Prrodo-matematčk fakultet, Uverztet u Nšu, Srbja http://www.pmf..ac.rs/m Matematka formatka 3 05, 5-64 Nestadard ač za sumraje ekh redova Mhalo Krstć studet matematke, PMF Uverzteta u Nšu E-mal: mhalo994@yahoo.com Uvod ek osov pojmov U ovom člaku bavćemo se zračuavajma ekh beskoačh suma, koje su zmedu ostalog jede od btjh u matematc. Stadarda rešeja problema kojma ćemo se bavt zahtevaju dobro pozavaje složeog matematčkog aparata, pa b takav prstup ovm problemma zgledao preglomaza. Težćemo tome da rešeja budu što je moguće elemetarja zamljva a prtom pazeć a matematčku strogost zlagaja. Pod elemetarm rešejem problema podrazumevamo oo rešeje problema za čje rešavaje je potreba matematčk aparat e već od oog koj je potreba za shvataje postavke problema. Vdećemo vezu zmedu ekh redova ekh problema u Teorj verovatoća, kao zašto sa pravom možemo reć da je skup prosth brojeva gradv elemet, u pravom smslu reč, skupa prrodh brojeva. Defcja. Beskoaču sumu a +a +...+a +... realh brojeva azvamo red. Korstmo ozaku a k. Zbr S = a +... + a azvamo -ta parcjala suma reda a red azva se ostatak l rep reda. k= k=+ Defcja. Red kovergra ako kovergra z parcjalh suma ta vredost azva se suma reda. U suprotom kažemo da red dvergra. Teorema. Ako je red kovergeta tada ostatak reda tež ul kada tež beskoačost. U astavku ćemo se bavt samo redovma sa eegatvm člaovma. Defcja 3. Tačka a R {, + } je tačka agomlavaja za a N realh brojeva ako se u prozvoljoj okol te tačke alaz beskoačo mogo člaova za a N. Defcja 4. Najveća tačka agomlavaja za a N realh brojeva azva se lmes superor za a N ozačava se sa lm sup a. + 5 a k
Defcja 5. Najmaja tačka agomlavaja za a N realh brojeva azva se lmes feror za a N ozačava se sa lm f + a. Prmetmo da lmes superor lmes feror za uvek postoje dok grača vredost za e mora uvek postojat. Teorema. Neka za z a N realh brojeva važ lm f a = lm sup a = a R. + + Tada je z a N kovergeta važ lm a = a. + Jaso je da uvek važ lm f a lm sup a. + + Teorema 3. Ako mooto z realh brojeva ma kovergetadvergeta podz tada je sam kovergetadvergeta. U slučaju kovergecje, kovergra ka stoj grac kao podz. Teorema 4. O dva polcajca Neka za reale zove L N, S N D N za svako N važ Tada je L S D lm L = lm D = c R. lm S = c. Defcja 6. Beskoača prozvod a a... a... poztvh brojeva u ozac kažemo da kovergra ako red kovergra. + a = = l a k Teorema 5. Osova teorema artmetke Svak prroda broj > može se a jedstve ač prkazat kao = p α pα... pα k k, gde je k N α,..., α k N {0} a brojev p,..., su prost razlčt. Defcja 7. Fukcja π :, + N daje broj prosth brojeva u tervalu, x], x >. 5
Kovergecja sumraje Posmatrajmo red k= za eko realo x. Za oe vredost x za koje taj red kovergra, možemo uspostavt eko pravlo po kome ćemo svakom x dodelt sumu odgovarajućeg reda. Vredost x za koje pomeut red kovergra daje sledeće tvrdeje. Teorema 6. Red k= kovergra za x > a dvergra za x. k x k x Dokaz. Neka je ajpre x >. Tada za k =, 3,... važ da z parcjalh suma kovergra. Zasta, S k = + x + 3 x + S k = + x + 3 x +... + k x 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + k x + k x + +... + k x + 8 x +... + 5 x +...+ + x + 4 x +...+k k x = + x +... + k x = x x. x Odavde dobjmo da je S k x x, pa prema tome ašl smo podz za delmčh suma koj je rastuć ograče odozgo pa samm tm kovergeta, odakle sled kovergecja za parcjalh suma pa samog reda. Neka je sada x. Tada z k x k dobjamo da je k x S k = + x + 3 x + + + + 3 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + k k x + k x + +... + k x + + 4 + 5 + 6 + 7 + k + k + +... + k 53, pa mamo da je 8 x +... + 5 x 8 +... + 5 +...+ +...+ + 4 + 8 +...+k k = k +.
