Kolčna keanja maejalne ačke Ako ačka mase m, u nekom enuku vemena, ma bnu V, onda je njena kolčna keanja K, u om enuku, jednaka povodu njene mase m bne V, dakle K = m V Jasno je da je veko kolčne keanja ačke K sog pavca smea kao veko bne V Pojekcja vekoske jednakos K = m V na, na pme, osu, daje K = m V To nač da je pojekcja vekoa kolčne keanja ačke na neku osu, jednaka, povodu mase ačke pojekcje vekoa bne na u osu Pojekcja K se nava kolčnom keanja ačke u pavcu Impuls sle Množenjem vekoa neke sle F, sa poeklm elemenanm vemenom, dobja se elemenan mpuls e sle u vemenskom nevalu, dakle di F = F Pošo veko elemenanog mpulsa sle mogu b ažen peko svojh pojekcja na načn di = di + di j + di k, F = X F + YF j + Z F k, pojekovanjem vekoske jednakos di ( F ) = F na koodnane ose, dobjaju se fomule di = X F, di y = YF, di = Z F, koje defnšu elemenane mpulse sle u pavcu osa, koj su skalane velčne ( )
Impuls neke sle F u konačnom vemenskom nevalu, dobja se negacjom aa di ( F ) = F, gde su gance negala počen kajnj enuak vemena Dakle mpuls sle F, u vemenskom nevalu, defnsan je na načn I F = F ( ) Pošo mpuls sle I F = I F F može b ažen peko svojh pojekcja, na načn + I F j I F njegove pojekcje (skala), su ( ) ( ) ( ) ( ), k y + defnsane fomulama I ( F ) = X, F I y ( F ) = Y, F I ( F ) = Z Da b se po gonjm fomulama mogao oded mpuls pomenjljve sle F u adaom vemenskom nevalu moa se na avsnos sle (odnosno, njenh pojekcja) od vemena (a ne nekh dugh velčna, kao šo su položaj bna) Teoema o pomen kolčne keanja ačke Ako bsmo umeso ubanja ačke a, u dugom Njunovom akonu, savl pv vod vekoa bne po vemenu dv, a am pomnožl, levu desnu sanu, sa elemenano poeklm vemenom, dobl bsmo sledeću jednakos m dv F = F
Sada, leva sana dobjene jednakos m dv F, može b apsana na = načn d( mv ) = dk, a desna sana, bog di ( F ) = F, pedsavlja sumu elemenanh mpulsa svh sla koje dejsvuju na ačku dk = di ( F ) Dobjen a pedsavlja eoemu o pomen kolčne keanja ačke u dfeencjalnom oblku Rečma skaan glas: elemenan pašaj kolčne keanja ačke, a elemenano poeklo veme jednak je sum elemenanh mpulsa svh sla F koje dejsvuju na ačku u om vemenskom nevalu Pojekovanjem vekoske eoeme dk = di ( F ) na neku od osa, na pme, dobl bsmo skalanu jednakos dk = di ( F ), kojom se odeđuje elemenan pašaj kolčne keanja u pavcu e ose Teoema o pomen kolčne keanja ačke u konačnom oblku a nek vemensk neval, dobjena negaljenjem aa, može b dk = di ( F ) apsana na sledeć načn K K I ( ) = F Rečma skaana glas: kolčna keanja ačke u nekom enuku, umanjena a kolčnu keanja ačke u nekom enuku, jednaka je sum mpulsa svh sla F, koje dejsvuju na ačku u vemenskom nevalu Česo se na levoj san dobjene jednakos umeso K K pše mv, šo deknje mv uključuje vekoe bna u enucma 0
Vajana ove eoeme u skalanom oblku apavo je pojekcja vekoske jednakos K K = I ( F ) na neku od osa Na pme, poojekcja na osu 0, može b apsana K K = I F l mv ( ) mv ( ) = X, ( ) 0 a nač: pojekcja kolčne keanja ačke na osu u nekom enuku, umanjena a pojekcju kolčne keanja ačke na osu u nekom enuku, jednaka je sum pojekcja mpulsa na osu svh sla F, koje dejsvuju na ačku u vemenskom nevalu Pme 58 Pmenom eoeme o pomen kolčne keanja ačke oded kolko vemena k, kod vekalnog hca navše, će poć dok ačka ne dosgne svoj najvš položaj? Počenu bnu smaa ponaom V 0 Neka je osa, vekalna, navše usmeena, ako da je V 0 = V Bna u aženom kajnjem enuku vemena moa b jednaka nul, dakle V ( k ) = 0 Pojekcja eoeme o pomen kolčne keanja ačke na osu, gde je vemensk neval 0 k odeđuje neponau k : V ( ) ( ) = k 0 mv k mv 0 ( mg) m 0 m V0 = mg k k = g 0 0 ( ) 0
