Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b + c ima ekstrem čija vrijednost 4 a c b =. 4 a Ekstrem je minimum ako je a >, maksimum ako je a <. f = a + b + c jest interval Ako je a < skup svih vrijednosti funkcije 4 a c b,. 4 a a = f = + c b. = f = a + b + c c = c Budući da je skup svih vrijednosti zadane funkcije interval, 3 ], a = <, najveća vrijednost funkcije je 3 pa vrijedi: a = 4 a c b 4 ( ) c ( ) 4 c 4 = 3 b = = 3 = 3 4 a 4 ( ) 4 c = c 4 c 4 = 3 / ( 4) 4 c 4 = 4 c = + 4 4 c = 8 4 Odgovor je pod A Vježba 8 ( ) 4 c = 8 /: 4 c =. Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 5 ]. Tada je: Rezultat: B. Zadatak 8 (Nina, gimnazija) A. c = B. c = 4 C. c = 3 D. c = 4 Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval [ 3, +. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b + c ima ekstrem čija vrijednost 4 a c b =. 4 a Ekstrem je minimum ako je a >, maksimum ako je a <.
Ako je a > skup svih vrijednosti funkcije f = a + b + c jest interval 4 a c b, + 4 a a = f = + c b. = f = a + b + c c = c Budući da je skup svih vrijednosti zadane funkcije interval [ 3, +, a = >, najmanja vrijednost funkcije je 3 pa vrijedi: a = 4 a c b 4 c ( ) 4 c 4 = 3 b = = 3 = 3 4 a 4 4 c = c 4 c 4 = 3 / 4 4 c 4 = 4 c = + 4 4 c = 6 4 4 c = 6 /: 4 c = 4. Odgovor je pod D Vježba 8 Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval [ 5, +. Tada je: Rezultat: C. Zadatak 83 (Marin, gimnazija) A. c = 4 B. c = 5 C. c = 6 D. c = 7 Odredite jednadžbu parabole prikazane na slici.. Rješenje 83 Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. n m n m a = a, a a = a +. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Broj je nultočka funkcije f ako vrijedi f =. Nultočka grafa je točka u kojoj graf siječe os apscisa (dakle = ). Nultočke kvadratne funkcije f() = a + b + c rješenja su pripadne kvadratne jednadžbe a + b + c = jer je za njih f() =. Njezine realne nultočke sjecišta su njezinoga grafa s osi.
Faktorizacija kvadratnog trinoma Svaki se kvadratni trinom može napisati u obliku a + b + c = a, gdje su i rješenja pripadne kvadratne jednadžbe a + b + c =. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, je parabola = a + b + c. = = 4 Sa slike vidi se da su nultočke = i = 4 pa jednadžba parabole glasi: a = =, = 4 = ( ) ( 4) = ( 4) = 4. = a ( ) ( ) Vježba 83 Odredite jednadžbu parabole prikazane na slici. Rezultat: = 5. Zadatak 84 (Zabrinuta, hotelijerska škola) Za neku kvadratnu funkciju f = a + b + c vrijedi da je njezina najveća vrijednost. Što od navedenoga vrijedi za tu funkciju? A. a = 3, D > B. a =, D = C. a =, D < D. a = 3, D = 3
Rješenje 84 Diskriminanta kvadratne jednadžbe a + b + c = je broj D = b 4 a c. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, a je parabola = a + b + c. Tjeme T najniža je točka parabole i parabola je otvorena prema gore ako je a >. Tjeme T najviša je točka parabole i parabola je otvorena prema dolje ako je a <. Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Kvadratna funkcija (polinom drugog stupnja) f = a + b + c, ima ekstrem u točki s apscisom b =. a Vrijednost ekstrema iznosi: 4 a c b b 4 a c D = = =. 4 a 4 a 4 a Ekstrem je minimum ako je a >, maksimum ako je a <. a, b a. b = = a > D = a < D = Maksimalna vrijednost kvadratne funkcije jednaka je nuli pa vrijedi: D = D 4 a = D =. = 4 a Budući da kvadratna funkcija ima maksimalnu vrijednost, kvadratni koeficijent a mora biti negativan, a <. Tražimo odgovor gdje je a < i D =. Odgovor je pod B. Vježba 84 Za neku kvadratnu funkciju Što od navedenoga vrijedi za tu funkciju? f = a + b + c vrijedi da je njezina najveća vrijednost. 4