Dakle, dobl smo da je S k + k, k N kako je z k+ eograče odozgo, sled da z parcjalh suma ma k N podz koj dvergra pa oda sam z parcjalh suma dvergra, odakle sled tvrdeje teoreme. Red za x = azva se harmojsk red. Nazv ovog reda potče od čjece da su jegov člaov, počev od drugog, talase duže harmoka vbrrajuće žce muzčkh strumeata. Takode, počev od drugog člaa, svak čla reda je harmojska sreda susedh člaova. Za x > ovaj red se azva hperharmojsk. Čjeca da dvergra za x = je bla pozata još Ojleru koj je proučavao kovergecju za relae brojeve al je tek Rma posmatrao red za komplekse argumete. Napomemo da je a taj ač, pod zvesm uslovma, defsaa Rmaova Zeta fukcja. U ovom člaku će bt zračuate eke vredost te fukcje a zamljv dosta estadarda ač. Napomemo još samo da je za Rmaovu Zeta fukcju veza jeda od ajtežh matematčkh problema koj prvlač matematčare još od 859. gode kada ga je formulsao Rma u jedom svom radu koj se bavo ptajem broja prosth brojeva spod zadate grace. Taj problem se azva Rmaova hpoteza tvrd da sve etrvjale ule Rmaove Zeta fukcje maju reala deo jedak /. Do sada je za vše od 5 mljard ula Rmaove Zeta fukcje provereo aravo uz koršćeje moćh račuara da se alaze a pravoj Rez = / u kompleksoj rav. Velk broj začajh matematčara daašjce je dalo dokaz ovog tvrdeja u kojma je adea greška. Rmaova hpoteza je a lst od sedam Mlejumskh problema koje je sastavo matematčk sttut Klej Clay Mathematcs Isttute of Cambrdge, Massachusetts-CMI. Za rešavaje ovh problema je poudea agrada od mlo dolara. Prethoda teorema am daje pravo da damo sledeću defcju. Defcja 8. Fukcja ζ :, + R defsaa sa ζx = k= k x azva se reala Rmaova Zeta fukcja. Sada ćemo zračuat vredost ζ. Teorema 7. k= k = π 6. Leohard Euler 707-783, švajcarsk matematčar Georg Fredrch Berhard Rema 86-866, emačk matematčar 54
Dokaz. Neka je 0 x π prozvoljo. Tada z mamo da važ 0 sx x tgx + 0 tg x x s x +. Podelmo terval 0, π a, N jedakh delova ozačmo podeoe tačke x k = π k, k =,...,. Tada mamo da je pa sumrajem dobjamo da je k= tg x k x k tg x k k= x k s x k, k= s x k. Odavde elemetarm trasformacjama trgoometrjskh fukcja dobjamo k= što je ekvvaleto sa k= Defšmo z L N sa s x k k= x k s x k L = k= k= x k s x k. k= s x k, k= s x k. Ovaj z ćemo zračuat rekureto. Prmetmo ajpre da važ jedostava relacja s x + cos x = 4 0, s x, x π. Kako su podeoe tačke smetrče u odosu a tačku x dobjamo da je s x k + s π x k = s x k + cos x k = 4 s x k, k {,..., }. Odavde, sumrajem od deksa do deksa tj. do tačke koja je prva pre sredšje tačke tervala korsteć da su tačke x k tačke z prethode podele, dobjamo rekuretu relacju L = 4L +, N, 55
gde je sabrak dobje jer je račuata sredšja tačka x. Vredost L dobjamo trvjalo kao L = s π 4 =. Nz L N alazmo sukcesvom zameom uazad a sledeć ač: L = 4L + = 44L + + = 4 L + 4 + = 4 4L 3 + + 4 + =... = 4 L + 4 +...4 + 4 + =... = 4 L + 4 +... + 4 + 4 + = 4 4 = 3 4. Dakle, mamo da važ Sada smo dobl da je... L = 3 4, N. L k= π k L 3 4 4+ π k 3 4 k= π 6 + 4 + k= Odavde po teorem o dva polcajca dobjamo da je Kako je z parcjalh suma reda lm k = π 6. k= k= k k π 6 3 4 +. rastuć z poztvh brojeva a ovo jeda jegov kovergeta podz sled da z parcjalh suma kovergra ka stoj gračoj vredost tj. k= k = π 6. 56