Pme 59 Pmenom eoeme o pomen kolčne keanja ačke, dokaa da je kod kosog l hoonalnog hca, pojekcja bne na hoonalnu osu konsanna okom keanja Pojekcja eoeme o pomen kolčne keanja ačke na osu, a povoljn vemensk neval okom keanja, može da ma oblk mv ( ) mv ( ) = 0 V ( ) = V ( ), šo govo da su pojekcje bne, na hoonalnu osu, u ma koja dva povoljna enuka okom keanja, jednake Tme se dokauje da je pojekcja bne na hoonalnu osu konsanna okom keanja Na desnoj san je napsana nula, pošo jedna sla koja dejsvuje na ačku kod hca je vekalna sla mg, čj mpuls u pavcu moa b jednak nul Momen kolčne keanja maejalne ačke a nepokenu ačku Neka je u nekom enuku ponaa kolčna keanja K maejalne ačke mase m, kao veko položaja e ačke u odnosu na koodnan počeak nepokenog koodnanog ssema Veko momena kolčne keanja L e ačke a nepokenu ačku, defnsan je kao sledeć vekosk povod = K = mv L
Veko koj se vekosk množe K = mv, obauju avan π, a veko L moa b upavan na u avan Pošo veko K = mv mogu b apsan peko svojh pojekcja na načn = + yj + k, K = m & + myj & + mk &, veko L može b odeđen peko deemnane: j k = mv = y = m y& y& L L ( ) + m( & & ) j + m( y& y& ) k m& my& m& Koefcjen u jednčne vekoe u dobjenom au a L su njegove pojekcje na koodnane ose: L = m( y& y& ), L y = m( & & ), L = m( y& y& ) ve pojekcje navamo momenma kolčne keanja a odgovaajuće ose Inene vekoa L odeđuje fomula L = K sn α Zbog snα = h (donja slka), nene vekoa L može b odeđen fomulom L = K h = mv h, gde je h kak kolčne keanja K = mv a ačku
Momen kolčne keanja ela koje se obće oko nepomčne ose a u osu Ako b se ačka keala u y avn, onda b se veko nalal u oj avn a veko L K b bo u pavcu ose Zaps vekoa L bo b L = Lk, pošo b njegove pojekcje na ose y nosle nula Inene vekoa L, u akvom slučaju, bo b s kao njegova pojekcja na osu (donja slka), koja sovemeno pedsavlja momen kolčne keanja a osu : L = L = K h = mv h Momen kolčne keanja ačke K a neku osu, ako kolčna keanja K lež u avn upavnoj na u osu, jednak je povodu nenea kolčne keanja njenog kaka a u osu sa pednakom + l - Dakle, L = ± K h = ± mv h Pednak je + ako gledano u pavcu e ose u smeu, suponom od ojenacje ose, kolčna keanja K ež da obne oko ose u smeu, suponom od kaaljke na sau Ako je, ako gledano, ežnja a obanjem u smeu kaaljke onda je pednak -
Na slc je pkaano elo mase m, koje se obće oko globa, u avn ceža, ugaonom bnom ω, šo nač da se elo obće oko ose (neka je onačena sa ) koja pola ko ačku, upavna je na avan ceža a sme joj je ceža Elemenana česca ela mase dm, čje najkaće asojanje do ose obanja nos, ma kolčnu keanja dm V, čj nene je dm V = dm ω Pošo kak kolčne keanja elemenane česce a osu nos njen momen kolčne keanja je dl dm = ω = ω dm, a nakon negacje po čavoj mas, s obom na čnjencu da ω, kao globalna kaakeska, de sped negala, ažena fomula ma oblk L = ω dm = J ( m) ω Dakle, momen kolčne keanja ela koje se obće oko nepomčne ose a u osu, jednak je, povodu momena necje ela a u osu ugaone bne ela Teoema o pomen momena kolčne keanja Ivedmo eoemu o pomen momena kolčne keanja a maejalnu ačku Ako bsmo umeso ubanja ačke a, u dugom Njunovom akonu, savl pv vod vekoa bne po vemenu dv, a am pomnožl akvu vekosku jednakos vekosk, sa leve sane, vekoom položaja ačke dobl bsmo sledeću jednakos m dv = F ( )
