APLIKOVANÁ ŠTATISTIKA V POČÍTAČOVOM PROSTREDÍ MATLABU

Moderé vzdelávae pre vedomostú spoločosť/ Projekt je spolufacovaý zo zdrojov EÚ APLIKOVANÁ ŠTATISTIKA V POČÍTAČOVOM PROSTREDÍ MATLABU Fakulta elektrotechky a formatky Eva Ostertagová

Táto publkáca vzkla za fačej podpory z Európskeho socáleho fodu v rámc Operačého programu VZDELÁVANIE Prortá os Opatree Reforma vzdelávaa a odborej prípravy Vysoké školy a výskum a vývoj ako motory rozvoja vedomostej spoločost Názov projektu: Balík doplkov pre ďalšu reformu vzdelávaa a TUKE ITMS 6393 NÁZOV: Aplkovaá štatstka v počítačovom prostredí MATLABu AUTOR: PhDr Eva Ostertagová, PhD RECENZENTI: Dr h c prof RNDr Mchal Tkáč, CSc, prof RNDr Duša Kežo, CSc VYDAVATEĽ: Techcká uverzta v Košcach ROK: 5 ROZSAH: 75 strá NÁKLAD: ks VYDANIE: druhé prepracovaé ISBN: 978-8-553-89- Rukops eprešel jazykovou úpravou Za odború a obsahovú stráku zodpovedá autor

OBSAH Úvod 6 Základé štatstcké pojmy 7 Elemetáre spracovae štatstckých údajov Elemetáre spracovae súborov s kvattatívym tredacm zakom Opsé charakterstky súboru s kvattatívym tredacm zakom 8 Charakterstky polohy 8 Charakterstky varablty 9 3 Charakterstky tvaru rozdelea 3 3 Elemetáre spracovae súborov s kvaltatívym tredacm zakom 34 Úlohy 37 3 Náhodý výber a jeho charakterstky 4 4 Bodové a tervalové odhady parametrov 43 4 Bodové odhady parametrov 43 4 Itervalové odhady parametrov 43 4 Itervaly spoľahlvost pre parametre µ a σ ormáleho rozdelea 45 4 Itervaly spoľahlvost pre stredú hodotu µ, ak pozáme smerodajú odchýlku σ 45 4 Itervaly spoľahlvost pre stredú hodotu µ, ak epozáme σ 5 43 Itervaly spoľahlvost pre rozptyl σ 53 4 Itervaly spoľahlvost pre parameter λ expoecáleho rozdelea 56 Úlohy 57 5 Testovae štatstckých hypotéz o parametroch 59 5 Podstata testovaa štatstckých hypotéz 59 5 Testy o parametroch ormáleho rozdelea 6 5 Jedovýberový Y-test zhody stredej hodoty µ so zámou koštatou µ, prčom σ pozáme 6 5 Jedovýberový t-test zhody stredej hodoty µ so zámou koštatou µ, prčom σ epozáme 6 53 Jedovýberový χ -test zhody rozptylu σ so zámou koštatou σ 54 Dvojvýberový F-test zhody dvoch rozptylov σ a σ 55 Dvojvýberový Y-test zhody dvoch stredých hodôt µ a µ, prčom σ a σ pozáme 68 56 Dvojvýberový t-test zhody dvoch stredých hodôt µ a µ, prčom σ a σ epozáme 69 57 Párový t-test stredých hodôt 7 53 Test o parametr expoecáleho rozdelea 74 Úlohy 75 64 66 3

6 Vybraé eparametrcké testy 77 6 Zamekový test (test medáu) 77 6 Wlcoxoov dvojvýberový test 8 Úlohy 83 7 Testy dobrej zhody 85 7 Pearsoov test 85 7 Kolmogorovov-Smrovov test 9 73 Llleforsov test 96 74 Adersoov-Darlgov test 98 75 Shaprov-Wlkov test ormalty 99 76 Jarqueov-Berov testy ormalty Úlohy 3 8 Testy extrémych hodôt 5 8 Grubbsov test 5 8 Dxoov test 6 Úlohy 8 9 Korelačá aalýza 9 9 Pearsoov výberový korelačý koefcet 9 9 Spearmaov koefcet poradovej koreláce 3 Úlohy 5 Regresá aalýza 7 Jedoduchý leáry regresý model 7 Bodové odhady 8 Itervalové odhady a testy regresých koefcetov 3 Predkca premeej Y v jedoduchom leárom regresom model 4 Posudzovae vhodost regresého modelu a základe výberového koefceta determáce 5 Test výzamost regresého modelu ako celku 4 6 Aplkáce v prax 4 Štatstcká aalýza rezíduí 35 3 Learzovateľé eleáre regresé modely 4 Úlohy 43 Časové rady 45 Pojem časového radu a jeho základé charakterstky 45 Základé prístupy k modelovau časových radov 5 3 Aalýza tredovej zložky časového radu 5 4

3 Aalytcké vyrovávae časových radov a možost predkce 53 3 Adaptíve metódy vyrovávaa časových radov a ch možost predkce 6 3 Vyrovávae tredu metódou kĺzavých premerov 6 3 Expoecále vyrovávae časových radov 67 Úlohy 7 Lteratúra 74 5

Úvod Matematcká štatstka sa zaoberá hromadým javm a slúž a objektíve predpovedae ch chovaa Štatstcké predpovedae je založeé a pozaí zákotostí, ktorým sa hromadé javy rada Teto zákotost umožňujú a základe zámych dát o predošlom vývoj určtého systému do stej mery predvídať jeho budúc vývoj Zo samotej podstaty hromadých javov však vyplýva, že spoľahlvosť štatstckej predpovede kdy emôže byť absolúta, keď ju teoretcky možo ľubovoľe zvyšovať V dešej dobe sa racoále arábae s faktorm, ktorých hodota e je celkom prese predvídateľá, používa aj v takých odboroch, kde to bolo predtým eobvyklé Uzae prcípu eurčtost v rámc dscplí tradče založeých a príse determstckom chápaí vzťahov a zákotostí sa stále prehlbuje Do začej mery tomu apomáha aj využívae počítačov pr štatstckom spracovaí dát a pr štatstckých výpočtoch Predkladaá vysokoškolská učebca je určeá pre potreby vyučovaa predmetu Aplkovaá štatstka, ktorý je súčasťou študjého programu pre odbor Hospodárska formatka a Počítačové modelovae v ročíku žerskeho štúda a FEI TU v Košcach, ale môže byť využtá aj pre vzdelávae vo vyšších formách štúda (doktoradské), ako aj odboríkm z praxe s techckým a ekoomckým zameraím, ktorí využívajú štatstcké metódy Učebca voľe adväzuje a obsah matematckých predmetov predášaých v prvom a druhom ročíku bakalárskeho štúda a uvedeej fakulte Predpokladá aj základé zalost práce s programom MATLAB Sme presvedčeí, že des sa už kto epustí do používaa štatstckých ástrojov bez toho, aby ebol vyzbrojeý vhodým programovým vybaveím Pre ás je to prostrede MATLABu, kde využívame a vyučujeme štatstku Systém MATLAB bol pre výučbu matematckej štatstky zvoleý preto, lebo a Techckej uverzte v Košcach sa teto programový systém využíva vo výučbe mohých odborých predmetov V texte sú často uvedeé ázvy M-fukcí súvsacch s preberaou problematkou a tež spôsoby výpočtu s týmto ástrojom Učebý text je však apísaý tak, aby jeho obsah bol ezávslý od použtého štatstckého programu Čtateľ pracujúc v om počítačovom prostredí môže preto ľahko ahradť MATLAB a jeho fukce tým softvérom, ktorý má k dspozíc Publkáca obsahuje kaptol, z ktorých každá je čleeá a teoretckú časť, vyrešeé vzorové príklady a ďalše úlohy aj s podrobým výsledkam a precvčee príslušej témy, ktoré predstavujú pomere rozsahlu databázu úloh z techckej, ekoomckej praxe a aj bežého žvota Je pre mňa mlou povosťou aj touto cestou vyjadrť poďakovae recezetom Dr h c prof RNDr Mchalov Tkáčov, CSc a prof RNDr Dušaov Kežov, PhD, ktorí starostlvým posúdeím rukopsu a koštruktívym prpomekam prspel k vylepšeu pôvodého textu Autorka 6