A. a = 5, D > B. a = 7, D = C. a =, D < D. a = 3, D = Rezultat: B. Zadatak 85 (Katarina, gimnazija) f = 3 + na faktore. Rastavite polinom Rješenje 85 n m n m,, a a = a a : a = a a b = ( a b) ( a + b), b = a. b Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Faktorizacija kvadratnog trinoma Svaki se kvadratni trinom može napisati u obliku a, gdje su i rješenja pripadne kvadratne jednadžbe a + b + c =..inačica Kvadratni trinom rastavimo na faktore metodom grupiranja. Dakle, 3 + = metoda = + + = + + = grupiranja ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + + = + + + =.inačica Kvadratni trinom ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + 3. f 3 f 3. = + = ( + ) ( ) f = 3 + rastavit ćemo na faktore tako da najprije riješimo kvadratnu jednadžbu. a = 3, b =, c = 3 + = 3 + = b ± b 4 a c a = 3, b =, c =, = a 4 3 ± 4 6, 3 ± +, 6 ± = =, = 6 5
4 6 6 4 = 6 = 6 = = ± 6, =. 6 + 4 = = = = 3 6 6 6 Sada je a = 3, =, = 3 f = 3 + f = 3 ( ( ) ) 3 f = a ( ) ( ) Vježba 85 Rastavite polinom Rezultat: ( + ) ( ) f = 3 ( + ) f = ( + ) ( 3 ). 3 f = + na faktore.. Zadatak 86 (Marko, tehnička škola) Odredi polinom drugog stupnja f = a + b + c ako je f() =, f() = te 3 3 f + = f za svaki realni broj. Rješenje 86 n n n a c a d + b c a c a d b c a a n =, + =, =, = n. b d b d b d b d b b Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Iz uvjeta f() = izračunamo koeficijent c. f = a + b + c a + b + c = c =. f = Traženi polinom drugog stupnja ima oblik f = a + b. Iz uvjeta f() = dobije se f = a + b f = a + b = a + b = a + b =. 3 3 Budući da je f + = f za svaki realni broj, možemo uzeti, na primjer, da je = pa slijedi: 6
= 3 3 3 3 3 3 f + = f a + + b + = a + b f = a + b 3 3 3 3 a + + b + = a + b 3 + 3 + 3 3 5 5 a + b = a + b a + b = a + b 5 5 5 5 a + b = a + b a + b = a + b / 4 4 4 4 4 5 a + b = a + b 5 a + b a b = 4 a + 8 b = 4 a + 8 b = /: 8 3 a + b =. Sada imamo sustav jednadžbi: Računamo b. 7 ( ) a + b = metoda suprotnih a + b = / a b = 3 a + b = koeficijenata 3 a + b = 3 a + b = Polinom drugog stupnja glasi: Vježba 86 a =, b = 3, c = f = a + b + c a = a = /: a =. a + b = + b = b = + b = 3. a = Odredi polinom drugog stupnja 3 3 f + f = za svaki realni broj. Rezultat: f = + 3. Zadatak 87 (Katarina, maturantica) = 3. Odredite najmanju vrijednost funkcije f = + 3 + f = + 3. f = a + b + c ako je f() =, f() = te f = a 3 +, ako se ta vrijednost postiže za Rješenje 87 a n a c a d + b c a c a d b c a d n,,, b = + = = =. b d b d b d b d c b c d Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik
f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Kvadratna funkcija (polinom drugog stupnja) f = a + b + c, ima ekstrem u točki s apscisom b =. a Vrijednost ekstrema iznosi: 4 a c b =. 4 a Ekstrem je minimum ako je a >, maksimum ako je a <. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Najprije odredimo vodeći koeficijent a. a = a f = a 3 + b = 3 3 f = a 3 + 3 3 = = a a = a, b = 3, c = b = a 3 = 3 3 = 3 / a 3 = 6 a 6 a = 3 6 a = 3 /: 6 a =. a a Zadana funkcija glasi: a = f = 3 +. f = a 3 + Računamo najmanju vrijednost funkcije..inačica = 3 f = 3 + 9 f ( 3) = 3 3 3 + f ( 3) = 9 + 9 8 + 8 8 f ( 3) = f ( 3) = f ( 3) = f ( 3) = 4..inačica a =, b = 3, c = 4 ( 3) 4 9 = = 4 a c b 4 4 = 4 a 9 8 8 = = = = 4. 8