Veko položaja, poeže se od koodnanog počeka do ačke mase m Pošo je sake ponao da je momen sle F a ačku defnsan na načn F M = F, desna sana jednakos m( dv ) = F pedsavlja sumu momenaa svh sla koje dejsvuju na ačku a ačku koodnanog počeka, dakle F F = M Jednakos, d d dv dv dv ( mv ) = mv + m = V mv + m = 0 + m, u kojoj je pmenjeno pavlo a vod povoda skošćeno da je d = V, važ, je se vekoskm množenjem kolneanh vekoa dobja nula veko S obom na sve goe napsano vekosk oblk ove eoeme je dl F = M Rečma skaana, eoema o pomen momena kolčne keanja ačke, glas: vod po vemenu vekoa momena kolčne keanja ačke a nepokenu ačku, jednak je sum momenaa svh sla koje dejsvuju na ačku a su ačku Pojekcje ove vekoske eoeme na koodnane ose daje sledeće jednakos: dl F dl y F = M, =, M dl F y =, M koje ćemo nava eoemama o pomen momena kolčne keanja ačke a odgovaajuće ose
Rečma skaana, eoema o pomen momena kolčne keanja ačke a, na pme, osu, glas: vod po vemenu momena kolčne keanja ačke a osu, jednak je sum momenaa svh sla koje dejsvuju na ačku a su osu Al, ova eoema u veoma slčnom oblku važ a ssem Na pme, eoema o pomen momena kolčne keanja ssema a osu, psala b se na načn vde je L jednako sum momenaa kolčna keanja svh s s dl F ačaka ela koj ppadaju ssemu a osu, a su samo one = M F sle koje dejsvuju na ssem kao celnu (navaju se još spoljašnjm slama) Rečma skaana, eoema o pomen momena kolčne keanja ssema a osu glas: vod po vemenu momena kolčne keanja ssema a osu, jednak je sum momenaa svh spoljašnjh sla koje dejsvuju na ssem a su osu vde eba na da unuašnje sle bog poanja, ne dejsvuju na ssem ne mogu se pojav u ovoj eoem Pme 50 Homogen kužn dsk, polupečnka R, mase M, obće se oko vekalne ose be opoa Po obodu dska keće se čovek mase m U počenom enuku ssem, sačnjen od dska čoveka, je movao Keanje čoveka po obodu dska pouokuje obanje dska oko ose ded kolku će ugaonu bnu ω ma dsk kada elavna bna čoveka u odnosu na dsk bude nosla? V
Iskosmo eoemu o pomen momena kolčne keanja ssema a osu, u oblku = F dl s M Na slc pkaane su sve sle koje dejsvuju na ssem kao celnu Tu spadaju sle ežna dska čoveka kao eakcje u ležšma A B Pošo a osu njedna o h sla ne pav momen, desna sana ove eoeme jednaka je nul, bog čega p keanju, L moa b konsanno To nač L u počeku (onačmo ga sa [ L ] 0 ) moa b jednako sa L na kaju (onačmo ga sa ) [ L ] k kada elavna bna čoveka u odnosu na dsk nos L = cons L = L [ ] [ ] 0 k Zbog apočnjanja keanja sanja movanja mamo da je L Momen 0 kolčne keanja ssema a osu [ = 0 L ] k dobjamo kao b momena kolčne keanja dska momena kolčne keanja čoveka [ L ] [ L ] Pema fomul L = J ω mamo da je L = J ω = MR gde je pednak - bog smea ugaone bne V : [ ] ω [ ],