Základé štatstcké pojmy Pojem štatstka môžeme v súčasost chápať ajmeej v štyroch výzamoch, a to ako: praktckú čosť, ktorá súvsí so získavaím štatstckých údajov, s ch tredeím, zhrňovaím, grafckým zázorňovaím, s koštrukcou a výpočtom číselých charakterstík, ako aj s tvorbou systémov štatstckých dát, s ch publkácou a aalýzou; číselé alebo slové údaje o hromadých javoch (udalostach), ktoré môžeme ájsť v rôzych štatstckých publkácách ročekách, spravodajcoch, bulletoch a pod (apr údaje o počte obyvateľov, počte arodeých, resp zomretých, o príjmoch a výdavkoch atď); 3 kokrétu číselú charakterstku, vypočítaú zo zsteých číselých údajov o hromadom jave; 4 vedú dscplíu, ktorá sa zaoberá metódam skúmaa zákotostí hromadých javov, teda metódam zberu, spracovaa a aalyzovaa údajov V tomto výzame možo štatstku defovať ako vedu o metódach kvattatíveho hodotea merateľých vlastostí hromadých javov Predmetom štatstky ako vedej dscplíy sú hromadé javy (prírodé a spoločeské) Hromadým javm azývame také javy, ktoré sa za prese defovaých vecých, časových a prestorových podmeok vackrát vyskytujú, resp vackrát opakujú, apr arodea, úmrta, spotreba potravárskych výrobkov, produkca automoblov a pod Z defíce štatstky ako vedej dscplíy vyplývajú jej určté prízačé črty: Štatstka arába s hromadým javm Jedotlvé (dvduále) vystupuje le ako špecfcký prejav hromadého javu, prčom hromadý jav emožo chápať ba ako jedoduchý súčet dvduálych prvkov Popr všetkých zvláštostach, premelvost (varablte) v dvduálych prejavoch hľadá štatstka pravdelost č zákotost javov a procesov Pozať teto zákotost možo ba a základe dostatoče veľkého počtu dvduálych prípadov, teda a základe hromadého pozorovaa Hromadosť pozorovaa je evyhutým predpokladom každého štatstckého zsťovaa Štatstka hodotí javy a procesy kvattatíve, t j základou formou vyjadrovaa (meraa) vlastostí hromadých javov je číselé (umercké) vyjadree Z toho vyplýva, že štatstka pr skúmaí hromadých javov využíva v rozsahlej mere matematcký aparát Štatstku ako vedú dscplíu, t j teoretckú štatstku, je možé rozdelť a dve čast: opsú (deskrptívu) štatstku, ktorá sa zaoberá metódam zberu, spracovaa, prezetáce a aalýzy dát súčase s ch opsom za pomoc špecálych štatstckých prostredkov a metód; výberovú (duktívu) štatstku, ktorá achádza uplatee vtedy, ak zozberae všetkých údajov e je z akýchkoľvek dôvodov možé (apr súbor je veľm rozsahly) Vtedy robíme závery o skúmaom jave a základe častkových (vybraých) údajov Zber (výber) týchto údajov tvorí predmet duktívej štatstky, ktorej základom je teóra pravdepodobost Podstatou zložkou duktívej štatstky je štatstcká aalýza, ktorej úlohou je pozae pravdelostí, súvslostí a vývojových tedecí hromadých javov To umoží robť úsudky z čast a celok, zo zvlášteho a všeobecé 7

Deskrptíva a duktíva štatstka sú vzájome prepojeé Takmer vždy je uté použť metódy opsej štatstky pr orgazác a kompletzác formácí získaých z výberu skôr ež uskutočíme štatstcké vyhodocovae Okrem toho predbežá opsá aalýza výberu často odhalí rysy, ktoré vedú k voľbe (alebo k prehodoteu voľby) vhodých duktívych metód Hromadosť ako spoločá črta prírodých a spoločeských javov vytvára predpoklady pre aplkácu rovakého metodckého základu pr ch číselom spracovaí a vyhodoteí Teto spoločý základ poskytuje teoretcká štatstka S jej praktckým použtím sa teda stretávame v ajrôzejších vedých dscplíach, ako je apr fyzka, bológa, meteorológa, socológa, medcía, ekoóma a pod Rozpracovaím štatstckých metód pre jedotlvé vedé odbory, v ktorých sa teto metódy systematcky používajú s prhladutím a špecfcké problémy predmetej vedy, vzkajú špecále odbory štatstky Sú to apr: zdravotícka štatstka, bologcká štatstka, demografcká štatstka (štatstka obyvateľstva), ekoomcká štatstka, poľohospodárska štatstka a pod Hlavou úlohou teoretckej štatstky je pomôcť praktckej štatstke zdokoaľovať štatstcké formačé systémy Teóra vypracováva a zdokoaľuje štatstcké ástroje, t j postupy štatstckého skúmaa, spracovaa, vyhodocovaa a rozbory štatstckých údajov Štatstcké skúmae je možé spravdla rozdelť do troch etáp: etapa štatstckého zsťovaa, etapa štatstckého spracovaa zsteých údajov, 3 etapa štatstckého vyhodocovaa Hoc ajdôležtejšou je treta etapa štatstckého skúmaa, evyhutým predpokladom jej úspešost je, aby bol správe realzovaé predchádzajúce etapy Štatstcký zak, štatstcká jedotka a štatstcký súbor sú základé pojmy, ktoré používame v celom procese štatstckého skúmaa Prvky, ktoré patra do určtého súboru, majú ektoré vlastost úple rovaké, é vlastost sa však pr prvkoch daého súboru vyskytujú v odlšej mere alebo môžu byť aj celkom rozdele Vyjadree určtej vlastost alebo daého rysu určtej vlastost prvkov ejakého súboru azývame štatstckým zakom Štatstcký zak budeme ozačovať X, resp Y, Z, a jeho kokréte hodoty realzáce x, x,, x, resp y, z, =,,, a pod Štatstcké zaky sa dela a zhodé a tredace (premelvé) Zhodé štatstcké zaky sú celkom rovaké u všetkých jedotek daého súboru a vlaste daý súbor určujú (detfkujú) Naprot tomu tredace štatstcké zaky môžu adobúdať u rôzych prvkoch daého súboru rôze varaty a sú hlavým predmetom záujmu štatstckého skúmaa Ak sú varaty určtého štatstckého zaku vyjadreé bezprostrede určtým číslam, azývame daý zak kvattatívym zakom, ak sú vyjadreé slove, azývame daý zak kvaltatívym zakom Napr v súbore osôb sú kvattatívym zakm telesá výška, mesačý zárobok a pod, kým kvaltatívym zakom je apr povolae Kvattatíve štatstcké zaky delíme a: spojté môžu adobúdať akékoľvek reále hodoty z ejakého tervalu, dskréte v rámc ejakého tervalu môžu adobúdať ba ektoré hodoty, apr celočíselé Kvaltatíve štatstcké zaky delíme a: alteratíve špecály prípad kvaltatíveho zaku s rozlšovaím dvoch možostí, možé môžu adobúdať moho varatov 8

Uvedeme ešte kokréte príklady a teto pojmy Spojté kvattatíve zaky: výška, hmotosť človeka, ameraá teplota, atď Dskréte kvattatíve zaky: počet získaých bodov v teste, počet detí v rode, mera telgece, atď Alteratíve kvaltatíve zaky: muž žea, dobrý zlý, zdravý emocý, prospel eprospel, atď Možé kvaltatíve zaky: farba očí, árodosť, zalosť cudzích jazykov, povolae, rodý stav, atď Ak sú zhodé štatstcké zaky prvkov určtého súboru prese staoveé, hovorí sa o daom súbore ako o štatstckom súbore Štatstckým súborom môže byť apr kolektív osôb, skupa zverat, vecí, rastlí, územých jedotek, orgazácí, podkov, predají, udalostí, časových jedotek a pod Jedotlvé prvky štatstckého súboru sa azývajú štatstcké jedotky Teda štatstcká jedotka je osteľom skúmaých vlastostí štatstckého súboru Štatstckou jedotkou môže byť apr osoba, zvera, vec, rastla, územá jedotka, orgazáca, podk, predajňa, udalosť, časová jedotka a pod Počet štatstckých jedotek určtého štatstckého súboru sa azýva rozsah štatstckého súboru Ak pr každej štatstckej jedotke zsťujeme le jede štatstcký zak, získame jedorozmerý štatstcký súbor x, x,, x, kde x (pre =,,, ) je pozorovaá hodota štatstckého zaku X pr -tej štatstckej jedotke Aalogcky pre dvojrozmerý zak ( X, Y ) dostaeme dvojrozmerý štatstcký súbor ( x, y),,( x, y), atď Štatstcký súbor vytvoreý zo všetkých štatstckých jedotek, ktoré doň patra v zmysle požadovaých spoločých vlastostí, azývame základý súbor Výberový súbor tvora vybraé štatstcké jedotky, ktoré predstavujú reprezetatívu podmožu základého súboru 9