Vježba 87 Odredite najmanju vrijednost funkcije za = 3. Rezultat: = 4. Zadatak 88 (Ivan, gimnazija) f = b +, ako se ta vrijednost postiže Ako polinom f ( ) = a ima dvostruki korijen nađi f ( ) + f Rješenje 88. Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, a je parabola = a + b + c. Diskriminanta kvadratne jednadžbe a + b + c = je broj D = b 4 a c. Ako je D >, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D =, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Ako je D <, jednadžba ima kompleksno konjugirana rješenja. D = = = D = Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Parabola (graf kvadratne funkcije f) dira os ako je diskriminanta pripadne kvadratne jednadžbe jednaka nuli. Tada jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Dalje slijedi: a = a = a, b =, c = ( ) 4 a ( ) = a = a, b =, c = b 4 a c = 4 + 8 a = 8 a = 4 8 a = 4 /: 8 4 4 a = a = a =. 8 8 Polinom f ima oblik: 9
f = a f =. a = Sada je: f ( ) + f = f = = ( ) ( ) + = = + = + = = = 5. Vježba 88 f a f + f. Ako polinom = ima dvostruki korijen nađi Rezultat: 8. Zadatak 89 (Matija, gimnazija) f = a 7 + 4 a je negativna za svaki ako vrijedi: Funkcija Rješenje 89 7 5 A. a < B. a < C. a < D. a > 4 4 Unija skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze u skupu A i sve elemente koji se nalaze u skupu B. Označavamo ga: A B. Presjek skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze i skupu A i u skupu B. Označavamo ga: A B. Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, =, <. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki,, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, <, je =. < a, a a b > a, a >, a < b, c < >. > a a, + c c n m n m a = a, a a = a +. Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, a je parabola Diskriminanta kvadratne jednadžbe je broj a b c. = + + a + b + c =
D = b 4 a c. Ako je D >, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D =, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Ako je D <, jednadžba ima kompleksno konjugirana rješenja. Kada kvadratna funkcija nema realnih nultočaka parabola ne siječe os apscisa, tj. D <. Ako je a < parabola je okrenuta prema dolje. Skup za koji je kvadratna funkcija f() < iscrtan je ispod osi apscisa. a < D < Najprije odredimo diskriminantu kvadratne jednadžbe. a 7 + 4 a = a = a, b = 7, c = 4 a a 7 + 4 a = a = a, b = 7, c = 4 a D = b 4 a c D = 7 4 a 4 a D = 49 6 a. Budući da je funkcija f() negativna za svaki, mora vrijediti: a < a < a < a < D < 49 6 a < 6 a < 49 6 a < 49 /: ( 6) a < a < a < a < 49 49 49 7 a > a > / a > a > 6 6 6 4 a < a, 7 7 7 7 a <, a > a,, + 4 4 4 4 gledamo presjek (zajednički dio) 7 7 a,,, + dva skupa rješenja 4 4 7 7 a, a <. 4 4 - + Odgovor je pod A. - 7 4 7 4
Vježba 89 Funkcija Rezultat: A. f = 4 a 7 + a je negativna za svaki ako vrijedi: 7 5 A. a < B. a < C. a < D. a > 4 4 Zadatak 9 (Matija, gimnazija) P = + r + poprima pozitivne vrijednosti za sve realne vrijednosti, ako Polinom parametar r pripada intervalu: Rješenje 9 A., B., 4 C. 3, D., Parametar Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb,. Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata. Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 983. Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje. Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, =, <. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki,, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, <, je =. a b < a, a > a < < a a, a, a < b, c > <. c c a + a b + b = a + b, za svaki R, a = a, a = a. n n n a b ( a b) = a b, a > b, c < <. c c Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, a je parabola Diskriminanta kvadratne jednadžbe je broj a b c. = + + a + b + c = D = b 4 a c. Ako je D >, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D =, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje.
