1 t 1= τ 2 t 2 budući da su točke 1 i 2 odabrane proizvoljno, to je produkt τ t=const. i naziva se tok posmičnih naprezanja. Obzirom da nam je tok posmičnih naprezanja τ t=const. iz uvjeta ravnoteže oko osi x koja je usporedna s osi štapa dobivamo: Krivolinijski integral uzet je duž zatovrene središnje linije presjeka duljine s. 20

Slika 4.10 prilikom integracije izraza za M t po središnjoj liniji presjeka produkt τ t=const te ga možemo izvući ispred integrala: Produkt ρ ds dvostruka je površina trokuta s vrhom u točki O, osnovice ds i visine ρ, a integral jednak je dvostrukoj površini obuhvaćenoj središnjom linijom presjeka, te ukoliko označimo tu površinu A 0 dobivamo: prva Bredtova for- Te naposlijetku dobivamo izraz za posmično naprezanje koje se naziva i mula : Pri konstantnoj debljini presjeka t, naprezanja τ u svim točkama presjeka jednaka su po veličini. U presjeku promenjive debljine najveće naprezanje će biti na mjestu gdje je debljina presjek najmanja: gdje je W torzijski moment otpora poprečnog presjeka. W t = 2 A 0 t min Slika 4.11 21

Pri konstantnoj debljini t presjeka, naprezanja τ u svim točkama presjeka jednaka su po veličini. U presjeku promjenjljive debljine najveće naprezanje τ bit će na mjestu gdje je debljina stijenke presjeka najmanja te je dano izrazom: τ max = gdje je W t =2 A 0 t min torzijski moment otpora poprečnoga presjeka. Zamislimo da smo s dva poprečna presjeka izdvojili element štapa duljine dx. Momenti torzije u tim presjecima pojavljuju se kao vanjsko opterećenje za izdvojeni dio štapa. Na kutu torzije dφ promatranog štapa moment torzije obavlja rad: dw= Specifična je potencijalna energija pri čistome posmiku dana izrazom u=t 2 /2 G Potencijalna energija akumulirana u elementarnom volumenu s površinom osnovice t ds i visine dx jednaka je: u t dsdx Energiju akumuliranu u čitavome promatranom dijelu štapa dobit ćemo integriranjem gornjeg izraza po dužini zatvorene središnje linije presjeka: Pri integriranju po središnjoj liniji presjeka produkt τ t, te G i dx konstantne su veličine pa se mogu izvući ispred znaka integrala: Uzimajući u obzir prvu Bredtovu formulu dobivamo: Ukoliko u izraz gore unesemo izraz za kut torzije promatranog štapa koji obavlja rad: Tada dobivamo relativni kut torzije : 22

Ovaj izraz poznat je kao druga Bredtova formula. Ako uvedemo oznaku: koja se pojavljuje kao geometrijska karakteristika tankostijenog presjeka pri torziji I naziva se torzijski moment krutosti onda dobivamo konačni oblik za relativni kut torzije Θ : 5. RIJEŠENI PRIMJERI Treba odrediti kut zaokreta i maksimalno posmično naprezanje nosača opterećenog momentom torzije M t = 5 knm. Poznat je modul elastičnosti E = 2 10 5 MPa i Poissonov koeficijent υ=0,3. Tražene vrijednosti odrediti za različite poprečne presjeke te usporediti rezultate. (svi promjeri i polumjeri dani su u milimetrima) E 2 10 5 MPa υ 0,3 G= = 0,769 10 5 MPa a) Kružni poprečni presjeci 1) Puni kružni poprečni presjek d=70 mm M t =5 knm G=0.769 10 5 MPa τ, Θ=? 4 70 4 Ip= = = 2.36 10 6 mm 4 32 32 23

3 70 Wp= = 3 = 6.73 10 4 mm 3 6 6 τ W p. = 74.3 MPa Θ = = 2.75 10-8 rad/m p,. 2) Prstenasti poprečni presjek D=70 mm d=30 mm M t = 5 knm G=0.769 10 5 MPa τ, Θ=? D I p = 4 4 - = 2.27 10 6 mm 4 32 32 W p = = 2.27 0 6 = 6.5 10 4 mm 3 D 70 τ = = = 76.92 MPa W p. Θ p.. = 2.86 10-8 rad/m 24

3) Tankostijeni zatvoreni poprečni presjek D=70 mm d=50 mm R=35 mm r=25 mm R sr = 30 mm M t = 5 knm G=0.769*10 5 MPa R r 35 25 Rsr= = = 30 mm 2 2 τ, Θ=? A0= Rsr 2 π 30 2 π 2827,43 mm 2 It 2 Rsr 3 π t 2 30 3 π 0.69 0 6 mm 4 W t 2 A t 2 Rsr 2 π t 2 30 2 π 0 56548.6 mm 3 τ = = 89.29 MPa 2 A 0 t. Θ = = 3.85 0-8 rad/m.. 4) Tankostijeni otvoreni poprečni presjek D=70 mm d=50 mm M t = 5 knm G=0.769*10 5 MPa τ, Θ=? Dsr=60 mm s= Dsr π 60 π 88.5 mm It /3 t 3 /3 Ds π t1 3 0.333 88.5 π 10 3 = 1.97 10 5 mm 4 25