Elemetáre spracovae štatstckých údajov V tejto kaptole sa sústredíme a ops jedorozmerých štatstckých súborov s kvattatívym tredacm zakom, prčom v závere kaptoly ukážeme krátko aj elemetáre spracovae štatstckých súborov s kvaltatívym tredacm zakom Elemetáre spracovae súborov s kvattatívym tredacm zakom Výsledkom štatstckého zsťovaa je spravdla veľké možstvo číselých údajov, ktoré zapsujeme v takom poradí, v akom sme ch získal Teto údaje sú väčšou eprehľadé Aby vykl charakterstcké rysy a zákotost aalyzovaého súboru a aby sa údaje stal prehľadým, musíme ch roztredť Tredee štatstckých údajov spočíva v tom, že sa daý štatstcký súbor rozčleí a skupy (tredy) rovorodé z hľadska určtého štatstckého zaku Tredee je metóda pre usporadae údajov do prehľadej formy a tež ch zhustee Klasfkáca tredea (usporadaa) štatstckých údajov: Tredee prosté Hodoty x, x,, x tredaceho zaku v súbore usporadame podľa veľkost ( x () x () x ( ) ) do eklesajúcej postupost, prčom zapíšeme všetky hodoty toľkokrát, koľkokrát bol ameraé Výsledkom je tzv varačý rad x(), x(),, x( ) Toto tredee používame pre súbory s malým rozsahom (za hracu medz malým a veľkým súborm sa obvykle považuje rozsah 3) Tredee početostí Pre každú hodotu x tredaceho zaku určíme jej absolútu početosť, ktorá udáva, koľkokrát sa hodota x v súbore o rozsahu vyskytuje Platí, že k =, kde k zameá počet tred (v tomto prípade každý tredac zak = predstavuje samostatú tredu) Výsledkom je tabuľka rozdelea absolútych početostí (frekvečá tabuľka) Toto tredee používame pre súbory s veľkým rozsahom a malým počtom rôzych hodôt v súbore 3 Tredee tervalové Prvky súboru sa rozdela do tervalov a pre každý terval sa určí jeho absolúta početosť, t j počet prvkov v tomto tervale Iterval I predstavuje samostatú tredu a je jedozače určeý, ak pozáme jeho dolú hracu t a horú hracu t Obvykle sa terval reprezetuje tzv tredym zakom, ktorý určujeme ako stred daého tredeho tervalu Tredy zak z je stredom -teho tredeho tervalu, t j z ( t t ) = + Výsledky sa aj v tomto prípade zapíšu prehľade vo forme tabuľky Toto tredee používame pre súbory s veľkým rozsahom a veľkým počtom rôzych hodôt v súbore Pr tredeí štatstckých údajov do tredych tervalov (tred) je potrebé, aby sme sa radl týmto zásadam: Počet tred esme byť prílš malý, aby to evedlo k veľm zjedodušeému pohľadu a vlastost súboru a emal by byť a prílš veľký, pretože by sa mohlo stať, že sa spracovae stae eprehľadým a zakú zákotost charakterstcké pre daý súbor Jedotlvé pozorovaé hodoty štatstckého zaku patra do jedej a le jedej tredy Teto problém je spojeý s otázkou, ako určovať hrace tred, aby bolo možé jedotlvé hodoty začleť do príslušých tred jedozače Pokaľ je to možé, staovíme zhodú šírku, t j dĺžku tredeho tervalu, pre všetky tredy

Pr určovaí počtu tred sa sažíme potlačť áhodé kolísae absolútych početostí, ale zároveň esmeme zastreť charakterstcké črty Na staovee počtu tred eexstuje jedotý ázor a všeobecý predps Počet tred k volíme s prhladutím a povahu štatstckého zaku a rozsah štatstckého súboru Často sa používa tzv Sturgessovo pravdlo: k + 3, 3 log Nekedy je vhodé použť odhad: k V techckej prax sa používa aj odhad:,55, 5,4,4 k Pr zaraďovaí štatstckých údajov do tredych tervalov (tred) je potrebé pre každú tredu zvolť vopred jede z asledujúcch postupov: Hodoty, ktoré sú rové dolej hrac -teho tredeho tervalu, sa zarada do -tej tredy a hodoty, ktoré sa rovajú horej hrac tredeho tervalu, sa zarada do (+)-vej tredy, t j I = t t ), Hodoty rové dolej hrac -teho tredeho tervalu sa zarada do ( )-vej tredy a hodoty rové horej hrac tredeho tervalu sa zarada do -tej tredy, t j I (, = t t Dĺžka tredeho tervalu h sa volí prblže podľa vzťahu h, kde RV = xmax xm je k varačé rozpäte, prčom x max predstavuje ajväčšu a x m ajmešu hodotu štatstckého zaku v daom štatstckom súbore Okrem absolútych početostí sa v opsej štatstke používajú aj ďalše druhy početostí, a to: relatíva početosť f =, pre =,,, k ; kumulatíva absolúta početosť N = + + + = j, pre =,,, k ; N kumulatíva relatíva početosť F = = f + f + + f, pre =,,, k Platí: k f = Fk =, = k = Nk = = Relatíve početost sa často udávajú v percetách V tabuľke rozdelea absolútych početostí môžeme uvesť ešte aj početost f, N a F Dostaeme tak tabuľku rozdelea početostí v asledujúcom tvare: x f N F x f f R V j= x f + f + f k x k k f k V tejto tabuľke v prípade tervalového tredea použjeme amesto hodôt x tredaceho zaku hodoty tredeho zaku z

Pre tervalové tredee sa pomocou kumulatívych relatívych početostí F defuje emprcká dstrbučá fukca F : R R asledujúcm spôsobom: pre < x < z F pre z x < z F pre z x < z3 F( x) = Fk pre zk x < zk pre zk x < V prípade obyčajého tredea početostí použjeme amesto hodôt tredeho zaku z hodoty tredaceho zaku x Emprcká dstrbučá fukca vyjadruje teda závslosť kumulatívej relatívej početost a hodotách kvattatíveho zaku Má teto vlastost: F(x) je eklesajúca fukca, t j pre každé reále x x platí F( x ) F( x) F ( ) = a F ( + ) = 3 F(x) je spojtá sprava a celej može reálych čísel R Grafom emprckej dstrbučej fukce je schodovtá krvka so skokm v bodoch, ktoré sú tredym zakm, prčom súradce y bodov grafu sa rovajú hodotám kumulatívej relatívej početost F Popr štatstckých tabuľkách je dôležtou formou zobrazovaa štatstckých údajov graf Grafcké zobrazee štatstckého súboru je geometrckým obrazom výsledkov získaých sledovaím ejakého štatstckého zaku v štatstckom súbore Poskytuje rovakú formácu o emprckom rozdeleí ako štatstcká tabuľka, ale ým spôsobom Grafcké zobrazee dáva rýchlu a prehľadú predstavu o tedecách a charakterstckých črtách aalyzovaých javov Grafy sú tež účým popularzačým prostredkom štatstckých výsledkov Bodové grafy sú grafy vytvoreé bodm ( z, w ), kde za w môžeme dosadť početost, f, N a F, prčom =,,, k, umesteým v pravouhlej súradcovej sústave V prípade obyčajého tredea početostí použjeme amesto hodôt tredeho zaku z hodoty tredaceho zaku x Spojcové grafy sú v podstate bodové grafy, v ktorých sú jedotlvé body spojeé lomeou čarou Polygó je spojcový graf, v ktorom sú jedotlvé susedé body spojeé úsečkam Ak cez jedotlvé body bodového grafu preložíme spojtú hladkú krvku, dostaeme frekvečú krvku Hstogram je graf, ktorý zostrojíme tak, že ad úsekom a os x, rovým dĺžke tredeho tervalu, akreslíme obdĺžk, ktorého výška je úmerá w Stĺpcový graf je podobý hstogramu, ale stĺpce sú oddeleé Používa sa hlave v prípade obyčajého tredea početostí Úsečkový graf zostrojíme tak, že ad hodotou tredeho zaku z, resp tredaceho zaku x, akreslíme úsečku o dĺžke úmerej w Krabcový dagram (boxplot) je schéma, ktorá v jedom obrázku poskytuje formácu o výzamých a extrémych hodotách štatstckého súboru Zostavee tohto dagramu ukážeme eskôr