Ako je D <, jednadžba ima kompleksno konjugirana rješenja. Kada kvadratna funkcija nema realnih nultočaka parabola ne siječe os apscisa, tj. D <. Ako je a > parabola je okrenuta prema gore. Skup za koji je kvadratna funkcija f() > iscrtan je iznad osi apscisa. a > D <.inačica Najprije odredimo diskriminantu kvadratne jednadžbe. + r + = a =, b = r, c = + r + = a =, b = r, c = D = b 4 a c D = r 4 D = 4 r 4. Budući da je funkcija f() pozitivna za svaki, mora vrijediti: a = > 4 r 4 < 4 r < 4 4 r < 4 /: 4 r < r < / D < Odgovor je pod A..inačica Preoblikujemo zadani polinom. r < < r < r,. P = + r + P = + r + r r + P = + r + r r + P = + r r +. Budući da je kvadrat realnog broja uvijek nenegativan broj, a mora biti P() > za svaki, slijedi: P = ( + r) r + + r r + > + r r + > P > Odgovor je pod A. Vježba 9 Polinom r > r > / r < r < / ako parametar r pripada intervalu: Rezultat: A. ( ) r < < r < r,. P = + 4 r + poprima pozitivne vrijednosti za sve realne vrijednosti, A., B., 4 C. 3, D., 3
Zadatak 9 (Lucija, srednja škola) 3 Zadana je funkcija f = + 3. 4 a) Odredite koordinate sjecišta grafa funkcije f s osi. b) Kolika je maksimalna vrijednost funkcije f? Rješenje 9 Ako graf funkcije f siječe os tada je apscisa sjecišta jednaka, tj. =. f S(, ) Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, O gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. f = a + b + c ima ekstrem čija vrijednost Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi 4 a c b =. 4 a Ekstrem je minimum ako je a >, maksimum ako je a <. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b a) Kada graf funkcije f siječe os tada je apscisa sjecišta jednaka, tj. =. = Koordinate sjecišta glase: 3 f = + 3 4 3 f = + 3 f =. 4 = S ( ) S,,. b) Budući da je zadana kvadratna funkcija kojoj je vodeći koeficijent negativan broj njezina maksimalna vrijednost iznosi: 3 a = <, 4 3 3 f = + 3 4 ( ) 3 4 4 a c b 4 3 = 4 a = 3 a =, b = 3, c = 4 4 4 4
3 4 ( ) 3 4 6 9 3 3 = = = = =. 3 3 3 3 4 4,5 3 4 -,5 - -,5 - S(, - ) Vježba 9 osi. Zadana je funkcija Rezultat: S ( ) = S ( ) 3 f = + 3 5. Odredite koordinate sjecišta grafa funkcije f s 4,, 5. Zadatak 9 (4A, TUPŠ) Ekološka udruga je. godine provela istraživanje o kakvoći zraka. Broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka (M) procjenjuje se prema formuli M =. t.4 t + 4.3, gdje je t broj godina proteklih od. godine. a) Koliki je procijenjeni broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka za 6. godinu? b) Koje će godine prema toj procjeni biti najmanji broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka? Rješenje 9 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Kvadratna funkcija (polinom drugog stupnja) ima ekstrem u točki s apscisom Vrste ekstrema: minimum ako je a > maksimum ako je a <. f = a + b + c, b =. a a) Računamo koliki je procijenjeni broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka za 5