τ= t 0 = 253.81 MPa t. Wt 2/3 Rst π t 2 0.666 30 π 0 2 = 6.28 0 3 mm 3 Θ.. = 3.3 0-7 rad/m b) Pravokutni poprečni presjeci 1) Pravokutni puni presjek h=50 mm b=50 mm M t = 5 knm G=0.769*10 5 MPa τ, Θ=? h/b=1 α 0.208 β 0. 4 t τ = = 192.31 MPa α 2. t Θ = 7.38 0-8 rad/m β 4.. 2) Pravokutni tankostijeni zatvoreni presjek h=46 mm b=46 mm M t = 5 knm G=0.769*10 5 MPa τ, Θ=? 26

A0=46 2 =2116 mm 2 2 2 h 2 2 46 2 46 2 8 It= = = 778 688 mm 4 h 46 46 W 2 t 2 46 2 t= 33 856 mm 3 Θ = 8.34 0-8 rad/m. τ = = 295.37 MPa 2 0 t min 3) Pravokutni tankostijeni otvoreni presjek h=46 mm b=46 mm M t = 5 knm G=0.769*10 5 MPa τ, Θ=? 3 4 3 It= (46+46)= 1962.67 mm 4 3 3 τ t 4= 10190.2 MPa 962.67 Θ= = = 3.31 10-5 rad/m.. 27

6. ZAKLJUČAK U riješenim primjerima su izraćunate vrijednosti posmičnih naprezanja i deformacija određenih poprečnih presjeka za opterećenje ravnih štapova momentom torzije. a) Riješavani su : a) Kružni poprečni presjeci: Puni presjek Prstenasti presjek Tankostijeni zatvoreni poprečni presjek Tankostijeni otvoreni poprečni presjek Vanjski promjer svih poprečnih presjeka je isti. b) Pravokutni poprečni presjeci: Puni presjek Tankostijeni zatvoreni poprečni presjek Tankostijeni otvoreni poprečni presjek Vanjska širina i visina svih pravokutnih poprečnih presjeka je ista. Tablična usporedba rezultata izračunatih vrijednosti naprezanja i deformacija: 28

Razmotrimo prvo kružne poprečne presjeke: Kružni presjeci: Puni τ=74.3 MPa Θ=2.75 10-8 rad/m Prstenasti τ=76.92 MPa Θ=2.86 10-8 rad/m Tankostijeni zatvoreni τ=89.29 MPa Θ=3.85 10-8 rad/m Tankostijeni otvoreni τ=253.81 MPa Θ=3.3 10-7 rad/m Kod kružnih presjeka najmanje posmično naprezanje nam daje puni presjek τ=74.3 MPa, zatim prstenasti τ=76.92 MPa, zatim tankostijeni zatvoreni poprečni presjek τ=89.29 MPa te naposlijetku tankostijeni otvoreni presjek τ=253.81 MPa. Kada gledamo relativni kut zaokreta najmanji kut zaokreta daje nam puni presjek Θ=2.75 10-8 rad/m, zatim prstenasti presjek Θ=2.86 10-8 rad/m, tankostijeni otvoreni Θ=3.85 10-8 rad/m te najveći kut zaokreta daje tankostijeni zatvoreni presjek Θ=3.3 10-7 rad/m. Uzimajući u obzir navedene rezultate najbolji presjek koji možemo iskoristiti je puni presjek. Pravokutni presjeci: Puni τ=192.31 MPa Θ=7.38 10-8 rad/m Tankostijeni zatvoreni τ=295.37 MPa Θ=8.34 10-8 rad/m Tankostijeni otvoreni τ=10190.2 MPa Θ=3.3 10-7 rad/m Iz rezultata je vidljivo da nam je za jednak iznos opterećenja posmično naprezanje najmanje kod punog presjeka te iznosi τ=192.31 MPa, zatim kod tankostijenog zatvorenog presjeka gdje posmično naprezanje iznosi τ=295.37 MPa te na posljednjem mjestu tankostijeni otvoreni presjek koji daje posmično naprezanje τ=10190.2 MPa. Uzimajući u obzir kut zaokreta poredak je jednak. Odnosno puni presjek Θ=7.38 10-8 rad/m, zatim tankostijeni zatvoreni Θ=8.34 10-8 rad/m te najlošiji presjek tankostijeni otvoreni Θ=3.31 10-5 rad/m. Uzimajući u obzir navedene rezultate najbolji presjek koji možemo iskoristiti je puni presjek. Ako u obzir uzimamo iskorištenost i količinu potrebnog materijala tada možemo reći da je u štapu šupljeg poprečnog presjeka materijal bolje iskorišten odnosno za jednake momente otpora prstenastog i punog presjeka štap prstenastog presjeka može izdržati jednako opterećenje s manjim utroškom materijala. Najpovoljniji su poprečni presjeci cijevnog oblika. 7. LITERATURA 1. Šimić, V.:Otpornost materijala I, Školska knjga, Zagreb, 1992. 2. Alfirević, I.:Nauka o čvrstoći I, Tehnička knjiga, Zagreb, 1995. 3. Brnić, J.; Turkalj, G.:Nauka o čvrstoći I, Tehnički fakultet Sveučilišta u Rijeci, 2004 4. http://rgn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/pdf_otpornost/6_2012_uvijanje%20%20stapova.pdf 5. http://gradst.unist.hr/portals/9/docs/katedre/teorija%20konstrukcija/onk%20ii/onkii-11.pdf 29