Príklad V strojárskom závode opracoval pracovík za jedu smeu odlatkov Každý výrobok prešel techckou kotrolou a výsledky meraa v mlmetroch bol získae v tomto poradí: 38,5; 38,5; 38,; 38,3; 38,; 38,6; 38,8; 38,4; 38,5; 38,5; 38,6; 38,3; 38,5; 38,4; 38,7; 38,4; 38,6; 38,3; 38,6; 38,4 Pre daý štatstcký súbor zostavte: a) varačý rad, b) frekvečú tabuľku, c) tabuľku rozdelea početostí, d) polygó absolútych početostí, úsečkový graf relatívych početostí f, stĺpcový graf kumulatívych absolútych početostí N, schodovtý graf kumulatívych relatívych početostí F a hstogram absolútych početostí Rešee: a) Daý štatstcký súbor má rozsah = Nameraé hodoty štatstckého zaku usporadame do varačého radu: 38, 38, 38,3 38,3 38,3 38,4 38,4 38,4 38,4 38,5 38,5 38,5 38,5 38,5 38,6 38,6 38,6 38,6 38,7 38,8 Na tomto malom štatstckom súbore budeme ďalej lustrovať aplkácu programu MATLAB Vektor eroztredeých hodôt uložíme do premeej x a varačý rad, ktorý môžeme získať pomocou štadardej fukce MATLABu (M-fukce) sort, uložíme do premeej vr: x=[385,385,38,383,38,386,388,384,385,385,386,383,385,384, 387,384,386,383,386,384]/,vr=sort(x) b) Pre každú ameraú hodotu zstíme počet prípadov, v ktorých sa daá hodota v súbore vyskytuje, t j jej absolútu početosť Takto získame frekvečú tabuľku: x 38, 38,3 38,4 38,5 38,6 38,7 38,8 3 4 5 4 Jej získae lustrujeme opäť použtím MATLABu Pomocou M-fukce uque ajprv získame vektor usporadaých rôzych hodôt: x=uque(x) Výstup z MATLABu je v tvare radkového vektora: x = 38 383 384 385 386 387 388 Absolúte početost získame pomocou M-fukce hst s jedým výstupým argumetom a uložíme ch do premeej : =hst(x,x) Výstup z MATLABu: = 3 4 5 4 Frekvečú tabuľku zostavíme v tvare blokovej matce: fr_tab=[x;] Výstup z MATLABu: fr_tab = 38 383 384 385 386 387 388 3 4 5 4 c) Ďalej ešte vypočítame početost f, N a F pomocou uvedeých vzorcov f =, N = + + +, F = f + f + + f, pre =,,, k a zostavíme tabuľku rozdelea početostí: 3

x f N F 38,,, 38,3 3,5 5,5 3 38,4 4, 9,45 4 38,5 5,5 4,7 5 38,6 4, 8,9 6 38,7,5 9,95 7 38,8,5 Na výpočet ďalších druhov početostí použjeme uvedeé vzorce, ktoré ľahko prepíšeme do MATLABu V prípade početostí N a F použjeme M-fukcu cumsum, ktorá vytvorí vektor kumulatívych súčtov prvkov vektora Tabuľku rozdelea početostí zapíšeme prehľade vo forme matce a uložíme ju do premeej tab: =legth(x);f=/;n=cumsum();f=cumsum(f); tab=[x;;f;n;f]' tab = 38 383 3 5 5 5 384 4 9 45 385 5 5 4 7 386 4 8 9 387 5 9 95 388 5 Pozámka: Výsledky budeme uvádzať zaokrúhleé a 4 desaté mesta, čo je bežý výstup výsledkov MATLABu (short) Ak chceme zvýšť presosť výstupov, použjeme prepíač format log, format short e, resp é (pozrte help format) d) Daý štatstcký súbor zázoríme aj grafcky Pomocou M-fukce plot sa zázorňuje polygó, pomocou stem úsečkový graf, pomocou bar stĺpcový graf Pomocou M-fukce stars s použtím početostí F dostaeme schodovtý graf, ktorý prpomía graf emprckej dstrbučej fukce Ak použjeme M-fukcu hst bez výstupého argumetu, dostaeme grafcké zázoree rozdelea absolútych početostí hstogram absolútych početostí Ďalej využjeme M-fukcu subplot, ktorá ám umožňuje umestť vac obrázkov do jedého grafckého oka Fugovae príkazov v MATLABe s môžeme pozreť prostredíctvom helpu, kde sú formáce zapísae v aglčte Napr do príkazového radku zapíšeme help plot Pr kresleí grafu máme možosť zvolť s farbu, rôze zvýrazea bodov, ako aj hrúbku čary Dva jedoduché apostrofy ohračujú reťazec zakov Pomocou colormap môžeme meť farebú paletu Pomocou grd prdávame seťku Upravť obrázok môžeme cez Edt v horej čast grafckého oka subplot(3,,);plot(x,,'k*-','lewdth',3),grd, subplot(3,,);stem(x,f,'m','lewdth',3),grd, subplot(3,,3);bar(x,n,'g'),grd, subplot(3,,4);stars(x,f,'lewdth',3),grd, subplot(3,,5);hst(x,x),colormap([ 5]),grd 4

6 4 38 383 384 385 386 387 388 389 38 383 384 385 386 387 388 389 5 5 5 38 38 383 384 385 386 387 388 38 383 384 385 386 387 388 389 6 4 38 38 383 384 385 386 387 388 Príklad Máme k dspozíc údaje o príjmoch trdsatch domácostí v Sk v roku 99 a Slovesku: 9966, 55, 39, 78, 664, 83, 695, 999,, 36, 4, 88, 673, 65,, 763, 9968, 87, 943, 59, 886, 774, 497, 76, 395, 683, 839, 465, 565, 76 Rešte asledujúce úlohy: a) daý štatstcký súbor roztreďte do tredych tervalov, prčom zvoľte vhodý počet tred k; b) zostavte tabuľku rozdelea početostí, c) zázorte schodovtý graf kumulatívych relatívych početostí F, d) určte emprckú dstrbučú fukcu a jej graf Rešee: a) Daý štatstcký súbor má rozsah = 3 Ak s pozore prezreme ameraé hodoty, tak zstíme, že ajmešou hodotou daého štatstckého súboru je hodota 88 a ajväčšou je hodota 465 Aplkujeme opäť MATLAB: x=[9966,55,39,78,664,83,695,999,,36,4, 88,673,65,,763,9968,87,943,59,886,774,497, 76,395,683,839,465,565,76]; =legth(x),xm=m(x),xmax=max(x) Vhodý počet tred k určíme pomocou Sturgessovho pravdla: k + 3,3 log 3 = 5, 8745 Zvolíme teda 6 tred Uvedeý vzorec prepíšeme pre zaujímavosť aj do MATLABu pomocou M-fukce pre dekadcký logartmus log a M-fukce roud, ktorá zaokrúhl prvky matce (vektora) a celé čísla podľa pravdel zaokrúhľovaa: k=roud(+33*log()) Dĺžku tredeho tervalu zvolíme podľa vzťahu ( ) h xmax xm k = 85 6 = 88,8 3 Pre jedoduchosť a ázorosť zvolíme rovakú dĺžku tredeho tervalu pre všetky tredy h = Mmálu hodotu štatstckého zaku zaokrúhlme vhode adol, apr a 5 a maxmálu hodotu vhode ahor, apr a 45 Takto dostaeme teto hrace tredych tervalov (tred): 5, 45, 65, 85, 5, 5, 45 Potom vypočítame trede zaky z, t j reprezetatov jedotlvých tred, ako stredy príslušých tredych tervalov Dostaeme teto hodoty tredych zakov: 35, 55, 75, 95, 5, 35 5

Aplkujeme teraz zova MATLAB Vytvoríme vektor t, ktorý tvora hrace tredych tervalov a vektor z tredych zakov: t=5::45,z=(t(:6)+t(:7))/ Pr zaraďovaí štatstckých údajov do tredych tervalov zvolíme v poradí druhý z dvoch v teoretckej čast spomeutých postupov Takto získame absolúte početost Pr tejto prácej úlohe môžeme efektíve využť MATLAB Absolúte početost získame pomocou M-fukce hst s jedým výstupým argumetom: =hst(x,z) b) Aalogcky ako v predchádzajúcom príklade vypočítae ešte ďalše druhy početostí a akoec zostavíme tabuľku rozdelea početostí: I = ( t, t z f N F 9 5 45 35 /5 /5 45 65 55 3 / 5 /6 3 65 85 75 /3 5 / 4 85 5 95 7 7/3 /5 5 5 5 5 4 /5 6 3/5 6 5 45 35 4 /5 3 3 Vytvoree tabuľky početostí použtím programu MATLAB: format rat;f=/;n=cumsum();f=cumsum(f);tab=[z;;f;n;f]' c) Pre daý štatstcký súbor máme zostrojť schodovtý graf kumulatívych relatívych početostí F Budeme to realzovať pomocou M-fukce stars s použtím početostí F : stars(z,f) Ďalšou možosťou je aplkáca M-fukce cdfplot: z=[35*oes(,),55*oes(,3),75*oes(,),95*oes(,7), 5*oes(,4),35*oes(,4)];cdfplot(z) Emprcal CDF 8 7 6 F(x) 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 3 4 x 6