6. godinu. Od. godine do 6. godine proći će 6 godina pa vrijedi: t = 6 M =. t.4 t + 4.3 M =. 6.4 6 + 4.3 M = 3.3 3. b) Računamo koje će godine prema toj procjeni biti najmanji broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka. Budući da je M =. t.4 t + 4.3, kvadratna funkcija (varijabla je t), a vodeći je koeficijent pozitivan a =. a >, funkcija ima minimum za M =. t.4 t + 4.3 b.4 t = t = t =. a =., b =.4, c = 4.3 a. Prema toj procjeni to će biti za godina ili. godine. + =. Vježba 9 Ekološka udruga je. godine provela istraživanje o kakvoći zraka. Broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka (M) procjenjuje se prema formuli M =. t.4 t + 4.3, gdje je t broj godina proteklih od. godine. Koliki je procijenjeni broj molekula ugljikova monoksida na milijun molekula zraka za 8. godinu? Rezultat: 3. Zadatak 93 (Leo i Marko, tehnička škola) Ispitaj svojstva i skiciraj graf funkcije Rješenje 93 f = + 6 8. Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, je parabola = a + b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Ispitivanje tijeka kvadratne funkcije. Utvrdimo predznak vodećeg koeficijenta a. Prema njemu odredi se okrenutost parabole: 6
a > parabola je okrenuta prema gore a < parabola je okrenuta prema dol je.. Odrede se nultočke funkcije rješavanjem pripadne kvadratne jednadžbe: a + b + c =. Pritom vrijedi: D = b 4 a c > funkcija ima d vije nultočke D = b 4 a c = funkcija ima j ednu nultočku D = b 4 a c < funkcija nema nultoča ka. 3. Odredi se tjeme parabole T(, ).. način b 4 a c b =, a = 4 a. način + =, = f ( ), gdje su i nultočke (ako postoje). 4. Odredi se os simetrije parabole. To je pravac b =. a 5. Odredi se sjecište parabole s osi. Uvrsti se u funkciju = i izračuna = f(). To je točka 6. Napravimo tablicu pada i rasta funkcije: a > a < ( f ),. + f() + ց ց ր ր + + f() ր ր ց ց 7. Skiciramo parabolu, graf kvadratne funkcije. Ajmo, dečki, malo računati!. Utvrdimo predznak vodećeg koeficijenta a. a = f = + 6 8 b = 6 a = <. c = 8 Parabola je okrenuta prema dolje.. Odredimo nultočke funkcije rješavanjem pripadne kvadratne jednadžbe: + 6 8 = + 6 8 = / 6 + 8 = ( ) a =, b = 6, c = 8 6 + 8 = b ± b 4 a c a =, b = 6, c = 8, = a 7
6 ± 6 4 8 6 36 3 6 4, ±, ± = =, = 6 + 8 8 6 = = = ± = 4, =. 6 4 4 = = = = 3. Odredi se tjeme parabole T(, ).. način a = f = + 6 8 b = 6. c = 8 Računamo. b 6 6 6 = = = = = 3. a Računamo. 4 a c b 4 8 6 3 36 4 = 4 = 4 = a 4 = 4 4 =. 4 = Tjeme parabole je T ( 3, ). 4. Odredi se os simetrije parabole. a = f = + 6 8 b = 6. c = 8 To je pravac b 6 6 6 = = = = = 3. a 5. Odredi se sjecište parabole s osi. Uvrsti se u funkciju = i izračuna = f(). To je točka = f = + 6 8 6. Napravimo tablicu pada i rasta funkcije: a = < 7. Skiciramo parabolu, graf kvadratne funkcije. f = + 6 8 = 8. f (, 8 ). 3 4 + f() ր ր ց ց 8
,,8 T A,6,4, -, F H G,5,5,5 3 3,5 4 4,5 -,4 -,6 -,8 - -, os simetrije -,4 -,6 Vježba 93 -,8 Ispitaj svojstva i skiciraj graf funkcije f = + +. Rezultat: + 9 f() ր ր ց ց Zadatak 94 (Feli, maturant) Mjesta A i B udaljena su 53 km i povezana ravnom željezničkom prugom, a mjesta B i C povezana su ravnom autocestom. Kut između ceste i pruge jest 6 kao što je prikazano na skici. U isto je vrijeme vlak krenuo iz mjesta A prema mjestu B, a automobil iz mjesta B prema mjestu C. Oba vozila kreću se konstantnim brzinama pri čemu je automobil dvostruko brži od vlaka. Koliko će kilometara prijeći vlak od trenutka polaska iz mjesta A do trenutka u kojemu će zračna udaljenost između automobila i vlaka biti najkraća? A 6 B Rješenje 94 C Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s = v t, gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti: 9