Dakle sada zamo da je ζ = π 6. Aalogm postupkom, uz malo vše račua možemo ać vredost ζ4. Preczje, važ sledeća teorema. Teorema 8. k= k 4 = π4 90. Dokaz. Kao u predhodoj teorem, podelmo terval 0, π a, N jedakh delova tako što ćemo defsat podeoe tačke x k = π k, k {,..., }, N. Sada mamo da za svako k {,..., } svako N važ 0 tg 4 x k x 4 k s 4 x k +. Posledja jedakost, ako elemetarh trasformacja, je ekvvaleta sa s 4 x k s x k + x 4 k s 4 x k. Sada, sumrajem od deksa do deksa dobjamo da je k= s 4 x k k= Defšmo zove L N D N sa L = k= s x k + k= s x k, D = k= Sada se predhoda ejedakost svod a π 4 D 4+ L + Dalje, za svako x 0, π važ da je k= k 4 k 4 s 4 x k. s 4 x + cos 4 x = 6 s 4 x 8 s x. k= s 4 x k. π4 4+ D, N. Odavde, sumrajem od deksa do deksa dodavajem vredost sa kojom učestvuje sredšja tačka, dobjamo uz koršćeje vredost za L N z prethode teoreme da je D + = 6D 6 3 4 + 4, N 57
D = 4. Prtom smo korstl da su tačke x k tačke z prethode podele. Nz D N, kao u prethodoj teorem dobjamo sukcesvom zameom uazad. Dakle, Odavde dobjamo da je 4π 4 45 D = 4 45 4+ + 5 4 7, N. 8 + 3 +3 6 4+4 3 + + 3 4+, N. k4 k= k= k 4 4π4 45 8 + 5 +4 7 4+4, N. Kako z a levoj stra tež ka π4 90 kada tež beskoačost kao z da desoj stra, po teorem o dva polcajca zaključujemo da je Kako je z parcjalh suma reda lm k 4 = π 90. k= k= rastuć z poztvh brojeva a ovo jeda jegov kovergeta podz sled da z parcjalh suma kovergra ka stoj gračoj vredost tj. k= k 4 k 4 = π4 90. U astavku ćemo zračuat ζ6. Teorema 9. k= k 6 = π6 945. Dokaz. Dokaz sprovodmo aalogo. Podelmo terval 0, π a, N jedakh delova defšmo podeoe tačke x k = π k, k {,..., }, N. 58
Sada mamo da za svako k {,..., } svako N važ 0 tg 6 x k x 6 k s 6 x k +. Posledja jedakost, ako elemetarh trasformacja, je ekvvaleta sa s 6 x k 3 s 4 x k + 3 s x k x 6 k s 6 x k. Sada, sumrajem od deksa do deksa dobjamo da je k= s 6 x k k= 3 s 4 x k + k= Prostm sredvajem dobjamo da važ 3 s x k k= s 6 x + cos 6 x = 64 s 6 x 48 0, s 4 x, x π. Defšmo z F N sa F = k= s 6 x k. x 6 k k= s 6 x k. Odavde, sumrajem od deksa do deksa dodavajem vredst sa kojom učestvuje sredšja tačka, dobjamo uz koršćeje vredost za D N z prethode teoreme da je F + = 8 + 64F 64 4+ + 5 4 7, N 5 F = 8. Aalogo kao u prethodm teoremama, sukcesvom zameom uazad, dobjamo uz malo vše račua z F N, eksplcto odredje sa F = 8 + + 8 + + 6 7, N. 945 Odavde, aalogo kao u prethodm teoremama, koršćejem zračuath zova L N D N z prethode teoreme, posle sredvaja zraza prmeom teoreme o dva polcajca, dobjamo da je k= k 6 = π6 945. 59
Izračuavaje većh vredost Rmaove Zeta fukcje zložem algortmom se zato komplkuje. Može se dokazat da važe sledeć rezultat: ζ8 = ζ0 = ζ = ζ4 = k= k= k= k= k 8 = k 0 = k = k 4 = π8 9450 =.00407..., π0 93555 =.000994..., 69π 6385875 =.00046..., π4 8435 =.00006.... Postavmo zato sledeć, azgled eveza problem sa datom tematkom. Zadatak. Modfkova problem Čebševa 3 Na slučaja ač se braju dva prroda broja a b z skupa {,..., }, N. Koja je verovatoća da su o uzajamo prost? Rešeje. Korstćemo se čjecom da su dva prroda broja uzajamo prosta ako samo e postoj prost broj koj del oba broja stovremeo. Neka je m ajveć prost broj z skupa {,..., } eka su A,...,A m redom dogadaj da su dva slučajo zabraa broja z ovog skupa deljva redom sa, 3, 5,..., m. Tada mamo da je tražea verovatoća q jedaka P A C... A C m = P A C P A C m = P A P A m. Sada, z ezavsost zbora brojeva, korsteć čjecu da u skupu {,,..., } brojeva deljvh sa {, 3, 5,..., m} ma [ ] dobjamo da je [, {, 3, 5,..., m}. P A = [ ] [ ] = Tražea verovatoća je q = ] {,3,5,...,m} [ ]. Vezu zmedu dosadašje prče prethodog zadatka daje sledeća teorema. Teorema 0. + = k= p x k gde je k N z prosth brojeva x >. k= k x, 3 Pafuty Lvovch Chebyshev 8-894, rusk matematčar 60