Môžeme použť aj prostrede dfttool, kde sa dá získať zjedodušeý graf emprckej dstrbučej fukce, prčom tam môžeme dokreslť aj graf dstrbučej fukce apr ormáleho rozdelea Odošleme príslušý príkaz: dfttool Otvorí sa grafcké oko, kde vľavo hore astavíme CDF, potom do Data dáme hodoty z, do Frequecy početost, klkeme a Create Data Set, ďalej a New Ft, do Dstrbuto dáme Normal a klkeme a Apply 9 z data dstrfukca ormáleho rozdelea 8 7 Cumulatve probablty 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 3 Data d) Teraz s pomocou početostí F zostavíme emprckú dstrbučú fukcu: pre < x < 35 pre 35 x < 55 5 pre 55 x < 75 6 F( x) = pre 75 x < 95 pre 95 x < 5 5 3 pre 5 x < 35 5 pre 35 x < 7

Presý graf emprckej dstrbučej fukce bude vyzerať takto: F(x) 3/5 /5 / /6 /5 35 55 75 95 5 35 x Opsé charakterstky súboru s kvattatívym tredacm zakom V predchádzajúcej čast sme sa dozvedel, ako usporadať štatstcké údaje do tabulek a sumarzovať údaje pomocou grafov Rozdelee početostí poskytuje užtočú formácu o štruktúre skúmaého štatstckého súboru, ale opsovať a hlave porovávať ekoľko súborov le pomocou tabulek alebo grafov by bolo práce Z tohto dôvodu sa sažíme zhrúť formácu obsahutú v zsteých údajoch o štatstckom zaku a vyjadrť ju v kocetrovaej forme pomocou určtých charakterstík Pr opse štatstckých súborov ás zaujíma predovšetkým poloha (úroveň) rozdelea početostí a jeho varablta (rozptýleosť) Meej často sa zameravame a tvar rozdelea početostí, t j a jeho škmosť a špcatosť Čísla, ktoré slúža k opsu súborov dát, sa azývajú opsé charakterstky (mery) V tejto čast sa budeme zaoberať ektorým ajdôležtejším opsým charakterstkam Charakterstky polohy Charakterstky polohy (stredé hodoty) charakterzujú polohu zaku a číselej os Ich hlavú skupu tvora premery, a to artmetcký premer, geometrcky premer a harmocký premer, ktorých spoločou vlastosťou je, že sú určovaé zo všetkých ameraých hodôt zaku 8

Druhú skupu charakterstík polohy tvora tzv pozčé stredé hodoty, ktoré sú určeé pozícou ektorých jedotek súboru Medz e patrí modus a kvatly Z kvatlov sa ajčastejše používa medá Artmetcký premer x je defovaý ako súčet ameraých hodôt x, x,, x deleý ch počtom, t j platí vzorec x = x = Artmetcký premer počítaý podľa tohto vzorca azývame prostý artmetcký premer Používa sa pre eroztredeý štatstcký súbor Ak máme roztredeý súbor, pre ktorý máme spracovaú frekvečú tabuľku, tak a výpočet artmetckého premeru môžeme použť vzorec = k x = x, kde k = = Artmetcký premer počítaý podľa tohto vzorca azývame vážeý artmetcký premer V prípade tervalového tredea použjeme v tomto vzorc amesto hodôt x tredaceho zaku hodoty tredeho zaku z V tomto prípade je ale potrebé s uvedomť, že dostaeme le prblžú hodotu artmetckého premeru, prese vypočítaého z pôvodých ameraých hodôt podľa vzorca pre prostý artmetcký premer Použte vážeého artmetckého premeru prchádza do úvahy aj tam, kde váhy e sú odvodeé z početostí, ale z relatíveho výzamu (dôležtost) jedotlvých hodôt Napr pr hodoteí lkvdty podku musíme počítať s tým, že jedotlvé aktíva podku majú rôzu schoposť využta pre splatee krátkodobých záväzkov Preto sa v tejto oblast stretávame s tým, že jedotlvým aktívam sú a základe expertého ohodotea prradzovaé váhy, ktoré určujú dôležtosť daej skupy aktív z hľadska lkvdty podku Celkový (premerý) ukazovateľ je potom vážeým artmetckým premerom z objemov peňažých prostredkov vazaých v jedotlvých skupách aktív, kde ako váhy vystupujú ejaké koefcety kvalty aktív z hľadska stupňa lkvdty Artmetcký premer má celý rad dôležtých vlastostí, z ktorých uvedeme asledujúce: Súčet odchýlok všetkých ameraých hodôt od ch artmetckého premeru je ulový, t j platí ( x x) = = Ak ku každej ameraej hodote prpočítame tú stú koštatu, zväčší sa o túto koštatu aj artmetcký premer, t j platí ( x + c) = x + c, pre c R = Ak všetky ameraé hodoty vyásobíme tou stou koštatou, je touto koštatou vyásobeý aj artmetcký premer, t j platí c x = c x, pre c R = Matematcké vyjadree artmetckého premeru je jedoduché a používa sa v mohých ďalších odvodeach dôležtých vzťahov Jeho výpočet je založeý a všetkých ameraých hodotách Artmetcký premer je ctlvý voč extrémym hodotám súboru Má zmysel ako veľm dôležtá charakterstka daého súboru vtedy, ak sú odchýlky ameraých hodôt áhodé a v súbore sa evyskytujú extréme malé alebo extréme veľké hodoty Príklad 3 Vypočítajte artmetcký premer pre štatstcký súbor z príkladu Rešee: Výpočet artmetckého premeru pomocou kalkulačky podľa uvedeých vzorcov je zrejme jasý Potrebé údaje máme uvedeé v príklade Z eroztredeých hodôt ho 9

môžeme vypočítať ako prostý artmetcký premer podľa vzorca výsledok x = 868, x = x = Dostaeme Výpočet z roztredeých hodôt ako vážeý artmetcký premer realzujeme podľa vzorca = k x = z Tu dostaeme ale le prblžú hodotu x = 8833, 3 Výpočet z eroztredeých hodôt podľa vzorca pre prostý artmetcký premer môžeme v MATLABe realzovať takto: x=[9966,55,39,78,664,83,695,999,,36,4, 88,673,65,,763,9968,87,943,59,886,774,497, 76,395,683,839,465,565,76];=legth(x);ap=sum(x)/ Výpočet artmetckého premeru pomocou M-fukce mea: ap=mea(x) Výpočet z roztredeých hodôt, t j z tabuľky tervalového rozdelea početostí, môžeme v MATLABe realzovať podľa vzorca pre vážeý artmetcký premer asledujúcm spôsobom: z=35::35;=[,3,,7,4,4];=sum();ap=sum(z*)/ Výpočet artmetckého premeru pomocou M-fukce mea: z=[35*oes(,),55*oes(,3),75*oes(,),95*oes(,7), 5*oes(,4),35*oes(,4)],format log g,ap=mea(z) K ďalším charakterstkám polohy patrí geometrcký a harmocký premer, ktoré sa však epoužívajú tak často ako artmetcký premer Geometrcký premer x g z kladých hodôt x, x,, x je defovaý ako -tá odmoca z ch súču, t j platí vzorec x g = x x x = x Geometrcký premer počítaý podľa tohto vzorca azývame prostý geometrcký premer Používa sa pre eroztredeý štatstcký súbor Ak máme roztredeý súbor, pre ktorý máme spracovaú frekvečú tabuľku, tak pre k výpočet geometrckého premeru môžeme použť vzorec x g = x x xk = x, kde k = Geometrcký premer počítaý podľa tohto vzorca azývame vážeý = geometrcký premer V prípade tervalového tredea použjeme v tomto vzorc amesto hodôt x tredaceho zaku hodoty tredeho zaku z Geometrcký premer sa používa apr a výpočet premerej fláce, premerého úroku, premerého percetuáleho rastu medz dvom časovým obdobam a pod Príklad 4 O zmeách objemu produkce v jedotlvých mesacoch prvého polroka oprot predchádzajúcemu mesacu formujú asledujúce koefcety rastu:,5;,;,;,3;,7;,98 Vypočítajte premerý koefcet rastu = k =