a = b + c b c cos α, b = a + c a c cos β, c = a + b a b cos γ. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. n n n a b = a a b + b, a b = a b, cos 6 =, a = a. n m n + m a a = a, a < b a < b. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Kvadratna funkcija (polinom drugog stupnja) f = a + b + c, ima ekstrem u točki s apscisom b =. a Vrijednost ekstrema iznosi: 4 a c b =. 4 a Vrste ekstrema: minimum ako je a > maksimum ako je a <. A v D 53 - s s = v t 6 B s = v t v E C Sa slike vidi se: DE =, AB = 53 km, AD = s = v t, DB = 53 s = 53 v t, BE = s = v t
Neka je t vrijeme za koje je vlak prevalio put i došao u točku D, a automobil prešao put DBE = 6. s s = v t = v t i nalazi se u točki E. Da bismo izračunali udaljenost između automobila i vlaka uočimo trokut DEB i uporabimo kosinusov poučak. Vrijedi: DE = DB + BE DB BE cos DBE = 53 v t + v t 53 v t v t cos 6 = 89 6 v t + v t + 4 v t ( 53 v t) v t = 89 6 v t + v t + 4 v t ( 53 v t) v t = 89 6 v t + v t + 4 v t 53 v t v t = 89 6 v t + v t + 4 v t 6 v t + v t = 7 v t v t + 89 = 7 v t v t + 89 / = 7 v t v t + 89. Uočimo da je pod korijenom kvadratna funkcija po varijabli t (vremenu) čiji je vodeći koeficijent f t = 7 v t v t + 89 a = 7 v pozitivan pa funkcija ima minimalnu vrijednost za b t =. a Budući da udaljenost mora biti najkraća, trebamo odrediti t za koji kvadratna funkcija f(t) ima najmanju vrijednost. f ( t) = 7 v t v t + 89 f ( t) = 7 v t v t + 89 a = 7 v, b = v, c = 89 b v v 6 t = t = t = t =. a 7 v 7 v 7 v Broj kilometara koji će vlak prijeći od trenutka polaska iz mjesta A do trenutka u kojemu će zračna udaljenost između automobila i vlaka biti najkraća, iznosi: 6 t = 6 6 6 7 v s = v s = v s = s = 5.43. 7 v 7 v 7 s = v t
Vježba 94 Mjesta A i B udaljena su 53 km i povezana ravnom željezničkom prugom, a mjesta B i C povezana su ravnom autocestom. Kut između ceste i pruge jest 6 kao što je prikazano na skici. U isto je vrijeme vlak krenuo iz mjesta A prema mjestu B, a automobil iz mjesta B prema mjestu C. Oba vozila kreću se konstantnim brzinama pri čemu je vlak dvostruko sporiji od automobila. Koliko će kilometara prijeći vlak od trenutka polaska iz mjesta A do trenutka u kojemu će zračna udaljenost između automobila i vlaka biti najkraća? A 6 B Rezultat: 5.43. Zadatak 95 (Marijan, maturant) f = 3 6 + p gdje je p R. Zadana je funkcija C a) Za koju vrijednost parametra p umnožak rješenja jednadžbe f() = iznosi 5? b) Za koje vrijednosti parametra p funkcija f poprima pozitivne vrijednosti za svaki R? Rješenje 95 Parametar Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb,. Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata. Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 983. Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. a b a < b, c > <. c c Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Diskriminanta kvadratne jednadžbe a + b + c = je broj D = b 4 a c. Ako je D >, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D =, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Ako je D <, jednadžba ima kompleksno konjugirana rješenja.