Dokaz. Iz pozatog razvoja mamo da važ p x k = p x k + p k p m k x +... + x +.... Ozačmo sa P x N prozvod koačog broja takvh redova, koj odgovaraju svm prostm brojevma koj e prelaze N N. Tada je P N x = N. p x k Kako su ovo redov sa eegatvm člaovma tada je jhov prozvod P x N kovergeta red čja je suma jedaka prozvodu suma svakog reda pojedačo. Kombujuć proste brojeve N, medusobm možejem ovh redova, korsteć osovu teoremu artmetke, dobjamo u meocma sve prrode brojeve k N stepeovae sa x još eke koj su već od N. Preczje, mamo da je P N x = N k x k= p x k Sada mamo da je N P x N = N k= + k x + k=n+ k=p α pα N N α,...,α N N {0} + k=n+ k=p α pα N N α,...,α N N {0} k x + k=n+ k x. k x. Kako je red k kovergeta, ostatak tog reda tež ul kada N +, x prelaskom a graču vredost u prethodoj ejedakost kada N + dobjamo tražeu jedakost. Posledca. Za z prosth brojeva k N važ + k= p = 6 k π. Dokaz. Uprethodoj teorem stavmo x =. Tada po prethodo zložeom mamo da je + π = = 6 6 π. k= p k Iz jedakost sled tvrdeje. + = k= p k + k= p k 6
Posledca. Red k=, gde je k N z prosth brojeva, dvergra. Dokaz. Stavljajuć sada da je x = mamo da važ P N = N Sada mamo da je beskoača prozvod + k= > N k=. dvergeta tež ka + kada N +. Odavde mamo da je + k= Pretpostavmo suproto, da je red Kako je k= l lm tada z pretpostavke da red k= pk = 0. kovergeta. Posmatrajmo red l pk. =, kovergra sled kovergecja reda l pk pa po defcj kovergecje beskoačog prozvoda mamo da + pk k= kovergra, što je kotradkcja. Dakle, važ k= = +. 6
Prmetmo da z prethode teoreme sled da prosth brojeva ma beskoačo mogo. Zasta, ako b prosth brojeva blo koačo mogo, tada b red k= kovergrao, jer b mao samo koačo mogo člaova, što je po prethodo dokazaom etačo. Nadmo sada asmptotsko poašaje verovatoće q z modfkovaog problema Čebševa kada se egračeo uvećava. Za prozvoljo m N važ Sada, odavde mamo da važ π = p m [ m ] m. {,3,5,...,m} [ ] da važ {,3,5,...,m} [ ] {,3,5,...,m} Za prozvoljo fksrao l {,..., } eka je, kao raje, ml ajveć prost broj z skupa {,..., l}. Tada možemo zvršt proceu. 3 {,3,5,...,m} Iz posledce. dobjamo lm f ζ + Iz 3 dobjamo lm sup + lm sup + {,3,5,...,m} {,3,5,...,ml} {,3,5,...,m} {,3,5,...,m} [ ] [ ]. [ ] πl p. = 63
Prelaskom a graču vredost kada l tež beskoačost dobjamo, korsteć posledcu. teoremu o dva polcajca, da je [ = lm f ] = ζ + = lm sup + Odavde po teorem. mamo da je lm q = lm + + {,3,5,...,m} {,3,5,...,m} {,3,5,...,m} [ ]. [ ] = ζ = 6 π. Problem z zadatka smo azval modfkova problem Čebševa jer je orgal problem bo: Odredt verovatoću da asumčo zvučea dva prroda broja z skupa N budu uzajamo prosta. Problem zgleda jaso preczo postavlje. Al to je samo a prv pogled, jer je preczrao koja je verovatoća zvlačeja kokretog prrodog broja N. Ovakva slča ptaja su razvle aksomatsku Teorju verovatoća, koja daas predstavlja velk deo savremee matematke. Od teresa je blo ać asmptotsko poašaje verovatoće q kada eogračeo raste jer se tada vd veza ovog problema sa Rmaovom Zeta fukcjom. Ako b postojao lm q to e b začlo da je ta vredost verovatoća da asumčm brajem dva prroda broja z skupa prrodh brojeva, zaberemo uzajamo proste brojeve. U storj matematke, često su problem ovog tpa rešava a pomeut ač što je u kotradkcj sa aksomatkom Teorje verovatoća. Lteratura [] Radoslav Dmtrjevć, Aalza realh fukcja vše promeljvh, Nš, 00. [] Sežaa 04. Žvkovć Zlataovć, Marko Dkć, Matematčka aalza I, Nš, [3] Svetlaa Jakovć, Da l se može odredt verovatoća slučajog zbora parog broja z skupa prrodh brojeva?, Nastava matematke, Društvo matematčara Srbje, XLV, -, 9-6, 000. 64