Rešee: Premerý koefcet rastu vypočítame pomocou vzorca pre prostý geometrcký premer Je to šesta odmoca zo súču uvedeých čísel Výsledok je,37 Aplkáca jedoduchým prepsom uvedeého vzorca do MATLABu: x=[5,,,3,7,98];gp=(prod(x))^(/6) Aplkáca pomocou M-fukce geomea: gp=geomea(x) Harmocký premer x h z eulových hodôt x, x,, x je defovaý ako podel ch počtu a súčtu ch prevráteých hodôt Vzorec pre prostý harmocký premer má tvar xh = Aalogcky ako v prípade artmetckého a geometrckého premeru môžeme x = zapísať vzorec pre vážeý harmocký premer v tvare Zo vzorca x h = = x x h = x k = je zrejmé, že prevráteá hodota harmockého premeru je artmetckým premerom prevráteých hodôt ameraých hodôt x, x,, x, t j platí = x h x = Harmocký premer sa používa predovšetkým pr výpočte premerej rýchlost, premerého času a pod Pre kladé hodoty x, x,, x plata medz uvedeým premerm týchto hodôt erovost: xh xg x Príklad 5 Máme 3 stroje, ktoré vyrábajú skrutky Prvý stroj potrebuje a výrobu jedej skrutky,5 múty, druhý múty a tretí 3, múty Vypočítajte premerý čas potrebý a výrobu jedej skrutky, ak stroje budú pracovať súčase Rešee: Počítame podľa vzorca pre prostý harmocký premer Dostaeme 3 x h = =, 474 [m] + +,5 3, Aplkáca jedoduchým prepsom uvedeého vzorca do MATLABu: x=[5,,3];hp=3/sum(/x) Aplkáca pomocou M-fukce harmmea: hp=harmmea(x)

Napr pr skúmaí mezd pracovíkov určtého premyselého odvetva ás budú okrem ého zaujímať mmále a maxmále mzdy týchto pracovíkov Je zrejmé, že jedoduché zstee mmálej a maxmálej mzdy pracovíkov skúmaého súboru emá veľký výzam Sú to extréme hodoty a e sú podstaté z hľadska daej otázky Môžu byť celkom áhodé Pr úvahách o mmálych mzdách ás bude skôr zaujímať apr horá hraca mezd % pracovíkov daého odvetva s ajžším mzdam a pr úvahách o vysokých mzdách ás bude zaujímať apr dolá hraca mezd % pracovíkov s ajvyšším mzdam Iokedy ás bude zaujímať horá hraca medz 5 % pracovíkov s ízkym mzdam, ktorá je súčase dolou hracou 5 % pracovíkov s vysokým mzdam Charakterstky, ktoré ám podávajú formácu tohto druhu, azývame kvatly Kvatl súboru dát je hodota, ktorá rozdeľuje usporadaý súbor hodôt určtého kvattatíveho štatstckého zaku a dve čast jeda obsahuje te hodoty, ktoré sú meše a rovaké ako kvatl (apr, 5, 5, 9 %), druhá časť aopak obsahuje te hodoty, ktoré sú väčše a rovaké ako kvatl (t j apr 99, 85, 5, %) Nech < p < Kvatlom xɶ p štatstckého zaku X azývame číslo zvoleé tak, aby p % štatstckých jedotek malo hodotu zaku mešu (alebo rovakú) ako toto číslo, t j aby ( p) % štatstckých jedotek malo hodotu zaku väčšu (alebo rovakú) ako toto číslo Kvatl xɶ p teda oddeľuje p % malých hodôt od ( p) % veľkých hodôt štatstckého zaku a azývame ho p %-ý kvatl Medz ajčastejše používaé kvatly patra percetly, decly a kvartly Percetly xɶ,, xɶ 99 rozdeľujú usporadaý štatstcký súbor a rovako početých častí Decly xɶ,, xɶ 9 rozdeľujú usporadaý štatstcký súbor a rovako početých častí Kvartly sú hodoty, ktoré dela usporadaý štatstcký súbor a štyr čast, prčom každá obsahuje 5 % štatstckých jedotek Sú dokopy tr Prvý (dolý) kvartl xɶ 5 oddeľuje zhruba 5 % ajmeších hodôt štatstckého zaku od ostatých Druhý (prostredý) kvartl, tzv medá xɶ 5, rozdeľuje usporadaý súbor hodôt štatstckého zaku a dve čo do počtu rovaké čast, t j každá z ch obsahuje 5 % štatstckých jedotek Medá ozačujeme aj xɶ Tretí (horý) kvartl xɶ 75 je taká hodota štatstckého zaku, ktorá oddeľuje zhruba 75 % ajmeších hodôt štatstckého zaku od ostatých 5 % Medá sa rová druhému kvartlu, patemu declu alebo päťdesatemu percetlu Prvý kvartl sa rová dvadsatemu patemu percetlu a tretí kvartl sa rová sedemdesatemu patemu percetlu Napr druhý decl sa rová dvadsatemu percetlu Kvatlom môže byť pramo hodota zaku určtej štatstckej jedotky sledovaého súboru alebo číslo, ktoré leží medz hodotam dvoch susedých štatstckých jedotek vo vzostupe usporadaej postupost podľa hodôt daého zaku, t j vo varačom rade V druhom spomeutom prípade sa kvatl staoví pomocou leárej terpoláce týchto susedých hodôt zaku Určť kvatly v prípade, ak sú k dspozíc údaje o všetkých jedotkách štatstckého súboru, predpokladá usporadae daého súboru do varačého radu x(), x(),, x( ) Ďalej je uté určť poradové číslo jedotky, ktorej hodota je hľadaým kvatlom, resp poradové čísla jedotek, z hodôt ktorých sa teto kvatl určí

p %-ý kvatl určíme pre < p < podľa asledujúceho vzorca x([ p] + ), pokaľ p e je celé číslo xɶ p =, ( x( p) + x( p+ ) ), pre p celé kde [p] je celá časť čísla, t j ajblžše meše celé číslo Špecále pre medá platí vzorec x + x5 = x + x +, pre epáre ɶ, pre páre Ak máme pre staovee kvatlov k dspozíc le tervalové rozdelee početostí zaku X, potom môžeme získať le prblžé hodoty daého kvatlu Medá môžeme v tomto prípade počítať podľa vzorca, ktorý vzke leárou N terpolácou v hstograme kumulatívych absolútych početostí Platí xɶ 5 = a + h, kde a je začatok tredeho tervalu obsahujúceho medá (medáového tervalu), je absolúta početosť tervalu obsahujúceho medá, N - je kumulatíva absolúta početosť predchádzajúceho tervalu pred tervalom obsahujúcm medá, h je dĺžka tredeho tervalu, je rozsah súboru Pre prvý kvartl použjeme v prípade tervalového rozdelea početostí vzorec N xɶ 4 5 = a + h, kde a je začatok tredeho tervalu obsahujúceho prvý kvartl, je absolúta početosť tervalu obsahujúceho prvý kvartl, N - je kumulatíva absolúta početosť predchádzajúceho tervalu pred tervalom obsahujúcm prvý kvartl, h je dĺžka tredeho tervalu, je rozsah súboru Pre tretí kvartl použjeme v prípade tervalového rozdelea početostí vzorec 3 N xɶ 4 75 = a + h, kde a je začatok tredeho tervalu obsahujúceho tretí kvartl, je absolúta početosť tervalu obsahujúceho tretí kvartl, N - je kumulatíva absolúta početosť predchádzajúceho tervalu pred tervalom obsahujúcm tretí kvartl, h je dĺžka tredeho tervalu, je rozsah súboru Jedou z forem prezetáce štatstckého súboru je krabcový dagram, tzv boxplot Je založeý a pätc čísel, a to x m, xɶ 5, xɶ 5, xɶ 75, x max, ktorým hovoríme aj päťčíselá charakterstka V uvedeom dagrame dolá a horá straa základého obdĺžka (krabce) zodpovedajú prvému a tretemu kvartlu, vodorová čara vútr tohto obdĺžka zodpovedá medáu, t j druhému kvartlu Uvedeé tr vodorové úsečky teda dela súbor ameraých a podľa veľkost usporadaých hodôt a štyr zhruba rovako početé čast Výška obdĺžka sa azýva kvartlové rozpäte RQ = xɶ 75 xɶ 5 Dolá zvslá úsečka zodpovedá hodotám, ktoré leža pod obdĺžkom vo vzdaleost ajvac rovom,5-ásobku výšky obdĺžka Koec tejto úsečky zodpovedá ajmešej takej hodote zo súboru Podobe je to u horej úsečky Teda horá a dolá úsečka zodpovedajú tým hodotám, ktoré e sú medz 3