Jednadžba oblika a + b + c = (a, b i c su realni brojevi) naziva se kvadratna jednadžba. Svaki broj (realan ili kompleksan) koji zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje kvadratne jednadžbe. Rješenja i kvadratne jednadžbe a + b + c = zadovoljavaju Vièteove formule: b c + =, =. a a Budući da tražimo sjecišta grafova zadanih funkcija, izjednačit ćemo izraze kojima su zadane te funkcije. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, je parabola a), = a + b + c. Budući da je umnožak rješenja jednadžbe f() =, tj, 3 6 + p = jednak 5, prema Vièteovoj formuli slijedi: c f = 3 6 + p p = 5 = 5 5 a a = 3, b = 6, c p 3 = = p = 5 / 3 p = 5 3 p = 5 p = 3 p = 3 / ( ) p = 3. b) Odredimo koeficijente kvadratne funkcije f. f = 3 6 + p f = 3 6 + p. a = 3, b = 6, c = p Budući da je vodeći koeficijent a pozitivan a = 3 >, funkcija f poprima pozitivne vrijednosti za svaki R ako je njezina diskriminanta manja od nule (negativna). a = 3, b = 6, c = p D < ( 6) 4 3 ( p) < b 4 a c < 36 p < 36 4 + p < p < 36 + 4 p < p < /: p <. - - + p,. 3
Vježba 95 Zadana je funkcija umnožak rješenja jednadžbe f() = iznosi 4? Rezultat: p =. Zadatak 96 (4A, 4B, TUPŠ) na slici. f = 3 6 + p gdje je p R. Za koju vrijednost parametra p Odredite koeficijente a, b, c kvadratne funkcije f = a + b + c čiji je graf prikazan,5 - O -4-3 - - -,5 - -,5 - Rješenje 96 n m n + m a a = a, a a = a, b = a. b Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Nultočka grafa je točka u kojoj graf siječe os apscisa ( = ). Vrijednost za koju je f() = zove se nulište funkcije. Najčešće se za oba pojma rabi izraz nultočka. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, parabola je -,5 = a + b + c, s tjemenom u točki T(, ) dobivena translacijom parabole = a. U točki funkcija f poprima najmanju vrijednost ako je a >, a najveću vrijednost ako je a <. Množenje zagrada ( a + b) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d. Broj je nultočka funkcije f ako vrijedi. f = Realna nultočka funkcije apscisa je točke u kojoj graf funkcije siječe (ili dira) os. Grafički nultočke određujemo tako da nacrtamo parabolu = a + b + c i odredimo točke na osi u kojima parabola siječe (ili dira) os. Ako su poznate nultočke i kvadratne funkcije, tada se ona može faktorizirati 4
f = a + b + c, nultočke funkcije Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. f = a. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c.,5 - O -4-3 - - -,5 - -,5 - -,5 Sa slike vidi se da funkcija ima nultočke = i = pa njezina jednadžba izgleda ovako: = f = a ( ) ( ) f = a ( ( ) ) ( ) = U nuli funkcija ima vrijednost. Sada možemo izračunati vrijednost koeficijenta a. f = a +. f =. ( ) ( ) f = a + f = a + f = a f = a f = = a a = a = /: a =. Tražena funkcija izgleda: ( ) ( ) f = + f = + f = + a = f = + b =. c = Vježba 96 na slici. Odredite koeficijente a, b, c kvadratne funkcije f = a + b + c čiji je graf prikazan 5
,5,5 - -5-4 -3 - E - F 3 4 5 -,5 - -,5 - -,5-3 -3,5-4 -4,5 G - 4 Rezultat: a =, b =, c = 4. Zadatak 97 (Larisa, gimnazija) Riješite nejednadžbu ( ) Rješenje 97 4 < 9 i rješenje napišite uz pomoć intervala. n a c a d b c a c a d + b c b d b d b d b d a < b < c, n R a + n < b + n < c + n. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. ( a b) = a a b + b, n =, =, + =. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, =, <. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki,, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, <, je =. a = a, < a, a > a < < a. Graf kvadratne funkcije f() = a + b + c je parabola. Ovisno o mogućem predznaku vodećeg koeficijenta a parabola može biti okrenuta otvorom prema gore ili dolje. Ako je a >, parabola je okrenuta otvorom prema gore. Ako je a <, parabola je okrenuta otvorom prema dolje..inačica Preoblikujemo zadanu nejednadžbu. 4 < 9 4 + < 9 4 8 + 4 < 9 4 8 + 4 9 < Trebamo riješiti nejednadžbu 4 8 5 <. 6