[ ] Da b dobl L, moamo nać apsolunu bnu čoveka, pošo je kolčna keanja čoveka K, jednaka povodu njegove mase njegove apsolune bne K Apsolunu bnu čoveka = mv odeđuje fomula V = V p + V (Sl), koja, bog kolneanos ovh vekoa, njhovh smeova čnjence da je V p = Rω, nos V = V Rω Sada je nene vekoa kolčne keanja čoveka jednak K, a pošo je njegov kak a = m( V Rω) osu jednak R, mamo da je [ L ] ( ) = m V Rω R Na osnovu svega ečenog dobće se jednačna koje se odeđuje aženo ω: [ L ] 0 [ ] 0 = MR ω + m( V Rω) R = L k ω = R mv ( M + m)
Dfeencjalna jednačna obanja kuog ela oko nepomčne ose Kada se elo obće oko nepomčne ose, pod dejsvom sla spegova, eoema o pomen momena kolčne keanja ssema a osu pmenjen na o elo daje: = F dl M S obom da pema L = J ω mamo da je momen kolčne keanja ela a osu odeđen fomulom L = ω = ϕ, & pehodna J J jednakos daje J ϕ = F && M Dobjen a je ažena dfeencjalna jednačna obanja kuog ela oko nepomčne ose l dnamčka jednačna obanja Rečma skaana ova jednačna: momen necje ela a osu obanja pomnožen sa ugaonm ubanjem ela jednak je algebaskoj sum momenaa svh sla spegova a osu obanja Kod psanja desne sane ove jednačne eba na da je pednak momena defnsan smeom poasa koodnae ϕ
Pme 5 Košćenjem dfeencjalne jednačne obanja oko nepomčne ose oded ugaono ubanje homogenog šapa mase m, dužne l, koj se u avn ceža obće oko globa u avsnos od ugla ϕ? Šap je apočeo keanje sanja movanja hoonalnog položaja ded akođe njegovu ugaonu bnu u avsnos od ϕ? Dfeencjalna jednačna obanja ovog šapa je: l J gde je J ml ϕ & = mg cos ϕ, = 3 Dekno gonjh jednakos, dobja se da je aženo 3 g ugaono ubanje: ε( ϕ) = ϕ&& ( ϕ) = cosϕ l ( ) ( ) Za dobjanje ažene ugaone bne ω ϕ = ϕ& ϕ, jedan načn je negacja gonje dfeencjalne jednačne u adae počene uslove: ϕ ( 0 ) = 0, ϕ& ( 0 ) = 0 Dug, jednosavnj, načn a dobjanje ω ( ϕ) = ϕ& ( ϕ), je košćenje eoeme o pomen knečke enegje šapa, pema kojoj mamo: E E = A ω ϕ l & J J ( 0) = mg sn ϕ ω l K K 0 ( ϕ) = mg sn ϕ ω( ϕ) = sn ϕ J 3g l
Fčko klano Ako se elo ma kakvog oblka obće oko hoonalne ose pod dejsvom jedno sle njegove ežne p om vš osclacje onda je o fčko klano Koodnaa ϕ, pošo je ovo osclaon poblem, me se od vekale do pavca koj spaja ačku obanja sa cenom C, je u evnoežnom položaju, oko kojeg klano oscluje, a koodnaa F nos nula Pmena dfeencjalne jednačne J ϕ && = M na fčko klano daje: J ϕ & = mg C sn ϕ mg C ϕ & + mg C sn ϕ = 0 ϕ& & + ω sn ϕ = 0, ω = J Ako se, kao kod maemačkog klana, u ačnoj dfeencjalnoj jednačn snus ugla ϕ apoksma sa samm uglom ϕ, onda se dobja lneana dfeencjalna jednačna fčkog klana oblka ϕ& & + ω ϕ = 0, gde kužnu fekvencju slobodnh osclacja ω peod osclovanja T defnšu a: mg C π J Pomenua apoksmacja je opavdana ω =, T = = π samo u slučaju malh osclacja, kada je J ω mg C ugao ϕ mala velčna Pošo je dfeencjalna jednačna fčkog klana sa kao hamonjskog osclaoa, o čjem ešavanju je dovoljno ečeno, ovde se o neće ponavlja J