kvartlm a sú od ch vzdaleé ajvac o,5-ásobok kvartlového rozpäta Mmo týchto úseček (pod m a ad m) sa zázorňujú body zodpovedajúce prípadým tzv extrémym hodotám Boxplot slúž aj ako grafcký test extrémych hodôt Príklad 6 vybraých televízych dvákov bolo požadaých, aby s celý týždeň zazameával čas [hod], ktorý veoval sledovau televízych programov Nasleduje získaý varačý rad: 5, 5, 6,,, 5, 6, 7, 3, 3, 3, 3, 3, 34, 35, 38, 38, 4, 43, 66 Vypočítajte hodoty kvartlov daého štatstckého súboru Rešee: Nameraé hodoty sú už usporadaé do varačého radu Rozsah je =, čo je páre číslo Platí = a + =, teda medá (druhý kvartl) určíme ako artmetcký premer hodoty s poradovým číslom a hodoty s poradovým číslom 3 + 3 v uvedeom varačom rade Pre medá teda platí xɶ 5 = = 3,5 To sté dostaeme aj podľa všeobecého vzorca pre p %-ý kvatl, kde v prípade medáu dosadíme p =,5 Teraz staovíme prvý kvartl Platí p =, 5 = 5, čo je celé číslo Teda prvý kvartl určíme ako artmetcký premer hodoty s poradovým číslom 5 a hodoty s poradovým + 5 číslom 6 Potom prvý kvartl bude xɶ 5 = = 3 Ešte treba určť tretí kvartl Platí p =, 75 = 5, čo je celé číslo Teda tretí kvartl určíme ako artmetcký premer hodoty s poradovým číslom 5 a hodoty s poradovým 35 + 38 číslom 6 Potom tretí kvartl bude xɶ 75 = = 36,5 Výpočet v programe MATLAB pomocou M-fukce prctle: vr=[5,5,6,,,5,6,7,3,3,3,3,3,34,35,38,38,4,43,66]; med=prctle(vr,5),q=prctle(vr,5),q3=prctle(vr,75) Medá môžeme určť aj pomocou M-fukce meda: med=meda(vr) Príklad 7 Je daá frekvečá tabuľka veku študetov (x ) obývajúcch terát: x 8 9 3 4 5 6 3 5 3 8 4 4 Vypočítajte hodoty kvartlov daého štatstckého súboru a zázorte boxplot Rešee: Daý súbor je usporadaý v tabuľke rozdelea absolútych početostí Platí = 9, = 45 a + = 46, a teda medá určíme ako artmetcký premer hodôt s poradovým číslam 45 a 46 Z tabuľky absolútych početostí je vdeť, že obe teto hodoty sú rové (všetky hodoty s poradovým číslam 5 až 49 sú rové ) Medá (druhý kvartl) je teda x ɶ 5 = Prvý a tretí kvartl veku študetov budú x ɶ 5 = 9 a x ɶ 75 =, pretože všetky hodoty s poradovým číslam až 4 sú rové 9, rovako ako aj všetky hodoty s poradovým číslam 63 až 7 sú rové 4

Môžeme aplkovať aj MATLAB Napr s zostavíme varačý rad a pre zaujímavosť s skotrolujeme aj poradové čísla predtým spomeutých hodôt: vr=[8,9*oes(,3),*oes(,5),*oes(,3),*oes(,), 3*oes(,8),4*oes(,4),5,5,6*oes(,4)],=legth(vr) vr(5:49),vr(:4),vr(63:7) Na výpočet kvartlov použjeme už v predchádzajúcom príklade spomeutú M-fukcu prctle Môžeme počítať aj vacero percetlov araz: prctle(vr,[5,5,75]) Pre zázoree krabcového dagramu použjeme M-fukcu boxplot: boxplot(vr) 6 5 4 3 9 8 Vdíme, že daý štatstcký súbor eobsahuje extréme hodoty Príklad 8 Je daá tabuľka tervalového rozdelea početostí: I 9 3 3 5 5 7 7 9 9 5 5 5 4 5 Pre uvedeý štatstcký súbor zázorte stĺpcový graf kumulatívych absolútych početostí a vypočítajte hodoty jeho kvartlov Rešee: Použjeme opäť MATLAB: z=::;=[5,5,5,4,,5];=sum(),n=cumsum() Pre rozsah štatstckého súboru dostaeme výsledok = Pre kumulatíve absolúte početost bude výstupom z MATLABu radkový vektor: N = 5 45 85 95 Použte MATLABu a grafcké zázoree: bar(z,n),colormap([,5,5]),grd, xlabel('trede tervaly'),ylabel('n'), ttle('stĺpcový graf') 5

N 95 9 85 8 75 7 65 6 55 5 45 4 35 3 5 5 5 Aplkácou MATLABu pomocou M-fukce prctle dostaeme v prípade tervalového tredea le tredy zak prslúchajúc tervalu obsahujúceho príslušý kvartl: z=[*oes(,5),*oes(,5),4*oes(,5),6*oes(,4), 8*oes(,),*oes(,5)];kvartly=prctle(z,[5,5,75]) Výstup z MATLABu: kvartly = 4 6 6 Teto výsledok ám v spojeí so vstupou tabuľkou hovorí, že prvý kvartl sa achádza v treťom tredom tervale, druhý kvartl (medá) a tretí kvartl sa achádzajú v štvrtom tredom tervale To sté však môžeme zstť aj zo zázoreého stĺpcového grafu kumulatívych absolútych početostí Keďže je =, číslo / 4 = 5 (vď a os y príslušú kumulatívu početosť N ) prslúcha tretemu tredemu tervalu, číslo / = 5 prslúcha štvrtému tredemu tervalu a číslo 3 / 4 = 75 prslúcha tež štvrtému tredemu tervalu Teraz s spresíme hodoty kvartlov výpočtom podľa vzorcov uvedeých v teoretckej čast N Pre prvý kvartl platí xɶ 4 5 = a + h Po dosadeí do vzorca a vyčísleí dostaeme: 5 xɶ 5 = 3 + = 3, 4 5 N 5 45 Pre medá platí: xɶ 5 = a + h = 5 + = 5, 5 4 Stĺpcový graf 4 6 8 trede tervaly Pre tretí kvartl dostaeme: 3 N 4 75 45 xɶ 75 = a + h = 5 + = 6,5 4 6

Posledou charakterstkou polohy, ktorou sa budeme zaoberať, je modus Predstavuje hodotu, ktorá je v rámc skúmaého štatstckého súboru ajtypckejšou Považujeme ho za dôležtú doplkovú charakterstku k ajčastejše používaým charakterstkám polohy, a to k artmetckému premeru a medáu Podobe ako medá, a modus e je ovplyveý extrémym hodotam Modus ˆx súboru dát je každá hodota, ktorej početosť výskytu je väčša ako a je rovaká alebo väčša ako početosť výskytu akejkoľvek ej hodoty Ak početosť žadej hodoty súboru dát e je väčša ako, potom hovoríme, že daý súbor emá modus Iak povedaé, každá hodota, ktorá má ajväčšu početosť sa azýva modus Súbor hodôt môže mať teda vac ako jede modus V prípade tervalového rozdelea početostí sa pr staoveí modusu uspokojujeme buď s určeím modáleho (ajpočetejšeho) tervalu, alebo v rámc tohto tervalu modus odhadujeme, apr stredom tervalu Exstujú však aj presejše postupy, ktoré vychádzajú z rekoštrukce vrcholu súboru podľa rozdelea početostí v okolí modáleho tervalu Ukážeme postup, pr ktorom sa vychádza z hstogramu absolútych početostí a z predpokladu, že ameraé hodoty sa v modálom tervale vac kocetrujú k tej hrac, ktorej susedý terval má väčšu početosť, ako je to zázoreé a asledujúcom obrázku: h d d a ˆx I xˆ a ( a + h) xˆ Z podobost trojuholíkov vyplýva, že platí = Odtaľ dostaeme vzorec d d pre výpočet modusu v tvare x d ˆ = a + h, kde a je začatok modáleho tervalu, d d d je + rozdel medz absolútou početosťou modáleho a predchádzajúceho tervalu, d je rozdel medz absolútou početosťou modáleho a asledujúceho tervalu, h je dĺžka tredeho tervalu Príklad 9 Vo výrob bolo za jedu hodu vyrobeých 5 oceľových tyčí Pr meraí ch dĺžky bol zsteé teto výsledky [cm]:,48;,6;,;,; 8,; 8,65; 8,89; 9,5;,54; 8,; 8,9;,47; 9,9;,6; 8,48 Určte modus daého štatstckého súboru Rešee: Aplkácou MATLABu s vytvoríme frekvečú tabuľku: x=[48,6,,,8,865,889,95,54,8,89,47,99, 6,848]/; x=uque(x); =hst(x,x);fr_tab=[x;] 7