4 8 5 <. Najprije odredimo nultočke jednadžbe: a = 4, b = 8, c = 5 4 8 5 = 4 8 5 = b ± b 4 a c a = 4, b = 8, c = 5, = a ( 8) ( 8) 4 4 ( 5) ± 8 64 8 8 44, 4 ± +, 8 ± = =, = 8 8 4 4 8 = 8 = 8 = 8 = ±, =. 8 8 + 5 = 8 = 8 = 8 = Nakon toga skiciramo njezin graf (to je parabola ''otvorom'' okrenuta prema gore, a = 4 > ). + + 5 - C - 5 Graf kvadratne funkcije (parabola) siječe os u dvije točke: = i =. U točkama 5 = i = vrijedi jednakost =, pa one nisu rješenja zadane nejednadžbe <. Zato ih nismo popunili. Funkcija je negativna na onom intervalu gdje se njezin graf nalazi ispod osi. Taj je interval (označeno crveno na slici) skup rješenja kvadratne nejednadžbe 4 8 5 <. Vidimo da graf leži ispod osi na dijelu od prve nultočke Rješenje nejednadžbe tj. nejednadžbe je.inačica 4 8 5 <, ( ) 4 < 9 5,. = do druge nultočke 5 =. 7
9 9 4 ( ) < 9 4 ( ) < 9 / ( ) < ( ) < / 4 4 4 9 3 3 3 3 3 < < < < < < / + 4 3 3 3 3 3 + 3 + + < + < + + < + < + < < 5 5 < <,. Vježba 97 Riješite nejednadžbu ( ) 4 9 < i rješenje napišite uz pomoć intervala. Rezultat: 5,. Zadatak 98 (Pero, tehnička gimnazija) f = a + b + c, ako su nultočke suprotni brojevi i Odredi polinom drugog stupnja ako je f( 4) =, f() = 6. Rješenje 98 Broj je nultočka funkcije f ako vrijedi f =. Nultočka grafa je točka u kojoj graf siječe os apscisa (dakle = ). Nultočke kvadratne funkcije (polinoma drugog stupnja) f() = a + b + c rješenja su pripadne kvadratne jednadžbe a + b + c = jer je za njih f() =. Njezine realne nultočke sjecišta su njezinoga grafa s osi. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b f = a + b + c čije su nultočke suprotni Najprije pokažimo da polinom drugog stupnja brojevi ima oblik f = a + c. Neka su zadana dva suprotna broja = i =, koji su nultočke polinoma f = a + b + c. Tada je: a + b + c = a + b + c = a + b + c a + b + c = a + b + c = a ( ) + b ( ) + c a + b + c = a b + c a + b + c = a b + c [ ] b = b b + b = b = b =. Polinom drugog stupnja ima oblik Dalje slijedi: f = a + c. 8
f = 6 a + c = 6 a + c = 6 f = a + c f ( 4) = a ( 4) + c = 6 a + c = + c = 6 c = 6 6 a 6 = 6 a = + 6 6 a = 8 6 a + c = 6 a + c = 8 8 6 a = 8 / a = a = a =. 6 6 6 Polinom glasi: a = f = a + c f = 6. c = 6 Vježba 98 Odredi polinom drugog stupnja čije su nultočke suprotni brojevi te za koji je f() =, f( 4) = 6. Rezultat: f = +. Zadatak 99 (B, TUPŠ) Odredi broj m tako da točka A(, 8) pripada grafu funkcije Rješenje 99 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, f = m. gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, parabola je a b c, = + + s tjemenom u točki T(, ) dobivena translacijom parabole = a. Budući da točka A mora ležati na paraboli = m, uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole. A(, ) = A(, 8) 8 m 8 m 8 m = = = = m Vježba 99 m = 8 m = 8 /: m = 4. Odredi broj m tako da točka A(, 4) pripada grafu funkcije Rezultat: m =. f = m. 9
Zadatak (B, TUPŠ) A(, ). Odredimo koeficijent a u funkciji Rješenje Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik f = a + b + c, f = a, tako da njezin graf prolazi točkom gdje su a, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije f = a + b + c, parabola je = a + b + c, s tjemenom u točki T(, ) dobivena translacijom parabole = a. Budući da točka A mora ležati na paraboli = a, uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole. A(, ) = A(, ) a a a a. = = = = = a Dakle, radi se o funkciji f =. Vježba A(, 5). Odredimo koeficijent a u funkciji Rezultat: f = 5. f = a, tako da njezin graf prolazi točkom 3