Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije

Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo u diskretnim tačkama u vremenskom domenu. Ovakvi signali mogu biti originalno diskretnog tipa dobijeni kao rezultat merenja) ili mogu biti rezultat odabira uzoraka neprekidnog signala u vremenskom domenu koji predstavlja neprekidnu funkciju. Posmatrajmo neprekidnu funkciju ft) koja predstavlja neprekidan signal. Ukoliko izvršimo ravnomernu diskretizaciju ovog signala, tj. odabiramo vrednosti funkcije u jednakim vremenskim intervalima dužine T, diskretizovana funkcija predstavlja niz vrednosti {fnt )} n. Diskretnu funkciju ćemo označiti sa f t) i ona predstavlja { niz brojeva. 1, t 0 Sa δ označimo Dirakovu impulsnu) funkciju δt) 0, t 0. Za Dirakovu funkciju važi da je i) δt t 0 ) { 1, t t0 0, t t 0, ii) + δt)dt 1, 1

2 GLAVA 1. Z TRANSFORMACIJA iii) + ft)δt a)dt fa). Diskretnu funkciju možemo odrediti na sledeći način: f t) ft) δt nt ) fnt )δt nt ). Laplasova transformacija diskretne funkcije f će biti: F p) Lf t)) fnt ) 0 0 δt nt )e pt dt fnt )δt nt )e pt dt fnt )e nt p. Uvedimo novu promenljivu z takvu da je z e T p t.j. označimo F p) sa F z). Sada je F z) fnt )z n. p 1 T ln z i Dodatno primetimo da z transformacija ne zavisi od T, pa uvedimo uobičajnu notaciju fn). Period odabiranja vrednosti signala T predstavlja faktor slaliranja. Kao što se definiše i dvostrana Laplasova transformacija integralom od do + ) za funkcije koje nisu kauzalne, tako uvodimo i dvostranu z transformaciju po indeksu niza koji prolazi skupom Z celih brojeva, kojom ćemo se na dalje i baviti. Definicija 1.1. Z transformacija niza {fn)} n definisana je sa 1.1) Z[fn)] F z) n fn)z n pri čemu se pretpostavlja da ovaj red konvergira barem za jednu vrednost kompleksne promenljive z. Z transformacija preslikava brojni niz {fn)} n Z u kompleksnu funkciju F z). Z transformacija predstavlja analogon Laplasove transformacije, za diskretne vremenske signale.

1.2. SVOJSTVA Z TRANSFORMACIJE 3 1.2 Svojstva z transformacije Sa Xz) označili smo Z[xn)]. 1. Linearnost. Z[axn) + byn)] axz) + by z), a, b C) 2. Vremensko pomeranje kašnjenje). Z[xn n 0 )] z n 0 Xz) ) z 3. Sličnost modulacija). Z[z0 n xn)] X, z 0 C) 4. Vremenska inverzija. Z[x n)] X z 0 ) 1 z 5. Konjugovano kompleksni nizovi. Z[xn)] Xz) 6. Diferenciranje slike. Z[nxn)] z d dz Xz) 7. Početna vrednost. Za kauzalni niz xn) važi: x0) lim z Xz). 8. Krajnja vrednost. Za kauzalni niz xn) i ukoliko se svi polovi kompleksne funkcije Xz)1 z 1 ) nalaze unutar kružnice z 1, važi: lim xn) lim1 z 1 )Xz). n z 1 9. Proizvod originala: Z xn)yn)) 1 2πi C Xτ)Y z τ ) dτ τ, gde je C zatvorena kontura u zajedničkoj oblasti konvergencije posmatranih redova. 10. Konvolucija originala. Z xn) yn)) Xz)Y z), gde je xn) yn) + xk)yn k) konvolucija dva niza. k 11. Parsevalova teorema. k xk)yk) 1 2πi C Xz)Y ) 1 dz z z, gde je C zatvorena kontura u zajedničkoj oblasti konvergencije posmatranih redova.

4 GLAVA 1. Z TRANSFORMACIJA 12. Periodičnost niza. Ukoliko je niz {xn)} n periodičan, tj. x0) xn), tada je X 1z) 1 z, N gde je X 1 z) z transformacija niza x0),..., xn 1). 1.3 Inverzna z transformacija Teorema 1.1. Neka je data funkcija Xz) regularna u prstenu P {z C r < z < R}, 0 r < R + ) Tada postoji jedinstven niz {x n } n Z takav da je Z[xn)] Xz), čiji je opšti član xn) 1 2πi l Xz) dz, z1 n gde je l bilo koja kontura koja obuhvata koordinatni početak i sadržana je u prstenu P. Dokaz. Na osnovu pretpostavki tvrd enja teoreme ispunjene su pretpostavke postojanja Loranovog reda funkcije Xz) za sve taǩe z P, tj. funkcija Xz) može se predstaviti Loranovim redom 1.2) n c n z n, pri čemu su koeficijenti c n Loranovog reda jedinstveno odred eni sa 1.3) c n 1 Xz) dz. 2πi zn+1 Ako uvedemo smenu n k u 1.2) dobijamo da je l k c k z k, odakle sledi da je xk) c k 1 2πi l Xz) dz. z k+1