x 8,9 8, 8,48 8,65 8,89 9,9 9,5,,47,48,6,,54 Z uvedeej frekvečej tabuľky je vdeť, že daý štatstcký súbor má modusy Sú m hodoty 8, a,6 Pomocou MATLABu s môžeme aj grafcky zobrazť túto frekvečú tabuľku Použjeme apr úsečkový graf, kde je opäť dobre vdeť hodoty s rovakou ajväčšou početosťou: stem(x,),grd 8 6 4 8 6 4 8 84 87 9 93 96 99 5 8 4 6 8 6 Pozámka: V grafckom oke s môžeme robť ďalše úpravy, apr v horej čast lšty cez Edt a Axes Propertes Prdať šípky s hodotou môžeme cez Isert a Text Arrow Aplkáca MATLABu pomocou M-fukce mode s výstupým argumetom: modus=mode(x) Výstup z MATLABu: modus = 8 Pozámka: M-fukca mode s výstupým argumetom vyberá le jedu hodotu modusu V tomto prípade je preto pr eroztredeých štatstckých súboroch uté sledovať pozore hodoty s rovakou ajväčšou početosťou buď prostredíctvom varačého radu, resp frekvečej tabuľky Ďalšou možosťou je aplkáca príkazu [m,f,c]=mode(x)s 3 výstupým argumetm Pozrte s to podrobe prostredíctvom help mode V premeej c (vo Workspace) ájdeme všetky hodoty modusu Príklad Určte modus štatstckého súboru z príkladu 8 Rešee: Z daej tabuľky tervalového rozdelea početostí je zrejmé, že modus sa achádza v štvrtom tredom tervale s tredym zakom 6 Hodotu modusu spresíme aplkácou vzorca x d ˆ = a + h d + d d = 4 = 3 Teda modusom je hodota Dosadíme hodoty: a = 5, h =, d = 4 5 = 5, 5 x ˆ = 5 + = 5, 6 5 + 3 8

Charakterstky varablty Varabltou (rozptylom) kvattatíveho štatstckého zaku rozumeme kolísae hodôt tejto velčy Pokaľ sú všetky hodoty súboru rovaké (x = koštata), hovoríme o ulovej varablte Kolísae hodôt v súbore môžeme posudzovať buď ako vzájomú rozdelosť jedotlvých hodôt sledovaej velčy alebo ako rozdelosť jedotlvých hodôt od artmetckého premeru (prípade medáu) Teto druhý prcíp meraa varablty prevláda Merae varablty je možé využť a hodotee rovorodost (homogety) súboru a tež a posudzovae kvalty formáce, ktorú o úrov hodôt v súbore poskytla ektorá zo stredých hodôt Vychádzame prtom z úvahy, že čím je súbor homogéejší, s mešou varabltou, tým je apr artmetcký premer výstžejší z hľadska hodotea úrove hodôt súboru K základým charakterstkám varablty patra: rozptyl (dsperza), smerodajá odchýlka, premerá odchýlka, varačé rozpäte, kvartlové rozpäte a varačý koefcet Najzámejšou a ajpoužívaejšou merou varablty je rozptyl S Je defovaý ako artmetcký premer zo štvorcov odchýlok jedotlvých ameraých hodôt x, x,, x od ch artmetckého premeru x, t j platí vzorec S = ( x x) Teto tzv prostý tvar = vzorca sa používa pre eroztredeý štatstcký súbor Pre roztredeý súbor daý tabuľkou absolútych početostí používame vzorec v tzv k k vážeom tvare S = ( x x), kde = V prípade tervalového tredea = použjeme v tomto vzorc amesto hodôt x tredaceho zaku hodoty tredeho zaku z Čím väčša je varablta súboru, tým väčší je aj jeho rozptyl Rozptyl e je rezstetý, jeho hodota môže byť sle ovplyveá ekoľkým extrémym hodotam Rozptyl sám o sebe e je terpretovateľou velčou, pretože výsledok je daý v štvorcoch merých jedotek Napr ak sú hodoty súboru meraé v cm, ch rozptyl je udávaý v cm Preto sa pr hodoteí varablty dáva predosť druhej odmoce rozptylu, tzv smerodajej odchýlke S (uvažovaej s kladým zamekom), t j platí S = S Smerodajá odchýlka je už udaá v rovakých jedotkách ako meraé hodoty a je to (zhruba povedaé) premerá odchýlka ameraých hodôt od artmetckého premeru Ďalšou merou rozptylu je premerá odchýlka, ktorá je defovaá ako artmetcký premer z absolútych hodôt odchýlok všetkých ameraých hodôt od artmetckého premeru, t j platí vzorec = d = x x = Teto tzv prostý tvar vzorca sa používa pre eroztredeý štatstcký súbor Pre roztredeý súbor daý tabuľkou absolútych početostí použjeme vzorec v tzv k vážeom tvare d = x x, kde = V prípade tervalového tredea k = použjeme v tomto vzorc amesto hodôt x tredaceho zaku hodoty tredeho zaku z Premerá odchýlka edáva veľm spoľahlvé výsledky rozptylu V moderej štatstke sa používa le zredka a ahradzuje ju smerodajá odchýlka Varačé rozpäte R V je defovaé ako rozdel medz ajväčšou a ajmešou hodotou v daom súbore ameraých hodôt, t j platí vzorec RV = xmax xm Predstavuje rýchlu, ale le oretačú charakterstku varablty Jeho evýhodou je jeho závslosť od extrémych = 9

hodôt a tež aj to, že eposkytuje formácu o varablte hodôt medz ajväčšou a ajmešou hodotou súboru Z tohto dôvodu sa častejše používa kvartlové rozpäte R Q, ktoré je defovaé ako rozdel medz horým a dolým kvartlom, t j platí vzorec R = xɶ xɶ Zhruba povedaé, R Q udáva rozpäte stredých 5 % hodôt Jeho evýhodou Q 75 5 (podobe ako u varačého rozpäta) je to, že evyužíva všetky číselé hodoty, ale le ch porade Pr porovávaí varablty vacerých súborov arážame a problém rozdelych merých jedotek a rozdelej úrove hodôt v súboroch V týchto prípadoch je z hľadska potreby porovaa ajvhodejšou charakterstkou varablty varačý koefcet V k, ktorý je defovaý ako pomer smerodajej odchýlky a artmetckého premeru, t j platí vzorec S Vk = Ľahká terpretáca hodôt varačého koefcetu ho radí medz ajpoužívaejše x charakterstky varablty Varačý koefcet určuje akou časťou sa smerodajá odchýlka podeľa a artmetckom premere dát Patrí medz relatíve mery varablty, pretože evyjadruje varabltu v pôvodých merých jedotkách Je to bezrozmeré číslo Obvykle sa varačý koefcet vyjadruje v percetách Podľa veľm hrubého pravdla, ak je varačý koefcet väčší ako,5, tak je to prejavom začej erovorodost štatstckého súboru Príklad Bolo vykoaých 3 chemckých aalýz a overee kocetráce x [%] chemckej látky v roztoku Výsledky sú daé frekvečou tabuľkou: x 9 4 5 6 7 8 4 4 6 5 4 3 Pre daý štatstcký súbor vypočítajte: a) rozptyl, b) smerodajú odchýlku, c) premerú odchýlku, d) varačé rozpäte, e) kvartlové rozpäte, f) varačý koefcet Rešee: a) Najprv vypočítame artmetcký premer pomocou vzorca vo vážeom tvare = k x = x Výpočet artmetckého premeru sme už ukázal v príklade 3 Dostaeme ( ) x = 9 + + + + 3 = 5, 5 Kvôl aplkác MATLABu pre všetky úlohy s vytvoríme asledujúce vektory: x=[9,,,4:8,,];=[,,4,4,6,5,4,3,,]; x=[9,,,*oes(,4),4*oes(,4),5*oes(,6),6*oes(,5), 7*oes(,4),8*oes(,3),,,] Výpočet artmetckého premeru pomocou M-fukce mea: ap=mea(x) Rozptyl budeme počítať pomocou vzorca vo vážeom tvare S = x x k ( ) = Dostaeme výsledok: S = ( (9 5,5) + ( 5,5) + + ( 5,5) + ( 5,5) ) = 7,5 3 MATLAB tu môžeme aplkovať jedoduchým prepsom uvedeého vzorca alebo pomocou M-fukce var(x,): =legth(x);dsp=sum(((x-ap)^)*)/,dsp=var(x,) 3