Teoema o keanju sedša masa ssema Gubo ečeno, ono šo je dug Njunov akon a dnamku ačke, o je eoema o keanju sedša masa ssema a ssem Pema oj eoem povod mase ssema vekoa ubanja sedša masa ssema jednak je sum svh sla koje s dejsvuju na ssem kao celnu (j, svh spoljašnjh sla): M a C = F vde je M ukupna masa ssema U nepokenom koodnanom ssemu veko ubanja sedša masa ssema a ma oblk a gde su dug C C = && C + && yc j, vod koodnaa cena masa ssema C, apavo, odgovaajuće pojekcje vekoa a na koodnane ose C P ešavanju poblema ovom eoemom goovo uvek se ona pmenjuje u skalanom oblku koj pedsavlja njenu pojekcju na neku od osa Pojekcje vekoske jednakos M a C s s s = F na ose y su: M & C = X, M & y C = Y Pme 5 Ssem pkaan na slc čne maejalne ačke masa m lak šap koj h poveuje, dužne l Tačka m mase m kl po hoonalnoj glakoj podlo Ssem je apočeo keanje sanja movanja a ugao ϕ je u počenom položaju noso ϕ 0 ded kolko se od počenog do povoljnog položaja pomela ačka mase m
Na slc pkaane su sve sle koje p keanju dejsvuju na ssem kao celnu pošo se njedna od njh ne pojekuje na s osu, jednačne M & C = X mamo: d& M & C = 0 & & C = 0 C = 0 & C = cons va konsana nos 0 je je ssem apočeo keanje sanja movanja, kada su sve ačke ssema male bnu jednaku nul, bog čega je bna cena masa ssema akođe moala b jednaka nul Zbog oga je njena pojekcja & C ( 0) akođe moala b jednaka nul, pa mamo: d & C = 0 C = 0 C = cons C0 = C Sada, košćenjem fomule C = ( m ) M dobjamo aženo pomeanje m 0 m = m 0 = m m 0 + m0 = m + m M M ml( sn ϕ0 sn ϕ) m 0 + m( 0 + l sn ϕ0 ) = m + m( + l sn ϕ) = m + m
Teoema o pomen kolčne keanja ssema - pme Veko kolčne keanja nekog ssema jednak je bu vekoa kolčna keanja ela koja čne aj ssem: K = K = K + K + Pojekcja vekoa kolčne keanja ssema na neku osu jednaka je bu pojekcja na u osu, vekoa kolčna keanja ela koja čne aj ssem: K = K = K + K + Umeso emna pojekcja vekoa kolčne keanja na osu, česo se kos emn kolčna keanja a osu Maemačk aps eoeme o pomen kolčne keanja ssema ma oblk: dk s Rečma skaan ovaj akon glas: vod po vemenu vekoa = F kolčne keanja ssema jednak je sum svh sla koje dejsvuju na ssem kao celnu (j, sum svh spoljašnjh sla) Pojekcje ove vekoske eoeme na koodnane ose daju sledeće jednakos dk s dk y s = X,, = Y koje ćemo nava eoemama o pomen kolčne keanja ssema a odgovaajuće ose Rečma skaana ovakva veja eoeme a, na pme, osu, glas: vod po vemenu kolčne keanja ssema a osu, jednak je sum pojekcja svh spoljašnjh sla na osu
Pme 53 Ssem je sačnjen od pme mase m, kod koje kosa sanca sa hoonalom gad ugao α, maejalne ačke mase m, koja se keće po kosoj sanc pme Sama pma se keće po hoonalnoj podlo Sve povšne smaa glakm (enje je ane- maeno) Ssem je apočeo keanje sanja movanja Kolko nose, u povoljnom položaju, bna pme V p = V eakcja glake podloge N, u kom elavna bna elavno ubanje ačke mase m, u odnosu na pmu, nose V? Velčne:, el ael m m, α, V ael smaa ponam el Teoema o pomen kolčne keanja ssema a osu daje: dk = 0, bog X s = 0, šo dalje ma a posledcu da je K = cons, odnosno K = 0, bog oga šo je ssem apočeo keanje sanja movanja
S obom da je veko kolčne keanja ssema: K = mv + mv = mv + m ( V + Vel ), njegova pojekcja na osu je: K = mv + m V + Vel cosα Zbog čnjence da je K = 0 lako se dobja ažena bna pme: V m + m + m V cosα = 0 ( ) el mvel cosα V = m + m Teoema o pomen kolčne keanja ssema a y osu daje dk y = mg mg N + S obom da je pojekcja veko kolčne keanja ssema na osu y K y = 0 + m( 0 Vel sn α), a bog V & (je je pavolnjska el = a el elavna puanja), mamo da je dk y = mael sn α N m g + m g + m a sn = el α ( )