1.3. INVERZNA Z TRANSFORMACIJA 5 Iz jedinstvenosti koeficijenata Loranovog reda sledi da su i članovi niza xn) jedinstveno odred eni. Napomena. zaključke: Na osnovu prethodne teoreme možemo izvesti sledeće 1. Na osnovu Košijeve teoreme o rezidumima, imamo da je xn) m ResXz); z k ), k1 n Z), gde su z k singulariteti funkcije Xz) koji se nalaze unutar prstena P. 2. Teorema 1.1 daje dovoljne uslove da bi funkcija Xz) bila z transformacija nekog niza. S druge strane, ukoliko funkcija Xz) nije regularna u nekom prstenu P, tada ona ne može biti z transformacija. 3. Članove niza xn) čija je z transformacija data funkcija Xz) možemo odrediti razvojem funkcije Xz) u Loranov red u okolini tačke z 0 i zapisom u obliku + n xn)z n. Zadaci 1. Odrediti z transformaciju niza { e xn) an, n < 0 e bn, < a < b < + )., n 0 Rešenje. Z transformacija ovog niza je 1 n e an ) z n + e a z) n + e bn z n e an z n + e b z 1 ) n ea z 1 e a z + 1 1 e b z 1 e bn z n

6 GLAVA 1. Z TRANSFORMACIJA eb z e b z 1 ea z 1 e a z. Ovo važi samo u slučaju kada je e a z < 1 i e b z 1 < 1, tj. r e b < z < e 1 R, pa mora biti ispunjeno e a < e b. 2. Odrediti z transformaciju nizova: { 0, n Z a) xn) a n,, n N 0 b) xn) { a n, n Z 0, n N 0, pri čemu je a C kompleksan broj. Rešenje. a) Z transformacija ovog niza je a n z n az 1 ) n. Da bi ovaj niz konvergirao potrebno je da az 1 < 1, tj. z > a i u tom slučaju važi da je az 1 ) n 1 1 az 1 z z a, z > a ) b) Z transformacija ovog niza je 1 1 n a n z n a 1 z ) n. a n z n 1 a n z n Da bi ovaj niz konvergirao potrebno je da a 1 z < 1, tj. z < a i u tom slučaju važi da je 1 1 1 a 1 z z z a, z < a )

1.3. INVERZNA Z TRANSFORMACIJA 7 { 2 3. Odrediti z transformaciju niza xn) n + 3 n, n N 0 0, n Z. Rešenje. Z transformacija ovog niza je 1 1 1 2z 2 n + 3 n) z n + 1 1 1 3z 2z) n + z12z 5) 2z 1)3z 1). 3z) n Da bi ovaj niz konvergirao potrebno je da 2z) 1 < 1 i 3z) 1 < 1, tj. z > 1 2. 4. Ispitati da li postoji niz xn) čija je z transformacija funkcija z + 1, i ako postoji, odrediti ga u zavisnosti od položaja z 2 4z + 3 tačke z. Rešenje. i) z > 3 : xn) ii) 1 < z < 3 : xn) iii) z < 1 : xn) { 0, n 0 2 3 n 1 1, n > 0 { 2 3 n 1, n 0 1, n > 0 { 2 3 n 1 + 1, n 0 0, n > 0 5. Ispitati da li postoji niz xn) čija je z transformacija funkcija z2 5z + 6, i ako postoji, odrediti ga u zavisnosti od položaja z 2 + 1 tačke z. Rešenje. 1 + 5 1) n z 2n 1, n 1 i) z < 1 : xn) 1 + 5 1) n z 2n, n 0 0, k > 0

8 GLAVA 1. Z TRANSFORMACIJA 1 + 5 1) n 1 z 2n 1, n 0 ii) z > 1 : xn) 1 + 5 1) n 1 z 2n, n 1 0, n < 0 6. Ispitati da li postoji niz xn) čija je z transformacija funkcija ln 1 + az 1 ), i ako postoji, odrediti ga za z > a. Rešenje. Kako je az 1 < 1, funkciju Xz) možemo razvirti u Tejlorov red u okolini nule: ln 1 + az 1 ) 1) n+1 az 1 ) n n 1) n+1 a n z n. n Odavde direktono dobijamo da je xn) { 1) n+1 a n n, n N 0, n Z 0. 7. Koristeći z transformaciju rešiti diferencnu jednačinu: xn+2) 3xn+1)+2xn) 0, x0) 0, x1) 1, xn) 0, n < 0. Rešenje. Delujemo z transformacijom na diferencnu jednačinu. Z transformacija je linearna, pa važi jednačina: Zxn + 2)) 3Zxn + 1)) + 2Zxn)) Z0). Predstavimo sve izraze z transformacijom niza xn), Zxn)) xn)z n, imajući u vidu početne uslove diferencne jednačine. Zxn + 1)) z Zxn + 2)) xn + 1)z n xn)z n + zx0) zx0) z xn + 2)z n n2 xn)z n+1 z xn)z n xn)z n zxz). + xn)z n+2 z 2 xn)z n n2

1.3. INVERZNA Z TRANSFORMACIJA 9 + ) z 2 xn)z n + z 1 x1) + x0) z 1 x1) x0) n2 + z 2 xn)z n z z 2 Xz) z. Sada jednačina postaje: z 2 Xz) z 3zXz) + 2 0 z z 2 3z + 2 z z 2)z 1) 2 z 2 1 z 1 Kada primenimo inverznu z transformaciju na funkciju Xz) dobićemo niz xn) koji je rešenje početne diferencne jednačine. Niz xn) definisan diferencnom jednačinom jednak je nuli za negativne indekse n, pa će 2 oblast konvergencije z trasformacije biti < 1, tj. z > 2. U ovoj z oblasti konvergencije funkciju Xz) možemo razviti u red, i dobijamo sledeći izraz: 2 1 z 1 2 z 1 1 z 1 1 z 2 z 2 n z n 1 z z n 2 n+1 z n 1 z n 1 2 n z n 2 n 1)z n. z n { 2 Dakle, rešenje diferencne jednačine je niz xn) n 1, n N 0, n Z 0.